Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Số Phức Lưu hành nội bộ GV Huỳnh Phúc Hải ĐHSPĐN 1 Cell phone 0935228284 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐÀ NẴNG TRUNG TÂM BDKT & LT ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP NÂNG CAO[.]
Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Số Phức Lưu hành nội SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐÀ NẴNG TRUNG TÂM BDKT & LT ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP NÂNG CAO CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC Tài liệu HS Lớp :…………………………………………………………………………………… :…………………………………………………………………………………… Đà Nẵng năm 201 GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN -1- Cell phone: 0935228284 Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Số Phức Lưu hành nội A CHUẨN BỊ KIẾN THỨC I DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC Một số phức biểu thức có dạng a + bi, a, b số thực số i thoả mãn i2 = -1 Ký hiệu số phức z viết z = a + bi i gọi đơn vị ảo a gọi phần thực Ký hiệu Re(z) = a b gọi phần ảo số phức z = a + bi , ký hiệu Im(z) = b Tập hợp số phức ký hiệu C *) Một số lưu ý: - Mỗi số thực a dương xem số phức với phần ảo b = - Số phức z = a + bi có a = gọi số ảo số ảo - Số vừa số thực vừa số ảo Hai số phức Cho z = a + bi z’ = a’ + b’i a a ' z = z’ b b ' Biểu diễn hình học số phức Mỗi số phức biểu diễn điểm M(a;b) mặt phẳng toạ độ Oxy Ngược lại, điểm M(a;b) biểu diễn số phức z = a + bi Phép cộng phép trừ số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa: z z ' (a a ') (b b')i z z ' (a a ') (b b')i Phép nhân số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa: zz ' aa 'bb' (ab ' a ' b)i Số phức liên hợp Cho số phức z = a + bi Số phức z = a – bi gọi số phức liên hợp với số phức Vậy z = a bi = a - bi Chú ý: 10) z = z z z gọi hai số phức liên hợp với 20) z z = a2 + b2 *) Tính chất số phức liên hợp: (1): z z (2): z z ' z z ' (3): z.z ' z.z ' (4): z z = a b (z = a + bi ) GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN -2- Cell phone: 0935228284 Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Số Phức Lưu hành nội Môđun số phức Cho số phức z = a + bi Ta ký hiệu z môđun số phư z, số thực khơng âm xác định sau: - Nếu M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, z = OM = a b - Nếu z = a + bi, z = z.z = a b Phép chia số phức KHÁC Cho số phức z = a + bi ≠ (tức a 2+b > ) Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 số phức z ≠ số z-1= Thương 1 z z a b z z' phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ xác định sau: z z' z '.z z z 1 z z Với phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói có đầy đủ tính chất giao hốn, phân phối, kết hợp phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường II DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Cho số phức z Gọi M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Số đo (radian) góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi acgumen z Như acgumen z, acgumen có dạng: + 2k, k Z Dạng lượng giác số phức Xét số phức z = a + bi (a, b R) Gọi r môđun z acgumen z Ta có: a = rcos , b = rsin z = r(cos +isin), r > 0, gọi dạng lượng giác số phức z z = a + bi (a, b R) gọi dạng đại số z Nhân chia số phức dạng lượng giác Nếu z = r(cos +isin) z' = r’(cos’ +isin’) (r ≥ 0, r’ ≥ 0) thì: z.z’ = r.r[cos( +’) +isin( +’)] z' r' cos( ' ) i sin( ' ) r > z r Công thức Moivre [z = r(cos +isin )]n = rn(cos n +isin n) GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN -3- Cell phone: 0935228284 Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Số Phức Lưu hành nội Căn bậc hai số phức dạng lượng giác Cho số phức z = r(cos +isin) (r>0) r cos isin 2 Khi z có hai bậc hai là: - r cos isin = 2 r cos isin 2 2 B MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN VẤN ĐỀ 1: DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC Dạng 1: Các phép tính số phức Phương pháp giải: Sử dụng công thức cộng , trừ, nhân, chia luỹ thừa số phức Chú ý cho HS: Trong tính tốn số phức ta sử dụng đẳng thức đáng nhớ số thực Chẳng hạn bình phương tổng hiệu, lập phương tổng hiệu số phức… Bài Tập 1: Cho số phức z = i 2 Tính số phức sau: z ; z2; ( z )3; + z + z2 Giải: 3 i z = i 2 2 a) Vì z = 3 b) Ta có z = i = i i= i 2 2 4 2 3 ( z ) = i i i i 4 2 2 1 3 ( z )3 =( z )2 z = i i i i i 2 2 4 Ta có: + z + z2 = 1 3 1 i i i 2 2 2 Nhận xét: Trong tốn này, để tính z ta sử dụng đẳng thức số thực Bài Tập 2: Tìm số phức liên hợp của: z (1 i )(3 2i ) 3 i Giải: GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN -4- Cell phone: 0935228284 Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Số Phức Ta có : z i 3i 3i 5i (3 i )(3 i ) 10 Suy số phức liên hợp z là: z 53 i 10 10 Bài Tập 3: Tìm mơ đun số phức z Giải: Ta có : z Lưu hành nội (1 i )(2 i ) 2i 5i 1 i 5 26 1 Vậy, mô đun z bằng: z 5 Bài Tập 4: Tìm số thực x, y thoả mãn: 3x + y + 5xi = 2y – +(x – y)i Giải: Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – +(x – y)i (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i x 3 x y y Giải hệ ta được: 5 x x y y Bài Tập 5: Tính: i105 + i23 + i20 – i34 Giải: Để tính tốn này, ta ý đến định nghĩa đơn vị ảo để từ suy luỹ thừa đơn vị ảo sau: Ta có: i2 = -1; i3 = -i; i4 = i3.i = 1; i5 = i; i6 = -1… Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được: i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = -1; i4n+3 = -i; n N* Vậy in {-1;1;-i;i}, n N 1 Nếu n nguyên âm, i = (i ) = i n -1 -n n n i Như theo kết trên, ta dễ dàng tính được: i105 + i23 + i20 – i34 = i4.26+1 + i4.5+3 + i4.5 – i4.8+2 = i – i + + = Bài Tập 6: Tính số phức sau: z = (1+i)15 Giải: Ta có: (1 + i)2 = + 2i – = 2i (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN -5- Cell phone: 0935228284 Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Số Phức Lưu hành nội z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i 16 1 i 1 i Bài Tập 7: Tính số phức sau: z = 1 i 1 i Giải: Ta có: i (1 i )(1 i ) 2i i 1 i 2 16 1 i 1 i i 16 i Vậy =i +(-i) = 1 i 1 i 1 i Bài Tập 8: Tìm số thực x, y biết: a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i; b) (1 – 2x) – i = + (1 – 3y)i; c) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i; 1 1 Hướng dẫn: a) x = , y = c) x = , y= 3 Bài Tập 9: Thực phép tính sau: (1 i )2 (2i )3 a) 2i(3 + i)(2 + 4i) c) 2 i Bài Tập 10: Giải phương trình sau: b) (3 – 2i)z + (4 + 5i) = + 3i; b) (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z i 5 Bài Tập 11: Tìm nghiệm phức phương trình sau: a) iz i c) i z Hướng dẫn: a) z = b) 3i z z Hướng dẫn: b) x = 0, y = b) z = c) z (2 3i ) 2i 3i c) z = 15 – 5i e) z d) iz 1 z 3i z 3i c) z i d) i; 3i; 3i e) z 2i i 10 10 5 Bài Tập 12: Cho số phức z x yi (x, yR) Khi z 1, tìm phần thực phần ảo zi số phức z i Hướng dẫn: x2 y 1 2x Phần thực , phần ảo 2 x ( y 1) x ( y 1)2 a) z 2i b) z Dạng 2: Các toán chứng minh Trong dạng ta gặp toán chứng minh tính chất, đẳng thức số phức Để giải toán dạng trên, ta áp dụng tính chất phép tốn cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên hợp, môđun số phức chứng minh Bài Tập 13: Cho z1, z2 C CMR: E = z1 z2 z1.z2 R Để giải tốn ta sử dụng tính chất quan trọng số phức liên hợp là: GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN -6- Cell phone: 0935228284 Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Số Phức Lưu hành nội zRz= z Thật vậy: Giả sử z = x + yi z = x – yi z = z x + yi = x – yi y = z = x R Giải tốn trên: Ta có E = z1 z2 z1.z2 z1 z2 z1 z2 = E E R Bài Tập 14: Chứng minh rằng: 1) E1 = i 2 i 5 n R n 19 7i 20 5i 2) E2 = R i 6i Giải: 1) Ta có: E1 = i 7 7 i 2 i 2 i 2 i 2 i n n n 19 7i 20 5i 19 7i (9 i ) 20 5i (7 6i ) 2) E2 82 85 i 6i n E1 E1R n n n n 164 82i 170 85i 2 i 2 i 82 85 E2 E2 E2 R Bài Tập 15: Cho z C CMR: z |z2 + 1| ≥ Giải: z 1 Ta chứng minh phản chứng: Giả sử z2 1 Đặt z = a+bi z2 = a2 – b + 2a + bi 2 2 z 1 (1 a ) b 2(a b ) 4a 2 2 2 z2 1 (1 a b ) 4a 2b (a b ) 2(a b ) Cộng hai bất đẳng thức ta được: (a2 + b )2 + (2a+1)2 < vô lý đpcm Bài Tập 16: Chứng minh rằng: 1 z z , phần ảo số phức z z z 2i d) Số phức z số ảo z z e) Số phức z số thực z z z' z' f) Với số phức z, z , ta có z z ' z z ', zz ' z.z ' z z z Hướng dẫn: z a bi, z a bi (1) c) Phần thực số phức z GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN -7- Cell phone: 0935228284 Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Số Phức Lưu hành nội a) Lấy vế cộng vế Phần thực số phức z z z Lấy vế trừ vế phần ảo số phức z z 2i b) Số phức z số ảo phần thực z z z z c) Số phức z số thực phần ảo z z z z d) z a bi; z ' a ' b ' i; z z a b số thực z z z ' ( a a ') (b b ')i (a a ') (b b ')i (a bi ) (a ' b ' i) z z ' zz ' ( aa ' bb ') ( ab ' a ' b )i ( aa ' bb ') ( ab ' a ' b)i ( a bi )( a ' b ' i ) z.z ' z ' z '.z z '.z z '.z z ' z.z z z z z z z Bài Tập 17: Chứng minh rằng: a) Nếu u mặt phẳng phức biểu diễn số phức z | u | | z | từ hai điểm A1 , A2 theo thứ tự biểu diễn số phức z1 , z2 A1 A2 z2 z1 ; b) Với số phức z, z, ta có |z.z| = |z|.|z | z z' z' z z c) Với số phức z, z, ta có z z ' z z ' Hướng dẫn: a) z a bi z a b2 , u biểu diễn số phức z u = (a; b) u a b | u | | z | A1 , A2 theo thứ tự biểu diễn số phức z1 , z A1 A2 OA2 OA1 z2 z1 A1 A2 z2 z1 b) z a bi , z ' a ' b ' i , z.z ' aa ' bb ' ab ' a ' b i , z a b2 , z ' a '2 b '2 2 Ta có z z ' a b2 a ' b ' 2 2 2 2 Ta có z.z ' aa ' bb ' ab ' a ' b aa ' bb ' ab ' a ' b a b a '2 b '2 Vậy |z.z| = |z|.|z| z' z z' z z' z ' z '.z Khi z ta có 2 z z.z z z z c) u biểu diễn z, u ' biểu diễn z u u ' biểu diễn z + z z z ' u u ' Khi u , u ' , ta có u u ' u u ' u u ' cos u , u ' u u ' u u ' u u ' u u ' u u ' z z ' z z ' Bài Tập 18: Chứng minh với số phức z 1, ta có z z z z10 z 1 Hướng dẫn: Với z 1, 1 z z z z 1 z z z z10 1 z z z z10 Chia hai vế cho z – đẳng thức chứng minh.(Cấp số nhân) Dạng 3: Các tốn mơđun số phức biểu diễn hình học số phức Trong dạng này, ta gặp toán biểu diễn hình học số phức hay cịn gọi tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z số phức z thoả mãn hệ thức (thường hệ thức liên quan đến mơđun số phức) Khi ta giải tốn sau: GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN -8- Cell phone: 0935228284 Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Số Phức Lưu hành nội Giả sử z = x+yi (x, y R) Khi số phức z biểu diễn mặt phẳng phức điểm M(x;y) Ta có: OM = x2 y = z Sử dụng kiện đề để tìm mối liên hệ x y từ suy tập hợp điểm M Lưu ý: - Với số thực dương R, tập hợp số phức với z = R biểu diễn mặt phẳng phức đường tròn tâm O, bán kính R - Các số phức z, z < R điểm nằm đường tròn (O;R) - Các số phức z, z >R điểm nằm ngồi đường trịn (O;R) Bài Tập 19: Giả sử M(z) điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M(z) thoả mãn điều kiện sau đây: z i =2 2 z i z z z 4i z 4i 10 1≤ z i Giải: 1) Xét hệ thức: z i =2 (1) Đặt z = x +yi (x, y R) z – + i = (x – 1) + (y + 1)i Khi (1) ( x 1)2 ( y 1)2 (x-1)2 + (y + 1)2 = 4. Tập hợp điểm M(z) mặt phẳng toạ độ biểu diễn số phức z thoả mãn (1) đường trịn có tâm I(1;-1) bán kính R = 2) Xét hệ thức z z i (2) (2) z ( 2) z i (*) Gọi A điểm biểu diễn số -2, B điểm biểu diễn số phức i y (A(-2;0); B(0;1)) Đẳng thức (*) chứng tỏ M(z)A = M(z)B Vậy tập hợp tất điểm M(z) đường trung trực AB Chú ý: Ta giải cách khác sau: Giả sử z = x + yi, đó: B A -2 x O -1 -1 (2) |(x+2) +yi| = |-x+(1-y)i| (x+2)2 + y2 = x2 + (1-y)2 -2 4x + 2y + = tập hợp điểm M(z) đường thẳng 4x + 2y + = nhận xét: Đường thẳng 4x + 2y + = phương trình đường trung trực đoạn AB 3) Xét: z z (3) Giả sử z = x + yi, đó: (3) |2+x+yi| > |x+yi-2| (x+2)2 +y2 > (x-2)2 +y2 x > GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN -9- Cell phone: 0935228284 Tài liệu LTĐH TOÁN – Chuyên đề Số Phức Lưu hành nội Tập hợp điểm M(z) nửa mặt phẳng bên phải trục tung, tức điểm (x;y) mà x > Nhận xét: Ta giải cách khác sau: (3) |z-(-2)| >|z-2| Gọi A, B tương ứng điểm biểu diễn số thực -2 2, tức A(-2;0), B(2;0) Vậy (3) M(z)A > M(z)B Mà A, B đối xứng qua Oy Từ suy tập hợp điểm M(z) nửa mặt phẳng bên phải trục tung 4) Xét hệ thức: z 4i z 4i 10 Xét F1, F2 tương ứng biểu diễn điểm 4i -4i tức F1 (0;4) F2 =(0;-4) Do đó: (4) MF1 + MF2 = 10 (M = M(z)) Ta có F1F2 = Tập hợp tất điểm M nằm (E) có hai tiêu điểm F1 F có độ dài trục lớn 10 Phương trình (E) là: x2 y 1 16 5) Xét hệ thức 1≤ z i 1≤ z ( 1 i ) Xét điểm A(-1;1) điểm biểu diễn số phức -1 + i Khi 1≤ MA ≤ Vậy tập hợp điểm M(z) hình vành khăn có tâm A(-1;1) bán kính lớn nhỏ Cách 2: Giả sử z = x +yi (5) ≤ |(x+1) +(y-1)i| ≤ ≤ (x+1)2 + (y-1)2 ≤ kết Bài Tập 20: Xác định điểm nằm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau đây: |z + z +3|=4 |z + z + - i| = 2|z-i|=|z- z +2i| |z2 – z 2| = Giải: 1) Xét hệ thức: z + z +3|=4 (1) Đặt x = x + yi z = x – yi, (1) |(x+yi)+(x-yi)+3|=4 x |2x+3|=4 x Vậy tập hợp tất điểm M hai đường thẳng song song với trục tung x = x = 2 2) Xét hệ thức: |z + z + - i| = Đặt z = x + yi z = x – yi Khi đó: GV Huỳnh Phúc Hải - ĐHSPĐN - 10 - Cell phone: 0935228284