· Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là +¥ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là –¥ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu... ¥ :.[r]
(1)I Giới hạn dãy số
Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực 1 Giới hạn đặc biệt:
1
lim
nđ+Ơn = ;
1
lim k ( )
n n k
+ đ+Ơ = ẻÂ
lim n ( 1)
nđ+Ơq = q < ; nlimđ+ƠC C=
2 Định lí :
a) Nếu lim un = a, lim = b · lim (un + vn) = a + b · lim (un – vn) = a – b · lim (un.vn) = a.b · lim n
n
u a
v = b (nếu b ¹ 0)
b) Nếu un ³ 0, "n lim un= a a ³ lim un = a
c) Nếu un £vn,"n lim = thì lim un =
d) Nếu lim un = a lim un = a 3 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
S = u1 + u1q + u1q2 + … =
1 u
q
- (q <1)
1 Giới hạn đặc biệt:
lim n = +Ơ limnk = +Ơ(kẻÂ+) limqn = +Ơ(q>1)
2 nh lí:
a) Nếu lim un = +¥ lim n u = b) Nếu lim un = a, lim = ±¥ lim n
n
u v =
c) Nếu lim un = a ¹ 0, lim = lim n
n
u v =
nn neáu a v neáu a v
ỡ+Ơ >
ớ-Ơ <
ợ
d) Nếu lim un = +¥, lim = a lim(un.vn) = ì+¥í-¥ anếu a<>00
ỵ
* Khi tính giới hạn có dạng vô định: 0
0,
¥
¥, ¥ – ¥, 0.¥ phải tìm cách khử dạng vơ định
Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số:
· Chia cả tử mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n
VD: a)
1
1
lim lim
3
2 2
n n
n
n
+ +
= =
+ + b)
2 3 1
lim lim
1
1 2
n n n n
n
n
+
-+ - = =
-
c) lim(n2 4n 1) limn2 12
n n
ỉ
- + = ỗ - + ữ= +Ơ
è ø
· Nhân lượng liên hợp: Dùng hằng đẳng thức
( a- b)( a+ b)= -a b; (3a-3b)(3a2 +3ab+3b2)= -a b VD: lim( n2-3n n- )= ( )( )
( )
2
2
3
lim
3
n n n n n n
n n n
- - - +
- +
=
2
3 lim
3 n
n n n
+ =
3
-· Dùng định lí kẹp: Nếu un £vn,"n lim = thì lim un =
CHƯƠNG IV
(2)VD: a) Tính limsinn
n Vì £
sinn n £ n
1
lim
n = nên
sin
lim n
n =
b) Tính lim3sin 24 cos
2
n n
n
-+ Vì
2 2
3sinn-4 cosn £ (3 +4 )(sin n+cos ) 5n = nên £ 3sin 24 cos 25
2
n n
n n
- £
+ +
Mà lim 25
2n +1= nên 3sin cos
lim
2
n n
n
- =
+
Khi tính giới hạn dạng phân thức, ta ý một số trường hợp sau đây: · Nếu bậc tử nhỏ bậc mẫu kết giới hạn
· Nếu bậc từ bậc mẫu kết giới hạn tỉ số hệ số luỹ thừa cao tử mẫu
· Nếu bậc tử lớn bậc mẫu kết giới hạn +¥ hệ số cao của tử mẫu dấu kết –¥ hệ số cao tử mẫu trái dấu
Bài 1: Tính giới hạn sau: a)
2
2
lim
3 n n n n
- +
+ + b)
2
lim
4
n
n n
+
+ + c)
3
3 lim
4 n n n
n
+ +
+
d)
4
lim
( 1)(2 )( 1)
n
n+ +n n + e)
2
1 lim
2
n n n
+
+ + f)
4
3
2
lim
3
n n n n
+
+
Bài 2: Tính giới hạn sau: a) lim1
4 n
n +
+ b)
1 4.3 lim
2.5 n n n n
+
+
+ c)
1
4 lim
5
n n
n n
+ + +
+
d)
1 lim
1 n n
n
+
+
+ e)
1 2.3 lim
5 2.7 n n
n n
+
-+ f)
1 2.3 lim
2 (3 5)
n n n n+
- +
-
Baøi 3: Tính giới hạn sau: a)
2
4
lim
4
n n
n n n
+ +
-+ + + b)
2
3
lim
2
n n
n n
+
-+ -+ c)
3
2
4
1 lim
1
n n
n n
+ -+ -+ d)
2
4
lim
4
n n
n n n
+ +
+ + + e)
(2 1)( 3) lim
( 1)( 2) n n n
n n
+ +
+ + f)
2
2
4
lim
3
n n n
n n
- - +
+ +
Bài 4: Tính giới hạn sau:
a) lim 1
1.3 3.5 (2n 1)(2n 1)
ỉ
+ + +
ỗ - + ữ
ố ứ b)
1 1
lim
1.3 2.4 n n( 2)
ổ
+ + +
ỗ + ÷
è ø
c) lim 12 12 12
2 n
ổ ửổ ổ
- -
-ỗ ữỗ ữ ỗ ữ
ố ứố ứ ố ứ d)
1 1
lim
1.2 2.3 n n( 1)
ỉ
+ + +
ỗ + ữ
ố ứ
e) lim1 2
3 n
n n
+ + +
+ f)
2
1 2 lim
1 3 n n
+ + + +
+ + + +
(3)a) lim( n2+2n n- -1) b) lim( n2+ -n n2+2) c) lim 2(3 n n- 3+ -n 1) d) lim 1( +n2- n4+3n+1) e) lim n( 2- -n n) f)
2
1 lim
2
n + - n +
g)
2
4
lim
4
n n
n n n
+ -
-+ + - h)
3
2
4
1 lim
1
n n
n n
+
-+ - i)
2
2
4
lim
3
n n n
n n
- - +
+
-Baøi 6: Tính giới hạn sau: a)
2 2 cos lim
1 n
n + b)
2
( 1) sin(3 ) lim
3
n n n
n
- +
- c)
2 cos lim
3
n n
n
-+ d)
6
2
3sin 5cos ( 1) lim
1
n n
n
+ +
+ e)
2
2 3sin ( 2) lim
2
n n
n + +
- f)
2
3 2 lim
(3cos 2) n n
n n
- +
+
Baøi 7: Cho dãy số (un) với un = 2 2 2
1 1
1
2 n
ỉ ưỉ ỉ
- -
-ỗ ữỗ ữ ỗ ữ
ố øè ø è ø, với " n ³ a) Rút gọn un b) Tìm lim un
Bài 8: a) Chứng minh: 1
1 ( 1)
n n+ + +n n = n - n+ ("n Ỵ N
*
) b) Rút gọn: un =
1
1 2 3 2+ + + + +n n+ + +1 (n 1) n c) Tìm lim un
Bài 9: Cho dãy số (un) được xác định bởi:
1
1 ( 1)
n n n
u
u + u n
ì = ï
í = + ³
ïỵ
a) Đặt vn = un+1 – un Tính v1 + v2 + … + vn theo n b) Tính un theo n
c) Tìm lim un
Bài 10: Cho dãy số (un) được xác định bởi:
2
0;
2 n n n, ( 1)
u u
u + u + u n
ì = =
í = + ³
ỵ a) Chứng minh rằng: un+1 =
1 1
2un
- + , "n ³ b) Đặt vn = un –
2
3 Tính vn theo n Từđó tìm lim un
(4)Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực, giới hạn vô cực 1 Giới hạn đặc biệt:
0
lim
x x® x x= ; x xlim® 0c c= (c: số)
2 Định lí: a) Nếu
0 lim ( )
x x® f x =L x xlim ( )® 0g x =M
thì: [ ]
0
lim ( ) ( )
x x® f x g x+ = +L M
[ ]
0
lim ( ) ( )
x x® f x g x- = -L M
[ ]
0
lim ( ) ( ) x x® f x g x =L M
0 ( ) lim
( )
x x
f x L
g x M
® = (nếu M ¹ 0)
b) Nếu f(x) ³
0 lim ( )
x x® f x =L
L ³
0 lim ( )
x x® f x = L
c) Nếu
0 lim ( )
x x® f x =L x xlim ( )® 0 f x = L
3 Giới hạn một bên:
0 lim ( )
x x® f x =LÛ
Û
0
lim ( ) lim ( )
x x® - f x =x x® + f x =L
1 Giới hạn đặc biệt: lim k
xđ+Ơx = +Ơ; lim
k x
neỏu k chaỹn x neỏu k leỷ
đ-Ơ
ỡ+Ơ = ớ-Ơợ lim
xđƠc c= ; xlim k
c x đƠ =
0 lim
xđ - x= -Ơ; 0
1 lim
xđ + x= +Ơ
0
1
lim lim
x® - x =xđ + x = +Ơ
2 nh lớ: Nếu
0 lim ( )
x x® f x =Lạ v x xlim ( )đ 0g x = ±¥ thì:
0
0 lim ( )
lim ( ) ( ) x xlim ( )
x x
x x
nếu L g x dấu f x g x nếu L và ® g x trái dấu ®
đ
ỡ+Ơ ù = ớ-Ơ
ùợ
0
0
0
0 lim ( )
( )
lim lim ( ) ( )
( )
lim ( ) ( )
x x
x x x x
x x
neáu g x
f x nếu g x và L g x
g x
nếu g x L g x ®
® ®
®
ì = ±¥
ï ï
= +¥í = >
ù-Ơ = <
ùợ
* Khi tớnh giới hạn có dạng vơ định:
0 0,
¥
¥, ¥ – ¥, 0.¥ phải tìm cách khử dạng vơ định
Một số phương pháp khử dạng vô định: 1 Dạng 0
0
a) L =
0 ( ) lim
( )
x x
P x Q x
® với P(x), Q(x) đa thức P(x0) = Q(x0) =
Phân tích tử mẫu thành nhân tử rút gọn VD:
3 2
2
2 2
8 ( 2)( 4) 12
lim lim lim
( 2)( 2)
4
x x x
x x x x x x
x x x
x
® ® ®
- = - + + = + + = =
- + +
-b) L =
0 ( ) lim
( )
x x
P x Q x
® với P(x0) = Q(x0) = P(x), Q(x) biểu thức chứa căn bậc
Sử dụng đẳng thức để nhân lượng liên hợp tử mẫu
VD: ( )( )
( )
0 0
2 4 1
lim lim lim
4
2
2
x x x
x x x
x x x x
® ® ®
- - = - - + - = =
+
-+
-c) L =
0 ( ) lim
( )
x x
P x Q x
® với P(x0) = Q(x0) = P(x) biêåu thức chứa căn không đồng bậc
Giả sử: P(x) = mu x( )-nv x với u x( ) m ( )0 =nv x( )0 =a
(5)VD:
3
0
1 1 1
lim lim
x x
x x x x
x x x
® ®
ỉ
+ - - = + - + -
-ỗ ÷
è ø
=
0 3
1 1
lim
3
1
( 1) 1
x® x x x
ổ
+ = + =
ỗ ữ
ỗ + + + + + - ữ
è ø
2 Dạng ¥
¥: L =
( ) lim
( )
x
P x Q x
đƠ vi P(x), Q(x) đa thức hoặc biểu thức chứa căn
– Nếu P(x), Q(x) đa thức chia tử mẫu cho luỹ thừa cao x
– Nếu P(x), Q(x) có chứa chia tử mẫu cho luỹ thừa cao x nhân lượng liên hợp
VD: a)
2 2
2
2
2
lim lim
6
6 1
x x
x x x x
x x
x x
đ+Ơ đ+Ơ
+
-+ - = =
+ + + +
b)
2
2 2
lim lim
1
1 1 1
x x
x x
x x
x
đ-Ơ đ-Ơ
= =
-+ - - +
-3 Dạng ¥ – ¥: Giới hạn thường có chứa căn
Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp tử mẫu
VD: lim ( ) lim ( )( ) lim
1
x x x
x x x x
x x
x x x x
đ+Ơ đ+Ơ đ+Ơ
+ - + +
+ - = = =
+ + + +
4 Dạng 0.¥:
Ta thường sử dụng phương pháp dạng
VD: 2
2
2
lim ( 2) lim
2
4
x x
x x x
x
x x
+ +
® ®
= = =
+
-Bài 1: Tìm giới hạn sau:
a)
2
1 lim
1
x
x x x
x ®
+ + +
+ b)
2
3
lim
1
x
x x
x
®+
c)
2
sin lim
x
x x ®
ỉ
-ỗ ữ
ố ứ
p
p
d) 4
1
1 lim
3
x
x
x x
®
-+ - e)
2
1 lim
1
x
x x
x ®
- +
- f)
2
2
lim
1
x
x x
x ®
- + + g)
1
8 lim
2
x
x x ®
+
h)
3 2
3
lim
1
x
x x
x ®
- -
-+ i)
2
1 lim sin
2
x® x Bài 2: Tìm giới hạn sau:
a)
3 2
1 lim
3 x
x x x x x
®
- - +
- + b) x
x x x
4
3
1
1 lim
2
®
+ c)
5
1 lim
1 x
x x
®-+ + d)
3
4
3
5 lim
8 x
x x x
x x
®
- + +
- - e)
5
2
5
lim
(1 )
x
x x x
x ®
- +
- f)
1 lim
1 m
n x
x x
®
-g)
0
(1 )(1 )(1 ) lim
x
x x x
x ®
+ + +
h)
2
lim
1
n x
x x x n
x ®
+ + +
i)
4
3
2
16 lim
2 x
x x x
(6)
Bài 3: Tìm giới hạn sau:
a) 2
2
4 lim x x x ® + b) 3 1 lim
4
x
x x ®
-+ - c)
2 1 lim x x x ® + -d) 2 lim x x x ® +
-+ - e)
2
lim x x x x ® + - + - f) 2 1 lim 16 x x x ® + -+
-g) 3
0 1 lim 1 x x x ® +
-+ - h)
3 lim x x x x x ®-+
-+ i)
9 16
lim x x x x ® + + +
-Bài 4: Tìm giới hạn sau: a) 1 lim x x x x ® + - + b) 2
8 11
lim x x x x x ® + - +
- + c)
3
2
lim x x x x ® + - -d)
1 lim x x x x ® + - + e) 2
8 11
lim
2 x
x x
x x
®
+ - +
- + f)
3 2 lim x x x x ® - - + -g)
1
lim x x x x ® + + -h)
1
lim x x x x ® + + -i) 1 lim x x x x ® + -
-Bài 5: Tìm giới hạn sau: a) 2 lim x x x x đ+Ơ +
- + b)
2 lim x x x x đƠ - +
- c)
2 2 lim x x x x đ+Ơ + - + d) 2
2
lim
4
x
x x x
x x
đƠ
+ + + +
+ + - e)
2
4 2
lim
9
x
x x x
x x x
đƠ
- + +
+ f)
1 lim x x x x x đ+Ơ + + + g) 2 (2 1) lim x x x x x đ-Ơ -
h)
2
2
lim
4
x
x x x
x x
đ+Ơ
+ +
+ - + i)
2 5 2 lim x x x x đ-Ơ - + +
Baứi 6: Tỡm cỏc gii hn sau:
a) lim
xđ+Ơ x x x
ổ + -
ỗ ÷
è ø b)
2
lim 4
xđ+Ơ x x x
ổ - - - -
ỗ ữ
è ø
c) lim 3
xđ+Ơ x x
ổ + - -
ỗ ữ
ố ứ d) xlimđ+Ơ x x x x
ổ
+ +
-ỗ ÷
è ø
e) lim (32 32 1)
xđ+Ơ x- - x+ f) ( )
3
lim
xđ-Ơ x - + x +
g) 3
1
1
lim
1 1
x® x x
ổ
-ỗ - ÷
-è ø h) 2
1
lim
3
x® x x x x
ỉ
+
ỗ ữ
- + - +
è ø
Bài 7: Tìm giới hạn sau: a) 15 lim x x x + ®
b)
15 lim x x x -®
c)
2
1
lim x x x x + ® + -d) 2 lim x x x + ®
e) 2
2 lim
2
x x x x + ®
+ f) 2
2 lim
2
x x x x -® +
Bài 8: Tìm giới hạn bên hàm số điểm ra:
a)
1 0
1
( )
3 0
2
x khi x x
f x x
khi x ì + -> ïï + -= í = ï £ ïỵ b) 3
( ) 3
1
x x
f x x x
x x ì
-ï <
= í - =
ï - ³
(7)c)
2
2 2
8
( )
16 2
2
x x x
x
f x taïi x
x khi x
x
ì
-> ïï
-= í =
-ï <
ï
-ỵ
d)
2
3 1
1
( )
1
x x khi x x
f x x
x khi x
ì - +
>
ïï
-=í =
ï- £
ïỵ
Bài 9: Tìm giá trị mđể hàm số sau có giới hạn điểm ra:: a)
3 1
1
( ) 1
2
x khi x
f x x taïi x
mx x
ì
-ï <
= í - =
ï + ³
ỵ
b)
2
1 1
( ) 1
3
khi x
f x x x taïi x
m x mx x
ì
- >
ï
=í - - =
ï - + £
ỵ
c)
0
( ) 100 3
0
x m x
f x x x taïi x
khi x x
ì + <
ï
=í + + =
³
ï +
ỵ
d) ( ) 2 1
3
x m x
f x taïi x
x x m x
ì + <
-=í =
-+ -+ -+ ³
(8)III Hàm số liên tục
1 Hàm số liên tục tại một điểm: y = f(x) liên tục x0 Û
0
lim ( ) ( )
x x® f x = f x
· Để xét tính liên tục hàm số y = f(x) điểm x0 ta thực bước: B1: Tính f(x0)
B2: Tính
0 lim ( )
x x® f x (trong nhiều trường hợp ta cần tính x xlim ( )® 0+ f x ,
0 lim ( )
x x® - f x )
B3: So sánh
0 lim ( )
x x® f x với f(x0) rút kết luận
2 Hàm số liên tục một khoảng: y = f(x) liên tục điểm thuộc khoảng 3 Hàm số liên tục một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục (a; b)
lim ( ) ( ), lim ( ) ( )
x a® + f x = f a x b® - f x = f b
4 · Hàm số đa thức liên tục R
· Hàm số phân thức, hàm số lượng giác liên tục khoảng xác định chúng 5 Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục điểm x0 Khi đó:
· Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục x0 · Hàm số y = ( )
( ) f x
g x liên tục x0 g(x0) ¹
6 Nếu y = f(x) liên tục [a; b] f(a) f(b)< tồn số c Ỵ (a; b): f(c) = Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục [a; b] f(a) f(b)< phương trình f(x) = có
nhất nghiệm cỴ (a; b)
Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục [a; b] Đặt m = [ ];
min ( )
a b f x , M = max ( )[ ]a b; f x Khi với T Ỵ (m; M) ln tồn số c Ỵ (a; b): f(c) = T
Bài 1: Xét tính liên tục hàm số điểm ra:
a)
3 1
( ) 1
1
x khi x
f x x taïi x
khi x
ì +
ï ¹
=í - =
-ï- =
ỵ
b)
3 1
1
( )
1 1
4
x khi x
x
f x x
khi x
ì +
-¹ ïï
-=í =
ï =
ïỵ
c)
2
2 2
( ) 3 2
1
x x x khix
f x x x taïi x
khi x
ì - +
-ï ¹
=í - + =
ï =
ỵ
d)
2
5 5
( ) 2 1 3
( 5)
x khi x
f x x taïi x
x x
ì - >
ï
=í - - =
ï - + £
ỵ
e) ( ) cos 0
1
x x
f x taïi x
x x
ì - £
= í =
+ >
ỵ f)
1 1
( ) 2 1
2
x khi x
f x x taïi x
x x
ì - <
ï
=í - - =
ï- ³
ỵ
Bài 2: Tìm m, nđể hàm số liên tục điểm ra:
a) f x x x taïi x
mx x
2 1
( )
2
ì <
=í =
- ³
ỵ b)
x x x khi x
f x x taïi x
x m x 2 2
1
( ) 1
3
ì +
-ï ¹
=í - =
ï + =
(9)c)
m x
x x
f x x x x x
x x
n x
2 6
( ) 0, 3
( 3)
3
ì =
ïï
-=í ¹ ¹ = =
-ï
= ïỵ
d)
x x khi x
f x x taïi x
m x
2 2
2
( ) 2
2
ì
-ï ¹
=í - =
ï =
ỵ
Bài 3: Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định chúng:
a)
3
2 1
1 ( )
4 1
3
x x khi x x
f x
khi x
ì + +
¹
-ïï +
= í
ï =
-ïỵ
b)
2 3 4 2
( )
2
x x x
f x x
x x
ì - + <
ï í
= =
ï + >
ỵ
c)
2 4
2 ( ) 2
4
x khi x
f x x
khi x
ì
-ï ¹
-= í +
ï- =
-ỵ
d)
2 2
2
( ) 2
2 2
x khi x
f x x
khi x
ì
-¹ ï
= í
-ï =
ỵ
Bài 4: Tìm giá trị mđể hàm số sau liên tục tập xác định chúng: a)
2 2
2
( ) 2
2 x x khi x f x x
m x
ì
-ï ¹
= í
-ï =
ỵ
b)
2 1
( )
1
x x x
f x x
mx x
ì + <
ï í
= =
ï + >
ỵ c)
3 2 2
1
( ) 1
3
x x x khi x
f x x
x m x
ì - +
-ï ¹
= í
-ï + =
ỵ
d) ( )
2x x
f x
mx x
ì <
= í
- ³
ỵ
Bài 5: Chứng minh phương trình sau có nghiệm phân biệt:
a) x3-3x+ =1 b) x3+6x2+9x+ =1 c) 2x+6 13 - =x
Baøi 6: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm:
a) x5-3x+ =3 b) x5+ - =x c) x4+x3-3x2+ + =x
Baøi 7: Chứng minh phương trình: x5-5x3+4x- =1 có nghiệm (–2; 2)
Baøi 8: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm với giá trị tham số: a) m x( -1) (3 x- +2) 2x- =3 b) x4+mx2-2mx- =2
c) a x b x c b x c x a c x a x b( - )( - +) ( - )( - +) ( - )( - ) 0= d) (1-m x2)( +1)3+x2- - =x e) cosx m+ cos2x=0 f) m(2 cosx- 2) 2sin 5= x+1
Baøi 9: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm:
a) ax2+bx c+ =0 với 2a + 3b + 6c = b) ax2+bx c+ =0 với a + 2b + 5c = c) x3+ax2+bx c+ =0
Baøi 10: Chứng minh phương trình: ax2+bx c+ =0 ln có nghiệm x Ỵ 0;1
é ù
ê ú
(10)BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV Bài 1. Tìm giới hạn sau:
a) n
n3 lim
3
+ + + +
b) n nn
n sin lim 2 ỉ + + ç + ÷
è ø c)
2 lim 2 + + + n n n n
d) n n
n n 2
2 lim
2 +
+ - e)
n n 5 2 lim + + + + f) n n
n n
( 1) 4.3 lim
( 1) + 2.3
- +
-
-g) lim( n2-3n- n2+1) g) lim(3 3n +3n2 -n) h) lim 1( +n2- n4+n)
i) n
n 2 cos lim
+ k)
n
n2 n2
lim
3 + -1 -1 l)
( n2 3n3 n)
lim - -2 +2
Bài 2. Tìm giới hạn sau: a) x x x x x 2 lim 15 ® - +
- + b) x
x x x 2 lim
6
®
+ c) x
x x x
x x
3
2
4 lim ® - + -d) x
x x x
x x x
4
4
1
2
lim
3
®
- + +
- + - e) x
x x x x lim ® - +
- + f) x
x x x
x x
3
4
2
2 lim 16 ® - - + - + g) x x x x x lim ® -
- h) x
x x2 x
2
2 lim
2
®-+
+ + i) x x
x 2
( 2) lim
1
®-+
-Bài 3. Tìm giới hạn sau:
a) x x x 2 lim ®
+ b) x
x x 1 lim ® + -c) x x x2 x lim ® + -+ -d) x x x
1
lim
2 ®
+
e) x
x x
1
2
lim
3 ®
+
-+ - f) x
x x 2 1 lim 16 ® + + g) lim x x x x ® + -
h) x
x x x 3 1 lim ® + - -i) x x x lim ® -k) x x x lim ®
l) x
x x 2 1 lim ® + -m) x x x x
2
lim
2 ®
+ + +
-Bài 4. Tìm giới hạn sau: a) x x x x 2
2
lim
2 +
® +
+ b) x
x x2 x
1 lim -®
-+ - c) x
x x
x
3
3
lim + ® + + d) x x x x 2
2
lim
( 2)
-®
- +
- e) x
x x 3 lim + ® +
- f) x
x x x x lim + ® + - g) x x x
8 2
lim
2
+
®-+
-+ h) x
x x
x
2
2
lim
( 3)
-
®-+
i) x ( )
x x x2 lim + ® -
-Bài 5. Tìm giới hạn sau: a)
x
x x x
x x x x
3
4
2
lim
5
đ-Ơ
- +
+ - + b) x
x x x x 2 lim đ+Ơ +
-+ -+ c) x
x x
x x
2
3
(2 3) (4 7) lim
(3 1)(10 9)
đ+Ơ
- +
+ +
d) x
x x x
x x
4
4
2 lim
3
đ+Ơ
- +
+ - e) x ( x x)
lim
đ-Ơ + + f) x x x x
lim ( 1)
(11)g) x
x x
x
2 1
lim
5 đ -Ơ
+
-+ h) x ( x x x)
2
lim
đ-Ơ - + + i) x
x x
x
5
lim đ-Ơ
+
-k)
x
x x x
x x
2
2
lim
4
đ-Ơ
+ +
+ - + l)x ( x x x )
2
lim
đ-Ơ + - - m) x ( x x x)
2
lim
đ-Ơ + +
Bài 6. Xét tính liên tục hàm số: a)
x x f x x x
khi x x
2
1
( ) 2 3
3
ì - £
ï
= í - - >
ï
-ỵ
R b)
x x x
f x
khi x
1 cos 0
sin ( )
1 0
4
ì - ¹
ïï = í
ï =
ïỵ
x =
c)
x khi x f x x x
khi x
12 2
( ) 7 10
2
ì - ¹
ï
= í - +
ï =
ỵ
R d) f x x x
x x
2 0
( )
1
ìï <
= í
- ³
ïỵ x = Bài 7. Tìm a để hàm số liên tục R:
a)
2
2 1
( ) 2 2
1
a khi x
f x x x x
khi x x
ìï + £
ïïï
= í - +
-ï >
ïï
-ïỵ
b)
x khi x
f x x
x a x 1
1 ( ) 1
1
ì
-ï ¹
= í
-ï + =
ỵ c)
x x khi x
f x x
a x
2 2
2
( ) 2
2
ì +
-ï ¹
-= í +
ï =
-ỵ
d)
x x khi x
f x x
ax x
2 4 3
1
( ) 1
2
ì - +
ï <
= í
-ï + ³
ỵ Bài 8. Chứng minh phương trình:
a) x3+6x2+9x+ =1 có nghiệm phân biệt
b) m x( -1) (3 x2- +4) x4- =3 ln có nghiệm với giá trị m
c) (m2+1) –x4 x3–1 0= ln có nghiệm nằm khoảng (-1; 2) với m d) x3+mx2- =1 ln có nghiệm dương
e) x4-3x2+5 –6 0x = có nghiệm khoảng (1; 2)
Bài 9. Cho m > a, b, c số thực thoả mãn: a b c
m+2+m+1+m=0 Chứng minh
phương trình: f x( )=ax2+bx c+ =0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1) HD: Xét trường hợp c = 0; c ¹ Với c ¹ f f m c
m m m
2
(0)
2 ( 2)
ỉ + ư= - <
ỗ + ữ +
ố ứ