(aX , Z) = oc(X , Z) = , V z g Ti => aX g T2 Vỉ dụ T = p3 Không gian Euclid với tích vơ hướng xác định theo (6.1.1) a) VỚÍT1 = {^=[x1 x2 0]c;x1,x2eP},T2 = {y=[0 y3]c ; y3 e P} ta có T11T2 Thật (X, Y) = X1.O+ x2.0 + o.y3 = b) Tìm phần bù trực giao T2 T1 ={ x= [xi x2 x3]cg T ; 2xi + x2 - 3x3 = } Giải * Tìm sờ TI: 2X1 + x2 - 3x3 = => x2 = - 2X1 + 3x3 => V X = [X1 x2 x3]c eTi: 153 X = XịEi + x2E2 - 2E2)X1 + (3E2 + E3)x3 Dễ dàng nhận thấy X1 = [1 - + X3E3 = XịEi + (- 2X1 + 3x3)E2 + 0]c , x2 = [0 X3E3 = (E1 l]c độc lập tuyến tính Vì sở T1 X1, x2 * Với Y = [yi y2 y3]c e T2: fvj -2IS =0 JVY) = (X2,Y) = Q [3^2 +y3 =0 Y1 = 2y2 - 73 = "3^2 3]c , Vy2 e p Bài tập 1) T = p3 Không gian Euclid với tích vơ hướng vectơ X = [ X1 x2 x3]c , Y = [ yi y2 y3]c G T xác định theo công thức (6.1.1) (X , Y) = XCY = Xiyi + x2y2 + x3y3 a) Tìm a để vectơ V1 = [1 1], v2 = [- l],v3 = [l a] vng góc với đơi b) Tính góc vectơ U1 = [1 l]c , u2 = [- 1 2]c C) Cho Z = [2 - 0]c , w = [1 - l]é , X = [0 - 1]C Tim Y e T cho : cl) Y vuông góc với z w c2) Y vng góc với X đồng thời z , w , Y độc lập tuyến tính 2) T = Xr n: Tập họp hàm số thực liên tục [o;|], Khơng gian Euclide với tích vơ hướng vectơ X = x(t), Y = y(t) G T xác định theo công thức (6.1.6) n (X , Y) = Ả(t)x(t)y(t)dt , A(t) = sint Cho X = x(t) = a , Y = y(t) = +12 a) Xác định a để X ± Y b) Tính góc vectơ X , Y 3) T = p3 Khơng gian Euclid với tích vơ hướng vecto X = [ X1 x2 x3]c , Y = [ yi y2 y3]c G T xác định theo công thức (6.1.1) (X, Y) = XCY = Xiyi + x2y2 + x3y3 Xét T1 = {X- [X1 x2 x3]cg T ; X1 + 2x2 - 3x3 = } a) Chứng tỏ T1 không gian T b) Chứng tỏ vectơ H = [hi h2 h3]CGT,H±Ti H = hi[l 3]c c) Tìm hình chiếu vng góc Xo = [ x02 x02 x03]c G T1 H = [1 l]c G T xuống T1 4) Trong T = DT2{P,P} ={ P(t) = at2 + bt + c ; a , b , c, t e P}:Tập họp đa thức thực p có bậc< 154 2- a) Chứng tỏ ta định nghĩa tích vơ hướng X = a + bt + Ct2 , Y = g + et + ft2 sau (X , Y) = ag + be + cf b) Với tích vơ hướng xác định a) tìm w G T cho w vng góc với X = - 2t2 * Y = t +12 , z = - 3t 5) T = p3 Không gian Euclid với tích vơ hướng vecto X = [ X1 x2 x3]c , Y = [ yi y2 ys]c e T xác định theo công thức (6.1.3) (X, Y) = XCAY -1 a) Cho A = -10 T1= { Yg T : [X1 x2 0]c ; Xi , x2 G p } al) Tìm tích vơ hướng (X , Y); X , Y G T a2) Chứng tỏ dạng toàn phương (X , X) xác định dương a3) Tìm hình chiếu vng góc Xo = [xio x20 0]CG T1 Y = [1 -2 3]c gT xuống Tị a4) Cho V1 = [1 l]c Tìm v2 , v3 cho V1 ,v2 ,v3 sở trực giao T a5) Tính góc vectơ X = [1 0]c , Y = [- 1 a]c tìm a để X ± Y b) Cho A = b Tị = {YgT : x= [0 x2 x3]c ; x2 , x3 G P} 0 bl) Tìm b để có tích vơ hướng (X , Y); X , Y G T tìm (X , Y) b2) Tìm b để dạng tồn phương (X , X) bán xác định dương b3) Chứng tỏ T1 khơng gian cùa T b4) Tìm hl G p để vectơ H = [hi 0]c vng góc với T1 b5) Tìm hình chiếu vng góc X()= [0 x20 x3o]c G T1 Y = [1 - 2]c G T xuống T1 6) T = X[0; 1] ■ Tập họp hàm số thực liên tục [0 ; 1], Không gian Euclid với tích vơ hướng xác định theo (6.1.5) b (X , Y) = J x(t)y(t)dt Xét T1 = DT2{P,P} ={ P(t) = at2 + bt + c ; a, b, c, t £ P}'- Tập hợp đa thức thực p có bậc < Tìm hình chiếu vng góc Y = sin(2t - 1) G T xuống T1 7) T = p3 Không gian Euclid với tích vơ hướng vectơ X = [ X1 x2 x3]c , Y = [ y y2 ys]c G T xác định sau (X?Y) = XCY = LV ChoUi = [l-l 0]c,U2=[-l 1]c,U3 = [0-2 a]c G T a) Tìm a để U1 , u2 , u3 sờ T b) Tìm sở trực chuan V1 , v2 , v3 tương ứng với U1 , u2, u3 với a = 8) T = DT2 {P,[0; 1]} ={P(t)=at2 + bt + c;a,b,c G p ; t e [0 ; 1]}: Tập hợp đa thức thực [0 ; 1] có bậc < Khơng gian Euclid với tích vơ hướng vectơ X = x(t), Y = y(t) G T xác định sau 155 (X , Y) — J x(t)y(t)dt a) Chứng tỏ U1 = , u2 = + 2t, u3 = - 3t2 sở T b) Tìm sở trực chuẩn Vi , v2, v3 tương ứng với Ư1 , u2 , Ư3 9) Cho T = M2{P}: Tập hợp ma trận vuông cấp 2.2 , thực định nghĩa (V1 , v2) = aia2 + bib2 + C1C2 + did2 với a2 ^2 £ T c2 ^2 a) Chứng tỏ với cách xác định (V1 , v2) tích vơ hướng vectơ b) Tìm a để V1 = ,v2 = -2 _0 0 ,v3 = ,v4 = sở cùa T -3 a_ _3 0_ 0_ c) Với a = tìm sờ trực chuẩn Ư1 , u2 , u3, u4 từ hệ vectơ V1 , v2 , v3, v4 10) T = p4 Khơng gian Euclid với tích vơ hướng X = [ X1 x2 x3 x4]c , Y = [ Ỵ1 y2 Ỵ3 Ỵ4]c e T (X Y) = XCY = X1Ỵ1 + x2y2 + x3y3 + x4y4 a) Cho U1 = [1 1 l]c ,u2 = [1 2 - l]c , u3 = [1 0 3]c , Y = [4 - 4]c T1 tố hợp tuyến tính U1 , u2 , u3 Tìm hình chiếu Xo H Y xuống T1 b) T1 tập họp vectơ X = [ X1 x2 x3 x4]c G T thoả mãn hệ phương trình < 3Xị + * X]| + * + 2x3 + *4 = + 2x3 - * =0 Tim hình chiếu Xo H Y = [7 - - 2]c xuống T1 11) T = p3 Khơng gian Euclid với tích vơ hướng vectơ X = [ X1 x2 x3]c , Y = [ yi y2 y3]c G T xác định theo công thức (6.1.3) (X,Y) = XCAY a) Tìm sở trực chuẩn từ sở Y1 = -1 ,y2 = 1 -1 ,Y3 = -2 với A = 2 0 0 b) Cho A = 1 1 bl) Tìm phần bù trực giao T2 không gian Tị sinh Y1 = [ - l]c b2) Tìm phần bù trực giao T2 không gian T1 sinh bời Y1 = [ - l]c , Y2 = [- 2]c nêu ý nghĩa hình học cùa T1 , T2 b3) Tìm phần bù trực giao T2 Tị = { x= [X1 x2 x3]c e T : X1 - 2x2 + 3x3 = b4) Tìm phàn bù trực giao T2 T1 = (X = [xj x2 X3]CG T xỉ-2x2+ 3x3 = 2xị + x2 - 3x3 = 156 12) T = p3 Khơng gian Euclid với tích vơ hướng vectơ X = [ X! x2 x3]c , Y = [ yi y2 ys]c e T la (X , Y) = XCY = Xiyi + x2y2 + x3y3 a) Chứng tỏ V1 = [1 0]c 2 — -là b) Tìm a , b để V1 = [1 a 0]c , v2 = sở trực chuấn sở trực chuẩn 13) Cho ví dụ khơng gian Euclid khẳng định sau không đúng: Nếu IX + Y + + z I2 = IX I2 +1YI2 + + |z I2 vectơ X , Y , , z vng góc với đơi Đáp số 1) a)a = -l b) = arccos— 712 cl) Y = x[ l]c, Vx e R c2) Y = [ X y y]c ; V X , y G R : X + 3y * 2) a) a = b) = a\n -1 arccos — L J — (a I L|j21-l(br + — V 0) 3) c) Xoi = ,x02 = -4 , b) w = o = + Ot + Ot2 x03 = -2 4) 5) a) al) (X , Y) = (X1 - x3)yi + 3x2y2 + (- X1 + 2x3)y3 a3)X0 = [-2 -2 0]c a4) v2 = [x y z]c , v3 = [s t w]c e T o {z = w = Q,xs + 3yt = chẳng hạn v2 = [1 0]c , V3 = [-3 0]c a5) = arccos—- 5~a 26 (2+íz+ứ3) a=5 b) bl) b > ; (X , Y) = (X1 + 2x2)yi + (2X1 + bx2)y2 + x3y3 b4) hi = b2) b = * b5) * b^O:x 2o=-,x3o = -2 b b = : Không tồn Xo 6) Xo = - 360sinl.t2 + (186sinl - 6cosl)t- 33sinl + 3cosl 157 7) a) a b)V! = -L[l -1 -2 0]c,v2=-L[1 \l2 = -^[-1-1 2]c,v3 yj6 l]c V3 v2= 7ĩ(2t-l) 8) V1 = v3 = + 3t - 3t2 9) b) a c)Ư! = -1 u2 = _0 -° °- u3 = 0_ 0 _1 0_ u4 4°L°°1 ’ 10) a) Xo = [1 -1 -1 5]c H= [3 0-2 - l]c b) Xo = [5 -5 -2 - l]c c H=[2 13] u2 =i[-l 2]c l]c ll)a)U! =-^[1 -1 = -^[-5 u3 l]c 3V2 bl) T2: 3x -y+ z = phang qua goc toạ độ ) b2) t2 :1 (-X + ( mặt (đường 2y + z = thăng qua gôc toạ độ ) T1 : -4x- 3y + z = phăng qua gôc toạ độ ) b3) Y = [yi y2 y3Ệ e T2 : Y = yi[l b4) Y = [yi y2 y3]c e T2 : ( mặt - 14 22]c , V yi e p 10yi - 17y2-8y3 = 12) b) a = , b = — 13) X = [1 2], Y = [0 2], z = [0 -1] e p2 với tích vơ hướng X = [xi x2] , Y = [yi Yỉ] (X , Y) = Xiyi + x2y2 ta có |x + y + z|2 = (x + y + z,x + Y + Z)= 12 + 32= 10 = l2 + 22 + o2 + 22 + o2 + (- l)2 = (X , X) + (Y , Y) + (Z , z) = |x|2 + |y|2 + |z|2 (X , Y) = 1.0 + 2.2 = Z) , (Y , Z) (tương tự (X , 0) Kiểm tra nhận thức Nêu nhiều tốt ví dụ khác (tương tự Ví dụ Bài tập) * Khơng gian Euclid tìm Độ dài vectơ, Góc vectơ cụ 158 * Khơng gian cuả Khơng gian Euclid tìm hình chiếu vng góc vectơ cụ thể xuống Khơng gian * Trực chuẩn hoá Gram - Smidt hệ vectơ cụ thể Abraham de Moivre Gabriel Cramer Pierre-Simon Laplace Charles Hermite (1667-1754) (1704-1752) (1749-1827) (1822-1901) 159 -tyXư, fgtiS Augustin Louis Cauchy Karl Hermann Amandus Schwarz (1789-1857) (1843-1921) BnKTOp 51K0BJICBHH EyHflKOBCKHH (1804-1889) TÀI LIỆU THAM KHẢO Đ.K Phađeev Bài giảng vê đại sô Nhà xuất Khoa Học - Matxcơva - 1984 Ph.R Gantmakhe Lý thuyết ma trận Nhà xuất Khoa Học - Matxcơva - 1967 I.M Ghenphan Bài giảng đại số tuyến tính Nhà xuất Khoa Học - Matxcơva - 1988 I.v Prôxcuriacôp Bài tập đại sơ tun tính Nhà xuất Khoa Học - Matxcơva - 1975 160 MỤC LỤC Chương I Trường số phức 02 I- Khái niệm số phức 02 1- Đặt vấn đề 02 2- Đơn vị ảo 02 3- Số phức 02 4- Số ảo 02 5- Hai số phức 02 6- Hai số phức liên họp với 02 7- Biểu diễn số phức mặt phẳng 03 8- Dạng lượng giác số phức 03 II- Các phép tính 05 - Cộng trừ số phức 05 2- Nhân số phức 06 3- Chia số phức cho số phức 07 4- Căn bậc n số phức 09 III- Trường số phức 12 Bài tập 13 Đáp số 15 Chương II Ma trận định thức 17 161 I- Khái niệm ma trận 17 1- Ma trận cấp m.n 17 2- Ma trận không 17 3- Hai ma trận 17 4- Ma trận đối 18 5- Ma trận chuyển vị 18 6- Ma trận vuông 18 7- Ma trận đơn vị 18 8- Ma trận đối xứng 19 II- Các phép tính ma trận 19 - Cộng trừ ma trận cấp 19 2- Nhân ma trận với số 20 3- Nhân ma trận với 21 III- Định thức 22 - Định thức cấp 22 2- Định thức cấp 23 3- Định thức cấp n 24 4- Định lý Laplace 25 5- Tính chất 30 IV- Ma trận nghịch đảo ma trận vuông 34 - Định nghĩa 34 162 2- Tính chất 35 3- Quy tắc tính 36 V- Hạng ma trận 39 - Định nghĩa 39 2- Quy tắc tìm hạng ma trận 40 Bài tập 43 Đáp số 46 Chương III Không gian vectơ 49 1- Vectơ n- chiều 49 1- Khái niệm 49 2- Sự phụ thuộc tuyến tính hệ vectơ 49 3- Hạng hệ vectơ 52 II- Không gian vectơ n- chiều 54 - Khái niệm 54 2- Biến đổi toạ độ vectơ 56 III- Ành xạ tuyến tính 58 - Khái niệm 58 2- Dạng ma trận ánh xạ tuyến tính 60 3- Ma trận đồng dạng 61 163 IV- Không gian vectơ 62 - Khái niệm 62 2- Không gian 64 Bài tập 65 Đáp số 72 Hệ phưong trình tuyến tính Chương IV 76 1- Khái niệm 76 - Hệ phưong trình tuyến tính 76 2- Hệ 76 II- Định lý 77 III- Phương pháp giải 82 - Phương pháp ma trận nghịch đảo 82 2- Phương pháp Cramer 86 3- Phương pháp Gauss 91 Bài tập 95 Đáp số 96 Chương V Vectơ riêng - Giá trị riêng Dạng song tuyến - Dạng toàn phương 98 I- Vectơ riêng - Giá trị riêng 98 164 - Định nghĩa 98 2- Định lý 99 II- Dạng song tuyến 101 - Định nghĩa 101 2- Ma trận dạng song tuyến 102 III- Dạng toàn phuơng 105 - Định nghĩa 105 2- Tính xác định dạng tồn phương 106 3- Dạng tắc dạng tồn phương 106 4- Phương pháp đưa dạng tồn phương dạng tắc 107 5- Luật quán tính 112 IV- Đường bậc hai - Mặt bậc hai 113 - Đường bậc hai 113 2- Mặt bậc hai 114 Bài tập 118 Đáp số 120 Chương VI 122 Không gian Euclid - Không gian Unita I- Khái niệm 122 1- Không gian Euclid 122 2- Không gian Unita 122 165 3- Độ dài vectơ khơng gian Euclid 123 4- Góc vectơ không gian Euclid 123 5- Hai vectơ vng góc với khơng gian Euclid 123 II- Cơ sở trực chuẩn 126 1- Hình chiếu vng góc 126 2- Cơ sở trực chuẩn 130 3- Phần bù trực giao 132 Bài tập 133 Đáp số 136 Tài liệu tham khảo 138 166