Phương pháp giải các dạng toán thường gặp Khảo sát hàm số GV Huỳnh Phúc Hải – ĐHSPĐN – 0935 228284 Trang 1 PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Phần 1 SỰ ĐỒNG BIẾN,NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Bài 1 1[.]
Phương pháp giải dạng toán thường gặp Khảo sát hàm số GV Huỳnh Phúc Hải – ĐHSPĐN – 0935.228284 PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Phần 1: SỰ ĐỒNG BIẾN,NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Bài 1.1: Xét đồng biến nghịch biến hàm số Tìm TXĐ Tính y’ Tìm điểm tới hạn Lập bảng biến thiên Kết luận Bài 1.2: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến R khoảng tập xác định Tìm TXĐ Tính y’ Hàm số ĐB R y ' 0, x R a ( Hàm số nghịch biến R y ' 0, x R ) a Từ suy điều kiện m Bài 1.3: Tìm m để hàm bậc đồng biến, nghịch biến khoảng (a,b) * Cách 1: + Hàm số ĐB (a,b) y ' 0, x a, b y ' 0, x a, b ( y’liên tục x = a x =b) g(x) h(m) , x a, b g x h m a,b (*) + Tính g’(x) Cho g’(x) = tìm nghiệm x0 a, b Tính g x0 , g a , g b => g x a,b Bài : Chứng minh bất đẳng thức P(x) > Q(x), x a, b cách sử dụng tính đơn điệu ( Chuyển vế đưa BĐT dạng : f(x) = P(x) – Q(x) >0 ) Xét hàm số f(x) = P(x) – Q(x) liên tục [a,b) Tính f '( x) Chứng tỏ f '( x) 0, x [a, b) Hàm số đồng biến [a,b) x a, b : f ( x ) f ( a ) =… Suy đpcm Phần : CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Bài 2.1: Tìm cực trị hàm số Quy tắc 1: + Tìm TXĐ + Tính y’ Cho y’ = tìm nghiệm (nếu có) +Lập bảng biến thiên + Kết luận : Hàm số đạt cực đại x =… yCĐ = … Hàm số đạt cực tiểu x =… yCT = … Quy tắc ( thường dùng hàm lượng giác): + Tìm TXĐ + Tính y’ Cho y’ = tìm nghiệm xi + Tính y” Tính y”(xi) +Kết luận : y”(xi) >0 => hs đạt CT xi yCT =… y”(xi) hs đạt CĐ xi yCĐ =… Bài 2.2: Tìm m để hàm số có ( ko có )cưc trị (Lưu ý : hàm số có cực trị y’ = có nghiệm y’ đổi dấu qua nghiệm đó) Tìm TXĐ Tính y’ - Hàm bậc ba có cực trị ( có CĐ, CT có cực trị) pt y’=0 có hai nghiệm phân biệt + Từ (*) suy điều kiện m * Cách 2: (thường dùng tham số m có bậc 2) + Hàm số ĐB (a,b) y ' 0, x a , b y ' a - Hàm b3 ko có cực trị y’=0 có n0 kép vơ n0 Có trường hợp : * TH1 : suy m y ' 0, x R a - * TH2 : y’ = f(x) =0 có nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa …….(điều kiện x1, x2 để hàm số ĐB (a,b) – xem phần so sánh số với nghiệm tam thức bậc hai ) Suy m Kết hợp hai trường hợp ta đáp số m cần tìm Bài 1.4: Tìm m để hàm số ĐB , NB đoạn có độ dài d + Tìm TXĐ + Tính y’ + Hàm số có khoảng ĐB, NB y’ = có nghiệm suy m (*) a phân biệt x1, x2 suy m Hàm b2 có cực trị pt y’=0 có hai nghiệm b1 phân biệt khác x0 ( với x0 nghiệm mẫu) 0 g ( với g(x) = tử số y’ ) g ( x0 ) Giải hệ tìm m Bài 2.3 : Tìm m để hàm số đạt cực trị x = x0 Tìm TXĐ Tính y’ Cách 1: Hàm số đạt cực trị x = x0 => y’(x0) = tìm m Với giá trị m tìm được, ta thay vào y’ lập bảng biến thiên Dựa vào BBT kết luận m có thỏa ycbt khơng y ' x0 y " x0 + Biến đổi x1 x2 d thành x1 x2 x1 x2 d Cách : Hàm số đạt cực trị x = x0 Dùng định lí Viet đưa pt pt theo m Giải pt tìm m , so với đk (*) để m cần tìm Giải hệ tìm m Trang Phương pháp giải dạng toán thường gặp Khảo sát hàm số GV Huỳnh Phúc Hải – ĐHSPĐN – 0935.228284 Bài 2.4 : Tìm m để hàm số đạt cực đại ( CT ) x = x0 Tìm TXĐ Tính y’ , y” y ' x0 y " x0 Hàm số đạt cực đại x = x0 y ' x0 ) y " x0 Giải hệ tìm m Bài 2.5 : Tìm m để hàm số bậc có hai cực trị (hoặc có cực đại cực tiểu) thỏa điều kiện K ( đk x1, x2) + Tìm TXĐ + Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu (*) + Hoành độ cực đại cực tiểu nghiệm pt y’ = ( Ta suy hồnh độ tổng , tích hồnh độ) + Tìm m để cực đại cực tiểu thỏa điều kiện K So với điều kiện (*) để m thỏa ycbt Bài 2.6 : Tìm m để đồ thị hàm bậc có hai điểm cực trị thỏa đk K cho trước ( VD: đt qua cực trị vng góc song song với đt cho trước,….) + Tìm TXĐ + Tính y’ + Tìm m để hàm số có cực trị (*) + Lấy y chia y’ ta : y = y’.g(x) + (ax + b) Gọi M x1 , y1 , M x2 , y2 điểm cực trị => y ' x1 y ' x2 Suy : y1 ax1 b , y2 ax2 b a.b b0 Bài 3.1 : Tìm GTLN, GTNN hàm số y = f(x) khoảng (a,b) Xét hàm số (a,b) Tính y’ Cho y’ = tìm nghiệm (nếu có ) Lập bảng biến thiên Dựa vào BBT kết luận max y , y a,b a,b Bài 3.2 : Tìm GTLN, GTNN hàm số y = f(x) [a,b] Xét hàm số [a,b] Tính y’ Cho y’ = tìm nghiệm xi [a, b] Kết luận max y , y [a ,b] [ a,b] Bài 3.3 : Tìm GTLN, GTNN hàm số y = f(x) [a,b] R, với f(x) hàm lượng giác phức tạp Biến đổi f(x) hàm số lượng giác cung Đặt t = HSLG điều kiện t Ta : g(t) = … Tính g’(t) Cho g’(t) = tìm nghiệm ti [ , ] Tính g( ti) , g , g y ax bx c a 0 + TXĐ : D = R + Tính y’ = 4ax3 +2bx * Hàm số đạt cực trị x = Hàm số có cực trị y’ = có nghiệm phân biệt pt (*) có nghiệm phận biệt khác a.b y ' x0 = k Giải tìm x0 suy y0 = y(x0) Suy Pt tiếp tuyến d Cách 2: Dùng đk tiếp xúc + Pt tiếp tuyến d có dạng : y = kx +b f x kx b có nghiệm ' f x k + d tiếp xúc với (C) + Giải hệ tìm b Viết pttt d Lưu ý : Hệ số góc tiếp tuyến cho gián tiếp sau : + d song song với : y k2 x b2 => k = k2 d tiệm cận đứng c B4: Bảng biến thiên Kết luận : - Hàm số đồng biến , nghịch biến khoảng xác định - Hàm số khơng có cực trị B5 : Bảng giá trị : ( điểm đặc biệt) B6 : Vẽ đồ thị Bài 4.3 : Dựa vào đồ thị (C): y f x vẽ, biện + d vng góc với : y k2 x b2 => k 1 k2 + d tạo với : y k2 x b2 góc k k2 tan , 00 ,900 k1k2 luận theo m số nghiệm phương trình F m, x (1) Tìm x0, y0 Tính y’ => y’(x0) Pt tiếp tuyến (C) M x0 , y0 có dạng : Tiếp tuyến d cần tìm có dạng: y k x x0 y0 x + Bài 4.5 : Viết pt tiếp tuyến đồ thị (C) y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k Gọi M x0 , y0 tiếp điểm ad bc Bài 4.4 : Viết pt tiếp tuyến đồ thị (C) y = f(x) điểm M x0 , y0 Đưa pt (1) dạng : f x g m Đây phương trình hồnh độ giao điểm (C) đường thẳng d : y = g(m) ( nằm ngang) Số nghiệm pt (1) số giao điểm (C)và d Dựa vào đố thị, lập bảng biện luận kết luận g(m) m Số nghiệm pt (1) +d tạo với chiều dương trục hoành góc k = tan Bài 4.6 : Viết pt tiếp tuyến đồ thị (C) y = f(x) biết tiếp tuyến qua điểm A (xA, yA) Gọi d tiếp tuyến qua A (xA, yA) có hệ số góc k Suy : d : y k x x A y A d tiếp xúc với (C) hệ pt sau có nghiệm : f ( x) k x xA y A f ' x k Giải hệ tìm x ( pp thế) => k Viết pttt Cách 2: tìm tọa độ tiếp điểm : Gọi M x0 , y0 tiếp điểm.Khi y0 f x0 - Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số * Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Pt tiếp tuyến (C) điểm M x0 , y0 có dạng : y y0 f ' x0 x x0 Pt tiếp tuyến d M có dạng : y y0 y ' x0 x x0 y A y0 y ' x0 x A x0 Trang Vì d qua A(xA, yA) nên : Giải pt tìm x0 Từ viết pttt Phương pháp giải dạng toán thường gặp Khảo sát hàm số GV Huỳnh Phúc Hải – ĐHSPĐN – 0935.228284 Bài 4.7: Biện luận theo m số giao điểm đường: Cho hàm số y = f(x, m) y = g(x, m) có đồ thị C1 , C2 Biện luận theo m số giao điểm (C1) (C2): * B1 : Lập pt hoành độ giao điểm C1 C2 f(x,m) = g(x, m) (1) * B2: Biện luận theo m số giao điểm C1 C2 Chú ý : * Nếu (1) pt bậc hai bước ta làm sau: - Tính - Biện luận theo => số nghiệm pt (1) => Số giao điểm C1 C2 xa Ax Bx C (2) - Tính , Biện luận theo => Số nghiệm pt(2) => số nghiệm pt (1) Bài 4.8 : Nghiệm pt bậc ba: Số n0 pt b3 số giao điểm (C) với trục Ox Có nghiệm tạo thành cấp số cộng Có n0 đơn phân biệt Có n0 kép, n0 đơn Có n0 đơn Đồ thị hàm số trục hoành Cắt điểm cách (hay điểm lập thành CSC) Cắt điểm phân biệt Tiếp xúc điểm cắt điểm Cắt điểm a b Lưu ý :* ax + b = , m a * ax bx c 0, m b c Nếu Đặt F(m) = f(x0,m) F(m) = y0 không đổi => F’(m) = Giải pt tìm x0 Thay vào (*) tìm y0 Kết luận điểm cố định Bài 4.11: Đồ thị hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối: Cho đồ thị (C) : y = f(x) Dựa vào đồ thị (C) , vẽ đồ thị (C’) : a) y f x , b) y f ( x) f ’(x) = có n0 pb điểm uốn nằm trục Ox f ’(x) = có n0 pb yCĐ yCT 0 Định lí Viet pt bậc 3: y Biến đổi pt theo ẩn m Áp dụng đk pt có n0 m hệ số đồng thời giải tìm x0, y0 => Kết luận Cách 2: Gọi M(x0, y0) điểm cố định họ đồ thị (Cm) M x0 y0 Cm , m y0 f x0 , m , m (*) Pt bậc * Nếu (1) pt bậc bước t a làm sau : - Đoán nghiệm pt ( giả sử pt có nghiệm x = a) - Thực phép chia đa thức ( Sơ đồ Hoocne) Ta có: (1) (x-a)(Ax2 +Bx + C) = Bài 4.10 :Tìm điểm cố định họ đồ thị (Cm): y = f(x,m) Cách 1: Gọi M(x0, y0) điểm cố định họ đồ thị (Cm) M x0 y0 Cm , m y0 f x0 , m có n0 m P x a , với A(x) đa A x Q x Q x thức , a * Tọa đô điểm đồ thị nguyên x nguyên a bội Q(x) * Thử lại giá trị m tìm => Kết luận Trang