Điều khiển ngẫu nhiên trong đầu tư và bảo hộ tối ưu với trường hợp có chi phí giao dịch

MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU Chương 1: Các kiến thức 1.1 Quá trình ngẫu nhiên điều khiển với thời gian rời rạc 1.1.1 Xây dựng mô hình điều khiển .3 1.1.2 Xây dựng chiến lược tối ưu ε – tối ưu 1.1.3 Xích Markov điều khiển .10 1.2 Một số khái niệm tài .13 Chương 2: Điều khiển ngẫu nhiên đầu tư bảo hộ tối ưu 17 2.1 Đầu tư tiêu dùng tối ưu mơ hình có chi phí giao dịch .17 2.1.1 Mở đầu 17 2.1.2 Bài toán Merton trường hợp khơng có chi phí giao dịch 19 2.1.3 Chi phí giao dịch điều khiển ngẫu nhiên 22 2.1.4 Chiến lược dừng với trường hợp thời gian vô hạn .29 2.1.5 Cực đại lãi suất tăng trưởng dài hạn 34 2.2 Định giá bảo hộ quyền lựa chọn .37 2.2.1 Cơng thức hóa cực đại hàm lợi ích 37 2.2.2 Hàm lợi ích mũ 41 2.2.3 Phương pháp xấp xỉ 43 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 LỜI NĨI ĐẦU Tốn học từ lâu có vai trị quan trọng ngành khoa học ứng dụng nhiều thực tế Ngày với phát triển mạnh mẽ kinh tế, ứng dụng toán học ngày rõ nét Tuy lĩnh vực mới, xong Tốn Tài Chính thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học có tên tuổi Trong vấn đề nghiên cứu Tốn Tài Chính, vấn đề: tìm phương pháp đầu tư hiệu cho nhà đầu tư vấn đề lớn, quan tâm giải Đề tài “Điều khiển ngẫu nhiên đầu tư bảo hộ tối ưu với trường hợp có chi phí giao dịch” nhằm trình bày kết quả: giải toán đầu tư bảo hộ tối ưu theo hướng tiếp cận lý thuyết điều khiển ngẫu nhiên Luận văn gồm có chương: Chương 1: Sơ lược trình ngẫu nhiên điều khiển với thời gian rời rạc số khái niệm tài Chương 2: Đây chương luận văn Chương nhằm trình bày kết quả: giải toán đầu tư tiêu dùng tối ưu (có khơng có chi phí giao dịch) với trường hợp thời gian hữu hạn thời gian vô hạn; cực đại lãi suất tăng trưởng dài hạn Đồng thời chương đề cập đến vấn đề định giá bảo hộ quyền lựa chọn Để hoàn thành luận văn này, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Hồng Hải, người tận tình hướng dẫn bảo cho em nhiều kiến thức quý báu Em xin gửi lời cảm ơn trân thành tới thầy cô tổ Tốn Ứng Dụng, thầy trường giảng dạy giúp đỡ em suốt thời gian qua Trong trình làm luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, em mong thầy bạn thơng cảm, góp ý cho em Em xin trân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 10 năm 2008 Học viên Đỗ Thị Lan Hương CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Quá trình ngẫu nhiên điều khiển với thời gian rời rạc 1.1.1 Xây dựng mơ hình điều khiển Cho hai không gian đo  X ,U +  X ,U    U ,B  , đó: khơng gian pha q trình bản, +  U ,B  không gian pha điều khiển Hệ điều khiển với trình  xn  X ; n 0,1,  chiến lược u  un , n 0,1, x  xn , n 0,1,  un U , n 0,1,  hiểu sau: Phân phối đại lượng xn hoàn toàn xác định ta biết giá trị trình x0 , x1, , xn điều khiển thời điểm u0 , u1, , un Ký hiệu phân phối điều kiện đại lượng xn với điều kiện biết x0 , x1, , xn , u0 , u1, , un là: pn  dxn x0 , x1, , xn 1; u0 , u1, , un  (1.1) Để họ hàm xác định (1.1) trở thành phân phối dãy đại lượng ngẫu nhiên x  xn , n 0,1, điều kiện cần đủ hai điều kiện sau thỏa mãn: (i) Điều kiện 1: pn   (ii) Điều kiện 2: pn  An x0 , x1, , xn 1;  độ đo U theo biến thứ U - đo với x0 , x1, , xn  X ; u0 , u1, , un U , với tập An U N N Ký hiệu điểm không gian X , U tương ứng x u x  x0 , x1, , xn , ; u  u0 , u1, , un , (với N tập số nguyên không âm, N  0,1,2, ) Gọi U N N N N B tương ứng  - đại số X U cảm sinh N N tập trụ X U Ta xây dựng độ đo   u với đáy hữu hạn chiều U N sau:   C u   p0  dx0  p1  dx1 x0 ; u0    C0 C1  pn  dxn x0 , x1, , xn 1; u0 , u1, , un  Cn (1.2) Với C tập trụ có dạng: C  x : x0  C0 , x1  C1, , xn  Cn  ; Ck  U , k 0,1, , n Độ đo   u có tính chất sau: Nếu V U n ,  V u phụ thuộc vào u0 , u1, , un Từ tính chất này, điều kiện (ii) thay điều kiện sau: (iii) Điều kiện 3: pn  A x0 , x1, , xn 1; u0 , u1, , un  biến tương ứng với  - đại số U n n B Ta thấy, điều kiện (iii) thỏa mãn V U N  V u B n -1 - đo với V  U n Giả sử U N độ đo  V u đo theo tập thỏa mãn điều kiện: N B - đo với (4i) Điều kiện 4:  V u B n -1 - đo với V  U n  n Xét tập A  x : xn  A Giả sử   A n  U n 1, u  xác suất điều kiện A  ứng với  - đại số n N N U n -1 không gian xác suất X ,U ,    u     n A U n , nên ta có: Do    A n  U n 1, u  pn  A x0 , x1, , xn 1; u0 , u1, , un  với x theo độ đo   u (h.c.c) 1.1.1.1 Định nghĩa Độ đo   u xác định hệ thức (1.2) thỏa mãn điều kiện (i), (ii), (iii) (4i) gọi đối tượng điều khiển 1.1.1.2 Định lý Cho  X ,U  Borel Nếu độ đo không gian metric đủ, khả ly, với  - đại số tập  V u thỏa mãn điều kiện (4i), tồn họ hàm  pn  dxn x0 , x1, , xn 1; u0 , u1, , un  , n 0,1, thỏa mãn điều kiện (i), (ii) (iii), cho công thức (1.2) Tương tự, giả sử qn  dun x0 , x1, , xn ; u0 , u1, , un  , n 1,2, (1.3) q du x (khi n 0 , ta hiểu  0  ) phân phối điều kiện đại lượng un với trạng thái trình x0 , x1, , xn điều khiển u0 , u1, , un Giả thiết rằng, họ hàm (5i) qn   Điều kiện 5: thỏa mãn điều kiện sau: qn   x0 , , xn ; u0 , , un  độ đo xác suất theo biến x0 , x1, , xn  X ; u0 , u1, , un U Điều kiện 6: B B i) qn  B x0 , x1, , xn ; u0 , u1, , un  U n +1 B n - đo Đối với qn   ta xây dựng độ đo v   x U không gian N ,B N  Cho D tập trụ B n có dạng: D  u : u0  D0 , , un  Dn  ; Dn B , n 0,1, thì: v  D x   q0  du0 x0  q1  du1 x0 , x1; u0   D0 D1 qn  dun x0 , x1, , xn ;u0 , u1, , un  Dn (1.4) Độ đo v  D x thỏa mãn điều kiện tương thích sau: (7i) Điều kiện 7: Nếu W B n v W x U n - đo 1.1.1.3 Định nghĩa Độ đo v   xác định hệ thức (1.4) gọi chiến lược Nếu cho trước đối tượng điều khiển thể xây dựng dãy ngẫu nhiên   u chiến lược   n ,n  , n 0,1, v   x , ta có nhận giá trị X U , cho:  P   n  An 0 ,0 , ,  n 1,n 1  pn  An  , ,  n  1,0 , , n  ,   P  n  Bn 0 ,0 , ,  n 1,n 1,  n  qn  Bn  , ,  n ,0 , , n  độ đo pn   qn   xác định theo Phân phối hữu hạn chiều dãy      n ,n  , n 0,1, v   (1.5) xác định sau: P  0  A0 ,0  B0 , , n  An ,n  Bn    p0  dx0  q0  du0 x0   pn  dxn x0 , , xn 1; u0 , , un   A0 B0 An  qn  dun x0 , , xn ; u0 , , un  Bn (1.6) 1.1.1.4 Định nghĩa Dãy   n ,n  , n 0,1, X U thỏa mãn hệ thức (1.5) gọi trình ngẫu nhiên điều khiển với đối tượng điều khiển lược v      chiến , dãy   n , n 0,1, gọi dãy hay q trình điều khiển được, cịn dãy  n , n 0,1, gọi dãy điều khiển Giả sử cho đối tượng điều khiển   u lớp chiến lược chấp nhận N N M Với phiến hàm F  x, u  xác định X U , U N B N - đo Phiếm hàm đặc trưng cho phí tổn lợi ích cần thiết điều khiển ứng với đối tượng điều khiển cho, với dãy điều khiển u  un ; n 0,1, , trạng thái trình x  xn ; n 0,1, 1.1.1.5 Định nghĩa Phiếm hàm F  x, u  gọi giá điều khiển 1.1.1.6 Định nghĩa Nếu trình điều khiển điều khiển    chiến lược   n ,n  , n 0,1, ứng với đối tượng v   M , S  v  Ev F   ,  gọi hàm giá Mục tiêu toán điều khiển tối ưu là: tìm chiến lược cho S  v  đạt cực trị (cực đại hay cực tiểu) tùy tốn Trong phần tiếp theo, khơng tính tổng qt, ta xét tốn cực tiểu hàm giá 1.1.1.7 Định nghĩa + Hàm S  inf S  v  v M gọi giá tối ưu * * + Nếu tồn chiến lược v , v  M , cho: S S v *  S  v    v M * v gọi chiến lược tối ưu 1.1.1.8 Định nghĩa Nếu   , chiến lược v  cho: S  v   S   v  gọi chiến lược  - tối ưu 1.1.1.9 Định lý (về tồn chiến lược tối ưu) Giả sử U không gian compact; X không gian metric đủ, khả ly, đối tượng điều khiển   u thỏa mãn điều kiện sau: g  x  pn  dx x0 , x1, , xn 1; u0 , u1, , un  hàm liên tục theo tập biến, g  x   Cx ( C x tập hàm liên tục bị chặn X ) Khi giá F  x, u  nửa liên tục bị chặn tồn chiến lược tối ưu 1.1.2 Xây dựng chiến lược tối ưu  - tối ưu Cho X không gian metric đủ, khả ly; U không gian compact Giả thiết rằng, đối tượng điều khiển    thỏa mãn điều kiện định lý 1.1.1.9 Xét trường hợp giá F  x, u  có dạng sau: F  x, u    x0 , x1, , xn ; u0 , u1, , un  Trong   x0 , x1, , xn ; u0 , u1, , un  hàm bị chặn dưới, nửa liên tục n1 n1 , X U  Ta xây dựng hàm  k ,  k  k 0,1, , n  số  theo qui tắc sau: