(Skkn 2023) rèn luyện kĩ năng phân tích vec tơ cho học sinh trung bình trường trung học phổ thông

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG PTDTNT THPT NỘI TRÚ SỐ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH VEC TƠ CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Nghệ An, tháng năm 2023 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG PTDTNT THPT NỘI TRÚ SỐ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH VEC TƠ CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Tác giả: Năm thực hiện: Số điện thoại: 1)Trần Thị Thanh Vĩnh 2) Phan Thị Hồng Hải 2022 – 2023 0966230017 Nghệ An, tháng năm 2023 A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Việc dạy học theo chương trình sách giáo khoa đổi vừa mở trang giáo dục phổ thông vừa đặt thử thách không nhỏ việc dạy học trường phổ thông Đặc biệt trường PT dân tộc nội trú mà đối tượng giảng dạy trực tiếp em đồng bào dân tộc thuộc vùng 135 có hồn cảnh đặc biệt khó khăn Các em tiếp cận chương trình sách giáo khoa lớp 10 lớp em học chương trình cũ cịn nhiều thiếu sót nên việc bắt nhịp tiếp cận vấn đề cịn khó khăn, mẻ Khái niệm vec tơ lên lớp 10 xem hoàn toàn với em, em bắt gặp số tốn vật lí trước Nhưng nhìn chung, khái niệm vec tơ lên lớp 10 em học cách đầy đủ Nếu xét điểm toán với mức đầu vào đại đa số em điểm toán mức 4-5 điểm, với mức xuất phát thấp nên việc thiết kế dạy có chương trình rèn luyện kĩ cụ thể, khoa học hiệu em quan trọng đòi hỏi người giáo viên phải đầu tư, kiên trì linh hoạt Một mục đích dạy tốn trường phổ thơng là: Phát triển học sinh lực phẩm chất trí tuệ, giúp học sinh biến tri thức khoa học nhân loại tiếp thu thành kiến thức thân, thành công cụ để nhận thức hành động đắn lĩnh vực hoạt động học tập sau Trong đường lối đổi giáo dục khẳng định: “Phải đổi phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thành nếp tư sáng tạo người học Từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến phương tiện đại vào trình dạy học, đảm bảo điều kiện thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh” Như vậy, quan điểm chung đổi phương pháp dạy học khẳng định, cốt lõi việc đổi phương pháp dạy học mơn tốn trường THPT làm cho học sinh học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động Làm cho học sinh nắm cách xác, vững có hệ thống kiến thức kỹ tốn học phổ thơng bản, đại, phù hợp với thực tiễn có lực vận dụng tri thức vào tình cụ thể, vào đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc học tập môn khoa học khác Việc giải tập tốn hình thức tốt để củng cố, hệ thống hóa kiến thức rèn luyện kỹ năng, hình thức vận dụng kiến thức học vào vấn đề cụ thể, vào thực tế, vào vấn đề mới, hình thức tốt để giáo viên kiểm tra lực, mức độ tiếp thu khả vận dụng kiến thức học Việc giải tập toán có tác dụng lớn việc gây hứng thú học tập cho học sinh nhằm phát triển trí tuệ góp phần giáo dục, rèn luyện người học sinh nhiều mặt Việc giải toán cụ thể khơng nhằm dụng ý đơn mà thường bao hàm ý nghĩa nhiều mặt học sinh dùng phương pháp để giải vấn đề toán cao vấn đề ngồi thực tế mang tính lơgic tốn Trong phạm vi sáng kiến kinh nghiệm tơi xin trình bày số kinh nghiệm việc giảng dạy về: “RÈN LUYỆN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH VEC TƠ CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG « Điểm đề tài - Nghiên cứu phương pháp giảng dạy giải tập tốn theo hướng hình thành rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh Khơi gợi cho học sinh hứng thú giải toán, kích thích trí tị mị học sinh giúp em hiểu tốn cách tổng qt Sau phân tích tốn: đâu giả thiết, đâu kết luận Tiếp theo giúp học sinh chuyển toán sang ngôn ngữ véctơ - Hướng cho học sinh làm quen sử dụng thành thạo “Quy trình bốn bước giải tốn hình học PPVT” Bước 1: Chọn véctơ sở Bước 2: Dùng phương pháp phân tích véctơ phép tốn véctơ để biểu diễn, chuyển ngơn ngữ từ hình học thơng thường sang ngơn ngữ véctơ Bước 3: Giải toán véctơ Bước 4: Kết luận, đánh giá kết - Dựa theo chuẩn kiến thức kỹ hình học 10 Bộ GD-ĐT xuất phát từ thực tiễn giảng dạy nghiên cứu phương pháp dạy học tập hình học 10 qua phương pháp dùng véc tơ, nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh Đối tượng nghiên cứu 3.1 Phương pháp giải tập hình học phẳng phương pháp phân tích véc tơ 3.2 Các tập hình học phẳng phương pháp phân tích véc tơ hình học lớp 10 Phạm vi nghiên cứu Bài tập hình học phẳng phương pháp véc tơ chương IV SGK Toán 10 – Kết nối tri thức B NỘI DUNG Cơ sở lý luận Theo phương pháp dạy học toán tập toán đặt thời điểm trình dạy học chứa đựng cách tường minh hay ẩn tàng chức khác Các chức là: - Chức dạy học - Chức giáo dục - Chức phát triển - Chức kiểm tra Các chức hướng tới việc thực mục đích dạy học: - Chức dạy học: Bài tập tốn nhằm hình thành củng cố cho học sinh tri thức, kĩ năng, kĩ xảo giai đoạn khác trình dạy học - Chức giáo dục: Bài tập toán nhằm hình thành cho học sinh giới quan vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niềm tin phẩm chất đạo đức người lao động - Chức phát triển: Bài tập toán nhằm phát triển lực tư cho học sinh, đặc biệt rèn luyện thao tác trí tụê hình thành phẩm chất tư khoa học - Chức kiểm tra: Bài tập toán nhằm đánh giá mức độ kết dạy học, đánh giá khả độc lập học toán, khả tiếp thu, vận dụng kiến thức trình độ phát triển học sinh Hiệu việc dạy toán phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác thực cách đầy đủ chức có tác giả viết sách giáo khoa có dụng ý đưa vào chương trình Người giáo viên phải có nhiệm vụ khám phá thực dụng ý tác giả lực sư phạm Trong tốn có nhiều tốn chưa có khơng có thuật giải khơng có thuật giải tổng quát để giải tất toán Chúng ta thơng qua việc dạy học giải số toán cụ thể mà truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm việc suy nghĩ, tìm tịi lời giải cho tốn Dạy học giải tập tốn khơng có nghĩa giáo viên cung cấp cho học sinh lời giải tốn Biết lời giải tốn khơng quan trọng làm để giải toán Để làm tăng hứng thú học tập học sinh, phát triển tư duy, thầy giáo phải hình thành cho học sinh quy trình chung, phương pháp tìm lời giải cho tốn Theo Pơlya, phương pháp tìm lời giải cho tốn thường tiến hành theo bước sau: Bước 1: Tìm hiểu nội dung toán Để giải toán, trước hết phải hiểu tốn có hứng thú với việc giải tốn Vì người giáo viên phải ý gợi động cơ, kích thích trí tò mò, hứng thú cho học sinh giúp em tìm hiểu tốn cách tổng qt Tiếp theo phải phân tích tốn cho: - Đâu ẩn số, đâu kiện -Vẽ hình, sử dụng kí hiệu thích hợp (nếu cần) -Phân biệt thành phần khác điều kiện, diễn đạt điều kiện dạng cơng thức tốn học khơng? Bước 2: Xây dựng chương trình giải Phải phân tích tốn cho thành nhiều toán đơn giản Phải huy động kiến thức học (định nghĩa, định lí, quy tắc ) có liên quan đến điều kiện, quan hệ đề tốn lựa chọn số kiến thức gần gũi với kiện tốn mị mẫm, dự đốn kết Xét vài khả xảy ra, kể trường hợp đặc biệt Sau đó, xét tốn tương tự khái qt hóa tốn cho Bước Thực chương trình giải Bước 4: Kiểm tra nghiên cứu lời giải - Kiểm tra lại kết quả, xem lại lập luận trình giải - Nhìn lại tồn bước giải, rút tri thức phương pháp để giải loại toán - Tìm thêm cách giải khác (nếu có thể) - Khai thác kết có toán - Đề xuất toán tương tự, tốn đặc biệt khái qt hóa tốn Cơng việc kiểm tra lời giải tốn có ý nghĩa quan trọng Trong nhiều trường hợp, kết thúc toán lại mở đầu cho tốn khác Vì "Cần phải luyện tập cho học sinh có thói quen kiểm tra lại tốn, xét xem có sai lầm hay thiếu sót khơng, tốn có đặt điều kiện tốn địi hỏi phải biện luận Việc kiểm tra lại lời giải yêu cầu học sinh thực cách thường xuyên” Cơ sở khoa học Xuất phát từ yêu cầu học sinh kiến thức kỹ chương IV- SGK Toán 10 – Kết nối tri thức với sống là: - Về kiến thức bản: nắm khái niệm véctơ, hai véctơ nhau, hai véctơ đối nhau, véctơ không, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc trung điểm, định nghĩa tính chất phép cộng, phép trừ, phép nhân véctơ với số thực, tích vơ hướng hai véctơ - Về kĩ bản: biết dựng véctơ véctơ cho trước, biết lập luận hai véctơ nhau, vận dụng quy tắc hình bình hành, quy tắc ba điểm để dựng véctơ tổng giải số toán, biết xác định số thực k hai véc tơ     phương a,b cho b  ka , vận dụng tính chất tích vơ hướng, đặc biệt để xác định điều kiện cần đủ hai véctơ (khác véctơ-khơng) vng góc với nhau, vận dụng tổng hợp kiến thức véctơ để nghiên cứu số quan hệ hình học như: tính thẳng hàng ba điểm, trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, giao điểm hai đường chéo hình bình hành… Thực trạng Trong thực tế dạy học cho thấy, học sinh thường gặp khó khăn vận dụng kiến thức vào giải tập cụ thể do: học sinh không nắm vững kiến thức khái niệm, định lí, qui tắc, khơng trở thành sở kỹ Muốn hình thành kỹ năng, đặc biệt kỹ giải toán cho học sinh, người thầy giáo cần phải tổ chức cho học sinh học toán hoạt động hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo để học sinh nắm vững tri thức, có kỹ sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn Góp phần thực nguyên lý nhà trường phổ thông là: “Học đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà trường gắn liền với xã hội” Trong chương trình hình học lớp 10 học sinh học véctơ, phép tốn véctơ, tính chất tích vơ hướng ứng dụng chúng, đặc biệt hệ thức quan trọng tam giác: Định lý Côsin, định lý Sin, công thức trung tuyến, cơng thức tính diện tích tam giác học sinh phải biết tận dụng kiến thức nói để giải số tốn hình học tốn thực tế PPVT có nhiều tiện lợi việc giải tập hình học Tuy vậy, sử dụng phương pháp học sinh gặp phải số khó khăn, khơng tránh khỏi sai lầm giải tốn hình học lớp 10 Khó khăn thứ mà học sinh gặp phải lần làm quen với đối tượng véctơ, phép toán véctơ Các phép tốn véctơ lại có số tính chất tương tự số mà học sinh học trước đó, học sinh chưa hiểu rõ chất khái niệm phép toán nên dễ ngộ nhận, mắc sai lầm sử dụng PPVT Khó khăn thứ hai sử dụng PPVT ly khỏi hình ảnh trực quan, hình vẽ nên khó tưởng tượng, hiểu tốn cách hình thức, khơng hiểu nghĩa hình học tốn Vì học sinh có thói quen giải tốn hình học phải vẽ hình nên sử dụng PPVT để giải số tập khơng sử dụng hình vẽ, học sinh gặp nhiều khó khăn Học sinh thường gặp khó khăn chuyển tốn từ ngơn ngữ hình học thơng thường sang “ngơn ngữ véctơ” ngược lại Vì cần rèn luyện cho học sinh kỹ chuyển tương đương quan hệ hình học từ cách nói thơng thường sang dạng véctơ để vận dụng cơng cụ véctơ giải toán Áp dụng thực tế dạy học Ở lớp 10 học sinh học véc tơ, phép toán véctơ (phép cộng, phép trừ, phép nhân véc tơ với số thực, tích vơ hướng hai véctơ), sau trục, hệ trục toạ độ, toạ độ điểm, toạ độ véc tơ vài ứng dụng đơn giản phương pháp toạ độ Tuy học sinh học hai phương pháp: Véctơ toạ độ, phương pháp chủ yếu phương pháp véctơ Bởi hệ thức lượng tam giác đường tròn xây dựng nhờ véctơ phép tốn, đặc biệt tích vô hướng hai véctơ định nghĩa theo đẳng thức véctơ Để giúp học sinh sử dụng thành thạo PPVT để giải toán, học sinh lớp 10 giảng dạy GV cần lưu ý vấn đề sau: 4.1 Áp dụng quy trình bước dạy giải tập toán GV cần hình thành cho học sinh bước giải tốn hình học phương pháp véc tơ theo bước sau: Trước hết giáo viên cần rèn luyện cho học sinh nắm vững quy trình bốn bước giải tốn PPVT Quy trình bốn bước giải tốn hình học PPVT Bước 1: Chọn véctơ sở Bước 2: Dùng phương pháp phân tích véctơ phép tốn véctơ để biểu diễn, chuyển ngơn ngữ từ hình học thơng thường sang ngơn ngữ véctơ Bước 3: Giải toán véctơ Bước 4: Kết luận, đánh giá kết Giáo viên cần tận dụng hội để rèn luyện cho học sinh khả thực bốn bước giải tốn hình học PPVT thơng qua tập, minh hoạ quy trình bốn bước ví dụ sau: Bài tốn: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM K điểm cạnh AC cho AK  AC    a) Tính BI theo BA, BC    b) Tính BK theo BA, BC c) Chứng minh ba điểm B, I , K thẳng hàng Lời giải  Chú ý: Cho hai vectơ a b không phương Với vectơ c    tồn cặp số thực (m; n) cho c  ma  nb   Bước 1: Chọn hai véc tơ BA, BC làm hai véc tơ sở Mọi véctơ tốn phân tích (hoặc biểu thị được) qua hai véc tơ Bước 2: Điều phải chứng minh ba điểm B, I , K thẳng hàng tương   đương với việc chứng minh BI  m BK , m số khác Bước 3: Giả thiết cho I trung điểm AM K điểm cạnh           BI  BA  AI  BA  AM  BA  ( BM  BA)  BA  BC (1) 2           BK  BA  AK  BA  AC  BA  ( BC  BA)  BA  BC (2) 3 3 AC cho AK  AC nên: Bài 4: Cho tam giác ABC điểm M tùy ý không thuộc đường thẳng AB, BC, CA Gọi A, B, C theo thứ tự điểm đối xứng M qua trung điểm I , K , J cạnh BC, CA, AB Chứng minh a) Ba đường thẳng AA, BB, CC đồng quy b) Đường thẳng MM qua điểm cố định M di động Bài 5: Cho tam giác ABC đều, tâm O M tam giác ABC có hình chiếu xuống cạnh BC, CA, AB tương ứng P, Q, R Gọi K trọng tâm tam giác PQR a) Chứng minh: M, O, K thẳng hàng b) Cho N điểm tùy ý BC Hạ NE, NF tương ứng vng góc với AC, AB Chứng minh N, J, O thẳng hàng, với J trung điểm EF Bài 6: Trên cạnh AB, BC , CA tam giác ABC lấy điểm tương ứng Trên cạnh A1 B1 ; B1C1; C1 A1 k tương ứng C2 ; A2 ; B2 cho C1 ; A1 ; B1 cho AC1 : C1 B  BA1 : A1C  CB1 : B1 A  tam giác A1 B1C1 lấy điểm A1C2 : C2 B1  B1 A2 : A2C1  C1 B2 : B2 A1  k Chứng minh rằng: A2C2 // AC ; C2 B2 // CB; B2 A2 // BA Dạng 4: Chứng minh hai đường thẳng vng góc Vận dụng kiến thức PPVT để giải toán quan hệ vng góc cho lời giải rõ ràng, ngắn gọn Thơng thường với dạng tốn trên, ta quy tốn chứng minh hai đường thẳng vng góc, hay từ định nghĩa tích vơ hướng hai véc tơ ta      suy ra: Nếu a, b hai véc tơ khác với a nằm đường thẳng a, b nằm  đường thẳng b a  b  a.b  Vậy toán chứng minh hai đường thẳng vng góc quy tốn chứng minh tích vơ hướng hai véc tơ   60 Gọi M trung Ví dụ 1: Cho tam giác  ABC có AB  2, AC  3, BAC  điểm đoạn thẳng BC Điểm D thỏa mãn AD   AC Chứng minh: AM  BD 12 Hướng dẫn giải: Bước 1: Phân tích tốn Trước hết học sinh phải nhận dạng tốn chứng minh hai đường thẳng vng góc phương pháp chứng minh tích vơ hướng hai vec tơ phương hai đường thẳng    Nếu chứng minh trực tiếp AM BD  khơng thể chứng minh được, chắn phải sử dụng phân tích vec tơ   Chọn vec tơ sở để phân tích vec tơ AB, AC     Bước 2: Phân tích vec tơ hai vec tơ AM ; BD theo AB, AC 18       AM  AB  AC BD   AB  AC 2 12       Bước 3: AM BD  ( AB  AC ).( AB  AC )  2 12   (Với AB AC  AB AC.cos 60  3, AB  4; AC  ) Từ suy điều phải chứng minh Bước 4: - Kiểm tra nghiên cứu lời giải - Kiểm tra lại bước giải tốn Ví dụ 2: Cho tam giác  MNP cân M; K trung điểm NP, H hình chiếu K MP, E trung điểm KH Chứng minh ME  NH Hướng dẫn giải: Bước 1: Tìm hiểu nội dung tốn Trước hết học sinh phải tìm hiểu toán cách tổng thể: Đây dạng tốn chứng minh hai đường thẳng vng góc Tiếp theo phải phân tích tốn cho - Bài tốn cho biết gì? (Cho tam giác  MNP cân M, H hình chiếu K MP, E trung điểm KH) - Bài tốn hỏi gì? (Chứng minh ME  KH) - Tìm mối liên hệ phải tìm với cho Bước 2: Xây dựng chương trình giải: Để chứng minh ME  NH, ta phải chứng minh ? (phải chứng minh   đẳng thức véc tơ ME.NH  ) M   Để sử dụng giả thiết MK  NP(Hay MK NP  )  KH   MP (Hay KH MP  ) ta phải phân tích  véc tơ ME , NH theo véc tơ nào?   Khi AE.BH  ? Bước 3: Thực chương trình giải H       ME NH  ( MK  MH )( NK  NH )   N = MK KH  MH NK        = MK KH  ( MK  KH ) NK  MK KH  KH KP     = HK KH  KH KH  KH  KH   ME  NH Bước 4: E K P - Kiểm tra nghiên cứu lời giải - Kiểm tra lại bước giải toán * Hệ thống tập Bài 1: Cho hình vng ABCD, M trung điểm BC N điểm hai điểm A C Đặt x  AN Tìm x thỏa mãn AM  BN AC Bài 2: Cho tam giác ABC cạnh a Gọi M, N điểm cho     3BM  BC , AN  AC Chứng minh AM vuông góc BN 19 Bài 3: Cho tứ giác ABCD có E giao điểm AC BD Gọi I, J trung điểm BC, AD H, K trực tâm tam giác ABE, CDE Chứng minh HK  IJ Bài 4: Cho tam giác ABC có AB =3, AC=4, A  600 Gọi M trung điểm BC Về phía ngồi tam giác vẽ tam giác vuông cân A ABD ACE Bài 5: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, cạnh AB, BC, CA ta lấy điểm M, N, E cho AM BN CE   Chứng minh rằng: AN  ME MB NC EA Dạng 5: Chứng minh đẳng thức véc tơ Đẳng thức véctơ đẳng thức mà hai vế biểu thức véctơ Mỗi biểu thức chứa hạng tử véctơ chúng nối với dấu  phép toán véctơ hai vế đẳng thức Để chứng minh tập dạng này, chủ yếu ta sử dụng quy tắc điểm, quy tắc hình bình hành để dựng véctơ cho hai vế đẳng thức, sử dụng công thức trọng tâm tam giác, trung điểm đoạn thẳng, tính chất phép tốn, tính chất tích vơ hướng hai véctơ để rút gọn hai vế Các phương pháp sử dụng tóm tắt lại gồm phương pháp sau: - Xét hiệu hai vế - Biến đổi từ biểu thức vế sang vế - Chứng minh hai biểu thức vectơ vectơ trung gian - Chứng minh hai biểu thức vectơ biểu thức vectơ trung gian cách sử dụng quy tắc trừ với điểm đầu điểm O Ví dụ 1: Cho tam giác ABC với cạnh AB  c, BC  a, CA  b  a) Gọi CM đường phân giác góc C Hãy biểu thị véc-tơ CM   theo véc-tơ CA CB b) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh     a IA  bIB  cIC  Lời giải a) Theo tính chất đường phân giác, ta có  AM CA b b    suy MA   MB BM CB a a  b   CA  CB a  b  a Do CM   CA  CB b a b a b 1 a    b) Bước 1: Chọn véctơ IA, IB, IC làm véctơ sở Mọi véctơ xuất toán phân tích qua véctơ Bước 2: Bài tốn cho dạng ngôn ngữ véctơ 20 Bước 3: Vì I tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC nên AI phân  giác tam giác ACM Bởi theo câu a) ta biểu thị véc-tơ AI theo   véc-tơ AM AC bc    AC AM b b  AM  AC  AB  a  b AC bc a  b bc AC  AM AC  AM b b ab ab          b c b c  AB  AC  IB  IA  IC  IA abc abc abc abc           bc  b c IA  IB  IC   aIA  bIB  cIC  Suy 1   abc abc  abc   AI   Bước 4:    - Kiểm tra nghiên cứu lời giải - Kiểm tra lại bước giải tốn Ví dụ2:Chứng minh với điểm A, B, C, D ta có       AB.CD  AC.DB  AD.BC  (*) Hướng dẫn giải:    Bước 1: Chọn véctơ AB, AC , AD làm véctơ sở Mọi véctơ xuất tốn phân tích qua véctơ Bước 2: Bài toán cho dạng ngôn ngữ véctơ Bước 3:       AB.CD  AC.DB  AD.BC           = AB( AD  AC )  AC ( AB  AD )  AD ( AC  AB )             = AB AD  AB AC  AC AB  AC AD  AD AC  AD AB             = ( AB AD  AD AB )  ( AC AB  AB AC )  ( AD AC  AC AD )  Bước 4: Nhận xét: Đẳng thức véctơ (*) gọi hệ thức Ơle Có thể dùng hệ thức Ơle để chứng minh: Trong tam giác đường cao đồng quy Thật vậy, giả sử đường cao kẻ từ B, C tam giác ABC cắt H Áp dụng hệ thức Ơle cho điểm H, A, B, C ta có:       HA.BC  HB.CA  HC AB        Do HB  CA, HC  AB nên HB.CA  HC AB  từ HA.BC  tức HA  BC Kết vừa chứng minh mở rộng đẳng thức       AB.CD  AC.DB  AD.BC  A, B, C, D nằm đường thẳng * Hệ thống tập Bài 1: Cho hình bình hành ABCD M điểm tuỳ ý Chứng minh     MA  MC  MB  MD Bài 2: Cho tam giác ABC điểm M tùy ý.      a) Hãy xác định điểm D, E , F cho MD  MC  AB , ME  MA  BC ,    MF  MB  CA Chứng minh điểm D, E , F không phụ thuộc vào vị trí điểm M       b) Chứng minh MA  MB  MC  MD  ME  MF 21 Bài 3: Cho tam giác ABC với cạnh AB  c, BC  a, CA  b  a) Gọi CM đường phân giác góc C Hãy biểu thị véc-tơ CM   theo véc-tơ CA CB b) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh     aIA  bIB  cIC  Bài 4: Cho tứ giác ABCD Gọi I , J trung điểm AB CD, O trung điểm IJ Chứng minh    a) AC  BD  IJ      b) OA  OB  OC  OD       c) MA  MB  MC  MD  MO với M điểm Bài 5: Cho tam giác ABC Gọi H điểm đối xứng với B qua G với G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh       3 3    b) MH  AC  AB , với M trung điểm BC 6 a) AH  AC  AB CH   AB  AC Hệ thống tập với kỹ giải tốn cần thiết như: Chuyển tốn sang ngơn ngữ véctơ, phân tích véctơ thành tổ hợp véctơ, kỹ biết cách ghép số véctơ tổ hợp véctơ giúp học sinh dễ nhận dạng tìm cách giải cho tốn cụ thể, giúp học sinh có hứng thú học tập mơn tốn, góp phần phát triển lực giải tốn Sự phân dạng tập tạo điều kiện cho học sinh tuỳ theo lực, trình độ chủ động, sáng tạo học tập, nghiên cứu chủ đề véctơ chương trình tốn 10 4.4 Chỉ khó khăn sai lầm học sinh gặp phải giải tốn hình học phẳng PPVT PPVT có nhiều tiện lợi việc giải tập hình học Tuy vậy, sử dụng phương pháp học sinh gặp phải số khó khăn, khơng tránh khỏi sai lầm giải tốn hình học lớp 10 Khó khăn thứ mà học sinh gặp phải lần làm quen với đối tượng véctơ, phép toán véctơ Các phép toán véctơ lại có nhiều tính chất tương tự số mà học sinh học trước đó, học sinh chưa hiểu rõ chất khái niệm phép toán nên dễ ngộ nhận, mắc sai lầm sử dụng PPVT   Ví dụ 1: Cho hai véc tơ OA, OB Gọi B’ hình chiếu B đường thẳng OA    ' đó: OA.OB  OA.OB  Véc tơ OB ' gọi hình chiếu OA đường thẳng OA; Công thức     OA.OB  OA.OB ' gọi cơng thức hình chiếu 22   Lời giải học sinh: - Học sinh vẽ hình ảnh hai vec tơ OA, OB góc hai vec-tơ góc nhọn  Sau tìm hình chiếu điểm B đường thẳng OA điểm B’ - Khi  đó  OB '  OB.cos   Ta có: OA.OB  OA.OB.cos   OA.OB ' (đpcm) Học sinh dựa vào hình vẽ để chứng minh toán chưa xét hết trường hợp xảy (  góc vng góc tù) Như cách chứng minh chưa chặt chẽ Lời giải đúng: Xét VT đẳng thức cần chứng minh           OA.OB  OA.(OB '  B ' B )  OA.OB '  OA.BB '  OA.OB ' (đpcm)     (Do OB  BB '  OB.BB '  )     Ví dụ 2: Cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh rằng: AB  CD  AD  CB Với toán trên, nhiều học sinh bị học sinh hiểu toán sau: Cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh rằng: AB  CD  AD  CB Vì hiểu sai tốn, dẫn đến khó khăn q trình tìm lời giải tốn   Ví dụ 3: Cho tam giác ABC với AB  3, AC  5, BC  Tính AB AC , tính góc A, góc hai đường thẳng AB AC Có học sinh giải tốn sau: Ta có     AB AC AB.CD  3.5  15  cos A   nên số đo góc A 00 , góc hai đường AB AC thẳng AB, AC 00 15    15 2 2 1 Lời giải 2:Ta có AB AC  ( AB  AC  BC )  nên cos A  15 Do : góc A có số đo 120 độ Góc đường thẳng AB, AC 120 độ Bài học sinh giải sai chưa nắm vững kiến thức véc tơ, có nhầm lẫn véctơ với đoạn thẳng, đặc biệt việc xác định góc hai véctơ với góc hai đường thẳng (không hiểu, không học kỹ định nghĩa)   Lời giải sau: Ta có AB AC  ( AB  AC  BC )  15 15  1 A  1200 , góc hai đường thẳng AB, AC nên cos A  15 Góc 0   180  120  60 Khó khăn thứ hai sử dụng véc tơ để giải tốn hình học lớp 10 học sinh phải gần ly khỏi hình ảnh trực quan, hình vẽ, (ít vẽ hình minh họa khơng cần thiết), nên khó tưởng tượng, hiểu tốn cách hình thức, khơng hiểu nghĩa hình học tốn Vì học sinh có thói quen giải tốn hình học phải vẽ hình nên sử dụng PPVT để giải số tập không sử dụng hình vẽ, học sinh gặp nhiều khó khăn lúng túng     Ví dụ 4: Cho tam giác ABC Đặt CA  a, CB  b Lấy điểm A’, B’ cho 23      CA '  ma , CB '  nb Gọi I giao điểm A’B B’A Hãy biểu thị véc tơ CI   theo hai véc tơ a , b     CA ' Học sinh giải toán sau: ta có CA '  ma , CB '  nb nên m CA CA ' A ' A CA ' m BB ' Tương tự:       n Gọi I chia đoạn AB’ theo CA ' m A' A  m CB tỷ số x , B, I, A’ thẳng hàng nên áp dụng định l Menêlaúyt ta có  m   CA  CB '   m  m AI m   m(1  n ) hay (1  n ) x 1 x  IA  IB '  CI  m 1 1 m m(1  n ) IB ' m(1  n ) 1 m(1  n ) m( n  1)  n (1  m )   CA  CB '  mn  mn Nhìn kết trình làm lơgic hồn hảo Phân tích sai lầm: Trong q trình giải, ly khỏi hình vẽ nên HS xác định “nhầm” vị trí điểm I: điểm I nằm tam giác ABC.Mặc dù kết cuối đúng, lời giải chưa xác, “thu hẹp” điều kiện m, n là: m > 0, n > Mặt khác, HS xác “định” nhầm: từ tỉ số BB '   n , suy điểm B chia đoạn thẳng B’C theo tỷ số  n , BC làm tương tự với điểm A’ -Lời giải tốn sau: Vì I thuộc A’B AB’ nên có các số x        y : CI  x.CA '  (1  x ).CB  y.CA  (1  y )CB ' hay xma  (1  x )b  ya  (1  y )nb   mx  y 1 n kết x  mn 1  x  (1  y )n Vì hai véc tơ a, b không phương nên :   biết CI  m( n  1)  n (1  m )  CA  CB '  mn  mn Học sinh thường gặp khó khăn chuyển tốn từ ngơn ngữ hình học thơng thường sang ngơn ngữ hình học véctơ ngược lại Vì cần rèn luyện cho học sinh kỹ chuyển tương đương quan hệ hình học từ cách nói thơng thường sang dạng véctơ để vận dụng cơng cụ véctơ giải tốn Phương pháp dùng véc tơ để giải tốn hình học lớp 10 có nhiều tiện lợi việc giải tập Tuy vậy, sử dụng phương pháp học sinh gặp phải số khó khăn, không tránh khỏi sai lầm giải toán: lần làm quen với đối tượng véctơ, phép toán véctơ Các phép tốn véctơ lại có nhiều tính chất tương tự số mà học sinh học trước đó, học sinh chưa hiểu rõ chất khái niệm phép toán nên dễ ngộ nhận, mắc sai lầm sử dụng PPVT 24 Dạng 6: Ứng dụng vec tơ vào tốn thực tế Chương trình SGK xây dựng theo định hướng STEM mục đích quan trọng giúp học sinh biến tri thức hình thành tiếp nhận để giải tình thực tế Đối với ứng dụng phương pháp vec tơ vào giải toán thực tế em bắt đầu tiếp cận từ cấp hai với tập vật lí sử dụng quy tắc cộng, trừ vec tơ đơn giản Khi lên lớp 10 chương IV Toán 10 em giới thiệu đầy đủ kiến thức vec tơ Đây công cụ hữu hiệu để giải tốn thực tế Nhưng khó khăn học sinh chuyển ngôn ngữ tốn thực tế ngơn ngữ vec tơ nên phải hướng dẫn học sinh coa phân tích liệu để giải toán cách hiệu    Ví dụ 1: Chất điểm A chịu tác động ba lực F1 , F2 , F3 hình trạng thái        cân (tức F1  F2  F3  ) Tính độ lớn lực F2 , F3 biết F1 có độ lớn 20 N Lời giải: Bước 1: Dễ thấy toán chẳng qua toán cộng vec tơ xuất việc tính tổng vec tơ hướng dẫn học sinh thực bước cho đơn giảnphép cộng vec tơ   Đặt u  F1  F2 Ta xác định điểm hình 25 Dễ dàng xác định điểm C , điểm thứ tư hình bình hành ABCD Do vecto  u vecto AC     Vì chất điểm A trang thái cân nên F1  F2  F3  hay      u  F3   u , F3 hai vecto đối  A trung điểm EC Bước 2: Sau sử dụng kiện tốn rút nhận xét quan trọng để giải toán A trung điểm EC    Ta có: F1  AD  20, F2  AB, F3  AC   180  EAB   60 Do A, C , E thẳng hàng nên CAB  AD 40   AC   cos 30   90  60  30    CAD   AB  DC  AC  sin 30  20   20  40 Vậy F2  , F3  3 Ví dụ 2: Máy bay A bay hướng Đông Bắc với tốc độ 600 km / h Cùng lúc đó, máy bay B bay hướng Tây Nam với tốc độ 800 km / h Biểu diễn vectơ  vận tốc b máy bay B theo vectơ vận tốc a máy bay A Lời giải:   Bước 1: - Máy bay A máy bay B có phương bay, nên biểu diễn a theo b   cách biểu diễn hai vec tơ phương b  k a với k số khác Bước 2:   Vecto a, b vecto vận tốc máy bay A máy bay b   Do | a |,| b | độ lớn vecto vận tốc tương ứng 26    | b | 800 Ta có: | a | 600,| b | 800     | a | 600  4 Hai hướng Đông Bắc Tây Nam ngược nhau, b   a * Hệ thống tập: Bài 1: Vật thứ chuyển động thẳng từ A đến B với tốc độ m / s vật   thứ hai chuyển động thẳng từ B đến A với tốc độ m / s Gọi v1 , v2 vectơ vận tốc vật thứ vật thứ hai Có hay khơng số thực k thoả   mãn v1  kv2 ? Bài 2: Máy bay A bay với tốc độ a km / h , máy bay B bay ngược hướng có tốc độ gấp năm lần máy bay A Biểu diễn vectơ vận tốc b máy bay B theo vectơ  vận tốc a máy bay A Bài 3: Một vật đồng chất thả vào cốc chất lỏng Ở trạng thái cân bằng, vật chìm nửa thể tích chất lỏng Tìm mối liên hệ trọng lực P  vật lực đẩy Archimedes F mà chất lỏng tác động lên vật Tính tỉ số trọng lượng riêng vật chất lỏng   Bài 4: Cho hai lực F1 có cường độ lực 30N lực F2 có điểm đặt O hướng vng góc với Biết vec tơ hợp lực có cường độ 50N Hãy xác định cường độ lực vectơ lực    F1 ; F2 Bài 5: Cho hai lực F1 F2 có điểm đặtO, cường độ tổng hợp hai lực  Đều có cường độ 100N, góc hợp F1 F2 120       Bài 6: Cho lực F1  MA ; F2  MB ; F3  MC tác động vào vật điểm M    vật  đứngyên Cho biết cường độ F1 F2đều 100N AMB  60  Ta có F12  F1  F2 Tính cường độ hướng F3 27 C HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN Sáng kiến áp dụng trình giảng dạy chuyên đề hình học lớp 10A2, 10D, năm học 2022 – 2023 Qua thực tế giảng dạy với việc sử dụng phương pháp nghiên cứu thấy kỹ giải tốn hình học phương pháp véc tơ em nâng lên rõ rệt, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn nói riêng chất lượng giáo dục nói chung Điều chứng minh kết học tập học sinh lớp 10A2, 10D, năm học 2022 – 2023 sau: Giỏi Khá Trung bình Yếu - Kém Lớp Đầu năm Cuối năm Đầu năm Cuối năm Đầu năm Cuối năm Đầu năm Cuối năm 10A2 10% 20% 32% 45% 53% 32.5% 5% 2.5% 10D 5% 9% 33% 46% 51% 42% 11% 3% 28 KẾT LUẬN Qua vấn đề trình bày s n g k i ế n n y rút số kết luận sau: 1.Trong nhiệm vụ môn toán trường THPT, với việc truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ nhiệm vụ quan trọng, sở để thực nhiệm vụ khác Để rèn luyện kỹ giải tốn, góp phần bồi dưỡng lực giải toán cho học sinh cần đưa hệ thống tập đa dạng, hợp lí, xếp từ dễ đến khó nhằm giúp học sinh củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ phát triển tư biết áp dụng toán học vào thực tiễn S n g k i ế n hướng dẫn cho học sinh phương pháp tìm lời giải tốn theo bốn bước lược đồ Pôlya S n g k i ế n đề xuất số biện pháp sư phạm phù hợp, thông qua hệ thống tập nhằm rèn luyện kỹ giải tập HH PPVT với nội dung phong phú đề cập tới hầu hết tình điển hình mà học sinh hay gặp giải toán HH phẳng PPVT Đáp ứng nhu cầu tự học, tự nghiên cứu học sinh, điều có tác dụng rèn luyện lực giải toán cho học sinh THPT Kết thu qua thử nghiệm chứng tỏ cho tính khả thi hiệu biện pháp mà s ki ến đề cập tới Sán g k i ến góp phần việc nâng cao chất lượng dạy học trường THPT Với ý kiến trình bày hi vọng tài liệu tham khảo cho Thầy cô giáo, đặc biệt thầy cô giáo cịn chưa có nhiều kinh nghiệm giảng dạy, góp phần nâng cao giảng dạy nói chung mơn tốn nói riêng Với kinh nghiệm cịn ỏi chắn sáng kiến cịn nhiều thiếu sót mong đóng góp ý kiến độc giả để sáng kiến đầy đủ có ý nghĩa thiết thực Đồng thời vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu mở rộng thêm 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Toán 10, Kết nối tri thức , GSTS Hà huy Khoái (Tổng chủ biên) Sách tập Toán 10, Kết nối tri thức , GSTS Hà huy Khoái (Tổng chủ biên) Phương pháp giải toán chuyên đề hình học 10, tác giả Nguyễn Văn NHo, Lê Bảy (GV chuyên Toán, Trường THPT chuyên Nguyễn Khuyến TP HCM) Kĩ thuật giải nhanh toán hay khó hình học 10, Ths Nguyễn Duy Tiến (GV chun Toán, Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong – TP Hồ Chí Minh) Phương pháp dạy học mơn Tốn, Ts Nguyễn Bá Kim Tham khảo tài liệu trang web toanmath.com 30 MỤC LỤC NỘI DUNG TRANG A Mở đầu Lí chọn đề tài Điểm đề tài Đối tượng nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu B Nội dung Cơ sở lí luận Cơ sở khoa học Thực trạng Áp dụng thực tế dạy học 4.1 Áp dụng quy trình bước 4.2 Các kiến thức tập 4.3 Hệ thống tập 10 C Hiệu sáng kiến 28 D Kết luận 29 E Tài liệu tham khảo 30 Mục lục 31 31