Bài giảng xác suất thống kê và quy hoạch thực nghiệm chương 4 nguyễn thị thanh hiền

Chương 4: Ước lượng tham số 39 of 112 Chương 4: Ước lượng tham số Trong thực tế ta gặp toán sau: Biết chiều dài loại sản phẩm nhà máy sản xuất biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N(µ, σ ), ước lượng giá trị µ 39 of 112 Chương 4: Ước lượng tham số Trong thực tế ta gặp tốn sau: Biết chiều dài loại sản phẩm nhà máy sản xuất biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N(µ, σ ), ước lượng giá trị µ µ tham số cần ước lượng Để ước lượng µ, ta phải dựa vào mẫu gồm số sản phẩm loại nhà máy sản xuất 39 of 112 Chương 4: Ước lượng tham số Ta ước đốn µ giá trị µ ˆ ước đốn µ thuộc khoảng (µ1 , µ2 ) 40 of 112 Chương 4: Ước lượng tham số Ta ước đốn µ giá trị µ ˆ ước đoán µ thuộc khoảng (µ1 , µ2 ) Trong thống kê, µ ˆ gọi ước lượng điểm µ 40 of 112 Chương 4: Ước lượng tham số Ta ước đốn µ giá trị µ ˆ ước đốn µ thuộc khoảng (µ1 , µ2 ) Trong thống kê, µ ˆ gọi ước lượng điểm µ (µ1 , µ2 ) gọi ước lượng khoảng µ 40 of 112 4.1 Ước lượng điểm 41 of 112 4.1 Ước lượng điểm 4.1.1 Định nghĩa: 41 of 112 4.1 Ước lượng điểm 4.1.1 Định nghĩa: Giả sử (X1 , X2 , , Xn ) mẫu ngẫu nhiên tổng quát lập từ biến ngẫu nhiên gốc X Một hàm b , X2 , , Xn ), thành lập từ X1 , X2 , , Xn , θb = θ(X gọi thống kê 41 of 112 4.1 Ước lượng điểm 4.1.1 Định nghĩa: Giả sử (X1 , X2 , , Xn ) mẫu ngẫu nhiên tổng quát lập từ biến ngẫu nhiên gốc X Một hàm b , X2 , , Xn ), thành lập từ X1 , X2 , , Xn , θb = θ(X gọi thống kê Như vậy, n n i=1 i=1 1X X X = Xi , S = (Xi − X )2 , n n−1 thống kê 41 of 112 Trường hợp 2: σ chưa biết Do σ chưa biết nên ta thay s X − µ√ n ∼ t(n − 1) +) Chọn thống kê: Z = s +) Làm tương tự trường hợp 1, ta thay phân vị chuẩn phân vị Student +) Mẫu cụ thể (x1 , x2 , , xn ), ta có khoảng ước lượng cho µ với độ tin cậy − α là: s s (x − t(n − 1, − α2 ) √ ; x + t(n − 1, − α1 ) √ ) n n 56 of 112 Trường hợp 2: σ chưa biết Chú ý: n > 30 phân phối chuẩn tắc phân phối student bậc tự (n − 1) coi Do n > 30 ta chọn thống kê: X − µ√ n ∼ N(0; 1) Z= s Khoảng ước lượng cho µ với độ tin cậy − α là: s s (x − u1−α2 √ ; x + u1−α1 √ ) n n 57 of 112 Trường hợp 2: σ chưa biết +) Khoảng ước lượng đối xứng (α1 = α2 = α/2): α s α s (x − t(n − 1, − ) √ ; x + t(n − 1, − ) √ ) n n 58 of 112 Trường hợp 2: σ chưa biết +) Khoảng ước lượng đối xứng (α1 = α2 = α/2): α s α s (x − t(n − 1, − ) √ ; x + t(n − 1, − ) √ ) n n +) Khoảng ước lượng bên trái (α1 = α; α2 = 0): s (−∞; x + t(n − 1, − α) √ ) n 58 of 112 Trường hợp 2: σ chưa biết +) Khoảng ước lượng đối xứng (α1 = α2 = α/2): α s α s (x − t(n − 1, − ) √ ; x + t(n − 1, − ) √ ) n n +) Khoảng ước lượng bên trái (α1 = α; α2 = 0): s (−∞; x + t(n − 1, − α) √ ) n +) Khoảng ước lượng bên phải (α1 = 0; α2 = α): s (x − t(n − 1, − α) √ ; +∞) 58 of 112 n Ví dụ Ví dụ trước hợp với thực tế ta sửa lại sau: Doanh thu cửa hàng biến ngẫu nhiên X (triệu/tháng) Điều tra ngẫu nhiên doanh thu 500 cửa hàng có qui mơ tương tự ta tính doanh thu trung bình 10 triệu/tháng độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh triệu/tháng Với độ tin cậy 95% ước lượng khoảng cho doanh thu trung bình cửa hàng thuộc qui mơ 59 of 112 Bài làm: +) X (triệu/tháng) doanh thu cửa hàng loại xét, EX = µ , VX = σ X − µ√ Chọn thống kê: Z = n ∼ t(n − 1) s +) Khoảng ước lượng đối xứng cho doanh thu trung bình µ là: s s (x − t(n − 1, − α2 ) √ ; x + t(n − 1, − α2 ) √ ) n n +) Với x = 10, s = 2, n = 500 − α = 0, 95 ⇒ α = 0, 05 ⇒ t(n − 1, − α2 ) = t(499; 0, 975) = 1, 96 +) Thay số liệu vào khoảng ta có kết quả: (9,825 ; 10,175) 60 of 112 4.2.3 Ước lượng khoảng cho tỷ lệ Bài toán: Xác suất xảy kiện A p Do p nên người ta thực n phép thử độc lập, điều kiện Trong có m phép thử xảy A m ước lượng điểm không chệch cho p f = n Câu hỏi: Với độ tin cậy (1 − α) ước lượng khoảng cho p 61 of 112 4.2.3 Ước lượng khoảng cho tỷ lệ Cách giải quyết: tương tự cách làm cho kỳ vọng f −p √ +) Chọn thống kê: Z = p n ∼ N(0; 1) p(1 − p) +) Tuy nhiên khó giải nên người ta thay p mẫu f cho dễ tính f −p √ Thống kê trở thành: Z = p n ∼ N(0; 1) f (1 − f ) +) Mẫu cụ thể (x1 , x2 , , xn ), ta có khoảng ước lượng cho p với độ tin cậy − α là: r r f (1 − f ) f (1 − f ) , f + u1−α1 ) (f − u1−α2 62 of 112 n n Các trường hợp ước lượng hay dùng +) Khoảng ước lượng đối xứng (α1 = α2 = α/2): r r f (1 − f ) f (1 − f ) (f − u1− α2 , f + u1− α2 ) n n 63 of 112 Các trường hợp ước lượng hay dùng +) Khoảng ước lượng đối xứng (α1 = α2 = α/2): r r f (1 − f ) f (1 − f ) (f − u1− α2 , f + u1− α2 ) n n +) Khoảng ước lượng bên trái (α1 = α; α2 = 0): r f (1 − f ) ) (−∞; f + u1−α n 63 of 112 Các trường hợp ước lượng hay dùng +) Khoảng ước lượng đối xứng (α1 = α2 = α/2): r r f (1 − f ) f (1 − f ) (f − u1− α2 , f + u1− α2 ) n n +) Khoảng ước lượng bên trái (α1 = α; α2 = 0): r f (1 − f ) ) (−∞; f + u1−α n +) Khoảng ước lượng bên phải (α1 = 0; α2 = α): r f (1 − f ) (f − u1−α ; +∞) n 63 of 112 4.2.3 Ước lượng khoảng cho tỷ lệ Chú ý: Do tỷ lệ nhận giá trị từ đến nên ta thay giá trị −∞ +∞ khoảng ước lượng phía 64 of 112 4.2.3 Ước lượng khoảng cho tỷ lệ Chú ý: Do tỷ lệ nhận giá trị từ đến nên ta thay giá trị −∞ +∞ khoảng ước lượng phía Ví dụ:Tại bến xe, kiểm tra ngẫu nhiên 100 xe thấy có 30 xe xuất phát Với độ tin cậy 95% ước lượng khoảng cho tỷ lệ xe xuất phát 64 of 112 Bài làm: +) Gọi p tỷ lệ xe xuất phát f −p √ n ∼ N(0; 1) Chọn thống kê: Z = p f (1 − f ) +) Khoảng ước lượng đối xứng cho tỷ lệ xe xuất phát là: r r f (1 − f ) f (1 − f ) (f − u1− α2 , f + u1− α2 ) n n m +) Với n = 100, m = 30 ⇒ f = = 0, n − α = 0, 95 ⇒ α = 0, 05 ⇒ u1− α2 = u0,975 = 1, 96 +) Thay số liệu vào khoảng ta có kết quả: (0,21 ; 0,39) 65 of 112