CÔNG THỨC LTĐH 2018

Cách 2: Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng và phương giao tuyến tức tìm trong hai mặt phẳng hai đường thẳng song song với nhau.. CÁCH XÁC ĐỊNH GIAO ĐIỂM GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

MỤC LỤC TỔNG HỢP KIẾN THỨC TOÁN LUYỆN ĐI ĐẠI HỌC 2018

TOÁN 11

CHUYÊN ĐỀ 1: LƯỢNG GIÁC 3

VẤN ĐỀ 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 3

VẤN ĐỀ 2: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 4

VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 5

CHUYÊN ĐỀ 2 : TỔ HỢP XÁC SUẤT 7

VẤN ĐỀ 1 : PHÉP ĐẾM 7

VẤN ĐỀ 2: NHỊ THỨC NEWTON 9

VẤN ĐỀ 3: XÁC SUẤT 9

CHUYÊN ĐỀ 3: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN 11

VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 11

VẤN ĐỀ 2: DÃY SỐ 11

VẤN ĐỀ 3: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN 12

CHUYÊN ĐỀ 4 : GIỚI HẠN 13

VẤN ĐỀ 1 : GIỚI HẠN DÃY SỐ 13

VẤN ĐỀ 2: GIỚI HẠN HÀM SỐ 13

VẤN ĐỀ 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC 15

VẤN ĐỀ 4: CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM 15

CHUYÊN ĐỀ 5: ĐẠO HÀM 15

VẤN ĐỀ 1: CÔNG THỨC ĐẠO HÀM 16

VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 17

VẤN ĐỀ 3: VI PHÂN 17

CHUYÊN ĐỀ 6 : HÌNH HỌC 18

VẤN ĐỀ 1 : MỘT SỐ KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 18

VẤN ĐỀ 2: MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG 18

VẤN ĐỀ 3: GÓC 21

VẤN ĐỀ 4: KHOẢNG CÁCH 22

TOÁN 12 CHUYÊN ĐỀ 1: HÀM SỐ 24

VẤN ĐỀ 1: SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 24

VẤN ĐỀ 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ 27

VẤN ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 34

VẤN ĐỀ 4: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 35

VẤN ĐỀ 5: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 35

VẤN ĐỀ 6: TIẾP TUYẾN 40

VẤN ĐỀ 7: TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ 41

VẤN ĐỀ 8: ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG 41

CHUYÊN ĐỀ 2 : MŨ VÀ LOGARIT 45

VẤN ĐỀ 1 : LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA 45

VẤN ĐỀ 2 : LOGARIT VÀ HÀM SỐ LOGARIT 47

VẤN ĐỀ 3 : BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG 50

CHUYÊN ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 53

VẤN ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM 53

VẤN ĐỀ 2: TÍCH PHÂN 57

VẤN ĐỀ 3: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 66

CHUYÊN ĐỀ 4: SỐ PHỨC 68

VẤN ĐỀ 1: SỐ PHỨC 68

VẤN ĐỀ 2: PHÉP CỘNG TRỪ NHÂN CHIA SỐ PHỨC 68

VẤN ĐỀ 3 : TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC 69

VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 70

VẤN ĐỀ 5 : BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MAX – MIN MÔ ĐUN SỐ PHỨC 70 CHUYỀN ĐỀ 5: KHỐI ĐA DIỆN 71

VẤN ĐỀ 1: CÁC LOẠI KHỐI ĐA DIỆN 71

VẤN ĐỀ 2: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 76

VẤN ĐỀ 3: TỔNG HỢP CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH 77

CHUYÊN ĐỀ 6 : MẶT NÓN - MẶT TRỤ - MẶT CẦU 82

CHUYÊN ĐỀ 7 : HỆ TRỤC TỌA ÐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ 98

VẤN ĐỀ 1: HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN 98

VẤN ĐỀ 2: MẶT PHẲNG 102

VẤN ĐỀ 3 : ĐƯỜNG THẲNG 106

VẤN ĐỀ 4: MẶT CẦU 114

Hàm số 𝒚 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙

TXĐ: 𝐷 = ℝ\ {𝜋2+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}

Hàm số lẻ và là hàm số tuần hoàn chu kì là 𝜋

Hàm số 𝒚 = 𝐜𝐨𝐭 𝒙 TXĐ: 𝐷 = ℝ\{𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}

Hàm số lẻ và là hàm số tuần hoàn chu kì là 𝜋

𝜋

4≠ 𝑘𝜋cos 𝑥 − 1 ≠ 0 ⇔ {𝑥 ≠

𝜋

4+ 𝑘𝜋

𝑥 ≠ 𝑘2𝜋 TXĐ: 𝐷 = ℝ\ {𝜋

4 + 𝑘𝜋, 𝑘2𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}

VD: Tìm GTLN và GTNN của 𝑦 = 2 + 3 cos 𝑥

Có −1 ≤ cos 𝑥 ≤ 1 ⇔ −3 ≤ 3 cos 𝑥 ≤ 3 ⇔ −1 ≤

2 + 3 cos 𝑥 ≤ 5

max 𝑦 = 5 khi cos 𝑥 = 1 ⇔ 𝑥 = 𝑘2𝜋 (𝑘 ∈ ℤ)

min 𝑦 = −1 khi cos 𝑥 = −1

⇔ 𝑥 = 𝜋 + 𝑘2𝜋 (𝑘 ∈ ℤ)

VD: Tìm GTLN và GTNN của 𝑦 = 1 + 4 cos 2 𝑥

Có 0 ≤ cos 2 𝑥 ≤ 1 ⇔ 0 ≤ 4 cos 2 𝑥 ≤ 4

⇔ 1 ≤ 1 + 4 cos 2 𝑥 ≤ 5 max 𝑦 = 5 khi cos 2 𝑥 = 1 ⇔ cos 𝑥 = ±1

⇔ 𝑥 = 𝑘𝜋 (𝑘 ∈ ℤ) min 𝑦 = 1 khi cos 2 𝑥 = 0 ⇔ cos 𝑥 = 0

VẤN ĐỀ 2: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

cos 2 𝑥= 1 + tan2𝑥 7)

1 sin 2 𝑥= 1 + cot2𝑥 8) sin(𝑥 + 𝑘2𝜋) = sin 𝑥 9) cos(𝑥 + 𝑘2𝜋) = cos 𝑥

10) tan(𝑥 + 𝑘2𝜋) = tan 𝑥 11) cot(𝑥 + 𝑘2𝜋) = cot 𝑥

tan(𝜋 + 𝛼) = tan 𝛼 cot(𝜋 + 𝛼) = cot 𝛼

(tan cot hơn kém 𝝅)

sin (𝜋

2+ 𝛼) = cos 𝛼 cos (

𝜋

2+ 𝛼) = − sin 𝛼tan (𝜋

sin(𝑎 ± 𝑏) = sin 𝑎 cos 𝑏 ± cos 𝑎 sin 𝑏 (sin thì sin cos cos sin)

cos(𝑎 ± 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 ± sin 𝑎 sin 𝑏 (cos thì cos cos sin sin dấu trừ ) tan (𝑎 ± 𝑏) = tan 𝑎 ± tan 𝑏

1 − tan 𝑎 tan 𝑏

sin 2𝑎 = 2 sin 𝑎 cos 𝑎

cos 2𝑎 = cos 2 𝑎 − sin 2 𝑎 = 2 cos 2 𝑎 − 1

= 1 − 2 sin 2 𝑎 tan 2𝑎 = 2 tan 𝑎

1 − tan 2 𝑎

sin 3𝑎 = 3 sin 𝑎 − 4 sin 3 𝑎 (sin3a bằng 3 sin trừ 4 sỉn)

cos 3𝑎 = 4 cos 3 𝑎 − 3 cos 𝑎 (cos3a bằng 4 cổ trừ 3 cô)

tan 3𝑎 =3 tan 𝑎 − tan3𝑎

1 − 3 tan 2 𝑎

CÔNG THỨC HẠ BẬC

sin 2 𝑎 =1 − cos 2𝑎

2 cos 2 𝑎 =1 + cos 2𝑎

2

sin 3 𝑎 =3 sin 𝑎 − sin 3𝑎

4 cos 3 𝑎 =3 cos 𝑎 + cos 3𝑎

4

sin 4 𝑥 + cos 4 𝑥 == 1 −1

2sin22𝑥sin 6 𝑥 + cos 6 𝑥 = 1 −3

4sin22𝑥

𝟐 cos 𝑎 cos 𝑏 =1

2 [cos(𝑎 + 𝑏) + cos(𝑎 − 𝑏)] (cos cộng cộng cos trừ)

2

1 + 𝑡 2

tan 2𝑎 = 2𝑡

1 − 𝑡 2

TỔNG – TÍCH

cos 𝑎 + cos 𝑏 = 2 cos𝑎 + 𝑏

2 cos

𝑎 − 𝑏 2

(cos cộng cos bằng 2 cos cos)

cos 𝑎 − cos 𝑏 = −2 sin𝑎 + 𝑏

2 sin

𝑎 − 𝑏 2

(cos trừ cos bằng trừ 2 sin sin)

sin 𝑎 + sin 𝑏 = 2 sin𝑎 + 𝑏

2 cos

𝑎 − 𝑏 2

(sin cộng sin bằng 2 sin cos)

sin 𝑎 − sin 𝑏 = 2 cos𝑎 + 𝑏

2 sin

𝑎 − 𝑏 2

(sin trừ sin bằng 2 cos sin)

tan 𝑎 ± tan 𝑏 = sin(𝑎 ± 𝑏)

cos 𝑎 cos 𝑏

(tình mình cộng với tình ta, sinh ra 2 đứa con mình con ta)

sin 𝑎 + cos 𝑎 = √2 sin (𝛼 +𝜋4) sin 𝑎 − cos 𝑎 = √2 sin (𝛼 −𝜋4)

2+ 𝑘2𝜋sin 𝑢 = ±1 ⇔ 𝑢 =𝜋

2+ 𝑘𝜋

cos 𝑢 = 0 ⇔ 𝑢 =𝜋

2+ 𝑘𝜋cos 𝑢 = 1 ⇔ 𝑢 = 𝑘2𝜋 cos 𝑢 = −1 ⇔ 𝑢 = 𝜋 + 𝑘2𝜋 cos 𝑢 = ±1 ⇔ 𝑢 = 𝑘𝜋

2− ⋯ )

tan(… ) → cot (𝜋

2− ⋯ )cot(… ) → tan (𝜋

2− ⋯ )

VD:sin 𝑥 =√3

2 ⇔ sin 𝑥 = sin

𝜋 3

𝑥 = −𝜋

2+ 𝑘2𝜋

(𝑘 ∈ ℤ)

Cách giải: Chia 2 vế phương trình cho √𝑎 2 + 𝑏 2, sau đó áp dụng công thức cộng

Xét cos 𝑢 ≠ 0 ⇔ 𝑢 =𝜋

2+ 𝑘𝜋Chia 2 vế pt cho cos 2 𝑢, giải pt theo tan 𝑢

2

CHUYÊN ĐỀ 2 : TỔ HỢP XÁC SUẤT

VẤN ĐỀ 1 : PHÉP ĐẾM

Công việc chia làm 2 trường hợp:

sự vật 2

Khi đó, tất cả số cách chọn liên tiếp 2 sự vật là 𝑚𝑛

𝑛! = 1.2.3 … (𝑛 − 1)𝑛Qui ước: 0! = 1 Lưu ý:

Số chia hết cho 100 khi tận cùng là 00; 25; 50; 75

Số chia hết cho 3: tổng các chữ số chia hết cho

3

Số chia hết cho 9: tổng các chữ số chia hết cho

9 Khi gặp bài tập số tự nhiên mà trong đó có liên quan số 0 nên chia trường hợp

VD: Cho 6 đường thẳng song song với nhau và 8

đường thẳng khác cũng song song với nhau đồng

thời cắt 6 đường thẳng đã cho Hỏi có bao nhiêu

hình bình hành được tạo nên bởi 14 đường thẳng

đã cho?

Giải:

Một hình bình hành được tạo nên từ 2 đường

thẳng trong 6 đường thẳng ban đầu và 2 đường

thẳng trong 8 đường thẳng còn lại

VD: Có 5 bông hồng, 7 bông cúc, 3 bông lan

Tìm số cách

a Chọn 3 bông từ các bông trên

b Chọn 3 bông hoa trong đó có đầy đủ các loại

c Chọn 3 bông có trong đó phải có ít nhất 2 bông cúc

Chọn 2 đường từ 6 đường ban đầu có 𝐶62 cách

Chọn 2 đường từ 8 đường còn lại có 𝐶82 cách

Do đó, số hình bình hành là 𝐶62 𝐶82 = 420

Vậy có tất cả 168 + 35 = 203 cách chọn 3 bông trong đó có ít nhất 2 bông cúc

VD: Từ các số 0; 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu

⇔ 6 + 3(𝑥 − 1) + 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = 21

⇔ 𝑥 2 − 16 = 0

⇔ [𝑥 = −4 (𝐿)𝑥 = 4 (𝑁)Vậy 𝑥 = 4

trong tất cả các công thức trên)

𝑘=0

= ∑ 𝐶12𝑘 3 12−𝑘 2 𝑘 𝑥12−𝑘

𝑥 2𝑘 12

𝑘=0

= ∑ 𝐶12𝑘 3 12−𝑘 2 𝑘 𝑥 12−3𝑘 12

𝑘=0Ycbt⇒ 12 − 3𝑘 = 0 ⇔ 𝑘 = 4

VD: Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ một hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20 Tính xác suất để thẻ

được lấy ghi số

a Chẵn b Chia hết cho 3 c Lẻ và chia hết cho 3



 x y m m  (xy) , m

m m

m

, y y



m

1 x x



 x  x ,12 m x n  xmn

𝑐 𝐶 = {3; 9; 15} ⇒ 𝑛(𝐶) = 3 ⇒ 𝑃(𝐶) =𝑛(𝐶)

𝑛(Ω)=

3 20

CHUYÊN ĐỀ 3: CẤP SỐ CỘNG – CẤP

SỐ NHÂN

VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC

Có nhiều cách để chứng minh một biểu thức 𝑃(𝑛) đúng Một trong những cách chính là qui nạp toán học:

1 Kiểm tra với 𝑛 = 1: 𝑃(1) đúng hay không

 (𝑢𝑛) bị chặn ⇔ (𝑢𝑛) vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới ⇔ ∃𝑀: |𝑢𝑛| < 𝑀, ∀𝑛 ∈ ℕ ∗

VD: Chứng minh dãy số cho bởi 𝑢𝑛= 1

khi 1 1

n

n n

VD: Cho dãy số (𝑢𝑛) với 𝑢𝑛 = 9 − 5𝑛

a Viết 5 số hạng đầu của dãy

{𝑢1𝑆+ 2𝑢5= 0

𝑢1+ 2(𝑢1+ 4𝑑) = 0 4

b Lập công thức truy hồi của dãy số

c Hỏi số −19683 là số hạng thứ mấy của dãy số?

𝑛 𝑘= 0 với 𝑘 nguyên dương

lim𝑛 𝑘 = +∞ với 𝑘 nguyên dương

lim𝑞 𝑛 = {+∞ khi 𝑞 > 10 khi |𝑞| < 1lim𝐶 = 𝐶 với 𝐶 là hằng số

TÍNH CHẤT (áp dụng khi tồn tại lim ;limu n v n) TÍNH CHẤT

1) lim(𝑢𝑛+ 𝑣𝑛) = lim𝑢𝑛+ lim𝑣𝑛

2) lim(𝑢𝑛 𝑣𝑛) = lim𝑢𝑛 lim𝑣𝑛

3) lim (𝑢𝑛

𝑣𝑛) =

lim𝑢𝑛lim𝑣𝑛 khi lim𝑣𝑛≠ 0 4) Khi 𝑢𝑛≥ 0, ∀𝑛 ∈ ℕ ∗ thì lim√𝑢 𝑛 = √lim𝑢 𝑛

1) lim𝑣lim𝑢𝑛= 𝑎

𝑛 = ±∞} ⇒ lim

𝑢𝑛

𝑣𝑛= 0 2)

lim𝑢𝑛= 𝑎 > 0 lim𝑣𝑛= 0

𝑣𝑛> 0 ∀𝑛 ∈ ℕ ∗ } ⇒ lim𝑢𝑛

𝑣𝑛 = ±∞

3) lim𝑣lim𝑢𝑛= +∞

𝑛 = 𝑎 > 0} ⇒ lim (𝑢𝑛 𝑣𝑛) = +∞

PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ

 Nếu biểu thức có dạng phân thức mà mẫu và tử đều chứa

luỹ thừa của 𝑛, ta chia tử và mẫu cho 𝑛 𝑘 với 𝑘 là số mũ

1 𝑛

√1 + 1𝑛 + √1 − 𝑛12

=12

𝑛

− 1 + (14)𝑛

2 + (12)𝑛

= −12

TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

𝑥→𝑥 0 𝑔 khi lim𝑥→𝑥 0 𝑔 ≠ 0 4) Khi 𝑓 ≥ 0 thì lim

(bằng +∞ hay −∞ ta phải xem dấu

của 𝐿 và coi lim

𝑥→𝑥0𝑔 = 0} ⇒ lim 𝑥→𝑥 0

𝑓

𝑔= ±∞ (bằng +∞ hay −∞ ta phải xem dấu của 𝐿 và coi 𝑔 > 0 hay 𝑔 < 0)

GIỚI HẠN BÊN TRÁI – GIỚI HẠN BÊN PHẢI

Giới hạn bên trái, lim

𝑥→𝑥0−𝑓 tức lim

𝑥→𝑥0𝑓 khi 𝑥 < 𝑥0 Giới hạn bên phải, lim

 Nếu 𝑓; 𝑔 chứa biến

trong căn, ta nhân tử

mẫu cho biểu thức liên

 Nếu 𝑓; 𝑔 chứa biến trong căn, ta đưa

𝑥 𝑘 ra ngoài dấu căn (với 𝑘 là số mũ cao nhất trong căn), rồi chia tử và mẫu cho luỹ thừa của 𝑥

Dạng lim

𝑥→𝑥0(𝑓 − 𝑔) (dạng ∞ −

∞) Dạng lim

1

√𝑥 + 2 + 2=

1 4

VẤN ĐỀ 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC

HÀM SỐ LIÊN TỤC BÊN TRÁI HÀM SỐ LIÊN TỤC BÊN PHẢI

𝑓 liên tục trái tại 𝑥0⇔ lim

𝑥→𝑥0− 𝑓 = 𝑓(𝑥0) 𝑓 liên tục phải tại 𝑥0⇔ lim

𝑥→−1𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(−1) ⇒ hàm số không liên tục tại 𝑥 = −1 VD: Tìm 𝑚 để 𝑓(𝑥) = {𝑥

2 − 2𝑥 − 3

𝑥 − 3 khi 𝑥 < 3

𝑚 khi 𝑥 ≥ 3

𝑙𝑖ê𝑛 𝑡ụ𝑐 tại 𝑥 = 3 Giải:

𝑦𝑐𝑏𝑡 ⇒ lim

𝑥→3 + 𝑓(𝑥) = lim

𝑥→3 −𝑓(𝑥) = 𝑓(3) ⇒ 𝑚 = 4

VẤN ĐỀ 4: CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM

CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH 𝒇 = 𝟎 CÓ ÍT NHẤT 1 NGHIỆM TRONG KHOẢNG (𝒂; 𝒃)

𝑓 liên tục trên [𝑎; 𝑏]

𝑓(𝑎) 𝑓(𝑏) < 0 } ⇒ phương trình 𝑓 = 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (𝑎; 𝑏)

VD: Chứng minh phương trình 𝑥 5 − 3𝑥 − 7 = 0 luôn có nghiệm

𝑥→3 − (𝑥 − 3) = 0

𝑥 → 3 − ⇒ 𝑥 < 3 ⇒ 𝑥 − 3 < 0

)

(cos 𝑥) ′= − sin 𝑥

(tan 𝑥) ′ = 1

cos 2 𝑥 (cot 𝑥) ′ = − 1

sin 2 𝑥

Thay 𝑥 bởi 𝑢, nhân thêm 𝑢′ (𝑢 𝑛 ) ′ = 𝑛𝑢 𝑛−1 𝑢 ′

(cos 𝑢) ′ = −𝑢 ′sin 𝑢

(tan 𝑢) ′ = 𝑢′

cos 2 𝑢 (cot 𝑢) ′ = − 𝑢′

sin 2 𝑢

ĐẠO HÀM BÊN TRÁI – ĐẠO HÀM BÊN PHẢI

Đạo hàm bên trái 𝑓 ′ (𝑥0− ) = lim

𝑥→𝑥 0

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)

𝑥 − 𝑥0(𝑥 < 𝑥0)

Đạo hàm bên phải 𝑓 ′ (𝑥0+ ) = lim

𝑥→𝑥 0

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)

𝑥 − 𝑥0(𝑥 > 𝑥0)

2

√2𝑥 − 1 + 3=

1 3

VD:𝑦 = sin 3𝑥 + cos𝑥

5 + tan √𝑥

VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI 𝑴(𝒙𝟎; 𝒚𝟎) DẠNG: (𝒅): 𝒚 = 𝒚′ (𝒙𝟎)(𝒙 − 𝒙𝟎) + 𝒚𝟎

Giải 𝑦 ′ (𝑥0) = 𝑘 Thay vào 𝑦

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (𝑪) biết tiếp tuyến qua 𝑨(𝒙𝑨; 𝒚𝑨)

 Giả sử tiếp điểm là 𝑀(𝑥0; 𝑦0) Phương trình tiếp tuyến là (𝑑): 𝑦 = 𝑦 ′ (𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝑦0

CHUYÊN ĐỀ 6 : HÌNH HỌC 11

VẤN ĐỀ 1 : MỘT SỐ KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

NHỚ

- Trọng tâm: giao điểm 3 đường trung tuyến

- Trực tâm: giao điểm 3 đường cao

- Tâm đường tròn ngoại tiếp: giao điểm 3 đường trung trực

- Tâm đường tròn nội tiếp: giao điểm 3 đường phân giác

𝐴𝐺 =2

3𝐴𝑀

𝐴𝐺 = 2𝐺𝑀

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

sin = đối/huyền cos = kề/huyền tan = đối/kề cot = kề/đối

(Sin đi học - Cứ khóc hoài - Thôi đừng khóc - Có kẹo đây)

Tam giác vuông cân Cạnh huyền= cạnh góc vuông √2

Hình vuông Đường chéo= cạnh √2

VẤN ĐỀ 2: MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG

CÁCH XÁC ĐINH MỘT MẶT PHẲNG

 3 điểm không thẳng hàng ● 1 đường thẳng và 1 điểm không thuộc đường thẳng

 2 đường thẳng cắt nhau ● 2 đường thẳng song song

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

𝑑 ∥ (𝛼) ⇔ 𝑑 ∩ (𝛼) = ∅ 𝑑 cắt (𝛼) ⇔ 𝑑 ∩ (𝛼) = 𝑀 𝑑 ⊂ (𝛼) ⇔ 𝑑 ∩ (𝛼) = 𝑑

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT PHẲNG

Cách 1: Tìm hai điểm chung của hai mặt

phẳng

{𝑀 ∈ 𝑎; 𝑎 ⊂ (𝛼)𝑀 ∈ 𝑏; 𝑏 ⊂ (𝛽)⇒ 𝑀 ∈ (𝛼) ∩ (𝛽)

Chú ý: Để tìm điểm chung của hai mặt phẳng

ta thường tìm hai đường thẳng đồng phẳng lần

lượt nằm trong hai mặt phẳng Giao điểm, nếu

có, của hai đường thẳng này chính là điểm

chung cần tìm

Cách 2: Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng và

phương giao tuyến (tức tìm trong hai mặt phẳng hai đường thẳng song song với nhau)

CÁCH XÁC ĐỊNH GIAO ĐIỂM GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Để tìm giao điểm của 𝑑 và (𝛼), ta tìm trong (𝛼) một đường thẳng 𝑎 cắt

CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG ĐƯỜNG THẲNG

Cách 1: Chứng minh hai đường thẳng đồng

phẳng rồi áp dụng phương pháp chứng minh song

song trong hình học phẳng (đường trung bình;

định lí Tales…)

Cách 2: Hai đường thẳng phân

biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau

{𝑑𝑑1∥ 𝑑3

2 ∥ 𝑑3⇒ 𝑑1 ∥ 𝑑2

Cách 3: Hai mặt phẳng cắt

nhau theo giao tuyến d và

lần lượt chứa hai đường

thẳng song song thì giao

tuyến của nó sẽ có 3 trường

không trùng với 𝑎 hoặc 𝑏 thì sẽ suy ra được 𝑑 ∥

𝑎 hoặc 𝑑 ∥ 𝑏

Cách 4: Hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến 𝑑, đường thẳng 𝑎 nằm trong (𝛼) và song song với mặt phẳng còn lại thì sẽ song song với

song với cả hai mặt phẳng

thì sẽ song song với giao

Cách 6: Hai mặt phẳng song song bị cắt bởi mặt phẳng

thứ 3 thì hai giao tuyến đó song song

(𝛼) ∥ (𝛽) (𝛼) ∩ (𝛾) = 𝑎 (𝛽) ∩ (𝛾) = 𝑏

} ⇒ 𝑎 ∥ 𝑏

Cách 7: Ba mặt phẳng cắt nhau

theo 3 giao tuyến phân biệt, thì 3

giao tuyến ấy song song hoặc

Như vậy, ta chỉ cần chứng minh 𝑎; 𝑏; 𝑐 không

đồng quy thì sẽ suy ra được 𝑎 ∥ 𝑏 ∥ 𝑐

Cách 8: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc

với một mặt phẳng thì song song với nhau

𝑎 ⊥ (𝛼)

𝑏 ⊥ (𝛽)

𝑎 ≠ 𝑏 } ⇒ 𝑎 ∥ 𝑏

CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG

Cách 1: Chứng minh đường thẳng 𝑑 không nằm

trong (𝛼) và song song với đường thẳng 𝑎 nằm

Cách 2: Hai mặt phẳng song song với nhau, mọi

đường thẳng nằm trong mặt này sẽ song song với mặt kia

{ (𝛼) ∥ (𝛽)

𝑎 ⊂ (𝛼) ⇒ 𝑎 ∥ (𝛽)

CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI ĐƯỜNG THẲNG

Cách 1: Hai đường thẳng vuông góc nếu như góc

giữa chúng bằng 90

cos(𝑎; 𝑏) ̂ = 𝑢⃗⃗⃗⃗ 𝑢 𝑎 ⃗⃗⃗⃗ 𝑏

|𝑢 ⃗⃗⃗⃗ | |𝑢𝑎 ⃗⃗⃗⃗ |𝑏 = ⋯ = 0

⇒ (𝑎; 𝑏) = 90̂0 ⇒ 𝑎 ⊥ 𝑏

Cách 2: Một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì

sẽ vuông góc với mọi đường nằm trong mặt phẳng

{𝑑 ⊥ (𝛼)𝑎 ⊂ (𝛼)⇒ 𝑑 ⊥ 𝑎

Cách 3: Đường thẳng 𝑑 không vuông góc (𝛼) và

đường thẳng 𝑎 nằm trong (𝛼) Khi đó, điều kiện

cần và đủ để 𝑑 vuông 𝑎 là 𝑑 vuông với hình

chiếu 𝑎 ′ của 𝑎 trên (𝛼)

CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG

Cách 1: Một đường thẳng vuông góc với một mặt

phẳng khi chỉ khi đường thẳng ấy vuông góc với hai

đường thẳng cắt nhau chứa

𝑑 = (𝛼) ∩ (𝛽) (𝛼) ⊥ (𝛾) (𝛽) ⊥ (𝛾)

} ⇒ 𝑑 ⊥ (𝛾)

Cách 5: Hai mặt phẳng vuông góc, một đường nằm trong mặt này vuông với

giao tuyến thì vuông với mặt kia

VẤN ĐỀ 4: KHOẢNG CÁCH

1 Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng

a Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d cho trước

Các bước thực hiện:

Bước 1 Trong mặt phẳng M d, hạ MH d với H d

Bước 2 Thực hiện việc xác định độ dài MH dựa trên hệ thức lượng trong tam giác, tứ giác,

Bước 1 Tìm hình chiếu H của O lên

Tìm mặt phẳng qua O và vuông góc với

Trong mặt phẳng , kẻ OH tại H

 H là hình chiếu vuông góc của O lên

Bước 2 Khi đó OH là khoảng cách từ O đến

Chọn mặt phẳng sao cho dễ tìm giao tuyến với

Nếu đã có đường thẳng d thì kẻ Ox / /d cắt tại H

2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

 Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau ,a b

 Trường hợp a  b:

- Dựng mặt phẳng chứa a và vuông góc với b tại B

- Trong dựng BA  a tại A

 AB là đoạn vuông góc chung

 Trường hợp a và b không vuông góc với nhau

Cách 1: (Hình a)

- Dựng mp chứa a và song song với b

- Lấy điểm M tùy ý trên b dựng MM  () tại M

- Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B

- Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A

 AB là đoạn vuông góc chung

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ,a b

Cách 1 Dùng đường vuông góc chung:

- Tìm đoạn vuông góc chung AB của ,a b

- d a b, AB

Cách 2 Dựng mặt phẳng chứa a và song song với b Khi đó:d a b, d b,

Cách 3 Dựng 2 mặt phẳng song song và lần lượt chứa a và b Khi đó:

+ Hàm số y  f x  được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu:

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K

Khi đó đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải

+ Nếu f x  0, x  a b;  hàm số f x  đồng biến trên khoảng  a b;

+ Nếu f x  0,  x  a b;  hàm số f x  nghịch biến trên khoảng  a b;

+ Nếu f x  0, x  a b;  hàm số f x  không đổi trên khoảng  a b;

+ Nếu f x  đồng biến trên khoảng  a b;  f x  0, x  a b;

+ Nếu f x  nghịch biến trên khoảng  a b;  f x     0, x  a b;

+ Nếu thay đổi khoảng  a b; bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ

sung thêm giả thiết “hàm sốf x  liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”

2 Quy tắc và công thức tính đạo hàm

Quy tắc tính đạo hàm: Cho u u x ;v v x C ; : là hằng số

Tổng, hiệu: u v  uv 

   

x x1, 2 K x, 1 x2  f x1  f x2

sinx cosx sinu u.cosu

cosx  sinx cosu  u.sinu

 x 

x

2

1 tan

.   

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K

 Nếu f x'  0 với mọi xK và f x'   0 chỉ tại một số hữu hạn điểm

   thì dấu "" khi xét dấu

đạo hàm y không xảy ra

Giả sử y  f x ax3 bx2 cx d f x   3ax2  2bx c

00

00

00

Trường hợp 2 thì hệ số c khác 0 vì khi a   b c 0thìf x d

(Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox thì không đơn điệu)

* Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng

có độ dài bằng l ta giải như sau:

 Bước 1: Tính y  f x m ; ax2 bx c

 Bước 2: Hàm số đơn điệu trên x x1; 2 y  0 có 2 nghiệm phân biệt

a

00

Giả sử hàm số f xác định trên tập K và x0 K Ta nói:

+ x0 là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng  a b; chứa x0 sao

cho  a b; Kvà f x    f x0 ,  x    a b; \ x0

Khi đó f x 0 được gọi là giá trị cực tiểu của hàm sốf

+x0 là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng  a b; chứa x0 sao

cho  a b; Kvà f x    f x0 ,  x    a b; \ x0

Khi đó f x 0 được gọi là giá trị cực đại của hàm sốf

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị

+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của

hàm số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp K

+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực

trị) của hàm số

+ Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì điểm x f x0;  0  được gọi là điểm cực

trị của đồ thị hàm số f

* Nhận xét:

+ Giá trị cực đại (cực tiểu) f x 0 nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập D; f x 0 chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f

trên một khoảng  a b; nào đó chứa x0hay nói cách khác khi x0 điểm cực đại ( cực

tiểu) sẽ tồn tại khoảng (a;b) chứa x0 sao cho f x 0 là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của

hàm số f trên khoảng  a b;

+ Hàm số f có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập K Hàm số

có thể không có cực trị trên một tập cho trước

 Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm

 Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số

bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm

3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lí 2: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 Khi đó, nếu hàm số f có đạo hàm tại điểm x0 thì f x ' 0 0 Nếu f x  0 trên khoảng x0 h x; 0 vàf x   0 trên

khoảng x x0; 0 h thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f x  

 Nếu f x  0 trên khoảng x0 h x; 0 và f x   0 trên

khoảng x x0 ; 0 h thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f x  

 Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu f x  Nếu f x  đổi dấu

khi đi qua x i thì hàm số đạt cực trị tại x i

Định lí 3: Giả sử y  f x  có đạo hàm cấp 2 trong khoảng x0 h x; 0 h với



h 0. Khi đó:

 Nếu f x 0  0, f x 0  0 thì hàm số f đạt cực đại tại x0.

 Nếu f x 0  0, f x 0  0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x0.

Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 2:

 Bước 1: Tìm tập xác định Tìm f x  

 Bước 2: Tìm các nghiệm x i i  1;2;  của phương trình f x  0.

 Bước 3: Tính f x  và tính f x  i

 Nếu f x i  0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x i

 Nếu f x i  0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x i

MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN

CỰC TRỊ HÀM SỐ

CỰC TRỊ CỦA HÀM ĐA THỨC BẬC BA:

1 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước Bài toán tổng quát: Cho hàm số y f x m  ax3 bx2 cx d

y  0 có hai nghiệm phân biệt vàyđổi dấu qua 2 nghiệm đó

 phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt

Điều kiện Kết luận

 Hàm số có hai cực trị cùng dấu dương

 phương trình y 0 có hai nghiệm dương phân biệt

y

B

A C

 Hàm số có hai cực trị cùng dấu âm

 phương trình y 0 có hai nghiệm âm phân biệt

y

B

A C

Vị trí tương đối giữa 2 điểm với đường thẳng:

Cho 2 điểm A x y A; A , B x y B; B và đường thẳng :ax by c  0

Nếu ax A by A c ax B by B c 0 thì hai điểm A B, nằm về

hai phía so với đường thẳng 

Nếu ax A by A c ax B by B c 0 thì hai điểm A B, nằm cùng

phía so với đường thẳng 

Một số trường hợp đặc biệt:

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Oy

hàm số có 2 cực trị cùng dấu

phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 2 phía đối với trục Oy

 hàm số có 2 cực trị trái dấu

 phương trình y  0 có hai nghiệm trái dấu

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Ox

 phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt và y C Đ.y C T  0

Đặc biệt:

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía trên đối với trục Ox

 phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt và C T

CT C

Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía dưới đối với trục Ox

 phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt và C T

CT C

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox

 phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt và y C Đ.y C T  0

(áp dụng khi không nhẩm được nghiệm và viết được phương trình đường

thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số)

Hoặc: Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox

đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt

phương trình hoành độ giao điểm f x  0 có 3 nghiệm phân biệt (áp

dụng khi nhẩm được nghiệm)

3 Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị

Tổng quát:

b a

3 2

b a

Tam giác ABCcó O là tâm đường tròn nội tiếp b3 8a 4abc 0

Tam giác ABCcó O là tâm đường tròn ngoại tiếp b3 8a 8abc 0

Tam giác ABCcó cạnh BC kAB kAC b k3 2  8 (a k2  4)  0

Trục hoành chia tam giác ABCthành

Tam giác ABCcó điểm cực trị cách đều trục

Đồ thị hàm số  C :y ax4 bx2 c cắt trục Ox

2 1009

 C y ax4 bx2 c

:    và trục hoành có diện tích

phần trên và phần dưới bằng nhau

Phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC là:

* Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp

 Bước 1: Tính f x  và tìm các điểm x x1, , ,2 x n D mà tại đó f x   0 hoặc hàm số không có đạo hàm

+ Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

hàm số

* Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn

 Bước 1:

 Hàm số đã cho y  f x  xác định và liên tục trên đoạn a b; 

 Tìm các điểm x x1, , ,2 x n trên khoảng  a b; , tại đó f x   0 hoặc f x 

 Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm x i  ( ; )a b của phương trình

f x( ) 0 và tất cả các điểm i  ( ; )a b làm cho f x( ) không xác định

 Bước 4 So sánh các giá trị tính được và kết luận

+ Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

nhất trên khoảng đó

VẤN ĐỀ 4: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 Đường tiệm cận ngang

Cho hàm số y  f x xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng

a;  ,  ;b hoặc   ; ) Đường thẳng y y0 là đường tiệm cận ngang (hay

tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y  f x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

   

xlim ( )f x y0, lim ( )x f x y0

2 Đường tiệm cận đứng

Đường thẳng x x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng)

của đồ thị hàm số y f x( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

ii Tìm các nghiệm của phương trình y ' 0 và các điểm tại đó y '

 Liệt kê các điểm đặc biệt ( điểm cực đại, điểm cực tiểu, tâm đối xứng,…)

 Xác định giao điểm của (C) với Ox, Oy (nếu có)

MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ CHỨA DẤU

GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

+ Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị  C :y  f x 

+ Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của  C , lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua

+ Bỏ phần đồ thị của  C bên trái

Oy, giữ nguyên  C bên phải Oy

+ Lấy đối xứng phần đồ thị được

giữ qua Oy

x y

O

-2

2

-1 1

* Cách vẽ  C từ  C :

+ Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị (C): y  f x 

+ Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox

+ Giữ nguyên phần đồ thị trên miền u x  0 của đồ thị  C :y  f x 

+ Bỏ phần đồ thị trên miền u x   0của  C , lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua

Ox

x y

O

-2

2

-1 1

+ Giữ nguyên (C) với x 1

+ Bỏ (C) với x  1 Lấy đối xứng phần

đồ thị bị bỏ qua Ox

Nhận xét: Trong quá trình thực hiện phép

suy đồ thị nên lấy đối xứng các điểm đặc

biệt của (C): giao điểm với Ox, Oy, CĐ,

x x y

+ Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua

Ox.

Nhận xét: Đối với hàm phân thức thì

nên lấy đối xứng các đường tiệm cận để

thực hiện phép suy đồ thị một cách tương đối chính xác

VẤN ĐỀ 6: TIẾP TUYẾN

1 Tiếp tuyến : Cho hàm số y f x , có đồ thị (C) Tiếp tuyến của

đồ thị (C) tại điểm M x y0 0; 0 ( )C có dạng: y y x 0 x x0y0

Trong đó: Điểm M x y0 0; 0 ( )C được gọi là tiếp điểm ( với y0  f x 0 )

k  f x' 0 là hệ số góc của tiếp tuyến

2 Điều kiện tiếp xúc: Cho hai hàm số  C :y  f x  và  C' :y g x 

Đồ thị  C và  C  tiếp xúc nhau khi chỉ khi hệ phương trình: