DAYHOCTOAN VN FULL lý THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN 90 TRANG

Trang 1

I CÔNG THỨC TÍNH NHANH THUONG GAP CUA THE TICH KHOI CHOP|

Tinh chat Hinh vé Vidu

Cho hình chóp đều Chohình chóp đều s.asC có cạnh đáy bằng

SABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a3 Thể tích khối chóp là: a, cạnh bên bằng b Khí đó: Vs aac = ——12—— a 3b? - 8ˆ aes og ate 6 `6 3 3 c 4 v2 3 pb 4 v3 4 2 # |3(av3) -@ a2 V5 anc = 12 = 6 = [B| Cho hình chop đều SABC có cạnh đáy bằng z, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng z Khi đó: |V, = ® tan a 12 S.ABC Cho hình chớ BC có cạnh đáy bằng a, góc giữ bên và mặt đáy bằng 60° Thể ốt chóp là: › J2 B.“ v % 12 D Cho hình chóp đều SABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng a Khi đó: $ ABC ”

=< Re g R Cho hình chóp đều s.4BC có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60° Thể tích khối chóp là: eg eB 3 6 3 J3 ave c, 4 12 D 12 2a) 3 Ve anc 2A) tan oo? =^ v3 =>[A] Cho hình chóp đều S.ABC có bên bằng b va góc giữa cạnh bên với

mat day bang a Khi do: kL——=——————————= te

Trang 2

Cho hình chóp đều SABCD có cạnh đáy bang a, canh bén bang

Cho hình chóp đều S.ABCD co canh đáy bằng a, cạnh bên bằng a5 Thể tích khối chóp là: b A a’ J2 B a’ J2 Khí đó: 3 - 3 3 a l4b? — 2a c.#2 p, 2x3 Vi ascp = 6 4 6 sẻ |A(a V8) ~2zẺ 3 2 Vs ascp = 6 =< _ = [B]

Cho hình chóp đều Cho hình chop đều s.ABCD có cạnh đáy

S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc bên và mặt đáy bằng

bằng a, góc giữa cạnh or metals óp là: bên và mặt đáy bằng z © pe Khí đó: 6 3 a2 pb 4 v2 Ý: xpcp = 5 tana Q) 6 3 3 “ Ý2 tan 60° =4 V6 1] $.ABCD = 6 6 Cho hình chóp đều SABCD có cạnh đáy bang a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng a Khí đó:

Chohình chóp đều s.asCD có cạnh đáy

bằng z2, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 45° Thể tích khối chop là: a, #3 p #3 3 `6 C a'v2 3 D a’v2 6 (av2) 3 2 Ve ascp a tan 45 = TY“ ⁄2 — [c Cho hình chóp đều SABCD có cạnh bên bằng ö, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng a Khí đó: 4a` tan a V $ ABCD ” 3,|(24+tan? «) 3

Trang 3

Chohinh chop déu S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc ở đáy của mặt bên bằng z với ce|Z;Z 4'2 3 2 V đœ xtanˆ ø - † § ABCD ” 6

Chohình chóp đều S.4BCD có cạnh đáy bang a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60° Thểtích khối chóp là: A `6 B 23 ` 6 C a2 D a2 `6 `3 V; asco = 2 # Vạn Sơ —1 7 22 — Cho hinh chop S.ABC có ba mặt phẳng (SAB), (SAC),(SBC) đôi một vuông góc và có diện tích lần lượt là S,,5,,S, Khí đó: (2s S,S

Vs ase = — Cho hình chóp S.4EC có ba mat phang (SAB), (SAC), (SBC) đôi một vuông góc và

diện tích củ giác SAB,SBC,SCA lần lượt là ma: Và 12em° Thểtích khối chóp là „ B 20 V3 p 2 3 "3 A\ Vo = zi - 03 =[Al ABC Cho hình chóp s.4BC có SA,SB,SC đôi một góc Biết SA =a,SB =b,SC =c vuông Khí đó: |V , =

KO Cho hinh chop s.ABC cO SA,SB,SC đôi một

vudng goc Biét SA=5, SB=4 Va SC=3 Thể tích khối chóp là: A 20 B 10 C 30 D 60 Khí đó: V, „„ = c643- 10=

Cho hình chóp S.4BC có SA,SE,SC đôi một vuông góc Biết AB= a,BC =b,CA=c V = SABC 12 ale +b*-c¢? \(@ +c° ~È°|(b° +c° -&] 2

Cho hình chóp S.ABC có SA,SB,SC đôi một

Trang 4

II XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CÂU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP

1 Phương pháp chung

Bước 1: Xác định tâm của đa siác đáu:

- Tam giác đều: Giao của 3 đường trung tuyén - Tam giác 0uuông: trung điểm của cạnh huyén

- tam giác thường: siao của 3 đường trung trực (ít gặp) - Hình ouông, hình chữ nhật: siao điểm 2 đường chéo

Bước 2: Kẻ (ả) qua tâm 0à uông sóc voi day (truc cua diy)

Bước 3: Trong mặt phẳng chứa cạnh bên 0à trục (d) Kẻ trung trực (A) của cạnh bên, (A) cắt (4) ở I thì I là tâm

cua mit cau

2 Cac mo hinh thuong gap M6 hinh 1: Hinh chop déu s.ABc 5 +) Uu tién tinh R = SI +) Céng thirc: SN.SA = SISH a

M6 hinh 2: _ co SA1( ABC), t

giác ABC đều

+) Ưu tiên tính R= AI

+) Công thức: Af = AN? + AH?

Trang 5

Mô hinh 5: Hình chóp đều s.ABCD +) Ưu tiên tính R = Sĩ +) Công thức: SN.SD = SI.SO

Mô hình 6: Hình chóp S.ABCD CO ASAB cân, (SAB) 1 (.ABCD), ABCD là hình vuông (hình chữ nhật) +) Ưu tiên tính R = Sĩ +) Công thức: IS? = IG? + III DIỆN TÍCH MẶT CÂU - THÊ TÍC +) Diện tí 1 DIEN TICH HINH TRON - HINH VIEN PHAN - HINH QUATWRON bán kính R: S„ = zRỶ Hình Quạt II MẶT CÂU - CHỎM CÂU

tích hình viên phân: Si» +) oC) h quat tron: Si Ấ =4zR? TC +) Diện tích mặt cầu: S +) Diện tích chỏm câu chiều cao ï: S_ =2zRh= z(r?+l? xe +) Thể tích khối cầu: V„ =SzRŸ

+) Thé tich chom cau: V_ = zh’ [R- 4 = “4h - 3r’)

Ill MAT CAU NGOAI TIEP HINH HOP CHU NHAT - HINH LAP PHUONG

+) Mat cau (S) mgoại tp hình hộp chữ nhật

ABCD.A'B'C'D' biét AB=a,AD =b,AA'=c Tacé:

- Tâm I là trung điểm cha AC'

ẠC' 1

- Ban kính R= “— ae +be +c 2

+) Đặc biệt: ABCD.A'B'C'D' là hình lập phuong canh a:

Trang 6

B c +) Mat cầu (S) tâm 1 bán kính R, nội tiếp hình lập phương

ABCD.A'B'C'D' canh a

- Tâm 1 là trưng điểm của AC" (Hoặc lấy trưng điểm của

đoạn thẳng nổi tâm của 2 mặt đối điện) - Bán kính R=S 2 3) Gọi (S,)(S;) là mặt cầu nội tiếp uà ngoại tiếp hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Ta có: 4 4 Vị=zRÏ, V=azR)= 1 Hình nón, khối nón: Vy snRÌh , +8, =zRI + §,„ =zR(R +l) 2 Hình nón cụt, khối nón cụt: C— tro 4) S, =zI(R+r) 1 +) S, =a(R?+17+1(R+r)) Wrye= 37h(RẺ +1? + Rr 3 Thiết diện

+) Thiết điện qua trục là tam giác ABC cân tại A va S„„ =Rh

+) Thiết diện qua đình không chứ trục là tam giác cân SCD., thiêt điện cắt đầu theo dây cưng CD ta có

- Góc giữa thiệt điện va diy: (ACD,BCD) = AHO

- Góc giữa trục oà thiết điện: (Ao,(Acp)) =OAH

Trang 7

4 Mặt cầu (S) tâm I bán kính R, ngoại tiếp hình nón bán kính r đường

2 2

cao hh R="

+) Trong cic khéi nén néi tiép mit ciu (S) tim I, ban kính không đôi R

Khối nón có thể tích lớn nhât khi h=SRz~ 2n Khi đó V„ = SR

5 Mat cfu (S) tam I, bán kính r nội tiếp trong mặt nón (N) ban kinh R, đường cao h, duong sinh 1 Ta co:

+) Dung tim I:

- Lay Ee AC sao cho OC =EC +

- Qua E kẻ đường thẳng 0uông sóc uới AC 0à cẮt AO tại I thi I

mặt cầu nội tiếp mặt nón (N } hR +) Bán kuth mặt cầu (S):r= C 1+R J-KHOI TRU V, 1 CONG THUC CO BAN +) V,=2R*h, S, =2zrh, S, -pêi

+) Thiết điện uuông sóc uới i tron ban kinh R

Trang 8

+) A,B Tân lượt là các điểm trên các đường tròn đáu của hình trụ ta có:

- Góc giữa AB oà trục OO': (AB,OO')= A'AB

Trang 9

VỊ TỔNG HỢP CƠNG THỨC DIỆN TÍCH MẶT TRÒN XOAY - THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY Hình vẽ Công thức - Tính chất

Hình cầu +) Diện tích mặt cầu: 5= 4zR?

Trang 11

TOM TAT LY THUYẾT VÀ GIẢI NHANH TOÁN 13

PHAN 1 HAM SO

SU DONG BIEN NGHICH BIEN CUA HAM SO

1 Dinh nghia

Vø.,œ, € J{,z, <#, ( K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng)

f(z ) < f(a #,) >y= f(a) đồng biến trên K đồ thị đi lên từ trái sang phải

f(«,) > f(«,) = w= ƒ(+)nghịch biến trên K đồ thị đi xuống từ trái sang phải

Chú ý: + Nếu ƒ'(z) >0, Vz € (a:b) > hàm số ƒ(z) đồng biến trên khoảng (a:ð)

+Nếu ƒ'{x)<0, Vxe(a;b)=> hàm số ƒ(+) nghịch biến trên khoảng (a:9) +Néu f'(x)=0, Vee (a:b) > ham sé f(x) khéng déi Ses (a:b)

+ Néu f(x ) dong bién trén khoảng ( a ‘b) => ƒ'{z

+ Nếu ƒ(z) nghịch biến trên khoảng (a:b} la TP 0,Vz e(ø: im

2 Quy tac va céng thite tinh nal vì \

Quy tac tinh dao ham: Cho u = u( )- Á2" hằng số

Tổng, hiệu: (u+v) =u'tv' C)

Tich: (uv ) =ulvt+vu=( (Cu) +;@

Thương: l5)" ưu t1 (vo) (2] S# “ + U U uw Dao ham ham hop: Ae f(u),w=u(2) > y! =yw Bảng công thức) đo hàm: Đạo ầm của hàm sơ cấp Đạo hàm của hàm hợp (C) =0 (C là hằng sði (z7 ) = a2 (+ ) =œz“ (u*) =ơđ.uŠ*'m tu"

(] =—=(z>9) 2x (vu) = (u>) 2Nu

(sinz) =CO8 £ (sin u) = tử COS tt (cosz) =-ESln2 (cost) = -ùu SInu

Trang 12

96.) = Sina (lee) = „in;

Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức:

le os eee

+ + ot wv

(=) - ad—be (==) _l 3 af |e 7

cx +d (cx+a) , de’ +cetf (we? +er+s)

Dao ham cap 2: + Định nghĩa: ƒ'(x)=[ ƒ (x)] + Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời củấếhủyểnđộng s = f(t) tai thời điểm ¿ là: +(4)=7() * Một «_ Nếu hàm số ƒ(z) và ø(&) tùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số /(e)+ø() cũng đồng biến (1ERÌch biến) trên K Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu J(z)~s(e)-

K thì hàm số f(x) (2) cing déng bién (nghịch biến) trên K Tính chất này có thể

không đúng khi các hàm số ƒ(z),ø(z) không là các hàm số dương trên K

*_ Chohàm số ư = u(z), xác định với ø e (a.ð) và u(x) € (cd) Ham sé f[u(x)]

cũng xác định với z € (a 8)

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Giả sử hàm số ƒ có đạo hàm trên

+ Nếu ƒ!{2)>0 với mọi z e WÝ và ƒ'(e) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm xeK thi

hàm số ƒ đồng biến trên K

+ Nếu #%) <0 véi moi ce K và J'(z) = 0 chi tai mét sé hitu han diém we K

Trang 13

Chú ý:

* Đối với hàm phân thức hữu tỉ y= — (: 4 -) thì đấu "=" khi xét dấu đạo

ca+d e

hàm ÿ' không xảy ra

Giả sử y = f(x) = a#) + bạ + en + d => Ƒ (+) = Bax" + 2b +e Hàm số đông biến trén R Hàm số nghịch biến trên J3 a>0 a<0 (ico l5 ©/(z)>0YeeR©|[a=0 © f(z) <0.Yzc đ â | a=0 b= b=0 c>0 Ẳ 0 'Trường hợp 2 thì hệ số e khác 0 vì khi ø = ò = e= 0thìƒ(z) = đ (Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox thì khô đơn điệu)

* Với dạng toán tìm tham số m đổ hàm số bậc ba đơn điệu Ìuột chiều trên khoảng có độ dài bằng L ta giải như sau: +Bước1: Tính ự = f'(2;m) = az + be +e +Buée2: Ham sé don digu trén (2,:2,)< y' 30 có 2 nghiệm phân biệt A>0 ° foo Ð * + Bước 3: Hàm số đơn điệu ên khoang cé dé dài bằng | =1e9 (2, San, =? 25*-4P=P (**) |e, - + Bước 4: Giải (9) vÀ giab,với (* *) để suy ra giá trị m cần tìm CỰC TRỊ HÀM SỐ 1 Dinh nghfa

Giả sử hàm số ƒ ¥éc dinh trén tap K va a, € K

+ x, là điểm cực tiểu của hàm số ƒ nếu tôn tại một khoang (a;b) chita x, sao cho

(a;b)=Kvà ƒ(z) > ƒ(s,).vz <(að)` {s,}-

Khi đó ƒ(x,) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số

+2, là điểm cực đại của hàm số ƒ nếu tổn tại một khoảng (a:b} chứa 2, sao cho

(a:b) cK va ƒ(z) < ƒ(z,).vz (œ5) {z,}-

Khi đó ƒ(z,) được gọi là giá trị cực đại của hàm số ƒ

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị

+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm

Trang 14

Chú ý: * Đối với hàm phân thức hữu tỉ y = af = c # -§) thì dấu "=" khi xét dấu đạo cx + C hàm z không xảy ra Giả sử U= ƒ(®) = a+ + br” + ca + d => Ƒ (+) = 3a#” + 2b + e Hàm số đồng biến trên ï Hàm số nghịch biến trên R a>0 a<0 © ƒ(z)>0:VzeR© a=0 © ƒf(z)<0:YzeR© 0 b=0 0 c>0 Trường hợp 2 thì hệ số e khác 0 vì khi a = b = c = Othi f(z) = (Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Óx thì khôn

* Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn

dài bằng l ta giải như sau: +Bước 1: Tính = f(œm) = a# + bã + e + Bước 93: Hàm số đơn điệu trên (z, :Œ có 2 nghiệm phân biệt A>0 “2a 0) + Bước 3: Hàm số đơn điệu fen oang c6 d6 dai bang /| @|2,-2,)=le x, + 4z,z, =U <>S”-4P =Ï? (**) ới (* *) để suy ra giá trị m cần tìm CỰC TRỊ HÀM SỐ + Bước 4: Giải (hắt: 1 Định nghĩ Giả sử hàm số ƒ Xấc định trên tập K và z, e Ứ€

+ x, là điểm cực tiểu của hàm số ƒ nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa z„ sao cho (a;b) =Kvà f(a) > f(a,),Va € (a:») \ {z,}

Khi d6 f(x,) duce goi la gia tri cue tiéu cua ham sdf

+a, la diém eve đại của hàm số ƒ nếu tôn tại một khoảng (a:b) chứa #„ sao cho

(a;b) =Kvà f(z) < ƒf(>,).Yz E (a:b) \ {x}

Khi đó ƒ(z;) được gọi là giá trị eye đại của ham sé f

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị + Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị

Trang 15

+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số + Nếu x, là điểm cực trị của hàm số thì điểm (z, ƒ(,)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số ƒ 2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lí 1: Giả sử hàm số = ƒ(+) đạt cực trị tại điểm z„ Khi đó, nếu y = ƒ(z) có đạo hàm tại điểm z, thì ƒ (z,} = 0 Chú ý: + Đạo hàm ƒ'(x) có thể bằng 0 tại điểm x, nhưng hàm số ƒ không đạt cực trị tại điểm Xạ-

+ Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số khôrtg có đạo hàm +_ Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm số bằng 0

hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm

3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực tri

Định lí 2: Giả sử hàm số ƒ đạt cực trị tại điểm , Khi đó, n

điểm z, thì ƒ'(x,)=0 Nếu f'(z) > 0 trên khoảng (

(z;:z, + h) thì z„ là một điểm cực đại của ham ey

+ Nếu f'(x xr) <0 es đụ —

àm số ƒ có đạo hàm tại ) và f'(z) < 0 trên khoảng

> 0 trên khoảng (x;;x, +h) thi

x, la mot điểm cực tiểu của hàm số Ồ Quy tắc tìm cực tri Quy tắc 1: +_ Bước 1: Tìm tập xác O07

+ Bước 2: Tìm rh | (i= =1 " mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số nhưng không có đạo hàm

+_ Bước bằng biến thiên hoặc bảng xét dấu ƒ'(z) Nếu ƒ'(+) đổi dấu khi di

qua z, thỉ hàm số đạt cực trị tại z

Định lí 3: Giả sử y = f(a) có dao ham cap 2 trong khoang (2, — h;#a + h) với h > 0

+ Néu f'(a,)=0, f"(x,) <0 thiham sé f dat cuc dai tai 2,

+ Néu f'(x,)=0, f"(#,)>0 thì hàm số ƒ đạt cực tiểu tại z, Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 2:

+ Bước 1: Tìm tập xác định Tìm ƒ'(z)

+ Bước 2: Tìm các nghiệm #, (: = 1;2 ) của phương trình ƒƑ (z) =0

+ Bước 3: Tính f" (x) va tinh f"(z,)

* Néu {z,) <0 thì hàm số ƒ đạt cực đại tại điểm Œ

Trang 16

MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ

I CỰC TRỊ CỦA HÀM ĐA THỨC BẬC BA:

1, Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước

Bài toán tổng quat: Cho hàm số = f(a: m) = a# + b#” + cœ + d Tìm tham số m để hàm

số có cực đại, cực tiểu tại ,, thỏa mãn điều kiện /( cho trước Phương pháp: + Bước I1: * Tập xác định: D = KR *_ Đạo hàm: = 3az” + 2bœ + e= Az” + Bz + Ơ +_ Bước 2:

Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại và cực tiểu) © ' = 0 có hai nghiệm phân biệt và ¿ đổi dấu qua 2 nghim ú

ôâ phng trỡnh ¿ = Ö có hai nghiệm phân biệt

A =3a #0 a#0

câ ơơ Si, sa t

A, = -4AC=4b — 12ac > 0Ö bˆ — 3ac > 0Ö

Trang 17

" Hàm số có hai cực tri cùng dấu âm A,>0 ỹ ` , ey: tak a en B © phuong trinh y = 0 cé hai nghiém am phan biét @ 1S = 2, +2, = “4 <0 C P=z,z,=—>0 Ắ > Tim diéu kién dé hàm số có hai cực trị +,.z, thỏa man: 8.<ØŒ<#, đ, <#;, < @ Œ<#,<#, " Hai cực trị z,,z, thỏa mãn # < #< #, © (2, — a)(z, — a) <0 2,2, - a(a, + a,)+ = " Hai cực trị z,,z, thỏa mãn #, < z, < ø ¬Ä (z,- z)(z, - z) >0 #8, — Ø +ø°>0 <> © @,+2,<2a @,+2, " Haicuc trị z,,z, thỏa mãn # < #, < # ° (+, 2)(s, =2) >0 — CS efor +,}+ ø” >0 v, +2, > 2a >)2œ "_ Phương trình bậc 3 có 3 thành cấp số cộng Vi tri tương đối giữa Ð điểm vơi đường thẳng: ; VV ,

Cho 2 diém A(a,:y, B(z;:„) và đường thăng A: az + b+ e= 0

Nếu (az, + by, + c) (ar, + by, + c) <0 thi hai điểm 4, B nam vé hai phía so vơi đương thăng A

Nếu (az, + by, + c) (ax, + by, + c) > 0 thihaidiém A, B nam cung

phia so véi dudng thang A Một số trương hơp đặc biệt:

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Qy

<©> hàm số có 9 cực trị trái dấu

<© phương trình # = 0 có hai nghiệm trái dấu

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Ox

Trang 18

Đặc biệt: + Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía trên đối với trục Ox Yoo Yor > 0 < phuong trinh y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và + Yon > 0 Yon Các điểm cực trị của dé thi nim cung vé phia dudi déi vdi truc Ox Yoo Yor > 0 © phương trình ¿ = 0 có hai nghiệm phân biệt va +„ <0 Yoo + Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox

(áp dụng khi không nhầm duoc nghiêm và viết được phương trình đường thẳng đi qua hai

điểm cực trị của đồ thị hàm sé)

Hoặc: Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox ~~

đồ thị cắt trục Ox tai 3 diém phan biét ¬

Trang 19

MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH Dat: BAC =a ⁄ 3 9 a —b A Ẩ - |cot — = — Tong quat: 2 8a AN Za NV 8 B C Dữ kiện Công thức thỏa mãn ab < Ö Tam giác 4 8Œ vuông cân tại 4 b

Tam giác 4Œ đều

Tam giác 48Œ có diện tích §,.„ = 5, Tam giác 4 BŒ có diện tích maz(S.) Tam giác 4BŒcó bán kính đường tròn nội tiếp = —, T ABC = % b 4la|| 1+ ,/1- — Sa Tam giac ABC co bán kính đường trò oai tiep bề — 8a R= S|alb am, +2b=0 16a°n; — b* + Sab = 0 b` = 4ae b(Sa + bÌ) > 0 b> = 6ac b + Sa — 4ae = 0 Tam giác 4Œ cùnế điểm Ó tạo thành hình thoi b? = 2ae Tam giác 4 8Œ có Ó là tâm đường tròn nội tiếp bỀ — Sa — 4abe = 0 Tam giác 4 BŒ có Ó là tâm đường tròn ngoại tiếp bỀ — Sa T— Sabec = 0 Tam giac ABC’ co canh BC = kAB=kAC bề j‡? — Sa(k° — 4) = 0

Trục hoành chia tam giác 48Œ thành

hai phần có điện tích bằng nhau b= 4y/2 |ac| Tam giac ABC cé điểm cực trị cách đều trục hoành b> = Sac Đồ thị hàm số (Cc) -= a#! + bz” +e cắt trục Ox tai bề 100 = —ac

4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng 9 Định tham số để hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

(C) -U= a#” + bz”+c va trục hoành có diện tích b> = ac

phần trên và phan dưới bằng nhau

Phương trình đường tròn ngoại tiếp A4BC: z° +” — 2 — » + c + 2 — m =0

a a

Trang 20

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT I Định nghĩa Cho ham sé y = f (+) xác định trên tập D Số M ¡là lá t ¡ lớn hất ° hà a t ˆ D we ƒ(z) <1 Vze D + Số M gọi là giá trị nhất của hàm số 1 = f(a) rén D néu 3z, € D, f(e,)=M Ki hiéu: M = max f(x) , o a ae , „ ƒ(z)>mm.Vze D + SO m gọi là giá trị nhỏ nhât của hàm số = f(a) trén D néu: dz, € D,f(z,)=m Ki hiéu: m = min f(z) 2 Phương pháp tìm GTLN,GTNN

* Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực fc tiế

+ Buéc 1: Tinh f'(x) và tìm các điểm ®,,, ,®, € D ma ai) +) = 0 hoặc hàm số

không có đạo hàm +

+ Buéc 2: Lap bang biến thiên và rồi suy ra giá trị ee: trị nhỏ nhất của hàm số

* Tim GTLN, GTNN cua hàm số trên một “2 + Buécl:

* Hàm số đã cho 1 = f(a) } xác định và liê ‘ew “ bÌ

* Tìm các điểm ®,2,, ,, trên SG , tai dé f'(z = 0 hoặc f'(z) không xác định + Buéc 2: Tinh f(a ) /{ x) + Bưóc 3: Khi đó: + ge t(e) = mar{ sa) J ;) /(z,)./(a)./(ð)} * min f(2) = he) 1(,) 1) £10) 100) * Tim GTLN, GT a hàm số trên một khoảng * Bước 1: Tính đạo hàm ƒ(z) -

* Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm # € (a;b) của phương trình

ƒŒ) = 0 và tất cả các điểm a € (a;b) làm cho ƒf(z) không xác định

* Bước 3 Tính A = lim ƒ(z), B= lim f(x), f(z), fla)

Trang 21

DUONG TIEM CAN CUA DO THI HAM SO

1 Đường tiệm cận ngang

Cho hàm số = ƒ(z) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a:+œ).(—œ:ð) hoặc (—œ;+œ}) Đường thẳng ÿ = „ là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = ƒ(z) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn:

lim ƒ(2) = yp, lim f(x) = ,

2 Đường tiệm cận đứng

Đường thẳng z = z¿ được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số 1= ƒ(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

lim ƒ(z) = +, lim f(x) = —%, lim ƒ(x)=~ø, lim ƒ)= + XX x ed) = Fry : +b Lưu ý: Với đồ thị hàm phân thức dang y = = (c # 0; ms z 0) luôn có tiệm cận cx + “ + ngang là ¿ = — và tiệm cận đứng z = —— KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1 Sơ đồ khảo sát hàm số Cho hàm số 1/= ƒ (x) C) * Tim tập xác định của hà G3 + Sự biến thiên ` e Chiéu biến eign i Tin v nghiệm của phương trình '= 0 và các điểm tại đó ' không ¡nh iii Xết dấu y' va suy ra các khoảng biến thiên của hàm số se Tìm cực trị (nếu cơ) e« Tìm các giới vô cực; các giới hạn tại +, — và tại các điểm mà hàm số không xác định

se - Tìm các đường tiệm cận của hàm số (nếu cô) e Lap bang bién thiên

* D6 thi

e Liét ké các điểm đặc biệt ( điểm cực đại, điểm cực tiểu, tâm đối xứng, )

e« Xác định giao điểm của (C) với Ox, Óy (nếu cô)

Trang 22

Thầy Hoàng Hải-0966405831

Trang 23

Phương trình ˆ = 0 có VÀ vA 1 nghiệm So} » “ý ——_ | 9 | “ý ax+b cx+d c) HAM SO NHAT BIEN y= (c #0, ad—be #0) T) = ad — be > Ö l = ad — be < 0Ö vA y j ` _— 1 > X O 1 “Ð MỘT SỐ PHÉP BIEN DOI DO THI Dang 1: Từ đồ thị (C) “y= ra đồ thị (C) y= (|): Tacó y= /(Ì) = He va y= /(Ì) là hàm toe đồ thị (C’) nhan Oy lam truc déi xing * Cach vé (C’)

+ Giữ nguyên phần đồ thị bên phai Oy của đồ thị (C): y = f(z)

+ Bỏ phần đồ thị bên trái Óy của ( C ) , lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy Vi du: Ti dé thi (C): y = f(x) = z` — 3z an | (6) v-e*-a 1 > ' > suy ra dé thi (C’): y= lel -8|z| Biến đổi (C):

+ Bỏ phần đồ thị của (Œ} bên trái

Trang 24

Dang2: Từ đồ thị (C): y = f(a) suy ra đồ thị (Œ'): 2 Tacó: y= J/(z) = IbÃ Đà a < * Cách vẽ (C') từ (C): + Giữ nguyên phần đồ thị phía trén Ox cia dé thi (C):y = f(z) + Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox cia (C), lay d6i xttng phan dé thi bi bo qua Ox Ví dụ: Từ đồ thi (C): y= f (x)=x° —3x ve suy ra đồ thị ụ =|zŠ - 34 “ |er»=e-» : 1 > Biến đổi (C): + Bỏ phần đồ thị của (Œ} dưới Ox, giữ nguyên (C ) phía trên Ox + Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Oz Chú ý với dạng: y = | /(:lÌ ta lần ere 2.46 thi y = f(|z|) va y = | /(z) Ví dụ: Từ đồ thị Ys 7

(Ons) 2s wins ẹ — 3|zj Biến đổ édusedd = | /đ NT ¬ Z

Trang 25

Ví dụ a) Tir dé thi (C): y= f(x) = 2x° - 3° +1 b) Từ đồ thị (C) : = ƒ(e)=—— suy suy ra đồ thị (C): =|2- 1 (22° —#— 1) vol ra dé thi (C) y= .— , khi x € (1,+00) _ = _ f(a) khả z > Ì = |x -1)(22 LÊ khiz<1 | y= _ | #-1 = khi œ e (=1) Đồ thi (C’): Đồ thi (C):

+ Giữ nguyén (C) voi x2 1 + Bỏ phần đồ thị của (C) với ø < 1, + Bỏ (C) với z < 1 Lấy đối xứng phân

giữ nguyên ( (C) với x>1 dé thi bi bo qua Ox + Đi đối xứng "iu i bi bo qua (C) YA “¥ I" : ` AY ‘ 1 ‘ ' ! í (C)

Nhân xét: Trong quá trình thực hiện Dh Nhân xét: Đối với hàm phân thức thì nên

suy đồ thị nên lấy đối xứng các dÍê lấy đối xứng các đường tiệm cận để thực biệt của (C): giao điểm với Ox, Ì ~ | hiện phép suy đồ thị một cách tương đối chính xác TIẾP TUYẾN y y= f(x), c6 đồ thị (C Tiếp tuyến của 1 Tiếp tuyến : Cho dé thi (C) tai di

Trong d6: Diém M,(a,;y,) € (C) được gọi là tiếp điểm ( với t, = ƒ (z, ))

5 Yo) € (C) có dạng: |ự = v'(=¿)(e— zạ)}+ Yo|- k= f'(2,) là hệ số góc của tiếp tuyến va (C'): v= a(2) 2 Điều kiện tiếp xúc: Cho hai hàm số (Cc) y= f( ) J(2) “9 z) có nghiệm Đồ thị (Œ) và (Œ') tiếp xúc nhau khi chỉ khi hệ phương trình: , f'(2)=9' (z) y TUONG GIAO DO THI mo MY

Trang 26

+ Số giao điểm của (C,) và (Œ,) bằng với số nghiệm

của phương trinh (1)

+ Nghiệm z, của phương trình (1] chính là

hoành độ z, của giao điểm

+ Để tính tung độ , của giao điểm, ta thay hoành độ z,„ vào

y= f(z) hoac y= g(z)

+ Điểm Ä⁄(xạ; vụ ) là giao điểm của (Œ,) và (Œ,)

ĐIÊM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG

1 Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong

Xét họ đường cong (Œ ) có phương trình ¿ = ƒ(z,zn), trong đó à hàm đa thức theo biến z với m là tham số sao cho bậc của m không quá 9 Tìm những 'điểm cố định thuộc họ

đường cong khi ?n thay đổi?

Phương pháp giải: +

+ Bước 1: Đưa phương trình 1= ƒ(x,?n) về dạng ph nh

theo ẩn m có dạng sau: 4zn+ B =0 hoặc Am” + B >0

+ Bước 3: Cho các hệ số bằng 0, ta thu tý bồy ương trình và giải hệ phương trình: A=0 AO ose 1B =0 Bao hoặc 4B=0 C=0 + Bưóc 3: Kết luận: - Nếu hệ vô nghiệm

udng cong (C ) không có điểm cố định - Nếu hệ có nghiện thì ghiệm đó là điểm cố định của (€, )

2 Bài toán tìm điể Ó tọa độ nguyên:

Cho đường gong (Ế) có phương trình y = ƒ(z) (hàm phân thức) Hãy tìm những điểm có tọa độ nen gn cong?

Những điểm Šó tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ của điểm đó đều là số nguyên

* Phương pháp giải:

+ Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số

+ Bước 2: Lập luận để giải bài toán

3 Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng:

Cho đường cong (C) có phương trình = f(r) Tìm những điểm đối xứng nhau qua một điểm, qua đường thẳng

Bài toán 1: Cho dé thj (C): y = Ax® + Ba’ + Or + D trên đồ thị (C)_ tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua diémI(z,,y,)

+ Gọi M(a,Aa’ + Ba? + Ca + DỊ Nb.Ab? + Bb? + Cb + D) là hai điểm trên (Œ} đối

Trang 27

ke a+b=2z,

SS |Al@? +6) + B(a? +0) +C(a+b)+2D = 2,

Giải hệ phương trình tìm được a,b từ đó tìm được toa độ M, N

Trường hợp đặc biệt : Cho đồ thị (C): y= Ax’ + Bx’ +Oxr+D Trén dé thj (C) tim

những cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ

+ Goi M(a,Aa’ + Ba + Ca + D).N(b,AbŸ + Bb” + Cb + D) là hai điểm trên (C)

đối xứng nhau qua gốc tọa độ

c|a+b=0

+ Ta có A(aỀ + bŠ) + B(a? + b°)+ CÍa + ð)+ 2D =0 `

+ Giải hệ phương trình tìm được a,b từ đó tìm được toa wile M

Bài toán 3: Cho đồ thị (C): y= Az’ + Ba’ + Cx + D trên to aie im những cặp điểm

đối xứng nhau qua đường thẳng đ: t = Az+B

+ Goi M(a; Aa’ + Ba’ +Ca+D), N N (b; Ab? + SS la hai diém trén (C) đối xứng nhau qua đường thăng d Icd (1) A» , : + Ta có: + _——~ (với Ï run®điểm của Àƒ/W và z4 là vectơ chỉ phương MN ua = 0 (2) ng trinh tim dude M, N * Ly thuyét:

+ Cho hai điểm A(z,:y mà = AB= Í(s, —2,) +(¥,-¥, )

Cho điểm M(z, "è udng thang d: Ax+By+C=0, thi khoang cach từ Äƒ đến đ là Ag + C h(M-d) = [Aa + BO] VA? +B? + Cho ham phan thtic: y = are cr +d của đường thẳng đ) Giải h

tiếp tuyến tại M cắt TCĐ, TƠN ỏ A và B thì M là trung

điểm của AB 2 Diện tích tam giác 14B không đổi: Sup = ~|ad - bc| 2 +, % Các bài toán thường gặp:

Bài toán 1: Cho hàm số ụ = “S >” (cz 0 ad— be z 0) eó đồ thị (C) Hãy tìm trên (C) cx+d

Trang 28

d d

+ Nếu 4 thuộc nhánh trái: z, <-> & Ho aS; y, = f(z,)

Nếu thuôe nhánh phải: d _ d do

+ ếu Ö thuộc nhánh phải: #g >—— =2 8p =— + />——; 9 = f(y)

- Sau d6 tinh: AB’ = (x, — z,) + (0; — y,) = l(a + 8)- (a — z)Ï + (0; — y,) - + Áp dung bất đẳng thức Cauchy sẽ tìm ra kết quả

Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số (C) có phương trình y = f(x) Tìm tọa độ điểm \\

thuộc (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất

+ Goi M(z;y)va téng khoảng cách từ A{ đến hai trục tọa độ là đ thì đ = lxị + ly

+ Xét các khoảng cách từ Ä/ đến hai trục tọa độ khi Äƒ nằm ở các vị trí đặc biệt:

Trên trục hoành, trên trục tung

+ Sau đó xét tổng quát, những điểm Ä/ có hoành độ, hoặc độ lớn hơn hoành độ

hoặc tung độ của Äƒ khi nằm trên hai trục thì loại đi k ót đến

+ Những điểm còn lại ta đưa về tìm giá trị nhỏ nhấ€eủa đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm rồi tìm được giá trị nhỏ nhất của đ

Bài toán 3: Cho đồ thị (C) có phương trình = m điểm \M trên (C) sao cho

khoảng cách từ M đến Ox bằng k lần khoảng “ey én trucOy

* Phuong phap giai: A

=>

Theo dau bài ta có | = kl S

Bài toan 4: i ham số (C) có phương trình

=ƒ@)== ax+b (c z 0, ad — aot toa dé diém M trén (C) sao cho dé dai MI ngan

nhat (véi I he giao diém

* Phuong phap male uu fg + Tiém can = —-; tiệm cận ngang y = o 18 of —d a +Ẻ cn A + Ta tìm được tọa độ giao điểm {= w hai tiệm cận c ¢ 3

+ Goi M(z,,/:y,,) là điểm cần tìm Khi đó: IM? = (sy + ‘) + G — :] = ø(#y) wy; MS MS

+ Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số ø để thu được kết quả

Bài toán 5: Cho đồ thị hàm số (C) có phương trình y = ƒ(z) và đường thang

Trang 29

PHẦN II MŨ VÀ LOGARIT

LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA 1 KHÁI NIỆM LŨY THỪA

+ Lũy thừa với số mũ nguyên Cho ?+ là một số nguyên dương

Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc ø của a là tích của ? thừa số a a” =aa a(n thiia số)

Với a £ 0

=n

a =] a" =

ae

Ta gọi a là cơ số, là mũ số Và chú ý 0° và 0” không có `

+ Một số tính chất của lũy thừa

e Giả thuyết rằng mỗi biểu thức được xét đều có 3À a® -a® =a": “=a a**- (a*)’ =a** - (ab)* -Sà:

J0 yOỲ

e Nếu ø >1 thì a“ > aỂ B)

e Với mọi Ö < a < b, ta có: m>0; a” >b”<>m <0

e Chú ý:

+ Các tính chất trê

+ Khi xét lũy thừa + Khi xét lũy thừa với + Phương trình +" Ta có kết quả biệ ố nghiệm của phương trình x”“ =b như sau: e Trường hợp Với mọi số thực ö , phương trình có nghiệm duy nhất e Trường hợp n chẵn:

+ Với b<0, phương trình vô nghiệm

+ Với b =0, phương trình có một nghiệm z = 0

+ Với b > 0, phương trình có hai nghiệm trái dấu, kí hiệu giá trị dương là ub ,con giá trị âm là —Ñb

ũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0 ng trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên ố mũ không nguyên thì cơ số a phải dương

Một số tính chất của căn bậc n

Với a be Ï§:ne Đ”, ta có:

+ XÍa?" = ter —a va,

fab = *fal - 3Íb|, ab > 0: fab = Ya 2b, Vad -

2n 3n+1

vf — Mel a> bel 0,0 203 _¬".` Va,Vbz 0: bf

Trang 30

+ tha” = (va) Va >0, nguyên dương, ?m nguyên ‘ dựa = "la Va >0, n,mnguyén dương

+ Nếu P=4 mì Va? = da? Va > 0.m,nnguyén dudng p,q nguyén nm m.nÍ em ; 2 HAM SO LUY THUA + Khái niệm Xét hàm số + = z”, với œ là số thực cho trước Đặc biệt: Va Hàm số ÿ = #Z, với œ€ ï§, được gọi là hàm số lũy thừa Chú ý ~~ ¬ œ Cụ thể e

Tập xác định của hàm số lũy thừa # = z” tùy thuộc vào gi

s® Với œ nguyên dương, tập xác định là R

e Với œ nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là ® Với œ không nguyên, tập xác định (0; +0 + Khao sat hàm số lũy thừa

+ Tập xác định của hàm số lũy thừa 4ý = Ề“ luôn chứa khoảng (0;+œ)

khảo sát hàm số = z” trên khoảng này với mọi œ € l§ Trong trường hợp tổn y=2" a<0 1 Tap xac dinh: (0 +00)

1 Tap xac dinh: (0:+=)

2 Sự biến thiên 2 Sự biến thiên

y'=a.a*" > c* 0 ụ'=œz“'<0 Vz>»0

Giới hạn đặc biệt: Giới hạn đặc biệt:

lim z“ =0, lim 2* =+0 limx* =+, lim xế =0

20° rte x30" x40

Tiệm cận: không có Tiệm cận:

Trang 31

Đồ thị của hàm số ya a>| a=-l 0<#<l l =0 ' œ<0 0 | x Đồ thị của hàm số lũy thừa 1= xZ luôn đi qua điểm /(1]) Ss Khảo sát hàm số mũ 1=”, y= a®,(a > 1) (a>0,a# 1) Wins 1 Tap xac dinh: R 2 Su bién thién 1 Dé Man R Sự bì ăn thiên

ụ'=# Ina>0,Vx ỹ'=a Ìna<0,Vz

Giới hạn đặc biệt: 1ới hạn đặc biệt:

lim a* =0, lim a = lim a* = +0, lim a” = 0

Tiệm cận: O Tiém can:

Trang 32

LOGARIT VÀ HÀM SỐ LOGARIT

1 KHÁI NIỆM -TÍNH CHẤT VÀ QUY TẮT TÍNH LOGARIT

+ Khái niệm Logarit

Cho hai số dương a,b với a#1 Số œ thỏa mãn đẳng thức a“ = b được gọi là logarit cơ số a cua b và được kí hiệu là log ở

a=log b<a*=b

Không có logarit của số âm và số 0

Bảng tóm tắt công thức Mũ-loarrit thường gặp:

a° =1,(a # 0) log, 1=0,(0<a#1)

+ (a) =a * log a= 1,(0 < as

| a) = = a | s log a* = xfs 1) -

(aŸ | ¢ log ,a=—0<a#1)

° 7 (a) =z.log„b,(a,b > 0,a# 1) 1 a)" (b)° =(a)™ ee BI ° log ,bf =7 108.0 jin gO] ce e log b-—log c= log | C i, = Aa)? cơ | e log b= log, a 2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT + Bất phương trình mũ cơ bản Bất phương trình mũ cơ bản có dạng a” > b (hoặc 4` >b,8` <b,a`” <b) với a >0,a #1 Ta xét bất phương trình có dạng a” > b

e Nếu b <0, tập nghiệm của bất phương trình là R,vi a >bVreR e Nếu b >0 thì bất phương trình tương duong véi a* > a”

Trang 33

‘Ta minh hoa bang dé thi sau: « Với ø > 1, ta có đồ thị y yaa? (a>1) « Với 0 < ø < 1, ta có đồ thị log,b + Bất phương trình logarit cơ

Trang 34

BAI TOAN LAI SUAT NGAN HANG

1 Lãi đơn: là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi không đến gửi tiền ra

a) Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng 4 đồng với lãi đơn r% /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau ø+ kì hạn ( œ e Ñ * ) là:

Ss = A+nAr = A(1+nr)

2 Lãi kép: tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn dé

tính lãi cho kì hạn sau

a) Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng 4 đồng với lãi kép r% /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau ø kì hạn ( nœ € Ñ * ) là: =] , S nal : [s S,=A(1+r) —> r% = ([ 2 —1 °

a) Công thức tính: Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền 4 đồng với lãi kép r%/tháng thì số tiền khách h 7 | dude ca von lan lai sau n thang ( ne€ N * ) ( nhận tiền cuối tháng, khi ngâ tinh lã) là 6 ¬ Sor l l ——> +] mm SLY +r) —> o> A= 2 (1 + n)|(I + r) — 1 4 Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng:

a) Công thức tính: Gửi ngân hàng số tiền là 4 đồng với lãi suất rz%/tháng Mỗi tháng vào

ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền là X đồng Tính số tiền còn lại sau ø tháng là bao nhiêu? s.=A(L+z} _„Atr) r =1 —> X=|A(I+r} -

5 Vay vốn trả góp: Vay ngân hàng số tiền là 4 đồng với lãi suất r%/tháng Sau đúng một

tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi hoàn nợ số tiền là X đồng và trả hết tiền nợ sau đúng ø tháng

Trang 35

(t+r) -1 S =A(l+r)} —X P Để sau đúng n thang tra hét no thi S =0 nên A(tI+r) _xt?) Ƒ1_g r ve A(1 + r) L (L+r) -1 tháng thì lương người đó được tăng thêm r%/thang Hoi sau k người đó lĩnh được 6 Bài toán tăng lương: Một người được lãnh lương khởi điểm là anh Cứ sau n

tất cả là bao nhiêu tiền?

7 Bài toán tăng trưởng dân số: Oo (1+r) -1 r Công thức tính: Tổng số tiền nhận được sau kn ine S\ = Ak Công thức tính tăng trưởng dân số X m Trong đó: r% là tỉ lệ tăng dâ Số tì năm ø đến năm ?n X dân số nă xí xX) dân số năm n va „ x Từ đó c.N h tỉ lệ tăng dân số là |r% = m-n v —j Lãi kép liên tục:

Gửi vào ngân hàng 4 đồng với lãi kép r%/năm thì số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi sau n năm (n — N’) là: 9 = AÍI a ry Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì hạn để tính ° ~ wt Ke iv ơ ô ` lói v lãi suất mỗi kì hạn là —%_ thì số tiền thu được sau năm là: †n Ss ~a{1+ =| ™m

Khi tăng số ki han của mỗi năm lén vé cuc, ttic lA m — + , goi lA hinh thtic 1ai kép tién

tục thì người ta chứng minh được số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi là:

Trang 36

PHAN III

NGUYEN HAM - TiCH PHAN - UNG DUNG TiCH PHAN

I NGUYEN HAM

1 Nguyên hàm

Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên W (W là khoảng, đoạn hay nửa khoảng)

Hàm số Ƒ(z) được gọi là nguyên hàm của hàm số ƒ(z) trên nếu #'(z)= ƒ(z) với mọi œc Kế K(hiệu: J7(x)# =F(z)+@

Định lí:

1) Nếu #(z) là một nguyên hàm cia f(x) trén #Z thì với mỗi hằng số Ở, hàm số

G(z) = F(z)+ Ơ cũng là một nguyên hàm của f(z) trén K

2) Nếu Ƒ(z) là một nguyên hàm của hàm số ƒ(z) trên /“ thì mọi nguyên hàm của

f(z) trên đều có dạng Ƒ(z) + Ơ, với Ở là một hằng số

Do đó #(z) + Œ,C ÌR là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên ý

2 Tính chất của "" hàm

*([Z(s)£e} =/(s) và [7'(e)a= ae +: 4([/Ie]dx) = /(z)a<

« Nếu F() có đạo hàm thì: ƒ4( ả(F@)) = Fay£® Jef (2) de = kl f(x) dx với È là 3V 0

* [[7(z)*+ 9(2) Jae = [7(z)+ # Jo(e)ae

iến số: Chế =Àƒ(u} và w = ø(+)

Nếu Ĩ ƒÁ(œ)dz = F(œ)+ Ơ thì ỉ gl) g'(w)dx = J f(u)du = F(u)+C

Trang 37

8 [coszdz = sinz + Œ 21 [cos(az + b)dz = — sin(az + b)+ C c1 9, [sinzdz =—cosz + Œ 22 [sm(az+ b) dx = —cos(ax + b) + C -_l 10 [tanzdz= —Ìn | eosz | +Œ 23 [tan(az + b)dx = ~‡ Inlcos(az + bl+e a 11 [cotzdz= In | sinz | +Œ 24 [cotg(az +b)dx = 1 Inlsin(az + bl+e a

12 | L dư = tanz# + Œ 25 ÍSGaaj an (e +8)+€

COS” # cos’ (ar +

13 | + dx =—cotr+C 26 lenny : (az + ð)+ Ơ

sin” # sin’ (az +

Trang 38

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 1 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

a Đổi biến dạng 1:

Nếu : [Zœ) = F(z) + và với u = ø{£)là hàm số có đạo hàm thì : | fwd = F(u)+C

PHUONG PHAP CHUNG

e Buéc 1: Chon z= g(t) , trong đó g(t) là hàm số mà ta chọn thích hợp

¢ Bude 2: Lay vi phan hai vế: đœ = g'(t) dt

Trang 39

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

* Bước 1: Chọn t= g(a) Trong dé g(x) là hàm số mà ta chọn thích hợp

Bước 2: Tính vi phân hai vế : đý = ø'(£) dt ° Bước 3: Biểu thị : ƒ(z)dz = f| ø(t) |ø'(t)t = g()dt Bước 4: Khi đó : I = f(x)de = | o(t)dt = G(t) + C * Các dấu hiệu đổi biến thường gặp : Dấu hiệu Cách chọn Hàm số mẫu số có t là mẫu số Hàm số : (x: Jo(z)) t= (zx) \ ¬S Hàm f(x) = @Simet? c sinz+d cosz+c cose t= tan’ (cos 2 2 Với aa — 0 Hàm /(z) _ 1 1I:#@+a> > và lero

ka%x t=A|z-— a+^|-z—b

2 NGUYÊN HAM TUNG PHAN ( j

Néu u(x) , v(x) lA hai hàm số có đạo

uc trén K:

(x) u(x) — J (œ) w\(a)de

Hay [udu = ww - [udu ( véi (x) de, dy =v («)de )

Trang 40

Dang II: | J = [?œ) In adr u=Ing 1 Dat —_jdu= de Vay I= Inx.Q(x) - [Q(c) hy dv = P(z)dr v= [ P(x)de = Q(z) + sing DạngIHI 7= fe 1 de u = c7 đu = c”d+ —COS # —cos x

Dat sing => —cosz| Vậy I= c7 “dx

dụ = dx U=4., sing sine cos £ sin z —cos x ke sau đó,tha vàề I sin# TÍCH PHÂN ~~: 1 Công thức tính tích phân ` b b

* Nhận xét: Tích phân của hàm số ƒ từ A thể kí hiệu bởi | f(x)dx hay } f(t)dt Tich

phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các 3% mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số

2 Tinh chat cua tích phân

Định dạng
Số trang	94
Dung lượng	9,96 MB