Nhập môn Đại số tuyến tính - Đại học Thủy lợi

NHẬP MƠN ĐẠI SỐ TUN TÍNH ■ TRƯỜNG ĐẠI HỌC THUỶ LỢl BỘ MƠN TỐN HỌC TÀI LIỆU THAM KHẢO CHÍNH NHẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (Tái lần thứ có sửa chữa bơ sung) (Lưu hành nội bộ) NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC Tự NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ HÀ NỘI - 2010 Những người tham gia biên dịch: PGS.TS NGUYỀN HỮU BẢO ThS NGUYỀN VĂN ĐẮC ThS TRẦN THỊ THUÝ ThS TRẦN AM HẢI ThS PHẠM XUÂN ĐỒNG ThS NGUYỄN MẠNH CƯỜNG ThS TRẦN PHƯƠNG LIÊN CN ĐỎ LÂN CN ĐÀO VIỆT HÙNG CN VŨ MẠNH TỚI ThS NGUYỄN NGỌC HUY CN NGUYỄN NGÂN GIANG MỤC LỤC LỜI GIỚI THIỆU CỦA BỘ MÔN TỐN HỌC LỜI NĨI ĐẦU CỦA TÁC GIẢ GIỚI THIỆU VỂ CÁC VECTƠ 13 1.1 Vectơ tổ hợp tuyến tính 13 1.2 Độ dài tích vơ hướng 22 GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH TUN TÍNH 35 2.1 Vectơ phương trình tuyến tính 35 2.2 Tư tưởng phép khử 49 2.3 Phép khử sử dụng ma trận 2.4 Những quy tắc phép toán ma trận 62 74 2.5 Ma trận nghịch đảo 2.6 Phép khử = phép nhân tử hoá: A = lu 2.7 Phép chuyển vị phép hoán vị 90 103 118 KHÔNG GIAN VECTƠ VÀ KHÔNG GIAN CON 135 3.1 Không gian gồm vecto 13 3.2 Không gian nghiệm a: giải Ax = o 148 3.3 Hạng dạng thu gọn hàng 163 3.4 Lời giải đầy đủ cho Ax = b 175 3.5 Độc lập, sở số chiều 190 3.6 Chiều bốn không gian 208 TÍNH TRỤC GIAO 223 4.1 Tính trực giao bốn khơng gian 223 4.2 Phép chiếu 234 4.3 Phép xấp xỉ bình phương tối thiếu 248 4.4 Cơ sở trực giao Gram-Schmidt 262 ĐỊNH THỨC 279 5.1 Các tính chất định thức 279 5.2 Hoán vị phần phụ đại số 291 5.3 Qui tắc cramer, nghịch đảo, thể tích 307 GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VECTƠ Tơ RIÊNG 325 6.1 Giới thiệu giá trị riêng 325 6.2 Chéo hóa ma trận 342 6.3 ứng dụng vào phương trình vi phân 359 6.4 Ma trận đối xứng 377 6.5 Ma trận xác định dương 91 6.6 Các ma trận đồng dạng 406 6.7 Phân tích giá trị suy biến (svd) 416 PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH 431 7.1 Tư tưởng phép biến đổi tuyến tính 431 7.2 Ma trận phép biến đổi tuyến tính 439 7.3 Chuyển sở 454 7.4 Chéo hoá giả nghịch đảo 461 CÁC ÚNG DỤNG 471 8.1 Ma trận kỹ thuật 471 8.2 ĐÒ thị mạng 483 8.3 Ma trận Markov mơ hình kinh tế 495 8.4 Quy hoạch tuyến tính 403 8.5 Chuỗi Fourier: đại số tuyến tính hàm số 510 8.6 ĐỊ thị máy tính 516 ĐẠI SỐ TUN TÍNH số 525 9.1 Phép khử Gauss thực hành 525 9.2 Chuẩn số điều kiện ma trận 534 9.3 Phương pháp lặp đại số tuyến tính 541 10 VECTƠ VÀ MA TRẬN PHỨC 555 10.1 Số phức 555 10.2 Ma trận Hermite ma trận Unita 563 10.3 Phép biến đồi Fuoriere nhanh 572 LỜI GIỚI THIỆU CÚA BƠ MỒN TỐN HỌC Thực chủ trương đối quản lý đào tạo theo hệ đào tạo Tín kết hợp với đơi tồn chương trình đào tạo giảo trình, “Nhập mơn đại so tuyến tính” dịch giáo trình “Introduction to Linear Algebra” tác giả Gilbert Strang, Nhà xuất Wellesley-Cambridge Press xuất năm 2007 giảo trình thức mơn học Học viện MIT Massachusets Hoa Kỳ Bản dịch lẩn đầu kịp thời phục vụ đào tạo mơn Tốn niên học 2007 - 2008 Tuy nhiên việc biên dịch gâp đê kịp phục vụ nên dịch lân đầu cịn có nhiều lơi sau hai năm giảng dạy cho thấy vài chỏ bất cập Bộ mơn Tốn học định bố sung vài thơng tin, hiệu đính chỉnh sửa lại dịch trước tái tái sau khỉ bô sung, chỉnh sửa Nhân dịp này, chủng xin gửi tới thây cô làm nhiệm vụ hiệu đính, chỉnh sửa, gửi tới Thư viện trường Nhà xuất lời cảm ơn chân thành tận tâm cơng việc st gần năm qua đê tái lân đến tay người đọc, kịp phục vụ năm học tới Bộ môn xỉn độc giả tiếp tục phát sai sót nêu cịn đê tiêp tục hồn thiện giáo trình Trưởng mơn Tốn học PGS TS NGUYỄN HỮU BẢO LỜI NÓI ĐẦU CỦA TÁC GIẢ ời nói đầu vài ý kiến cá nhân Đây hội để tơi viết L _^về phương pháp làm dạy học tốt mơn đại số tuyến tính Nếu dạy thứ trừu tượng đơn tính cơng thức sách dạy nấu ăn bỏ qua phần thú vị Giáo trình đạt hiệu cao Các thông tin hữu ích cập nhật trang web liên quan đến sách Qua tơi nhận đề xuất, khích lệ tơi hy vọng giáo sư, bạn sinh viên tận dụng thứ Các bạn truy cập trực tiếp vào địa web.mit.edu/18.06/www đế có thơng tin cập nhật liên tục giáo trình MIT kỳ Cuốn sách Đại số tuyến tính có trang Học liệu mở (Open Source Ware) địa osw.mit.edu cung cấp tài liệu 18.06 thiết kế đặc biệt có đoạn video (bạn khơng cần phải xem tồn ) Tơi xin tóm tắt phần có sau: Lịch giảng, tập nhà có thi có đáp án kèm theo Mục tiêu giáo trình câu hỏi khái niệm Các demo Java tương tác cho giá trị riêng ước lượng trung bình bé Bản thông tin giá trị riêng/vectơ riêng (xem trang 362) Thuật ngữ chuyên mơn Từ điển Đại số tuyến tính Các mã hiệu giảng dạy đại số tuyến tính tập MATLAB Các đoạn video toàn giáo trình (giảng dạy phịng thật) Các trang web nguồn học liệu cho giáo sư sinh viên tồn giới Mục tiêu tơi làm cho sách có tính hữu ích tất tài liệu giáo trình cung cấp Sau lời mở đầu này, bạn cảm nhận tinh thần sách nói lên thể vẻ đẹp giá trị đại số tuyến tính Tập trung vào việc hiểu cố gắng giải thích khơng suy diên dài dịng Đây sách thật phục vụ học tập, nghiên cứu lý thuyết Tôi liên tục làm việc với ví dụ (tạo ma trận, tìm khơng gian khơng ma trận, thêm cột khác, nhận giá trị thay đồi) Cuốn sách nhằm giúp giảng dạy sinh viên cần cố gắng đáng biếu dương thật may mắn môn học khó Ấn Một phần bố sung lớn sách nhiều ví dụ đuợc giải sẵn theo phần nhằm kết nối trực tiếp chủ đề với tập nhà Lời giải đầy đủ cho phương trình vectơ Ax = b Xriêng + Xkhônggian không - tơi giải thích cách rõ ràng Ví dụ 3.4A biến đổi giải thích thành hành động tiến hành bước lời giải (bắt đầu kiêm tra khả giải được) Tôi hy vọng ví dụ mẫu giúp bạn tập trung nội dung phần (xem ví dụ 5.1 A 5.2B định thức) “Ma trận Pascal” kết nối chặt chẽ tính chất tam giác Pascal với đại số tuyến tính Cuốn sách có nhiều tập đủ loại - giúp việc luyện tập ứng dụng trở nên thông qua quản lý, kỹ thuật, khoa học bạn cảm thấy hứng thú học ma trận Các ma trận Tây Bắc Đông Nam di động thành tập 2.4.39 Google xuất Chương Xem phần tập cuối Phần 1.1 Tôi hy vọng tập loại điểm mạnh sách - tập sáu ma trận hoán vị 3:3 Các định thức, trụ, vết giá trị riêng gì? Thuật ngữ sách website Tơi tin bạn sinh viên tìm thấy kiến thức hữu ích từ sách Ngồi việc định nghĩa thuật ngữ quan trọng đại số tuyến tính, sách hội để bạn tập họp lập luận để tham khảo nhanh cằn Thật may, nhu cầu học tập tìm hiểu mơn đại số tuyến tính lớn Môn học cỏ tầm quan trọng phép tính Tơi khơng thừa nhận điều nghiên cứu toán học chưa biết sử dụng Thậm chí cịn có viết vơ tư có tên “Cớ q nhiều phép tính” trang web Kỷ nguyên số liệu tới! Quá nhiều ứng dụng rời rạc không liên tục dạng số hóa khơng phải thuật toán Thực tế vectơ ma trận trở thành ngôn ngữ hàng ngày Bài giảng Đại số tuyến tính Phương trình Ax=b sử dụng ngơn ngữ theo cách Ma trận A nhân với vectơ X tổ hợp cột A Phương trình cần tổ hợp sinh b Lời giải tiếp cận ba mức độ tất quan trọng: Giải trực tiếp cách khử ẩn số trước phép ẩn ngược trở lại Giải ma trận x=A'Ib nhờ lấy nghịch đảo ma trận Giải không gian vectơ nhờ không gian cột không gian nghiệm A Cịn có khả khác: Ax=b vơ nghiêm Phép khử dẫn đến 0=1 Cách tiếp cận ma trận thất bại tìm A'1 Cách tiếp cận khơng gian vectơ xem xét tất tồ họp Ax cột, b nằm ngồi khơng gian cột Một phận mơn tốn học tìm hiểu Ax=b giải được, phải làm khơng giải (lời giải phương pháp bình phương tối thiểu sử dụng ATA Chương 4) Một phận khác học phép hình dung vectơ Một vectơ V có hai thành phần khơng khó Các thành phần V] V2 cho ta biết ngang lên - tiến hành vẽ mũi tên Một vectơ thứ hai IV có thê vng góc với V (và Chương cho biết nào) Neu vectơ có đến thành phần khơng vẽ tưởng tượng Trong khơng gian chiều kiêm tra nhanh góc Thật dễ dàng hình dung vectơ 2v (xa gấp lần) -w (ngược chiều với w) Chúng ta gần nhận thấy có tổ hợp kiểu 2v-w Quan trọng phải tưởng tượng tất tổ họp tuyến tỉnh kiểu cv+dw Các tồ họp tạo thành “mặt phẳng hai chiều” bên không gian chiều Như viết câu này, tơi khơng chắn tơi nhìn thấy khơng gian Tuy nhiên, đại so tuyến tính lại dễ dàng tính tốn với vectơ ma trận có kích thước khác Neu tơi co dịng sáu vế biên hay giá cho sáu sản phẩm vị trí vận tốc máy bay, tiến hành giải với sáu chiều Đối với trình xử lý hình ảnh hay tìm kiếm web (hoặc gen người), sáu có thê thay đổi thành triệu Đó đại số tuyến tính tổ họp tuyến tính cách giải Cấu trúc sách giáo khoa Như viết lời nói đầu này, bạn nhận phong cách mục đích sách Cách hành văn có khơng trang trọng mục đích hồn tồn nghiêm túc Đại số tuyến tính môn học rộng hy vọng giáo sư giảng dạy giáo trình học điều đó, tác giả ln Các bạn sinh viên lưu ý đến ứng dụng tăng cường ý tưởng Tôi hy vọng bạn hiêu sách có bước tiến nào, vừa on định từ từ Tôi muốn lưu ý đến điểm tổ chức sách này: Chương I giới thiệu tóm tắt vectơ tích vơ hướng Neu lóp học học trước rồi, giáo trình bắt đầu Chương II Chương giải hệ n*n: Ax=b chuẩn bị cho tồn giáo trình 10 Hiện tơi sử dụng dạng bậc thang thu gọn hàng nhiều trước Lệnh MATLAB rrfộ4) tạo sở cho không gian hàng không gian cột Tốt ĐẠI SO TUYẾN TÍNH Trong ma trận phức, dạng đặc biệt gồm ma trận Hermitian: A =AH Điều kiện cần lúc ữy = ãJi Trong trường hợp này, ta nói A ma trận Hermitian Tất ma trận đối xứng thực ma trận Hermitian lấy liên họp không thay ~ „ TT ( đôi Ma trận sau Hermitian: A = 1^3 + 3/ 3-3/> r Đường chéo sơ thực: J aí7 = au Hai bên số liên hợp (3+0 (3-/) Đây ví dụ minh họa ba tính chất ma trận Hermitian 10D Nếu A = Ah z véc to’ bất kỳ, ZHAz số thực Chứng minh' ZHAz ma trận 1x1 Thực chuyền vị liên hợp chúng: (zH Az)H = ZH Ah (zh)h lại ma trận ZH Az Với ma trận cờ 1x1, chuyển vị liên họp liên hợp thơng thường, số zHAz liên họp nên zHAz phải số thực Xét ví dụ: Z1\ 3-3/ + 3/ = 2zxzỵ + 5z1z1 + (3 - 3/)z1z2 + (3 + 3/)z1z2 z2 Những phần tử 2ziZj 5Z2Z2 đường chéo số thực Những phần tử không nằm đường chéo liên họp với - tổng chúng số thực Điều cho thấy ZH Az số thực 10E Mọi giá trị riêng ma trận Hermitian số thực Chứng minh: Giả sử Az = Ảz Nhân hai vế với ZH ta có: ZH Az = ẢZHz Bên vế trái ta có, ZH Az số thực Bên vế phải ta có: ZHz bình phương độ dài, số thực Vì vậy, tỉ số: Ả = ZHAz / ZHz số thực Ví dụ có giá trị riêng thực = = -1 Tính định thức A - ẢI để có (d-8)(d+l): 10F 2-2 3-3/ + 3/ 5-2 = 22-72+ 10-|3 + 3z'|2 = (2-8)(2-l) Các vectơ riêng ma trận Hermitian trực giao (Tức Az = 2z Ay = Ày yHz = 0) 566 Vectơ ma trận phức Chứng mỉnh‘ Nhân hai vế Az = Ảz vào bên trái với yH Nhân yHAH = /3yH vào bên phải hai vế với z\ yHAz = ẢyHz;yHAHz = PyHz Các vế bên trái Ah = A vậy, hai vế phải Mặt khác, p Ả nên thừa so yH z = Ả = 8;/? = -1: Vectơ riêng ln trực giao, ví dụ sau với r -6 (A-Kliz = 1^3 + 3/ Gí+/)y=l 3 + 3z 3-3? r Z\1 -3 , 3-3? ’ó’ Lz2_ ’0’ Ti ) _t2_ ;z = — ;t = ì l + z' 1-Z -1 Lấy tích vectơ riêngy z ta có: (Vectơ trực giao) Những vectơ trực giao có bình phương độ dài l2 +12 +12 = Sau chia cho 5/3 , chúng vectơ đơn vị Chúng trực giao, chúng trực chuẩn Chúng xếp thành cột ma trận vectơ riêng s, s chéo hóa ma trận A Khi A ma trận đối xứng thực, có vectơ riêng trực giao thực Khi đó, s Qmột ma trận trực giao Neu A ma trận phức Hermitian, vectơ riêng trực giao phức Ma trận vectơ riêng s giống Q phức Bây giờ, ta đặt tên vấn đề ma trận trực giao phức Ma trận Unita Một ma trận Unita ma trận vuông (phức) với cột trực giao Nó ký hiệu U- tương đương dạng phức Q Những vectơ riêng trên, chia cho , 4.Ầ ,, t rr thành véc tơ đơn vị, ví dụ điên hình: u = —r= Ma trận 1-Z +ỉ -1 V3 để trở ma trận Ưnita u ma trận Hermitian Cột thứ nhân chí z, ma trận ưnita: u = ~^ị= -1 + A -1 ma trận Unita QTQ = I Khi nhân QT với 2, Trong trường hợp số phức, Q trở thành u Phép kiếm tra ma trận với cột trực giao thực tích Q xuất ngồi đường chéo ký hiệu T chuyển thành ký hiệu H 567 ĐẠI SO TUYẾN TÍNH Các cột trực chuẩn với cột lúc 1, chúng cho ta UHƯ = I Ma trận Fourier F = —J= V3 1 g2^-/3 ^4rá/3 e4?n/3 ^■/3 Hình 10.4: Các bậc ba ma trận Fourier F=Fì IOG Ma trận u có cột trực giao UHU = ỉ Neu u ma trận vng ma trận ưnita Do UH = ư1 rrfr f uHu=-y=\ , 5/3 ự + / 1-A f 1-C fi —1 J + y1 + ỉ ~1 J y0 , Hr =1 Giả sử (với cột trực giao) nhân với so z Độ dài vectơ đuợc giữ nguyên vì: ZHUHƯZ = ZHz Neu z vectơ riêng, ta thu đuợc: Giá trị riêng ma trận ưnita (và trực giao) ln có giá trị tuyệt đối |2| = IOH Nếu ma trận Unita ||Uz|| = ||z|| Do Uz = Ảz dẫn đến |2| = Xét ví dụ, ma trận 2x2 vừa Hermitian (C/ = UH), vừa Unita (U_1 =UH) Điều có nghĩa giá trị riêng thực (2 = Ả) có giá trị tuyệt đối (2_1 = Ả) Một số thực có giá trị tuyệt đối xảy hai truờng họp: giá trị riêng -1 Thêm điều ví dụ trên: đường chéo ma trận có tổng vết Cho nên giá trị riêng Ả = giá trị lại = -1 Định thức phải 1X (-1), tức tích Ví dụ 3: Xét ma trận Fourier 3x3 hình 10.4 Đó có phải ma trận Hermitian khơng? Đó có phải ma trận Unita không? Ma trận Fourier dĩ nhiên ma trận đối xứng Chúng với chuyển vị chúng Nhưng khơng chuyển vị liên hợp nó, nên khơng phải ma trận Hermitian Neu chuyển ỉ thành -Z, ta có ma trận khác F có phải ma trận Unita khồng? Câu trả lời có Bình phương chiều dài cột (1+1+1 )/3 Các cột vectơ đơn vị Cột thứ trực giao với cột thứ hai vì: + e2jn/3 + e4íri/3 = Đây tồng ba số hình 10.4 Lưu ý tính đối xứng hình vẽ Nếu ta quay chúng góc 120°, vị trí ba điểm nhau.Vì vậy, tổng chúng ln ln nằm vị trí Duy điều xảy tồng s =0, điểm mà ngun vị trí ta quay góc 120° 568 Vectơ ma trận phức Cột ma trận F có trực giao với cột khơng? Tích chúng giống như: ^(1 + ứ6ot73 + e6OT/3) = Ỉ(1 +1 +1) Đây kết khác Đó ta khơng lấy liên hợp phức Tích số phức sử dụng H T: _ 1/1 , -2^73 4ot73 „-4ot73„2ot73\ (cột 2) (cột 3) = — (1.1+ e e e +e /1 I „2jiU3 ) = —(1 + e -2ot73\ +e n ) = Cho nên, ta có tính trực giao cột Vậy F ma trận Ưnita Phần nghiên cứu ma trận Fourier cấp ỉix/2 Trong ma trận ưnita phức, ma trận quan trọng Khi ta nhân vectơ F, ta tính tốn biến đồi Fourier rời rạc Khi ta nhân F~x, ta tính biến đồi ngược lại Điểm đặc biệt ma trận Unita F~ỵ = FH Sự biến đổi ngược khác việc thay i thành -í: p /7"1 = pH _ _L 1 e~2m!3 ì e~Ajĩil3 ự1 e-4ot73 e—2ĩtil3 ) Tất nhũng làm việc với F nhận giá trị Phần cuối sách đề cập đến phân tích Fourier đại số tuyến tính Phần kết thúc với bảng biến đổi thực phức cho vectơ cho ma trận Rn‘ vectơ với n toạ độ thực C1: vectơ với n toạ độ phức Độ dài: ||x||2 =X;2 + + X,2 ||z||2 = ||z1||2 + + ||z„||2 (AB}T =BTAT ^(AB)" =B"AH Tích: xTy = xìyỉ+ + xnyn