FULL lý THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN 90 TRANG

+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị + Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập hgp K...

I CONG THUC TINH NHANH THUONG GAP CUA THE TICH KHOI CHOP|

SABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a3 Thể tích khối chóp là:

a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bang 60°

góc giữa cạnh bên với mặt đáy bằng 60 Thểtích khối chóp là:

Vs asco = 6 = 2 = [B]

Cho hình chóp đều

bằng z2, góc giữa mặt bên và mặt đáy

Cho hình chop déu S.ABCD có cạnh bên

bằng z3, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 45° Thể tích khối chóp là:

Chohinh chop déu

Khí đó: Vs anc abc Cho hinh chop s.ABc co SA,SB,SC déi mét

vudng goc Biét SA=5, SB=4 Va SC=3

mg,

II XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CÂU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP

1 Phương pháp chung

Bước 1: Xác định tâm cia da giac day:

- Tam giác đều: Giao của 3 đường trung tuyén

- Tam giác uuông: truns điểm của cạnh huuên

- tam giác thường: siao của 3 đường trung trực (ít gặp)

- Hình ouông, hình chữ nhật: siao điểm 2 đường chéo

Bước 2: Kẻ (ả) qua tâm va vuéng géc uới đáu (trục của đáu)

Bước 3: Trong mặt phẳng chứa cạnh bên 0à trục (3) Kẻ trung trực (A) của cạnh bên, (A cắt (4) ở I thì I là tâm

cia mat cau

2 Cac mo hinh thuong gap

s

B

+) Ưu tiên tính R = Sĩ

+) Công thức: SN.SA = SI.SH

Mô hình 2: Hình chóp S.ABC co SA1(ABC), tam giác ABC đều

s

B

+) Ưu tiên tính R= AI +) Công thức: Af = AN°+ AH?

giác ABC vuông tại A

+) Diện tích cđhỏm cầu chiều cao h: S_ = 2zRh= z(r? +]

+) Thể tích khối cầu: V, = SAR’

+) Thé tich chom cau: V_ = zh’ [A-š) = mah - 3r’)

Ill MAT CAU NGOẠI TIẾP HÌNH HỘP CHỮ NHẬT - HÌNH LẬP PHƯƠNG

+) Mat cầu (S) ABCD.A'B'C'D' biét AB=a,AD =b,AA'=c Ta cé: ngoai tiép hình hộp chữ nhật

- Tâm I la trung diém cua AC"

B c +) Mat cầu (S) tâm 1 bán kính R, nội tiếp hình lập phương

- Tâm 1 là trang điểm của AC" (Hoặc lây trung điểm của

đoạn thẳng nổi tâm của 2 mặt đối điện)

+) Thiết điện qua trục là tam giác ABC cân tại A va S„„ =Rh

+) Thiết diện qua đình không chứ trục là tam giác cân SCD., thiêt điện cắt

đầu theo dây cưng CD ta có

- Góc giữa thiệt điện va diy: (ACD,BCD) = AHO

- Góc giữa trục oà thiết điện: (Ao,(Acp)) =OAH

- Khoảng cách từ tâm đáy đến thiết điện: d{O,(ACD)) =OK

4 Mặt cầu (S) tâm I bán kính R, ngoại tiếp hình nón bán kính r đường

2 2

cao h r=" =r

2h +) Trong cic khéi nén nội tiếp mặt cầu (S) tâm I, ban kính không đổi R

Khôi nón có thể tích lớn nhât khi h = bry - MR Khi đó V, = SR

5 Mat cau (S) tim I, ban kính r nột tiếp trong mat non (N ) ban kinh

R, đường cao h, duong sinh 1 Ta co:

+) Dung tim I:

- Lay Ee AC sao cho OC =EC

- Qua E ké duéng thing vuéng géc vdi AC 0à cắt AO tại I thi I là tâm

mat ciu noi tiép mat nón (N )

hR 1+R

+) Thiết điện 0uông sóc uới trục là đường tròn bán kinh R

+) Thiêt điện chứa trục là hình chữ nhật ABCD dién tich § = 2Rh

+) Thiết điện sơng sơng tới trục là hình chữ nhật AEFI) có khoảng cách

giữa trục 0à thiết điện là d(OO', AEFD) =O[

+) Goi AB,CD Ia hai duéng kinh bat ki trén hai mat day cua hinh tru ta

6: Van = gABCD.O0'.s n (AB,CD )

+) Đặc biệt: Nếu AB L CD tacé: V,,.5 = s4BCDOO'

+) A,B Tần lượt là các điểm trên các đường tròn đáu của hình trụ ta có:

- Góc giữa AB oà trục OO': (AB,OO')= A'AB

- Khoảng cách giữa AB va OO': d( AB,OO')=O'H

+) Mat ciu ngoni tiép khéi trụ có bán kính “y r 0à đường cao h có:

+) Thể tích khối cầu: V, = oak

Hinh tru cut

TOM TAT LY THUYET VA GIAI NHANH TOAN 12

PHAN 1 HAM SO

SU DONG BIEN NGHICH BIEN CUA HAM SO

1 Dinh nghia

Vø.,œ, € J{,z, <#, ( K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng)

ƒ(*,)< f(+,) == f(z) đồng biến trên K đồ thị đi lên từ trái sang phải

f(*,) > f(+,) = w= ƒ(z)nghịch biến trên K đồ thị đi xuống từ trái sang phải

Chú ý: + Nếu ƒ x) >0, Vre (a: b) = hàm số ƒ(z ) đồng biến trên khoảng (a:b)

'(x) <0, Vxe(a;b)=> hàm số f(a ) nghich bién trén khoang (a:b)

'(z)=0 Vz e (a:b) = hàm số f(x) khéng déi trén khoảng (a:Ò)

+ Nếu ƒ(z) đồng biến trên khoảng (a:b) => ƒ (z) >0, Vz e(a:ð)

+ Nếu ƒ(z) nghịch biến trén khoang (a:b) => ƒ (z) < 0,Vz e (a:ð)

2 Quy tắc và công thức tính đạo hàm

Quy tắc tính đạo hàm: Cho u = u(œ): 0 = 0(œ): - là hằng số

Đạo hàm của hàm sơ cấp Đạo hàm của hàm hợp

Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức:

mẽ nã

(=) - ad-be (==) _l 3 ở /[Ƒ kí

Dao ham cap 2:

5 Nếu hàm số/(z) và g(e) là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên

K thì hàm số f(x) (2) cing déng bién (nghịch biến) trên K Tính chất này có thể

không đúng khi các hàm số ƒ(z),ø(z) không là các hàm số dương trên K

*_ Chohàm số ư = u(z), xác định với ø e (a.ð) và u(x) € (cd) Ham sé f[u(x)]

cũng xác định với z € (a 8)

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Giả sử hàm số ƒ có đạo hàm trên

+ Nếu ƒ!{2)>0 với mọi z e WÝ và ƒ'(e) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm xeK thi

hàm số ƒ đồng biến trên K

+ Nếu #%) <0 véi moi ce K và J'(z) = 0 chi tai mét sé hitu han diém we K

thì hàm số f nghich bién trén 7€

Chú ý:

* Đối với hàm phân thức hữu tỉ y= — (: 4 -) thì đấu "=" khi xét dấu đạo

hàm ÿ' không xảy ra

Giả sử y = f(x) = a#) + bạ + en + d => Ƒ (+) = Bax" + 2b +e

* Với dạng toán tìm tham số m đổ hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ

dài bằng L ta giải như sau:

+Bước1: Tính ự = f'(2;m) = ar + be +e

+Bước9: Hàm số đơn điệu trên (œ¡:z,) © = 0 có 2 nghiệm phân biệt

A>0

° foo Ð *

+ Bước 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng ¡

=Le©(ø,+s,) ~4ma, =È @8?~ÁAP=lÊ (**)

Khi đó ƒ(x,) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số

+2, là điểm cực đại của hàm số ƒ nếu tổn tại một khoảng (a:b} chứa 2, sao cho

(a:b) cK va ƒ(z) < ƒ(z,).vz (œ5) {z,}-

Khi đó ƒ(z,) được gọi là giá trị cực đại của hàm số ƒ

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị

+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm

cực trị phải là một điểm trong tập hgp K

hàm z không xảy ra

Giả sử y = f(x) = a+Ề + bạ” + ca + d = ƒƑ (+) = 3ax’ + bate

Hàm số đồng biến trên R Hàm số nghịch biến trên

(Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Óx thì không đơn điệu)

* Với dạng toán tìm tham số m dé ham sé bac ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ

dai bang | ta giải như sau:

Khi đó ƒ(x,) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số ƒ

+a, la điểm cực đại của hàm số ƒ nếu tôn tại một khoảng (a:b) chứa z, sao cho

(a;b) =Kvà f(a) < f(x,).Yz = (a:b) \ {x}

Khi đó ƒ(z;) được gọi là giá trị cực đại của ham sé f

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị

+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm

cực trị phải là một điểm trong tập hợp K

+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị)

+ Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm

+_ Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0

hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm

3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lí 2: Giả sử hàm số ƒ đạt cực trị tại điểm #¿ Khi đó, nếu hàm số ƒ có đạo hàm tại điểm a, thì f{%,)= 0 Nếu ƒ (z) > 0 trên khoảng (a, —h; x, ) va f’(x) < 0 trén khoang

(z;:z, + h) thì z„ là một điểm cực đại của hàm số f(z),

+ Néu f'(z) < 0 trén khoang (x, —h; 2, ) va f'(z) > 0 trén khoang (x,;x, +h) thi

#„ là một điểm cực tiểu của hàm số f(a),

Định lí 3: Giả sử y = f(z) có dao ham cap 2 trong khoang (2, — h;#ạ + h) với h > 0

+ Néu f'(x,)=0, f"(x,) < 0 thì hàm số ƒ đạt cực đại tại z,,

+ Nếu ƒ(x¿)=0, ƒ'(z¿) > 0 thì hàm số ƒ đạt cực tiểu tại z,

Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 2:

+ Bước 1: Tìm tập xác định Tìm ƒ (z)

+ Bước 2: Tìm các nghiệm #, (: =]: 2 ) của phương trình f'(x) = 0

+_ Bước 3: Tính f" (x) va tinh f"(z,)

* Néu {z,) < 0 thì hàm số ƒ đạt cực đại tại điểm Œ

* Nếu {z,) > 0 thì hàm số ƒ đạt cực tiểu tại điểm X,

MOT SO DANG TOAN LIEN QUAN DEN CUC TRI HAM SO

I CUC TRI CUA HAM DA THUC BAC BA:

1, Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước

Bài toán tổng quat: Cho hàm số 1 = f(a: m) = a#Š + ba +cxr+d Tim tham sé m dé ham

số có cực đại, cực tiểu tại ®,#, thỏa mãn điều kiện /£ cho trước

Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại và cực tiểu)

© ' = 0 có hai nghiệm phân biệt và ¿ đổi dấu qua 2 nghiệm đó

«© phương trình ¿ = Ö có hai nghiệm phân biệt

A,= — 4AC = 4b“ — 12ac > 0Ö bˆ — 3ac > 0Ö

+ Bước 8: Gọi z,,z, là hai nghiệm của phương trình = 0

Bước 5: Kết luận các giá trị m thỏa mãn: ?n = DAD,

* Chú ý: Hàm số bậc ba: = a#Ÿ + b#” + ez + d(a # 0)

Ta có: /' = 3a” + 2bz + e

b” — 3ac <0 Ham số không có cực tr]

b° — 3ac > 0 Hàm số có hai điểm cực trị

> Điều kiện để hàm số có cực trị cùng dấu, trái dấu

Ham số có 2 cực tri trái dấu

© phương trình ¿ = Ö có hai nghiệm phân biệt trái đấu <> ae < 0

© phương trình ¿ = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu ©

" Hàm số có hai cực tri cùng dấu âm

A, >0

<> phuongtrinh = 0 có hai nghiệm âm phân biệt <> Z=ø,+8, = TT <0

> Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị +,,z, thỏa mãn:

#8 <đ<#,

đ, <8, < Ø a<2, <2,

« Haicuc tri z,,2, thỏa mãn 2, <a@ <2,

Vi trí tương đối giữa 2 điểm vơi đưởng thăng:

Cho 2 điểm A(+,:„) B(z;:„) và đường thăng A: a+b+e=0

Nếu (az, +by, + cÌ(az, + by, + c) <0 thị hai điểm 4, B nam vé

hai phía so vơi đưởng thăng A

Nếu (az, +, + c)(az, + by, + c) > 0 thihaidiém A, B nam cung

phia so véi dudng thang A

Một số trưởng hơp đặc biệt:

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Qy

<> ham sé6 cé 9 cực trị cùng dấu

© phương trình = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 2 phía đối với trục Oy

<©> hàm số có 3 cực trị trái dấu

<© phương trình # = 0 có hai nghiệm trái dấu

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Ox

© phương trình z = 0 có hai nghiệm phân biệt và ¿,„.„„ > Ö

<> phuongtrinh = 0 có hai nghiệm phân biệt và

Các điểm cực trị của dé thi nằm cùng về phía dưới đối với trục Ox

Yoo Yor > 0

<> phuongtrinh y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt va

Yoo + Yor <9

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox

© phương trình ¿ = Ö có hai nghiệm phân biệt va Yor <0

(áp dụng khi không nhầm duoc nghiêm và viết được phương trình đường thẳng di qua hai

điểm cực trị của đồ thị hàm sé)

Hoặc: Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox

đồ thị cắt trục Óx tại 3 điểm phân biệt

©> phương trinh hoành đô giao điểm ƒ (z) =0 co 3 nghiệm phân biệt (áp dụng khi

: Yor

nhẩm được nghiêm)

3 Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị

Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc 3 là

a<0O + Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực đại <> k <0”

a>0O

+ Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại <©> ' 0°

<

a<0 + Hàm số có một cuc tiéu va hai cuc dai © ' N

MOT SO CONG THUC GIAI NHANH

Tam giac ABC'cé dién tich Š = S, 32a°(S,) +6 =0

Tam giác 4 BC có độ dài 4B = AC = n, 16a°n; — bÝ + Sab = 0 Tam giác 4 BC có cực trị Ö,C € Ox b? = dac

Tam giac ABC'co trực tâm O bỀ + Sa — 4ae = 0

Tam giác 4 8Œ cùng điểm Ó tạo thành hình thoi b` = 2ac

Tam giac ABC’ co canh BC = kAB=kAC bŸ j;? — Sa(k? — 4) =0

Truc hoanh chia tam giac ABC thanh >_, ff

hai phần có diện tích bằng nhau b` = 42 ac

Tam giac ABC cé điểm cực trị cách đều trục hoành b> = Sac

Đồ thị hàm số (Cc) -= a#! + bz” +e cắt trục Ox tai bề 100

= —ac

4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng 9

Định tham số để hình phẳng giới hạn bởi dé thị

(C) -U= a#” + bz”+c và trục hoành có diện tích b> = ac

Phương trình đường tròn ngoại tiếp A4BC: #” +” — 2 _Â cọ y+e 2A =0

GIA TRI LON NHAT - GIA TRI NHO NHAT

I Dinh nghia

Cho ham sé y = f(a) xác định trên tập D

Số MM goi là giá trí lớn nhất của hàm ơn số = trên D nế ƒ(z) < M,Vzc D :

+ 0 golla gia ri nnatcua hamso y f(a) ren neu 3z, = D, f(2,) = M

Ki hiéu: M = max f(x)

f(z) =m VreD + Bố m gọi là giá trị nho nhat cia ham sé y = f(a) trén D néu: _

dz, € D,ƒ()=m

Ki hiéu: m = min f(z)

2 Phuong phap tim GTLN,GTNN

* Tim GTLN, GTNN cua hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp

+_ Bước 1: Tính f'(x) va tim các điểm m,#,, ,# € mà tại đó f'(z) = 0 hoặc hàm số không có đạo hàm

+ Bước 3: Lập bảng biến thiên và rồi suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

* Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn

+ Bước 1:

* Ham sé da cho y = f(a) xac dinh va lién tuc trén doan | a:b |

* Tìm các điểm ,,, ,, trên khoảng (a:b), tại đó f'(z) = 0 hoặc f{z)

* Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm # € (a;b) của phương trình

ƒ(z) = 0 và tất cả các điểm œ €(a;b) làm cho ƒ(z) không xác định

* Bước 3 Tính A = lim ƒ(z), B= lim f(z), f(z), f(a,)

* Budc4 So sánh các giá trị tính được và kết luận ă = max f(z), m= min f(z) Nếu gia tri lén nhat (nho nhat) 1a A hoac B thì kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)

pụ/6)=/44) max f(z) = f(b)

min f(x) = f (0) max f(z) = f (a)

+ Néu y= f(a) đồng biến trên [a:b | thi

+Néu y= f(x) nghich bién trén | a:b | thi

DUONG TIEM CAN CUA DO THI HAM SO

1 Đường tiệm cận ngang

Cho hàm số = ƒ(#z) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng

(a:+e).(—œ:ð) hoặc (—œ;+œ)) Đường thẳng y = ÿ, là đường tiệm cận ngang (hay tiệm

cận ngang) của đồ thị hàm số = ƒ(z) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn:

lim f(x) = yp, lim f(x) = ,

Lưu ý: Với đồ thị hàm phân thức dang y = (cz 0: ad— be # 0) luôn có tiệm cận

se Tìm các đường tiệm cận của hàm số (nếu có)

e Lap bang bién thiên

* D6 thi

© Liét ké cdc diém đặc biệt ( điểm cực đại, điểm cực tiểu, tâm đối xứng, )

e« Xác định giao điểm của (C) với Ox, Óy (nếu cô)

«_ Vẽ đồ thị

Thay Hoang Hai-0966405831

2 KHAO SAT MOT SO HAM DA THUC VA PHAN THUC:

c) HAM SO NHAT BIEN y= (c #0, ad—be #0)

Tacó y= /(Ì) = Wey thi <0

vay=f (|2|) la ham chan nén dé thi (C') nhận Óy làm trục đối xứng

* Cách vẽ (Œ') từ (C):

+ Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị (C): y = f(z)

+ Bỏ phần đồ thị bên trái Óy của (C), lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy

+ Bỏ phan dé thi cla (C’) bén trai

Oy, giữ nguyên (C) bén phai Oy | 1 (C): y= lel 3|z|

Dang 2: Tw d6 thi (C) “y= f(a) suy ra đồ thị (Œ

ự = |s[' —3|z[_ Biến đổi (C) để đượcđ = | AKT 7

thi (C’): y = |z[Ï — 3|z| Biến đổi

+ Giữ nguyên (C) với x> 1

+ Bỏ (€) với z < 1 Lấy đối xứng phần

dé thi bi bo qua Ox

lấy đối xứng các đường tiệm cận để thực

Nhân xét: Trong quá trình thực hiện phép

hiện phép suy đồ thị một cách tương đối

suy đồ thị nên lấy đối xứng các điểm đặc

biệt của (C): giao điểm véi Ox, Oy, CD, CT chính xác

đồ thi (C) tai diém M, (z;:1,) € (C) có dạng:

Trong đó: Điểm M, (x,:y,) E(C) dude goi la tiép diém ( với Yo = f(2,))

k= f'(a,) là hệ số góc của tiếp tuyến

2 Điều kiện tiếp xúc: Cho hai hàm số (Cc) y= f(a) va (C ) y= ø(z)

Cho ham sé y = f(x) c6 dé thi (C,) va y = ø(z) có đồ thị (C,)

Phương trình hoành độ giao điểm của (C,) va (C,)

la f(x) = g(x) (1) Khi do:

"

O

+ Số giao điểm của (C,) và (Œ,) bằng với số nghiệm

của phương trinh (1)

+ Nghiệm z, của phương trình (1) chính là

hoành độ z, của giao điểm

+ Để tính tung độ Y, của giao điểm, ta thay hoành độ #, Vào

y= f(a) hoặc = g(a)

+ Điểm Ä⁄(xạ; vụ ) là giao điểm của (Œ,) và (Œ,)

DIEM DAC BIET CUA HO DUONG CONG

1 Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong

Xét họ đường cong (Œ _) có phương trình # = ƒ(z,zn), trong đó ƒ là hàm đa thức theo biến z với m là tham số sao cho bậc của m không quá 9 Tìm những điểm cố định thuộc họ

đường cong khi ?n thay đổi?

Phương pháp giải:

+ Bước 1: Đưa phương trình y = f(x,m) vé dạng phương trình

theo ẩn m có đạng sau: 4mm+ =0 hoặc Am” + Bm + Ở =0

+ Bước 2: Cho các hệ số bằng Ö, ta thu được hệ phương trình và giải hệ phương trình:

A=0 A=0

hoặc 4 B =0

B=0

C=0 + Bưóc 3: Kết luận:

- Nếu hệ vô nghiệm thì họ đường cong (Œ_) không có điểm cố định

- Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của (C_)

2 Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên:

Cho đường cong (C) có phương trình y = ƒ(z) (hàm phân thức) Hãy tìm những điểm

có tọa độ nguyên của đường cong?

Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ của điểm đó đều là số nguyên

* Phương pháp giải:

+ Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số

+ Bước 2: Lập luận để giải bài toán

3 Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng:

Cho đường cong (C) có phương trình¿/ = ƒ(z) Tìm những điểm đối xứng nhau qua một

điểm, qua đường thẳng

Bài toán 1: Cho dé thj (C): y = Aa® + Ba’ + Cr+ Dtrén dé thj (C) tim nhiing cặp điểm

đối xứng nhau qua điểm I(z,,y,)-

* Phuong phap giai:

+ Goi M(a;Aa’ + Ba? + Ca+ DỊ N(b; Ab? + Bb? +Cb+ D) là hai điểm trên (C} đối

xứng nhau qua điểm ï

a+b= 2z,

A(aŠ + bỀ)+ BỈa +ð?] + CÍa +b)+ 2D = 2y, Giải hệ phương trình tìm được a,b từ đó tìm được toạ độ M, N

Trường hợp đặc biệt : Cho đô thi (C): y= Ax’ + Ba” + Cz + D Trên đồ thị (C) tim

những cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ

* Phương pháp giải:

+ Goi M(a, Aa’ + Ba + Ca + D),.N(b, Ab® + Bb? +Cb+ D) la hai diém trén (C)

đối xứng nhau qua gốc tọa độ

Ta có a+b=0

ta A(a’ + bŠ)+ B(a” + b°] + Ía + ð)+ 2D =0 `

+ Giải hệ phương trình tìm được a b từ dé tim dudc toa dé M,N

Bài toán 3: Cho đồ thị (C): y= Ax’ + Ba’ + Cx + D trên đồ thị (C) tìm những cặp điểm

đối xứng nhau qua đường thẳng đ: t = Az+B

* Phương pháp giải:

+ Gọi M(a;Aa`+Ba?+Ca+D), N(b; Ab` +Bb°+Cb+D) là hai điểm trên (C) đối

xứng nhau qua đường thẳng đ

+ Ta có: <——- 0) (với ïÏ là trung điểm của ăÑW và z4 là vectơ chỉ phương

MN ua = 0 (2) của đường thẳng đ) Giải hệ phương trình tìm được M, N

4 Bài toán tìm điểm đặc biệt, khoảng cách

điểm của AB

Diện tích tam giác 4B không đổi: Suz = lad sẻ bel c?

+,

% Các bài toán thường gặp:

Bài toán 1: Cho hàm số ụ = “S >” (cz 0 ad— be z 0) eó đồ thị (C) Hãy tìm trên (C) c# + d

hai điểm A và B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số sao cho khoảng cách AB ngắn nhất

* Phương pháp giải:

+ (C ) có tiệm cận đứng # = =— do tính chất cua hàm phân thức, đồ thị năm về hai phía

c của tiệm cận đứng Nên gọi hai số z,/đ là hai số dương

d d d + Nếu 4 thuộc nhánh trái: 1 << 8,=——~@<——; U„ = ƒạ):

+ ếu Ö thuộc nhánh phải: #g >—— =2 8p =— + />——; 9 = f(y)

+ Sau d6 tinh: AB’ = (x, - z,) +(¥, — 1) = l(a + 8)- (a - a) | + (0; — TY

+ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy sẽ tìm ra kết quả

Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số (CÌ có phương trình y = f(x) Tìm tọa độ điểm \\

thuộc (C) để tổng khoảng cách từ ML đến hai trục tọa độ nhỏ nhất

* Phương pháp giải:

+ Gọi Aƒ(z;y} và tổng khoảng cách từ A{ đến bai trục tọa độ là đ thi d= le + ly

+ Xét các khoảng cách từ Ä/ đến hai trục tọa độ khi ă nằm ở các vị trí đặc biệt:

Trên trục hoành, trên trục tung

+ Sau đó xét tổng quát, những điểm Ä/ có hoành độ, hoặc tung độ lớn hơn hoành độ hoặc tung độ của ă khi nằm trên hai trục thì loại đi không xét đến

+ Những điểm còn lại ta đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm rồi tìm được giá trị nhỏ nhất của đ

Bài toán 3: Cho đồ thị (C) có phương trình = f(x) Tim điểm M trén (C) sao cho khoảng cách từ M đến Ox bằng k lần khoang cach tu M dén trucOy

* Phương pháp giải:

Theo đầu bài ta có | = k|z| S i = Ke S ft = Ke

U= —È#z f(a) = —k#

Bi toán 4: Cho đồ thị hàm số (C) có phương - trình

y=f(x)= a (c z 0, ad — bc # 0) Tìm tọa độ điểm AT trên (C) sao cho dé dai MI ngan

+ Gọi Ƒ thuộc (Œ)= I{z,:9,): 1ạ = ƒŒ,)

+ oang cach tu en a Ar) = a) = Ieee

A+B + Khao sat ham sé y = g(x) để tìm ra điểm ï thỏa mãn yêu cau

PHAN IL MU VA LOGARIT

LUY THUA VA HAM SO LUY THUA

1 KHAI NIEM LUY THUA

+ Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho ?+ là một số nguyên đương

Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc ø của a là tích của ? thừa số a

n

a” =aa a(n thita sé) SS Với a # 0

Ta gọi a là cơ số, là mũ số Và chú ý 0° và 0” không có nghĩa

+ Một số tính chất của lũy thừa

e Giả thuyết rang mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa:

ata? =a S “=a a**- (a*)P =a** - (ab)* =

e Nếu a >1 thi a® > a* a> Pi

Nếu 0< a<1 thì a“ > aŸ © œ< Ø8

se Với mọi Ö < a <b, ta có: ø” <b”<>m >0; a” >b” <>rmn <0

e Chú ý:

+ Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên

+ Khi xét lũy thừa với số mũ 0Ú và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0

+ Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số z phải dương

+ Với b< 0, phương trình vô nghiệm

+ Với b =0, phương trình có một nghiệm z = ÔÖ

+ Với b > 0, phương trình có hai nghiệm trái dấu, kí hiệu giá trị dương là vb ,con

2 tab = xÍla| lel vad >0; 2 2 ° Yad = Ya Ub Vad - 2 2 2

+ Na” = (x/a) | Va >0, nguyén dudng, m nguyén

dựa = "la Va >0, n,mnguyén dương

+ Nếu P= thi Va? = da? Wa > 0.m,nnguyén dudng p,g nguyén

Tập xác định của hàm số lũy thừa y = #z” tùy thuộc vào giá trị của œ Cụ thể

s® Với œ nguyên dương, tập xác định là R

e Với œ nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là '§\ {O}

® Với œ không nguyên, tập xác định (0; +0)

+ Khảo sát hàm số lũy thừa

“+ Tap xác định của hàm số lũy thừa # = z7 luôn chứa khoảng ( 0; +00)

với mọi œ € R Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số y = 2* trén khoang nay

1 Tap xac dinh: (0:+=) 1 Tập xác định: (0 +00)

y'=aa*'>0 Vz>0 yl=aa*'<0 Vz»0

LOGARIT VA HAM SO LOGARIT

1 KHÁI NIỆM -TÍNH CHẤT VÀ QUY TẮT TÍNH LOGARIT

+ Khai niệm Logarit

Cho hai số dương a,b với a#1 Số œ thỏa mãn đẳng thức a“ = b được gọi là logarit cơ số

a cua b và được kí hiệu là log ở

œ=log b<Ð> q” =b

Không có logarit của số âm và số 0

Bảng tóm tắt công thức Mũ-loarrit thường gặp:

a “ log ,a=—,(0<a#l)

°® ra (a) ( ) ¢ log b* =a.log b,(a,b>0,a#1 a a )

ee 2) (20) b ° log, b + log, c = log, (bc)

2 BAT PHUONG TRINH MU VA LOGARIT

+ Bat phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng a” > b (hoặc 4` >b,8` <b,a`” <b) với a >0,a #1

Ta xét bất phương trình có dạng a” > b

e Nếu b <0, tập nghiệm của bất phương trình là R,vi a >bVreR

e Nếu ö > 0 thì bất phương trình tương đương với a* > a”

Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là z > log b

Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là z < log, ở.

‘Ta minh hoa bang dé thi sau:

+ Bat phuong trinh logarit co ban

Bất phương trình logarit cơ bản có dang log, x >b (hoac log, x >b,log x <b,log x<b)

ụ=b

BAI TOAN LAI SUAT NGAN HANG

1 Lãi đơn: là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn

kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi không đến gửi tiền ra

a) Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng 4 đồng với lãi đơn r% /kì hạn thì số

tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau ø+ kì hạn ( œ e Ñ * ) là:

Ss = A+nAr = A(1+nr)

2 Lãi kép: tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn dé

tính lãi cho kì hạn sau

a) Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng 4 đồng với lãi kép r% /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau øœ kì hạn ( ø € Ñ * ) là:

4 Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng:

a) Công thức tính: Gửi ngân hàng số tiền là 4 đồng với lãi suất z% /tháng Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền là X đồng Tính số tiền còn lại sau ø tháng là bao

nhiêu?

saver) xt =) > ra0*2J r =4

a) Công thức tính: Cách tính số tiền còn lại sau n tháng giống hoàn toàn công thức tính gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng nên ta có

Ss = A(1+ r) y(t) =I

6 Bài toán tăng lương: Một người được lãnh lương khởi điểm là 4 đồng/tháng Cứ sau n

tháng thì lương người đó được tăng thêm r%/tháng Hỏi sau Èkn tháng người đó lĩnh được tất cả là bao nhiêu tiền?

7 Bài toán tăng trưởng dân số:

Công thức tính tăng trưởng dân số

Gửi vào ngân hàng 4 đồng với lãi kép r%/năm thì số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi sau

n năm (ne€Ñ'} là: 8, = 4(1+r) Giả sử ta chia mỗi năm thành zn kì hạn để tính

Khi tăng số kì hạn của mỗi năm lên vô cực, tức là zm —> +, gọi là hình thức lãi kép tiên

tục thì người ta chứng minh được số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi là:

Ø = Ác””| ( công thức tăng trưởng mũ)

PHAN III

NGUYEN HAM - TiCH PHAN - UNG DUNG TiCH PHAN

I NGUYEN HAM

1 Nguyên hàm

Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên W (W là khoảng, đoạn hay nửa khoảng)

Hàm số Ƒ(z) được gọi là nguyên hàm của hàm số ƒ(z) trên nếu #'(z)= ƒ(z) với mọi

œc Kế K(hiệu: ƒ(«)dz= F(e)+C

Định lí:

1) Nếu #(z) là một nguyên hàm cia f(x) trén #Z thì với mỗi hằng số Ở, hàm số

G(z) = F(z)+ Ơ cũng là một nguyên hàm của f(z) trén K

2) Nếu Ƒ(z) là một nguyên hàm của hàm số ƒ(z) trên /“ thì mọi nguyên hàm của

f(z) trên đều có dạng Ƒ(z) + Ơ, với Ở là một hằng số

Do đó #(z) + Œ,C ÌR là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K

« Công thức đổ iến số: Cho = ƒ(u) và w = ø(z)

Nếu [/(2)de = F(ø)+ Ơ thì [ ƒ(g(2))g'(e)dz = [ ƒ(u)du = F(u)+ Ơ

3 Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí Mọi hàm số ƒ(z) liên tục trên #Ý đều có nguyên hàm trên /

Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp

CAC PHUONG PHAP TINH NGUYEN HAM

1 PHUONG PHAP DOI BIEN

a Déi bién dang 1:

Nếu : [Zœ) = F(z) + Œ và với u = ø(£)là hàm số có đạo hàm thì : | fwd = F(u)+C

PHUONG PHAP CHUNG

e Bước 2: Lấy vi phân hai vế: đz = ø'(t) 4i

« Bước4: Khi đó tính: [ ƒ(z)dz = [ g(#)dt = G() + Ơ

«© Bước 8: Biến đổi: f(x)dx = f| p(t) |p'(t) dt = 9(t) at

e Buéc 1: Chon z= g(t) , trong đó g(t) là hàm số mà ta chọn thích hợp

hy hoặc ae Dat x = acos2t

\(* ~ a)(b — x) Dat c=a+(b—a)sin’t

; : ; Dat x = atant ; vdi te(-4.4]

PHUONG PHAP CHUNG

2 NGUYEN HAM TUNG PHAN

Nếu u(x), v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tuc trén K:

* Nhận xét: Tích phân của hàm số ƒ từ a đến b có thể kí hiệu bởi } f(a)dx hay | ƒ(t)dt Tích

phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số

7 Nếu Vz | a:b |: ƒ(œ) > g(z) => ƒ ƒ(z)dz > f g(z)dz (Bất đẳng thức trong tích phân )

8 Nếu Vz e| a;b | Néu M < f(z) < Nthi M(b-a) < [roar < N(b-a).