Các dạng bài tập vận dụng cao số phức

Dạng 1: Thực hiện các phép toán của số phức, tìm phần thực phần ảo 1... Tìm số phức liên hợp, tính môđun số phức 1..[r]

(1)

CHƯƠNG SỐ PHỨC

BÀI 1&2 KHÁI NIỆM SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN CỦA SỐ PHỨC A LÝ THUYẾT

I KHÁI NIỆM VỀ SỐ PHỨC 1 Số phức

Định nghĩa

Cho số phứczcó dạng: z a bi  với a b, , a gọi phần thực củaz,b gọi phần ảo z, i gọi đơn vịảo thỏa mãn i2  1

Đặc biệt: Tập hợp số phức, kí hiệu  Số phức z số thực b0 Số phức z số ảo a0

Số phức z  0 0i vừa số thực, vừa sốảo (còn gọi số ảo)

Số phức liên hợp

Số phức liên hợp số phức z, kí hiệu z, z a bi 

Môđun số phức Môđun số phức z, kí hiệu z  a2b2

2 Hai số phức nhau

Định nghĩa

Hai số phức z1 a1 b i1 z2a2b i2 gọi

Bài tập:

+)

7

  

z i ;

+) z  2 i ; +) , cos ,

3 12



   

z i w i u i,… số ảo

Bài tập

+) Số phức  

z i có số phức liên hợp

7   z i ; +) Số phức

3 

z i có số phức liên hợp

3   z i

Nhận xét: Mỗi số thực có số phức liên hợp

Bài tập:

Số phức  

z i có mơđun

2

2 1229

7

 

    

 

z

Bài tập:

Số phức z a bi  bằng 0 khi chỉ

0     

(2)

nhau 2

    

a a b b 3 Biểu diễn hình học số phức

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, số phức ; ,z a bi a b   biểu diễn điểm ( ; )M a b Ngược lại, điểm

( ; )

M a b biểu diễn số phức z a bi 

hay z0 Nhận xét: +) OM  z ;

+) Nếu z z1, có điểm biểu diễn lần lượt M M thì1,

1  1

(3)

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA a phần thực số phức z b phần ảo số phức z

Số phức liên hợp z z a bi 

2

 

z a b



M điểm biểu diễn số phức z

Độ dài đoạn OM môđun số phức z

M điểm biểu diễn số phức z Đại số

( tập hợp số phức)

Số phức liên hợp

Môđun số phức

Hình học

SỐ PHỨC

(4)

II CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC

1 Phép cộng số phức

Định nghĩa

Tổng hai số phức z a bi z  ,  a b i a b a b  , , ,  số phức z z     a a b b i

Tính chất Với , ,z z z  ta có:

Tính chất kết hợp: z z z z zz; Tính chất giao hoán: z z   z z;

Cộng với 0: z   0 z z;     z     z z z 2 Phép trừ số phức

Hiệu hai số phức z a bi z  ,  a b i a b a b  , , , :

      z z    z z  a a   b b i 3 Phép nhân số phức

Định nghĩa

Tích hai số phức z a bi z  ,  a b i a b a b  , , , là số phức zzaa bb aba b i 

Tính chất Với , ,z z z  ta có:

• Tính chất giao hốn: zzz z ; • Tính chất kết hợp:  zz z z z z  ; • Nhân với 1: 1.z z 1z;

• Tính chất phân phối phép nhân phép cộng:

 

z zz zzzz

4 Phép chia cho số phức khác 0

Số nghịch đảo số phức z0 kí hiệu z1, số phức thỏa mãn zz11,, hay

2 .

z z

z

 

Thương phép chia số phức z cho số phức z khác 0,

Bài tập:

5 4 i  3 2i 8 i

Bài tập:

7

z  i có sốđối

z i

   

Bài tập:

5 4 i  3 2i 2 i

Bài tập:

5 4 i3 2 i  15 8  12 10 i23  i

Chú ý:

•Ta thực phép cộng phép nhân các số phức theo quy tắc phép toán cộng nhân số thực.

° Các đẳng thức số thực cũng đúng số phức.

Bài tập: z2 4 z2  2i  z2i z 2 i

Bài tập:

z  i có số phức nghịch đảo

 

1

13 i 13 13i

z    

(5)

kí hiêu

z z z

z z

z z



  

    

  

5

5 22 22

3 3 13 13 13

i i

i

i i i

 

     

  

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Phép cộng số phức

Tổng hai số phức z a bi  vàz a b i a b a b  , , ,  số phức z z     a a b b i

Phép trừ số phức Hiệu hai số phức z a bi  vàz a b i a b a b  , , , là số phức z z  a a   b b i

Phép nhân số phức Tích hai số phức z a bi  vàz a b i a b a b  , , , là số phức zzaa bb aba b i 

Phép chia số phức khác

Số nghịch đảo số phức z0 kí hiệu z1 số phức thỏa mãn zz11 hay

2

z z

z

 

Thương phép chia số phức z cho số phức z0, kí hiệu

2 z z z z z

z z



   

Tính chất phép cộng số phức Với z z z, ,  ta có

z z z z zz; ;

z z   z z

0 ;

z   z z

    z     z z z

Tính chất phép nhân số phức Với z z z, ,  ta có

; zzz z  zz z z z z  ;

1.z z 1z;

 

z zz zzzz CÁC

(6)

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Thực phép toán số phức, tìm phần thực phần ảo 1 Phương pháp giải

Cho hai số phức z a bi  z a b i , , , ,a b a b  Khi đó:

 z z    ' a a' b b i ;  z z ' a a '  b b i ;  zzaa bb aba b i  ;  z z z2

z z

 



Bài tập:

Hai số phức z1 3 ,i z2  4 3i có

   

1 7 ;

z z      i  i

   

1 10 ;

z z      i   i

 

    

1 3.4 3.3 33 19 ;

z z       i  i

      

2

3 37

25 25

i i

z

i

z i i

 

   

 

2 Bài tập

Bài tập 1: Tất số phức zthỏa mãn 2z3 1    i iz 3i

A.

5

z  i B. z 4 i C. 5

z  i D. z 4 i Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có: 1  2  10 10

z i iz i i z z z i

i

            



Bài tập 2: Cho số phức z a bi a b   ,  thỏa mãn z  1 3i z i0 Giá trị S a 3b

A.

3

S   B. S 3 C. S  3 D.

3 S  Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có z  1 3i z i0

 2

2

1

3 a

a b a b i

b a b

  

        

  



 2

1 1

3 4 3.

3

a a

b S

b

b b

 

   

   

   

  

    

 

Bài tập Tính C 1         1 i i 2 1 i 3    1 i 20

(7)

Áp dụng công thức cấp số nhân: Ta có:

       

 

   

           



   

 

  

21

2 20

1

21 21

1 q C 1 i i i i u

1 q

1 i 1 i

1

i 1 i

Ta có:  

           

 

            

2

21 20 10 10 10 10

1 i 2i

1 i i i 2i i i i.2

Do đó:         

10 10

1 i.2

C 2 i

i

Bài tập 4. Tính tổng   2 3  2012

S i 2i 3i 2012.i

A. 1006 1006i B 1006 1006i C 1006 1006i D 1006 1006i

Hướng dẫn giải Chọn D

Cách

Ta có  2 3 4  2013

iS i 2i 3i 2012i

      2 2012 2013

S iS i i i i 2012.i

Dãy số i, i , i , ,i2 2012 một cấp số nhân có cơng bội q i có 2012 số hạng, suy ra: 

     

 2012 2012 i

i i i i i

1 i

Do đó:          

2013 2012i

S iS 2012.i 2012i S 1006 1006i

1 i

Cách Dãy số 1,x,x , ,x2 2012 một cấp số nhân gồm 2013 số hạng có cơng bội bằng x Xét x 1, x 0  ta có:         

 2013 2012 x

1 x x x x

1 x

Lấy đạo hàm hai vế (1) ta được:

   

 

    



2013 2012

2 2011

2

2012.x 2013x

1 2x 3x 2012x

1 x

Nhân hai vế (2) cho x ta được:

   

 

    



2014 2013

2 2012

2

2012.x 2013x x

x 2x 3x 2012x

(8)

Thay x i vào (3) ta được:

 

 

     



2014 2013

2 2012

2

2012i 2013i i S i 2i 3i 2012i

1 i

Với 2014  2013

i 1, i i

Vậy     

2012 2012i

S 1006 1006i

2i

Bài tập Cho  , hai số phức liên hiệp thỏa mãn 

2 R    2 Tính 

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn C

Đặt   x iy   x iy với x, y R.

Không giảm tính tổng qt, ta coi y 0. Vì    2 nên 2iy 2 3 y

Do  , hai số phức liên hợp nên   , mà

     

  

3

2  

Nhưng ta có

 

 3 3 2 

x 3xy 3x y y i nên  3  3x y y2  3 0 y 3x 2y2 0 x21

Vậy   2   

x y

Bài tập 6. Tìm c biết a,b c số nguyên dương thỏa mãn:   3

c a bi 107i

A. 400 B. 312 C.198 D. 123

Ta có   3  3 2  2  3 

c a bi 107i a 3ab i 3a b b 107 Nên c số nguyên dương

  

2

3a b b 107 Hay b 3a 2b2107

Vì a, b Z  107 số nguyên tố nên xảy ra:   2 2  211450

b 107; 3a b a Z

3 (loại)

  2 2  2  

b 1; 3a b 107 a 36 a (thỏa mãn) Vậy nên c a 33ab2633.6.12198

Bài tập Cho số phức z có phần ảo 164 với số nguyên dương n thỏa mãn  

z 4i z n Tìm

(9)

A. n 14 B. n 149 C. 697 D. 789

Đặt z x 164i  ta có:

 



        

  

  

     

z x 164i

4i 4i x 164i 656 x n i

z n x 164i n

x 656

n 697 x n 41

Vậy giá trị cần tìm n 697

Bài tập Cho số phức z thỏa mãn    

1 3i z

1 i Tìm mơ đun số phức z iz

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn A

Từ z ta phải suy z thay vào biểu thức z iz tìm mơđun:

        

   



1 3i 3i i 1 3 1 3

z i

1 i 2

Suy ra: z1 31 3ii.z1 31 3i

2 2

Do đó: z iz i    z iz 

Dùng MTCT:

Bước 1: Lưu 1 3i A i



 

Bước 2: Tính A iA

Lời bình: Nhận thấy với số phức z a bi  ta có z iz   1 i a b hay

     

  

z iz

a b , z

1 i Về phương diện hình học

 

z iz

1 i nằm trục Ox biểu diễn

trong mặt phẳng phức

Bài tập Tìm số thực m biết:

 

 

 

i m z

1 m m 2i

 2 m

zz

(10)

A m m       B m m       C. m m      D. m m     

Định hướng: Quan sát thấy z cho dạng thương hai số phức Vì Vậy cần phải đơn giản z

cách nhân liên mẫu Từ zz Thay z z vào zz2 m

2 ta tìm m

Ta có:

           

   

 

2 2

2

2 2

2

2 2 2

2

i m m 2mi m m 2m i m 2m

i m z

1 m m 2i 1 m 4m 1 m

m m i m m i m i

z

1 m m m m

1 m                                 Như vậy:

      2 2 m

2 m m 1 1

zz m m m 2m m

m

2 1 m

m                       

Bài tập 10 Tìm phần thực số phức: z  1 i n,n thỏa mãn phương trình:      

4

log n log n

A. B. 8 C. D.

Điều kiện: n 3,n 

Phương trình log4n 3 log4n 9  3 log4n n 9   3

     3 2       

n n n 6n n do:n

              

             

 

3

7

z i i i i 2i i 8i 8i

Vậy phần thực số phức z

Bài tập 11 Cho số phức     

 

m 3i

z m

1 i Tìm m, biết số phức 

2

w z có môđun

A m

m       B m m       C. m m      D m m       Hướng dẫn giải

(11)

Ta có:                        

2 2

2 m 6mi m m

w z 3m i w 9m

2i 2

1 4 2   2   2   

m 18m 81 m 18 m m

2

Vậy giá trị cần tìm m 3

Bài tập 12 Cho số phức

        i m z ,m

1 m m 2i Tìm giá trị nhỏ số thực k cho tồn

tại m để z 1 k

A. k



 B k

2



 C k 1

2 D k   Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có         

 

 2 

i m 1 m i

z z

i m m i

i mi m

                       2 2 k

1 m i m 2m 2

z z k m 2m 2

m i m k

m

Xét hàm số     

2

m 2m

f m

m

Ta có:    

             ʹ ʹ 2

2 m m 1 5

f m f m m

2

m

Lập bảng biến thiên ta có     

 

1 5

f m

2

 Yêu cầu toán 23   3  1

k k

2 2

Vậy k 1

2 giá trị phải tìm

Dạng Tìm số phức liên hợp, tính mơđun số phức 1 Phương pháp giải

 Số phức z a bi  có z a bi  2.

z  a b

Chú ý: Nếu z a bi 

Bài tập: Số phức liên hợp số phức

2 3 2 z  i  i

(12)

2

2a;

z z  z z a b C. z  12 i D. z12  i Hướng dẫn giải

Ta có z2 3 i3 2 i  6 5i 6i2 12 5 i 12

z i

  

Chọn D 2 Bài tập mẫu

Bài tập 1: Cho số phức z a bi  , với a b, số thực thỏa mãn

 

2 ,

a bi  i a bi  i với i đơn vịảo Môđun   1 z z2

A.   229 B.   13 C.  229 D.  13

Ta có   4

2

a b a

a bi i a bi i

b a b

   

 

      

   

  Suy z 2 i Do    1 z z2   2 15 i Vậy     2 2 152  229

Bài tập 2: Cho số phức zthỏa mãn

i z

i  

 Môđun số phức w i z z 

A. w 4 B. w  C. w 3 D. w 2

Ta có:

i

z i

i 

   



   

1 2 3

z i w i i i i

             

   2

3 18

w

      

Bài tập 3: Cho z z1, 2 số phức thỏa mãn z1  z2 1 z12z2  Giá trị biểu thức P 2z1z2

A. P2 B. P C. P3 D. P1

Đặt z1 a1 b i a b1; ,1 1, z2 a2b i a b2; ,2 2 Suy 2 2

1 2

(13)

Ta có: 2z1z22a1a22b b i1 2

  2 2  2 2  2 2  

1 2 1 2 2

1

2 2

4

z z a a b b a b a b a a b b

           

Suy P 2z1z2 2

Dạng 3 Bài toán liên quan đến điểm biểu diễn số phức

Bài tập 1: Cho , ,A B C điểm biểu diễn số phức , , i   i i

i Số phức có điểm biểu diễn D cho ABCD hình bình hành

A. z  6 i B. z  6 i C. z 6 i D. z 4 i Hướng dẫn giải

Chọn C Ta có

A điểm biểu diễn số phức 3 i nên A4;  

B điểm biểu diễn số phức 1 2 i i   2 i nên B2;1  C điểm biểu diễn số phức i

i  nên C0;   Điều kiện để ABCD hình bình hành  AD BC

 

6

6;

D A C B D C A B

x x x x x x x x

D z i

y y y y y y y y

      

 

      

       

 

Bài tập 2: Cho tam giác ABC có ba đỉnh , ,A B C điểm biểu diễn hình học số phức z1 2 i z, 2  1 ,i z3 8 i Số phức z4 có điểm biểu diễn hình học trọng tâm tam giácABC Mệnh đề sau đúng?

A. z4 3 i B. z4 5

C.  z4 213 12  i D. z4 3 i Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có: A2; ,  B 1;6 ,  C 8;1 Gọi G trọng tâm tam giác ABC

 3;2 4

G z i z i

      

(14)

A. S 5 B. S 6 C. 25

S  D. S 12

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có: z1 OA3, z2 OB4, z1z2 AB5 OAB

  vuông O (vì OA2OB2 AB2)

1

.3.4

2

OAB

S OA OB

   

Dạng Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài tập 1: Có số phức zthỏa mãn 1?

z i z

z i z

    



 



A.1 B. C. D.

Đặt z x yi x y  , , 

Ta có hệ phương trình:    

 

2

2 2

1

x y x y

x y

x y x y

     

   



   



Do z 1 i nên có số phức thỏa mãn

Bài tập 2: Có số phức z thỏa điều kiện z z z 2 z 2?

A. B. C.1 D.

Ta có: z z z   2 z2    z z

Suy điểm M biểu diễn số phức z giao hai đường tròn   2

1 :

C x y     2

2 : 4

C x y 

Vì I I1 2R1R2 (I I1, 2 tâm đường tròn    C1 , C2 ) nên  C1  C2 tiếp xúc nhau) Suy ra: Có số phức zthỏa mãn yêu cầu

Bài tập 3: Có số phức thỏa mãn z z    6 i 2i 7i z ?

A. B. C.1 D.

(15)

Đặt z  a 0,a, ta có

  7  z z   i i i z

  7 

a z i i i z

     

a i z 6a ai 2i

     

a i z 6a a 2i

     

a i z 6a a 2i

     

a 72 1 a2 36a2 a 23

 

      

  

4 14a3 13a2 4a 0 1 13a2 4 0.

a a a

          

Hàm số f a a313a2a0 có bảng biến thiên:

Đường thẳng 4y  cắt đồ thị hàm số f a  hai điểm nên phương trình a313a2 4 0 có hai nghiệm khác (do f  1 0) Thay giá trị môđun z vào giả thiết ta số phức thỏa mãn điều kiện

Bài tập 4: Có tất giá trị nguyên m để có hai số phức z thỏa mãn z2m  1 i 10 z    1 i z ?i

A. 40 B. 41 C.165 D.164

Giả sử z x yi x y   ,  M x y , điểm biểu diễn số phức z Ta có: z2m  1 i 10 z 2m 1 i2 100

   2

2 1 100

x m y

      

Khi điểm biểu diễn số phức znằm đường tròn  C có tâm I2m1;1 , bán kính R10 Lại có z    1 i z 3i  x 1 y1i2 x  2 3 y i

  2  2  2 2

1 2x 11

x y x y y

           

Khi điểm biểu diễn số phức zcũng nằm đường thẳng : 2x8y 11

(16)

Tức     2

2 11 5 20 17 5 20 17

, 10 10

4

2 m

d I           m 



Vậy có 41 giá trị nguyên m để có hai số phức z thỏa mãn yêu cầu toán

Bài tập 5: Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn z1 3,z2 4,z1z2  37 Hỏi có số zmà

2

? z

z a bi

z

  

A.1 B. C. D.

Đặt z1 x yi z, 2 c di x y c d , , ,  Ta có: 2

1 9;

z  x y  2

2 16;

z  c d 

2 2

1 37 2 37

z z  x y  c d  xc yd  xc yd   Lại có:

1

2 2 2

3 z x yi xc yd yc xd

i bi

z c di c d c d

  

     

   Suy

3 a 

Mà 1 2 2 2

2

3 9 27 3

4 16 16 64

z

z a b a b b a b

z  z             

Vậy có hai số phức zthỏa mãn

Bài tập 6: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để tồn số phức z thỏa mãn z z1 z- 3+ =i m Số phần tử S

A. B. C.1 D.

Dễ thấy m0

Đặt z a bi a b  ; , ta có hệ phương trình

   

2

2 2

2

3

a b

a b m

  

 

   



Phương trình a2b21là đường trịn tâm ,O bán kính R1

Phương trình a 32 b 12m2 đường trịn tâm I 3; ,  bán kính R m . Có số phức thỏa mãn đề

Hệ phương trình

   

2

2 2 2

1

3

a b

a b m

  

 

   

(17)

Hai đường tròn tiếp túc với

1

3 m

OI m m

m  

        

 (thỏa mãn m0) Vậy, có hai số thực thỏa mãn

Bài tập 7: Có tất số phức zthỏa mãn z 1 z z z z 

A. B. C. D.

Đặt z a bi a b  , ,  Ta có 2 1 2 1. z  a b  a b 

  2 2

2

2 2

a bi a bi

z z z z

a b

z

z z z z

  



     

Ta có hệ:

2 2

1

2

2 a b a b

a b a b

               

 

2 2 1 a b a b          2 4 a b        

2 a b       

Suy  ; 1; ; 1; ; 3; ; 3;

2 2 2 2

a b                  

       

 

Vậy có cặp số  a b; có số phức thỏa mãn

Dạng 5: Bài toán tập hợp điểm biểu diễn số phức 1 Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa, tính chất hình học biết Cho trước điểm cốđịnh I F F F F, , ;1 2 1 2 2c c 0 Tập hợp điểm M thoả mãn MIR R 0 đường trịn tâm I bán kính R

Tập hợp điểm M thoả mãn

  2

MF MF  a a c elip có hai tiêu điểm F F1,

Tập hợp điểm M thoả mãn MF1MF2 đường

Bài tập:

Trên mặt phẳng Oxy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn

2

z  i  đường tròn tâm

 2;5 ,

(18)

trung trực đoạn thẳng F F1 2

2 Bài tập

Bài tập 1: Xét số phức z thỏa mãn z6 8 z i  số thực Biết tập hợp tất điểm biểu diễn zlà đường tròn, có tâm

 ;

I a b bán kính R Giá trị a b R 

A. B. C.12 D. 24

Chú ý:

Trong mặt phẳng Oxy,

x a  2 y b 2 R2 phương trình đường trịn có tâm I a b ; bán kính R0

Đặt z x yi x y   , 

Vì z6 8 z i x 6 yi  y 8 xi số thực nên

      2 2

6 25

x x y y   x  y 

Tập hợp tất điểm biểu diễn zlà đường trịn có tâm I3; ,  bán kính R5 Vậy a b R  4

Bài tập 2: Cho số phức zthỏa mãn z   3 z 10 Tập hợp điểm biểu diễn số phức zlà A.Một parabol

B.Một đường tròn C.Một elip D.Một hypebol

Gọi z x yi x y   ,  z   3 z 10 x 3 yi  x 3 yi 10(*) Gọi M điểm biểu diễn số phức zvà điểm F1  3;0 ,F2 3;0  Dễ thấy F F1  6 2c Khi đó: z   3 z 10MF1MF2 10  a

Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức zlà elip có hai tiêu điểm F F1, 2, độ dài trục lớn 2a10

Bài tập 3: Cho số phức z thỏa mãn z 10 w6 8 i z  1 2i2 Tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường trịn có tâm

A. I 3;  B. I 3; C. I1;   D. I 6;8 Hướng dẫn giải

(19)

Ta có

   2

6

w  i z  i   6 

w i i z

     

 3 4  62 82

w i z

     

  10.10   100

w i w i

         

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức wlà đường trịn  C có tâm I 3;  Bài tập 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,tập hợp điểm biểu biễn số phức z thỏa mãn z 1 2i   z 2i đường thẳng có phương trình

A. x2y 1 B. x2y0 C. x2y0 D. x2y 1

Đặt z x yi x y   ,   z x yi

Gọi M x y ; điểm biểu diễn số phức z Ta có: z 1 2i   z 2i

1 2

x yi i z yi i

       

x 1 y 2i x 1 2 y i

       

  2 2   2 2

1 2

x y x y

       

2 2 1 4 4 2 1 4 4

x x y y x x y y

           

2 x y

  

Vậy tập hợp điểm biểu biễn số phức zthỏa mãn yêu cầu toán đường thẳng có phương trình x2y0

Bài tập 5. Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z. Tập hợp những điểm M(z) thỏa mãn điều 2 z  i z là

A.Đường thẳng 4x 2y 0   B.Đường thẳng 4x 2y 0  

A.Đường thẳng x 2y 0   D.Đường thẳng x 9y 0  

Hướng dẫn giải

Chọn A

Cách 1. Đặt z x yi; x, y   .là số phức đã cho và M x; y là điểm biểu diễn của z trong

(20)

Ta có z 2   i z x 2 yi  x y i   x 2 2y2  x2y 1 2

4x 2y

    . Vậy tập hợp điểm M cần tìm là đường thẳng 4x 2y 0   Cách 2. z 2     i z z  2  i z * 

Đặt z x yi; x, y   .là số phức đã cho và M x; y là điểm biểu diễn của z trong mặt

phẳng phức, Điểm A biểu diễn số ‐2 tức A2; 0và điểm B biểu diễn số phức i tức B 0;1 

Khi đó  * MA MB Vậy tập hợp điểm M cần tìm là đường trung tực của AB:

4x 2y 0  

Bài tập 6. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều

kiện z 2i   z i là

A.Đường thẳng x y 0   B.Đường thẳng x 2y 0  

A.Đường thẳng x 2y 0   D.Đường thẳng x y 0  

Chọn D

Giả sử z x yi (x, y  ), điểm M x; y  biểu diễn z. Theo bài ra ta có:

      2  2   2 2

x y i x y i x y x y

4y 2x 2y x y

            

        

Suy ra M thuộc đường thẳng có phương trình x y 0  

Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường thẳng có phương trình x y 0   Bài tập 7. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều

kiện 5 i z 2i    1 7i z i   là

A.Đường thẳng B.Đường tròn

A.Đường elip D.Đường Parabol

Chọn A

Nhận thấy 5 i 5 2 1 7i

(21)

  2i i i z 7i z

5 5i 7i

3 2i i 1

z z z i z i

5 5i 7i 10 50 50



     

 



         

 

Vậy tập hợp M là đường trung trực AB, với A 1; , B ; 10 50 50

   

   

   .

kiện z z 3  4 là A.Hai đuờng thẳng x

2

 , x

  B.Hai đuờng thẳng x

  , x

  A.Hai đuờng thẳng x

2

 , x

 D.Hai đuờng thẳng x

  , x

 Hướng dẫn giải

Chọn A

Đặt z x yi, x, y   

Lúc đó:

2

z z x yi x yi 2x 4x 12x 16

x 4x 12x

7 x

2

               

  

     

   

Vậy tập hợp điểm M là hai đường thẳng x= ; x1

2  2 song song với trục tung.

kiện z z i   2 là

A.Hai đuờng thẳng y 3; y

2

 

  B.Hai đuờng thẳng y 3; y

2

 

 

A.Hai đuờng thẳng y 5; y

2

 

  D.Hai đuờng thẳng y 5; y

2

 

 

Chọn B

Đặt z x yi, x, y   

(22)

 

 2 2 2

2

z z i x yi x yi i 2y i

1 2y 4y 4y 4y 4y

1

y 2y 2y

1

y

              

            

 

  

    

 

  

Vậy tập hợp điểm M là hai đường thẳng y 3; y

2

 

  song song với trục hoành. Bài tập 10. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều

kiện 2 z 1   z z 2 là

A.Hai đuờng thẳng x 0 , y 0 B.Hai đuờng thẳng x 0 , y 2

C.Hai đuờng thẳng x 0 , x 2 D.Hai đuờng thẳng x 2 , y 2

Chọn C

Gọi M x; y  là điểm biểu diễn số phức z x yi  , x, y thỏa 2 z 1   z z

 

 2 2    2 2

2 x yi x yi x yi 2 x yi 2yi x

2 x y 2y x 2x

x

               

          

  

Vậy tập hợp các điểm M cần tìm là hai đường thẳng x 0 , x 2.

kiện z i  2 là

A.Đuờng thẳng x y 0   B.Đường tròn   2 2

x 1  y 1 4

C.Đường thẳng x y 0   D. Đường tròn tâm I 1; 1   và bán kính

R2.

Chọn D

Xét hệ thức: z i  2 Đặt z x yi, x, y   .

(23)

Vậy, tập hợp những điểm M(z) thỏa mãn hệ thức (1) là đường tròn tâm I 1; 1   và bán

kính R2.

kiện z z 1  là

A.Đuờng tròn x2 y2 18y

8

    B.Đường tròn x2 y2 18y

8

   

C.Đường tròn x2 y2 18y

8

    D. Đường tròn tâm I 0;9

   

  và bán kính

1

R

8

 Hướng dẫn giải

Chọn B

Đặt z x yi, x, y   .Ta có 2

z 18

3 z z x y y z 1         8

Vậy, tập hợp những điểm M(z) thỏa mãn hệ thức (1) là đường tròn tâm I 0;9

   

  và bán

kính R



kiện z 2i   2z 2i  là

A.Đuờng tròn x2 y2 2x 4y

3 3

     B.Đường tròn x2 y2 2x 4y

3 3

    

C.Đường tròn x2 y2 2x 4y 0

3 3

     D. x2 y2 2x 4y 0

3 3

    

Chọn C

Đặt z x yi; x, y   .

Ta có: z 2i  2z 2i 

          2  2   2

2

x y i 2x 2y i x y 2x 2y

3x 3y 2x 4y

               

(24)

Suy ra: Tập hợp các điểm biểu diễn z là phương trình đường trịn (C):

2 2

x y x y

3 3

    

kiện z i   1 i z là

A.Đuờng tròn x2y 1 22 B.Đường tròn x2y 1 22

C.Đường tròn x 1  2 y 1 22 D. x 1  2 y 1 22

Chọn A

Gọi M x; y  là điểm biểu diễn của số phứcz x yi; x, y   .

Suy ra z i  x2y 1 2   1 i z   1 i x yi    x y  2 x y 2

Nên z i   1 i z x2y 1  2 x y  2 x y 2x2y 1 22

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn x2y 1 22.

kiện z 4i  z 4i 10 là A.Đuờng elip

2 y

x

1

9 16 B.Đuờng elip

2 y

x

1 16 

C.Đuờng elip

2

y x

1

4   D.Đuờng elip

2

y x

1  

Chọn A

Xét hệ thức: z 4i  z 4i 10 Đặt z x yi, x, y   . Lúc đó

 2  2 2

2 x y

(4) x y x y 10

9 16

         

Vậy tập hợp điểm M là đường elip có hai tiêu điểm là F (0; 4); F (0; 4)1 2  và độ dài trục lớn là

(25)

kiện z 2   z 5 là

A.Đuờng tròn B.Đuờng elip

C.Đuờng parabol D.Đuờng thẳng

Chọn B

Đặt z x yi; x, y   .

Ta có: z 2   z

     2 2  2 2  

x yi x yi x y x y

             

Xét A 2; ; B  2; ; I x; y  IA IB 5 

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z chính là tập hợp các điểm I thỏa mãn IA IB 5  , đó

chính là một elip có tiêu cự c AB 2;a IA IB

2 2



   

Bài tập 17. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện 2 z  z là

A.Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng ởbên phải trục tung

B.Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng ởbên trái trục tung

C.Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng phía trên trục hồnh

D.Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng phía dưới trục hồnh

Chọn A

Xét hệ thực: z  z 1 . Đặt z x yi, x, y   .

Khi đó: (3)8x 0

Tập hợp những điểm M(z) thỏa mãn điều kiện (1) là nửa mặt phẳng ở bên phải trục tung,

tức các điểm  x,y mà x 0

Bài tập 18. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện 1   z i 2 là

(26)

B.Tập hợp các điểm là hình vành khăn có tâm tại A 1;1  và các bán kính lớn và nhỏ lần lượt là 2; 1

C.Tập hợp các điểm là hình trịn có tâm I 1; 1   , bán kính 1

D.Tập hợp các điểm là hình vành khăn có tâm tại I 1; 1  và các bán kính lớn và nhỏ lần lượt là 2; 1

Chọn 18 B

Xét hệ thực: 1   z i 2  Đặt z x yi, x, y   .

Khi đó:  2  1 x 1  2 y 1 24

Vậy tập hợp những điểm M(z) thỏa mãn điều kiện (2) là hình vành khăn có tâm tại  

A 1;1 và các bán kính lớn và nhỏ lần lượt là 2;

Bài tập 19. Tìm tất cả các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho z i

z i

 

là số thực.

A.Tập hợp điểm gồm hai trục tọa độ B.Tập hợp điểm là trục hoành

C.Tập hợp điểm gồm hai trục tọa độ bỏ đi điểm A(0;1) D.Tập hợp điểm là trục tung, bỏ đi A(0;1)

Chọn C

Đặt z x yi, x, y   

Ta có:       

 2

x y 1 y x y x y i z i

z i x 1 y

 

      

   

  

z i z i



 là số thực x y 1   x y  0 xy 0.

(27)

Tóm lại:

     

   

 



x y

ycbt

x,y 0;1

Vậy các điểm của mặt phẳng phức cần tìm gồm hai trục tọa

độ bỏ đi điểm A(0;1)

Bài tập 14. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho u z 3i z i

  

 là một số thuần ảo.

A.Đường trịn tâm I 1; 1 bán kính R

B.Đường trịn tâm I 1; 1 bán kính R 5 trừ đi hai điểm A 0;1 ; B   2; 3

C.Đường trịn tâm I 1;1  bán kính R5

D.Đường trịn tâm I 1;1  bán kính R 5 trừ đi hai điểm A 0;1 ; B   2; 3

Chọn B

Đặt z x yi, x, y   

Ta có:

   

 

2

x y i x y i x y 2x 2y 2x y i z 3i

u

z i x y 1 x y 1

               

     

  

    

u là số thuần ảo

   

2

2 x y

x y 2x 2y

x, y 0;1 2x y

x, y 2;

    

      

 

   

  

 

 

   



Vậy tập hợp điểm z là đường tròn tâm I 1; 1 bán kính R 5 trừ đi hai điểm

   

A 0;1 ; B  2;

Bài tập 21. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z x yi  thỏa mãn điều kiện

x y 1 là

A.Ba cạnh của tam giác

B.Bốn cạnh của hình vng

C.Bốn cạnh của hình chữ nhật

D.Bốn cạnh của hình thoi

(28)

Chọn B

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z.

Ta có:

x y x 0,y x y x 0,y x y

x y x 0,y x y x 0,y

                          

Vậy tập hợp điểm M là 4 cạnh của hình vng.

Bài tập 22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa

mãn z i z i

z z

  

  là số thuần ảo. A.Đường tròn tâm I 1;

2

 

 

  bán kính

1 R

2



B.Đường tròn tâm I 1;

 

 

  bán kính

1 R

2

 trừ đi hai điểm 1; 0.

C.Đường tròn tâm I 1;

 

 

  bán kính

1 R

4



D.Đường tròn tâm I 1;

 

 

  bán kính

1 R

4

 trừ đi hai điểm  0;1 Hướng dẫn giải

Chọn B

Giả sử z x yi  và điểm biểu diễn số phức z là M x; y .

Ta có:      

 

2 2

2 x y 2x x i z z z i z z 2i

z i z i

z z 1 z z z 1 x 1 y

   

    

    

      

z i z i z z

  

  là số thuần ảo

 

     

2

2 2

1

2 x y 2x x y

2

x y x; y 1; 0

                        

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn

2 1 x y       

  bỏ đi điểm 1; 0.

Bài tập 23. Tìm quỹ tích các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức w iz 1  ,

(29)

B.Đường trịn   C : x 3  2 y 1 22 C.Đường tròn   C : x 3  2 y 1 24

D.Đường tròn   C : x 3  2 y 1 24

Chọn C

Ta có z3 z3 nên z 2i 1  3 23 z 2i 1   2  *

Đặt w x yi 

Ta lại có w iz 1    z i iw   z i i.w. (*) trở thành:   2 2   2 2

iw 3i 1   2 y 1  x 3  2 y 1  x 3 4

Vậy quỹ tích các điểm biểu diễn w trên mặt phẳng phức là đường tròn     2 2

C : x 3  y 1 4.

Bài tập 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w thỏa mãn:

w z i   , biết z là số phức thỏa z 2i  1. A.Đường tròn tâm I 1; 2  bán kính R

B.Đường trịn tâm I 2;1  bán kính R2

C.Đường trịn tâm I 1;1  bán kính R 1

D.Đường trịn tâm I 3; 3 , bán kính R 1

Chọn D

Gọi w x yi x, y   M x; y  là điểm biểu diễn cho số w trên hệ trục Oxy.

   

    2 2

z w i x y i z x y i

z 2i x 3 y i x y

           

            

Vây tập hợp điểm biểu diễn số phức w là một đường tròn tâm I 3; 3 , bán kính R 1 Bài tập 25. Trong mặt phẳng phức Oxy, tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức

 

(30)

A.Đường trịn tâm I 1; 2  bán kính R

B.Đường trịn tâm I 2;1  bán kính R5

C.Đường trịn tâm I 1; 4  bán kính R5

D.Đường trịn tâm I 1; 3 , bán kính R5

Chọn C

Theo giả thiết: z a b i a b i 2i 2i

  

         



  2 2   2 2

a b 5 a b 125

         

Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn đề bài là đường tròn tâm I 1; 4  bán kính R5 5. Bài tập 26. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức zʹ 1 i z 2  với z 1 2

A.Hình trịn tâm I3; 3, R4

B.Đường trịn tâm I3; 3, R4

C.Hình trịn tâm I 1; 4   bán kính R5

D.Đường trịn tâm I 1; 3 , bán kính R5

Chọn A

Giả sử ta có  

 

z a bi a, b zʹ x yi x, y

   



   



 

Khi đó:

      

zʹ 1 i z 2  x yi 1 i a bi   2 x yi a b 2    b a 3

x y a

x a b 4

y b a 3x y

b

4

  

     

 

 

   

 

 



(31)

 2 2 x y 2 3x y

z a b 4

4

       

           

   

   

2 2 2

2

x y 3x y 64 4x 4y 24x 3y 16

x y 6x 3y x y 16

            

          

Vậy quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z’ là hình trịn tâm I3; 3, R4

Bài tập 27. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức w 1 i z 2  biết rằng số phức z thỏa mãn z 1 2.

B.Đường trịn tâm I 3; 3  bán kính R4

D.Hình trịn tâm I 3; 3  bán kính R4

Chọn D

Đặt z a bi, a, b    và w x yi, x, y   

Ta có: z 1  2 a 1 2b24 * 

Từ

    

 

  2 2  2 2  

w i z x yi i a bi x a b x a b

y 3 a b

y 3a b

x y a b 16 Do (*)

        



       

 

 

   

 

 

 

 

        

 

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hình trịn tâm I 3; 3  bán kính R4

Bài tập 28. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức zʹ2z i  với 3z i 2zz 9

(32)

D.Hình trịn tâm I 3;

  

 

 ,

73 R

4



Giải

Chọn D

Giả sử ta có  

 

z a bi a, b zʹ x yi x, y

   

 

  



 

Khi đó    

x a

x 2a 2

zʹ 2x i x yi 2a 2b i

y y 2b

b

   

   

          

  

  



Theo bài ra ta có:

 

2 2 2 2 2 2

3z i zz 9 9a  3b 1 a b  9 4a 4b 3b 0 

  2 2 3   2 73

x y y x y

2 16

 

             

 

Vậy quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z’ là hình trịn tâm I 3;

  

 

 ,

73 R

4



Bài tập 29. Cho các số phức z thỏa mãn z 4. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số

phứcw (3 )i z i là một đường trịn. Tính bán kính r của đường trịn đó.

A.r  4 B.r  5 C.r  20 D.r  22

Chọn C

Gọi w a bi  , ta có (3 ) ( 1)  ( 1) (3 )2

3 16

a b i i

a b i

w a bi i z i z

i i

  

 

       

 

2

(3 4) (3 3) 4 (3 3).

25 25 25

a b b a

a b b a i z     

   

Mà z = 4 nên(3a4b4)2(3b4a3)2 1002 a2b22b399

Theo giả thiết, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w (3 )i z i là một đường tròn

(33)

BÀI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC A LÍ THUYẾT

1 Căn bậc hai phức

Định nghĩa

Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn z2 w được gọi bậc hai w

Tìm bậc hai số phức w  w số thực

+ Nếu w0 w có hai bậc hai i w  i w

+ Nếu w0 w có hai bậc hai w  w  w a bi  a b, , b0

Nếu z x iy  bậc hai w x iy 2  a bi Do ta có hệ phương trình:

2

2x      

x y a

y b

Mỗi nghiệm hệ phương trình cho ta bậc hai w

2 Giải phương trình bậc hai với hệ số thực Xét phương trình az2bz c 0 a b, , c;a0 Ta có  b24ac

 Nếu  0 phương trình có nghiệm thực

2   b x

a  Nếu  0 phương trình có hai nghiệm thực phân

biệt:

1 2     b x

a ; 2

    b x

a

 Nếu  0 phương trình có hai nghiệm thực phân biệt:

1

2     b i x

a ;

2     b i x

a

Hệ thức Vi-ét phương trình bậc hai với hệ số thực Phương trình bậc hai ax2bx c 0 a0 có hai nghiệm

Nhận xét:

+) Số có bậc hai là

+) Mỗi số phức khác có hai bậc hai hai số đối (khác 0)

Chú ý:

Mọi phương trình bậc n:

0



    

n n

A z A z A z A

(34)

phân biệt x1, x2 (thực phức)

1

1      



   

b

S x x

a c P x x

a

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Giải phương trình Tính tốn biểu thức nghiệm 1 Phương pháp giải

Cho phương trình: 2  0

az bz c a b, ,c;a0  Giải pương trình bậc hai với hệ số thực  Áp dụng phép toán tập số phức để biến đổi biểu thức

Ví dụ: Xét phương trình z22z 5 0 a) Giải phương trình tập số phức b) Tính z1  z2

Hướng dẫn giải

a) Ta có:      '  2i Phương trình có hai nghiệm là:

1 2

z i; z2 2 2i

b) Ta có 2

1   2 2

z z

Suy z1  z2 2 2 2  2 Bài tậ

Bài tập 1. Trong số sau, số nghiệm phương trình z2 1 z z? A.

2  i

B. 

C. 

D. 2  i Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có z2 1 z z

2 2 2 .1 3

2 4

          

  i

z z z

1 3

2 2

1 3

2 2

     

 

 

     

 

 

i i

z z

i i

z z

Bài tập 2. Phương trình z2az b 0 a b,  có nghiệm phức 4 i Giá trị của a b bằng

A.31 B.5 C.19 D.29

(35)

Cách 1: Do z 3 4i nghiệm phương trình z2az b 0 nên ta có:

 2      

3 4 i a 4 i   b 3a b  7 4a24 i0

3

4 24 25

    

 

 

  

 

a b a

a b

Do a b 19

Cách 2: Vì z1 3 4i nghiệm phương trình

2  0 z az b nên  3

z i nghiệm phương trình cho Áp dụng hệ thức Vi-ét vào phương trình ta có

1    

  

z z a

z z b

   

  

3 4

19 25

3 4

    

   



     

   



i i a a

a b b

i i b

nghiệm phương trình bậc hai với hệ số thực z0 nghiệm phương trình

Bài tập 3. Gọi z0 nghiệm phức có phần ảo dương phương trình z26z34 0 Giá trị của 0 2

z i

A. 17 B.17 C. 17 D. 37

Hướng dẫn giải Chọn A

ra có    ' 25  5i Phương trình có hai nghiệm z  3 5i; z  3 5i Do z0   3 5i z0    2 i 4i  17

Bài tập 4. Gọi z1 nghiệm phức có phần ảo âm phương trình z22z 5 0 Tọa độđiểm biểu diễn số phức

1 4 i

z mặt phẳng phức

A. P 3; B. N1; 2  C. Q3; 2  D. M 1; Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có 2 5 0 2          



z i

z z

z i

Theo yêu cầu toán ta chọn z1 1 2i Khi đó:

  

2

7

7 3 2

1 2

 

     

 

i i

i i i

z i

(36)

Bài tập 5. Gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình z24z 5 0 Giá trị của biểu thức

 2019  2019 11  21

z z

A. 21009 B. 21010 C.0 D. 21010

Hướng dẫn giải Chọn D

Xét phương trình  2

2

4

2   

        

  

z i

z z z

z i

Khi ta có: z112019z212019 1 i2019  1 i 2019

   21009     21009

1 1

 i i  i i

   1009    1009

1

 i i  i  i

 1009     1010  2 505 1010 1010

2 1 2

 i   i i  i  i  

Dạng 2: Định lí Vi-ét ứng dụng 1 Phương pháp giải

Định lí Vi-ét: Cho phương trình: 2  0

az bz c ; a b, ,c; a0

có hai nghiệm phức z1, z2 2

b z z

a c z z

a     

   

Ví dụ: Phương trình z24z24 0 có hai nghiệm phức z1, z2 nên

1

z z  ; z z1 224

Chú ý: Học sinh hay nhầm lẫn: z1 z2 b a

 

2 Bài tập

Bài tập 1: Gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình

2 2 5 0

z  z  Giá trị biểu thức 2

1 z z

A.14 B.–9 C.–6 D.7

Hướng dẫn giải Chọn C

Gọi z1, z2 nghiệm phương trình z22z 5 0

Theo định lí Vi-ét ta có: 2

2 z z z z

  

  

Suy 2  2

1 2 2 2.5 z z  z z  z z    

(37)

A. z22z 3 0 B. z22z 5 0 C. z22z 5 0 D. z22z 3 0 Hướng dẫn giải Chọn C

Phương trình bậc hai có hai nghiệm phức liên hợp nên phương trình bậc hai có nghiệm 2 i nghiệm cịn lại 2 i Khi tổng tích hai nghiệm 2;

Vậy số phức 2 i nghiệm phương trình z22z 5 0

phương trình: +) z22z 3 0

z 12 2i2

  

1

z i

   

1

z i

  

+) z22z 5 0

 2 2

1

z i

  

1

z i

   

z i

    +) z22z 5 0

 2 2

1

z i

  

1

z i

   

1

z i

  

+) z22z 3 0

 2 2

1

z i

  

1

z i

   

1

z i

   

Bài tập 3: Kí hiệu z1, z2 nghiệm phức phương trình 2z24z 3 0 Tính giá trị biểu thức

 

1 2 P z z i z z

A. P1 B.

2

P C. P D.

2 P

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có z1, z2 hai nghiệm phương trình

2z 4z 3

Theo định lý Vi-ét ta có

1

1 2

2 z z z z

   

   

Ta có      

2

2 2

3 2 2 2

2 2

P z z i z z   i   i         

(38)

2 4 7 0

z  z  Giá tị 3  

P z z

A.–20 B.20

C.14 D. 28

Theo định lý Vi-ét ta có 2

4 z z z z

  

  

Suy 3   2 2 1 2 z z  z z z z z z

   2 

1 2

z z z z z z

   

  4 3.7 20

   

2 4 7 0 z  z 

z 22 3i2

  

1

2

2 3

z i

    

  

Do đó: 3  z z

  3 3 3i 3i

   

20  

Bài tập 5: Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình 3z22z27 0 Giá trị của 2

z z z z

A.2 B.6 C. D.

Áp dụng định lý Vi-ét, ta có 1 2

z z  z z1 2 9 Mà z1  z2  z z1  z z1  3

Do 2 1  2

.3 3

3 z z z z z z  z z  

Bài tập 6: Cho số thực a2 gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình

2 2 0

z  z a  Mệnh đề sau sai?

A. z1z2 số thực B. z1z2 sốảo C.

2 z z

z  z sốảo D.

1 2 z z

z  z số thực Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có 2 b z z

a

    Đáp án Ađúng

Phương trình bậc hai với hệ số thực có hai nghiệm số phức liên hợp Gọi z1 x yi; x y,  nghiệm, nghiệm lại z2  x yi

(39)

 2 2

1 2 2

2 1 2

2

z z z z

z z z z a

z z z z z z a

 

    

(40)

Dạng 3: Phương trình quy phương trình bậc hai 1 Phương pháp giải

 Nắm vững cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực tập số phức  Nắm vững cách giải số phương trình

quy bậc hai, hệ phương trình đại số bậc cao;…

Ví dụ: Giải phương trình: z4z2 6 0 tập số phức

Đặt z2 t, ta có phương trình:

2 6 0

2 t t t

t         

Với t3 ta có z2   3 z 3 Với t 2ta có z2     2 z i 2

Vậy phương trình cho có bốn nghiệm

z  ; z i 2 Bài tậpmẫu

Bài tập 1: Tổng môđun bốn nghiệm phức phương trình 2z43z2 2 0

A. B. C. D.

Ta có:

2

2 2

2

2 1 1

2

2 z z z

z z z i

z i

  

  

  



      

    

 

   

Khi đó, tổng mơđun bốn nghiệm phức phương trình cho

2

2 i i      

Bài tập 2: Kí hiệu z1, z2, z3, z4 bốn nghiệm phức phương trình z44z2 5 0 Giá trị của

2 2

1

z  z  z  z

A. 2 5 B.12 C.0 D. 2

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có:

2

1 1

4

5

5 z z z

z z

z i

z

z i

    

  

       

 

(41)

Phương trình có bốn nghiệm là: z11, z2  1, z3 i 5, z4i Do đó: 2 2 2    2

1 1 5 12

z  z  z  z     

Bài tập 3: Gọi z1, z2, z3, z4 nghiệm phức phương trình z2z 24 z2 z 12 0 Giá trị biểu thức S  z12 z22 z32 z42

A. S 18 B. S 16 C. S 17 D. S 15

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có: z2z 24 z2 z 12 0

Đặt t z 2z, ta có 4 12 0 t t t t           Suy ra: 2

2 1 23

6

1 23 z

z

z z i

z z z i z                             Suy  

2

2 23 23

1 17

2 2

S                       Bài tập 4: Gọi z1, z2 hai nghiệm phương trình

4

2

z z

z    Khi z1z2

A.1 B.4 C.8 D.2

Điều kiện: z0 Ta có:

2

4

2

4 4

z z z z z z z

z z z

   

                

 

1 15 15

2 2

4

1 15 15

2 2

z i z i

z z

z i z i

                             

Vậy 1 2 15 15 1

2 2

z z    i  i   

Bài tập 5: Cho số thực a, biết phương trình z4az2 1 0 có bốn nghiệm

z , z2, z3, z4 thỏa mãn     

1 4 4 441

(42)

A. 19 a a        B. 19 a a        C. 19 a a         D. 19 a a       Hướng dẫn giải

Chọn B

Nhận xét: z2 4 z2  2i 2 z2i z 2i Đặt f x z4az21, ta có:

       4     

1

4 4 k k 2

k k

z z z z z i z i f i f i

 

          

 4 2  4 2   2

16i 4ai 16i 4ai 17 4a

      

Theo giả thiết, ta có  2

1

17 441 19

2 a a a          

Bài tập 6: Cho số phức z thỏa mãn 11z201810iz201710iz 11 0 Mệnh đề dưới đây đúng?

A. 2 z 3 B. 0 z 1 C. 1 z 2 D.

2 z  Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có 201711 10  11 10 2017 11 10 2017 11 10

11 10 11 10

iz iz

z z i iz z z

z i z i

 

      

 

Đặt z a bi  có

 

      

2 2

2

100 220 121

11 10 10 11 100

11 10

11 10 11 10 121 11 10 121 220 100

a b b

i a bi b a

iz

z i a bi i a b a b b

  

   

   

       

Đặt t z t0 ta có phương trình 2017 2

100 220 121 121 220 100

t b t t b     

(43)

BÀI CỰC TRỊ SỐ PHỨC A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Các bất đẳng thức thường dùng a.Cho số phức z z1, 2 ta có: +) z1  z2  z1z2 (1)

Đẳng thức xảy

1

0

0, , 0,

z

z k k z kz

 

     

 

+) z1z2  z1  z2 (2)

1

0

0, , 0,

z

z k k z kz

 

     

 

b.Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz

Cho số thực a b x y, , , ta có: ax by  a2b2x2y2 Đẳng thức xảy ay bx

2 Một số kết quảđã biết

a.Cho hai điểm ,A B cốđịnh Với điểm M ln có bất đẳng thức tam giác: +) MA MB AB  , dấu “=” xảy M nằm hai điểm ,A B

+) MA MB  AB, dấu “=” xảy B nằm hai điểm A M,

b.Cho hai điểm A B, nằm phía đường thẳng d M điểm di động d Ta có: +) MA MB  AB, dấu “=” xảy  Ba điểm ,A M B, thẳng hàng

+) Gọi A điểm đối xứng với Aqua d, ta có

MA MB MA MB A B     , dấu “=” xảy  Ba điểm A M B, , thẳng hàng

c.Cho hai điểm A B, nằm khác phía đường thẳng d M điểm di động d Ta có: +) MA MB AB  , dấu “=” xảy M nằm hai điểm A B,

+) Gọi A điểm đối xứng với Aqua d, ta có

MA MB  MA MB  A B , dấu “=” xảy  Ba điểm A M B, , thẳng hàng

d.Cho đoạn thẳng PQ điểm A không thuộc PQ, Mlà điểm di động đoạn thẳng PQ,

 

maxAM max AP AQ, Để tìm giá trị nhỏ AM ta xét trường hợp sau:

+) Nếu hình chiếu vng góc Hcủa A đường thẳng PQ nằm đoạn PQ minAM AH +) Nếu hình chiếu vng góc H A đường thẳng PQ không nằm đoạn PQ

 

(44)

e.Cho đường thẳng và điểm A không nằm  Điểm M  có khoảng cách đến A nhỏ hình chiếu vng góc A 

f.Cho ,x y tọa độ điểm thuộc miền đa giác A A A1 2 n Khi giá trị lớn (nhỏ nhất) biểu thức F ax by  (a b, hai số thực cho không đồng thời ) đạt đỉnh miền đa giác

SƠĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Với số thực a b x y, , , ta có

 2 2

ax by  a b x y Dấu “=” xảy a b

x y

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Phương pháp hình học 1 Phương pháp giải

Vi dụ: Cho số phức zthỏa mãn

   2

2 z z i z z Giá trị nhỏ z3i

A.3 B.

C. D.2 Hướng dẫn giải

Bước 1: Chuyển đổi ngôn ngữ toán số phức Giả sử z x yi x y   ,    z x yi Khi đó Bất đẳng thức tam giác

1 2

z z  z  z Dấu “=” xảy z1kz k2 0 2

z z  z  z Dấu “=” xảy z1kz k2 0 2

z z  z  z Dấu “=” xảy z1kz k2 0 2

z z z z Dấu “=” xảy z1kz k2 0

(45)

sang ngơn ngữ hình học    2   2 2 z z i z z 2 2yi 4x i y x Gọi M x y A  ; ; 0; 3  điểm biểu diễn cho số phức z; 3 ithì z3i MA

Bước 2: Sử dụng số kết biết để giải tốn hình học

Parabol y x 2có đỉnh tại điểm O 0;0 , trục đối xứng đường thẳng x0 Hơn nữa, điểm A thuộc trục đối xứng parabol, nên ta có:

3

MA OA  Suy ra, minMA3 M O Bước 3: Kết luận cho toán số phức Vậy z3i 3, z0 Chọn A.

2 Bài tập mẫu

Bài tập 1: Cho số phức zthỏa mãn z 3 4i 1 Môđun lớn số phức zbằng

A.7 B.6

C.5 D.4

Gọi M x y I   ; , 3; điểm biểu diễn cho số phức ;3

z  i Từ giả thiết z 3 4i  1 MI 1

Tập hợp điểm M biểu diễn số phức zthỏa mãn giả thiết đường tròn tâm I 3; , bán kính r1

Mặt khác z OM Mà OMđạt giá trị lớn OI r , Mlà giao điểm đường thẳng OMvới đường tròn tâm I 3; , bán

Nhận xét:

(46)

kính r1 Hay 18 24; 5 M 

 

Do đó, max z OI r   5 6, 18 24 5 z  i

Bài tập 2: Trong số phức zthỏa mãn z 2 4i  z 2i , số phức z có mơđun nhỏ

A. z 2 2i B. z 1 i C. z 2 2i D. z 1 i

Đặt z x yi x y   ,  Khi z 2 4i  z 2i    x y

 d

Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức zlà đường thẳng d Do z OM nhỏ Mlà hình chiếu O d Suy M 2; hayz 2 2i

Nhận xét: Trong tất đoạn thẳng kẻ từ điểm O đến đường thẳng d, đoạn vng góc OM ngắn

Bài tập 3: Cho số phức zthỏa mãn z   3 z 10 Giá trị nhỏ z

A.3 B.4

C.5 D.6

Cách 1:

Gọi F13;0 ,  F2 3;0 , có trung điểm O 0;0 Điểm M biểu diễn số phức z

Theo công thức trung tuyến

2 2

2 2 1 2 1 2

2

MF MF F F

z OM   

Ta có  

2

1

2

1 50

2

MF MF

MF MF   

   

1

4;0 50 36

min

10 4;0

M

MF MF

z

MF MF M

  

     

   



  ,

Khi z4i z 4i

Với số thực ,a b ta có bất đẳng thức:  

2 2

(47)

Cách 2:

Gọi F13;0 ,  F2 3;0 , M x y  ; ; ,x y điểm biểu diễn số phức 3;3;z

Ta có F F1 2c  6 c 3 Theo giả thiết ta có MF1MF210, tập hợp điểm M đường elip có trục lớn 2a10 a ; trục bé

2

2b2 a c 2 25 8 

Mặt khác OM  z nhỏ z4i z 4i Vậy giá trị nhỏ z

Với điểm M nằm elip, đoạn OM ngắn đoạn nối

O với giao điểm trục bé với elip

Bài tập 4: Xét số phức zthỏa mãn z i 3z i 10 Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ z

A. 60

49 B.

58 49 C. 18

7 D.

16

Gọi A0; ,   B 0;1 , đoạn thẳng ABcó trung điểm O 0;0 Điểm Mbiểu diễn số phức z

Theo công thức trung tuyến

2 2

2

MA MB AB

z OM   

Theo giả thiết 4MA3MB10 Đặt 10

a MA a MB  Khi

10 16

2 10

3 7

a

MA MB    AB     a   a

Ta có  

2

2 2 10 36

3

a a

MA MB a      

 

Do 36 24 5 82 576

7 a a 49

(48)

2

2 2

1

260 81

49 49

z

MA MB

MA MB z z

    

 

 

    

 

 

Đẳng thức z 1khi 24 25 25

z   i Đẳng thức

z  z i Vậy tổng giá trị lớn giá trị nhỏ z 16

7

Bài tập 5: Cho zlà số phức thay đổi thỏa mãn z   2 z Trong mặt phẳng tọa độ gọi M N, điểm biểu diễn số phức zvà z Giá trị lớn diện tích tam giác OMNlà

A.1 B.

C. D. 2

Đặt z x yi x y   ,   z x yi

Gọi F12;0 ,  F2 2;0 , M x y N x y  ; , ;  điểm biểu diễn số phức 2; 2; ;z z

Do ,M Nlà điểm biểu diễn số phức zvà z nên suy M N, đối xứng qua Ox

Khi SOMN  xy

Ta có F F1 2 2c  4 c 2 Theo giả thiết ta có MF1MF2 4 2, tập hợp điểm M thỏa điều kiện elip có trục lớn

2a4 2 a 2 ; trục bé 2b2 a2c2 2 4   b 2 Nên elip có phương trình  

2

:

8

x y

E  

Do

2 2

1 2

8 2 OMN

xy

x y x y

S xy

      

Đẳng thức xảy 2 x y

  

(49)

Bài tập 6: Cho số phức zthỏa mãn z i   z i Giá trị nhỏ P  i z 4 2i

A.1 B.

2

C.3 D.

2

Gọi z x yi x y   , ; M x y ; điểm biểu diễn số phức z Ta có z i   z i  x y1i   x y1i

  2  2 2

2 1 2 1

x y x y

       0   x y   Ta có P i 1z 4 2i  

4 2

1

1 i

i z z i

i 

      

  2 2

2 x y 2MA

     , với A 3;1

 

min 2 2

3 1

2 ,

1

P MA d A  

     



Đẳng thức xảy M hình chiếu vng góc A đường thẳng  hay 5;

2 2

M     z i

 

Bài tập 7: Cho hai số phức z z1, 2thỏa mãn z1z2 6 z1z2 2 Gọi ,M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức

1

P z  z Khi mơđun số phức M mi

A. 76 B.76

C. 10 D. 11

Ta gọi ,A B điểm biểu diễn số phức z z1, Từ giả thiết z1z2 6 OA OB   6 OI 3 với I trung điểm đoạn thẳng AB

1 2

(50)

Ta có 2 2 2 20 AB OA OB  OI   .

1

P z  z OA OB P2 1212OA2OB240. Vậy maxP2 10M

Mặt khác, P z1  z2  OA OB  OA OB  6 Vậy minP 6 m

Suy M mi  40 36  76

Bài tập 8: Cho số phức zthỏa mãn z    2 i z 3i 5 Giá trị nhỏ biểu thức P  z 4i

A.1 B.

5 C.

5 D.

Gọi M x y ; điểm biểu diễn số phức z; gọi A2; ,  B 1;3

điểm biểu diễn số phức 2  i; 3i Ta có AB5 Từ giả thiết z    2 i z 3i 5

  2 2   2 2

2 1

x y x y

        

MA MB MA MB AB MA MB AB

        

Suy M A B, , thẳng hàng (B nằm M A) Do quỹ tích

điểm M tia Bt ngược hướng với tia BA

P  z i   2 2

1

x y

    , với C1;4  P MC Ta có AB  3;4phương trình đường thẳng : 4AB x3y 5

 ,  1 2 3.4 52

5

4

CHd C AB     

 ,    

2

1

CB     

Do

P CH  H giao điểm đường thẳng AB

(51)

Dạng 2: Phương pháp đại số

1 Phương pháp giải

Các bất đẳng thức thường dùng: 1 Cho số phức z z1, 2 ta có: a z1  z2  z1z2 (1)

1

0

0, , 0,

z

z k k z kz

 

     

 

b z1z2  z1  z2 .(2)

1

0

0, , 0,

z

z k k z kz

 

     

 

2 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

Cho số thực , , ,a b x y ta có ax by  a2b2x2y2

Đẳng thức xảy ay bx

2 Bài tập

Bài tập 1: Cho số phức z a a3 , i a Giá trị a để

khoảng cách từđiểm biểu diễn số phức zđến gốc tọa độ nhỏ

A

2

a B

2 a C. a1 D. a2

 2

2 3 2

2 2

z  a  a  a   

 

a Hay 3 2 z  i

Nhận xét: Lời giải có sử

dụng đánh giá 0, x   x 

Bài tập 2: Trong số phức z thỏa mãn điều kiệnz 2 4i  z 2i , số phức z có mơđun nhỏ

A. z 1 2i B. z  1 i C. z 2 2i D. z  1 i

(52)

Chọn C

Gọi z a bi a b   , 

2

z  i  z i  a  2 b 4i   a b 2i     a b

4  4 2 2 22 8 2

z b bi z b b b

            Suy z 2 2      b a z 2i

Bài tập 3: Cho số phức z thỏa mãn 1 z z i

   , biết

3

z  i đạt giá trị nhỏ Giá trị zbằng

A. B.

2 C.

2 D.

17 Hướng dẫn giải Chọn C

Gọi z a bi z   2i a b , 

1 z z i

 

    z z 2i 2a4b  3 2a 3 4b

  2 2  2

5 5 20

2

z i b b b

         

Suy

1

3

min 5

2 1

a

z i z i

b   

        

 Vậy

2 z 

Bài tập 4: Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1z2 3 4i

z z  Giá trị lớn biểu thức z1  z2

A. B.

C. 12 D.

Ta có  2 2 2

1 2

2 z  z  z z  z z 5  3 50

(53)

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có

 2

1 2 50

z  z  z  z  

Gọi z1 x yi z, 2  a bi a b x y; , , , 

1 2 2 2 25

z z i

z z z z z z                2 x y         a b        

Hay

7 1

;

2 2

z   i z   i

Thay z z1, 2 vào giả thiết thỏa mãn

Vậy, giá trị lớn biểu thức z1  z2

Bài tập 5: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Giá trị lớn biểu thức P  1 z 1z

A. 10 B. C. 15 D.

Ta có P 12321z2 1 z2 20 1 2 z22 10 Đẳng thức xảy

2 2 1 5

1 1 0 3 5 5

1

2

3 5

z x y x

z i

x

z x y

z y                                 

Vậy maxP2 10

Nhận xét: Lời giải sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz

Bài tập 6: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 2 Giá trị lớn

z i

A. B.

C. D.

Nhận xét: Lời giải sử dụng bất đẳng thức

(54)

Ta có z 3 i  z 1 2i  4 3i   z 2i 4 3i 7 Đẳng thức xảy 4 , 13 16

5 2

z i k i k

z i

    

   

   



Vậy giá trị lớn z 3 i

Bài tập 7: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 3 4i 4 Gọi M mlà giá trị lớn nhỏ môđun số phức z Giá trị

M m

A. B. 10

C.11 D. 12

Ta có z  z 3 4i  3 4i   z 4i 3 4i    4 M

Đẳng thức xảy    

4

3 4 , 5

27 36 4

5 k

z i k i k

z i z i

       

 

    

 

  



Mặt khác

 4 3  4

z  z  i   i   z i   i    m

Đẳng thức xảy    

4

3 4 , 5

3 4

5 k

z i k i k

z i z i

        

 

 

  

 

  



Nhận xét: Lời giải sử dụng bất đẳng thức

1 2 z  z  z z

1 2 z  z  z z .

Bài tập 8: Cho số phức z thỏa mãn z2 4 z z 2i Giá trị nhỏ z i

A. B.

C.1 D.

2

Ta có z2 4 z z 2i  z2i z 2i  z z 2i

Chú ý: Với số phức 1,

(55)

2 z i z i z z i     

2 2

2 ,

2

z i z i z i

z z i z a i a

z z i

                  



 

 

Do

 

2

min 1

z i i i

z

z i a i i a

     

   

        

Bài tập 9: Tìm số phức z thỏa mãn z1z2i số thực z đạt giá trị nhỏ

A.

5

z  i. B. 5 z   i

C.

5

z   i D.

5 z  i Hướng dẫn giải Chọn D

Gọi ; ,z a bi a b  

Ta có z1z2ia1a b 2b  2a b 2i Do z1z2i số thực 2a b     2 b 2a Khi  

2

2 2 2 5 4

5 5

z  a   a  a   

 

Đẳng thức xảy 5 a b

      

4

2 5

min

2

5 a z

b

  

  

  

Vậy 5 z  i

Bài tập 10: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 Tìm giá trị lớn biểu thức T     z i z i

A. maxT 8 B. maxT 4 C. maxT 4 D. maxT 8

(56)

Đặt z x yi x y   , , ta có

 2 2

1 2

z    x yi   x y 

x 12 y2 2 x2 y2 2x 1

        (*) Lại có

2

T     z i z i  x y1i   x y1i 2 2 1 2 4 2 5

x y y x y x y

        

Kết hợp với (*) ta

   

2 2 2 2

T  x y   x y  x y    x y Đặt T  x y, T  f t  2t 2 2 t với t  1;3 Cách 1: Sử dụng phương pháp hàm số

Ta có '  1 ;  

2

f t f t t

t t 

    

 

Mà f  1 4, f  1 2, f 3 2 Vậy max f t  f  1 4 Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có

 

2 1 T  t   t    Đẳng thức xảy t1

Bài tập 11: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Gọi M mlần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ z 1 z2 z 1 Khi đó giá trị M m

A. B.

C.

4 D.

9

Đặt z a bi a b   ,  t z Khi

   2

2 1 1 1 2 2

2 t

t  z z  z     z z a a 

(57)

   

2 1 2 2 1 1 2 1

z   z a b  abi a bi    a  b  a b a i

 2 2 2 2 2 2  2 2

2a a b 2a a 2a 1 a 2a

        

2 2a t

   

2

1 1

z z z t t

        (với 0 t 2, a21) Xét hàm số f t  t t21 với t 0; 2

Trường hợp 1:  0;1   1 2 1

2

t  f t        t t t t f    

và có f 0  f 1 1 nên    

   

0;1

5 max

4

min

f t f t

 

 

 



Trường hợp 2:

 1; 2   1 1,   2 1 0,  1; 2

t  f t      t t t t f t     t t

Do hàm số đồng biến  1;   

   

     

1;2

max

min 1

f t f f t f

  

 

 



Vậy  

 

   

0;2

max

6

min

M f t

M m

m f t

 



   



 