FULL lý THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN 90 TRANG

Trang 1

I CONG THUC TINH NHANH THUONG GAP CUA THE TICH KHOI CHOP|

Tinh chat Hinh vé Vidu

Cho hình chóp đều Chohình chóp đều s.4øC có cạnh đáy bằng

SABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a3 Thể tích khối chóp là: a, cạnh bên bằng b Khí đó: 3 3 A 4 v3 B 4 v2 6 6 3 3 c 4 v2 p 4 v3 3 4 2 # 3(av/3) -a a2 Vs asc = 12 = ô = |B] Cho hình chóp đều SABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mat day bang a 3 Khi do: |V =" tana 12 S.ABC

Cho hình chóp déu SABC có cạnh đáy bằng

a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bang 60° Thể tích khối chóp là: 3 3 A 4 v3 6 B 4 v2 12 3 3 c 4 v3 12 p 4 vô 12 a a3 V, asc = g5-tan 60° = —S= = |c] Cho hình chóp đều SABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mat day bang a Khi đó: |V $ ABC = an ø 3 2# t 24 n M

Cho hình chóp đều s.4BC có cạnh đáy bằng 2z, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60° Thể tích khối chóp là: a3 a3 A 3 B 5 c a3 D ave "42 ` 12 Va ane = Satan oo? = #3 — [A| Cho hình chóp đều S.ABC có bên bằng b và góc giữa cạnh bên với mặt đáy bằng Œ Khi đó:

Chohinh chop déu S.ABC có bên bằng a va

Trang 2

Cho hình chóp đều SABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b Khí đó: 8) x|4b? — 2a? Ÿ xpcp = 6 Cho hình chóp đều S.ABCD co canh đáy bằng a, cạnh bên bằng z5 Thể tích khối chóp là: 3 3 A 4 v2 B 4 v2 3 2 3 3 c 4 42 D.“ 3 4 6 3 + |4(aý5) - 2a? a v2 3/2 Vs asco = 6 = 2 = [B] Cho hình chóp đều SABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bang a Khí đó: V S ABCD = a’ V2 6 tana

Cho hình chóp déu s.ABCD CO canh đáy bang az, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60° Thể tích khối chóp là: A, vê p 23 6 `6 C a’ V6 3 D a’ V2 6 3 3 V, ascp = a v2 tan oo - ` vs => [A] Cho hình chóp đều SABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng a 3 Khí đó: |V, $ ABCD =# tan 6 ø

Chohình chóp đều s.4BCD có cạnh đáy

bằng z2, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 45° Thể tích khối chớp là: A, #3 p 2⁄9 3 `6 C a2 D a’ V2 ' 3 `6 (z2) a2 V; asco = —g— tan 45° = 3 =|cl Cho hình chóp đều SABCD có cạnh bên bằng ö, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng a Khí đó: 4a` tan a V $ ABCD ” 3,|(2+ tan? z} 3

Trang 3

Chohinh chop déu S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc ở đáy của mặt bên bằng z với ae} 2-7 4'2 3 V § ABCD ” 6

Chohình chóp đều S.4BCD có cạnh đáy bằng z, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60° Thểtích khối chóp là: A.#Ẻ B a’ V3 6 6 3 3 c 4 v2 D.“ v2 6 3 a’ Vtan? 60° — 1 aJ2 Vs ascp = 6 “5 = [c] Cho hình chop S.ABC có ba mặt phẳng (SAB), (SAC), (SBC) đôi một vuông góc và có diện tích lần lượt là S, ,S, ,S, Khí đó: (2s S,S Vs ase = —

Cho hình chop sS.ABC có ba mat phang (SAB), (SAC), (SBC) đôi một vuông góc và diện tích của các tam giác SAB,SBC,SCA lần lượt là 15em°?, 20cm? và 12em° Thể tích khối chóp là: A 20/2 B 20 C 25 D 22 v= 252012 = 20/2 =[A] SABC ~ Cho hình chóp s.4BC có SA,SB,SC đôi một vuông góc Biết SA =a,SB =b,SC =c 1 8

Khí đó: Vs anc abc Cho hinh chop s.ABc co SA,SB,SC déi mét vudng goc Biét SA=5, SB=4 Va SC=3 Thể tích khối chóp là: A 20 B 10 C 30 D 60 Khí đó: V, „ = c643 =10= Cho hình chóp S.4BC có SA,SE,SC đôi một vuông góc Biét AB=a,BC=b,CA=c 545C 12 2 V ale +b? —c? (a +c? —b? )(b° +e? =a°

Trang 4

II XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CÂU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP

1 Phương pháp chung

Bước 1: Xác định tâm cia da giac day:

- Tam giác đều: Giao của 3 đường trung tuyén - Tam giác uuông: truns điểm của cạnh huuên

- tam giác thường: siao của 3 đường trung trực (ít gặp)

- Hình ouông, hình chữ nhật: siao điểm 2 đường chéo Bước 2: Kẻ (ả) qua tâm va vuéng géc uới đáu (trục của đáu)

Bước 3: Trong mặt phẳng chứa cạnh bên 0à trục (3) Kẻ trung trực (A) của cạnh bên, (A cắt (4) ở I thì I là tâm

cia mat cau

2 Cac mo hinh thuong gap

M6 hinh 1: Hinh chop déu s.ABc

s

B

+) Ưu tiên tính R = Sĩ

+) Công thức: SN.SA = SI.SH

Mô hình 2: Hình chóp S.ABC co SA1(ABC), tam giác ABC đều

s

B

+) Ưu tiên tính R= AI

+) Công thức: Af = AN°+ AH?

Mô hình 3: Hình chóp S.ABC có SA 1 (45C), tam

Trang 5

M6 hinh 5: Hinh chop đều S.4BCD +) Ưu tiên tính R = Sĩ +) Công thức: SN.SD = SISO

Mô hình 6: Hình chóp S.ABCD CO ASAB cân, (SAB) 1 (.ABCD), ABCD là hình vuông (hình chữ nhật) +) Ưu tiên tính R = Sĩ +) Công thức: IS? = IŒ? +SŒ? II DIỆN TÍCH MẶT CÂU - THÊ TÍCH KHÔI CÂU 1 DIỆN TÍCH HÌNH TRỊN - HÌNH VIÊN PHÂN - HÌNH QUẠT TRÒN +) Diện tích hình tròn bán kính R: S„ = xR? 2

+) Diện tích hình quat trén: s,, = 2 (radial) +) Diện tích hình viên phân: 5 = eR

+) Diện tích mat cau: S = 4cR? TC

+) Diện tích cđhỏm cầu chiều cao h: S_ = 2zRh= z(r? +]

+) Thể tích khối cầu: V, = SAR’

+) Thé tich chom cau: V_ = zh’ [A-š) = mah - 3r’)

Ill MAT CAU NGOẠI TIẾP HÌNH HỘP CHỮ NHẬT - HÌNH LẬP PHƯƠNG

+) Mat cầu (S) ABCD.A'B'C'D' biét AB=a,AD =b,AA'=c Ta cé: ngoai tiép hình hộp chữ nhật

Trang 6

B c +) Mat cầu (S) tâm 1 bán kính R, nội tiếp hình lập phương - Bán kính R=S 2 ABCD.A*B'C!D' cạnh ä

- Tâm 1 là trang điểm của AC" (Hoặc lây trung điểm của

đoạn thẳng nổi tâm của 2 mặt đối điện) 3) Gọi (S,)(S;) là mặt cầu nội tiếp uà ngoại tiếp hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Ta có: 4 sa 4 „Vị RỆ V3 Vi== i= gARis Vp gy R9 es: a 1 Hình nón, khối nón: 1 Re HV, aR*h z "3 +) 8, =ZRI +) 8, =zR(R+]) 2 Hình nón cụt, khối nón cụt: C— tro #8 =al(R+r) +) S, =a(R?+17+1(R+r)) Wrye= 37h(RẺ +r?+Rr) 3 Thiết diện

+) Thiết điện qua trục là tam giác ABC cân tại A va S„„ =Rh

+) Thiết diện qua đình không chứ trục là tam giác cân SCD., thiêt điện cắt đầu theo dây cưng CD ta có

- Góc giữa thiệt điện va diy: (ACD,BCD) = AHO

- Góc giữa trục oà thiết điện: (Ao,(Acp)) =OAH

- Khoảng cách từ tâm đáy đến thiết điện: d{O,(ACD)) =OK

Trang 7

4 Mặt cầu (S) tâm I bán kính R, ngoại tiếp hình nón bán kính r đường

2 2

cao h r=" =r

2h

+) Trong cic khéi nén nội tiếp mặt cầu (S) tâm I, ban kính không đổi R

Khôi nón có thể tích lớn nhât khi h = bry - MR Khi đó V, = SR

5 Mat cau (S) tim I, ban kính r nột tiếp trong mat non (N ) ban kinh R, đường cao h, duong sinh 1 Ta co:

+) Dung tim I:

- Lay Ee AC sao cho OC =EC

- Qua E ké duéng thing vuéng géc vdi AC 0à cắt AO tại I thi I là tâm

mat ciu noi tiép mat nón (N ) hR 1+R +) Ban kinh mit ciu (S): r= V MAT TRU - KHOI TRU 1 CONG THUC CO BAN +) V„ =zR°h, S_ =2mrh, S„ = 2zR(R + h)

+) Thiết điện 0uông sóc uới trục là đường tròn bán kinh R

+) Thiêt điện chứa trục là hình chữ nhật ABCD dién tich § = 2Rh +) Thiết điện sơng sơng tới trục là hình chữ nhật AEFI) có khoảng cách giữa trục 0à thiết điện là d(OO', AEFD) =O[

+) Goi AB,CD Ia hai duéng kinh bat ki trén hai mat day cua hinh tru ta 6: Van = gABCD.O0'.s n (AB,CD )

Trang 8

+) A,B Tần lượt là các điểm trên các đường tròn đáu của hình trụ ta có:

- Góc giữa AB oà trục OO': (AB,OO')= A'AB

- Khoảng cách giữa AB va OO': d( AB,OO')=O'H

+) Mat ciu ngoni tiép khéi trụ có bán kính “y r 0à đường cao h có:

Trang 9

VI TONG HOP CONG THUC

DIEN TICH MAT TRON XOAY - THE TICH KHOI TRON XOAY

Hinh vé Công thức - Tính chất

Hình cầu +) Diện tích mặt cầu: S, = 4zR?

Trang 11

TOM TAT LY THUYET VA GIAI NHANH TOAN 12

PHAN 1 HAM SO

SU DONG BIEN NGHICH BIEN CUA HAM SO

1 Dinh nghia

Vø.,œ, € J{,z, <#, ( K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng)

ƒ(*,)< f(+,) == f(z) đồng biến trên K đồ thị đi lên từ trái sang phải f(*,) > f(+,) = w= ƒ(z)nghịch biến trên K đồ thị đi xuống từ trái sang phải

Chú ý: + Nếu ƒ x) >0, Vre (a: b) = hàm số ƒ(z ) đồng biến trên khoảng (a:b) '(x) <0, Vxe(a;b)=> hàm số f(a ) nghich bién trén khoang (a:b)

'(z)=0 Vz e (a:b) = hàm số f(x) khéng déi trén khoảng (a:Ò)

+ Nếu ƒ(z) đồng biến trên khoảng (a:b) => ƒ (z) >0, Vz e(a:ð) + Nếu ƒ(z) nghịch biến trén khoang (a:b) => ƒ (z) < 0,Vz e (a:ð)

2 Quy tắc và công thức tính đạo hàm

Trang 12

96.) = Sina (lee) = „in;

Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức:

mẽ nã

+ + + x

(=) - ad-be (==) _l 3 ở /[Ƒ kí

cx +d (cx+a) , de’ +crt ƒ (a2? + cxf)

Dao ham cap 2: + Định nghĩa: ƒ'(x)=[ ƒ (x)] + Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động ø = f(t) tai thời điểm ¿ là: +(4)=7() * Một «_ Nếu hàm số ƒ(z) và ø(z) cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số /(e)+ø() cũng đồng biến (nghịch biến) trên K Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu J(z)~ø(s)-

5 Nếu hàm số/(z) và g(e) là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên

K thì hàm số f(x) (2) cing déng bién (nghịch biến) trên K Tính chất này có thể

không đúng khi các hàm số ƒ(z),ø(z) không là các hàm số dương trên K

*_ Chohàm số ư = u(z), xác định với ø e (a.ð) và u(x) € (cd) Ham sé f[u(x)]

cũng xác định với z € (a 8)

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Giả sử hàm số ƒ có đạo hàm trên

+ Nếu ƒ!{2)>0 với mọi z e WÝ và ƒ'(e) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm xeK thi

hàm số ƒ đồng biến trên K

+ Nếu #%) <0 véi moi ce K và J'(z) = 0 chi tai mét sé hitu han diém we K

Trang 13

Chú ý:

* Đối với hàm phân thức hữu tỉ y= — (: 4 -) thì đấu "=" khi xét dấu đạo

ca+d e

hàm ÿ' không xảy ra

Giả sử y = f(x) = a#) + bạ + en + d => Ƒ (+) = Bax" + 2b +e Hàm số đông biến trén R Hàm số nghịch biến trên J3 a>0 a<0 (ico l5 ©/(z)>0YeeR©|[a=0 © f(z) <0.Yzc đ â | a=0 b= b=0 c>0 c<0 'Trường hợp 2 thì hệ số e khác 0 vì khi ø = ò = e= 0thìƒ(z) = đ (Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox thì không đơn điệu)

* Với dạng toán tìm tham số m đổ hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ dài bằng L ta giải như sau:

+Bước1: Tính ự = f'(2;m) = ar + be +e

+Bước9: Hàm số đơn điệu trên (œ¡:z,) © = 0 có 2 nghiệm phân biệt

A>0

° foo Ð *

+ Bước 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng ¡

=Le©(ø,+s,) ~4ma, =È @8?~ÁAP=lÊ (**) |e, - + Bước 4: Giải (*) va giao véi (* *) để suy ra giá trị m cần tìm CỰC TRỊ HÀM SỐ 1 Định nghĩa Giả sử hàm số ƒ xác định trên tập K và z, € #Ý + x, là điểm cực tiểu của hàm số ƒ nếu tôn tại một khoảng (2;b) chứa z, sao cho (a;b)=Kvà ƒ(z) > ƒ(s,).vz <(að)` {s,}-

Khi đó ƒ(x,) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số

+2, là điểm cực đại của hàm số ƒ nếu tổn tại một khoảng (a:b} chứa 2, sao cho

(a:b) cK va ƒ(z) < ƒ(z,).vz (œ5) {z,}-

Khi đó ƒ(z,) được gọi là giá trị cực đại của hàm số ƒ

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị

+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm

Trang 14

Chú ý: A ca „` ax +b d , , * Đối với hàm phân thức hữu tỉ y = 7 c z -§) thì dấu ”=" khi xét dấu đạo cœ + C

hàm z không xảy ra

Giả sử y = f(x) = a+Ề + bạ” + ca + d = ƒƑ (+) = 3ax’ + bate Hàm số đồng biến trên R Hàm số nghịch biến trên a>0 a<0 face face © ƒ(z)>0:Vze R© a=0 © ƒf(z)<0:YzeR© a=0 b=0 b=0 c>0O e<0 Trường hợp 2 thì hệ số e khác 0 vì khi a = b= e= 0thì ƒ(œ) = đ (Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Óx thì không đơn điệu)

* Với dạng toán tìm tham số m dé ham sé bac ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ

dai bang | ta giải như sau: +Bước 1: Tính = f'(z: m) = đã” + b# + e + Bước 93: Hàm số đơn điệu trên (z,:z,) <= =0 có 2 nghiệm phân biệt A>0 > + L +0 ) +Buée 3: Ham sé don điệu trên khoảng có độ dài bằng ¡ = le, — 2,| =ÏÌ<© (z, _ x,) — 42,2, = ©S”-4P =l? (* *) + Bước 4: Giải (*) và giao với (* *) để suy ra giá trị m cần tìm CỰC TRỊ HÀM SỐ 1 Định nghĩa Giả sử hàm số ƒ xác định trên tập K và z¿ € K

+ x, là điểm cực tiểu của hàm số ƒ nếu tổn tại một khoảng (a;b) chứa z, sao cho (a;b)K và f(a) > ƒ(*;).Vz E (a:b) \ {zx}

Khi đó ƒ(x,) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số ƒ

+a, la điểm cực đại của hàm số ƒ nếu tôn tại một khoảng (a:b) chứa z, sao cho

(a;b) =Kvà f(a) < f(x,).Yz = (a:b) \ {x}

Khi đó ƒ(z;) được gọi là giá trị cực đại của ham sé f

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị + Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm

Trang 15

+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số + Nếu x, là điểm cực trị của hàm số thì điểm (z, f(z, )) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số ƒ 2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định Ii 1: Gia su ham sé y = f(z) dat cuc tri tai diém z¿ Khi đó, nếu y = f(a) có đạo hàm tại điểm z, thì ƒ'(z„) =0 Chú ý: + Đạo hàm ƒ'(x) có thể bằng 0 tại điểm x, nhưng hàm số ƒ không đạt cực trị tại điểm Xạ-

+ Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm +_ Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0

hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm

3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lí 2: Giả sử hàm số ƒ đạt cực trị tại điểm #¿ Khi đó, nếu hàm số ƒ có đạo hàm tại điểm a, thì f{%,)= 0 Nếu ƒ (z) > 0 trên khoảng (a, —h; x, ) va f’(x) < 0 trén khoang

(z;:z, + h) thì z„ là một điểm cực đại của hàm số f(z),

+ Néu f'(z) < 0 trén khoang (x, —h; 2, ) va f'(z) > 0 trén khoang (x,;x, +h) thi

#„ là một điểm cực tiểu của hàm số f(a), Quy tắc tìm cực trị

Quy tắc 1:

+_ Bước 1: Tìm tập xác định Tìm ƒƑ (z)

+_ Bước 2: Tìm các điểm +, (¡ = 1;2 ) mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm

+_ Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu ƒ (z) Nếu ƒ'(z) đổi dấu khi đi

qua z, thì hàm số đạt cực trị tại z,

Định lí 3: Giả sử y = f(z) có dao ham cap 2 trong khoang (2, — h;#ạ + h) với h > 0

+ Néu f'(x,)=0, f"(x,) < 0 thì hàm số ƒ đạt cực đại tại z,, + Nếu ƒ(x¿)=0, ƒ'(z¿) > 0 thì hàm số ƒ đạt cực tiểu tại z,

Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 2:

+ Bước 1: Tìm tập xác định Tìm ƒ (z)

+ Bước 2: Tìm các nghiệm #, (: =]: 2 ) của phương trình f'(x) = 0

+_ Bước 3: Tính f" (x) va tinh f"(z,)

* Néu {z,) < 0 thì hàm số ƒ đạt cực đại tại điểm Œ

Trang 16

MOT SO DANG TOAN LIEN QUAN DEN CUC TRI HAM SO

I CUC TRI CUA HAM DA THUC BAC BA:

1, Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước

Bài toán tổng quat: Cho hàm số 1 = f(a: m) = a#Š + ba +cxr+d Tim tham sé m dé ham số có cực đại, cực tiểu tại ®,#, thỏa mãn điều kiện /£ cho trước Phương pháp: +_ Bước I: * Tập xác định: D = KR *_ Đạo hàm: = 3az” + 2bœ + e= Az” + Bz + Ơ +_ Bước 2:

Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại và cực tiểu) © ' = 0 có hai nghiệm phân biệt và ¿ đổi du qua 2 nghim ú

ôâ phương trình ¿ = Ö có hai nghiệm phân biệt

A = 3a #0 a#0

A,= — 4AC = 4b“ — 12ac > 0Ö bˆ — 3ac > 0Ö

+ Bước 8: Gọi z,,z, là hai nghiệm của phương trình = 0 B 2b + + #) = “aA = ng Khi đó: i dé Oe a t,t, =—=— - A 3a Bước 4: Biến đổi điều kiên K vé dang téng S va tich P Tw d6 giai ra tim dude me D,

Bước 5: Kết luận các giá trị m thỏa mãn: ?n = DAD, * Chú ý: Hàm số bậc ba: = a#Ÿ + b#” + ez + d(a # 0)

Ta có: /' = 3a” + 2bz + e

Điều kiện Kết luận

b” — 3ac <0 Ham số không có cực tr]

b° — 3ac > 0 Hàm số có hai điểm cực trị

> Điều kiện để hàm số có cực trị cùng dấu, trái dấu

Ham số có 2 cực tri trái dấu

Trang 17

" Hàm số có hai cực tri cùng dấu âm

A, >0

, ey: ¬ ae B

<> phuongtrinh = 0 có hai nghiệm âm phân biệt <> Z=ø,+8, = TT <0

> Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị +,,z, thỏa mãn: #8 <đ<#, đ, <8, < Ø a<2, <2, « Haicuc tri z,,2, thỏa mãn 2, <a@ <2, 3 <> (2, -a)(z,-a)<0@2,2,-a(2,+2,)+a° <0 " Haicuc tri z,,2, thoa man 2, <2, < a@ 2 (x, -a)(x,-a) >0 x,2,-a(a,+a,)+a >0 2 “ > : : + +, < 22 m+#ø, < 22 "_ Hai cực trị z,,z, thỏa mãn # <#, < #, (z, -ø)(#, — a) >0 = +2, > 2a @, +2, >2a a, @, ~ a(x, +2,)+@ >0 & ? > « Phuong trinh bac 3 có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng + * —b * “ “ * d khi có 1 nghiệm là z = 3” có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân khi có 1 nghiệm là z = -4 a a

2 Tim diéu kién dé dé thi ham số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía, khác phía so với một đường thẳng

Vi trí tương đối giữa 2 điểm vơi đưởng thăng:

Cho 2 điểm A(+,:„) B(z;:„) và đường thăng A: a+b+e=0 Nếu (az, +by, + cÌ(az, + by, + c) <0 thị hai điểm 4, B nam vé hai phía so vơi đưởng thăng A

Nếu (az, +, + c)(az, + by, + c) > 0 thihaidiém A, B nam cung

phia so véi dudng thang A Một số trưởng hơp đặc biệt:

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Qy <> ham sé6 cé 9 cực trị cùng dấu

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 2 phía đối với trục Oy

<©> hàm số có 3 cực trị trái dấu

<© phương trình # = 0 có hai nghiệm trái dấu

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Ox

Trang 18

Dac biét: + Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía trên đối với trục Ox Yoo Yor > 0 Yoo + Vor > 9

<> phuongtrinh = 0 có hai nghiệm phân biệt và

Các điểm cực trị của dé thi nằm cùng về phía dưới đối với trục Ox

Yoo Yor > 0

<> phuongtrinh y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt va

Yoo + Yor <9

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox

(áp dụng khi không nhầm duoc nghiêm và viết được phương trình đường thẳng di qua hai

điểm cực trị của đồ thị hàm sé)

Hoặc: Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox đồ thị cắt trục Óx tại 3 điểm phân biệt

©> phương trinh hồnh đơ giao điểm ƒ (z) =0 co 3 nghiệm phân biệt (áp dụng khi

: Yor

nhẩm được nghiêm)

3 Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị

Trang 19

MOT SO CONG THUC GIAI NHANH Dat: BAC =a vA 3 9 a —b A 2 , cot — = — Tong quat: 2 8a A V2M ` B C Dữ kiện Công thức thỏa mãn ab < Ö

Tam giác 4 8Œ vuông cân tại 4 bŠ = Sa

Tam giác 4Œ đều b® = 24a

Tam giac ABC'cé dién tich Š = S, 32a°(S,) +6 =0

Tam giác 4 BŒ có diện tích maz(S.) b 5S =/Í- ° 32a° Tam giac ABC'co ban kinh duong tron ndi tiếp "aso ~ "0 “mm fe -— Tam giác ABŒcó bán kính đường tròn ngoại tiếp — 8a R„„„=R AABC R= sab Tam giac ABC cé độ dài cạnh BƠ = m, am; + 2b = 0

Tam giác 4 BC có độ dài 4B = AC = n, 16a°n; — bÝ + Sab = 0 Tam giác 4 BC có cực trị Ö,C € Ox b? = dac

Tam giac ABC'cé 3 gécnhon b(Sa + b°) > 0

Tam giac ABC'cé trong tam O b? =6ac

Tam giac ABC'co trực tâm O bỀ + Sa — 4ae = 0 Tam giác 4 8Œ cùng điểm Ó tạo thành hình thoi b` = 2ac Tam giác 4 8Œ có Ó là tâm đường tròn nội tiếp bỀ — Sa — 4abe = 0 Tam giác 4 BŒ có Ó là tâm đường tròn ngoại tiếp bỀ — Sa — Sabc = 0

Tam giac ABC’ co canh BC = kAB=kAC bŸ j;? — Sa(k? — 4) =0

Truc hoanh chia tam giac ABC thanh >_, ff

hai phần có diện tích bằng nhau b` = 42 ac

Tam giac ABC cé điểm cực trị cách đều trục hoành b> = Sac

Đồ thị hàm số (Cc) -= a#! + bz” +e cắt trục Ox tai bề 100 = —ac

4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng 9 Định tham số để hình phẳng giới hạn bởi dé thị

(C) -U= a#” + bz”+c và trục hoành có diện tích b> = ac

phần trên va phần dưới bằng nhau |

Phương trình đường tròn ngoại tiếp A4BC: #” +” — 2 _Â cọ y+e 2A =0

b 4a b 4a

Trang 20

GIA TRI LON NHAT - GIA TRI NHO NHAT

I Dinh nghia

Cho ham sé y = f(a) xác định trên tập D

Số MM goi là giá trí lớn nhất của hàm ơn số = trên D nế ƒ(z) < M,Vzc D :

+ 0 golla gia ri nnatcua hamso y f(a) ren neu 3z, = D, f(2,) = M Ki hiéu: M = max f(x) f(z) =m VreD + Bố m gọi là giá trị nho nhat cia ham sé y = f(a) trén D néu: _ dz, € D,ƒ()=m Ki hiéu: m = min f(z)

2 Phuong phap tim GTLN,GTNN

* Tim GTLN, GTNN cua hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp

+_ Bước 1: Tính f'(x) va tim các điểm m,#,, ,# € mà tại đó f'(z) = 0 hoặc hàm số không có đạo hàm

+ Bước 3: Lập bảng biến thiên và rồi suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

* Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn + Bước 1:

* Ham sé da cho y = f(a) xac dinh va lién tuc trén doan | a:b |

* Tìm các điểm ,,, ,, trên khoảng (a:b), tại đó f'(z) = 0 hoặc f{z) không xác định + Bước2: Tính ƒ(a).ƒ(z,).ƒ(z,) f(=,)./(b} + Bước 3: Khi đó: + mee /(s) = me (/(z,).f{s,) f(z,)./(e).f(Đ} * Tim GTLN, GTNN cua hàm số trên một khoảng * Bước 1: Tính đạo hàm ƒ(z)

* Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm # € (a;b) của phương trình ƒ(z) = 0 và tất cả các điểm œ €(a;b) làm cho ƒ(z) không xác định

* Bước 3 Tính A = lim ƒ(z), B= lim f(z), f(z), f(a,)

* Budc4 So sánh các giá trị tính được và kết luận Äƒ = max f(z), m= min f(z) Nếu gia tri lén nhat (nho nhat) 1a A hoac B thì kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)

pụ/6)=/44) max f(z) = f(b)

min f(x) = f (0) max f(z) = f (a)

+ Néu y= f(a) đồng biến trên [a:b | thi

Trang 21

DUONG TIEM CAN CUA DO THI HAM SO

1 Đường tiệm cận ngang

Cho hàm số = ƒ(#z) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng

(a:+e).(—œ:ð) hoặc (—œ;+œ)) Đường thẳng y = ÿ, là đường tiệm cận ngang (hay tiệm

cận ngang) của đồ thị hàm số = ƒ(z) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn:

lim f(x) = yp, lim f(x) = ,

2 Đường tiệm cận đứng

Đường thẳng z = x, duge goi la đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số 1= ƒ(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

lim ƒ(z) = +, lim f(x) = —, lim f(x)=—, lim f(x)=+ * - XX” XX #—>%g try ax+b Lưu ý: Với đồ thị hàm phân thức dang y = (cz 0: ad— be # 0) luôn có tiệm cận c7 + a * A Aa + ngang là = — và tiệm cận đứng # = —— C C KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1 Sơ đồ khảo sát hàm số Cho ham sé y= f (x) * Tim tập xác định của hàm số * Sự biến thiên e Chiều biến thiên 1L Tính ' ii Tìm các nghiệm của phương trình ÿ'= 0 và các điểm tại đó ' không xác định iii Xét dấu y' vA suy ra các khoảng biến thiên của hàm số se Tìm cực trị (nếu cô) e Tìm các giới vô cực: các giới hạn tại +, — va tại các điểm mà hàm số không xác định

se Tìm các đường tiệm cận của hàm số (nếu có) e Lap bang bién thiên

* D6 thi

e« Xác định giao điểm của (C) với Ox, Óy (nếu cô)

Trang 22

Thay Hoang Hai-0966405831

Trang 23

Phương trình ˆ = 0 có YR vA [\\: P| Th 1 nghiệm “ý “¥ ax+b cx+d c) HAM SO NHAT BIEN y= (c #0, ad—be #0) D=ad—bce>0 D=ad—be <0 _ 1 1 Ty _ => O O 1 | “Ð MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ Dạng 1: Từ đồ thị (C) “y= f(z) suy ra đồ thị (đ) y= (|): ; - —|Jƒ(z) kh: z>0

Tacó y= /(Ì) = Wey thi <0

vay=f (|2|) la ham chan nén dé thi (C') nhận Óy làm trục đối xứng

* Cách vẽ (Œ') từ (C):

+ Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị (C): y = f(z)

+ Bỏ phần đồ thị bên trái Óy của (C), lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy Ví dụ: Từ đồ thị (C) : = ƒ(+) = z` ~ 3z o* (C): y=2°-3e 1 suy ra đồ thị (c’) y= lel — 3|z| Biến đổi (Cc)

+ Bỏ phan dé thi cla (C’) bén trai

Trang 24

Dang 2: Tw d6 thi (C) “y= f(a) suy ra đồ thị (Œ ):z Ta có: y=|f 10 " To * Cách vẽ (C') từ (C): + Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị (C):‡/ = f(a) + Bỏ phần đồ thị phía dưới ÓOx của (C), lấy đối xứng phan dé thi bi bo qua Ox Ví dụ: Từ đồ thị (C):= ƒ(x)=x`—3x un NI |el»=e-s i ” Biến đổi (C): | TK f+ suy ra d6 thi y = Je’ — 3z| + Bỏ phần đồ thị của (C} dưới Ox, giữ nguyên (C ) phía trên Ox + Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Oz —)] ỶỲ Chú ý với dạng: y = | /(|*|Ì ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị y = ƒ(|z|) và y = | f()| Ví dụ: Từ đồ thị ở (C):w= ƒ(+)= z`— 3z suy ra đồ thị (c'):v- of — 3h 2

ự = |s[' —3|z[_ Biến đổi (C) để đượcđ = | AKT 7

Trang 25

Vidu a) Ti dé thi (C): y = f(x) = 22° - 32° +1 b) Từ đồ thị (C) : = ƒ(z) x 1 Đồ thi (C):

+ Giữ nguyên (C) với x> 1

+ Bỏ (€) với z < 1 Lấy đối xứng phần dé thi bi bo qua Ox (C) YA dé thị (C"): y = |e =1|(2z” =z—1 Suy ra do i ( ):w le (22 : ) ra đồ thị (C'):=—— Pi yf) =), or y= co — khi œ e (1:+s) e1 | -#— wze(-sl) -= Đồ thị (C): giữ nguyên (Cc) với x > ] Ox + Bỏ phần đồ thị cha (C’) với z <1, + Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua YY À “y

Nhân xét: Đối với hàm phân thức thì nên

lấy đối xứng các đường tiệm cận để thực

Nhân xét: Trong quá trình thực hiện phép

hiện phép suy đồ thị một cách tương đối

suy đồ thị nên lấy đối xứng các điểm đặc

biệt của (C): giao điểm véi Ox, Oy, CD, CT chính xác TIÊP TUYẾN 1 Tiếp tuyến : Cho hàm số y= ƒ(x), có đồ thị (C@ Tiếp tuyến của y= y' (x) (2 —#) + Y|- đồ thi (C) tai diém M, (z;:1,) € (C) có dạng:

Trong đó: Điểm M, (x,:y,) E(C) dude goi la tiép diém ( với Yo = f(2,)) k= f'(a,) là hệ số góc của tiếp tuyến

2 Điều kiện tiếp xúc: Cho hai hàm số (Cc) y= f(a) va (C ) y= ø(z) ) ¬ tet’ ew eae _ {f(z)=9(27) 2 D6 thi (C ) và (Œ') tiếp xúc nhau khi chỉ khi hệ phương trình: / / có nghiệm ƒ'{z)=ø (e) ˆ ý TUONG GIAO DO THI << Yo Cho ham sé y = f(x) c6 dé thi (C,) va y = ø(z) có đồ thị (C,)

Phương trình hoành độ giao điểm của (C,) va (C,)

la f(x) = g(x) (1) Khi do:

Trang 26

+ Số giao điểm của (C,) và (Œ,) bằng với số nghiệm

của phương trinh (1)

+ Nghiệm z, của phương trình (1) chính là

hoành độ z, của giao điểm

+ Để tính tung độ Y, của giao điểm, ta thay hoành độ #, Vào

y= f(a) hoặc = g(a)

+ Điểm Ä⁄(xạ; vụ ) là giao điểm của (Œ,) và (Œ,)

DIEM DAC BIET CUA HO DUONG CONG

1 Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong

Xét họ đường cong (Œ _) có phương trình # = ƒ(z,zn), trong đó ƒ là hàm đa thức theo biến z với m là tham số sao cho bậc của m không quá 9 Tìm những điểm cố định thuộc họ

đường cong khi ?n thay đổi?

Phương pháp giải:

+ Bước 1: Đưa phương trình y = f(x,m) vé dạng phương trình

theo ẩn m có đạng sau: 4mm+ =0 hoặc Am” + Bm + Ở =0

+ Bước 2: Cho các hệ số bằng Ö, ta thu được hệ phương trình và giải hệ phương trình: A=0 A=0 hoặc 4 B =0 B=0 C=0 + Bưóc 3: Kết luận: - Nếu hệ vô nghiệm thì họ đường cong (Œ_) không có điểm cố định

- Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của (C_) 2 Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên:

Cho đường cong (C) có phương trình y = ƒ(z) (hàm phân thức) Hãy tìm những điểm có tọa độ nguyên của đường cong?

Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ của điểm đó đều là số nguyên

* Phương pháp giải:

+ Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số + Bước 2: Lập luận để giải bài toán

3 Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng:

Cho đường cong (C) có phương trình¿/ = ƒ(z) Tìm những điểm đối xứng nhau qua một

điểm, qua đường thẳng

Bài toán 1: Cho dé thj (C): y = Aa® + Ba’ + Cr+ Dtrén dé thj (C) tim nhiing cặp điểm

đối xứng nhau qua điểm I(z,,y,)- * Phuong phap giai:

+ Goi M(a;Aa’ + Ba? + Ca+ DỊ N(b; Ab? + Bb? +Cb+ D) là hai điểm trên (C} đối

Trang 27

a+b= 2z,

+ Ta có ào va ¬

A(aŠ + bỀ)+ BỈa +ð?] + CÍa +b)+ 2D = 2y, Giải hệ phương trình tìm được a,b từ đó tìm được toạ độ M, N

Trường hợp đặc biệt : Cho đô thi (C): y= Ax’ + Ba” + Cz + D Trên đồ thị (C) tim

những cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ

+ Goi M(a, Aa’ + Ba + Ca + D),.N(b, Ab® + Bb? +Cb+ D) la hai diém trén (C)

đối xứng nhau qua gốc tọa độ

Ta có a+b=0

ta A(a’ + bŠ)+ B(a” + b°] + Ía + ð)+ 2D =0 `

+ Giải hệ phương trình tìm được a b từ dé tim dudc toa dé M,N

Bài toán 3: Cho đồ thị (C): y= Ax’ + Ba’ + Cx + D trên đồ thị (C) tìm những cặp điểm

đối xứng nhau qua đường thẳng đ: t = Az+B * Phương pháp giải:

+ Gọi M(a;Aa`+Ba?+Ca+D), N(b; Ab` +Bb°+Cb+D) là hai điểm trên (C) đối

xứng nhau qua đường thẳng đ

Ted 1 ,

+ Ta có: <——- 0) (với ïÏ là trung điểm của ÄƒÑW và z4 là vectơ chỉ phương

MN ua = 0 (2)

của đường thẳng đ) Giải hệ phương trình tìm được M, N

4 Bài toán tìm điểm đặc biệt, khoảng cách * Lý thuyết: + Cho hai điểm A(z,.1,): B(z,:,) = AB = Ue, -2,) +(¥,—¥, ) Cho diém M (z;:1,) và đường thẳng d: Ax+By+C=0, thi khoảng cách từ Äƒ đến đ là |Az, + Bự, + C| Va+B - + Cho hàm phân thức: + = h(M:4) a# + b F tiếp tuyến tại M cắt TCĐ, TƠN ỏ A và B thì M là trung cr +

điểm của AB

Diện tích tam giác 4B không đổi: Suz = lad sẻ bel c?

+,

% Các bài toán thường gặp:

Bài toán 1: Cho hàm số ụ = “S >” (cz 0 ad— be z 0) eó đồ thị (C) Hãy tìm trên (C) c# + d

Trang 28

d d d

+ Nếu 4 thuộc nhánh trái: 1 << 8,=——~@<——; U„ = ƒạ):

Nếu thuôe nhánh phải: d _ d d |

+ ếu Ö thuộc nhánh phải: #g >—— =2 8p =— + />——; 9 = f(y)

+ Sau d6 tinh: AB’ = (x, - z,) +(¥, — 1) = l(a + 8)- (a - a) | + (0; — TY + Áp dụng bất đẳng thức Cauchy sẽ tìm ra kết quả

Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số (CÌ có phương trình y = f(x) Tìm tọa độ điểm \\

thuộc (C) để tổng khoảng cách từ ML đến hai trục tọa độ nhỏ nhất * Phương pháp giải:

+ Gọi Aƒ(z;y} và tổng khoảng cách từ A{ đến bai trục tọa độ là đ thi d= le + ly

+ Xét các khoảng cách từ Ä/ đến hai trục tọa độ khi Äƒ nằm ở các vị trí đặc biệt:

Trên trục hoành, trên trục tung

+ Sau đó xét tổng quát, những điểm Ä/ có hoành độ, hoặc tung độ lớn hơn hoành độ hoặc tung độ của Äƒ khi nằm trên hai trục thì loại đi không xét đến

+ Những điểm còn lại ta đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm rồi tìm được giá trị nhỏ nhất của đ

Bài toán 3: Cho đồ thị (C) có phương trình = f(x) Tim điểm M trén (C) sao cho khoảng cách từ M đến Ox bằng k lần khoang cach tu M dén trucOy

Theo đầu bài ta có | = k|z| S i = Ke S ft = Ke

U= —È#z f(a) = —k#

Bi toán 4: Cho đồ thị hàm số (C) có phương - trình

y=f(x)= a (c z 0, ad — bc # 0) Tìm tọa độ điểm AT trên (C) sao cho dé dai MI ngan cx+ nhất (với I là giao điểm hai tiệm cận) * Phương pháp giải: tA A + —d ^ A + Tiệm cận đứng # = —; tiệm cận ngang y = c o |]8 2 — a + can A + Ta tìm được tọa độ giao điểm (=! ® i hai tiém can c Cc 3

+ Goi M(a,-y,,) la diém can tim Khi d6: [M* = (+, + ‘) + G — :] = 9(2,, ) we; MÔ MG + Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số ø để thu được kết quả

Bài toán ã: Cho dé thị hàm số (C) có phương trình y= f(x) va dudng thang d: Ax+ By+C =0 Tim diém T trên (C) sao cho khoảng cách từ I đến d là ngắn nhất * Phương pháp giải:

+ Gọi Ƒ thuộc (Œ)= I{z,:9,): 1ạ = ƒŒ,)

+ oang cach tu en a Ar) = a) = Ieee

Trang 29

PHAN IL MU VA LOGARIT

LUY THUA VA HAM SO LUY THUA 1 KHAI NIEM LUY THUA

+ Lũy thừa với số mũ nguyên Cho ?+ là một số nguyên đương

Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc ø của a là tích của ? thừa số a

n

a” =aa a(n thita sé) SS Với a # 0

Ta gọi a là cơ số, là mũ số Và chú ý 0° và 0” không có nghĩa

+ Một số tính chất của lũy thừa

e Giả thuyết rang mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa:

ata? =a S “=a a**- (a*)P =a** - (ab)* =

a) FG) AG)

e Nếu a >1 thi a® > a* a> Pi

se Với mọi Ö < a <b, ta có: ø” <b”<>m >0; a” >b” <>rmn <0

e Chú ý:

+ Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên

+ Khi xét lũy thừa với số mũ 0Ú và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0 + Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số z phải dương + Phương trình +” = b Ta có kết quả biện luận số nghiệm của phương trình x' =b như sau: e Trường hợp n lẻ: Với mọi số thực b, phương trình có nghiệm duy nhất e Trường hợp n chăn:

+ Với b< 0, phương trình vô nghiệm

+ Với b =0, phương trình có một nghiệm z = ƠƯ

+ Với b > 0, phương trình có hai nghiệm trái dấu, kí hiệu giá trị dương là vb ,con giá trị âm là —Ñb Một số tính chất của căn bậc n Véi abe RneN ,tacé: 2 ' 3 é 2 + VI — + 2neyf n+l — a,Va

2 tab = xÍla| lel vad >0; 2 2 ° Yad = Ya Ub Vad - 2 2 2

waft Mel yas 0920: `"

b raf b2

Trang 30

+ Na” = (x/a) | Va >0, nguyén dudng, m nguyén

dựa = "la Va >0, n,mnguyén dương

+ Nếu P= thi Va? = da? Wa > 0.m,nnguyén dudng p,g nguyén nm mal” ; 2 HAM SO LUY THUA + Khái niệm Xét hàm số + = z”, với œ là số thực cho trước Đặc biệt: Va Ham sé y = #z”, với œ€ ïS, được gọi là hàm số lũy thừa Chú ý

Tập xác định của hàm số lũy thừa y = #z” tùy thuộc vào giá trị của œ Cụ thể

s® Với œ nguyên dương, tập xác định là R

e Với œ nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là 'Đ\ {O} đ Vi khụng nguyên, tập xác định (0; +0)

+ Khảo sát hàm số lũy thừa

“+ Tap xác định của hàm số lũy thừa # = z7 luôn chứa khoảng ( 0; +00)

với mọi œ € R Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số y = 2* trén khoang nay

U=#”.œ>0 y=2" a<0

1 Tap xac dinh: (0:+=) 1 Tập xác định: (0 +00)

2 Su bién thién 2 Su bién thién

y'=aa*'>0 Vz>0 yl=aa*'<0 Vz»0

Giới hạn đặc biệt: Giới hạn đặc biệt:

lim z“ =0, lim # = +: limx* =+, lim xế =0

230° r+ x0" X—>+00

Tiệm cận: không có Tiệm cận:

Trang 32

LOGARIT VA HAM SO LOGARIT

1 KHÁI NIỆM -TÍNH CHẤT VÀ QUY TẮT TÍNH LOGARIT

+ Khai niệm Logarit

Cho hai số dương a,b với a#1 Số œ thỏa mãn đẳng thức a“ = b được gọi là logarit cơ số a cua b và được kí hiệu là log ở

œ=log b<Ð> q” =b

Không có logarit của số âm và số 0

Bảng tóm tắt công thức Mũ-loarrit thường gặp:

a° =1,(a # 0) ° log 1= 0,(0 < ø#1)

e (a) =a (2) e log a=1{0<a¥#l

(a) _ 1 Â log ađ =a(0<a#l)

a log ,a=—,(0<a#l)

(o)" yee z

°® ra (a) ( ) ¢ log b* =a.log b,(a,b>0,a#1 a a )

+ (a) (0) =(a)* * Toe b= ee

+ (a) (b) = (ad) + log, b* =< log, b

ee 2) (20) b ° log, b + log, c = log, (bc)

ơ ® log b—log e= log | « (J2 =(l2Ÿ (ø<N) —] ` : (a“}Ý _ (a)” 0 lop ở — log, a ° (a) =b=> a=log b

2 BAT PHUONG TRINH MU VA LOGARIT

+ Bat phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng a” > b (hoặc 4` >b,8` <b,a`” <b) với a >0,a #1 Ta xét bất phương trình có dạng a” > b

e Nếu b <0, tập nghiệm của bất phương trình là R,vi a >bVreR e Nếu ö > 0 thì bất phương trình tương đương với a* > a”

Trang 33

‘Ta minh hoa bang dé thi sau: « Với ø > 1, ta có đồ thị « Với 0< a <1, ta có đồ thị log,b yaa (a>1) pop log,b =b y =a" (0<a<1) x {oo

+ Bat phuong trinh logarit co ban

Trang 34

BAI TOAN LAI SUAT NGAN HANG

1 Lãi đơn: là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi không đến gửi tiền ra

a) Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng 4 đồng với lãi đơn r% /kì hạn thì số

tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau ø+ kì hạn ( œ e Ñ * ) là:

Ss = A+nAr = A(1+nr)

2 Lãi kép: tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn dé

tính lãi cho kì hạn sau

a) Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng 4 đồng với lãi kép r% /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau øœ kì hạn ( ø € Ñ * ) là: =] ' 5, n= Brier) A : E S$, = A(1+r) —> r%= f= —1 9 A=—” (1 + r)

3 Tiền gửi hàng tháng: Mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền vào 1 thời gian cố định a) Công thức tính: Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền 4 đồng với lãi

kép r%/tháng thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau ø tháng( n € N* )( nhận tiền cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là 6 Sor l 2 +1 S = “\(0 +r) - lí +r) —> r Sor (1 + n)|(I + r) — 1 A= 4 Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng:

a) Công thức tính: Gửi ngân hàng số tiền là 4 đồng với lãi suất z% /tháng Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền là X đồng Tính số tiền còn lại sau ø tháng là bao nhiêu? saver) xt =) > ra0*2J r =4

5 Vay vốn trả góp: Vay ngân hàng số tiền là 4 đồng với lãi suất r%/tháng Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi hoàn nợ số tiền là X đồng và trả hết tiền nợ sau đúng ø tháng

Trang 35

Ss = A(1+ r) y(t) =I r Để sau đúng n thang tra hết nợ thì S =0 nên A(tI+r) Gtr) =1 ạ r ve A(1 + r) r (1 ~ r) =1

6 Bài toán tăng lương: Một người được lãnh lương khởi điểm là 4 đồng/tháng Cứ sau n

tháng thì lương người đó được tăng thêm r%/tháng Hỏi sau Èkn tháng người đó lĩnh được tất cả là bao nhiêu tiền? (1+r) -1 r Công thức tính: Tổng số tiền nhận được sau kn thang 1a S| = Ak

7 Bài toán tăng trưởng dân số: Công thức tính tăng trưởng dân số X =X (1+ r) - (m,n €Z”,m> n) Trong đó: r% là tỉ lệ tăng dân số từ năm øœ đến năm m X_ dan sé nam m X dân số năm n „ X Từ đó ta có công thức tính tỉ lệ tăng dân sé la |r% = + v ¬ Lãi kép liên tục:

Gửi vào ngân hàng 4 đồng với lãi kép r%/năm thì số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi sau

n năm (ne€Ñ'} là: 8, = 4(1+r) Giả sử ta chia mỗi năm thành zn kì hạn để tính * x j=: a’ ze ` ` r ` wate x ` lãi và lãi suất mỗi kì hạn là —%_ thì số tiền thu được sau ? năm là: Hội Ss = afi + ) 7m

Khi tăng số kì hạn của mỗi năm lên vô cực, tức là zm —> +, gọi là hình thức lãi kép tiên

tục thì người ta chứng minh được số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi là:

Trang 36

PHAN III

NGUYEN HAM - TiCH PHAN - UNG DUNG TiCH PHAN

I NGUYEN HAM

1 Nguyên hàm

Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên W (W là khoảng, đoạn hay nửa khoảng)

Hàm số Ƒ(z) được gọi là nguyên hàm của hàm số ƒ(z) trên nếu #'(z)= ƒ(z) với mọi œc Kế K(hiệu: ƒ(«)dz= F(e)+C

Định lí:

1) Nếu #(z) là một nguyên hàm cia f(x) trén #Z thì với mỗi hằng số Ở, hàm số

G(z) = F(z)+ Ơ cũng là một nguyên hàm của f(z) trén K

2) Nếu Ƒ(z) là một nguyên hàm của hàm số ƒ(z) trên /“ thì mọi nguyên hàm của

f(z) trên đều có dạng Ƒ(z) + Ơ, với Ở là một hằng số

Do đó #(z) + Œ,C ÌR là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K 2 Tính chất của "" hàm *([Z(s)£e} =/(s) và [7'(e)a= ae +: d([7(e)dx) =/{e) « Nếu F() có đạo hàm thì: ƒ4( d( F(z) = F(x)+C Jef (2) de = kl f(x) dx với È là eee 0 * [[7(z)*+ ø(z)]#= [7(z)% + [ø(z)œ

« Cơng thức đổ iến số: Cho = ƒ(u) và w = ø(z)

Nếu [/(2)de = F(ø)+ Ơ thì [ ƒ(g(2))g'(e)dz = [ ƒ(u)du = F(u)+ Ơ

3 Sự tồn tại của nguyên hàm

Trang 38

CAC PHUONG PHAP TINH NGUYEN HAM

1 PHUONG PHAP DOI BIEN

a Déi bién dang 1:

Nếu : [Zœ) = F(z) + Œ và với u = ø(£)là hàm số có đạo hàm thì : | fwd = F(u)+C PHUONG PHAP CHUNG

e Bước 2: Lấy vi phân hai vế: đz = ø'(t) 4i

« Bước4: Khi đó tính: [ ƒ(z)dz = [ g(#)dt = G() +

ôâ Bc 8: Biến đổi: f(x)dx = f| p(t) |p'(t) dt = 9(t) at

e Buéc 1: Chon z= g(t) , trong đó g(t) là hàm số mà ta chọn thích hợp * Các dấu hiệu đổi biến thường gặp : Dấu hiệu Cách chọn Dat r= lal sine :VỚI Ứ€ -2.2| hoặc # = lal cost : VỚI 2 2 te| Or] Đặt z = PL sa te -2.2 \ {0} hoặc # = fe sint 2 2 cost VỚI € [0 Z| \ ‘3 2 2 Na —Z 2 2 Var — q > Va? +2” Dat c= lal tant ; voi te [-2.4) nose #= la|cot£ với te (0: 2) 2 2 hy hoặc ae Dat x = acos2t q — # a+#

\(* ~ a)(b — x) Dat c=a+(b—a)sin’t

Trang 39

PHUONG PHAP CHUNG * Bước 1: Chọn t= g(x) Trong dé g(x) là hàm số mà ta chọn thích hợp ° Bước 9: Tính vi phan hai vé: dt = g(t) dt ° Bước 3: Biểu thị : ƒ(z)dz = /| ø(t)|ø'(t)œ = g(t)dt Bước 4: Khi đó : I = f(x)de = | o(t)dt = G(t) + C * Các dấu hiệu đổi biến thường gặp : Dấu hiệu Cách chọn Hàm số mẫu số có t là mẫu số Hàm số : (x: Jo(z)) t= g(x) ` a Sinz+b.cosz Hàm f(#)=—————— £ = tan“: cos— #0 c sinz+d cosz+c 2 2 1 Với: z+a >0 và z+b>0 (z+a)(z+ð) Đặt: £=v£+a+le+b Với + ø <0 và z+b<0 Hàm f(a) = Đặt : t=Alz—a+^|-z—b

2 NGUYEN HAM TUNG PHAN

Trang 40

Dang II: | J = [?œ) ln zđz u=Ine 1 du = —dz Dat > x dv = P(x)dx v= [P(wz = Q(z) Vay I= Inx.Q(x) - [Q(2) ; dx sin zx Dang III Ife la cos & u=c đu = c”d+ — COS # — CO8 #

Đặt sinz => —cosz| Vậy I= c?4 - | “dx

dv = dx U=4 sing sin x COS # sin x — cos sin x ` # Băng phương pháp tương tự ta tính được | ke sau đó thay vào I TÍCH PHẦN 1 Công thức tính tích phân [7(œ)dz = F(z) = F(b)- F(a) b b

* Nhận xét: Tích phân của hàm số ƒ từ a đến b có thể kí hiệu bởi } f(a)dx hay | ƒ(t)dt Tích

phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số 2 Tính chất của tích phân Giả sử cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên K, a,b,e là ba số bất kỳ thuộc K Khi đó ta có : 1 ƒ(z)dz = 0 2 ƒ(zyz = | ƒ(œ)dz 3 ƒ(œ)dz = ƒ(œ)dz + ƒ(œ)da 4 Il f(x) + g() |dz = ƒf(œ)dz + | g(z)dz õ jMGMe = ‘| f(x)de 6 Nếu fx) > 0Vz e | a; | thì: ƒ ƒ(œ)dr > 0Vz e | a:b |

Định dạng
Số trang	94
Dung lượng	9,27 MB