Tổng hợp 20 phương pháp vận dụng cao chủ đề số phức Toán 12, dùng để luyện thi THPT điểm cao, đại học, cao đẳng. Tài liệu hay về số phức để học sinh ôn tập chuẩn bị cho kỳ thi 2024. Chúc bác bạn đạt kết quả cao với tài liệu này.
HỒNG XN NHÀN GIÁO VIÊN TỐN TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN TH-THCS-THPT LÊ THÁNH TÔNG 20 KĨ THUẬT VẬN DỤNG CAO SỐ PHỨC MỤC LỤC TÓM TẮT KIẾN THỨC TRỌNG YẾU Trang 01 CHỦ ĐỀ 01 SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN Trang 09 Dạng Tính toán, rút gọn số phức dựa vào qui luật dãy số Trang 09 Dạng Lập phương trình, hệ phương trình xác định số phức Trang 12 Dạng Phương pháp lấy mô-đun hai vế đẳng thức Trang 15 Dạng Phương pháp tạo số phức liên hợp Trang 17 Dạng Phương pháp chuẩn hóa số phức Trang 21 Bài tập trắc nghiệm thực hành chủ đề Trang 24 Hướng dẫn giải tập trắc nghiệm chủ đề Trang 28 CHỦ ĐỀ 02 PHƯƠNG TRÌNH SỐ PHỨC Trang 42 Tóm tắt lí thuyết Trang 42 Dạng Giải phương trình số phức bậc hai, bậc ba, bậc bốn Trang 45 Dạng Phương trình số phức có chứa tham số Trang 51 Bài tập trắc nghiệm thực hành chủ đề Trang 57 Hướng dẫn giải tập trắc nghiệm chủ đề Trang 60 CHỦ ĐỀ 03 MAX-MIN MÔ ĐUN SỐ PHỨC Trang 72 Tóm tắt lí thuyết Trang 72 Dạng Số phức có điểm biểu diễn thuộc đường Trang 76 Dạng Điều kiện ba điểm thẳng hàng kĩ thuật đối xứng Trang 83 Dạng Dùng miền nghiệm tìm Max-min mơ-đun số phức Trang 90 Dạng Ép điểm theo quỹ đạo đường tròn Trang 92 Dạng Tạo cụm liên hợp chéo Trang 96 Dạng Sử dụng tâm tỉ cự Trang 98 Dạng Tạo tam giác đồng dạng tam giác Trang 105 Dạng Biện luận tương giao đường thẳng đường tròn Trang 109 Dạng Bất đẳng thức tam giác Trang 112 Dạng 10 Bất đẳng thức Mincowski kĩ thuật cân hệ số Trang 116 Dạng 11 Bất đẳng thức Cauchy Schwarz Trang 120 Dạng 12 Kĩ thuật đổi biến khảo sát hàm số Trang 123 Dạng 13 Phương pháp lượng giác hóa số phức Trang 126 Bài tập trắc nghiệm thực hành chủ đề Trang 129 Hướng dẫn giải tập trắc nghiệm chủ đề Trang 132 HỒNG XN NHÀN PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TỐN 12 20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC A – TÓM TẮT LÍ THUYẾT: I SỐ PHỨC VÀ CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN: Khái niệm số phức: Số phức z biểu thức có dạng z = a + bi với a, b R, i = −1 Trong đó: a , b gọi phần thực phần ảo z, i đơn vị ảo Tập hợp số phức kí hiệu • • • với = a + bi a, b , i = −1 Ta thấy Nếu a = z = bi gọi số ảo Nếu b = z = a gọi số thực Nếu a = b = z = vừa số thực, vừa số ảo Ví dụ 1: Cho số phức z = − 2i Tìm phần thực phần ảo z Hướng dẫn giải: Số phức z có phần thực a = , phần ảo b = −2 Ví dụ 2: Cho số phức z = ( 2m + 1) + i ( n − 1) với m, n Tìm m để z số ảo; tìm m để z số thực; tìm m để z vừa số thực, vừa số ảo Hướng dẫn giải: Số phức z có phần thực a = 2m + 1, phần ảo b = n − z số ảo a = 2m + = m = − ; z số thực b = n −1 = n = a = m = − z vừa số thực, vừa số ảo b = n = Số phức hình học: a) Điểm biểu diễn số phức: Cho số phức z = a + bi , điểm M ( a; b ) điểm biểu diễn z mặt phẳng phức, hay mặt phẳng ( Oxy ) HOÀNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12 20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC b) Môđun số phức: Cho số phức z = a + bi với điểm biểu diễn M ( a; b ) , mơ-đun số phức z là: z = OM = OM = a + b hay z = a + bi = a + b Ví dụ 3: Tìm tọa độ điểm M tính độ dài OM biết M điểm biểu diễn số phức z = − 3i mặt phẳng ( Oxy ) Hướng dẫn giải: Ta có: M ( 4; −3) OM = z = − 3i = 42 + ( −3) = Số phức liên hợp: Cho số phức z = a + bi , kí hiệu z = a − bi gọi số phức liên hợp z ❑ Một số tính chất: • z = z z = z • Trên mặt phẳng ( Oxy ) , điểm biểu diễn hai số phức z z đối xứng qua trục hồnh Ví dụ 4: Tính tổng phần thực phần ảo số phức z biết số phức liên hợp z = + 6i Hướng dẫn giải: Gọi z = a + bi ( a, b ) Ta có: z = − 6i a = 4, b = −6 a + b = −2 Hai số phức nhau: Hai số phức phần thực phần ảo chúng tương ứng a = c Ta có: a + bi = c + di a + bi = a = b = b = d Ví dụ 5: Tìm cặp số thực ( x; y ) thỏa mãn hệ thức x − y + 2i = x − + ( y + x + 1) i Hướng dẫn giải: x − y = 2x −1 x + y = x = Ta có: x − y + i = x − + y + x + 1 i = y + x + x + y = y = b c a d II CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC: Phép cộng, phép trừ, phép nhân số phức: Cho số phức z = a + bi, w = c + di Ta có: z + w = ( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d ) i; z − w = ( a + bi ) − ( c + di ) = ( a − c ) + ( b − d ) i; z.w = ( a + bi ) ( c + di ) = ac + adi + bci + bdi = ( ac − bd ) + ( ad + bc ) i Ví dụ 6: Thực phép tính sau: a) ( − 3i ) + ( − 4i ) 1 b) 1 + i − − 6i 2 HOÀNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12 20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC c) ( + 4i ) (1 − 4i ) d) ( − 3i ) + i + 2i + 3i Hướng dẫn giải: a) Ta có: ( − 3i ) + ( − 4i ) = ( + 3) + ( −3 − ) i = − 7i 1 1 3 15 b) Ta có: 1 + i − − 6i = 1 − + + i = + i 2 2 2 2 c) Ta có: ( + 4i ) (1 − 4i ) = − 8i + 4i − 16i = ( + 16 ) + ( − ) i = 18 − 4i d) Ta có: ( − 3i ) + i + 2i + 3i = 22 − 2.2.3i + ( 3i ) + i i + 2i i + 3i i i 2 = −12i − − i + + 3i = −3 −10i Tóm lại: Phép cộng, phép trừ, phép nhân số phức có tất tính chất phép cộng, phép trừ, phép nhân số thực; ta lưu ý i = −1 Các đẳng thức đáng nhớ: Cho số phức z, w, t , ta có: ( z w) = z zw + w2 ; ( z + w ) = z + 3z w + 3zw2 + w3 ; ( z − w ) = z − 3z w + 3zw2 − w3 3 z − w2 = ( z − w ) ( z + w ) ; z + w3 = ( z + w ) ( z − zw + w2 ) ; z − w3 = ( z − w ) ( z + zw + w2 ) z + w2 = ( z + w ) − zw = ( z − w ) + zw ; z + w3 = ( z + w ) − 3zw ( z + w ) (z + w+t) 2 = z + w2 + t + ( zw + wt + zt ) Đúc kết 1: Cho z = a + bi z hai số phức liên hợp, ta có: ▪ z + z = ( a + bi ) + ( a − bi ) hay z + z = 2a ; ▪ z.z = ( a + bi )( a − bi ) = a − b 2i = a + b hay z.z = z Ta nhận thấy tổng tích hai số phức liên hợp số thực Nhận xét: Với n thì: i n = 1, i n +1 = i, i n + = −1, i n +3 = −i Phép chia số phức cho số phức khác 0: Cho số phức z = a + bi w = c + di Ta có: z a + bi ( a + bi )( c − di ) ( ac + bd ) + ( bc − ad ) i z ac + bd bc − ad = = = = + i hay 2 w c + di ( c + di )( c − di ) c +d w c2 + d c2 + d Ví dụ 7: Tìm mơđun số phức z biết z = + 5i 1− i Hướng dẫn giải: + 5i ( + 5i )(1 + i ) + 3i + 5i + 5i −2 + 8i = = = = −1 + 4i Ta có: z = 1− i 1− i2 (1 − i )(1 + i ) Suy ra: z = −1 + 4i = 17 Đúc kết 2: Cho hai số phức z = a + bi w = c + di , ta có: HOÀNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12 20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC ▪ z.w = ( a + bi )( c + di ) = ( ac − bd ) + ( bc + ad ) i = ( ac − bd ) − ( bc + ad ) i ; z.w = ( a − bi )( c − di ) = ( ac − bd ) − ( bc + ad ) i Vậy z.w = z.w z a + bi ac + bd bc − ad ac + bd bc − ad ▪ = + i = − i ; = 2 c + d c2 + d c2 + d w c + di c + d z a − bi ( a − bi )( c + di ) ( ac + bd ) + ( ad − bc ) i ac + bd bc − ad z z = = = = − i Vậy = 2 2 c +d c +d c +d w c − di ( c − di )( c + di ) w w III CĂN BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI SỐ PHỨC: Căn bậc hai số phức: a) Căn bậc hai số thực âm: Cho số phức z = a + bi Khi b = 0, a z = a số thực âm, ta có z = a = − a = i a nên z có hai bậc hai là: i a = i −a Ví dụ 1: z = −9 = 9i có hai bậc hai 3i ; ( 3i ) = 9i = −9 Tương tự z = −15 = 15i 2 ( có hai bậc hai i 15 i 15 ) = 15i = −15 b) Căn bậc hai số phức: Cho số phức z = a + bi , w = x + yi gọi bậc hai z w = z Ta có: ( x + yi ) 2 x2 − y = a (*) = a + bi x − y + xyi = a + bi 2 xy = b 2 Giải hệ phương trình (*), ta hai cặp số thực ( x1 ; y1 ) , ( x2 ; y2 ) thỏa mãn đề Ta kết luận số phức z = a + bi có hai bậc hai x1 + y1i x2 + y2i Ví dụ 2: Tìm bậc hai số phức z = − 8i Hướng dẫn giải: Gọi w = x + yi ( x, y ) bậc hai z, ta có w2 = z ( x + yi ) = − 8i −4 2 x − = (1) x2 − y = 2 x x − y + xyi = − 8i 2 xy = −8 y = −4 x x = (n) Ta có: (1) x − x − 16 = x = −2 (l) x = 2, y = − Với x2 = Vậy z có hai bậc hai 2 − i −2 + i x = −2 2, y = 2 Phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai az + bz + c = (*) với a, b, c , a Xét: = b2 − 4ac HOÀNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12 20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC ▪ Nếu = phương trình (*) có hai nghiệm phức (cũng số thực) trùng b z1 = z2 = − 2a ▪ Nếu phương trình (*) có hai nghiệm phức (cũng số thực) phân biệt: z1,2 = ▪ Nếu phương trình (*) có hai nghiệm phức phân biệt: z1,2 = Nhận xét: • Nếu phương trình bậc hai với hệ số a, b, c −b 2a −b i − 2a có nghiệm số phức z1 , z2 ( ) hai nghiệm hai số phức liên hợp (tức z1 = z2 , z2 = z1 ) • Trên tập hợp số phức, phương trình bậc hai có hai nghiệm (khơng thiết phân biệt) • Tổng qt: Mọi phương bậc n (với n * ) có n nghiệm phức (khơng thiết phân biệt) Ví dụ 3: Giải phương trình sau tập số phức: x2 − x + = Hướng dẫn giải: Ta có: = ( −1) − 4.2.1 = −7 Do phương trình có hai nghiệm số phức là: −b + i − + i 7 −b − i − − i 7 = = + i ; x2 = = = − i 2a 2.2 4 2a 2.2 4 IV TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN CỦA SỐ PHỨC: Tập hợp điểm biểu diễn số phức liên quan đến đường thẳng: Xét số phức z = x + yi có điểm biểu diễn M ( x; y ) Khi đó: x1 = Nếu x, y thỏa mãn phương trình ax + by + c = (a + b2 0) ax + c = x = − c = m ( a 0) a by + c = y = − c = n (b 0) b Kết luận M thuộc đường thẳng có phương trình ax + by + c = M thuộc đường thẳng vng góc với Ox có phương trình x = m M thuộc đường thẳng vng góc với Oy có phương trình y = n x=0 M thuộc trục Oy y=0 M thuộc trục Ox ax + by + c (a + b ) M thuộc nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng với ax + by + c ; ax + by + c ; phương trình ax + by + c = ax + by + c Đặc biệt: Nếu MA = MB với A, B cố định M thuộc đường trung trực đoạn thẳng AB Tập hợp điểm biểu diễn số phức liên quan đến đường tròn: a) Đường tròn: Xét số phức z = x + yi có điểm biểu diễn M ( x; y ) Khi đó: HỒNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12 20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC Nếu x, y thỏa mãn phương trình ( x − a) + ( y − b) = R2 x2 + y − 2ax − 2by + c = Kết luận M thuộc đường trịn có tâm I ( a; b ) , bán kính R M thuộc đường trịn có tâm I ( a; b ) , bán kính R = a + b − c 0 b) Hình trịn: Xét số phức z = x + yi có điểm biểu diễn M ( x; y ) Khi đó: Nếu x, y thỏa mãn phương trình ( x − a) + ( y − b) R2 x2 + y − 2ax − 2by + c Kết luận M thuộc hình trịn có tâm I ( a; b ) , bán kính R M thuộc hình trịn có tâm I ( a; b ) , bán kính R = a + b − c 0 c) Phần đường trịn: Xét số phức z = x + yi có điểm biểu diễn M ( x; y ) Khi đó: Nếu x, y thỏa mãn phương trình ( x − a) + ( y − b) R2 Kết luận M thuộc phần đường trịn có tâm I ( a; b ) , bán kính R M thuộc phần đường trịn có tâm I ( a; b ) , bán kính x + y − 2ax − 2by + c 2 R = a + b2 − c 0 ( x − a) + ( y − b) R2 M thuộc phần ngồi đường trịn có tâm I ( a; b ) , bán kính R M thuộc phần ngồi đường trịn có tâm I ( a; b ) , bán kính x2 + y − 2ax − 2by + c R = a + b2 − c 0 Đặc biệt: Nếu z + a + bi = r ta nói tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn có tâm I ( −a; −b ) bán kính r Tập hợp điểm biểu diễn đường cong khác: Xét số phức z = x + yi có điểm biểu diễn M ( x; y ) Khi đó: Nếu x, y thỏa mãn phương trình Kết luận y = ax + bx + c ( a ) M thuộc parabol có phương trình y = ax + bx + c x = ay + by + c ( a ) M thuộc parabol có phương trình x = ay + by + c x2 y + =1 a b2 M thuộc elip có phương trình tắc ( a b 0) HOÀNG XUÂN NHÀN x2 y + =1 a b2 ZALO: 0969 34 33 44 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12 20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC Đặc biệt: Nếu z + a + bi + z + c + di = T F1F2 với F1 ( −a; −b ) , F2 ( −c; −d ) tập hợp điểm M elip có hai tiêu điểm F1 , F2 V ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC MÔ-ĐUN: Các đẳng thức mô-đun: Cho số phức z = a + bi, w = c + di có điểm biểu diễn M ( a; b ) , N ( c; d ) Ta có: ▪ z.w = z w ; ▪ z z = với w ; w w ▪ z + w = OM + ON = OE = 2OI = 2OI với E là đỉnh hình bình hành OMEN I trung điểm đoạn thẳng MN ▪ z − w = OM − ON = NM = MN Bất đẳng thức vectơ (bất đẳng thức tam giác): ▪ z + w z − w OM + ON OM − ON OE OM − ON OE OM − ME Dấu đẳng thức xảy OM ngược hướng với ON (hay z = k.w với k , k ) ▪ z − w z − w Bất đẳng thức chứng minh tương tự, dấu “=” xảy OM hướng với ON (hay z = k.w với k , k ) ▪ z + w z + w OM + ON OM + ON OE OM + ON OE OM + ME Dấu đẳng thức xảy OM hướng với ON (hay z = k.w với k ) Đúc kết: Cả ba bất đẳng thức xây dựng từ tính chất tam giác: ⎯ Với tam giác bất kỳ, tổng hai cạnh lớn cạnh thứ ba (hiệu hai cạnh nhỏ cạnh thứ ba ⎯ Với ba điểm tạo nên ba cạnh (có thể ba điểm thẳng hàng tạo thành tam giác), tổng hai cạnh không nhỏ cạnh thứ ba (hiệu hai cạnh không vượt cạnh thứ ba) Ví dụ 1: Cho hai số phức z, w có z = 10 w = −3 − 4i Biết z + w đạt giá trị nhỏ z = a + bi Tính a + b Hướng dẫn giải: Ta có: z + w z − w = 10 − = Do z + w = Dấu xảy z = k.w với k z = k ( −3 − 4i ) = −3k − 4ki Khi đó: z = ( −3k ) + ( −4k ) 2 = 10 k = 10 k = −2 ( k ) Vậy z = + 8i a = 6, b = a + b = 14 Bất đẳng thức AM-GM: ▪ a + b ab với a, b Đấu đẳng thức xảy a = b ▪ a + b + c 3 abc với a, b, c Đấu đẳng thức xảy a = b = c HOÀNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12 20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC ( − i ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức z Ví dụ 2: Cho hai số phức z, w thỏa mãn = 1+ i w T= z +w 2 Hướng dẫn giải: Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: T = z + w z w = z w 2 2 ( − i ) zw = + i − i = − i Suy zw = 49 + = z Ta lại có: = ( )( ) 1+ i w Vậy T z w T 10 Do Tmin = 10 Dấu đẳng thức xảy z = w Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: ▪ Cho cặp số ( a; x ) , ( b; y ) , ta có: ax + by Dấu đẳng thức xảy a b = x y (a + b )( x + y ) ( x y ) hay a x = ( b y ) b y ▪ Cho cặp số ( a; x ) , ( b; y ) , ( c; z ) , ta có: ax + by + cz Dấu đẳng thức xảy a b c = = x y z (a + b + c )( x + y + z ) ( x y.z ) Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn z − + i = , tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P = z +1 − z − + i 2 Hướng dẫn giải: Gọi z = x + yi ( x, y ) Theo giả thiết: z − + i = ( x − ) + ( y + 1) = (1) 2 2 2 Ta có: P = z + − z − + i = ( x + 1) + y − ( x − ) + ( y + 1) = x + − ( −4 x + + y + 1) = x − y − = ( x − ) − ( y + 1) + 10 Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwars, ta có: 2 ( x − ) − ( y + 1) ( 36 + ) ( x − ) + ( y + 1) = 40.4 = 10 =4 Suy −4 10 ( x − ) − ( y + 1) 10 10 − 10 ( x − ) − ( y + 1) + 10 10 + 10 P MaxP = 10 + 10 Ta có: 10 − 10 P 10 + 10 nên MinP = 10 − 10 x − y +1 = x + y + = (2) Dấu đẳng thức xảy −2 Giải hệ phương trình (1), (2) ta tìm số phức z1 , z2 thỏa mãn HOÀNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 135 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12 20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC ( ) Vì w − 2i = 2 nên N thuộc đường tròn tâm J 0; , bán kính R = 2 Ta có: z − w = MN I J − r − R = − − 2 = 2 hay z − w = 2 Dấu đẳng thức xảy I, M, N, J thẳng hàng theo thứ tự Ta có: 12 xM = IM 12 IM = IJ IM = IJ z0 = + i IJ 5 y = M xN = IN 12 IN = IJ IN = IJ w0 = + i IJ 5 y = 12 N Suy 3z0 − w0 = = Câu Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 z1 = z2 z2 Biết M , N điểm biểu diễn số phức z1 , z2 mặt phẳng tọa độ thỏa mãn tam giác MON có diện tích 32 , giá trị nhỏ z1 + z2 A B 12 D 16 C 12 Hướng dẫn giải: Chọn B 2 Ta có: z1 z1 = z2 z2 z1 z1 = z2 z2 z1 = z2 z1 = z2 Thay z1 = z2 vào z1 z1 = z2 z2 , ta có: z2 z1 = z2 z2 z1 = z2 z1 + z2 = 3z2 = z2 Gọi z1 = 2a + 2bi (a, b ) z2 = a + bi z2 = a − bi Vì M , N điểm biểu diễn số phức z1 , z2 nên M ( 2a ; 2b ) , N ( a ; − b ) Suy OM = ( 2a ; 2b ) , ON = ( a ; − b ) ; SOMN = 2a ( −b ) − 2b.a = ab = 32 ab = 16 Khi đó: z1 + z2 = z2 = a + b a.b = 12 a = b a = 4 Dấu đẳng thức xảy b = 4 ab = 16 Câu Gọi M điểm biểu diễn số phức z1 = a + ( a − a + ) i N điểm biểu diễn cho số phức z biết z2 − − i = z2 − − i Tìm khoảng cách ngắn hai điểm M , N A B C D Hướng dẫn giải: Chọn C HOÀNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 135 136 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12 20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC Ta có z1 = a + ( a − a + ) i M ( a ; a − a + ) Gọi z2 = x + yi, ( x; y ) Ta có z2 − − i = z2 − − i ( x − ) + ( y −1) = ( x − ) + ( y + 1) x − y − = Suy N thuộc đường thẳng d : x − y − = Khi MN = d ( M , d ) = Vậy MN = 2a − a + a − − 22 + ( −1) 2 = ( a − 2) +6 Dấu đằng thức xảy a = hay z1 = + 2i Câu 10 Cho hai số phức z = a + bi thỏa mãn z + + z − = ; 5a − 4b − 20 = Giá trị nhỏ z − A 41 B 41 C 41 D 41 Hướng dẫn giải: Chọn A Đặt F1 − ;0 , F2 ( ) ( ) ;0 F1 F2 = ; M điểm biểu diễn z 2a = Ta có z + + z − = MF1 + MF2 = nên M thuộc elip với 2c = b = a − c a = x2 y =1 c = ; suy ( E ) : + b = Tập hợp điểm N biểu diễn số phức đường thẳng : 5x − y − 20 = Ta có z − = MN Yêu cầu tốn tìm điểm M ( E ) N cho MN nhỏ Xét đường thẳng d song song với , d có dạng 5x − y + C = ( C −20 ) c = 17 2 d tiếp xúc với ( E ) C = ( 5.3) + ( −4.2 ) = 289 c = −17 −20 − 17 −20 + 17 37 Với c = 17 d ( d , ) = Với c = −17 d ( d , ) = = = 2 41 41 52 + ( −4 ) 52 + ( −4 ) Vậy MN = 41 Nhắc lại: HOÀNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 136 137 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12 20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC Điều kiện để đường thẳng Ax + By + C = tiếp xúc với elip x2 y 2 + = ( a b 0, c = a − b ) là: ( Aa ) + ( Bb ) = C a b Câu 11 Gọi z = a + bi ( a, b ) số phức thỏa mãn điều kiện z − − 2i + z + − 3i = 10 có mơ đun nhỏ Tính S = 7a + b ? A B C D −12 Hướng dẫn giải: Chọn A Gọi A (1; ) , B ( −2;3 ) M ( a; b ) điểm biểu diễn số phức z = a + bi Ta có z − − 2i + z + − 3i = 10 MA + MB = AB A, M , B thẳng hàng theo thứ tự Ta cần tìm điểm M thuộc đoạn AB để z = OM bé x −1 y − = x + 3y − = −2 − − Gọi H hình chiếu vng góc O đường thẳng AB Đường thẳng OH qua O vng góc AB nên có phương trình OH : 3x − y = x + 3y − = 21 Suy tọa độ H nghiệm hệ hay H ; 10 10 3x − y = Ta thấy H thuộc đoạn AB xB xH xA Vậy z = OM bé M H Phương trình đường thẳng AB: 21 21 + i a = , b = 7a + b = 10 10 10 10 Câu 12 Cho z1 , z hai số phức thỏa mãn iz − + i = z1 − z2 = Giá trị lớn biểu thức Ta có: z = P = z1 + z2 + + 2i có dạng a + b Khi a + b có giá trị A 18 B 15 C 19 Hướng dẫn giải: D 17 Chọn B −1 + i = z +1+ i = i Gọi M, N theo thứ tự điểm biểu diễn z1 , z M, Ta có: iz − + i = i z + N thuộc đường trịn (C) có tâm I ( −1; − 1) , bán kính R = Mặt khác z1 − z2 = MN = z1 + z2 − − − i = HA với H trung điểm MN A − ; − 1 P = z1 + z2 + + 2i = HOÀNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 137 138 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12 20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC P đạt giá trị lớn AH lớn nhất; suy A, I, H thẳng hàng theo thứ tự Ta có: AH max + 14 = IA + IN − NH = + 22 − = 2 2 Khi đó: Pmax = HAmax = + 14 = a + b a = 1, b = 14 a + b = 15 z + 3i − Câu 13 Gọi S tập hợp tất số phức z cho số phức w = ảo Xét số phức z +3+i 2 z1 , z2 S thỏa mãn z1 − z2 = Giá trị lớn biểu thức P = z1 − 3i − z2 − 3i A 26 B 26 C 20 Hướng dẫn giải: D 10 Chọn B Giả sử z = x + yi ( x, y ) , z −3 − i x + yi + 3i − ( x − 1) + ( y + 3) i ( x + 3) − ( y + 1) i Khi ta có: w = = 2 x + yi + + i ( x + 3) + ( y + 1) Vì w số thần ảo nên ( x − 1)( x + 3) + ( y + 1)( y + 3) = x + y + x + y = Suy tập hợp điểm biểu diễn w đường tròn (C) tâm I ( −1; − ) , bán kính R = Gọi M , N điểm biểu diễn z1 , z2 MN dây cung đường tròn (C) MN = Gọi A ( 0;3) điểm biểu diễn 3i , ta có IA = 26 Ta có: P = z1 − 3i − z2 − 3i = MA2 − NA2 = MA − NA ( ) ( = MI + IA − NI + IA 2 ) ( 2 = MI + 2MI IA + IA − NI + NI IA + IA ( ) ( ) = IA MI − NI = IA.MN = IA.MN cos IA , MN ( ) ) = 26.cos IA , MN 26 Vậy Pmax = 26 Dấu xảy hai vectơ IA , MN hướng Câu 14 Cho biểu thức P = z − − 2i + z − − 4i + z − − 6i xét số phức z thỏa mãn điều kiện z + = + 2i Biết giá nhỏ P Pmin = a b với P = a + b A P = 10 B P = 11 a phân số tối giản Giá trị b C P = 12 Hướng dẫn giải: D P = 13 Chọn B Đặt M ( x ; y) điểm biểu diễn số phức z A(1;2), B(3;4), C(5;6) Ta có P = z − − 2i + z − − 4i + z − − 6i = MA + MB + MC HOÀNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 138 139 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12 20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC Nhận thấy điểm A, B, C thuộc đường thẳng : x − y +1 = Ta có: z + = + 2i ( x + 2) + y = , suy M thuộc đường trịn tâm I (−2;0) bán kính R = Từ hình vẽ có nhận định: P = MA + MB + MC nhỏ M M với M ( 0;1) Khi đó: Pmin = + + = a + b = 11 Câu 15 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 − i = z1 + + i + z1 − − 3i z2 + i = Giá trị lớn biểu thức P = z1 + z2 − − 4i A + B + 13 C Hướng dẫn giải: D + Chọn D Gọi A ( 0;1) , B ( −1; − 1) , C (1;3 ) ; M N hai điểm biểu diễn số phức z1 , z2 Ta thấy A trung điểm đoạn BC Ta có: 5MA = MB + 3MC Theo cơng thức đường trung tuyến, ta có: MB + MC BC BC MA2 = − MB + MC = 2MA2 + Ta có: 5MA = MB + 3MC 12 + 32 MB + MC = 10 2MA2 + BC 2 BC 2 25MA2 10 2MA2 + MA BC MA hay z1 − i Xét P = z1 + z2 − − 4i = ( z1 − i ) + ( z2 + i ) + ( −2 − 4i ) z1 − i + z2 + i + −2 − 4i P + + hay Pmax = + z1 − i = k ( −2 − 4i ) , k z1 − i = Dấu đẳng thức xảy z + i = l − − i , l ( ) z2 + i = Câu 16 Cho số phức z có z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = z − z + z + z + A 13 B C D 11 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: P = z − z + z + z + = z z − + z + z + z.z = z − + z z + + z = z − + z + z + Đặt z = x + yi ( x, y HOÀNG XUÂN NHÀN ) Suy P= ( x − 1) + y + x + = − x + x + x2 + y = ZALO: 0969 34 33 44 139 140 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12 20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC − x + x + 1, − x Xét f ( x ) = − x + x + = ; − x − x − 1, − x − 1 − − x + − x 1 + = − x 1 x = ; f ( x) = − f ( x) = 1 − 2x − − − x − − x 1 13 13 Ta có: f ( −1) = 3, f − = 3, f = , f (1) = Vậy Pmax = f = 2 8 8 Câu 17 Trong số phức z thỏa mãn z − − 4i = có hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 − z2 = Giá trị nhỏ z1 − z2 2 A −10 B −4 − C −5 Hướng dẫn giải: D −6 − Chọn A Gọi M, N theo thứ tự điểm biểu diễn z1 , z2 Vì z1 , z2 thỏa z − − 4i = nên M, N thuộc đường tròn tâm I ( 3;3 ) , bán kính R = Mặt khác z1 − z2 = MN = Gọi K trung điểm đoạn MN ( )( Xét P = z1 − z2 = OM − ON = OM − ON OM + ON 2 ( ) ) = NM 2OK = NM OI + IK = NM OI + NM IK = NM OI (vì NM IK vng góc nhau, tức NM IK = ) P = 2MN OI cos NM , OI = 2.1.5cos NM , OI −10 (do cos NM , OI −1 ) ( ) ( ) ( ( ) ) Vậy Pmin = −10 ; hai vectơ NM , OI ngược hướng (hay cos NM , OI = −1 ) Câu 18 Cho z số phức thỏa mãn z = z + 2i Giá trị nhỏ z − + 2i + z + + 3i B 13 A Chọn B Đặt z = x + yi ( x, y 29 C Hướng dẫn giải: D ) Ta có: z = z + 2i x + y = x + ( y + ) x + y = x + y + y + y = −1 Suy z = x − i Xét: T = z − + 2i + z + + 3i = x − + i + x + + 2i = (1 − x ) + 12 + (1 + x ) + 22 Áp dụng bất đẳng thức Mincowski: (1 − x ) + 12 + (1 + x ) HOÀNG XUÂN NHÀN + 22 (1 − x + + x ) + (1 + ) 2 = + = 13 Vậy Tmin = 13 ZALO: 0969 34 33 44 140 141 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12 20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC 1− x 1+ x = − 2x = 1+ x x = Câu 19 Cho số phức z thỏa mãn z − − 4i = Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ Dấu đẳng thức xảy biểu thức P = z + − z − i Môđun số phức w = M + mi A w = 137 B w = 1258 C w = 309 D w = 314 Hướng dẫn giải: Chọn B Gọi z = x + yi với x, y Ta có: z − − 4i = ( x − 3) + ( y − ) i = ( x − 3) + ( y − ) = 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn ( C ) có tâm I ( 3; ) , bán kính R = Khi : P = z + − z − i = ( x + ) + y − x − ( y − 1) = x + y + ☺ Cách giải 1: Ta thấy M thuộc đường tròn (C) đường thẳng : x + y + − P = 2 2 Điều kiện để tồn điểm M Δ (C) có điểm chung d ( I , ) R 23 − P P − 23 10 −10 P − 23 10 13 P 33 Vậy M = 33 m = 13 w = 33 + 13i Suy w = 1258 ☺ Cách giải 2: P = x + y + = ( x − 3) + ( y − ) + 23 Theo bất đẳng thức Cauchy Schwarz: ( x − 3) + ( y − ) 42 + 2 ( x − 3) + ( y − ) 2 = 20 = 10 Suy −10 ( x − 3) + ( y − ) 10 23 − 10 ( x − 3) + ( y − ) + 23 10 + 23 Ta có: 13 P 33 nên M = 33 m = 13 w = 33 + 13i Suy w = 1258 Câu 20 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + − i = z2 = iz1 Tìm giá trị nhỏ m biểu thức z1 − z2 ? A m = −1 B m = 2 C m = Hướng dẫn giải: D m = 2 − Chọn D Gọi M điểm biểu diễn số phức z1 , z1 + − i = nên M thuộc đường tròn tâm I ( −1;1) , bán kính R = Xét P = z1 − z2 = z1 − iz1 = z1 (1 − i ) = z1 = 2OM ( ) Ta có: P = 2OM ( R − OI ) = 2 − = 2 − Vậy Pmax = 2 − Dấu đẳng thức xảy I, O, M thẳng hàng theo thứ tự HỒNG XN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 141 142 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12 20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC Số phức z có phần thực a phần ảo b thỏa mãn 3a − 2b = 12 Giá trị nhỏ P = z − z1 + z − z2 + bằng: Câu 21 Biết hai số phức z1 , z thỏa mãn z1 − − 4i = z2 − − 4i = A Pmin = 9945 11 B Pmin = − C Pmin = 9945 13 D Pmin = + Hướng dẫn giải: Chọn C Gọi M , N , P điểm biểu diễn cho số phức z1 , 2z2 , z hệ trục tọa độ Oxy Vì z1 − − 4i = nên M thuộc đường trịn ( C1 ) có tâm I1 ( 3; ) , bán kính R1 = ; z2 − − 8i = nên N thuộc đường tâm I ( 6; ) , bán kính R2 = z2 − − 4i = tròn ( C2 ) Mặt khác P thuộc đường thẳng : 3x − y − 12 = Ta thấy ( C1 ) , ( C2 ) phía so với Δ 138 64 Lấy đường tròn ( C3 ) đối xứng ( C2 ) qua Δ, suy ( C3 ) có tâm I ; , bán kính R3 = 13 13 Lấy điểm K đối xứng với N qua Δ K thuộc đường trịn ( C3 ) Suy PN = PK Ta có: P = z − z1 + z − z2 + = PM + PN + = PM + PK + MK + 9945 13 Dấu đẳng thức xảy I1 , M, P, K, I thẳng hàng theo thứ tự Suy Pmin = MK + = I1I − R1 − R3 + = Câu 22 Cho số phức z, z1 , z2 thay đổi thỏa mãn điều kiện sau: iz + 2i + = , phần thực z1 2, phần ảo z Tìm giá trị nhỏ biểu thức T = z − z1 + z − z2 A B C Hướng dẫn giải: D Chọn D Gọi M điểm biểu diễn z Ta có : iz + 2i + = i z + − 4i = z + − 4i = Vì M thuộc đường tròn tâm I ( −2; ) , bán kính R = Gọi A điểm biểu diễn z1 A thuộc đường thẳng d1 : x = Gọi B điểm biểu diễn z B thuộc đường thẳng d2 : y = Giao điểm d1 d P ( 2; 1) Gọi H K hình chiếu M d1 d Gọi H K hình chiếu M d1 d Ta có: T = z − z1 + z − z2 = MA2 + MB MH + MK = MP ; HOÀNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 142 143 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12 20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC T M P = ( IP − R ) = ( − 3) = 2 Suy Tmin = Dấu đẳng thức xảy I , M , P thẳng hàng theo thứ tự ) thỏa mãn z = Tìm giá trị lớn biểu thức Câu 23 Cho số phức z = a + bi ( a , b A= z+2 +2 z−2 A 10 B C 10 Hướng dẫn giải: D Chọn B ☺ Cách giải 1: Ta có: z = a + b = Xét z + + z − = ( a + ) + b + ( a − ) + b = ( a + b ) + = 10 2 2 Theo bất đẳng thức Cauchy Schwarz: ( A2 = ( z + + z − ) (12 + 22 ) z + + z − 2 Dấu đẳng thức xảy 2 ) = 50 A hay Amax = z+2 z−2 = z = ☺ Cách giải 2: Ta có: z = a + b = A= z+2 +2 z−2 = ( a + 2) + b2 + ( a − 2) + b2 = a + b + a + + a + b − a + = a + + −4 a + Đặt f ( a ) = 4a + + −4a + với −1 a (do a2 + b2 = ); − = 4a + = −4a + 16a + 20 = −4a + a = − 4a + −4a + 3 3 Ta có f ( −1) = 7, f (1) = 5, f − = Vậy Max f ( a ) = f − = hay Amax = − 1;1 4 4 7 i Dấu đẳng thức xảy a = − b = hay z = − 4 4 Câu 24 Cho z1 , z2 hai số phức thỏa mãn z − + 3i = z1 − z2 = Giá trị lớn f (a) = z1 + z2 B Hướng dẫn giải: A C D + Chọn A Gọi M , N điểm biểu diễn hai số phức z1 , z2 Vì z1 , z2 thỏa z − + 3i = nên M , N thuộc đường ( ) tròn (C) có tâm I 3; − , bán kính R = Mặt khác z1 − z2 = MN = = R ; suy MN đường kính đường trịn (C) HỒNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 143 144 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12 20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC MN 42 = 2.12 + = 2 OM ON = = Dấu đẳng thức xảy OM = ON = OM + ON = Ta có: T = z1 + z2 = 1.OM + 1.ON 12 + 12 OM + ON = 2OI + Vậy T nên Tmin Câu 25 Xét số phức z = a + bi ( a, b ) thỏa mãn z + − 3i = 2 Tính P = 2a + b z + + 6i + z − − 2i đạt giá trị lớn A P = B P = −3 C P = Hướng dẫn giải: D P = Chọn B Gọi M điểm biểu diễn z; z + − 3i = 2 nên M thuộc đường tròn tâm I ( −2;3 ) , bán kính R = 2 Gọi A ( −1; − ) , B ( 7; ) AB = Gọi K ( 3; − ) trung điểm AB Xét P = z + + 6i + z − − 2i = 1.MA + 1.MB AB = 2 MK + 64 Trong đó: MK MI + IK = R + IK = + T 12 + 12 MA2 + MB = 2MK + ( Vậy T 2 + ) + 64 Dấu đẳng thức xảy M , I , K thẳng hàng theo thứ tự 2 −2 − a = a = −4 IK Ta có: MI = MI IK b = 3 − b = 2 −5 ( ) Vậy P = 2a + b = −8 + = −3 Câu 26 Cho số phức z thỏa mãn (1 + i ) z + − 3i = Giá trị lớn biểu thức P = z + + i + z − − 3i A ( ) B 15 + C D 10 + 15 Hướng dẫn giải: Chọn C Giả sử M ( x ; y ) điểm biểu diễn số phức z 2 − 3i = (1 + i ) z + = z − − 2i = ( x − 1) + ( y − ) = 1+ i Do M thuộc đường trịn tâm I (1; ) , bán kính R = (1 + i ) z + − 3i HOÀNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 144 145 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12 20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC a = x − Đặt Ta có a2 + b2 = b = y − Ta có: P = z + + i + z − − 3i = = ( a + 3) + ( b + 3) 2 ( x + ) + ( y + 1) 2 2 + ( x − ) + ( y − ) 2 + ( a − 1) + ( b − 1) = ( a + b ) + 27 + ( −2 )( a + b ) + 11 = ( a + b ) + 27 + ( −6 )( a + b ) + 33 (1 + )( 27 + 33) = a + b = Dấu đẳng thức xảy ( a + b ) + 27 = ( −6 )( a + b ) + 33 z + − i Tìm giá trị lớn T = w + i w −1 B C D 2 Hướng dẫn giải: Câu 27 Cho số phức z w thỏa mãn ( − i ) z = A Chọn B 2 z z z = ( z − 1) + (1 − z ) (*) +1− i = z − + (1 − z ) i w −1 w −1 w −1 t t 2 = ( 3t − 1) + (1 − t ) w − = Đặt t = z , t Khi (*) trở thành: w −1 10t − 8t + 1 w −1 = = ; t 2 10 − + 2 − 2 + t t t Xét ( − i ) z = Ta lại có: w + i = ( w − 1) + (1 + i ) w − + + i + w+i 2 t = z = z = i Dấu đẳng thức xảy w − = k (1 + i ) (k > 0) w = + i w+i = 2 Vậy giá trị lớn biểu thức T HOÀNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 145 146 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12 20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC Câu 28 Cho số phức z thỏa mãn z − + z + = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = z + + i + z − 3 + 2i + z − 3i B A 12 Chọn A ( ) ( Gọi M ( x; y ) , F1 − 2; , F2 C Hướng dẫn giải: D 10 ) 2; điểm biểu diễn cho số phức z, − , Ta có z − + z + = M F1 + M F2 = F1 F2 Suy M thuộc elip ( E ) có tiêu cự 2c = 2 c = , độ dài trục lớn 2a = a = Ta có: b = a − c = Phương trình tắc ( E ) : 2 x y2 + = − x Ta có M ( x; y ) ( E ) P = z + + i + z − 3 + 2i + z − 3i − y = ( ) ( ) + ( y + ) + x + ( y − 3) ( x + ) + ( y + 1) + (3 − x ) + ( y + 2) + ( y − 3) (do x ) ( x + + 3 − x ) + ( 2y + 3) + y − (1) (bất đẳng thức Mincowski) x+2 + ( y + 1) + 2 x −3 2 2 2 2 2 = y + 12 y + 84 + − y (do −1 y ) Đặt f ( y ) = y + 3y + 21 + − y , với −1 y Ta có: f ( y ) = f ( y) = 2y + y + 3y + 21 −1 ; 3 y − y − y = y + y + 21 = y + 2 y = y = −4 y + y + 21 = y + 12 y + Ta có: f ( −1) = + 19 , f (1) = 12 Suy MinP = Min f ( y ) = 12 y −1;1 x = 0, y = x = 0, y = Dấu đẳng thức xảy x + y + = 3 − x y + Câu 29 Cho số phức z w thỏa mãn z − = iw − = Khi z + w đạt giá trị nhỏ nhất, iz + w A B − C Hướng dẫn giải: D + Chọn C Gọi A điểm biểu diễn số phức z B điểm biểu diễn số phức −2w HOÀNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 146 147 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12 20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC Ta có: z − = nên A thuộc đường tròn ( C1 ) có tâm I ( 4; ) , bán kính R = 2 iw − = i w − = w + 2i = i ( −2w) − 4i = nên B thuộc đường tròn ( C2 ) có tâm I ( 0; ) , bán kính R = (Tham khảo hình vẽ) Xét z + w = z − ( −2w ) = AB Ta có: ABmin = II − R1 − R2 = − − = − 8− xA = x − = − ( ) 8− 2 IA II A Khi đó: hay z = + i ; = 2.IA = II 2 IA II y = 4 y A = A x = I B I I 2 xB = hay −2 w = + − i = 2.I B = I I A I B I I 2 y − = − y = − ( ) B A ( ) 4− − i Vậy iz + w = 2 Câu 30 Xét số phức z, w thoả mãn z = w = Khi z + iw − + 4i đạt giá trị nhỏ nhất, z + w Suy w = − A B 29 C D 221 Chọn C Do z = nên điểm biểu diễn số phức z thuộc đường tròn ( O ;1) Do w = nên điểm biểu diễn số phức iw thuộc đường tròn ( O ; ) Ta có : z + iw − + 4i = z + iw − ( − 4i ) = ( − 4i ) − ( z + iw ) − 4i − z + iw = − z + iw Mặt khác : z + iw z + iw = z + i w = + = Suy − z + iw − = Vậy z + iw − + 4i (1) z + iw = k ( − 4i ) , k (2) z + iw = Dấu đẳng thức xảy (3) z = miw, m z = 1, w = (4) 12 Từ (1) (2) suy 9k + 16k = ( k ) k = Suy ra: z + iw = − i (5) 5 12 12 Thay (3 ) vào (5) ta có : miw + iw = − i ( m + 1) iw = − i 5 5 HOÀNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 147 148 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12 20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC m +1 i w = Ta có : 12 − i ( m + 1) = m = 5 12 iw = − i w = − − i Suy ra: z = iw = − i 5 5 5 Vậy z + w = −1 − 2i z + w = −1 − 2i = HOÀNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 148 20 KĨ THUẬT VẬN DỤNG CAO SỐ PHỨC MỤC LỤC TÓM TẮT KIẾN THỨC TRỌNG YẾU Trang 01 CHỦ ĐỀ 01 SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN Trang 09 Dạng Tính toán, rút gọn số phức dựa vào qui luật dãy số Trang 09 Dạng Lập phương trình, hệ phương trình xác định số phức Trang 12 Dạng Phương pháp lấy mô-đun hai vế đẳng thức Trang 15 Dạng Phương pháp tạo số phức liên hợp Trang 17 Dạng Phương pháp chuẩn hóa số phức Trang 21 Bài tập trắc nghiệm thực hành chủ đề Trang 24 Hướng dẫn giải tập trắc nghiệm chủ đề Trang 28 CHỦ ĐỀ 02 PHƯƠNG TRÌNH SỐ PHỨC Trang 42 Tóm tắt lí thuyết Trang 42 Dạng Giải phương trình số phức bậc hai, bậc ba, bậc bốn Trang 45 Dạng Phương trình số phức có chứa tham số Trang 51 Bài tập trắc nghiệm thực hành chủ đề Trang 57 Hướng dẫn giải tập trắc nghiệm chủ đề Trang 60 CHỦ ĐỀ 03 MAX-MIN MÔ ĐUN SỐ PHỨC Trang 72 Tóm tắt lí thuyết Trang 72 Dạng Số phức có điểm biểu diễn thuộc đường Trang 76 Dạng Điều kiện ba điểm thẳng hàng kĩ thuật đối xứng Trang 83 Dạng Dùng miền nghiệm tìm Max-min mơ-đun số phức Trang 90 Dạng Ép điểm theo quỹ đạo đường tròn Trang 92 Dạng Tạo cụm liên hợp chéo Trang 96 Dạng Sử dụng tâm tỉ cự Trang 98 Dạng Tạo tam giác đồng dạng tam giác Trang 105 Dạng Biện luận tương giao đường thẳng đường tròn Trang 109 Dạng Bất đẳng thức tam giác Trang 112 Dạng 10 Bất đẳng thức Mincowski kĩ thuật cân hệ số Trang 116 Dạng 11 Bất đẳng thức Cauchy Schwarz Trang 120 Dạng 12 Kĩ thuật đổi biến khảo sát hàm số Trang 123 Dạng 13 Phương pháp lượng giác hóa số phức Trang 126 Bài tập trắc nghiệm thực hành chủ đề Trang 129 Hướng dẫn giải tập trắc nghiệm chủ đề Trang 132 HOÀNG XUÂN NHÀN