Những ai năm nay lên lớp 12, đặc biệt là 2k6 chuẩn bị bước vào kì thi lớn nhất quyết định cuộc đời của mình TN THPT 2024, sẽ cần một bộ công thức giải nhanh khảo sát hàm số để nâng band điểm toán của mình lên nhanh hơn
SKILL GIẢI NHANH - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM - CHỦ ĐỀ 1: BÍ QUYẾT TÌM KHOẢNG ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN A KIẾN THỨC NỀN TẢNG Khái niệm Hàm số y = f (x) đồng biến miền D với x1, x2 D, x1 < x2 f (x1) < f (x2) ngược lại Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến Hàm số đồng biến y' > nghịch biến y' < y' ax + b Chú ý : Hàm phân thức hữu tỉ y = bị vi phạm lân cận điều kiện : cx + d y' Dấu tam thức bậc Cho tam thức bậc 2: ax2 + bx + c (a 0) Nếu dấu tam thức dấu với a Nếu > dấu tam thức tuân theo quy luật “trong trái ngồi cùng” có nghĩa khoảng nghiệm (x1; x2) dấu tam thức dấu với a ngược lại Các bước tìm tham số m để hàm số đồng biến nghịch biến miền Bước 1: Tính đạo hàm y', thiết lập bất phương trình đạo hàm y' ≥ hàm số đồng biến y' hàm số nghịch biến Bước 2: Cô lập m bất phương trình đạo hàm dạng : m ≥ g (x) m g (x) Bước 3: Biện luận m ≥ g(x) miền D có nghĩa m ≥ g(max) miền D m g(x) có nghĩa m g(min) miền D Tìm khoảng đồng biến nghịch biến Casio Ta sử dụng chức B VÍ DỤ MINH HỌA để xét dấu đạo hàm y' Ví dụ 1: (THPT Chuyên Thái Bình) Trong hàm số sau, hàm số nghịch biến R ? A y = 3 Giải Mẹo giải nhanh x C log ( x + 1) B log x Hàm số lũy thừa y = ax nghịch biến R < a < Xét số Tiếp tục xét: 2 D e x 1.047 A sai 2 0.3757 thỏa mãn e e => Chọn D Mở rộng Với đáp số B ta có tập xác định hàm y = log x (0; + ) nên nghịch biến hay đồng biến R Đáp số B sai Với đáp án C có tập xác định R nhiên xét đạo hàm: 4x y' x x ( 0; + ) không thỏa mãn x R ( x + 1) ln Đáp số C sai Bình luận Chỉ với việc xét hàm lũy thừa đáp án A, D tìm đáp số nên việc xét đáp số B, C khơng cần thiết đáp số có Ví dụ 2: (Báo Tốn Học Tuổi Trẻ) Hàm số y = x3+ 3x2 +mx + m đồng biến tập xác định giá trị GV: VƯƠNG THÙY DUNG SKILL GIẢI NHANH - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM - m : A m ≤ B m 3 C -1 ≤ m ≤3 D m < Giải Sử dụng định lý dấu tam thức bậc Hàm số = x3 + 3x2 +mx + m có tập xác định R nên tốn hiểu tìm m để hàm số đồng biến R Để hàm số đồng biến R y' với x R 3x2 + 6x + m với x R y' - 3m m3 => Chọn B Tự luận kết Casio Vinacal Xét 3x2 +6x + m m ≥ -3x2 - 6x = g (x) Ta hiểu m ≥ g(x) với x R có nghĩa m ≥ g(max) Thiết lập: Start t – End 10 Step Ta thu giá trị lớn = đạt x = -1 m ≥ Chọn B Bình luận Với x R ta thường chọn Start -9 End 10 Step Start -4 End Step 0.5 So sánh cách làm ta thấy tương đương xét ví dụ này, nhiên ví dụ cho hàm f(x) phức tạp y' khơng tính cách kết hợp tỏ có ưu Ví dụ 3: (THPT Sơn Tây) Tìm tất giá trị m để hàm số y = m x − mx + ( 2m − 1) x − nghịch biến R A m B m < C m Giải Sử dụng định lý dấu tam thức bậc Tính y' = mx2 - 2mx + 2m - l Để hàm số nghịch biến R y' với x R mx2 - 2mx + 2m - < với x R D m ≥ m m − m y ' m − m ( 2m − 1) m m (1) m m m m Hoặc trường hợp : m = y' Xét m = y' = -1 < m = (2) thỏa mãn Kết hợp (1) (2) => Chọn A Tự luận kết Casio Vinacal Xét y' m(x2 - 2x + 2) (3) Vì đại lượng x2 - 2x + = (x - 1)2 +1 > nên chia vế bất phương trình cho đại lượng x2 - 2x + dấu bất phương trình khơng đổi chiều Bất phương trình (3) m m g ( ) Để tìm max g(x) ta lại sử dụng chức x − 2x + GV: VƯƠNG THÙY DUNG SKILL GIẢI NHANH - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM - MODE với Start-9 End 10 Step Ta thu GTNN 0,03 m Chọn A Bình luận Theo cách giải tự luận bạn thường bỏ quên trường hợp số m = hàm bậc với đồ thị đường cong suy biến thành hàm bậc y = -x - có đồ thị đường thẳng Đường thẳng có hệ số góc a = -1 < hàm y = -x – nghịch biến R m = thỏa mãn Ví dụ 4: (Đề minh họa BGD-ĐT) Tìm m cho y = tanx − đồng biến khoảng tanx − m 0; 4 m A B m < C m D m ≥ 1 m Giải Đạo hàm liên quan đến tan x khó xử lý nên ta tiến hành đặt ẩn phụ y = tan x để đưa hàm lượng giác t −2 phức tạp ban đầu hàm y = đơn giản Tuy nhiên đặt ẩn phụ ta phải đổi cận: t −m x = → t = tan = t ( 0;1) x = → t = tan = 4 −m + Tính y ' = Để hàm số đồng biến y’ > -m + > m < (1) (t − m) Xét điều kiện hàm số t Vậy để hàm đồng biến khoảng (0;1) giá trị vơ định m (0;1) (2) m 1 m Kết hợp (1) (2) ta m ( 0;1) m => Chọn A Bình luận Vấn đề khó việc phải cho giá trị vô định x = m không thuộc miền xét (0;l) Phần lớn học sinh mắc phải sai lầm thường làm đến (1) dừng lại chọn đáp án B Ví dụ 5: (Đề thi THPT QG) Có giá trị nguyên âm tham số m để hàm số y = x3 + mx − x5 đồng biến khoản (0; +) ? A B C D Giải 1 y ' = 3x + m + Để hàm số đồng biến y ' 3x + + m m −3x − = g ( x) x x x Ta hiểu y’ ≥ g(x) với giá trị x thuộc khoảng (0; +) có nghĩa y ≥ g(max) khoảng (0; +) Để tính g (max) ta sử dụng MODE với Start End Step 0.5 GV: VƯƠNG THÙY DUNG SKILL GIẢI NHANH - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM - Quan sát bảng giá trị ta thấy g(max) = -4 x = m ≥ -4 Vì m nguyên âm nên m = -4; -3; -2; -1 có giá trị m thỏa mãn => Chọn D Bình luận Vì hàm g(x) phức tạp nên ta ưu tiên sử dụng phương pháp Casio Vinacal Khi x tiến tới + ta thường chọn End 19 bước nhảy Step đẹp ================================== CHỦ ĐỀ 2: BÍ QUYẾT TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A KIẾN THỨC NỀN TẢNG Dấu hiệu xuất cực đại, cực tiểu Hàm số f liên tục ( a; b ) chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng ( a; x0 ) ( x0 ;b ) Khi đó: Nếu f ( x0 ) đổi dấu từ âm sang dương x qua điểm x0 hàm số đạt cực tiểu điểm x0 Nếu f ( x0 ) đổi dấu từ dương sang âm x qua điểm x0 hàm số đạt cực đại điểm x0 Hoành độ điểm cực trị (cực đại cực tiểu) nghiệm phương trình y ' = Lệnh Casio tính đạo hàm Một số khái niệm dễ gây nhầm lẫn Trên đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm cực trị có tọa độ M ( x0 ; y0 ) người ta nói: Hàm số đạt cực trị x0 giá trị cực trị hàm số y0 B VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ (Chun KHTN HN): Cho hàm số y = ( x − ) x Hàm số đạt cực tiểu B x = A x = C x = Giải D x = −2 Cách 1: Tự luận Tính y = ( x − 5) x + ( x − ) = 3x + ( x − 5) 33 x = ( x ) = 3 x + ( x − 5) 3 x 5( x − 2) 33 x Xét y = ( x − ) = x = y ' 5( x − 2) 33 x x 0 , x y x Vậy y ( ) = y đổi dấu từ âm sang dương qua giá trị x = x = điểm cực tiểu hàm số Chọn B Cách 2: Casio Vinacal GV: VƯƠNG THÙY DUNG SKILL GIẢI NHANH - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM - Để kiểm tra đáp án A ta tính y (1) thấy y (1) = −1.66 ( ) Ta quan tâm đến tính chất y (1) nên x = điểm cực tiểu hàm số Đáp án A sai Tiếp tục kiểm tra đáp số B ta thấy y ( ) = Điều có nghĩa x =2 điểm cực trị hàm số Ta tiếp tục xác minh xem x =2 có phải điểm cực tiểu đồ thị hàm số hay không? Nếu điểm cực tiểu y phải đổi dấu từ - sang + Thật y (1.9 ) y ( 2.1) tức y đổi dấu từ - sang + qua giá trị x =2 Hàm số đạt cực tiểu x = Chọn B Bình luận Nếu x = x0 cực trị hàm số điều kiện cần y ' ( x0 ) = không xác định y ( −1) = 1.66 ( ) khơng thỏa mãn tính chất x = 1khơng phải điểm cực trị hàm số đương nhiên điểm cực tiểu hàm số Để kiểm tra xem y đổi dấu qua x = x0 ta y ( x0 − 0.1) y ( x0 + 0.1) giá trị bên trái bên phải x0 quan sát thấy ( ) Ví dụ (THPT chuyên Thái Bình): Cho hàm số y = f ( x ) có f ' ( x ) = x − x ( x + ) Số điểm cực trị hàm số A B C Giải D Xét phương trình y ' = x2 − = x = x2 − x2 ( x + 2) = x2 = x = x = −2 ( x + ) = Ta thấy y ' = có nghiệm, nhiên có nghiệm bậc chẵn x = y ' khơng đổi dấu qua nghiệm ( ) y đổi dấu qua nghiệm bậc lẻ x = − 2, x = 2, x = −2 Hàm số y = f ( x ) có điểm Chọn C GV: VƯƠNG THÙY DUNG SKILL GIẢI NHANH - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM - Bình luận Ta nhớ “Số điểm cực trị số nghiệm bậc lẻ phương trình y = ” Ví dụ (THPT Anhxtanh): Gọi x1 , x2 ( x1 x2 ) hai điểm cực tiểu hàm số y = x − x − Tính giá trị biểu thức P = x2 + x1 A P = -1 B P = C P = Giải x=0 Tính y = x − x y ' = x ( x − 1) = x = 1 D P = y (1) = y ( −1) = Tính y = 12 x − Ta thấy y (1) = y ( −1) = Hàm số đạt cực tiểu 1 x = −1 P = 3x2 + x1 = Vì x1 x2 x2 = Chọn C Bình luận Ta lập trục xét dấu biểu thức y thấy y đổi dấu từ âm sang dương qua giá trị x = −1 x = x = 1 điểm cực tiểu hàm số Ví dụ 4: (THPT chuyên Bắc Ninh): Đồ thị hàm số y = x3 − x − x + có điểm cực trị A B Đường thẳng thuộc đường thẳng AB A M (1; −10 ) B N ( −1;10 ) C P (1;0 ) D Q ( 0; −1) Giải Cách 1: Trực tiếp Để làm cách trực tiếp ta tìm điểm cực trị A B sau viết phương trình đường thẳng qua điểm A B x = −1 y = Tính y = x − x − y = Ta thu điểm cực trị A ( −1;6 ) x = y = −26 B ( 3; −26 ) Đường thẳng AB nhận AB ( 4; −32 ) vecto phương nhận n ( 32;4 ) (8;1) vecto pháp tuyến Vậy phương trình AB : ( x − xA ) + 1( y − y A ) = ( x + 1) + y − = x + y + = Ta thấy với điểm M (1; −10 ) thỏa mãn phương trình AB M AB Chọn A Cách 2: Gián tiếp Ta biết: Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị hàm bậc có dạng y = g ( x ) với g ( x ) phần dư phép chia f ( x ) cho f ' ( x ) Tính f ' ( x ) = 3x − x − 1 1 Phân tích f ( x ) = A f ( x ) + g ( x ) ta được: f ( x ) = x − f ( x ) − x − 3 3 GV: VƯƠNG THÙY DUNG SKILL GIẢI NHANH - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM - phương trình AB: y = −8 x − Ta thấy với điểm M (1; −10 ) thỏa mãn phương trình AB Chọn A Bình luận Ta so sánh cách thấy tương đương Tuy nhiên ta ý, tốn viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị mà chứa tham số m ta ưu tiên cách thứ Ví dụ (THPT Đống Đa): Cho hàm số y = − x3 + ( 2m + 1) x − ( m2 − 1) x − với giá trị tham số m đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm phía trục tung C −1 m B m = A m m D m 1 Giải Cách 1: Tự luận Gọi x1 , x2 cực trị hàm số Khi x1 , x2 nghiệm phân biệt phương trình y = Để phương trình y = −3x + ( 2m + 1) x − ( m − 1) = có nghiệm phân biệt y = ( 2m + 1) − ( m − 1) 3m2 + 4m + với m x=2 x3 − x − x + = ( x − )( x − 1)( x + 1) = x = 1 Để cực trị nằm phía trục tung cực trị x1 , x2 trái dấu x1, x2 P m2 − −1 m Chọn C Cách 2: Casio Vinacal Thử với giá trị m = y = − x + x − x − y = −3x + 10 x − Ta thu giá trị x1 = 3; x2 = giá trị dấu tức cực trị nằm phía với trục tung m = sai Đáp số chứa m = đáp số sai A, B sai Thử m = ta thấy nghiệm x1 = 1, x2 = − trái dấu Chọn C Bình luận Nếu đề hỏi cực trị nằm phía trục tung x1 , x2 dấu x1 , x2 P ==================================== GV: VƯƠNG THÙY DUNG SKILL GIẢI NHANH - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM - CHỦ ĐỀ 3: BÍ QUYẾT TÌM GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ A KIẾN THỨC NỀN TẢNG Khái niệm Giá trị lớn hàm số y = f ( x) miền D M với ọi giá trị x0 D f ( x0 ) M Giá trị nhỏ hàm số y = f ( x) miền D m với giá x0 D f ( x0 ) m Quy ước: GTLN, GTNN viết tắt giá trị lớn giá trị nhỏ Quy tắc tìm GTLN, GTNN Bước 1: Tìm giá trị tới hạn miền D (là giá trị làm cho f ( x) = cận D) Bước 2: Tính giá trị f ( x) điểm tới hạn Bước 3: So sánh giá trị để tìm GTLN, GTNN Tìm GTLN, GTNN máy tính Casio b− a với D = a; b 19 Quan sát bảng giá trị F( x) để tìm GTLN, GTNN xuất hình máy tính Sử dụng chức MODE với thiết lập Start a End b Step B VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ (Chuyên HN Amsterdam): Gọi giá trị lớn giá trị nhỏ y = x4 + 2x2 − đoạn −1;2 M m Khi giá trị M.m là: A -2 Giải Cách 1: Tự luận B 46 C -23 D 48 4x = x=0 Tính y ' = 4x3 + 4x y ' = 4x( x2 + 1) = x +1= Vì nghiệm −1;2 nên nghiệm nhận Tính f (−1) = , f (0) = 1, f (2) = 23 Ta có: M = max f (−1); f (0); f (2) = 23 m = min f (−1); f (0); f (2) = −1 Vậy M.m = –23 => Chọn C Cách 2: Casio Vinacal • Sử dụng tính MODE cho hàm số y = x4 + 2x2 − với thiết lập Start -1 End Step 19 Quan sát bảng giá trị ta thấy GTLN 23 đạt x = GTLN −1 đạt x −0.052 Vậy M.m −23 => Chọn C Phân tích cách tuyệt vời Khi học nhà nên chọn cách để rèn luyện kiến thức thi nên chọn cách số để tính nhanh GV: VƯƠNG THÙY DUNG SKILL GIẢI NHANH - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM - Ví dụ (Chuyên Khoa học tự nhiên HN) Hàm số f ( x) = x + 1− x2 có tập giá trị là: A −1;1 C 0;1 B 1; D −1; Giải Cách 1: Tự luận • Tìm tập xác định: 1− x2 x2 −1 x x Tính y ' = − − x2 y ' = Vì nghiệm − x2 − x − x2 1 − x2 = x2 = 1− x = x x2 = x = 2 x 2 −1;1 nên nghiệm nhận 2 2 Tính f (−1) = −1 , f (1) = , f = 2, 2 f − =0 2 2 Ta có: max f (−1); f (1); f f ( − 1); f (1); f ; f − ; f − = = −1 Vậy −1 f ( x) => Tập giá trị f ( x) −1; => Chọn D Cách 2: Casio Vinacal • Sử dụng tính MODE cho hàm số f ( x) = x + 1− x2 với thiết lập Start –1 End Step 19 Quan sát bảng giá trị ta thấy GTLN 1.41 đạt x 0.68 GTNN = −1 đạt x = −1 Vậy −1 f (x) => Chọn D Phân tích Tập giá trị hàm số thường kí hiệu chữ P tập hợp tất giá trị y x thay đổi Vậy ymin P Pmax Bình luận GV: VƯƠNG THÙY DUNG SKILL GIẢI NHANH - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM - Việ tìm điều kiện x −1;1 điều quan trọng tốn tìm GTLN, GTNN Ví dụ (Chun Sư phạm HN) Tìm GTLN hàm số f ( x) = sin x + cos2x 0; A max = 0; B max = C max = 0; 0; D max = 0; Giải Cách 1: Tự luận Việc tính đạo hàm xét dấu đạo hàm hàm lượng giác sin x,cos2x việc làm khó khăn Vì để đợn giản ta tiến hành đặt ẩn phụ Đặt t = sin x , cos2x = 1− 2sin2 x = 1− 2t Tiến hành đổi cận x 0; → t 0;1 • Thay vào hàm ta được: f (t ) = + t − 2t miền 0;1 Tính y ' = − 4t y ' = t = 0;1 nên nghiệm thỏa mãn 1 f (0) = 1, f = , f (1) = 4 Vì nghiệm Vậy GTLN f đạt dấu = xảy x = => Chọn D Cách 2: Casio Vinacal Sử dụng tính MODE cho hàm f ( x) = sin x + cos2x với thiết lập Start End Step Quan sát bảng giá trị ta thấy GTLN 1.1138 19 đạt x 0.33 => Chọn D Phân tích Khi tìm GTLN, GTNN hàm lượng giác ta phải chuyển máy tính chế độ Radian 10 GV: VƯƠNG THÙY DUNG SKILL GIẢI NHANH - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM - Ví dụ (Chuyên Quốc Học Huế): Cho hàm số y = x3 –3x2+2x Có tất tiếp tuyến đồ thị hàm số qua điểm A(-1;0) ? A B C D Giải Tính f’(x)=3x02 -6x0 +2 y0 = x03 - 3x02 + 2x0 vào phương trình tiếp tuyến ta được: y = (3x02 -6x0 +2)(x - x0) + x03 - 3x02 +2x0 (1) Để tiếp tuyến (1) qua A(-1;0) tọa độ A phải thỏa mãn phương trình tiếp tuyến 0=(3x02 -6x0 +2)(-1-x0)+x03 -3x02 +2x0 -2x3 + 6x0 – =0 Giải phương trình bậc máy tính Casio với chức MODE Ta thấy phương trình có nghiệm phân biệt x0 => Có tiếp tuyến thỏa mãn => Chọn C Bình luận Với x0 phân biệt thay vào phương trình (1) thu tiếp tuyến Vậy có x0 nhiêu tiếp tuyến qua điểm A(-1;0) =================================== CHỦ ĐỀ 6: BÍ QUYẾT TÌM SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ A KIẾN THỨC NỀN TẢNG Phương pháp đồ thị tìm số nghiệm phương trình Cho phương trình f ( x ) = g ( x ) (1) , số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) đồ thị hàm số y = g ( x ) 19 GV: VƯƠNG THÙY DUNG SKILL GIẢI NHANH - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM - Chú ý: Số nghiệm phương trình f ( x ) = số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) trục hồnh Bài tốn tìm nghiệm phương trình chứa tham số Ta tiến hành lập m đưa phương trình ban đầu dạng f ( x ) = m ( ) số nghiệm phương trình (2) số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) đường thẳng y = m Chú ý: Đường thẳng y = m có tính chất song song với trục hoành qua điểm có tọa độ ( 0;m ) f ( x0 ) = g ( x0 ) Điều kiện tiếp xúc đồ thị y = f ( x ) y = g ( x ) x = x0 là: f ( x0 ) = g ( x0 ) Lệnh casio Để tìm nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm ta dùng lệnh SHIFT SOLVE B VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: (Chun Thái Bình 2018) Tìm tập hợp giá trị m để đường thẳng y = −2 x + m cắt đồ thị x +1 hàm số y = điểm phân biệt x−2 ( ) ( A −; − + ; + ( ) B −; − 5 + ; + x + C x − ( ) ( D −; − + ; + ) ) Giải: Cách 1: Tự luận Phương trình hoành độ giao điểm x +1 = −2 x + m x−2 x + = ( −2 x + m )( x − ) (1) x Để đường thẳng cắt đồ thị điểm phân biệt phương trình (2): x − ( m + 3) x + 2m + = phải có nghiệm phân biệt khác m + m2 − 10m + Δ m − 3 − m g ( ) => Chọn đáp án A Cách 2: Casio Vinacal Để giải phương trình (2) ta dùng máy tính Casio với chức MODE Chọn m = + ta thu nghiệm m = + không thỏa mãn Đáp số B sai MODE = − − ) − =10 + ) +1= = Chọn m = ta thấy phương trình vơ nghiệm Khơng có giao điểm Vì giá trị thuộc đáp số D Đáp số D sai Chọn A MODE = − = = = = Bình luận Vì đề hỏi tập hợp giá trị m nên phải lựa chọn đáp số A C ta ln chọn đáp số A A biểu diễn dạng tập hợp 20 GV: VƯƠNG THÙY DUNG SKILL GIẢI NHANH - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM - Ví dụ 2: (Chuyên Vĩnh Phúc) Cho hàm số y = x3 − 3x + ( C ) Gọi d đường thẳng qua A ( 3; 20 ) có hệ số góc Tìm m để d cắt (C) điểm phân biệt 15 15 15 A m ,m 24 B m C m ,m 24 4 D m 15 Giải Cách 1: Tự luận Phương trình đường thẳng d : y = m ( x − 3) + 20 y = mx − 3m + 20 Để d cắt (C) điểm phân biệt phương trình hồnh độ giao điểm x3 − 3x + = mx − 3m + 20 (1) có nghiệm phân biệt (1) x3 − 3x − 18 = mx − 3m ( x − 3) ( x + 3x + ) = m ( x − 3) ( x − 3) ( x + x + − m ) = x − = → x = x + 3x + − m = ( ) Để (1) có nghiệm phân biệt (2) có nghiệm phân biệt khác 4m − 15 15 Δ m ,m 24 g ( 3) 24 − m => Chọn đáp án C Cách 2: Casio Vinacal Phương trình hồnh độ giao điểm x3 − ( m + 3) x + 3m − 18 = (2) 15 ) ta phương trình x3 − x − = Giải phương trình máy tính Casio với chức MODE ta nghiệm thực d cắt (C) điểm Đáp số chứa m = sai A D sai Thử với m = ( số MODE = = − = − = = = = Thử với m = 24 ta phương trình x3 − 27 x + 54 = Ta nghiệm thực d cắt (C) điểm Đáp số chứa m = 24 sai B sai => Chọn C MODE = = − = = = = Bình luận: Bí giải phương trình bậc phân tích thành nhân tử ( x − x0 )( Ax + By + C ) gồm có bậc nhất, bậc Tuy nhiên việc khó khăn tìm nghiệm x0 ta cần nhớ nghiệm x0 làm cho m bị triệt tiêu mx − 3m = x = 21 GV: VƯƠNG THÙY DUNG SKILL GIẢI NHANH - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM - Ví dụ 3: (Chun KHTN HN 2018) Có số nguyên dương m cho đường thẳng y = x + m 2x −1 cắt đồ thị hàm số y = điểm phân biệt A,B AB ? x +1 A B C D Giải Phương trình hồnh độ giao điểm: 2x −1 = x+m x +1 2 x − = ( x + m )( x + 1) x + ( m − 1) x + m + = (1) x −1 x +1 Để đường thẳng cắt đồ thị điểm phân biệt (1) có nghiệm phân biệt khác m + Δ m − 6m − m 6, 46 ( 2) m − , 46 g ( −1) m − x A + xB = − m Khi theo định lý Vi-ét ta có x A xB = + m Để AB AB 16 ( xA − xB ) + ( y A − yB ) 16 ( xA − xB ) + ( xA + m − xB − m ) 16 ( x A − xB ) 2 2 ( x A + xB ) − x A xB (1 − m ) − (1 + m ) m − 6m − 11 2 − m + −1, 47 m , 47 ( ) Kết hợp (2) (3) ta m = 7;m = −1 Có giá trị m thỏa mãn => Chọn D Bình luận Khi giải phương trình (1) lỗi thường xuyên xảy học sinh quên điều kiện x −1 g ( −1) cách vận dụng Vi-ét để xử lý đại lượng liên quan đến nghiệm x A ,xB Ví dụ 4: (Chuyên Bắc Ninh 2018) Tìm m để y = mx − m + cắt đồ thị hàm số y = x3 − x + x + điểm phân biệt A, B, C cho AB = BC 22 GV: VƯƠNG THÙY DUNG SKILL GIẢI NHANH - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM - A m ( −; 0 C m − ; + B m R D m ( −2; + ) Giải Phương trình hồnh độ giao điểm: x3 − 3x + x + = mx − m + x3 − 3x + x + = mx − m ( x − 1) ( x − x − 1) = m ( x − 1) x = ( x − 1) ( x − x − − m ) = x − x − − m = (1) Với x = y = B (1;1) Để AB = BC B trung điểm A,C xA + xC = xB = ( ) Với x A ,xC nghiệm phương trình (1) y A + yC = yB = ( 3) Để phương trình (1) có nghiệm x A ,xC Δ + m m −2 Điều kiện (2) ln theo định lý Vi-ét: xA + xC = − b =2 a Điều kiện (3) mxA − m + + mxC − m + = m ( xA + xC ) − 2m = ln x A + xC = Vậy tổng kết điều kiện m −2 => Chọn D Bình luận Vì ta biết (1;1) tọa độ điểm B? Vì (1;1) tọa độ điểm uốn đồ thị hàm bậc 3, mà điểm uốn tâm đối xứng nên điểm B (1;1) phải (trung điểm) A,C ======================================= CHỦ ĐỀ 7: BÍ QUYẾT NHẬN DIỆN ĐỒ THỊ HÀM SỐ A KIẾN THỨC NỀN TẢNG Nhận diện đồ thị hàm bậc y = ax + bx + cx + d (a 0) Đồ thị hàm số có dạng chữ N a > có dạng chữ N ngược a < Hàm số có cực trị y ' hồnh độ điểm cực trị x1, x2 lànghiệm phương trình y ' = khơng có cực trị y ' Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm A ( 0; d ) Nếu điểm A nằm trục hoành d điểm A nằm trục hoành d Đồ thị hàm số có cực đại trước cực tiểu a cực đại trước cực tiểu a Nhận diện đồ thị hàm bậc trùng phương y = ax + bx + c (a 0) Đồ thị hàm số có dạng chữ W a > có dạng chữ M a < Hàm số có cực trị ab có cực trị ab ab ab Đồ thị hàm số có cực tiểu cực đại có cực đại cực tiểu a a Đồ thị hàm số cắt trục tung A ( 0; c ) Nếu điểm A nằm trục hoành c điểm A nằm trục hồnh c < Nhận diện đồ thị hàm bậc bậc 23 GV: VƯƠNG THÙY DUNG SKILL GIẢI NHANH - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM - b b Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm A 0; cắt trục hoành điểm B − ;0 a d a d Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = − có tiệm cận ngang y = c c d a Đồ thị có nhánh đối xứng qua tâm đối xứng I − ; c c Hàm số đồng biến tập xác định ad − bc nghịch biến tập xác định ad − bc Nhận biết hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối y = f ( x ) Ta giữ ngun phần đồ thị phía trục hồnh đồ thị hàm y = f ( x ) xóa phần đồ thị nằm phía trục hồnh đồng thời lấy đối xứng phần đồ thị lên trục hoành Nhận biết hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối y = f ( x ) Ta giữ nguyên phần đồ thị phía bên phải trục tung đồ thị hàm số y = f ( x ) xóa phần đồ thị nằm phía bên trái trục tung sau lấy đối xứng phần đồ thị bên phải trục tung sang bên trái trục tung B VÍ DỤ MINH HỌA Dạng 1: Tìm hệ số hàm số thông qua đồ thị cho trước Ví dụ (Đề minh họa BGD-ĐT 2018): Đường cong hình bên đồ thị hàm số sau đây? A y = − x + x + B y = x − x + C y = x +1 x−2 D y = − x − 3x + Giải Cách : Tự luận Đồ thị hàm số có dạng chữ M nên phải đồ thị hàm bậc trùng phương y = ax + bx + c với hệ số a Đáp số C sai đáp số A D Đồ thị hàm số có điểm cực trị y ' = đổi dấu lần phương trình bậc y' = có nghiệm phân biệt Với đáp số A ta có y ' = −4 x + x = Chọn A Cách : Dùng công thức giải nhanh Cơng thức: Để hàm bậc trùng phương có cực trị ab Áp dụng để chọn đáp án A D ta chọn ln đáp án A a.b = ( −1) = −2 Mở rộng Đáp án D sai a.b = ( −1) ( −3) = theo công thức giải nhanh ab > đồ thị hàm bậc trùng phương có điểm cực trị 24 GV: VƯƠNG THÙY DUNG SKILL GIẢI NHANH - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM - Ví dụ (Chuyên Bắc Ninh 2018): Đường cong hình bên đồ thị hàm số đáp án A, B, C, D Tìm đáp án A y = x − x + B y = − x + x + C y = x − 3x + D y = x + x − Giải Cách : Tự luận Đồ thị hàm có dạng chữ N phải đồ thị hàm bậc Đáp án A sai Đồ thị hàm số bậc 3: y = ax + bx + cx + d có cực đại trước cực tiểu hệ số a > Đáp số C D Lại thấy đồ thị hàm số có điểm cực trị y ' = đổi dấu lần phương trình bậc y ' = có nghiệm phân biệt Với đáp số C ta có y ' = x − = x = 1 => Chọn C Cách : Dùng công thức giải nhanh Công thức : Để hàm số bậc có cực trị b2 − 3ac Áp dụng để chọn đáp án C D ta chọn ln đáp án C b2 − 3ac = 02 − 3.1 ( −3) = Mở rộng Đáp án D sai b2 − 3ac = 02 − 3.1.4 = −12 theo công thức giải nhanh b2 − 3ac đồ thị hàm bậc khơng có cực trị Ví dụ (Chun Thái Bình 2018): Cho hàm số y = x−a có đồ thị hình bx + c vẽ Tính giá trị biểu thức T = a + b + c A P = −3 B P = C P = D P = Giải Cách 1: Tự luận Đồ thị có tiệm cận ngang y = = b = 1(1) b c Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = − = c = −2b c = −2 b Để tìm a ta xem đồ thị qua điểm Quan sát hình vẽ ta chọn điểm dễ dàng A ( −2;0 ) −2 − a −2 − a = a = −2 bx + c Vậy a = −2; b = l; c = −2 Tổng T = a + b + c = −3 Thay vào hàm số ta có : = => Chọn A Bình luận Đề cho kiện đồ thị qua điểm B ( 0; −1) thay vào hàm số tìm a nhiên ta thường chọn điểm A tính tốn dễ dàng Dạng 2: Nhận dạng đồ thị chứa dấu giá trị tuyệt đối 25 GV: VƯƠNG THÙY DUNG SKILL GIẢI NHANH - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM - Ví dụ (Đề tham khảo Bộ GD&ĐT ): Hàm số y = ( x − ) ( x − 1) có đồ thị hình vẽ bên Hình đồ thị hàm số y = x − ( x − 1) ? Giải Đặt y = f ( x ) = ( x − ) ( x − 1) g ( x ) = x − ( x − 1) Đồ thị hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) cắt trụ hoành điểm phân biệt x = 2, x = 1 Đáp số C sai Xét dấu x − ta đuợc trường hợp Trường hợp với x x − x − = x − y = x − ( x − 1) = ( x − ) ( x − 1) có nghĩa phần đồ thị nằm phía bên phải giá trị x = giữ nguyên Cả đáp án Trường hợp với x x − y = x − ( x − 1) = − ( x − ) ( x − 1) có nghĩa giá trị hàm số y = f ( x ) đối với giá trị đồ thị y = f ( x ) tức đồ thị y = f ( x ) đồ thị y = g ( x ) đối xứng qua trục hoành Ox => Chọn A Mở rộng Đáp án B sai đồ thị hàm số y = ( x − ) x − Đáp án D sai đồ thị hàm số y = ( x − ) ( x − 1) Dạng 3: Nhận diện đồ thị hàm số dựa vào hệ số biến x Ví dụ (Chuyên ĐHSP Hà Nội - Lần ): Cho hàm số y = ax + bx + c có đồ thị hình 10 Mệnh đề đúng? A a 0, b 0, c B a 0, b 0, c C a 0, b 0, c D a 0, b 0, c Giải Đồ thị hàm số bậc trùng phương y = ax + bx + c có dạng chữ M hệ số a Đán án A D Vì đồ thị có cực trị theo cơng thức giải nhanh a.b b Cả A D thỏa mãn nên ta tiếp tục phải tìm thêm dấu hiệu thứ Vì đồ thị hàm số cắt trục tung điểm A ( 0; c ) , quan sát hình vẽ ta thấy điểm nằm phía trục hoành giá trị c < => Chọn D Bình luận Nếu đồ thị có dạng chữ W a > Nếu điểm A ( 0; c ) nằm phía trục hồnh c > 0, điểm A nằm trục hồnh c = 26 GV: VƯƠNG THÙY DUNG SKILL GIẢI NHANH - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM - Ví dụ (Chuyên ĐHSP Hà Nội - Lần ): Cho hàm số y = ax + bx + cx + d có đồ thị hình Tìm khẳng định a, d 0; b a, d 0; b A B c = c = a, d 0; b D c a, b, d C c = => Chọn C Ví dụ (Chuyên ĐH Vinh, lần 1): Hình 14 đồ thị hàm số y = ax + b cx + d Mệnh đề sau đúng? A ad 0, ab B bd 0, ab D bd 0, ad C ab 0, ad => Chọn A Ví dụ (chun Thái Bình ): Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f ' ( x ) cắt trục Ox ba điểm có hồnh độ a, b, c hình vẽ Khẳng định xảy ra? A f ( a ) f ( b ) f ( c ) B f ( b ) f ( a ) f ( c ) C f ( c ) f ( a ) f ( b ) D f ( c ) f ( b ) f ( a ) => Chọn C Ví dụ (Thi THPT QG năm 2017 ): Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ' ( x ) hình bên Đặt h ( x ) = f ( x ) − x Mệnh đề đúng? A h ( ) = h ( −2 ) h ( ) B h ( ) = h ( −2 ) h ( ) C h ( ) h ( ) h ( −2 ) D h ( ) h ( −2 ) h ( ) => Chọn C ====================================== 27 GV: VƯƠNG THÙY DUNG SKILL GIẢI NHANH - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM - CHỦ ĐỀ 8: CASIO GIẢI NHANH CHƯƠNG HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG A KIẾN THỨC NỀN TẢNG Casio tìm Min Max: Dùng lệnh Mode máy tính Casio để tính nhanh đáp số mà khơng cần biết cách làm Phương pháp: Gồm bước: Bước 1: Để tìm GTLN – GTNN hàm số y = f ( x) miền [a;b] ta sử dụng máy tính Casio với lệnh b−a MODE (Lập bảng giá trị) Start a End b Step ( làm tròn để Step đẹp) 19 Bước 2: Quan sát bảng giá trị máy tính hiển thị, giá trị lớn xuất max, giá trị nhỏ xuất Casio tìm khoảng đồng biến nghịch biến: Dùng chức lập bảng giá trị MODE Quan sát bảng kết nhận được, khoảng làm cho hàm số ln tăng khoảng đồng biến, khoảng làm cho hàm số ln giảm khoảng nghịch biến Chú ý: Trong toán chứa tham số ta tính đạo hàm tiến hành lập m đưa dạng m f ( x) m f ( x) Tìm Min, Max hàm số f(x) kết luận Casio tìm điểm cực trị hàm số: Dùng lệnh để kiểm tra cực trị Nếu f '(x ) đổi dấu từ + sang − hàm số đạt cực đại x0 f '( x0 ) đổi dấu từ − sang + hàm số đạt cực tiểu x0 Casio tìm giới hạn: Dùng chức CALC với số quy ước x → + x = 109 x → − x = −109 x → x0+ x = x0 + 10−6 x → x0− x = x0 − 10−6 x → x0 x = x0 + 10−6 Casio tìm tương giao: Ta tiến hành cô lập m đưa phương trình ban đầu dạng f ( x) = m (2) số nghiệm phương trình (2) số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x) đường thẳng y = m Chú ý: Đường thẳng y = m có tính chất song song với trục hoành qua điểm có tọa độ (0; m) B VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ ( Thi thử Chuyên Hạ Long – Quảng Ninh – Lần – 2017) Hàm số y = 3cos x − 4sin x + với x 0; 2 Gọi M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Khi tổng M + m bao nhiêu? A Giải C B D 16 Sử dụng chức MODE máy tính Casio với thiết lập Start End 2 Step 2 − 19 Quan sát bảng giá trị F(X) ta thấy giá trị lớn F(X) đạt f (5.2911) = 12.989 13 = M Ta thấy giá trị nhỏ F(X) đạt f (2.314) = 3.0252 = m Vậy M + m ≈16 Chọn D 28 GV: VƯƠNG THÙY DUNG SKILL GIẢI NHANH - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM - Chú ý: Để tính tốn toán liên quan đến lượng giác ta chuyển máy tính chế độ Radian Ví dụ (KSCL Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa – 2017 ) 2mx + 1 Giá trị lớn hàm số y = đoạn [2; 3] − m nhận giá trị m− x A -5 B C D -2 Giải 1 Ta hiểu giá trị nhỏ y = − đoạn [2;3] có nghĩa phương trình y + = có nghiệm 3 thuộc đoạn [2; 3] −10 x + 1 Thử nghiệm đáp án A với m = −5 ta thiết lập + =0 −5 − x Sử dụng chức dò nghiệm SHIFT SOLVE x = −0.064 khơng phải giá trị thuộc đoạn [2;3] Vậy đáp án A sai Tương tự ta thấy đáp án C với m = y có dạng −x Ta thấy y = Ta thấy y = x = giá trị thuộc đoạn [2;3] Chọn C Chú ý: Ta sử dụng máy tính Casio theo VD1 với chức MODE Ví dụ (Thi thử chun Thái Bình – Lần – 2017) Bạn A có đoạn dây dài 20m Bạn chia đoạn dây thành phần Phần đầu uốn thành tam giác 29 GV: VƯƠNG THÙY DUNG SKILL GIẢI NHANH - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM - Phần cịn lại uốn thành hình vng Hỏi độ dài phần đầu tổng diện tích hai hình nhỏ nhất? 180 120 60 40 A B C D m m m m 9+4 9+4 9+4 9+4 Giải Gọi hai đầu đoạn dây M, N điểm I chia đoạn MN thành phần Đặt x = MI uốn đoạn thành x 3 x tam giác IEM cạnh S IEM = 3 20 − x 20 − x Đoạn cịn lại IN uốn thành hình vng IPQN cạnh S IPQN = x 20 − x + 3 Ta sử dụng MODE với Start End 20 Step 20/19 để dị GTNN 2 Đặt tổng diện tích f ( x) = Giá trị nhỏ xuất ≈ 10.88 đạt x 11.57 180 9+4 Chọn B Chú ý: Để làm toán cực trị dạng thực tế ta thường làm theo bước: Bước 1: Đặt đại lượng đề yêu cầu tìm x Bước 2: Dựa vào đề thiết lập hàm số tìm GTLN – GTNN Bước 3: Sử dụng thủ thuật Casio tìm nhanh GTLN – GTNN Ví dụ (Chuyên KHTN – 2017) Cho số x, y thỏa mãn điều kiện x + y = Tìm giá trị lớn nhất: P = A 11 Giải B Nếu x + y = ta được: P = 2 C + xy + y D ( x + xy ) x + xy + y Nếu y = P = Nếu y ta đặt t = P = f (t ) = ( x + xy ) x y ( t + 6t ) t + 2t + Dùng lệnh MODE với Start −4 End Step 0.5 ta 30 GV: VƯƠNG THÙY DUNG SKILL GIẢI NHANH - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM - Ta thấy GTLN xuất x = Chọn D Chú ý Ngồi cách dùng MODE ta dùng lệnh dị SHIFT SOLVE Nếu đáp án A phương trình P = ( t + 6t ) t + 2t + = có nghiệm Ví dụ 5: (Thi thử Báo Tốn Học Tuổi Trẻ - Lần – 2017 ) Hàm số y = x + x + mx + m đồng biến tập xác định giá trị m A m B m C m Giải Để giải toán liên quan đến tham số m ta phải lập m Hàm số đồng biến y ' x + x + m m −3 x − x = f ( x ) D m Vậy để hàm số y đồng biến tập xác định m f ( x) hay m f (max) với x thuộc R Để tìm Giá trị lớn f ( x) ta dùng chức MODE theo cách dùng kỹ thuật Casio tìm max Quan sát bảng giá trị ta thấy giá trị lớn f ( x) x = −1 Vậy m Chọn A Bình luận Kiến thức (*) áp dụng định lý dấu tam thức bậc 2: “Nếu tam thức bậc hai ax + bx + c có dấu tam thức bậc dấu với a” Ví dụ (Thi thử Báo Tốn Học Tuổi Trẻ - Lần – 2017) Với giá trị tham số m hàm số y = sin x − cos x + 2017 2mx đồng biến R? 31 GV: VƯƠNG THÙY DUNG SKILL GIẢI NHANH - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM - A m 2017 C m B m 2017 D m − 2017 Giải Tính đạo hàm y ' = cos x + sin x + 2017 2m − sin x − cos x = f ( x) 2017 Để hàm số ln đồng biến R m f ( x) với x R hay m f (max) y' m Để tìm giá trị lớn hàm số ta lại sử dụng chức MODE Vì hàm f ( x) hàm lượng giác mà 2 hàm lượng giác sin x, cos x tuần hồn với chu kì 2π ta thiết lập Start End 2π Step 19 Quan sát bảng giá trị F(X) ta thấy f (max) = f (3.9683) 5.10−4 Đây giá trị 1 m 2017 2017 Chọn C Bình luận Vì chu kì hàm sin x, cos x 2π nên ngồi thiết lập Start End 2π ta thiết lập Start − End − Nếu xuất hàm tan x, cot x mà hai hàm tuần hồn theo chu kì π ta thiết lập Start End π Step 19 Ví dụ (Thi thử Chuyên KHTN – HN – Lần – 2017 ) Cho hàm số y = ( x − ) x Mệnh đề sau đúng? A Hàm số đạt cực tiểu x = B Hàm số đạt cực tiểu x = C Hàm số đạt cực tiểu x = D Hàm số khơng có cực tiểu Giải Để kiểm tra đáp án A ta tính đạo hàm y x = (tiếp tục hình Casio dùng) Ta thấy đạo hàm y ' (1) đáp số A sai Tương tự với đáp án B (tiếp tục hình Casio dùng) 32 GV: VƯƠNG THÙY DUNG SKILL GIẢI NHANH - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM - Ta thấy y ' ( ) = Đây điều kiện cần để x = điểm cực tiểu hàm số y Kiểm tra y ' ( − 0.1) = −0.1345 Kiểm tra y ' ( + 0.1) = 0.1301 Tóm lại f ' ( ) = dấu y’ đổi từ − sang + hàm số y đạt cực tiểu x = Chọn B Bình luận Trong tốn tính đạo hàm phức tạp cách Casio tỏ có hiệu tránh nhầm lẫn tính đạo hàm xét dấu đạo hàm ===================== HẾT ================= 33 GV: VƯƠNG THÙY DUNG