Điều khiển ngẫu nhiên trong đầu tư và bảo hộ tối ưu với trường hợp có chi phí giao dịch

Trang 1

MỤC LỤC

Trang

LỜI NÓI ĐẦU 1

Chương 1: Các kiến thức cơ bản 3

1.1 Quá trình ngẫu nhiên điều khiển được với thời gian rời rạc 3

1.1.1 Xây dựng mô hình điều khiển .3

1.1.2 Xây dựng chiến lược tối ưu và ε – tối ưu 8

1.1.3 Xích Markov điều khiển được .10

1.2 Một số khái niệm trong tài chính .13

Chương 2: Điều khiển ngẫu nhiên trong đầu tư và bảo hộ tối ưu .17

2.1 Đầu tư và tiêu dùng tối ưu trong mơ hình có chi phí giao dịch .17

2.1.1 Mở đầu 17

2.1.2 Bài tốn Merton trong trường hợp khơng có chi phí giao dịch 19

2.1.3 Chi phí giao dịch và điều khiển ngẫu nhiên 22

2.1.4 Chiến lược dừng với trường hợp thời gian vô hạn .29

2.1.5 Cực đại lãi suất tăng trưởng dài hạn 34

2.2 Định giá và bảo hộ quyền lựa chọn .37

2.2.1 Cơng thức hóa cực đại hàm lợi ích 37

2.2.2 Hàm lợi ích mũ 41

2.2.3 Phương pháp xấp xỉ mới 43

KẾT LUẬN 47

Trang 2

LỜI NĨI ĐẦU

Tốn học từ lâu đã có vai trị quan trọng trong các ngành khoa học vàđược ứng dụng nhiều trong thực tế Ngày nay với sự phát triển mạnh mẽ củanền kinh tế, ứng dụng của toán học ngày càng rõ nét Tuy là một lĩnh vựcmới, xong Tốn Tài Chính đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà tốnhọc có tên tuổi.

Trong các vấn đề nghiên cứu của Tốn Tài Chính, thì vấn đề: tìmphương pháp đầu tư hiệu quả nhất cho nhà đầu tư là một vấn đề lớn, đã vàđang được quan tâm giải quyết.

Đề tài “Điều khiển ngẫu nhiên trong đầu tư và bảo hộ tối ưu với

trường hợp có chi phí giao dịch” nhằm trình bày các kết quả: giải bài toán

đầu tư và bảo hộ tối ưu theo hướng tiếp cận của lý thuyết điều khiển ngẫunhiên.

Luận văn gồm có 2 chương:

Chương 1: Sơ lược về quá trình ngẫu nhiên điều khiển được với thời

gian rời rạc và một số khái niệm trong tài chính.

Chương 2: Đây là chương chính của luận văn Chương này nhằm trình

bày các kết quả: về giải bài toán đầu tư và tiêu dùng tối ưu (có và khơng cóchi phí giao dịch) với các trường hợp thời gian hữu hạn và thời gian vô hạn;về cực đại lãi suất tăng trưởng dài hạn Đồng thời chương này cũng đề cậpđến vấn đề định giá và bảo hộ quyền lựa chọn.

Để hoàn thành luận văn này, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới

Trang 3

trong tổ Tốn Ứng Dụng, cùng các thầy cơ trong trường đã giảng dạy và giúpđỡ em trong suốt thời gian qua.

Trong q trình làm luận văn sẽ khơng tránh khỏi các thiếu sót, vì vậyem rất mong thầy cơ và các bạn thơng cảm, góp ý cho em.

Em xin trân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 10 năm 2008

Học viên

Trang 4

CHƯƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1 Quá trình ngẫu nhiên điều khiển được với thời gian rời rạc

1.1.1 Xây dựng mơ hình điều khiển

Cho hai khơng gian đo X,U và U,B , trong đó:

+ X,U là khơng gian pha của q trình cơ bản,

+ U,B là không gian pha của điều khiển.

Hệ được điều khiển với quá trình cơ bản x x nn, 0,1,xnX n; 0,1, và chiến lược  uu nn, 0,1, unU n, 0,1,được hiểu như sau: Phân phối của đại lượng x hoàn toàn xác định nếu ta biếtn

giá trị của quá trình cơ bản x x0, , ,1  xn1 và các điều khiển tại các thời điểmnày là u u0, , ,1  un1 Ký hiệu phân phối điều kiện của đại lượng x với điềun

kiện đã biết x x0, , ,1  xn1, u u0, , ,1  un1 là:

 0, , ,11; , , ,011

nnnn

p dx x x  x  u u  u  (1.1)Để họ hàm xác định bởi (1.1) trở thành phân phối của dãy các đại lượngngẫu nhiên x x nn, 0,1, điều kiện cần và đủ là hai điều kiện sau được

thỏa mãn:

Trang 5

0, , ,1 n 1

x x  x  X ; u u0, , ,1  un1U , và với mọi tập A n U

Ký hiệu điểm của không gian X , NU tương ứng là x và uN

 0, , , ,1 n 

x x x  x  ; uu u0, , , ,1  un (với N là tập các số nguyên

không âm, N 0,1,2, )

Gọi U và N B tương ứng là các  - đại số trong NN

X và U cảm sinhN

bởi các tập trụ trong X và NU với đáy hữu hạn chiều.N

Ta xây dựng độ đo   u trên U như sau:N

010011 00011011; , , , ; , , ,nCCnnnnCC up dxp dx x up dx x xxu uu    (1.2)Với C là tập trụ có dạng: : 00, 11, , nn ;C x x C x C  x CCkU , k 0,1, , n.Độ đo  u có tính chất sau:

Nếu V U , thì n V u chỉ phụ thuộc vào u u0, , ,1  un1

Từ tính chất này, điều kiện (ii) có thể được thay thế bởi điều kiện sau:

(iii) Điều kiện 3: p A x xn 0, , ,1  xn1; , , ,u u01  un1 đo được theo tậpcác biến tương ứng với  - đại số U n B n

Trang 6

(4i) Điều kiện 4: V u là Bn-1- đo được với V U nXét tập A n  x x: nAGiả sử  Ann 1,u U 

là xác suất điều kiện của A ứng với  - đại số n

n-1

U trên không gian xác suất XN,U N,  u 

.Do A  n U , nên ta có:n Ann 1,u p A x xn 0, , ,1 xn 1; , , ,u u01 un 1 U       (h.c.c) với mọi x theo độ đo   u

1.1.1.1 Định nghĩa

Độ đo   u xác định bởi hệ thức (1.2) thỏa mãn điều kiện (i), (ii), (iii)và (4i) được gọi là đối tượng điều khiển.

1.1.1.2 Định lý

Cho X,U là không gian metric đủ, khả ly, với  - đại số các tập

Borel Nếu độ đo V u thỏa mãn điều kiện (4i), thì tồn tại họ các hàm



 p dx x xnn 0, , ,1  xn1; , , ,u u01  un1 ,n0,1,

thỏa mãn các điều kiện (i),(ii) và (iii), sao cho công thức (1.2) đúng.

Trang 7

(khi n  , ta hiểu là 0 q du x0 00) là phân phối điều kiện của đại lượng u vớin

các trạng thái của quá trình cơ bản là x x0, , ,1  xn và các điều khiển

0, , ,1 n 1

u u  u 

Giả thiết rằng, họ hàm q n  thỏa mãn các điều kiện sau:

(5i) Điều kiện 5: qnx0, , ; , , x un 0  un1 là độ đo xác suất theo cácbiến x x0, , ,1  xnX ; u u0, , ,1  un1U

i) Điều kiện 6:  B B thì q B x xn 0, , , ; , , ,1  x u un 01  un1 là

n+1n

U B - đo được.

Đối với q n  ta xây dựng độ đo v x trong không gian UN,BN

.Cho D là tập trụ trong B có dạng:n : 00, , nn ; n , 0,1,D u u D  u DD B n thì:0100011 0, ;100, , , ; , , ,1011nnnnnDDDD x q du x q du x x u  q du x x  x u u  u v(1.4)Độ đo vD x thỏa mãn điều kiện tương thích sau:

(7i) Điều kiện 7: Nếu W B thì n vW x là U - đo được.n

1.1.1.3 Định nghĩa

Trang 8

Nếu cho trước đối tượng điều khiển   u và chiến lược v x , ta có

thể xây dựng dãy ngẫu nhiên  n, n,n0,1, nhận giá trị trong X U  ,sao cho:001101010011001, , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , nnnnnnnnnnnnnnnnnPAp APBq B                         (1.5)trong đó các độ đo p n  và q n  được xác định theo    và   v   .

Phân phối hữu hạn chiều của dãy  n, n,n0,1, được xác địnhnhư sau:000000000000101001, , , ,, , ; , , , , ; , ,nnnnnnnnnnABAnnnnBPABABp dxq du xp dx xxuuq du xx uu            (1.6)1.1.1.4 Định nghĩa

Dãy  n, n,n0,1, trong X U  thỏa mãn hệ thức (1.5) gọi là quátrình ngẫu nhiên điều khiển được với đối tượng điều khiển là    và chiến lược v   , trong đó dãy n,n0,1, được gọi là dãy cơ bản hay quá

trình điều khiển được, còn dãy n,n0,1, được gọi là dãy các điều

khiển.

Trang 9

được Phiếm hàm này đặc trưng cho phí tổn hoặc lợi ích cần thiết của điềukhiển ứng với đối tượng điều khiển đã cho, với dãy các điều khiển

 n; 0,1, 

u u n  , và trạng thái của quá trình cơ bản là x x nn; 0,1, 

1.1.1.5 Định nghĩa

Phiếm hàm F x u được gọi là giá của điều khiển. , 

1.1.1.6 Định nghĩa

Nếu quá trình điều khiển được  n, n,n0,1, ứng với đối tượngđiều khiển    và chiến lược   v   M , thì

  , 

S v E F  v

được gọi là hàm giá.

Mục tiêu của bài tốn điều khiển tối ưu là: tìm chiến lược sao cho

 

S v đạt cực trị (cực đại hay cực tiểu) tùy bài tốn Trong phần tiếp theo,khơng mất tính tổng qt, ta xét bài tốn cực tiểu hàm giá.

1.1.1.7 Định nghĩa

+ Hàm S inf S 





v M v

được gọi là giá tối ưu.+ Nếu tồn tại chiến lược v v*, *M , sao cho:

 * min  S SS v Mv v

thì v được gọi là chiến lược tối ưu.*

Trang 10

thì v được gọi là chiến lược  - tối ưu.

1.1.1.9 Định lý (về sự tồn tại chiến lược tối ưu)

Giả sử U là không gian compact; X là không gian metric đủ, khả ly, đối

tượng điều khiển   u thỏa mãn điều kiện sau:

  n 0, , ,1 n 1; , , ,01 n 1

g x p dx x xx  u uu 

  

là hàm liên tục theo tập cácbiến, g x Cx (C là tập các hàm liên tục và bị chặn trên X ) x

Khi đó nếu giá F x u nửa liên tục dưới và bị chặn dưới thì tồn tại , 

chiến lược tối ưu.

1.1.2 Xây dựng chiến lược tối ưu và  - tối ưu

Cho X là không gian metric đủ, khả ly; U là không gian compact Giả

thiết rằng, đối tượng điều khiển    thỏa mãn điều kiện của định lý 1.1.1.9. Xét trường hợp giá F x u có dạng sau: , 

 ,  0, , , ; , , ,1 n 01 n

F x u  x x  x u u  u

Trong đó x x0, , , ; , , ,1  x u un 01  un là hàm bị chặn dưới, nửa liên tụcdưới , trên Xn1Un1.

Trang 11

   000000100101010010101, , ; , ,, , ; , ,, , ; , ,inf, , ; , ,, ,; , ,, , ; , ,, ,; , .nnnnnnnnnnnunnnnnnnnnnxx uuxx uuxx uuxx uuxxuuxx uup dx xxuu   001 00  , , ; , ,inf, , ; , , kkkkkkuxx uu  xx uu  101010010101 (1.7), ,; , ,, , ; , ,, ,; , , kk xxk uuk xx ukuk p dx xkkxk uuk     00 0 0 00 0 0 0 nf,uxx ux p dx   1.1.2.1 Định lý

Giả sử các hàm  , k  kk 0,1, , n và số  được xác định bởicơng thức (1.7), cịn dãy các hàm  được xác định bởi công thức:k

 kx0, , ; , ,x uk 0 uk1 kx0, , ; , ,x uk 0 uk1, ( , , ; , ,kx0 x uk 0 uk1)  Chúng ta xây dựng dãy các hàm: 0 x0 0 x0 ; 10, 110, ;100 , x xx xx   0, ,  0, , ; 0 0 , , 1 0, , 1, kxxkkxxkxkxxk         

Khi đó chiến lược v được xác định bởi dãy:



Trang 12

Tiếp theo, ta xét trường hợp hàm giá F x u, có dạng tổng quát.

Ta xây dựng họ đối tượng điều khiển    , , , ; , ,x0 x un 0 un;

0,1, ;

n xk X, uk U,  k 0,1, ,n được xác định bởi xác suất điềukiện 01010, , ; , 0, , k ; , , knnkkxx uup dx x  x  u  u ==pn k dx xk 0, , , , ,x xn 0  xk1; , , , , ,u0 u un 0  uk1.Kí hiệu: , 0, , ; , ,0  0, , , , ; , , , , 000 nnnnxx uuF x uF xx xuu u;0, , ; , ,n 0 nxx uu

Ev là kì vọng tốn ứng với đối tượng điều khiển

 x0, , ; , ,x un 0 un 

và với chiến lược v, ta đặt:

 00 000, , ; , , ;0, , ; , ,nn , , , ; , ,nnnxx ununExx uuF  xx uu v  v, 0, , ; , ,0  inf  0, , ; , , ,0 nxx ununnxx unun  vv.Một cách hoàn toàn tự nhiên hàm nx0, , ; , ,x un 0 un

là giá tối ưucó điều kiện với điều kiện ở n bước đầu tiên ta chọn các điều khiển u0, ,u ,n

cịn q trình cơ bản tương ứng nhận các giá trị x0, ,x n

Trên cơ sở kết quả của định lý này, ta nhận được kết quả sau:

Trang 13

Giả thiết, đối tượng điều khiển    thỏa mãn điều kiện của định lý 1.1.1.9, còn giá F x u là hàm bị chặn và nửa liên tục dưới Khi đó ta có: , 

(A) Dãy các hàm nx x0, , , ; , , ,1 x u un 01  un thỏa mãn các điều kiệnsau:

+ nx x0, , , ; , , ,1  x u un 01  un (n 0,1, ) là các hàm bị chặn vànửa liên tục dưới.

+ Với mọi n  , ta có:01010111 001011011, , , ; , , ,, , ; , , inf , , , ; , , , nnnnnnnnnnnux xx u uupdxxx uux xxu uu          + Với mọi x X N và u U N, ta có: 0, , , ; , , ,101  , nnnnlimx xx u uuF x u    ,hơn nữa, nếu x,u là điểm liên tục của phiếm hàm F x u , thì , 

 0, , , ; , , ,101  , nnnnlimx xx u uuF x u    .

Trang 14

 0, ,  0, ; 0 0 , , 1 0, , 1,

nxxnnxxnxnxxn

         

Khi đó chiến lược v được xác định bởi dãy



uk kx0, , xk ;k 0,1,v :=

là chiến lược tối ưu, còn đại lượng

000000inf ,uS    x u p dx 

là giá tối ưu.

Tiếp theo, ta trình bày một số khái niệm và kết quả đã có đối với qtrình ngẫu nhiên điều khiển được dạng Markov.

1.1.3 Xích Markov điều khiển được

Giả thiết rằng, đối tượng điều khiển được cho dưới dạng 0, , ,11; , , ,011 1, , 1

kkkkkkkk

p A x x  x  u u  u  P x  A u  (1.8) (với AkU ;k 1,2,)

1.1.3.1 Định nghĩa

Đối tượng điều khiển xác định bởi công thức (1.8) được gọi là đối tượngđiều khiển dạng Markov, còn q trình điều khiển được tương ứng gọi là xíchMarkov điều khiển được.

Trạng thái đầu x0 là đại lượng ngẫu nhiên với phân phối xác suất



00

p dx Do đó đối tượng điều khiển dạng Markov được hiểu như đối tượng

điều khiển x0   Độ đo x0 u

Trang 15

01210, 1, 021, 2, 11, , 1kxkkkkAAAC uP x dx uP x dx uP xdx u      (1.9)Trong đó C  x x: 1A1, , xkAk; AkU , k 1,2,

Từ cơng thức (1.9), xích Markov điều khiển được có xác suất chuyển của

bước thứ k là P xk k1,A uk, k1; k 1,2,

Khi đó xác suất chuyển sau m n ( m n ) bước được xác định như sau

112121121211, , , , , , , , , , , ,nnnnnnnmmmmmmmP n x m A uPx dxu PxdxuPxdxuP xA u   

Trong mục này, ta xét xích Markov điều khiển được với giá F x u có , 

dạng lũy tiến sau đây:

100, kii, ikk, k kiF x u   g x uf x u      (1.10) (Với 101i)Trong đó  g x u n n , , 0,1, và  f x u n n , , 0,1, là các dãy hàmU B - đo được; g x un ,    0, n 0,1,

Ta xây dựng dãy hàm F x u m m , ; 0,1, theo phương pháp sau:

1, , , kmiiikkkk m i mF x ug x uf x u     Đặt: 11, 1 inf , 11; 11 ; 1,2,mxmumEFmmxmmumm            v    v M

Trang 16

(8i) Điều kiện 8: X là không gian metric đủ, khả li; U là  - đại sốcủa các tập Borel; U là không gian compact với  - đại số của các tập Borel

trong B

(9i) Điều kiện 9: Hàm f y P x dy u  m , ,  liên tục và bị chặn trên

X U , m1,2, ,  fCx.

(10i) Điều kiện 10: Các hàm ,f g k kk; 0,1, , được xác định trongcông thức (1.10) là các hàm không âm, nửa liên tục dưới; gk 0, k 0,1, ;

tích 0,kkkkg x u hội tụ trên XN UN.

Kết quả về phương pháp xây dựng chiến lược tối ưu; tìm giá tối ưu đượckhẳng định trong định lý sau:

1.1.3.2 Định lý

Giả sử xích Markov điều khiển được thỏa mãn điều kiện (8i) và điềukiện (9i), còn giá F x u được xác định bởi công thức (1.10) và thỏa mãn , 

điều kiện (10i) Khi đó ta có:

(A) Tồn tại dãy hàm mx u,  (m 0,1, ), đồng thời thỏa mãn:+ mx u,  là hàm nửa liên tục dưới với mọi m 0,1,

Trang 17

11111,inf , , , , , mmmmmmmmmmmmmmmmmuxufx ugx ux uP xdx u   

(B) Tồn tại dãy hàm Borel m x (m 0,1, ), sao cho:

   inf , , ,, , , mmmummmmmmfx ugx ux ufxxgxxxx       

Khi đó chiến lược v được xác định bởi dãy





: mmm ; 0,1,

v  u  xm 

là chiến lược tối ưu.

(C) Giá tối ưu S x của điều khiển với điều kiện     ( x là trạng thái0 x

đầu), được xác định bởi công thức

  inf 0 ,  0 ,  0 , 

u

S x   f x u g x u  x u 

1.2.Một số khái niệm trong tài chính

Trong luận văn có đề cập đến các thị trường tài chính quan trọng: đó làthị trường cổ phiếu, thị trường trái phiếu và thị trường các quyền lựa chọn.

Vậy thế nào là cổ phiếu, trái phiếu và quyền lựa chọn?

1.2.1 Định nghĩa

Trái phiếu là một loại hợp đồng dài hạn được phát hành bởi chính phủ,

Trang 18

Từ đây về sau, ta sẽ coi trái phiếu là một loại tài sản không rủi ro, với lãisuất cố định r  Giá của trái phiếu tại thời điểm 0 t  được mô tả bởi0phương trình động học như sau:

tt

dB rB dt

1.2.2 Định nghĩa

Cổ phiếu là loại chứng từ có kỳ hạn được phát hành bởi các cơng ty

nhằm tích lũy vốn Giá của một loại cổ phiếu được xác định như giá trị hiệnhành của thị trường vốn, cũng như hoạt động sản xuất tương ứng của công ty.

Cổ phiếu được coi như một loại tài sản rủi ro, với lãi suất cố định   ,0và biến động   Giá của cổ phiếu chính là chuyển động Brown hình học,0tại thời điểm t  được cho bởi phương trình động học:0



ttt

dS S dtdW

trong đó W t  là chuyển động Brown tiêu chuẩn trên không gian xáct, 0

suất lọc  F F, ,( )t t0,P

với W  (h.c.c).0 0

1.2.3 Định nghĩa

Quyền lựa chọn là một loại chứng từ có giá trị, mà người sở hữu nó có

quyền mua hoặc bán một tài sản nào đấy (ví dụ cổ phần của một cơng ty) theocác điều khoản đã ghi trên hợp đồng.

Trang 19

+ Quyền lựa chọn loại Châu Mỹ cho phép người sở hữu có quyền muahoặc bán nhưng khơng bị bắt buộc tại thời điểm bất kỳ trước một thời hạnnhất định nào đấy.

Một quyền lựa chọn bất kỳ còn được chia làm hai loại: quyền lựa chọnmua và quyền lựa chọn bán.

+ Quyền lựa chọn mua cho phép người sở hữu nó mua một loại tài sảnnào đấy (cổ phiếu hoặc trái phiếu )

+ Quyền lựa chọn bán cho phép người sở hữu nó bán một loại tài sản nàođấy (cổ phiếu hoặc trái phiếu…)

1.2.4 Nhận xét

Gọi T là thời điểm đáo hạn, K là giá của một loại cổ phiếu đã đượcđịnh trước tại T ( K còn được gọi là giá thực thi).

(*) Xét quyền lựa chọn mua: Đó là hợp đồng cho phép người giữ hợp

đồng tại thời điểm T , mua một loại cổ phiếu với giá K Giả sử quá trình giá

của cổ phiếu là S , 0 t Tt  

+ Nếu ST K , sau khi mua cổ phiếu tại thời điểm T , người ta cóthể bán ngay và thu một khoản ST  K.

+ Nếu ST  , người ta sẽ khơng mua cổ phiếu đó, vì khơng thuK

được lợi ích gì.

Vậy, lợi ích của người giữ hợp đồng về quyền lựa chọn mua là:



max ST  K,0 : ST  K 

Trang 20

1.2.5 Thí dụ

Xét họat động của một cơng ty tài chính trong khoảng thời gian 0,T ,

giả sử tại thời điểm t  , cơng ty có vốn ban đầu là 0 z Vấn đề đặt ra là hãy0

lên một kế hoạch phân bổ đầu tư và chi tiêu thế nào trong thời gian đó để đạthiệu quả tối ưu.

Giả sử trong môi trường buôn bán với thời gian liên tục, gọi Z là tổngtsở hữu của công ty tại thời điểm t (bao gồm cả tài sản rủi ro và tài sản không

rủi ro) Mong muốn của cơng ty là tìm được một chiến lược đầu tư – tiêudùng sao cho đạt cực đại giá trị lợi ích tổng cộng trong thời gian 0,T Giả

sử giá trị lợi ích tổng cộng được cho bởi:

0,TtTE F t C dt  Z   

Với F t C là lợi ích tức thời mang lại khi đã chi một khoản tiền  , t Ct

(chẳng hạn để mua sắm thiết bị), còn ZT là giá trị lợi ích đem lại do sốtiền mà cơng ty cịn sở hữu tại điểm cuối t T .

Có thể có một số các hạn chế nào đó như C  , hay tổng sở hữu củat 0

công ty là khơng âm Z  , Vì vậy bài toán tối ưu sẽ được đưa về:t 0

,0max ,TtTC ZE F t C dt  Z   

(Với phương trình động học cho bởi Z và một số các điều kiện hạn chết

Trang 21

Trong chương 2 - chương chính của luận văn, các kết quả được viết mộtcách chi tiết và cụ thể hơn

Trong đó ta ln ln ký hiệu:

:

t

X  Giá trị đầu tư vào trái phiếu.

:

t

Y  Giá trị đầu tư vào cổ phiếu.

:

t

y  Số lượng cổ phiếu nắm giữ.

Ta có mối liên hệ:

.

ttt

Trang 22

CHƯƠNG 2

ĐIỀU KHIỂN NGẪU NHIÊN TRONG ĐẦU TƯ VÀBẢO HỘ TỐI ƯU

2.1 Đầu tư và tiêu dùng tối ưu trong mơ hình có chi phí giaodịch

2.1.1 Mở đầu

Các quyết định đầu tư và tiêu dùng của nhà đầu tư bao gồm ba q trìnhkhơng âm , ,C L M tương thích trong khơng gian xác suất có lọc ( )Ft t0,

 t t 0CC, L  Lt t 0, M Mtt 0 Trong đó:

+ :C khả tích trên mỗi khoảng thời gian hữu hạn.

+ , L M không giảm, liên tục phải, có giới hạn trái.:

+ C : là phần tiêu dùng của nhà đầu tư (được lấy ra từ lãi suất của tráit

phiếu); L (tương ứng tM ) biểu diễn giá trị tích luỹ của cổ phiếu đã muat

(tương ứng: đã bán) trong khoảng thời gian 0,t , 0 t T  

+ 0  và 0 1   là hệ số chi phí mà nhà đầu tư phải trả cho việc 1giao dịch khi mua, bán cổ phiếu trên thị trường.

Như vậy, vị thế của nhà đầu tư được biểu diễn qua véc tơ hai chiều

X Y thoả mãn hệ động lực sau:t, t

1 1 

ttttt

Trang 23

tttttt

dY Y dtY dW dL  dM (2.1b)

Ở đây, được hiểu: Khi mua vào (tương ứng khi bán ra) dL (tương ứng dM ) giá trị cổ phiếu, ta sẽ phải mất một khoản dL (tương ứng dM ) gọi là lệ phígiao dịch.

Gọi Z là tổng sở hữu của nhà đầu tư, tZ được xác định như sau:t

tt1 neu Y 01 neu Y 0tttttXYZXY    

Giả sử tại một thời điểm bất kỳ, nhà đầu tư đều có khả năng thanh tốn(tức là Z  ) Khi đó vị thế của nhà đầu tư buộc phải nằm trong vùng có khảt 0

năng thanh tốn D Với D là tập lồi, đóng, bị chặn bởi các đường biên:

 x y x, : 0,y 0 và x+ 1+ y 0  D     , x y x, : 0,y 0 và x+ 1- y 0  D     .t x y , , :

A lớp các chiến lược chấp nhận được, sao cho:

X Yt, t  x y, , thoả mãn X Ys, sD, s t T,  (tương đương



0, ,

s

Z   st T ).

Tại thời điểm t , hàm giá được xác định như sau:

1   2( , , ) Ts tsT tTt , t ,tJ t x y E e U C ds e  U ZX x Y y  

Với:   là hệ số chiết khấu.0

1

Trang 24

Giả sử rằng: U là khả vi và tồn tại hàm nghịch đảo 1 U11 Ở đây U ,12

U thường được chọn từ lớp hàm HARA (ký hiệu H).

2.1.1.1 Định nghĩa

Hàm U được gọi là thuộc lớp hàm HARA (U H ) nếu và chỉ nếu U có

dạng:  neu 0 <1log neu =0cU cc (2.2)

Với hệ số  cho bởi:

   1cU cU c  

Hàm giá tối ưu sẽ được cho bởi công thức sau:

 , ,, ,, , sup , ,C L Mt x yV t x yJ t x yA (2.3)

2.1.2 Bài tốn Merton trong trường hợp khơng có chi phí giao dịch

Trước khi giải quyết vấn đề chung (có chi phí giao dịch), ta xét trườnghợp khơng có chi phí giao dịch (tức là   ) được giải quyết bởi Merton 0(1969).

2.1.2.1 Phát biểu bài tốn

Trong mơ hình lý tưởng hóa (khơng có chi phí giao dịch), chiến lược tốiưu của nhà đầu tư là:

+ Đầu tư một tỷ lệ hằng số p (tỷ lệ Merton) vào cổ phiếu so với tổng sở

Trang 25

+ Tiêu dùng trong phần lãi suất thu được, với tiêu dùng tốt nhất C t*

Giải quyết bài toán

Khi khơng có chi phí giao dịch, tổng sở hữu của nhà đầu tư là:

tttZ X Y Đặt : ttttYXY  

 tỷ lệ đầu tư vào cổ phiếu.

Với    các phương trình (2.1a) và (2.1b), trở thành: 0



ttttt

dX  rX  C dt dL dM ,

tttttt

dY Y dtY dW dL  dM

Ta có mối liên hệ: Yt   Khi đó:tZt





ttt ttt tt

dZ  rZ    r  Z  C dt Z dW (2.4)

Với z x y  , hàm giá tối ưu được biểu diễn như sau:

1   2, ,,, sup Ts tT tsTtC L Mt ztV t zEe  U C ds e  U ZZz       At z, 

A : lớp các chiến lược chấp nhận được C  , sao cho:, 

0,

s

Z     t s T

Phương trình Bellman cho hàm giá tối ưu là:

Trang 26

2 2 222 ( )2zrzr z Czz       L.

Phương trình (2.5) đạt cực đại tại

112( ) ( )( )zzzzCUVVrVz  

Sau đó thay ,C  vào phương trình (2.5), ta được phương trình vi phân

đạo hàm riêng sau:

  22**1222 02rV zVVrz CU CVtV zt            (2.6)Ở đó: **  11( , ) z ,C C t z  U  V t z

Merton đã đưa ra các kết quả sau:

    222121; ;11 2 1 1,2 ; 1; 1 1ic t TirrpcrcC tice                      (2.7)Nếu U có dạng (2.2) (tức là 1 U1H), thì   11*11 z ( )zC  U  V V 

Trang 27

Ngoài ra, cho i  hoặc 2 (tương ứng 1 U  hoặc 2 0 U2H ) Hàm giá tốiưu sẽ có kết quả:1i( ) neu 0 <1;( , )1a ( ) log ( ) neu =0.( )iiizC tV t ztC t zC t Với:   2 2    2 1 12t Tiira tr  e t T                  Do   : Khi 0   0  V t z  ; , 

Khi 0 : điều kiện cần và đủ để 1 V t z   là: , 

222 1rr     2.1.2.2 Nhận xét

Kết quả tương ứng đối với hàm lợi ích U và 1 U được đưa ra bởi Cox2

và Huang (1989), những người đã sử dụng kỹ thuật martigale thay chonguyên lý quy hoạch động thông thường Việc sử dụng độ đo martigale tươngđương khiến sai phân trong lãi suất cố định của tài sản sẽ mất đi Bằngphương pháp xấp xỉ martigale ta sẽ tìm được chiến lược tối ưu bằng cách giảiphương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính (thay cho phi tuyến), đây cũnglà cơng trình nghiên cứu của Karatzas, Lehocky và Shreve.

Trang 28

tiêu dùng khơng phải lúc nào cũng có sẵn một cách tổng quát, thậm chí vớicác hàm lợi ích thuộc lớp HARA Một cách tiếp cận bài toán chính là ứngdụng thuật tốn quy hoạch động với thời gian rời rạc với xích Markov xấp xỉphù hợp, đối với quá trình điều khiển được Sự xấp xỉ này dựa trên cơ sở sựhội tụ yếu của độ đo xác suất Chú ý rằng: bài toán đầu tư và tiêu dùng tối ưusẽ được đề cập đến cả ở điều khiển riêng rẽ (sự điều chỉnh phương án đầu tư)và điều khiển liên tục (quyết định tiêu dùng).

Trước khi giải quyết bài tốn với chi phí giao dịch, ta sẽ tìm hiểu một sốkhái niệm sau đây:

2.1.3.1 Định nghĩa

Hàm V được gọi là hàm vị tự (bậc s ) theo 2 biến x y Nếu:, 

0  : V t x y , ,  sV t x y , ,  Với  0, ta có: V t x y , ,   1 1 et T et T log V t x y , ,             2.1.3.2 Nhận xét

Áp dụng tính vị tự của hàm V , ta có thể đưa phương trình nhiều biến về

phương trình ít biến hơn bằng cách đặt t x,  V t x , ,1

 V t x y, , V t y, x, 1yy V ts , ,1xyst, xyy  y                    Đặt xz

y  Khi đó hàm với 3 biến , ,t x y được đưa về hàm chỉ còn 2 biến

là: ,t z

Trang 29

Với sự xuất hiện của chi phí giao dịch, hãy tìm chiến lược đầu tư và tiêudùng tối ưu để lợi ích của nhà đầu tư là lớn nhất.

Giải quyết bài toán

Giả sử, hạn chế của L và M là liên tục tuyệt đối, và đạo hàm của nó bịchặn bởi k Tức là:00; 0 , tttstsssL l dsM m ds lm   k (2.8)Tương tự với phần trước, phương trình Bellman cho hàm giá tối ưu là:

 1 , ,max , , , , 0C l mV t x yU CV t x yt          L (2.9)Với giả thiết tại điểm cuối:

22( (1 ) ) neu y 0;( , , )( (1 ) ) neu y < 0.U xyV T x yU xy   

và L là tốn tử vi phân của phương trình (2.1a) và (2.1b):

2222 ( ) (1 ) (1 )2yrx Cylmyxyyxxy                                L(2.10)Giá trị lớn nhất của phương trình (2.9) đạt được khi:

 1' 1 x ;C U  V  1  ;yxVVl k  I Vy 1 Vxm k  I

Trang 30

+ vùng không giao dịch: N 

Sự chuyển tiếp tức thời từ vùng mua cổ phiếu B tới biên mua B hoặc

từ vùng bán cổ phiếu S tới biên bán S xảy ra khi cho k   Sự di chuyển

của phương án đầu tư sẽ song song với D hoặc D (tức là, với hướng

 11, 1   T  hoặc  11, 1    T

, (ở đây :T kí hiệu chuyển vị).Thật vậy:, 1 , voi t, x, y, ,, 1 , voi t, x, y V t xy yyV t x yV t xy yy           SBCho  y 0, ta có: , ,  1  , , , t, x, y yxV t x y    V t x y  S (2.11a) , ,  1  , , , t, x, y yxV t x y   V t x y  B (2.11b)

Trong vùng không giao dịch N  l = m = 0 Khi đó hàm giá tối ưuthoả mãn (2.9) dẫn tới phương trình vi phân đạo hàm riêng sau:

 2 22**12 0, t, x, y 2VyVVVrx CyU CVtyxy               N(2.11c)với C* C t x y* , ,   U1' 1V t x yx , , .

Trang 31

liên tục), ta có các xấp xỉ sau đây đối với các đạo hàm trong phương trình(2.11c): , ,  , ,  , , tV tx yV t x yV t x y  , , , ,ˆ ne u 0,, ,, , , ,ˆ ne u 0,xV txyV tx yrx CV t x yV tx yV txyrx C                 (2.12), , , ,ˆ ne u y 0,, ,, , , ,ˆ ne u y 0,yV tx yV tx yV t x yV tx yV tx y               , ,  , ,  2, ,  2  , , .yyV tx yV tx yV tx yVt x y           *

C trong (2.11c) chính là điều khiển tối ưu, ta thu được phương trình đệ

quy lùi (qui nạp lùi) sau đối với bước tiêu dùng:

 01,, , max , , , ,Cx yV t x ye  p x y x y V tx yU C              (2.13)ở đó duy nhất 5 xác suất chuyển sau là không bằng không.

Trang 32

Phương trình (2.13) trở thành phương trình sai phân, với

0, ,2 , , 

t T=   N với  TN , và x y  lưới ,  X Y tạo nên bội số của



Thật vậy, cho  ta sẽ chọn  sao cho p x y x y  , ,  0.Đặt 1 max,xCArx C X và A2 maxyyY 12 1 1 4 2  12 2 2 AAA A              

Thực hiện tương tự, các phương trình (2.11a) và (2.11b) cho quan hệtương ứng đối với bước bán và bước mua (các điều khiển riêng rẽ)

 , ,  , ,  1   , , ,sV t x y V t x y     V t x y  , ,  1  , ,  , ,  1bV t x y V t x  yV t x  y       

Ở đó tại mỗi bước chỉ có thể xảy ra mua, hoặc bán hoặc khơng giao dịch,phương trình quy hoạch động đối với hàm giá tối ưu với thời gian hữu hạn(thời gian rời rạc) được cho bởi:

 , ,  ax 0 , , , s , , , b , , ,

V t x y mV t x y V t x y V t x y

với điều kiện tại điểm cuối:

22ˆ1 ne u 0, ,ˆ1 ne u 0U xyyV T x yU xyy     

Với lưới  T X Y , cho xấp xỉ tốt đối với hàm giá tối ưu V t x y và , , 

với các vùng giao dịch:

Trang 33

t x y , ,  B nếu V t x y , ,  V t x yb , , 

Khi U , 1 U có dạng (2.2) (tức là 2 U U1, 2H), thì V là hàm lõm và vị tự

theo 2 biến x y Khi đó cho ,    , áp dụng tính vị tự của hàm ta có:0

 , ,  , , V t x y V t x y   nếu 0  ; 1 , ,   1 1 t T t T log  , , V t x ye e V t x y            nếu   0

Do V là hàm vị tự theo hai biến x và y , nên nếu phương trình (2.11a)

thoả mãn với t x y, ,   phương trình (2.11b) thoả mãn với S, t x y , ,  Bthì nó cũng thoả mãn với t x y, ,  với   Như vậy, có thể phỏng đốn0rằng: những đường biên giữa vùng giao dịch và vùng không giao dịch lànhững đường thẳng, với mỗi t0,T

Ngoài ra, với 0  , thay  1  

1*1xC V  vào phương trình 2 22**12 0;2 , ,VyVVVrx CyU CVtyxyt x y             N Ta có:2 22 1210,2 , ,VyVVVVrxyVtyxyxt x y                     N (2.14)

Trang 34

Thật vậy, đặt t x,  V t x , ,1 V t x y , ,  yt, x

y



      

 

Khi đó, ta đưa vào các hàm có ký hiệu là: A t* , A t và* 1  x t*  x t* 

Trang 35

2

3

2

b 

Việc giải bài tốn là vơ cùng phức tạp Vì vậy, trong luận văn này chúngta chỉ đưa về trường hợp đơn giản hơn, đó là: đưa về hàm  với các điều kiệnbiên x t , *  x t Một số kết quả trong luận văn được công nhận và rút ra từ* 

những nghiên cứu trước đó của các nhà tốn học

Cơng trình nghiên cứu của các nhà tốn học Lim và Lai (2002) có trìnhbày một cách cụ thể và chi tiết hơn.

Kết quả bài toán

Với các hàm lợi ích lớp HARA, chiến lược tối ưu của bài toán đầu tư vàtiêu dùng có kể đến chi phí giao dịch với hàm giá tối ưu



, ,

, , sup ( , , )

C L M

V t x y  J t x y

được cho bởi bội ba C L M*, ,**

, trong đó:11* , t ,ttxtXCYtY         ***0 0,ssttXsx sYL  dLtTI  ***0 ssttXsx sYM  dMI

Với chi phí giao dịch, hệ quả của bài toán Merton như sau: Nhà đầu tưcố gắng duy trì một cách tốt nhất tỷ lệ đầu tư vào cổ phiếu ở khoảng giữa:

Trang 36

2.1.3.4 Nhận xét

Bài toán đầu tư và tiêu dùng tối ưu có thể được mở rộng trong trườnghợp có nhiều hơn một cổ phiếu Áp dụng nguyên tắc quy hoạch động ta sẽ tìmđược phương trình Bellman, nhưng việc tính tốn sau đó thì vơ cùng phức

tạp Theo quan điểm của Magill và Constantinides (1976) cứ m cổ phiếu sẽ

dẫn tới 3m khả năng phân hoạch trong vùng có khả năng thanh tốn (Ví dụ cứ5 cổ phiếu, sẽ có tới 35 250 phân hoạch; hay 10 cổ phiếu, sẽ có tới

10

3 60000 phân hoạch) Khi giá cổ phiếu là chuyển động Brown hình học,Magill (1976) đã thiết lập định lý quỹ tương hỗ để đơn giản hóa bài tốn đầutư và tiêu dùng tối ưu về trường hợp chỉ có 1 trái phiếu và 1 cổ phiếu.

2.1.4 Chiến lược dừng với trường hợp thời gian vơ hạn

2.1.4.1 Nhận xét

Bài tốn đầu tư và tiêu dùng tối ưu với thời gian vơ hạn chính là giới hạncủa bài tốn trong trường hợp thời gian hữu hạn (ở 2 phần trước), bằng cáchthiết lập t  và cho T   0

2.1.4.2 Xét bài tốn

Với thời gian vơ hạn, hãy tìm chiến lược đầu tư và tiêu dùng tối ưu(trong trường hợp có chi phí giao dịch và khơng có chi phí giao dịch).

Giải quyết bài tốn

Hàm giá tối ưu với thời gian vô hạn được cho bởi công thức:

Trang 37

x y , :

A tập tất cả các chiến lược chấp nhận được C L M , sao cho, , với vị thế ban đầu x y ,  D thì X Yt, tD ,  t 0 (h.c.c)

Ta có phương trình Bellman đối với hàm giá tối ưu V x y là: , 

 

C,L,MmaxLV x y, U C  V x y,  0L là toán tử vi phân của phương trình (2.1a) và (2.1b)

2 222 1 1 2yrx Cylmxyyxxyy                               L =Tương tự, ta có: ,  1  , yxV x y    V x y với x y ,  S , ,  1  , yxV x y   V x y với x y ,  B

Với x y ,  N , l m  , phương trình Bellman trên sẽ dẫn tới:0

 2 22**2 - 0,2yVVVrx CyU CVxyy         x y ,  N

Áp dụng phương pháp xấp xỉ sai phân hữu hạn,

Trang 38

Một cách hoàn tồn tương tự ta có: 2 220,, max , , , ,yCx yVx yep x y x y V x yU C             (2.18)với ;   rx C  y và: , ,  ,p x  y x yrx C    , ,  p x y  x y y  

Tương tự phần 2.1.3, ta có phương trình quy hoạch động là:

 ,  max 0 , , s , , b ,  ,V x y  Vx y V x y Vx y (2.19)Với: ,  ,  1   , sV x y V x y     V x y  ,  1  1  ,  , bVx y     V x  y V x  y 

Từ phương trình (2.19), hàm giá tối ưu V x y đạt được khi  , x y, 

thuộc vào vùng N , hoặc S , hoặc B

Ta chỉ xét U thuộc lớp HARA (hay U H ) để đơn giản hố phươngtrình quy hoạch động.

 Xét trường hợp khơng có chi phí giao dịch (   ) 0

Tương tự phần (2.1.2), ta có phương trình Bellman cho hàm giá tối ưuvới thời gian vô hạn là:

Trang 39

(Vì     1,2 1 1; 2 11ic t TicC tice        )

Tỷ lệ đầu tư và tiêu dùng tối ưu là:

* ; * , 0tp CtcZtt    Với 1  2rp   và 2211 2 1rc  r             

Cho T   , hàm giá tối ưu V z cho bởi:  1222ˆ ne u 0 11 1 ˆlog ne u =0.2zcV zrrz                (do 0  c )

 Xét trường hợp có chi phí giao dịch ( ,   )0

Do V là hàm lõm và vị tự, với 0  ta có thể đưa bài tốn về trường 1hợp đơn giản hơn đó là giải phương trình vi phân thơng thường Thật vậy, bàitốn điều khiển sẽ được giải, nếu tìm:

+ Hàm  ,

+ các hằng số  x* x*   1 ,+ A A*, *

sao cho thoả mãn:

 x 1A x* 1 

Trang 40

và 2 123 2 2 1 1 0;b xb xbxxx               **,xx x  (Với 211;2b      b2 21   r ,23 2b )

Tương tự, tỷ lệ đầu tư tối ưu p sẽ: *  p *Với *  1 x*1; *  1 x*1

Shever, Soner và Xu (1991) đã đưa ra kết quả:

Với    222 11 1rrr                V x y ,     Để tìm ra các hằng số x , **x , A , **A và hàm  :

+ Đầu tiên ta sẽ áp dụng nguyên lý tựa trơn (nhớt) đối với hàm   tại

*

x và *

x để giải A và **

A (A , **

A lần lượt phụ thuộc vào x và **

x )

+ Tiếp đến, bằng cách đổi biến số ta sẽ đưa phương trình:

2123 2 2110;b xb xbxxx                2.15 c về cặp phương trình cấp 1.  1 2  3 2 Q fbb f 1  b f       1  32 3 2bR fbb f b f   