Điều khiển ngẫu nhiên trong đầu tư và bảo hộ tối ưu với trường hợp có chi phí giao dịch

MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU Chương 1: Các kiến thức 1.1 Quá trình ngẫu nhiên điều khiển với thời gian rời rạc 1.1.1 Xây dựng mô hình điều khiển .3 1.1.2 Xây dựng chiến lược tối ưu ε – tối ưu 1.1.3 Xích Markov điều khiển .10 1.2 Một số khái niệm tài .13 Chương 2: Điều khiển ngẫu nhiên đầu tư bảo hộ tối ưu 17 2.1 Đầu tư tiêu dùng tối ưu mơ hình có chi phí giao dịch .17 2.1.1 Mở đầu 17 2.1.2 Bài toán Merton trường hợp khơng có chi phí giao dịch 19 2.1.3 Chi phí giao dịch điều khiển ngẫu nhiên 22 2.1.4 Chiến lược dừng với trường hợp thời gian vô hạn .29 2.1.5 Cực đại lãi suất tăng trưởng dài hạn 34 2.2 Định giá bảo hộ quyền lựa chọn .37 2.2.1 Cơng thức hóa cực đại hàm lợi ích 37 2.2.2 Hàm lợi ích mũ 41 2.2.3 Phương pháp xấp xỉ 43 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 LỜI NĨI ĐẦU Tốn học từ lâu có vai trị quan trọng ngành khoa học ứng dụng nhiều thực tế Ngày với phát triển mạnh mẽ kinh tế, ứng dụng toán học ngày rõ nét Tuy lĩnh vực mới, xong Tốn Tài Chính thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học có tên tuổi Trong vấn đề nghiên cứu Tốn Tài Chính, vấn đề: tìm phương pháp đầu tư hiệu cho nhà đầu tư vấn đề lớn, quan tâm giải Đề tài “Điều khiển ngẫu nhiên đầu tư bảo hộ tối ưu với trường hợp có chi phí giao dịch” nhằm trình bày kết quả: giải toán đầu tư bảo hộ tối ưu theo hướng tiếp cận lý thuyết điều khiển ngẫu nhiên Luận văn gồm có chương: Chương 1: Sơ lược trình ngẫu nhiên điều khiển với thời gian rời rạc số khái niệm tài Chương 2: Đây chương luận văn Chương nhằm trình bày kết quả: giải toán đầu tư tiêu dùng tối ưu (có khơng có chi phí giao dịch) với trường hợp thời gian hữu hạn thời gian vô hạn; cực đại lãi suất tăng trưởng dài hạn Đồng thời chương đề cập đến vấn đề định giá bảo hộ quyền lựa chọn Để hoàn thành luận văn này, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Hồng Hải, người tận tình hướng dẫn bảo cho em nhiều kiến thức quý báu Em xin gửi lời cảm ơn trân thành tới thầy cô tổ Tốn Ứng Dụng, thầy trường giảng dạy giúp đỡ em suốt thời gian qua Trong trình làm luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, em mong thầy bạn thơng cảm, góp ý cho em Em xin trân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 10 năm 2008 Học viên Đỗ Thị Lan Hương CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Quá trình ngẫu nhiên điều khiển với thời gian rời rạc 1.1.1 Xây dựng mơ hình điều khiển Cho hai khơng gian đo , đó: + khơng gian pha q trình bản, + không gian pha điều khiển Hệ điều khiển với trình chiến lược hiểu sau: Phân phối đại lượng giá trị q trình hồn tồn xác định ta biết điều khiển thời điểm Ký hiệu phân phối điều kiện đại lượng kiện biết , với điều là: (1.1) Để họ hàm xác định (1.1) trở thành phân phối dãy đại lượng ngẫu nhiên điều kiện cần đủ hai điều kiện sau thỏa mãn: (i) Điều kiện 1: (ii) Điều kiện 2: độ đo theo biến thứ - đo với ; , với tập Ký hiệu điểm không gian , ; (với không âm, Gọi tương ứng tập số nguyên ) tương ứng các tập trụ - đại số cảm sinh với đáy hữu hạn chiều Ta xây dựng độ đo sau: (1.2) Với tập trụ có dạng: Độ đo có tính chất sau: Nếu , phụ thuộc vào Từ tính chất này, điều kiện (ii) thay điều kiện sau: (iii) Điều kiện 3: biến tương ứng với đo theo tập - đại số Ta thấy, điều kiện (iii) thỏa mãn - đo với Giả sử độ đo thỏa mãn điều kiện: - đo với (4i) Điều kiện 4: - đo với Xét tập Giả sử xác suất điều kiện không gian xác suất Do ứng với - đại số , nên ta có: (h.c.c) với x theo độ đo 1.1.1.1 Định nghĩa Độ đo xác định hệ thức (1.2) thỏa mãn điều kiện (i), (ii), (iii) (4i) gọi đối tượng điều khiển 1.1.1.2 Định lý Cho không gian metric đủ, khả ly, với Borel Nếu độ đo - đại số tập thỏa mãn điều kiện (4i), tồn họ hàm thỏa mãn điều kiện (i), (ii) (iii), cho công thức (1.2) Tương tự, giả sử (1.3) (khi , ta hiểu ) phân phối điều kiện đại lượng trạng thái trình với điều khiển Giả thiết rằng, họ hàm (5i) thỏa mãn điều kiện sau: Điều kiện 5: biến độ đo xác suất theo ; (6i) Điều kiện 6: - đo Đối với Cho ta xây dựng độ đo tập trụ trong không gian có dạng: thì: (1.4) Độ đo thỏa mãn điều kiện tương thích sau: (7i) Điều kiện 7: Nếu - đo 1.1.1.3 Định nghĩa Độ đo xác định hệ thức (1.4) gọi chiến lược Nếu cho trước đối tượng điều khiển chiến lược thể xây dựng dãy ngẫu nhiên , ta có nhận giá trị , cho: (1.5) độ đo xác định theo Phân phối hữu hạn chiều dãy xác định sau: (1.6) 1.1.1.4 Định nghĩa Dãy thỏa mãn hệ thức (1.5) gọi trình ngẫu nhiên điều khiển với đối tượng điều khiển lược , dãy chiến gọi dãy hay q trình điều khiển được, cịn dãy gọi dãy điều khiển Giả sử cho đối tượng điều khiển Với phiến hàm lớp chiến lược chấp nhận xác định , - đo Phiếm hàm đặc trưng cho phí tổn lợi ích cần thiết điều khiển ứng với đối tượng điều khiển cho, với dãy điều khiển , trạng thái trình 1.1.1.5 Định nghĩa Phiếm hàm gọi giá điều khiển 1.1.1.6 Định nghĩa Nếu trình điều khiển điều khiển ứng với đối tượng chiến lược , gọi hàm giá Mục tiêu tốn điều khiển tối ưu là: tìm chiến lược cho đạt cực trị (cực đại hay cực tiểu) tùy tốn Trong phần tiếp theo, khơng tính tổng qt, ta xét tốn cực tiểu hàm giá 1.1.1.7 Định nghĩa + Hàm gọi giá tối ưu + Nếu tồn chiến lược , cho: gọi chiến lược tối ưu 1.1.1.8 Định nghĩa Nếu , chiến lược cho: gọi chiến lược - tối ưu 1.1.1.9 Định lý (về tồn chiến lược tối ưu) Giả sử không gian compact; tượng điều khiển không gian metric đủ, khả ly, đối thỏa mãn điều kiện sau: hàm liên tục theo tập biến, ( tập hàm liên tục bị chặn Khi giá ) nửa liên tục bị chặn tồn chiến lược tối ưu 1.1.2 Xây dựng chiến lược tối ưu Cho không gian metric đủ, khả ly; thiết rằng, đối tượng điều khiển Xét trường hợp giá không gian compact Giả thỏa mãn điều kiện định lý 1.1.1.9 có dạng sau: Trong , - tối ưu hàm bị chặn dưới, nửa liên tục Ta xây dựng hàm , số theo qui tắc sau: Đặt (thay cho phần trước) Vì vậy, tốn chuyển mục tiêu đạt cực đại kỳ vọng lãi suất tăng trưởng cực tiểu giới hạn kỳ vọng đơn vị thời gian sau: (2.21) Với ; Ở đó: ; tương ứng khoảng thời gian (2.22) phần trăm tích luỹ cổ phiếu mua, bán, Như vậy, mối liên hệ với với thiết lập bởi:  Xét trường hợp khơng có chi phí giao dịch Khi khơng có chi phí giao dịch phương trình (2.21) trở thành: Chiến lược tối ưu giữ hoá : tỷ lệ tối ưu đạt cực tiểu , (giống với tỷ lệ Merton phần trước, )  Xét trường hợp có chi phí giao dịch Trường hợp nghiên cứu điều kiện chiến lược tối ưu là: thời điểm ban đầu (ở đây, chuyển toàn đầu tư sang trái phiếu toàn đầu tư sang cổ phiếu khơng có dịch chuyển sau đó) Có: Tương tự với phần trước đó, với hàm giá tối ưu số , , tồn (giá trị tối ưu) cho: , ; , (2.23a) (2.23b) với: 4 Sử dụng nguyên lý tựa trơn (hay nhớt) , ta tìm mà: Hằng số (2.24) có cách giải phương trình vi phân thường không nhất: (2.25) Với điều kiện ban đầu: tìm thỏa mãn Tiêu chuẩn cực đại lãi suất tăng trưởng dài hạn dùng để đánh giá chiến lược đầu tư tối ưu Tương tự, nhà đầu tư cố gắng trì tỷ lệ đầu tư để đạt lãi suất cao 2.2 Định giá bảo hộ quyền lựa chọn 2.2.1 Cơng thức hố cực đại hàm lợi ích Cách tiếp cận hàm lợi ích sở tiến hành theo mẫu tương tự phần 2.1 Giả sử rằng: nhà đầu tư mua, bán cổ phiếu sở quyền lựa chọn viết chi phí giao dịch tính tiến hành mua hay bán cổ phiếu Vị nhà đầu tư lúc đó, cho véctơ chiều thơng qua phương trình động học sau: (2.26a) (2.26b) Trong đó: (tương ứng ) bán) khoảng thời gian Khi giá cổ phiếu số lượng cổ phiếu tích luỹ mua ( tương ứng , giá trị cổ phiếu cho công thức sau: Vị nhà đầu tư, thuộc vùng: (2.27) (với a số dương) lớp chiến lược mua bán chấp nhận thời điểm : , ; cho: Mục tiêu đề đạt cực đại kỳ vọng hàm lợi ích tổng sở hữu điểm cuối 2.2.1.1 Định nghĩa Hàm giá tối ưu xây dựng sau: (2.28) Với hàm lõm, giảm (bởi vậy, hàm lợi ích khơng rủi ro) Trong đó, tổng sở hữu nhà đầu tư điểm cuối cho bởi: (khơng có quyền chọn mua) (bán quyền chọn mua) (mua quyền chọn mua) 2.2.1.2 Nhận xét Giả sử rằng, quyền lựa chọn tài sản ổn định, thời điểm đáo hạn , người giữ quyền lựa chọn trả cho người viết quyền lựa chọn khoản tiền (định trước), người viết quyền lựa chọn phải bàn giao cổ phiếu cho người giữ quyền lựa chọn Trong trường hợp này, người viết quyền lựa chọn phải trả khoản tiền là: Với Do ta có: Áp dụng nguyên lý quy hoạch động cho phương trình vi phân đạo hàm riêng hàm giá tối ưu Với hạn chế liên tục tuyệt đối cho bởi: Sau cho Với , phương trình Bellman là: sinh từ phương trình sau: Như vậy, có phân hoạch không gian trạng thái thành vùng, mà vùng đạt giá trị tối ưu Như: vùng mua cổ phiếu, vùng bán cổ phiếu, vùng không giao dịch Tương tự, tồn hàm với (biên mua) (biên bán) mà: (2.29a) (2.29b) (2.29c) Chiến lược bảo hộ tối ưu với hàm tối ưu (cho công thức (3.3)) cho cặp , với : 2.2.1.4 Định giá quyền lựa chọn Có hai quan điểm khác giá quyền lựa chọn: + Quan điểm thứ (Theo Hodges, Neuberger (1989) sau Clewlow, Hodges (1997)): Giá bán dự trữ quyền lựa chọn (tương ứng với giá mua dự trữ) quyền lựa chọn xác định (tương ứng ) Với yêu cầu thời điểm ban đầu phải có kỳ vọng hàm lợi ích giống việc không bán (không mua) quyền lựa chọn Như vậy, thoả mãn phương trình sau: (2.30) + Quan điểm thứ hai (của Davis, Panas Zariphopoulou (1993)): Giả sử , xác định: , (khơng đầu tư vào cổ phiếu trái phiếu chấp nhận) Như vậy, nhà đầu tư trả khoản lệ phí để mua bán thị trường nghiêm ngặt Giá bán quyền lựa chọn , giá mua quyền lựa chọn xây dựng mà nhà đầu tư không phân biệt việc có hay khơng có vị trí quyền lựa chọn: 2.2.2 Hàm lợi ích mũ Để giảm bớt số chiều (từ chiều xuống chiều), ta áp dụng với hàm lợi ích với số mũ âm: (trong đó: ) Với việc sử dụng hàm lợi ích này, vị trí trái phiếu độc lập thời gian nắm giữ cổ phiếu, và: Với: Khi tốn khơng có điều kiện biên (2.29a), (2.29b) (2.29c) với chuyển thành: (2.31a) (2.31b) (2.31c) Theo quan điểm thứ giá quyền lựa chọn, ta có: (2.32) Tương tự ta có: Nghiệm tốn khơng đường biên (2.31a), (2.31b) (2.31c) đạt xấp xỉ: ; với xích Markov ứng dụng thuật tốn quy hoạch động với thời gian rời rạc (tương tự phần 2.1.3), đó: , Với y bội Quá trình giá cổ phiếu xấp xỉ hoá qua bước ngẫu nhiên sau: với Cho ; , với : (3.8) Giá trị nhỏ phương trình (2.33) đạt ; Đây kết nghiên cứu Davis, Panas Zariphopoulou (1993) Clewlow, Hodges (1997) 2.3 Phương pháp xấp xỉ Các phân tích trước rằng, với có mặt chi phí giao dịch, việc bảo hộ quyền lựa chọn cách hồn hảo khơng thể sảy Chính việc mua bán quyền lựa chọn làm nảy sinh số yếu tố rủi ro Nếu vùng phần 2.2 thay vùng có khả tốn phần 2.1; Soner, Shreve Cvitanic (1995) rằng: “chi phí nhỏ cho việc bảo hộ quyền lựa chọn mua thị trường (với chi phí giao dịch) đơn giản mua cổ phiếu nắm giữ nó!” Với yêu cầu bảo hộ cách hoàn hảo, Leland (1985); Boyle Vorst (1992) chứng minh rằng: chiến lược bảo hộ với thời gian rời rạc với việc buôn bán xảy khoảng quy, việc tốn quyền lựa chọn điểm đáo hạn, thực sớm Giá quyền lựa chọn chất giá BlackScholes với điều chỉnh biên độ biến động Khi thời gian lần mua bán dần tới khơng, sai số bảo hộ giảm tới không, điều chỉnh biên độ biến động xấp xỉ vô cùng, giá quyền lựa chọn xấp xỉ tới giá cổ phiếu Phương pháp xấp xỉ hai nhà toán học Lai Lim đề xuất năm 2002 Xuất phát từ phân tích ban đầu Black Scholes (1973), phương án đầu tư bảo hộ cực tiểu hoá sai số bảo hộ giá quyền lựa chọn với lượng vốn ban đầu để thiết lập việc bảo hộ Vì vậy, phương án đầu tư bảo hộ, mục tiêu cực tiểu hoá kỳ vọng sau: đây: người viết quyền lựa chọn, người mua quyền lựa chọn Với Với hệ số delta Black-Scholes , hàm giá , dẫn tới tốn khơng đường biên sau: trong Với thay cho , thoả mãn tốn khơng đường biên khác liên kết với toán dừng tối ưu Việc đưa toán toán dừng tối ưu khiến toán bảo hộ trở nên đơn giản nhiều Áp dụng phép biến đổi: , , Ta đặt Với , ta có phương trình quy hoạch động với thời gian rời rạc sau người viết quyền lựa chọn (2.34) Với Ở đó, với , thuộc vùng bán vùng khơng giao dịch, ta có: ; Do hàm giảm theo biến đường biên mua , nên tồn đường biên bán cho, (tương ứng ), người viết quyền lựa chọn phải bán (tương ứng mua ) số cổ phiếu để bảo hộ tối ưu Phương án đầu tư bảo hộ tối ưu người mua quyền lựa chọn có phương trình (2.34) tính đối xứng: Các đường biên bán tối ưu mua tối ưu với người mua quyền lựa chọn với lãi suất bán mua , tương ứng là: ; (ở đó: lãi suất đường biên bán tối ưu mua tối ưu người viết quyền lựa chọn với lãi suất bán lãi suất mua ) Mô hình nghiên cứu đưa phương pháp xấp xỉ mà kết quả: trình bày sai số tiêu chuẩn nhỏ sai số bảo hộ sai số bất kỳ, sai số bảo hộ xác định hiệu số giá Black – Scholes với lượng vốn ban đầu cần thiết để lặp lại việc toán quyền lựa chọn điểm đáo hạn Các kết viết cách chi tiết Lai Lim (2002) 5 KẾT LUẬN Đa số nhà toán học trước đây, nghiên cứu mơ hình đầu tư bảo hộ trường hợp lý tưởng hóa, mơ hình khơng có chi phí giao dịch Tuy nhiên, thực tế mơ hình khơng cịn chấp nhận xuất lệ phí giao dịch thị trường Vì điểm luận văn tập hợp số kết nghiên cứu gần nhà tốn học mơ hình đầu tư bảo hộ có tính đến chi phí giao dịch Do số hạn chế tài liệu kiến thức, nên luận văn dừng việc dẫn dắt phương pháp đưa kết tốn Hồn thành luận văn này, lần em xin trân thành cảm ơn T.S Nguyễn Hồng Hải thầy giáo tận tình giúp đỡ, bảo em TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Hữu – Vương Quân Hoàng, Các phương pháp tốn học Tài chính, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội, 2002 [2] Phạm Văn Kiều, Giáo trình giải tích ngẫu nhiên, phần I, Đề tài nghiên cứu khoa học cấp bộ, Hà Nội, 2001 [3] Trần Hùng Thao, Nhập mơn tốn học Tài chính, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội, 2004 [4] Nguyễn Duy Tiến, Các mơ hình xác suất ứng dụng, phần III, Giải tích ngẫu nhiên, NXB Đại học Quốc gia, 2002 [5] Phạm Thị Hồng Vân, Lý thuyết chênh thị giá đơng, Luận văn thạc sỹ tốn học, Đại học Sư phạm Hà Nội, 2007 [6] I.I Gihman – A.V.Skorohod, Controlled stochastic processes, 1977 [7] Tion Wee Lim – Tze Leung Lai, Singular stochatic control in optimal investment and hedging in the presence of transaction cost, 2007