FULL lý THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN 90 tổng hợp Toánlýhóa 11 và 12 (...............................................................................................................................)
Trang 1I CƠNG THỨC TÍNH NHANH THUONG GAP CUA THE TICH KHOI CHOP|
Tinh chat Hinh vé Vidu
Cho hình chĩp đều Chohình chĩp đều s.asC cĩ cạnh đáy bằng
SABC cĩ cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a3 Thể tích khối chĩp là: a, cạnh bên bằng b Khí đĩ: Vs aac = ——12—— a 3b? - 8ˆ Cho hình chĩp đều SABC cĩ cạnh đáy bằng z, gĩc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng z a = —.tana 12 Khi đĩ: |V, $.ABC - 6 p, 2 6 c.#⁄2 3 D #3 4 2 # |3(av3) -a 3/2 Vs asc = 12 = 6 = [B] Cho hình chớ BC cĩ cạnh đáy bằng a, gĩc giữ bên và mặt đáy bằng 60° Thể ốt chĩp là: Cho hình chĩp đều SABC cĩ cạnh đáy bằng a, gĩc giữa mặt bên và mặt đáy bằng a = 3 Khi đĩ: |V, ,„„ = wh ) ®Ị V
Cho hình chĩp đều s.4BC cĩ cạnh đáy bằng 2a, gĩc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60° Thểtích khối chĩp là: 3/3 a3 A 4 3 B 6 3/3 ave c, 4 12 D 12 2a) 5/3 Va ane = tan 60° = 8 3 =] Cho hình chĩp đều S.ABC cĩ bên bằng b va gĩc giữa cạnh bên với
mat day bang a Khi do:
Chohinh chop déu S.ABC co bén bang a va
Trang 2Cho hình chĩp đều SABCD cĩ cạnh đáy bang a, canh bén bang b Khí đĩ: a V4b* - 2a? Vasco 6
Cho hình chĩp đều S.ABCD co canh đáy bằng a, cạnh bên bằng a5 Thể tích khối chĩp là: Cho hình chĩp đều SABCD cĩ cạnh đáy bằng a, gĩc giữa cạnh bên và mặt đáy bang a Khí đĩ: V, SABCD — -82 6 tana een + - - Ạ, #2 3 B a v2 2 c, 2x2 4 p 2x3 6 “yan ) -2a 2% Vs asc = = [B]
Cho hinh chop đêu s.A5CD cĩ cạnh đáy
bang a, mad bén va mat day bang 60° meta 5 B " 6 D a`42 — 6 <&) $.ABCD — =^ “2 tan 60 -#¥6 Cho hình chĩp đều SABCD cĩ cạnh đáy bang a, gĩc giữa mặt bên và mặt đáy bằng a Khí đĩ:
Chohình chĩp đều s.asCD cĩ cạnh đáy
bằng z2, gĩc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 45° Thể tích khối chop là: a, #3 3 p #3 `6 C a` 2 D a`42 3 6 ⁄2 Ứ; „;ep = c 2) \_! tan 45° = “ ave => Ic] Cho hình chĩp đều SABCD cĩ cạnh bên bằng ư, gĩc giữa mặt bên và mặt đáy bằng a Khí đĩ: 4a` tan a V $ ABCD ” 3,|(24+tan? «) 3
Cho hình = đều S.4BCD cĩ cạnh bên
Trang 3Chohinh chop déu S.ABCD cĩ cạnh đáy bằng a và gĩc ở đáy của mặt bên bằng z với ce|Z;Z 4'2 3 2 V đœ xtanˆ ø - † § ABCD ” 6
Chohình chĩp đều S.4BCD cĩ cạnh đáy bang a, gĩc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60° Thểtích khối chĩp là: A £ `6 B 23 ` 6 C a2 D a2 `6 `3 V; asco = 2 # Vạn Sơ —1 7 22 — Cho hinh chop S.ABC cĩ ba mặt phẳng (SAB), (SAC),(SBC) đơi một vuơng gĩc và cĩ diện tích lần lượt là S,,5,,S, Khí đĩ: (2s S,S
Vs ase = — Cho hình chĩp S.4EC cĩ ba mat phang
(SAB), (SAC), (SBC) đơi một vuơng gĩc và diện tích củ giác SAB,SBC,SCA lần
lượt là ma: Và 12em? Thểtích khối chĩp là 4 2 B 20 V3 p 2 3 "3 ABC A\ v, - V215 512 _ 20/2 ¬ [2] Cho hình chĩp s.4BC cĩ SA,SB,SC đơi một vuơng gĩc Biết SA =a,SB =b,SC =c Khí đĩ: ^_ÁJ a
Cho hình chĩp s.4øC cĩ SA,SB,SC đơi một
vuơng gĩc Biểi sA=5, SB=4 Va SC=3 Thể tích khối chĩp là: A 20 B 10 C 30 D 60 Khí đĩ: V, „„ = c643- 10=
Cho hình chĩp S.4BC cĩ SA,SE,SC đơi một vuơng gĩc Biết AB= a,BC =b,CA=c Vs anc = 12 ale +b*-c¢? \(@ +c° ~È°|(b° +c° —#°) 2
Cho hình chĩp S.ABC cĩ SA,SB,SC đơi một
Trang 4
II XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CÂU NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨP
1 Phương pháp chung
Bước 1: Xác định tâm của đa siác đáu:
- Tam giác đều: Giao của 3 đường trung tuyén - Tam giác 0uuơng: trung điểm của cạnh huyén
- tam giác thường: siao của 3 đường trung trực (ít gặp) - Hình ouơng, hình chữ nhật: siao điểm 2 đường chéo
Bước 2: Kẻ (ả) qua tâm 0à uơng sĩc voi day (truc cua diy)
Bước 3: Trong mặt phẳng chứa cạnh bên 0à trục (d) Kẻ trung trực (A) của cạnh bên, (A) cắt (4) ở I thì I là tâm
của mặt cầu
2 Các mồ hình thường gap
Mơ hình 1: Hình chĩp đều s.AbC Mơ hình 2: Hình C co SA1(ABC),t
: giác ABC đều
NI
A €
8
+) Uu tién tinh R = SI a +) Ưu tiên tính R= Aï
+) Cơng thức: SN.SA = SI.SH +) Cơng thức: AfŸ = AN? + AH?
M6 hinh 3: Hinh chop S.AB A L (ABC) Mơ hình 4: Hình chĩp S.ABCD cO SAL( ABCD),
Trang 5Mơ hinh 5: Hình chĩp đều s.ABCD +) Ưu tiên tính R = Sĩ +) Cơng thức: SN.SD = SI.SO
Mơ hình 6: Hình chĩp S.ABCD CO ASAB cân, (SAB) 1 (.ABCD), ABCD là hình vuơng (hình chữ nhật) +) Ưu tiên tính R = Sĩ +) Cơng thức: IS? = IG? + III DIỆN TÍCH MẶT CÂU - THÊ TÍC 1 DIEN TICH HINH TRON - HINH VIEN PHAN - HINH QUATWRON Hinh Quat Il MAT CAU - CHOM CAU +) Dién ng kính R: S„ = zR? +) ©" h quạt trịn: S_, =4zR? TC +) Diện tích mặt cầu: S +) Diện tích chỏm câu chiều cao ï: S_ =2zRh= z(r?+l? xe +) Thể tích khối cầu: V„ =SzRŸ
+) Thé tich chom cau: V_ = zh’ [R- 4 = “4h - 3r’) Ill MAT CAU NGOAI TIEP HINH HOP CHU NHAT - HINH LAP PHUONG
+) Mat cau (S) mgoại tp hình hộp chữ nhật
ABCD.A'B'C'D' biét AB=a,AD =b,AA'=c Tacé:
Trang 6eet ohne - ' ~ ' A ` “ 4 ' D * H ` ï 'R ` ‘ : ` !, ` , TT «x» ———.— ‘ ? “ont ' mae ’ -* ` ' ` ' + tự ' ` 1 : ae R } t + al ne ụ ` ⁄ ; , ` ~ ' +“ ‘ ( ~ ' ` = ‘ ` em wake >~^ # ` \ ' ' ss ` ! ‘ ' ` ` ` # B' Pet wee ee eee 'Yx ` r⁄ a ‘ ‘ , “ ‘ ' xế ¬ ' -“ ween 4-. " +) Aặt cầu (S) tâm I bán kính R, nội tiếp hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a
- Tâm I là trung điểm của AC" (Hoặc lấu trung điểm của đoạn thăng nốt tâm của 2 mặt đối điện) - Bán kinh R= 5 +) Gọi (S, ).(S>) là mặt cầu nột tiếp 0à ngoại tiếp hình lập phương ABCD.A'B'C'D`" cạnh a Ta cĩ: V, R: V,= SAR}, v,=3zRj = TL - v9 IV MAT NĨN -KH STNORN 1 Hình nĩn, khối nĩn: 1 +) ƯV,„=—zR°h M3 +) S., = 7Rl +) S,, = zR(R +]) 2 Hình nĩn cụt, khối nĩn cụt: - +) SỐ =Zl(R + r) +) 6 „ =(R?+rỶ +1(R+r) +) Vu, =snh (R?+r?+ an ` 3 Thiết —
+) Thiết điện qua trục là tam giác ABC cân tại A va S,,.=Rh
+) Thiét dién qua đỉnh khơng chứ trục là tam gidc cin SCD , thiệt điện cắt day theo diy cung CD ta cé: ` ws) ZN KO
- Gác giữa thiết dién va day: (ACD,BCD) = AHO
- Gĩc giữa trục va thiét điện: (AO (ACD))=OAH
- Khoảng cách từ tâm đáu đến thiết điện: d(O,(ACD)) =
Trang 7
4 Mặt cầu (S) tâm I bán kính R, ngoại tiếp hình nĩn bán kính r đường
2 2
cao hh R="
+) Trong cic khéi nén néi tiép mit ciu (S) tim I, ban kính khơng đơi R
Khối nĩn cĩ thể tích lớn nhât khi h=SRz~ 2n Khi đĩ V„ = SR
5 Mat cfu (S) tam I, bán kính r nội tiếp trong mặt nĩn (N) ban kinh R, đường cao h, duong sinh 1 Ta co:
+) Dung tim I:
- Lay Ee AC sao cho OC =EC +
- Qua E kẻ đường thẳng 0uơng sĩc uới AC 0à cẮt AO tại I thi I
mặt cầu nội tiếp mặt nĩn (N } hR +) Bán kuth mặt cầu (S):r= C 1+R J-KHOI TRU V, 1 CONG THUC CO BAN +) V,=2R*h, S, =2zrh, S, -pêi
+) Thiết điện uuơng sĩc uới i tron ban kinh R
Trang 8+) A,B Tân lượt là các điểm trên các đường trịn đáu của hình trụ ta cĩ:
- Gĩc giữa AB ồ trục OO': (AB,OO')= A'AB
Trang 9VỊ TỔNG HỢP CƠNG THỨC DIỆN TÍCH MẶT TRỊN XOAY - THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY Hình vẽ Cơng thức - Tính chất
Hình cầu +) Diện tích mặt cầu: 5= 4zR?
Trang 11TOM TAT LY THUYẾT VÀ GIẢI NHANH TỐN 13
PHAN 1 HAM SO
SU DONG BIEN NGHICH BIEN CUA HAM SO
1 Dinh nghia
Vø.,œ, € J{,z, <#, ( K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng)
f(a, ) < f(a, ) >y= f(a) đồng biến trên K đồ thị đi lên từ trái sang phải
f(«,) > f(«,) = w= ƒ(+)nghịch biến trên K đồ thị đi xuống từ trái sang phải
Chú ý: + Nếu ƒ (z) >0, Vee (a; b) = hàm số f(« ) đồng biến trên khoảng ( a: b)
+ Nếu f'(x)<0, Vxe(a;b)=> ham sé f(a ) nghich bién tr khoang ( a: b)
+Néu f'(x)=0, Vee (a:b) > ham sé f(x) khéng déi on a:b)
+ Néu f(x ) dong bién trén khoảng ( a ‘b) => f'(x
+ Nếu f(a ) nghich bién trén khoang (a: b) < 0 Va €{a- i) 2 Quy tac va céng thite tinh nal vì gà
Quy tắc tinh dao ham: Cho u= u(x); v "Kon hằng số
Tổng, hiệu: (tu + v) = =u'tv'
Tich: (uv ) =u'viviu =(Cu ) ier Thuong: l5)" _—_ 0)»(S] < 7 2 v v u Dao ham ham hop: Ae f(u),w=u(2) > y! =yw Bảng cơng thức) a0 ham: Đạo ầm của hàm sơ cấp Đạo hàm của hàm hợp (C) =0 (C là hằng sði (z7) =zz= (z“) _ ơz#1 (u*) =a B =~ — (x #0) # ay -“ (u+0) u u (Ve) == (#>0) (vu) = or (u > 0)
(sinz) =cos x (sin u) =u’ cosu
(cosz) =—sinz (cosu) = = -u' sinu
Trang 12
(tana) =—— (tan) Cos u ' 1 ' , (cotz | sin’ x (cot *) | on u (c’) =¢ (c’) =u'.c* Ga) =a’ |na (a) =u'a* Ina f 1 ' l Inhj =2 , 1 (nj) = u'
(lo8 1) = Sina (t,o) = xa
Cơng thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức: a Ù|, +9 +I be ' 7 (E5I- ad — be te mm) —|# f ca +d (cr +d) dz” t+) ‘ert f) Dao ham cap 2: + Định nghĩa: f"( x) =| ft x)Ï SS + Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời CN c ộ = f(t) tại thời điểm t, la: a(t,) = rts) * Một số chú ý: se Nếu hàm số i ) và d{ ơng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số /(e)+ø cũng ` a =k biến) trên K Tính chất này cĩ thể khơng đúng đối với hiệu /()~ø(z):
se Nếu hà x) va 9(z) là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số ƒ (z) ø(z) cũng đồng biến (nghịch biến) trên K Tính chất này cĩ thể khơng đúng khi các hàm số ƒ (x) 9(z) khơng là các hàm số dương trên K
¢ Cho ham sé u = u(z), xác định với z € (a:b) va u(z) = (c d) Ham sé fl u(x) |
cung xac dinh véi x € (a:b)
Quy tac xét tinh don diéu cua ham sé
Gia su ham sé f cé dao ham trén I
Trang 13Chú ý: fe ““ + b d ‘A * “ * Đối với hàm phân thức hữu tỉ # = “ — (: # -{) thì dấu "=" khi xét dấu đạo ca + C
hàm z khơng xảy ra
Giả sử y = f(x) = ax + be’ + ca + d => ƒƑ'(#) = 3a#” + 2bz + e Ham số đồng biến trên Hàm số nghịch biến trên a>0 © ƒ(z)>0:YzeR© a=0 © ƒ(z)<0:YzeR© b=0 c>0 Trường hợp 2 thì hệ số e khác 0 vì khi a = ư= e = 0thì ƒ(z) = (Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ĩx
* Với dạng tốn tìm tham số m để hàm số bậc ba don ơtchiều trên khoảng cĩ độ
dài bang | ta giải như sau:
+Bước 1: Tính y/’ = f'(x;m) = a#” + b# + e + Bước 3: Hàm số đơn điệu trên (z, :@
A>0
sa 0
+Bước 3: Hàm số đơn điệu
cĩ 2 nghiệm phân biệt nên h oang cĩ độ dài bằng | 4zz, =I" âĐ?-4P=l (**) ộl (* *) để suy ra giá trị m cần tim c> | =
+ Bước 4: Giải ( cide
CUC TRI HAM SO 1 Dinh ng ",
Giả sử hàm số ƒ định trên tập K và z, € 1£
+ x, là điểm cực tiểu của hàm số ƒ nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa z, sao cho
(a;b)K và f(a) > f(a,),Va c (a:b) \ {z,}
Khi d6 f(x,) duge goi la giá trị cực tiểu của hàm số ƒ
+z, là điểm cực đại của hàm số ƒ nếu tổn tại một khoảng (a:b) chứa z, sao cho (a;b) cKvà f(z) < f(x,),V2 S (a:b) \ {x}
Khi đĩ ƒ(z¿) được gọi là giá trị cực đại của hàm số ƒ
+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị + Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị
+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm
cực trị phải là một điểm trong tập hợp K
Trang 14Chú ý: a’ “ ` A + ~, +2 ar + b d ` a? ^“ * Đối với hàm phân thức hữu tỉ = 7 ##—— | thì dấu "=" khi xét dấu dao cx + c ham y’ khơng xảy ra Giả sử U= ƒ(®) = a+ + br” + ca + d => Ƒ (+) = 3a#” + 2b + e Hàm số đồng biến trên ï Hàm số nghịch biến trên R a>0 a<0 © ƒ(z)>0:VzeR© a=0 © ƒf(z)<0:YzeR© b=0 c>0 Trường hợp 2 thì hệ số e khác 0 vì khi a = b = c = Othi f(z) = (Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ĩx thì khơn
* Với dạng tốn tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn
dài bằng l ta giải như sau: +Bước 1: Tính = f(œm) = a# + bã + e + Bước 93: Hàm số đơn điệu trên (z, :Œ cĩ 2 nghiệm phân biệt A>0 “2a 0) > |2, —2, =l< x, + hoang cé dé dai bang / 4az, = â@Đ?4P=l? (**) i (* *) để suy ra giá trị m cần tìm + Bước 4: Giải (hắt: 1 Định nghĩ Giả sử hàm số ƒ Xấc định trên tập K và z, e Ứ€ CỰC TRỊ HÀM SỐ
+ x, là điểm cực tiểu của hàm số ƒ nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa z„ sao cho (a;b) =Kvà f(a) > f(a,),Va € (a:») \ {z,}
Khi d6 f(x,) duce goi la gia tri cue tiéu cua ham sdf
+a, la diém eve đại của hàm số ƒ nếu tơn tại một khoảng (a:b) chứa #„ sao cho
(a;b) =Kvà f(z) < ƒf(>,).Yz E (a:b) \ {x}
Khi đĩ ƒ(z;) được gọi là giá trị eye đại của ham sé f
+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị + Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị
+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp K
Trang 15+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số + Nếu x, là điểm cực trị của hàm số thì điểm (z, ƒ(,)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số ƒ 2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lí 1: Giả sử hàm số = ƒ(+) đạt cực trị tại điểm z„ Khi đĩ, nếu y = ƒ(z) cĩ đạo hàm tại điểm z, thì ƒ (z,} = 0 Chú ý: + Đạo hàm ƒ'(x) cĩ thể bằng 0 tại điểm x, nhưng hàm số ƒ khơng đạt cực trị tại điểm Xạ-
+ Hàm số cĩ thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đĩ hàm số khơrtg cĩ đạo hàm +_ Hàm số chỉ cĩ thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đĩ đạo hàm số bằng 0
hoặc tại đĩ hàm số khơng cĩ đạo hàm
3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực tri
Định lí 2: Giả sử hàm số ƒ đạt cực trị tại điểm , Khi đĩ, n
điểm z, thì ƒ'(x,)=0 Nếu f'(z) > 0 trên khoảng (
(z;:z, + h) thì z„ là một điểm cực đại của ham ey
+ Nếu f'(x xr) <0 es đụ —
àm số ƒ cĩ đạo hàm tại ) và f'(z) < 0 trên khoảng
> 0 trên khoảng (x;;x, +h) thi
x, la mot điểm cực tiểu của hàm số Ồ Quy tắc tìm cực tri Quy tắc 1: +_ Bước 1: Tìm tập xác O07
+ Bước 2: Tìm rh | (i= =1 " mà tại đĩ đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số nhưng khơng cĩ đạo hàm
+_ Bước bằng biến thiên hoặc bảng xét dấu ƒ'(z) Nếu ƒ'(+) đổi dấu khi di
qua z, thỉ hàm số đạt cực trị tại z
Định lí 3: Giả sử y = f(a) cĩ dao ham cap 2 trong khoang (2, — h;#a + h) với h > 0
+ Néu f'(a,)=0, f"(x,) <0 thiham sé f dat cuc dai tai 2,
+ Néu f'(x,)=0, f"(#,)>0 thì hàm số ƒ đạt cực tiểu tại z, Từ định lí trên, ta cĩ một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số
Quy tắc 2:
+ Bước 1: Tìm tập xác định Tìm ƒ'(z)
+ Bước 2: Tìm các nghiệm #, (: = 1;2 ) của phương trình ƒƑ (z) =0
+ Bước 3: Tính f" (x) va tinh f"(z,)
* Néu {z,) <0 thì hàm số ƒ đạt cực đại tại điểm Œ
* Nếu f"(z,) > 0 thì hàm số ƒ đạt cực tiểu tại điểm X,
Trang 16MỘT SỐ DẠNG TỐN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ
I CỰC TRỊ CỦA HÀM ĐA THỨC BẬC BA:
1, Tìm điều kiện để hàm số cĩ cực đại, cực tiểu thỏa mãn hồnh độ cho trước
Bài tốn tổng quat: Cho hàm số = f(a: m) = a# + b#” + cœ + d Tìm tham số m để hàm
số cĩ cực đại, cực tiểu tại ,, thỏa mãn điều kiện /( cho trước Phương pháp: + Bước I1: * Tập xác định: D = KR *_ Đạo hàm: = 3az” + 2bœ + e= Az” + Bz + Ơ +_ Bước 2:
Hàm số cĩ cực trị (hay cĩ hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay cĩ cực đại và cực tiểu) © ' = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt và ¿ đổi du qua 2 nghim
ôâ phương trình ¿ = Ư cĩ hai nghiệm phân biệt
A =3a #0 a#0
câ ơơ Si, sa tÀ
A, = -4AC=4b — 12ac > 0Ư bˆ — 3ac > 0Ư
Trang 17" Hàm số cĩ hai cực tri cùng dấu âm A, >0 , ey: tak ae B <> phuongtrinh = 0 cĩ hai nghiệm âm phân biệt <> Z=ø,+8, = TT <0 S P=z,z,=—>0 Ắ > Tim diéu kién dé hàm số cĩ hai cực trị +,.z, thỏa man: ©, <a<2, @, <a, <a a<2, <2, " Hai cực trị z,,z, thỏa mãn # < #< #, © (z,T— øz)(z, -ứ) <0 âđz, #, a( z, + 2,) " Hai cực trị z,,z, thỏa mãn #, < z, < ø (s,—z)(z,—z)>0 - #ị.#, — Ø ‡ø”>0 c> + +, < 22 — " Hai cực trị @, 2, thỏa man @ < #, <#ữ c° (+, 2)(s, =2) >0 — ON )+a@ >0 @, +2, > 2a +, >2 "_ Phương trình bậc 3 cĩ 3 àế thành cấp số cộng
Vi trí tương đối giữa, › điểm vơi đưởng thang:
Cho 9 điểm A(z, Yd: Y B(z, Vp) và đường thăng A: a+b+e=0 Nếu (az, + by, + c) (ar, + by, + c) <0 thi hai điểm 4, B nam vé hai phía so với đưởng thăng A
Nếu (az, + by, + c) (ax, + by, + c) > 0 thihaidiém A, B nam cung
phía so với đương thẳng A Một số trương hơp đặc biệt:
+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Qy © hàm số cĩ 9 cực trị cùng dấu © phương trình z = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt cùng dấu + Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 2 phía đối với trục Oy <©> hàm số cĩ 9 cực trị trái dấu <© phương trình # = 0 cĩ hai nghiệm trái dấu
+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Ox
© phương trình ¿ = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt và ¿,„.„„ > Ư
Trang 18Đặc biệt: + Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía trên đối với trục Ox Yoo Yor > 0 Yoo + Vor > 9
< phuong trinh y’ = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt và
Các điểm cực trị của dé thi nim cung vé phia dudi déi vdi truc Ox
Yoo Yor > 0
© phương trình ¿ = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt va
Yoo + Yor <9
+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox
© phương trình # = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt và y,,, <0
(áp dụng khi khơng nhầm duoc nghiêm và viết được phương trình đường thẳng đi qua hai
điểm cực trị của đồ thị hàm sé)
Hoặc: Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox
¬ biệt (áp dụng khi
: Yor
đồ thị cắt trục Ox tai 3 diém phan biét
<> phuong trinh hoanh dé giao điểm ƒ (x) =0 co 3anghié nhầm được nghiêm) 3 Phương trình đường thẳng qua các điểm cực t i> 2e 2b - yy" =| —-— ———| hoặc r)=y- s(z)=[Š =) ic |g(x)=y 3y" Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của dé b° — 3ae II CỰC TRỊ CỦA HÀM BẬ NG PHƯƠNG y = a#” + ba” + e (a # 0) IT SO KET QUA CAN NHO + Hàm số cĩ một pre ab > 0 + Hàm số cĩ thi = ab <0 + Hàm số cĩ đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu <> a>0 b>0° a<0 + Hàm số cĩ đúng một cực trị và cực trị là cực đại <> mm a>0O + Hàm số cĩ hai cực tiểu và một cực đại <> ' 0° < a<0 + Hàm số cĩ một cuc tiéu va hai cuc dai © ' 0: > Giả sử hàm số = a#” + bz” + e cĩ 3cực trị: A(0:e), xa Cc |-2-4 2a 4a 2a 4a
tạo thành tam giác 4Œ thỏa mãn dữ kiện: aở < 0
Trang 19MỘT SỐ CƠNG THỨC GIẢI NHANH Dat: BAC =a 74 3 9 a —b A Ẩ - |cot — = — Tong quat: 2 8a A - Za NV 8 B C Dữ kiện Cơng thức thỏa mãn ab < Ư Tam giác 4 8Œ vuơng cân tại 4 Tam giác 4Œ đều bŸ = Sa Tam giác 4 8Œ cĩ diện tích S AABC — “9o =6 Tam giác 4 BŒ cĩ diện tích maz(S.) Tam giác 4BŒcĩ bán kính đường trịn nội tiếp Taso ~ "0 a 4a| 1+„l-— Sa Tam giác ABŒcĩ bán kính đường trị oại tiếp bề — 8a R= S|alb am, +2b=0 16a?n) — bÝ + Sab = 0 b? = 4ac b(Sa + b*) > 0 b” = 6ac bỀ + Sa — 4ae = 0 Tam giác 4Œ cùnế điểm O tạo thành hình thoi b = 2ac Tam giác 4 8Œ cĩ Ĩ là tâm đường trịn nội tiếp bỀ — Sa — 4abe = 0 Tam giác 4 BŒ cĩ Ĩ là tâm đường trịn ngoại tiếp bỀ — Sa T— Sabec = 0 Tam giac ABC’ co canh BC = kAB=kAC bề j‡? — Sa(k° — 4) = 0
Trục hồnh chia tam giác 48Œ thành
hai phần cĩ điện tích bằng nhau b= 4y/2 |ac|
phần trên và phan dưới bằng nhau
Tam giác A BƠ cĩ điểm cực trị cách đều trục hồnh b> = Sac
Đồ thị hàm số (Cc) -= a#! + bz” +e cắt trục Ox tai bề 100
= —ac
4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng 9 Định tham số để hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
Trang 20GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
I Định nghĩa
Cho ham sé y = f (+) xác định trên tập D
Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = ƒ(z) trên D nếu: JJŒ)š 44,Y# € Ð
+ 0 golla gia ri nnatcua hamso y = f(z) ren neu: 3, E D, f(2,)=M
Ki hiéu: M = max f(x)
f(z) =m VreD
Số i]à giá trí nhỏ nhất của hàm số w= trên D nếu:
+ Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số = ƒ(z) trên D nếu nọ ca
Kí hiệu: ?n = minƒ(z)
2 Phương pháp tìm GTLN,GTNN
* Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiế
+ Buéc 1: Tinh f'(x) và tìm các điểm @,,,, ,c, ED mà tại độ ƒ ) 0 hoặc hàm số
khơng cĩ đạo hàm +
+ Bước 3: Lập bảng biến thiên và rồi suy ra giá trị lớn Rhất 8iá trị nhỏ nhất của hàm số
* Tim GTLN, GTNN cua hàm số trên một “2 + Buéc 1:
* Hàm số đã cho 1 = f(a) } xác định và liê ‘ew “ bÌ
* Tìm các điểm ®,2,, ,, trên SG , tai dé f'(z = 0 hoặc f'(z)
khơng xác định
+ Buéc 2: Tinh f(a )./{ x)
“+ gg 2) = mae (al ;) /(z,)./(a)./(ð)} + ru se) =e ea) () 10) 10) 40} * Tim GTLN, GT a hàm số trên một khoảng * Bước 1: Tính đạo hàm ƒ(z) * Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm # € (a;b) của phương trình -
ƒŒ) = 0 và tất cả các điểm a € (a;b) làm cho ƒf(z) khơng xác định
* Bước 3 Tính A = lim ƒ(z), B= lim f(z), f(z,), f(@,)-
* Buéc4 So sánh các giá trị tính được và kết luận ă = max f(z), m= min f(z)
Nếu giá trị lún nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì kết luận khơng cĩ giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)
mm /(z)= /(s 4:
max f(z) = f(b)
| | 1a, P6) 10)
+ Nếu y= éu y f(a) nghich hỉch biến trên | a; | thì 4 ° bien tren la | thì max f(2) ~ f(a) | + Néu y= f(a) déng bién trén [ a:b | thi
Trang 21DUONG TIEM CAN CUA DO THI HAM SO
1 Đường tiệm cận ngang
Cho hàm số = ƒ(z) xác định trên một khoảng vơ hạn (là khoảng dạng (a:+œ).(—œ:ð) hoặc (—œ;+œ}) Đường thẳng ÿ = „ là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = ƒ(z) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn:
lim ƒ(2) = yp, lim f(x) = ,
2 Đường tiệm cận đứng
Đường thẳng z = z¿ được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số 1= ƒ(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
lim ƒ(z) = +, lim f(x) = —%, lim ƒ(x)=~ø, lim ƒ)= + XX x ed) = Fry : +b Lưu ý: Với đồ thị hàm phân thức dang y = = (c # 0; ms z 0) luơn cĩ tiệm cận cx + “ + ngang là ¿ = — và tiệm cận đứng z = —— KHAO SAT SU BIEN THIE VE DO THI HAM SO 1 Sơ đồ khảo sát hàm số Cho hàm số 1/= ƒ (x) C) * Tim tập xác định của hà G3 + Sự biến thiên ` e Chiéu biến eign i Tin v nghiệm của phương trình '= 0 và các điểm tại đĩ ' khơng ¡nh iii Xết dấu y' va suy ra các khoảng biến thiên của hàm số se Tìm cực trị (nếu cơ) e« Tìm các giới vơ cực; các giới hạn tại +, — và tại các điểm mà hàm số khơng xác định
se - Tìm các đường tiệm cận của hàm số (nếu cơ) e Lap bang bién thiên
* D6 thi
e Liét ké các điểm đặc biệt ( điểm cực đại, điểm cực tiểu, tâm đối xứng, )
e« Xác định giao điểm của (C) với Ox, Ĩy (nếu cơ)
e Vé dé thi
Trang 222 KHAO SAT MOT SO HAM DA THUC VA PHAN THUC:
Trang 23Phương trình ˆ = 0 cĩ VÀ vA 1 nghiệm 1 đẤÀ: _, 1 O x 1 _ O x c) HAM SO NHAT BIEN y=" (c40, ad—be #0) cx+d D=ad—be>0 D=ad—be <0 yA y _ R À Zs “ý Dạng 1: Từ đồ thị (C) “y= ra đồ thị (C) y= (|): Tacĩ y= /(Ì) = He <0 và y=f ({2|) la ham X'@ đồ thị (C') nhận Ĩy làm trục đối xứng * Cách vẽ (C')
+ Giữ nguyên phần đồ thị bên phai Oy của đồ thị (C): y = f(z)
+ Bỏ phần đồ thị bên trái Ĩy của ( C ) , lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy Ví dụ: Từ đồ thị (C):w= ƒ(z)= z` - 32 vA NỈ | (C):y=z*—3z l 1 » 1 O ' x ' suy ra dé thi (C’): y= lel -8|z| Biến đổi (C):
+ Bỏ phần đồ thị của (Œ} bên trái
Oy, giữ nguyên (C) bên phải Oy + (c):v= lel — 3a
1 1
+ Lấy đối xứng phần đồ thị được
Trang 24Dang2: Từ đồ thị (C): y = f(a) suy ra đồ thị (Œ'): 2 Tacĩ: y= J/(z) = Ibà Đà a < * Cách vẽ (C') từ (C): + Giữ nguyên phần đồ thị phía trén Ox cia dé thi (C):y = f(z) + Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox cia (C), lay d6i xttng phan dé thi bi bo qua Ox Ví dụ: Từ đồ thi (C): y= f (x)=x° —3x ve suy ra đồ thị ụ =|zŠ - 34 “ |er»=e-» : 1 > Biến đổi (C): + Bỏ phần đồ thị của (Œ} dưới Ox, giữ nguyên (C ) phía trên Ox + Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Oz Chú ý với dạng: y = | /(:lÌ ta lần ere 2.46 thi y = f(|z|) va y = | /(z) Ví dụ: Từ đồ thị Ys 7
(Ons) 2s wins ẹ — 3|zj Biến đổ édusedd = | /đ NT ¬ Z
Trang 25Ví dụ a) Tir dé thi (C): y= f(x) = 2x° - 3° +1 b) Từ đồ thị (C) : = ƒ(e)=—— suy suy ra đồ thị (C): =|2- 1 (22° —#— 1) vol ra dé thi (C) y= .— , khi x € (1,+00) _ = _ f(a) khả z > Ì = |x -1)(22 LÊ khiz<1 | y= _ | #-1 = khi œ e (=1) Đồ thi (C’): Đồ thi (C):
+ Giữ nguyén (C) voi x2 1 + Bỏ phần đồ thị của (C) với ø < 1,
+ Bỏ (C) với z < 1 Lấy đối xứng phân
giữ nguyên ( (C) với x>1 dé thi bi bo qua Ox + Đi đối xứng "iu i bi bo qua (C) YA “¥ I" : ` AY ‘ 1 ‘ ' ! í (C)
Nhân xét: Trong quá trình thực hiện Dh Nhân xét: Đối với hàm phân thức thì nên
suy đồ thị nên lấy đối xứng các dÍê lấy đối xứng các đường tiệm cận để thực biệt của (C): giao điểm với Ox, Ì ~ | hiện phép suy đồ thị một cách tương đối chính xác TIẾP TUYẾN y y= f(x), c6 đồ thị (C Tiếp tuyến của 1 Tiếp tuyến : Cho dé thi (C) tai di
Trong d6: Diém M,(a,;y,) € (C) được gọi là tiếp điểm ( với t, = ƒ (z, ))
5 Yo) € (C) cĩ dạng: |ự = v'(=¿)(e— zạ)}+ Yo|- k= f'(2,) là hệ số gĩc của tiếp tuyến va (C'): v= a(2) 2 Điều kiện tiếp xúc: Cho hai hàm số (Cc) y= f( ) J(2) “9 z) cĩ nghiệm Đồ thị (Œ) và (Œ') tiếp xúc nhau khi chỉ khi hệ phương trình: , f'(2)=9' (z) y TUONG GIAO DO THI mo MY
Cho ham sé y = f(x) c6 dé thi (C_) va = ø(z) cĩ đồ thị (C,) X `:
Phương trình hồnh độ giao điểm của (C,) va (C,) Xx; O ” la f(x) = g(a) (1) Khi đĩ:
Trang 26+ Số giao điểm của (C,) và (Œ,) bằng với số nghiệm
của phương trinh (1)
+ Nghiệm z, của phương trình (1] chính là
hồnh độ z, của giao điểm
+ Để tính tung độ , của giao điểm, ta thay hồnh độ z,„ vào
y= f(z) hoac y= g(z)
+ Điểm Ä⁄(xạ; vụ ) là giao điểm của (Œ,) và (Œ,)
ĐIÊM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG
1 Bài tốn tìm điểm cố định của họ đường cong
Xét họ đường cong (Œ ) cĩ phương trình ¿ = ƒ(z,zn), trong đĩ à hàm đa thức theo biến z với m là tham số sao cho bậc của m khơng quá 9 Tìm những 'điểm cố định thuộc họ
đường cong khi ?n thay đổi?
Phương pháp giải: +
+ Bước 1: Đưa phương trình 1= ƒ(x,?n) về dạng ph nh
theo ẩn m cĩ dạng sau: 4zn+ B =0 hoặc Am” + B >0
+ Bước 3: Cho các hệ số bằng 0, ta thu tý bồy ương trình và giải hệ phương trình: A=0 AO ose 1B =0 Bao hoặc 4B=0 C=0 + Bưĩc 3: Kết luận: - Nếu hệ vơ nghiệm
udng cong (C ) khơng cĩ điểm cố định - Nếu hệ cĩ nghiện thì ghiệm đĩ là điểm cố định của (€, )
2 Bài tốn tim diéfPed tọđ độ nguyên:
Cho đường gong (Ế) cĩ phương trình y = ƒ(z) (hàm phân thức) Hãy tìm những điểm cĩ tọa độ nen gn cong?
Những điểm Šĩ tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hồnh độ và tung độ của điểm đĩ đều là số nguyên
* Phương pháp giải:
+ Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số
+ Bước 2: Lập luận để giải bài tốn
3 Bài tốn tìm điểm cĩ tính chất đối xứng:
Cho đường cong (C) cĩ phương trình = f(r) Tìm những điểm đối xứng nhau qua một điểm, qua đường thẳng
Bài tốn 1: Cho dé thj (C): y = Ax® + Ba’ + Or + D trên đồ thị (C)_ tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua diémI(z,,y,)
* Phương pháp giải:
+ Gọi M(a,Aa’ + Ba? + Ca + DỊ Nb.Ab? + Bb? + Cb + D) là hai điểm trên (Œ} đối
xứng nhau qua điểm ï
Trang 27ke a+b=2z,
SS |Al@? +6) + B(a? +0) +C(a+b)+2D = 2,
Giải hệ phương trình tìm được a,b từ đĩ tìm được toa độ M, N
Trường hợp đặc biệt : Cho đồ thị (C): y= Ax’ + Bx’ +Oxr+D Trén dé thj (C) tim
những cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ
* Phương pháp giải:
+ Goi M(a,Aa’ + Ba + Ca + D).N(b,AbŸ + Bb” + Cb + D) là hai điểm trên (C)
đối xứng nhau qua gốc tọa độ
c|a+b=0
+ Ta cĩ A(aỀ + bŠ) + B(a? + b°)+ CÍa + ð)+ 2D =0 `
+ Giải hệ phương trình tìm được a,b từ đĩ tìm được toa wile M
Bài tốn 3: Cho đồ thị (C): y= Az’ + Ba’ + Cx + D trên to aie im những cặp điểm
đối xứng nhau qua đường thẳng đ: t = Az+B
* Phương pháp giải:
+ Goi M(a; Aa’ + Ba’ +Ca+D), N N (b; Ab? + SS la hai diém trén (C) đối xứng nhau qua đường thăng d Icd (1) A» , : + Ta cĩ: + _——~ (với Ï run®điểm của Àƒ/W và z4 là vectơ chỉ phương MN ua = 0 (2) ng trinh tim dude M, N * Ly thuyét:
+ Cho hai điểm A(z,:y mà = AB= Í(s, —2,) +(¥,-¥, )
Cho diém M (z;: lê udng thang d: Ax+By+C=0, thi khoang cach từ ă đến đ là Ag + C h(M.- 3) = [Aa + Bag) VA? +B? + Cho ham phan thtic: y = are cr +d của đường thẳng đ) Giải h
tiếp tuyến tại M cắt TCĐ, TƠN ỏ A và B thì M là trung điểm của AB
Diện tích tam giác 14B khơng đổi: Sup = = lad bc| c?
+,
% Các bài tốn thường gặp:
Bài tốn 1: Cho hàm số ụ = “S >” (cz 0 ad— be z 0) eĩ đồ thị (C) Hãy tìm trên (C) cx+d hai điểm A và B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số sao cho khoảng cách AB ngắn nhất
* Phương pháp giải:
+ (C ) cĩ tiệm cận ding x = —— do tinh chat cua ham phân thức, đồ thị năm về hai phía
e
của tiệm cận đứng Nên gọi hai số ø./ là hai số dương
Trang 28d d
+ Nếu 4 thuộc nhánh trái: z, <-> & Ho aS; y, = f(z,)
Nếu B thuộc nhánh phải: qd, _¢ d
+ ếu Ư thuộc nhánh phải: #g >—— =2 8p =— + />——; 9 = f(y)
- Sau d6 tinh: AB’ = (x, — z,) + (0; — y,) = l(a + 8)- (a — z)Ï + (0; — y,) - + Áp dung bất đẳng thức Cauchy sẽ tìm ra kết quả
Bài tốn 2: Cho đồ thị hàm số (C) cĩ phương trình y = f(x) Tìm tọa độ điểm \\
thuộc (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất
* Phương pháp giải:
+ Goi M(z;y)va téng khoảng cách từ A{ đến hai trục tọa độ là đ thì đ = lxị + ly
+ Xét các khoảng cách từ Ä/ đến hai trục tọa độ khi ă nằm ở các vị trí đặc biệt:
Trên trục hồnh, trên trục tung
+ Sau đĩ xét tổng quát, những điểm Ä/ cĩ hồnh độ, hoặc độ lớn hơn hồnh độ
hoặc tung độ của ă khi nằm trên hai trục thì loại đi k ĩt đến
+ Những điểm cịn lại ta đưa về tìm giá trị nhỏ nhấ€eủa đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm rồi tìm được giá trị nhỏ nhất của đ
Bài tốn 3: Cho đồ thị (C) cĩ phương trình = m điểm \M trên (C) sao cho
khoảng cách từ M đến Ox bằng k lần khoảng “ey én trucOy
* Phuong phap giai: A
=>
Theo dau bài ta cĩ | = kl S
Bài toan 4: i ham số (C) cĩ phương trình
=ƒ@)== ax+b (c z 0, ad — aot toa dé diém M trén (C) sao cho dé dai MI ngan
nhat (véi I he giao diém
* Phuong phap male uu fg + Tiém can = —-; tiệm cận ngang y = o 18 of —d a +Ẻ cn A + Ta tìm được tọa độ giao điểm {= w hai tiệm cận c ¢ 3
+ Goi M(z,,/:y,,) là điểm cần tìm Khi đĩ: IM? = (sy + ‘) + G — :] = ø(#y) wy; MS MS
+ Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số ø để thu được kết quả
Bài tốn 5: Cho đồ thị hàm số (C) cĩ phương trình y = ƒ(z) và đường thang
Trang 29PHẦN II MŨ VÀ LOGARIT
LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA
1 KHÁI NIỆM LŨY THỪA
+ Lũy thừa với số mũ nguyên Cho ?+ là một số nguyên dương
Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc ø của a là tích của ? thừa số a a” =aa a(n thiia số)
Với a £ 0
=n
a =] a" =
ae
Ta gọi a là cơ số, là mũ số Và chú ý 0° và 0” khơng cĩ `
+ Một số tính chất của lũy thừa
e Giả thuyết rằng mỗi biểu thức được xét đều cĩ 3À a® -a® =a": “=a a**- (a*)’ =a** - (ab)* -Sà:
J0 yOỲ
e Nếu ø >1 thì a“ > aỂ B)
Nếu 0O < a <1 thì a“ > aÊ © ế<
e Với mọi Ư < a < b, ta cĩ: m>0; a” >b”<>m <0
e Chú ý:
+ Các tính chất trê
+ Khi xét lũy thừa + Khi xét lũy thừa với + Phương trình +" Ta cĩ kết quả biệ ố nghiệm của phương trình x”“ =b như sau: e Trường hợp Với mọi số thực ư , phương trình cĩ nghiệm duy nhất e Trường hợp n chẵn:
+ Với b<0, phương trình vơ nghiệm
+ Với b =0, phương trình cĩ một nghiệm z = 0
+ Với b > 0, phương trình cĩ hai nghiệm trái dấu, kí hiệu giá trị dương là ub ,con
giá trị âm là —Đb
ũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0 ng trường hợp số mũ nguyên hoặc khơng nguyên ố mũ khơng nguyên thì cơ số a phải dương
Một số tính chất của căn bậc n
Với a be ϧ:ne Đ”, ta cĩ:
+ XÍa?" = ter —a va,
Trang 30+ tha” = (va) Va >0, nguyên dương, ?m nguyên ‘ dựa = "la Va >0, n,mnguyén dương
+ Nếu P=4 mì Va? = da? Va > 0.m,nnguyén dudng p,q nguyén nm m.nÍ em ; 2 HAM SO LUY THUA + Khái niệm Xét hàm số + = z”, với œ là số thực cho trước Đặc biệt: Va Hàm số ÿ = #Z, với œ€ ï§, được gọi là hàm số lũy thừa Chú ý ~~ ¬ œ Cụ thể e
Tập xác định của hàm số lũy thừa # = z” tùy thuộc vào gi
s® Với œ nguyên dương, tập xác định là R
e Với œ nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là ® Với œ khơng nguyên, tập xác định (0; +0 + Khao sat hàm số lũy thừa
+ Tập xác định của hàm số lũy thừa 4ý = Ề“ luơn chứa khoảng (0;+œ)
khảo sát hàm số = z” trên khoảng này với mọi œ € l§ Trong trường hợp tổn y=2" a<0 1 Tập xác định: (0:+=) 1 Tập xác định: (0 +00) 2 Su bién thién 2 Su bién thién y'=a.a*" > c* 0 ụ'=œz“'<0 Vz>»0
Giới hạn đặc biệt: Giới hạn đặc biệt:
lim z“ =0, lim 2* =+0 limx* =+, lim xế =0
20° rte x30" x40
Tiệm cận: khơng cĩ Tiệm cận:
Trang 32LOGARIT VA HAM SO LOGARIT
1 KHÁI NIỆM -TÍNH CHẤT VÀ QUY TẮT TÍNH LOGARIT
+ Khai niệm Logarit
Cho hai số dương a,b với a#1 Số œ thỏa mãn đẳng thức a“ = b được gọi là logarit cơ số a cua b và được kí hiệu là log ở
a=log b<a*=b
Khơng cĩ logarit của số âm và số 0
Bảng tĩm tắt cơng thức Mũ-loarrit thường gặp:
a° =1,(a # 0) log, 1=0,(0<a#1)
+ (a) =a * log a= 1,(0 < as
| a) = = a | s log a* = xfs 1) -
(aŸ | ¢ log ,a=—0<a#1)
° 7 (a) =z.log„b,(a,b > 0,a# 1) 1 a)" (b)° =(a)™ ee BI ° log ,bf =7 108.0 jin gO] ce e log b-—log c= log | C i, = Aa)? cơ | e log b= log, a 2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT + Bất phương trình mũ cơ bản Bất phương trình mũ cơ bản cĩ dạng a” > b (hoặc 4` >b,8` <b,a`” <b) với a >0,a #1 Ta xét bất phương trình cĩ dạng a” > b
e Nếu b <0, tập nghiệm của bất phương trình là R,vi a >bVreR e Nếu b >0 thì bất phương trình tương duong véi a* > a”
Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là z > log, ở Với Ư < a < 1, nghiệm của bất phương trình là z < log, ở
Trang 33Ta minh hoa bang dé thi sau: e Với a > 1, ta cĩ đồ thị e Với 0< a <1, ta cĩ đồ thị
Trang 34BAI TOAN LAI SUAT NGAN HANG
1 Lãi đơn: là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà khơng tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước khơng được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi khơng đến gửi tiền ra
a) Cơng thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng 4 đồng với lãi đơn r% /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau ø+ kì hạn ( œ e Đ * ) là:
Ss = A+nAr = A(1+nr)
2 Lãi kép: tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi khơng rút ra thì được tính vào vốn dé
tính lãi cho kì hạn sau
a) Cơng thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng 4 đồng với lãi kép r% /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau ø kì hạn ( nœ € Đ * ) là: =] , S nal : [s S,=A(1+r) —> r% = ([ 2 —1 °
a) Cơng thức tính: Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền 4 đồng với lãi kép r%/tháng thì số tiền khách h 7 | dude ca von lan lai sau n thang ( ne€ N * ) ( nhận tiền cuối tháng, khi ngâ tinh lã) là 6 ¬ Sor l l ——> +] mm SLY +r) —> o> A= 2 (1 + n)|(I + r) — 1
4 Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng:
a) Cơng thức tính: Gửi ngân hàng số tiền là 4 đồng với lãi suất rz%/tháng Mỗi tháng vào
ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền là X đồng Tính số tiền cịn lại sau ø tháng là bao nhiêu? s.=A(L+z} _„Atr) r =1 —> X=|A(I+r} -
5 Vay vốn trả gĩp: Vay ngân hàng số tiền là 4 đồng với lãi suất r%/tháng Sau đúng một
tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hồn nợ; hai lần hồn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi hồn nợ số tiền là X đồng và trả hết tiền nợ sau đúng ø tháng
a) Cơng thức tính: Cách tính số tiền cịn lại sau ø tháng giống hồn tồn cơng thức tính gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng nên ta cĩ
Trang 359 =A(I+r} _xt) =1 P Để sau đúng n thang tra hét no thi S =0 nên A(tI+r) _xt?) Ƒ1_g r ve A(l+r) L (L+r) -1
6 Bài tốn tăng lương: Một người được lãnh lương khởi điểm là ơng/tháng Cứ sau n tháng thì lương người đĩ được tăng thêm r%/thang Hoi sau k người đĩ lĩnh được tất cả là bao nhiêu tiền?
7 Bài tốn tăng trưởng dân số: Oo (1+r) -1 r Cơng thức tính: Tổng số tiền nhận được sau kn ine S\ = Ak Cơng thức tính tăng trưởng dân số X m Trong đĩ: r% là tỉ lệ tăng dâ Số tì năm ø đến năm ?n X dân số nă xí xX) dân số năm n va „ x Từ đĩ c.N h tỉ lệ tăng dân số là |r% = m-n v —j Lãi kép liên tục:
Gửi vào ngân hàng 4 đồng với lãi kép r%/năm thì số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi sau n năm (n — N’) là: 9 = AÍI a ry Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì hạn để tính ° ~ wt Ke iv ¬— « ` lãi và lãi suất mỗi kì hạn là —%_ thì số tiền thu được sau năm là: †n Ss ~a{1+ =| ™m
Khi tăng số ki han của mỗi năm lén vé cuc, ttic lA m — + , goi lA hinh thtic 1ai kép tién
Trang 36NGUYEN HAM - TICH PHAN - UNG DUNG TICH PHAN
I NGUYEN HAM
1 Nguyén ham
Định nghĩa: Cho hàm số ƒ(œ) xác định trên (W là khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Ham sé F(x) duge goi la nguyên hàm của hàm số ƒ(z) trên W nếu F'{z)= ƒ() với mọi
ve K.Kihiéu: | f(x)dx = F(x) +C Dinh li:
1) Néu F(a) là một nguyên hàm của ƒ (z) trên #{ thì với mỗi hằng số Œ, hàm số
G(x) = F(x)+C cing là một nguyên hàm của ƒ(z) trên #
2) Néu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(a) trên # thì mọi nguyên hàm của
ƒ(z) trên K đều cĩ dạng Ƒ(z)+ Œ, với Œ là một hằng số
Do đĩ #(z) + Œ,C € R là họ tất cả các nguyên hàm của ƒ(z} `
2 Tính chất của mà hàm
+ (J F(2)de) = F(2) va [?(2)4 = f(x) +0 dx) = f (x) ax
¢ Néu F(x) c6 dao ham thi: [d(F(x)) = F(
© [kf (x) dx = kf f(x)de voi k la hangS¢k
* [[Z()* ø(s)]# = [7(z)++ Jú)
e Cơng thức đổi biến số: Ch w) và w = g(}
Nếu [ ƒ(z)dz = F(z)+ vale r)) 9'(x)dx = | f(u)du = F(u) + Ơ
3 Sự tồn tại của neuen
Trang 378 [coszdz = sinz + Œ 21 [cos(az + b)dz = — sin(az + b)+ C c1 9, [sinzdz =—cosz + Œ 22 [sm(az+ b) dx = —cos(ax + b) + C -_l 10 [tanzdz= —Ìn | eosz | +Œ 23 [tan(az + b)dx = ~‡ Inlcos(az + bl+e a 11 [cotzdz= In | sinz | +Œ 24 [cotg(az +b)dx = 1 Inlsin(az + bl+e a 1 1 1 12 [— ; dx = tana + C 25 |——————-dzy=— In 2 tan(a# + b) +C 1 1 1
Trang 38CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 1 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
a Đổi biến dạng 1:
Nếu : [Zœ) = F(z) + và với u = ø{£)là hàm số cĩ đạo hàm thì : | fwd = F(u)+C
PHUONG PHAP CHUNG
Bước 2: Lấy vi phan hai vé: dx = g'(t) dt
Bước 1: Chọn # = g(t) , trong đĩ g(t) là hàm số mà ta chọn thích hợp
Bước 3: Biến đổi : ƒ(e)dz = ƒ| p(t) |ø'(t) dt = 9(t) at
Trang 39PHƯƠNG PHÁP CHUNG
* Bước 1: Chọn t= g(a) Trong dé g(x) là hàm số mà ta chọn thích hợp
Bước 2: Tính vi phân hai vế : đý = ø'(£) dt ° Bước 3: Biểu thị : ƒ(z)dz = f| ø(t) |ø'(t)t = g()dt Bước 4: Khi đĩ : I = f(x)de = | o(t)dt = G(t) + C * Cac dấu hiệu đổi biến thường gặp : Dấu hiệu Cách chọn Hàm số mẫu số cĩ t là mẫu số Hàm số : (x: Jo(z)) t= (zx) \ ¬S Hàm f(x) = @Simet? c sinz+d cosz+c cose t= tan’ (cos 2 2 Với aa b>0 Hàm /(z) _ 1 1I:#@+a> > (z+ a)(z +9) |e+a+lz+b và z+b<0 KS t= Vx - a+ V-«—b
2 NGUYEN HAM TUNG PHAN C)
Néu u(x) , v(x) lA hai hàm số cĩ đạo i ac trén K:
vis ars — J o(2) u'(e)de
Trang 40Dang II: | J = [?œ) In adr u=Ing 1 Dat —_jdu= de Vay I= Inx.Q(x) - [Q(c) hy dv = P(z)dr v= [ P(x)de = Q(z) + sing DạngIHI 7= jefe de u = c7 đu = c”d+ —COS # —cos x
Dat sing => —cosz| Vậy I= c7 “dx
dụ = dx U=4., sing sine cos £ sin z — CO8 # sin# TÍCH PHÂN ~~: 1 Cơng thức tính tích phân Ox A | |
* Nhận xét: Tích phân của hàm số ƒ từ ấ đến b cỗ thể kí hiệu bởi | ƒ(z)dz hay Ỉ f(t)dt Tich
phân đĩ chỉ phụ thuộc vào f và các 3% mà khơng phụ thuộc vào cách ghi biến số 2 Tính chất của tích phân Gia sti cho hai ham sé f(x) “\ iê tục trên K, a,b,c 1A ba sé bất kỳ thuộc K Khi đĩ ta cĩ : 1 | ƒf(œ)dz = 2 f(a)de = - re 3 [ ƒ(œ)dz = f f(x)dx + i ƒ(œ)dz Bằng phương pháp tương tự ta tính được | ke sau đĩ,tha vàè I 4 Ile + g(œ) |dz = fey + oe 5 io = tị ƒ(œ)dz 6 Nếu fx) > 0Vz e | a; | thì: ƒ ƒ(œ)dr > 0Vz e | a:b |
7 Nếu Vz e| a:b |: ƒ(z) > g(e) > ƒ f(ax)dx = | g(x)dx (Bat dang thtic trong tích phân ) 8.Néu Vre|a:b| Néu M < f(x) < N thì Af(b — a) < [see < N(b-a)