0 = dx Hết'>Mục lục Chương 1 HÀM NHIỀU BIẾN 3 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM 3 1.1.1 KHÔNG GIAN Rn 3 1.1.2 HÀM NHIỀU BIẾN 3 1.1.3 TÍNH LIÊN TỤC HÀM HAI BIẾN 6 1.2 ĐẠO HÀM RIÊNG 7 1.2.1 ĐẠO HÀM RIÊNG 7 1.2.2 ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CAO 7 1.3 VI PHÂN 8 1.3.1 VI PHÂN 8 1.3.2 VI PHÂN TOÀN PHẦN 8 1.3.3 VI PHÂN CẤP CAO 8 1.4 CỰC TRỊ TỰ DO 9 1.4.1 ĐỊNH NGHĨA 9 1.4.2 CÁCH TÌM CỰC TRỊ 9 1.5 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN 11 1.6 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT 14 1.6.1 ĐỊNH NGHĨA 14 1.6.2 CÁCH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT 14 Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 16 2.1 KHÁI NIỆM 16 2.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 17 2.2.1 PHƯƠNG TRÌNH KHUYẾT 17 2.2.2 PHƯƠNG TRÌNH BIẾN SỐ PHÂN LY 19 2.2.3 PHƯƠNGTRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP 1 21 2.2.4 PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI 22 2.3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH CÓ THỂ HẠ CẤP 24 Chương 1 HÀM NHIỀU BIẾN 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM 1.1.1 KHÔNG GIAN Rn Rn = {(x1, x2, …, xn) xiR, 1≤ i ≤n} Một điểm trong Rn gồm bộ n số thực xác định điểm đó. - Khoảng cách giữa 2 điểm M(x1, x2, …, xn), N(y1, y2, …, yn): MN = MN ≥ 0, M, N Rn - Giới hạn của dãy điểm : Cho dãy điểm Mk ( ) trong Rn, k = 1, 2, …. Dãy điểm Mk hội tụ tới M0 ( ) nếu MkM0 = 0 hay Mk = M0 Định lý: Dãy điểm Mk ( ) hội tụ tới M0 ( ) khi và chỉ khi … Ví dụ : Tìm R2 = 2, = 1 nên = M0(2, 1) 1.1.2 HÀM NHIỀU BIẾN 1) Hàm hai biến Cho là một tập hợp trong , người ta gọi ánh xạ , tức là một quy tắc cho tương ứng với mỗi cặp số thực một số thực duy nhất , ký hiệu là là hàm số hai biến số, và là hai biến số độc lập. Ta ký hiệu : được gọi là miền xác định của hàm số . Tập hợp gọi là miền giá trị của hàm số . Ví dụ: Hàm chi phí của hai sản phẩm. Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Hàm chi phí mỗi tuần của mỗi loại sản phẩm như sau: Sản phẩm A: , x là số lượng sản phẩm A. Sản phẩm B: , y là số lượng sản phẩm B. Hàm chi phí của hai sản phẩm A và B là : Tính chi phí để sản xuất ra 10 sản phẩm A và 5 sản phẩm B . Biểu diễn hàm hai biến Đặt z = f(x,y). Tập hợp tất cả (x,y,z) trong không gian với toạ độ Oxyz thường tạo thành 1 mặt, gọi là biểu diễn của hàm z = f(x,y). Ví dụ : Cho hàm số z = f(x,y) = sin(x+y) có biểu diễn trên hệ trục Oxyz như sau: Miền xác định Miền xác định của hàm số z = f(x,y) là tập hợp những cặp sao cho biểu thức có nghĩa. Ví dụ : Hàm số xác định với mọi cặp , miền xác định của nó là toàn bộ mặt phẳng. Hàm số xác định khi hay , miền xác định của nó là hình tròn đóng, tâm , bán kính ( hình 1). hình 1 Hàm số được xác định khi hay , miền xác định của nó là nửa mặt phẳng mở ở phía trên đường thẳng (hình 2). Hình 2 2) Hàm n biến Cho hai tập D va U khác rỗng, D Rn , U R. Hàm n biến ký hiệu f: D U với u = f(x1, x2, …, xn) U D: miền xác định gồm (x1, x2, …, xn), U: miền giá trị của hàm. Giá trị của hàm u = f(x1, x2, …, xn) tại điểm M0( , …, ) được ký hiệu là f( , …, ) hoặc f(M0). GIỚI HẠN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 1) Hàm hai biến * f(x,y) xác định trên D R2, (x0,y0) D, = A (xn,yn)D, xn x0, yn y0 thì f(xn,yn) A Định nghĩa giới hạn này gọi là giới hạn kép (hay giới hạn bội). * Hàm hai biến còn có giới hạn lặp: ( f(x,y)) ( f(x,y)) 2) Hàm n biến Hàm n biến f(x1, x2, …, xn) xác định trên tập D có giới hạn b tại điểm M0 ( ) nếu mọi dãy điểm Mk ( ) D, k = 1, 2, … có giới hạn M0 ( ), (Mk M0) tức Mk = M0 thì f( ) = b Ta viết * Để chứng minh hàm số f không có giới hạn tại điểm M¬0 ta chọn 2 dãy điểm Mk M0, M’k M0 đều có Mk = M0, M’k = M0 nhưng f(Mk) f(M’k) Ví dụ: Tìm , ta có = 1, = 2 = = 1.23 = 8 = 8 f(x, y) = , Chứng minh không tồn tại Lấy 2 dãy Mn( ,0), Kn( , ) với n N*, Mn M0(0,0), Kn M0 = M0, = M0, = = 0, = = 1.1.3 TÍNH LIÊN TỤC HÀM HAI BIẾN Cho hàm số xác định trong miền . là điểm thuộc . Ta nói rằng hàm số liên tục tại nếu: Tồn tại , (1.1) Hàm số được gọi là liên tục trong miền nếu nó liên tục tại mọi điểm của miền . 1.2 ĐẠO HÀM RIÊNG 1.2.1 ĐẠO HÀM RIÊNG 1) Hàm hai biến f(x,y) xác định trên D R2, (x0,y0) D Đạo hàm riêng của f theo biến x tại (x0, y0) (x0,y0) = Đạo hàm riêng của f theo biến y tại (x0, y0) (x0,y0) = Nhận xét: đạo hàm theo biến x thì coi y là hằng số và ngược lại. Ví dụ : Tính các đạo hàm riêng của Ví dụ : Tính đạo hàm riêng của . Ví dụ : Tính đạo hàm riêng của 2) Hàm n biến Hàm n biến f(x1, x2, …, xn) xác định tại M0 ( ) và lân cận của M0. Đạo hàm riêng của hàm f đối với biến xi tại M0 là = = 1.2.2 ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CAO 1) Hàm hai biến Đạo hàm riêng của đạo hàm riêng , theo các biến x, y nếu tồn tại, được gọi là các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm f. Định lý: Hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng fxy và fyx xác định và liên tục trong một lân cận của M0(x0,y0) thì fxy(x0, y0) = fyx(x0, y0). 2) Hàm n biến Xét hàm f(x1, x2, …, xn). Đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp (m – 1) của đối với biến xj (1 ≤ j ≤ n) là đạo hàm riêng cấp m. Định lý: Nếu hàm số có các đạo hàm riêng các cấp liên tục thì đạo hàm riêng không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm. Ví dụ : Cho f = y2.lnx, tìm các đạo hàm riêng cấp 2 = , = 2y.lnx = , = = 2.lnx 1.3 VI PHÂN 1.3.1 VI PHÂN Hàm 2 biến: Vi phân của hàm f(x,y) là df = dx + dy Hàm n biến: Cho hàm n biến f(x1, x2, …, xn) có các đạo hàm riêng liên tục. Vi phân toàn phân của hàm f là df = (x1, x2, …, xn). dxi 1.3.2 VI PHÂN TOÀN PHẦN Điều kiện để biểu thức P(x,y)dx + Q(x,y)dy trở thành một vi phân toàn phần: Giả sử P(x,y), Q(x,y) có đạo hàm riêng liên tục trong miền D nào đó. Biểu thức P(x, y)dx +Q(x, y)dy là một vi phân toàn phần khi và chỉ khi: 1.3.3 VI PHÂN CẤP CAO * Vi phân cấp 2 của f(x,y) là d2f = d(df) d2f = dx2 + 2 dxdy + dy2 * Nếu hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp m liên tục thì vi phân cấp m của hàm f là dmf = Khi x, y là biến độc lập không phụ thuộc những biến khác thì dmf = 1.4 CỰC TRỊ TỰ DO 1.4.1 ĐỊNH NGHĨA * Hàm f đạt cực đại tại M0( ) nếu có một lân cận V của M0 sao cho với mọi M(x1, …, xn) V ta có f( ) ≥ f(x1, …, xn) * Hàm f đạt cực tiểu tại M0( ) nếu có một lân cận V của M0 sao cho với mọi M(x1, …, xn) V ta có f( ) ≤ f(x1, …, xn) * Khi f đạt cực đại hay cực tiểu, ta nói f đạt cực trị. Định lý Điều kiện cần Nếu ( ) là điểm cực trị địa phương của hàm f(x1, …, xn) và hàm f có các đạo hàm riêng (i = 1, …, n) thì ( ) = 0 Điều kiện đủ Hàm f(x1, …, xn) xác định và liên tục tại lân cận điểm M¬0( ) và có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục tại M0. Giả thiết rằng ( ) = 0 với i = 1, …, n Nếu d2f( ) xác định dương thì hàm f đạt cực tiểu tại M0( ) Nếu d2f( ) xác định âm thì hàm f đạt cực đại tại M0( ) Nếu d2f( ) không xác định thì hàm f không đạt cực trị tại M0( ) 1.4.2 CÁCH TÌM CỰC TRỊ Định lý : Giả sử rằng là một điểm dừng của hàm số và hàm số có đạo hàm riêng cấp 2 ở lân cận điểm . Đặt: Khi đó: * : hàm số đạt CT tại * : hàm số đạt CĐ tại Ví dụ : Tìm cực trị của hàm số Ta có: Tọa độ của điểm dừng là nghiệm của hệ Vậy điểm dừng duy nhất là điểm . Vì nên , còn , vậy ham số đạt cực tiểu tại điểm và . Nếu viết lại , ta thấy tại mọi , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ta đã thấy kết quả trên. Ví dụ : Tìm cực trị của hàm số Ta có: Tọa độ điểm dừng là nghiệm của hệ: Đó là một hệ phương trình đối xứng. Thế từ phương trình đầu vào phương trình sau ta được Phương trình này có hai nghiệm . Vậy ta có hai điểm dừng và . Vì nên: Tại ta có , điểm không là điểm cực trị. Tại ta có , , là điểm cực tiểu, . Ví dụ : Tìm cực trị của hàm số . Ta có: Vậy chỉ có một điểm dừng là . Vì , nên tại ta có . Vậy chưa kết luận ngay được. Chú ý rằng . Hiệu ấy là dương nếu điểm nằm trong góc phần tư thứ nhất, là âm nếu nằm trong góc phần tư thứ ba. Do đó dấu của hiệu thay đổi ở lân cận điểm nên không là điểm cực trị. * : hàm số không đạt cực trị tại * : không kết luận về cực trị tại . Khi đó dùng định nghĩa để xét cực trị tại . 1.5 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN Bài toán tìm cực trị của hàm số z =f(x,y) với điều kiện được gọi là bài toán cực trị có điều kiện. Ví dụ : Tìm cực trị của hàm với điều kiện * Xét bài toán cực trị của hàm số z=f(x,y) với điều kiện . Hàm số được gọi là đạt cực tiểu có điều kiện tại nếu và . Tương tự cho cực đại có điều kiện Cách tìm cực trị có điều kiện 1) Phương pháp khử Ví dụ : Tìm cực trị của hàm số với điều kiện 2x+y =3 2) Phương pháp nhân tử Lagrange Điều kiện cần: Xét bài toán cực trị của hàm số z =f(x,y) với điều kiện . Giả sử hàm số z đạt cực trị có điều kiện tại M0(x0,y0) và các hàm số f(x,y) và có các đạo hàm riêng cấp 1 tại . Khi đó tồn tại sao cho được gọi là nhân tử Lagrange. M0(x0,y0) được gọi là điểm dừng ứng với . Đặt thì L được gọi là hàm Lagrange và hệ (1) tương đương với Điều kiện đủ: Xét bài toán cực trị của hàm số z =f(x,y) với điều kiện .Giả sử M0(x0,y0) là điểm dừng ứng với ( tức là thỏa hệ (1)) và các hàm số f(x,y) và có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục Đặt Thì H được gọi là ma trận Hesse * Nếu |H| 0 thì hàm số đạt cực đại có điều kiện tại M0(x0,y0) * Nếu |H| = 0 thì ko có kết luận về cực đại, cực tiểu của hàm số tại M0(x0,y0). Ví dụ : Tìm cực trị của hàm f = xy với điều kiện x2 + y2 = 4 Giải: điều kiện (x, y) = 4 - x2 - y2 Hàm phụ Lagrange: (x, y, ) = x.y + (4 - x2 - y2) Xét hệ phương trình = ’ = 4 - x2 - y2 = 0 (1) = ’x = y - 2x = 0 (2) = ’y = x - 2y = 0 (3) (2), (3) = , thế vào (1) x = y = x = -y = = = - Ta có ’x = -2x; ’y = -2y ’’xx = -2; ’’xy = 1 ’’yy = -2 * x = y = , = Hb = H2 = Hb = 32 > 0 f đạt cực đại tại M1 ( , ) với điều kiện (x, y ) = 0 * x = y = - , = Hb = H2 = Hb = 32 > 0 f đạt cực đại tại M2 (- , - ) với điều kiện (x, y ) = 0 * x = , y = - , = - Hb = H2 = Hb = -32 0 = dx Hết
Mục lục Chương 1 HÀM NHIỀU BIẾN 3 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM 3 1.1.1 KHÔNG GIAN Rn 3 1.1.2 HÀM NHIỀU BIẾN 3 1.1.3 TÍNH LIÊN TỤC HÀM HAI BIẾN 6 1.2 ĐẠO HÀM RIÊNG 7 1.2.1 ĐẠO HÀM RIÊNG 7 1.2.2 ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CAO 7 1.3 VI PHÂN 8 1.3.1 VI PHÂN 8 1.3.2 VI PHÂN TOÀN PHẦN 8 1.3.3 VI PHÂN CẤP CAO 8 1.4 CỰC TRỊ TỰ DO 9 1.4.1 ĐỊNH NGHĨA 9 1.4.2 CÁCH TÌM CỰC TRỊ 9 1.5 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN 11 1.6 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT 14 1.6.1 ĐỊNH NGHĨA 14 1.6.2 CÁCH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT 14 Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 16 2.1 KHÁI NIỆM 16 2.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 17 2.2.1 PHƯƠNG TRÌNH KHUYẾT 17 2.2.2 PHƯƠNG TRÌNH BIẾN SỐ PHÂN LY 19 2.2.3 PHƯƠNGTRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP 1 21 2.2.4 PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI 22 2.3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH CÓ THỂ HẠ CẤP 24 2/25 Toán cao cấp Chương 1 HÀM NHIỀU BIẾN 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM 1.1.1 KHÔNG GIAN R n R n = {(x 1 , x 2 , …, x n ) x i ∈R, 1≤ i ≤n} Một điểm trong R n gồm bộ n số thực xác định điểm đó. - Khoảng cách giữa 2 điểm M(x 1 , x 2 , …, x n ), N(y 1 , y 2 , …, y n ): MN = 22 22 2 11 )( )()( nn yxyxyx −++−+− MN ≥ 0,∀ M, N ∈ R n - Giới hạn của dãy điểm : Cho dãy điểm M k ( k n kk xxx , ,, 21 ) trong R n , k = 1, 2, …. Dãy điểm M k hội tụ tới M 0 ( 00 2 0 1 , ,, n xxx ) nếu +∞→k lim M k M 0 = 0 hay +∞→k lim M k = M 0 Định lý: Dãy điểm M k ( k n kk xxx , ,, 21 ) hội tụ tới M 0 ( 00 2 0 1 , ,, n xxx ) khi và chỉ khi 0 11 lim xx k k = +∞→ 0 22 lim xx k k = +∞→ … 0 lim n k n k xx = +∞→ Ví dụ : Tìm + +∞→ n n n n M n n 1 sin, 12 lim ∈ R 2 n n n 12 lim + +∞→ = 2, n n n 1 sinlim +∞→ = 1 nên + +∞→ n n n n M n n 1 sin, 12 lim = M 0 (2, 1) 1.1.2 HÀM NHIỀU BIẾN 1) Hàm hai biến Cho D là một tập hợp trong 2 ¡ , người ta gọi ánh xạ :f D → ¡ , tức là một quy tắc cho tương ứng với mỗi cặp số thực ( ) , x y D ∈ một số thực duy nhất z , ký hiệu là ( ) , f x y là hàm số hai biến số, x và y là hai biến số độc lập. Ta ký hiệu : ( ) ( ) : , , f x y z f x y = a D được gọi là miền xác định của hàm số f . Tập hợp ( ) ( ) ( ) { } , , , f D z z f x y x y D = ∈ = ∀ ∈ ¡ gọi là miền giá trị của hàm số f . Ví dụ: Hàm chi phí của hai sản phẩm. Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Hàm chi phí mỗi tuần của mỗi loại sản phẩm như sau: Sản phẩm A: ( ) 500 70C x x = + , x là số lượng sản phẩm A. 3/25 Chương 1: Hàm nhiều biến Sản phẩm B: ( ) 200 100C y y = + , y là số lượng sản phẩm B. Hàm chi phí của hai sản phẩm A và B là ( ) ,C x y : ( ) ( ) ( ) , 700 70 100C x y C x C y x y = + = + + Tính chi phí để sản xuất ra 10 sản phẩm A và 5 sản phẩm B ( ) 10,5 700 70.10 100.5 1900C = + + = . Biểu diễn hàm hai biến Đặt z = f(x,y). Tập hợp tất cả (x,y,z) trong không gian với toạ độ Oxyz thường tạo thành 1 mặt, gọi là biểu diễn của hàm z = f(x,y). Ví dụ : Cho hàm số z = f(x,y) = sin(x+y) có biểu diễn trên hệ trục Oxyz như sau: Miền xác định Miền xác định của hàm số z = f(x,y) là tập hợp những cặp ( ) , x y sao cho biểu thức ( ) , f x y có nghĩa. Ví dụ : Hàm số 2 3 5z x y = − + xác định với mọi cặp ( ) 2 , Ryx ∈ , miền xác định của nó là toàn bộ mặt phẳng. Hàm số 2 2 1z x y = − − xác định khi 2 2 1 0x y− − ≥ hay 2 2 1x y+ ≤ , miền xác định của nó là hình tròn đóng, tâm O , bán kính I ( hình 1). 4/25 ST: Cao Văn Tú Toán cao cấp 1 O y x hình 1 Hàm số ( ) ln 1z x y = + − được xác định khi 1 0x y + − > hay 1x y + > , miền xác định của nó là nửa mặt phẳng mở ở phía trên đường thẳng 1x y + = (hình 2). 1 1 O y x Hình 2 2) Hàm n biến Cho hai tập D va U khác rỗng, D ⊆ R n , U ⊆ R. Hàm n biến ký hiệu f: D → U với u = f(x 1 , x 2 , …, x n ) ∈ U D: miền xác định gồm (x 1 , x 2 , …, x n ), U: miền giá trị của hàm. Giá trị của hàm u = f(x 1 , x 2 , …, x n ) tại điểm M 0 ( 0 1 x , …, 0 n x ) được ký hiệu là f( 0 1 x , …, 0 n x ) hoặc f(M 0 ). GIỚI HẠN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 1) Hàm hai biến * f(x,y) xác định trên D⊂ R 2 , (x 0 ,y 0 )∈ D, 5/25 Chương 1: Hàm nhiều biến ),(lim 0 0 yxf yy xx → → = A ⇔∀(x n ,y n )∈D, x n → x 0 , y n → y 0 thì f(x n ,y n )→ A Định nghĩa giới hạn này gọi là giới hạn kép (hay giới hạn bội). * Hàm hai biến còn có giới hạn lặp: 0 lim yy → ( 0 lim xx → f(x,y)) 0 lim xx → ( 0 lim yy → f(x,y)) 2) Hàm n biến Hàm n biến f(x 1 , x 2 , …, x n ) xác định trên tập D có giới hạn b tại điểm M 0 ( 00 2 0 1 , ,, n xxx ) nếu mọi dãy điểm M k ( k n kk xxx , ,, 21 ) ∈ D, k = 1, 2, … có giới hạn M 0 ( 00 2 0 1 , ,, n xxx ), (M k ≠ M 0 ) tức +∞→ k lim M k = M 0 thì +∞→ k lim f( k n kk xxx , ,, 21 ) = b Ta viết bxxxf n xx xx xx nn = → → → ), ,,(lim 21 0 0 22 0 11 * Để chứng minh hàm số f không có giới hạn tại điểm M 0 ta chọn 2 dãy điểm M k ≠ M 0 , M’ k ≠ M 0 đều có +∞→ k lim M k = M 0 , +∞→ k lim M’ k = M 0 nhưng +∞→ k lim f(M k ) ≠ +∞→ k lim f(M’ k ) Ví dụ: Tìm 32 2 1 lim yx y x → → , ta có n n x +∞→ lim = 1, n n y +∞→ lim = 2 ),(lim nn n yxf +∞→ = 22 .lim nn n yx +∞→ = 1.2 3 = 8 ⇒ 32 2 1 lim yx y x → → = 8 f(x, y) = 22 yx xy + , Chứng minh ),(lim 0 0 yxf y x → → không tồn tại Lấy 2 dãy M n ( n 1 ,0), K n ( n 1 , n 1 ) với n ∈ N*, M n ≠ M 0 (0,0), K n ≠ M 0 n n M +∞→ lim = M 0 , n n K +∞→ lim = M 0 , )(lim n n Mf +∞→ = 0 1 0. 1 lim 2 + +∞→ n n n = 0, )(lim n n Kf +∞→ = 22 2 11 1 lim nn n n + +∞→ = 2 1 1.1.3 TÍNH LIÊN TỤC HÀM HAI BIẾN Cho hàm số ( ) ,f x y xác định trong miền D . ( ) 0 0 0 ,M x y là điểm thuộc D . Ta nói rằng hàm số ( ) ,f x y liên tục tại 0 M nếu: Tồn tại ( ) ( ) ( ) 0 0 , , lim , x y x y f x y → , 6/25 ST: Cao Văn Tú Toán cao cấp ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 , , lim , , x y x y f x y f x y → = (1.1) Hàm số ( ) ,f x y được gọi là liên tục trong miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm của miền D . 1.2 ĐẠO HÀM RIÊNG 1.2.1 ĐẠO HÀM RIÊNG 1) Hàm hai biến f(x,y) xác định trên D ⊂ R 2 , (x 0 ,y 0 ) ∈ D Đạo hàm riêng của f theo biến x tại (x 0 , y 0 ) x f ∂ ∂ (x 0 ,y 0 ) = x yxfyxxf x ∆ −∆+ →∆ ),(),( lim 0000 0 Đạo hàm riêng của f theo biến y tại (x 0 , y 0 ) y f ∂ ∂ (x 0 ,y 0 ) = x yxfxyxf x ∆ −∆+ →∆ ),(),( lim 0000 0 Nhận xét: đạo hàm theo biến x thì coi y là hằng số và ngược lại. Ví dụ : Tính các đạo hàm riêng của 4 3 2 4 5 2z x x y y= − + 3 2 2 3 3 4 15 ; 10 8 z z x x y x y y x y ∂ ∂ = − = − + ∂ ∂ Ví dụ : Tính đạo hàm riêng của ( ) 0 y z x x = > . 1 ; ln y y z z yx x x x y − ∂ ∂ = = ∂ ∂ Ví dụ : Tính đạo hàm riêng của cos , 0 x z y y = ≠ ÷ 1 sin . .sin z x x x x y x y y y ∂ ∂ = − = − ÷ ∂ ∂ 2 sin . sin z x x x x y y y y y y ∂ ∂ = − = ÷ ∂ ∂ 2) Hàm n biến Hàm n biến f(x 1 , x 2 , …, x n ) xác định tại M 0 ( 00 2 0 1 , ,, n xxx ) và lân cận của M 0 . Đạo hàm riêng của hàm f đối với biến x i tại M 0 là i x f ∂ ∂ = ' i x f = i ninii x x xxxfxxxxf i ∆ −∆+ →∆ ), ,, ,(), ,, ,( lim 000 1 0000 1 0 1.2.2 ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CAO 1) Hàm hai biến Đạo hàm riêng của đạo hàm riêng x f ∂ ∂ , y f ∂ ∂ theo các biến x, y nếu tồn tại, được gọi là các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm f. ( ) 2 2 2 2 x xx x f f z f f x x x x ∂ ∂ ∂ ∂ = = = = ÷ ∂ ∂ ∂ ∂ 7/25 Chương 1: Hàm nhiều biến ( ) 2 2 x xy y f f z f f y x x y x y ∂ ∂ ∂ ∂ = = = = ÷ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ( ) 2 2 y yx x f f z f f x y x y x y ∂ ∂ ∂ ∂ = = = = ÷ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ( ) 2 2 2 2 y yy y f f z f f y y y y ∂ ∂ ∂ ∂ = = = = ÷ ∂ ∂ ∂ ∂ Định lý: Hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng f xy và f yx xác định và liên tục trong một lân cận của M 0 (x 0 ,y 0 ) thì f xy (x 0 , y 0 ) = f yx (x 0 , y 0 ). 2) Hàm n biến Xét hàm f(x 1 , x 2 , …, x n ). Đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp (m – 1) của đối với biến xj (1 ≤ j ≤ n) là đạo hàm riêng cấp m. Định lý: Nếu hàm số có các đạo hàm riêng các cấp liên tục thì đạo hàm riêng không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm. Ví dụ : Cho f = y 2 .lnx, tìm các đạo hàm riêng cấp 2 x f ∂ ∂ = x y 2 , y f ∂ ∂ = 2y.lnx 2 2 x f ∂ ∂ = 2 2 x y − , yx f ∂∂ ∂ 2 = x y2 2 2 y f ∂ ∂ = 2.lnx 1.3 VI PHÂN 1.3.1 VI PHÂN Hàm 2 biến: Vi phân của hàm f(x,y) là df = x f ∂ ∂ dx + y f ∂ ∂ dy Hàm n biến: Cho hàm n biến f(x 1 , x 2 , …, x n ) có các đạo hàm riêng liên tục. Vi phân toàn phân của hàm f là df = ∑ = ∂ ∂ n i i x f 1 (x 1 , x 2 , …, x n ). dx i 1.3.2 VI PHÂN TOÀN PHẦN Điều kiện để biểu thức P(x,y)dx + Q(x,y)dy trở thành một vi phân toàn phần: Giả sử P(x,y), Q(x,y) có đạo hàm riêng liên tục trong miền D nào đó. Biểu thức P(x, y)dx +Q(x, y)dy là một vi phân toàn phần khi và chỉ khi: , , P Q x y D y x ∂ ∂ = ∀ ∈ ∂ ∂ 1.3.3 VI PHÂN CẤP CAO * Vi phân cấp 2 của f(x,y) là d 2 f = d(df) d 2 f = 2 2 x f ∂ ∂ dx 2 + 2 yx f ∂∂ ∂ 2 dxdy + 2 2 y f ∂ ∂ dy 2 * Nếu hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp m liên tục thì vi phân cấp m của hàm f là 8/25 ST: Cao Văn Tú Toán cao cấp d m f = k y km kkm m m k m Ax yx f C . 0 − − ∆ ∂∂ ∂ ∑ Khi x, y là biến độc lập không phụ thuộc những biến khác thì d m f = kkm kkm m m k m dydx yx f C . 0 − − ∂∂ ∂ ∑ 1.4 CỰC TRỊ TỰ DO 1.4.1 ĐỊNH NGHĨA * Hàm f đạt cực đại tại M 0 ( 00 1 , , n xx ) nếu có một lân cận V ε của M 0 sao cho với mọi M(x 1 , …, x n ) ∈ V ε ta có f( 00 1 , , n xx ) ≥ f(x 1 , …, x n ) * Hàm f đạt cực tiểu tại M 0 ( 00 1 , , n xx ) nếu có một lân cận V ε của M 0 sao cho với mọi M(x 1 , …, x n ) ∈ V ε ta có f( 00 1 , , n xx ) ≤ f(x 1 , …, x n ) * Khi f đạt cực đại hay cực tiểu, ta nói f đạt cực trị. Định lý Điều kiện cần Nếu ( 00 1 , , n xx ) là điểm cực trị địa phương của hàm f(x 1 , …, x n ) và hàm f có các đạo hàm riêng i x f ∂ ∂ (i = 1, …, n) thì i x f ∂ ∂ ( 00 1 , , n xx ) = 0 Điều kiện đủ Hàm f(x 1 , …, x n ) xác định và liên tục tại lân cận điểm M 0 ( 00 1 , , n xx ) và có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục tại M 0 . Giả thiết rằng i x f ∂ ∂ ( 00 1 , , n xx ) = 0 với i = 1, …, n Nếu d 2 f( 00 1 , , n xx ) xác định dương thì hàm f đạt cực tiểu tại M 0 ( 00 1 , , n xx ) Nếu d 2 f( 00 1 , , n xx ) xác định âm thì hàm f đạt cực đại tại M 0 ( 00 1 , , n xx ) Nếu d 2 f( 00 1 , , n xx ) không xác định thì hàm f không đạt cực trị tại M 0 ( 00 1 , , n xx ) 1.4.2 CÁCH TÌM CỰC TRỊ Định lý : Giả sử rằng ( ) 0 0 0 ,M x y là một điểm dừng của hàm số ( ) ,f x y và hàm số ( ) ,f x y có đạo hàm riêng cấp 2 ở lân cận điểm 0 M . Đặt: ( ) ( ) ( ) xx 0 0 xy 0 0 yy 0 0 A f x , y , B f x , y , C f x ,y = = = Khi đó: * 2 B AC 0 A 0 − < > : hàm số đạt CT tại 0 0 0 M (x , y ) * 2 B AC 0 A 0 − < < : hàm số đạt CĐ tại 0 0 0 M (x , y ) 9/25 Chương 1: Hàm nhiều biến Ví dụ : Tìm cực trị của hàm số 2 2 4 2 8z x y x y= + + − + Ta có: 2 4; 2 2 x y z x z y = + = − Tọa độ của điểm dừng là nghiệm của hệ 2 4 0 2 2 0 x y + = − = Vậy điểm dừng duy nhất là điểm ( ) 2, 1 − . Vì 2; 0; 2 xx xy yy z z z = = = nên 2 B AC 4 0 − = − < , còn 2 0C = > , vậy ham số đạt cực tiểu tại điểm ( ) 2, 1 − và ( ) 2 2 min 2 1 4. 2 2.1 8 3z = + + − − + = . Nếu viết lại ( ) ( ) 2 2 2 1 3z x y = + + − + , ta thấy 3z ≥ tại mọi ( ) 2 ,x y ∈ ¡ , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2, 1x y = − = − ta đã thấy kết quả trên. Ví dụ : Tìm cực trị của hàm số 3 3 3z x y xy= + − Ta có: 2 2 3 3 ; 3 3 x y z x y z y x = − = − Tọa độ điểm dừng là nghiệm của hệ: 2 2 0 0 x y y x − = − = Đó là một hệ phương trình đối xứng. Thế 2 y x= từ phương trình đầu vào phương trình sau ta được ( ) ( ) ( ) 4 3 2 0 1 1 1x x x x x x x x = − = − = − + + Phương trình này có hai nghiệm 0; 1x x = = . Vậy ta có hai điểm dừng ( ) 0 0,0M và ( ) 1 1, 1M . Vì 6 , 3, 6 xx xy yy z x z z y = = − = nên: Tại ( ) 0 0,0M ta có 2 9 0B AC − = > , điểm 0 M không là điểm cực trị. Tại ( ) 1 1,1M ta có 2 9 36 27 0B AC − = − = − < , 6 0C = > , 1 M là điểm cực tiểu, min 1 1 3 1z = + − = − . Ví dụ : Tìm cực trị của hàm số 3 3 z x y= + . Ta có: 2 2 3 , 3 x y z x z y = = Vậy chỉ có một điểm dừng là ( ) 0 0,0M . Vì 6 , 0, 6 xx xy yy z x z z y = = = , nên tại 0 M ta có 2 0B AC − = . Vậy chưa kết luận ngay được. Chú ý rằng ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 0 0,0 0, , 0,0z M z z x y z x y = = − = + . Hiệu ấy là dương nếu điểm ( ) ,M x y nằm trong góc phần tư thứ nhất, là âm nếu ( ) ,M x y nằm trong góc phần tư thứ ba. Do đó dấu của hiệu ( ) ( ) 0 z M z M − thay đổi ở lân cận điểm 0 M nên 0 M không là điểm cực trị. 10/25 ST: Cao Văn Tú [...]... , y 0 ) 11/25 Chương 1: Hàm nhiều biến Thì H được gọi là ma trận Hesse * Nếu |H| < 0 thì hàm số đạt cực tiểu có điều kiện tại M0(x0,y0) * Nếu |H| > 0 thì hàm số đạt cực đại có điều kiện tại M0(x0,y0) * Nếu |H| = 0 thì ko có kết luận về cực đại, cực tiểu của hàm số tại M 0(x0,y0) Ví dụ : Tìm cực trị của hàm f = xy với điều kiện x2 + y2 = 4 Giải: điều kiện ϕ(x, y) = 4 - x2 - y2 Hàm phụ Lagrange: φ(x,... 0 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 2} 15/25 Hàm số nhiều biến Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 2.1 KHÁI NIỆM Phương trình vi phân cấp n là phương trình có dạng : f(x, y, y’, y’’, …, y(n)) = 0 (1) Trong đó x là biến số độc lập, y = y(x) là hàm số phải tìm, y’, y’’, , y(n) là các đạo hàm của nó Từ (1) ta đưa được về dạng y(n) = f(x, y, y’, …, y(n-1)) (2) Thì (2) là dạng giải được đối với đạo hàm cấp cao nhất Nghiệm của... x1 = 13 , y1 = 13 ; x2 = −4 13 , y1 = −9 13 Vì hàm f liên tục trên tập đóng và bị chặn x2 y2 E = { (x, y) + = 1} nên hàm f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên E Ở 4 9 đây có 2 điểm dừng nên f đạt cực đại tại 1 điểm và đạt cực tiểu tại điểm còn lại f( f( 4 13 −4 13 , , 9 13 −9 13 )= )= 4 13 −4 13 + + 9 13 −9 13 = 13 = - 13 < 13 13/25 Chương 1: Hàm nhiều biến Vậy f đạt cực đại tại M1( 4 13 , 9 13 )... đưa được về dạng biến số phân ly a) Phương trình thuần nhất ( đẳng cấp ) Dạng y’ = f(x, y) với f có tính chất f(tx, ty) = f(x, y), ∀t y y f có thể viết f(x, y) = f(x.1, x ) = f(1, ) x x y dy dz Đặt z = , ta có y = z.x và = y’ = z + x dx x dx 19/25 Hàm số nhiều biến Phương trình trở thành dz dz z + x = f(1, z) hay x = f(1, z) – z dx dx Khi f(1, z) – z ≠ 0 ta có phương trình vi phân có biến phân ly dz... z = f (x, y) = 3x 2 + 2xy − y 2 + 5 với điều kiện 2x+y =3 2) Phương pháp nhân tử Lagrange Điều kiện cần: Xét bài toán cực trị của hàm số z =f(x,y) với điều kiện ϕ(x, y) = 0 Giả sử hàm số z đạt cực trị có điều kiện tại M0(x0,y0) và các hàm số f(x,y) và ϕ(x, y) có các đạo hàm riêng cấp 1 tại M 0 (x 0 , y0 ) Khi đó tồn tại λ ∈ R sao cho f x' (x 0 , y0 ) + λϕ'x (x 0 , y 0 ) = 0 (1) f y' (x 0 , y 0... x= 17/25 Hàm số nhiều biến 2) x = 2t2 + 3t, y’ = 3t -1 dx = (4t + 3)dt dy = y’dx = (3t -1).(4t +3)dt = (12t2 + 5t -3)dt 2 y = ∫ (12t + 5t − 3)dt = 4t3 + Nghiệm phương trình 5 2 t – 3t + C 2 x = 2t2 + 3t y = 4t3 + 5 2 t – 3t + C 2 2) Phương trình khuyết x : F(y, y’) = 0 dy dy a) Phương trình dạng y’ = f(y) ⇒ = f(y) ⇒ dx = f ( y) dx Lấy tích phân hai vế ta được x = F(y) + C, F(y) là một nguyên hàm của... 2 2 dy 9 5 dx = = ( t – 6 + )dt t 2 2t 9 5 x = t2 – 6t + lnt + C 4 2 dy = ( t2 – 6t + 2.2.2 PHƯƠNG TRÌNH BIẾN SỐ PHÂN LY Dạng : f(y)dy = g(x)dx Để tìm nghiệm, ta lấy tích phân 2 vế, giả sử F, G là nguyên hàm của f và g thì F(y) = G(x) + c Phương trình trên xác định một hàm ẩn của x Nếu F có hàm ngược thì y = F-1(G(x) + c) Ví dụ : x dy (y2 + 1), thay y’ = dx x +1 dy x dy xdx = (y2 + 1) ⇔ 2 = 2 y +1... y) + λϕ(x, y) thì L được gọi là hàm Lagrange và hệ (1) tương đương với L'x (x 0 , y 0 , λ) = 0 (1) ⇔ L' y (x 0 , y 0 , λ) = 0 L' (x , y , λ) = 0 λ 0 0 Điều kiện đủ: Xét bài toán cực trị của hàm số z =f(x,y) với điều kiện ϕ(x, y) = 0 Giả sử M0(x0,y0) là điểm dừng ứng với λ ∈ ¡ ( tức là (x 0 , y 0 , λ) thỏa hệ (1)) và các hàm số f(x,y) và ϕ(x, y) có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục Đặt 0 ϕ'x... với điều kiện x 2 − 2xy + y = 3 * Xét bài toán cực trị của hàm số z=f(x,y) với điều kiện ϕ(x, y) = 0 Hàm số được gọi là đạt cực tiểu có điều kiện tại M 0 (x 0 , y 0 ) nếu f (x, y) ≥ f (x 0 , y 0 ), ∀(x, y) ∈ B(M 0 , δ) và ϕ(x, y) = 0 Tương tự cho cực đại có điều kiện Cách tìm cực trị có điều kiện 1) Phương pháp khử Ví dụ : Tìm cực trị của hàm số z = f (x, y) = 3x 2 + 2xy − y 2 + 5 với điều kiện 2x+y...Toán cao cấp * B2 − AC > 0 : hàm số không đạt cực trị tại M 0 (x 0 , y0 ) * B2 − AC = 0 : không kết luận về cực trị tại M 0 (x 0 , y0 ) Khi đó dùng định nghĩa để xét cực trị tại M 0 (x 0 , y 0 ) 1.5 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN Bài toán tìm cực trị của hàm số z =f(x,y) với điều kiện ϕ(x, y) = 0 được gọi là bài toán cực trị có điều kiện Ví dụ : Tìm cực trị của hàm z = f (x, y) = 2x 2 − y 2 + xy − . lục Chương 1 HÀM NHIỀU BIẾN 3 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM 3 1.1.1 KHÔNG GIAN Rn 3 1.1.2 HÀM NHIỀU BIẾN 3 1.1.3 TÍNH LIÊN TỤC HÀM HAI BIẾN 6 1.2 ĐẠO HÀM RIÊNG 7 1.2.1 ĐẠO HÀM RIÊNG 7 1.2.2 ĐẠO HÀM RIÊNG. PHÂN 1.3.1 VI PHÂN Hàm 2 biến: Vi phân của hàm f(x,y) là df = x f ∂ ∂ dx + y f ∂ ∂ dy Hàm n biến: Cho hàm n biến f(x 1 , x 2 , …, x n ) có các đạo hàm riêng liên tục. Vi phân toàn phân của hàm f là. …, x n ). Đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp (m – 1) của đối với biến xj (1 ≤ j ≤ n) là đạo hàm riêng cấp m. Định lý: Nếu hàm số có các đạo hàm riêng các cấp liên tục thì đạo hàm riêng không