Chủ đề số phức và các phép toán vận dụng cao

Tài liệu tự học vận dụng cao số phức vào trong giải bài trắc nghiệm, dùng cho kỳ thi THPT 2024. Chúc các bạn sẽ đạt kết quả thật tốt với tài liệu này và đỗ vào Đại học yêu thích. Tài liệu dạng Word dễ thay đổi.

1 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12 20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC A – TĨM TẮT LÍ THUYẾT: I SỐ PHỨC VÀ CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN: Khái niệm số phức: Số phức z biểu thức có dạng z a  bi với a, b  R, i  Trong đó: a , b gọi phần thực phần ảo z, i đơn vị ảo   Ta thấy      a  bi a, b  , i  Tập hợp số phức kí hiệu  với  Nếu a 0 z bi gọi số ảo   Nếu b 0 z a gọi số thực Nếu a b 0 z 0 vừa số thực, vừa số ảo Ví dụ 1: Cho số phức z 3  2i Tìm phần thực phần ảo z Hướng dẫn giải: Số phức z có phần thực a 3 , phần ảo b  z  2m  1  i  n  1 Ví dụ 2: Cho số phức với m, n   Tìm m để z số ảo; tìm m để z số thực; tìm m để z vừa số thực, vừa số ảo Hướng dẫn giải: Số phức z có phần thực a 2m  1, phần ảo b n  z số ảo  a 2m  0  m  ; z số thực  b n  0  n 1  a 0  m    b 0  n 1 z vừa số thực, vừa số ảo Số phức hình học: a) Điểm biểu diễn số phức: Cho số phức z a  bi , điểm M  a; b  mặt phẳng điểm biểu diễn z mặt phẳng phức, hay  Oxy  HOÀNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 1 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12 20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC M  a; b  b) Môđun số phức: Cho số phức z a  bi với điểm biểu diễn , mơ-đun số  z  OM OM  a  b z  a  bi  a  b phức z là: hay Ví dụ 3: Tìm tọa độ điểm M tính độ dài OM biết M điểm biểu diễn số phức z 4  3i mặt phẳng  Oxy  Hướng dẫn giải: Ta có: Số phức liên hợp: M  4;  3 OM  z   3i     3 5 Cho số phức z a  bi , kí hiệu z a  bi gọi số phức liên hợp z  Một số tính chất: z z  z  z  Oxy  , điểm biểu diễn hai số phức z z đối xứng qua trục hoành  Trên mặt phẳng Ví dụ 4: Tính tổng phần thực phần ảo số phức z biết số phức liên hợp z 4  6i Hướng dẫn giải: z a  bi  a, b    Gọi Ta có: z 4  6i  a 4, b   a  b  Hai số phức nhau: Hai số phức phần thực phần ảo chúng tương ứng a c a  bi c  di   b d a  bi 0  a b 0 Ta có:  x; y  thỏa mãn hệ thức x  y  2i 2 x    y  x  1 i Ví dụ 5: Tìm cặp số thực Hướng dẫn giải:    x  y 2 x   x  y 1  x 1 x  y  2 i 2x    y  x  1 i            y  x  x  y  y  b c    a d   Ta có: II CÁC PHÉP TỐN TRÊN TẬP SỐ PHỨC: Phép cộng, phép trừ, phép nhân số phức: Cho số phức z a  bi, w c  di Ta có: z  w  a  bi    c  di   a  c    b  d  i; z  w  a  bi    c  di   a  c    b  d  i; z.w  a  bi   c  di  ac  adi  bci  bdi  ac  bd    ad  bc  i Ví dụ 6: Thực phép tính sau:   3i     4i  a)   1    i     6i   b)    HOÀNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12 20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC   4i    4i  c)   3i   i3  2i  3i d) Hướng dẫn giải:   3i     4i    3      i 5  7i a) Ta có: 15   1   1     i     6i         i   i 2   2   b) Ta có:    c) Ta có:   4i    4i  2  8i  4i  16i   16      i 18  4i   3i  Ta có: d) 2  i  2i  3i5 22  2.2.3i   3i   i i  2i i  3i i i 4  12i   i   3i   10i  Tóm lại: Phép cộng, phép trừ, phép nhân số phức có tất tính chất phép cộng, phép trừ, phép nhân số thực; ta ln lưu ý i   Các đẳng thức đáng nhớ: Cho số phức z , w, t , ta có:  z w  z 2 zw  w2  z  w ; z  3z w  3zw2  w3  z  w ;  z  3z w  3zw2  w3 z  w  z  w   z  w  ; z  w  z  w   z  zw  w  ; z  w  z  w   z  zw  w  2 2 3 2 z  w2  z  w   zw  z  w   zw z  w3  z  w   3zw  z  w  ;  z  wt  z  w2  t   zw  wt  zt   Đúc kết 1: Cho z a  bi z hai số phức liên hợp, ta có: z  z  a  bi    a  bi   hay z  z 2a ;  z.z  a  bi   a  bi  a  b 2i a  b z.z  z hay Ta nhận thấy tổng tích hai số phức liên hợp số thực i n 1, i n 1 i, i n 2  1, i n 3  i n   Nhận xét: Với thì: Phép chia số phức cho số phức khác 0: Cho số phức z a  bi w c  di 0 Ta có: z a  bi  a  bi   c  di   ac  bd    bc  ad  i    w c  di  c  di   c  di  c2  d z z ac  bd bc  ad   i c d2 hay w c  d  5i 1 i Ví dụ 7: Tìm mơđun số phức z biết Hướng dẫn giải:  5i   5i    i   3i  5i  5i   8i z      4i 1 i 1 i 1 i 1 i2  Ta có: HỒNG XN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12 20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC Suy ra: z    4i  17  Đúc kết 2: Cho hai số phức z a  bi w c  di 0 , ta có:  z.w  a  bi   c  di    ac  bd    bc  ad  i   ac  bd    bc  ad  i ; z.w  a  bi   c  di   ac  bd    bc  ad  i Vậy z.w z.w  z   a  bi   ac  bd bc  ad  ac  bd bc  ad  i    i      2 2 w c  di c  d c  d c  d c  d        ; z a  bi  a  bi   c  di   ac  bd    ad  bc  i ac  bd bc  ad z z      i   2 2 c d c d c d  w w w c  di  c  di   c  di  Vậy III CĂN BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI SỐ PHỨC: Căn bậc hai số phức: a) Căn bậc hai số thực âm: Cho số phức z a  bi Khi b 0, a  z a số thực âm, ta có z a  a i a nên z có hai bậc hai là: i a i  a 2  3i  9i  Tương tự z  15 15i Ví dụ 1: z  9i có hai bậc hai 3i ;  i 15 có hai bậc hai i 15  15i  15 b) Căn bậc hai số phức: Cho số phức z a  bi , w x  yi gọi bậc hai z w  z Ta có:  x  yi   x  y a a  bi  x  y  xyi a  bi   2 xy b (*)  x ; y  ,  x2 ; y2  thỏa mãn đề Ta kết luận Giải hệ phương trình (*), ta hai cặp số thực 1 số phức z a  bi có hai bậc hai x1  y1i x2  y2i Ví dụ 2: Tìm bậc hai số phức z 6  8i Hướng dẫn giải: w  x  yi  x, y    w2 z   x  yi  6  8i bậc hai z, ta có    2 x    6 (1)  x  y 6   x   x  y  xyi 6  8i    2 xy   y   x  Gọi  x 8 (n) (1)  x  x  16 0    x  (l) Ta có: HỒNG XN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12 20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC  x 2 2, y   x  2, y  x  Với  Vậy z có hai bậc hai 2  i  2  i Phương trình bậc hai với hệ số thực: 2 Cho phương trình bậc hai az  bz  c 0 (*) với a, b, c  , a 0 Xét:  b  4ac  Nếu  0 phương trình (*) có hai nghiệm phức (cũng số thực) trùng z1 z2  b 2a  Nếu   phương trình (*) có hai nghiệm phức (cũng số thực) phân biệt: z1,2  z1,2   b   2a  b i   2a  Nếu   phương trình (*) có hai nghiệm phức phân biệt:  Nhận xét:  Nếu phương trình bậc hai với hệ số a, b, c   có nghiệm số phức z1 , z2 (   ) z  z2 , z2  z1 ) hai nghiệm hai số phức liên hợp (tức  Trên tập hợp số phức, phương trình bậc hai có hai nghiệm (không thiết phân biệt) *  Tổng quát: Mọi phương bậc n (với n   ) có n nghiệm phức (khơng thiết phân biệt) Ví dụ 3: Giải phương trình sau tập số phức: x  x  0 Hướng dẫn giải: Ta có:    1  4.2.1   Do phương trình có hai nghiệm số phức là:  b  i    i 7  b  i    i 7    i x2     i 2a 2.2 4 ; 2a 2.2 4 IV TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN CỦA SỐ PHỨC: Tập hợp điểm biểu diễn số phức liên quan đến đường thẳng: x1  M  x; y  Xét số phức z  x  yi có điểm biểu diễn Khi đó: x , y Kết luận Nếu thỏa mãn phương trình 2 ax  by  c 0  a  b   M thuộc đường thẳng có phương trình ax  by  c 0 c m  a 0  a c by  c 0  y  n  b 0  b ax  c 0  x  M thuộc đường thẳng vng góc với Ox có phương trình x m M thuộc đường thẳng vng góc với Oy có phương trình y n x 0 M thuộc trục Oy y 0 M thuộc trục Ox M thuộc nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng với ax  by  c  a  b2  0 HOÀNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 phương trình ax  by  c 0 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12 20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC ax  by  c 0 ; ax  by  c  ; ax  by  c 0 Đặc biệt: Nếu MA MB với A, B cố định M thuộc đường trung trực đoạn thẳng AB Tập hợp điểm biểu diễn số phức liên quan đến đường tròn: M  x; y  a) Đường tròn: Xét số phức z  x  yi có điểm biểu diễn Khi đó: x , y Nếu thỏa mãn Kết luận phương trình 2  x  a    y  b  R M thuộc đường trịn có tâm I  a; b  , bán kính R x  y  2ax  2by  c 0 M thuộc đường trịn có tâm I  a; b  , bán kính R  a 2b 2  c 0 M  x; y  b) Hình trịn: Xét số phức z  x  yi có điểm biểu diễn Khi đó: x , y Nếu thỏa mãn Kết luận phương trình 2  x  a    y  b  R M thuộc hình trịn có tâm I  a; b  , bán kính R x  y  2ax  2by  c 0 M thuộc hình trịn có tâm I  a; b  , bán kính R  a 2b 2  c 0 c) Phần ngồi đường trịn: M  x; y  Xét số phức z  x  yi có điểm biểu diễn Khi đó: x , y Nếu thỏa mãn Kết luận phương trình  x  a 2   y  b  R2 x  y  2ax  2by  c  M thuộc phần đường trịn có tâm I  a; b  , bán kính R M thuộc phần đường trịn có tâm I  a; b  , bán kính R  a 2b 2  c 0  x  a 2   y  b  R x  y  2ax  2by  c  M thuộc phần đường trịn có tâm I  a; b  , bán kính R M thuộc phần ngồi đường trịn có tâm I  a; b  , bán kính R  a 2b 2  c 0 Đặc biệt: Nếu z  a  bi r  ta nói tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn có I   a;  b  tâm bán kính r Tập hợp điểm biểu diễn đường cong khác: M  x; y  Xét số phức z  x  yi có điểm biểu diễn Khi đó: x , y Nếu thỏa mãn Kết luận phương trình HOÀNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12 20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC y ax  bx  c  a 0  M thuộc parabol có phương trình y ax  bx  c x ay  by  c  a 0  M thuộc parabol có phương trình x ay  by  c x2 y2  1 b M thuộc elip có phương trình tắc a z  a  bi  z  c  di T  F1F2 F   a;  b  , F2   c;  d  Đặc biệt: Nếu với tập hợp điểm M elip có hai tiêu điểm F1 , F2 x2 y  1 a b2  a  b  0 V ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC MÔ-ĐUN: Các đẳng thức mô-đun: Cho số phức z a  bi, w c  di có điểm biểu diễn M  a; b  , N  c; d    Ta có: z.w  z w ;      z  w  OM  ON  OE  2OI 2OI z z  w w với w 0 ; với E là đỉnh hình bình hành OMEN I trung điểm đoạn thẳng MN    z  w  OM  ON  NM MN  Bất đẳng thức vectơ (bất đẳng thức tam giác):   z  w  z  w  OM  ON  OM  ON  OE  OM  ON  OE  OM  ME    Dấu đẳng thức xảy OM ngược hướng với ON (hay z k w với k  , k  ) z w  z  w Bất đẳng thức chứng minh tương tự, dấu “=” xảy   OM hướng với ON (hay z k w với k  , k  )     z  w  z  w  OM  ON  OM  ON  OE OM  ON  OE OM  ME    Dấu đẳng thức xảy OM hướng với ON (hay z k w với k  )  Đúc kết: Cả ba bất đẳng thức xây dựng từ tính chất tam giác:  Với tam giác bất kỳ, tổng hai cạnh lớn cạnh thứ ba (hiệu hai cạnh nhỏ cạnh thứ ba  Với ba điểm tạo nên ba cạnh (có thể ba điểm thẳng hàng tạo thành tam giác), tổng hai cạnh không nhỏ cạnh thứ ba (hiệu hai cạnh không vượt cạnh thứ ba)  Ví dụ 1: Cho hai số phức z, w có z a  bi Tính a  b z 10 zw w   4i Biết đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn giải: Ta có: z  w  z  w  10  5 HOÀNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 Do z  w 5 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12 20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC  z k    4i   3k  4ki Dấu xảy z k w với k  z    3k  2    4k  10  k 10  k   k   Khi đó: Vậy z 6  8i  a 6, b 8  a  b 14 Bất đẳng thức AM-GM:  a  b 2 ab với a, b 0 Đấu đẳng thức xảy a b  a  b  c 3 abc với a, b, c 0 Đấu đẳng thức xảy a b c   i z  w Tìm giá trị nhỏ biểu thức Ví dụ 2: Cho hai số phức z , w thỏa mãn  i T z  w Hướng dẫn giải: Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: 2 T  z  w 2 z w 2 z w   i   zw   i  i 7  i z     zw  49  5 w Ta lại có:  i Suy T 2 z w  T 10 T 10 Dấu đẳng thức xảy z  w Vậy Do Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:  Cho cặp số  a; x  ,  b; y  , ta có: ax  by  a b  Dấu đẳng thức xảy x y a; x  ,  b; y   c; z   Cho cặp số  , , ta có: P  z 1  z   i  b2   x  y   x y 0  z   i 2 a x   b y 0  hay b y a ax  by  cz  a b c   x y z Dấu đẳng thức xảy Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn a  x y.z 0   b2  c   x  y  z  , tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức Hướng dẫn giải: Gọi z  x  yi  x, y   Theo giả thiết: z   i 2   x     y  1 4 (1) 2 2 P  z   z   i  x  1  y    x     y  1    Ta có: 2 x     x   y  1 6 x  y  6  x     y  1  10 Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwars, ta có: HỒNG XN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12 20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC  x     y  1  Suy   2  36  x   y             40.4 4 10   4  10 6  x     y  1 4 10  10  10 6  x     y  1  10 10  10          P  MaxP 10  10  MinP 10  10 10  10  P  10  10 Ta có: nên  x  y 1   x  y  0 2 Dấu đẳng thức xảy (2) Giải hệ phương trình (1), (2) ta tìm số phức z1 , z2 thỏa mãn Chủ đề i số phức phép toán Dạng 1: Tính tốn, rút gọn biểu thức số phức dựa vào chu kỳ quy luật dãy số Phương pháp: Học sinh cần nắm vững tính chất cơng thức sau:  i n 1, i n 1 i, i n 2  1, i n 3  i Với n   thì: u1 , u2 , u3 , un  Xét cấp số cộng với công sai d sau:  Tổng n số hạng đầu cấp số cộng có số hạng đầu Sn    Khi u1 un  u1 1 d , công sai d là:  u1  un  n   2u1   n  1 d  n 2 u Tổng n số hạng đầu cấp số nhân có số hạng đầu , công bội q là: Sn  u1   q n  1 q Khai triển nhị thức New-tơn: n  a  b  Cn0 a n  Cn1a n 1b  Cn2 a n 2b2   Cnn 1ab n  Cnnb n Dạng liệt kê: n   x  Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n  Cnn x n (*) Đặc biệt:  a  b Dạng tổng qt: VÍ DỤ n n Tìm phần ảo số phức HOÀNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 n  Cnk a n  k b k k 0 VÍ DỤ MINH HỌA: z   i  100    2i  201 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM TOÁN 12 20 KĨ THUẬT VDC SỐ PHỨC 201 A 50 B  z   i  Ta có: 100    2i  25 250  i   2201   2i  100 201 50 C  Hướng dẫn giải: 301 D  50 201 50    i    2201   i   2i   201    i         i   250  2201    100  i2  50 100 1 i    i   250  2301   i   250  2301  2301.i 301 Do phần ảo số phức z  Chọn D VÍ DỤ Cho số phức A 1024 z  i  i  i  i  i  1 , z với: B  1024 C 1024i Hướng dẫn giải: Ta có: 20 D  1024i i  i  i  i  i   i  i   i   i 2i   i  i   i  i i  Do z   i  20   2i  i 10  210.i10 210  i  210   1  1024 Chọn B 33 10  1 i  z    1 i   1 i  VÍ DỤ Tìm mô-đun số phức z 33 z 32 z 31 A B C Hướng dẫn giải: D z 34 33 33   2i  i   1 i  33 16    i  i  i i   1 i   1 i  Ta có:  ; 1 i 10 5   2i  i     i  25  i  i  32i 33 10  1 i  z      i  i  32i  31i  z     31 31  1 i  Do Chọn C 2025 VÍ DỤ Tính tổng S 1  i  i   i A S 0 B S i C S  i D S  Hướng dẫn giải: S tổng cấp số nhân gồm n phần tử ( u1 1, q i ) Ta thấy số mũ số hạng xếp theo cấp số cộng: 0, 3, 6,…, 2025 2025   676 nên số phần tử xuất tổng S là: S Vì u1   q 676  1 q    i     i3 676   1   i  1 i 676  i 676   i    1 i 1 i 338 1  0 1 i Chọn A 98 100 VÍ DỤ Giá trị biểu thức C100  C100  C100  C100   C100  C100 100 50 100 50 A  B  C D Hướng dẫn giải: HOÀNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 10