11 định lý thales trong tam giác

PHIẾU BÀI TẬP TỐN Hình học Trang 1/13 ĐỊNH LÍ THALES TRONG TAM GIÁC A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1.Đoạn thẳng tỉ lệ Hai đoạn thẳng AB CD gọi tỉ lệ với hai đoạn thẳng MN PQ có tỉ lệ thức AB MN = CD PQ Định lí Thales  Định lí: Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh cịn lại định ta hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ  Trong hình vẽ, MN // BC Do AM MB AM  MB AB    AN NC AN  NC AC AM AN  MB NC Suy AM AN  AB AC ;  Định lí: Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ đường thẳng song song với cạnh cịn lại tam giác  Trong hình vẽ, có hai tỉ lệ thức : AM AN MB NC  ,  AB AC AB AC ta có MN // BC; Hệ định lí Thales đảo  Hệ quả: Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh cịn lại tạo thành tam giác có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác cho Cho tam giác ABC, đường thẳng d song song với cạnh BC cắt cạnh AB; AC M N Khi , ta có : AM AN MN   AB AC BC ; PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 2/13  Chú ý: Hệ cho trường hợp đường thẳng d song song với cạnh tam giác cắt phần kéo dài hai cạnh lại B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Viết tỉ số cặp đoạn thẳng tính tỉ số hai đoạn thẳng  Sử dụng định nghĩa đoạn thẳng tỉ lệ Ví dụ Đoạn thẳng AB gấp lần đoạn thẳng CD , đoạn thẳng AB gấp lần đoạn thẳng CD a) Tính tỉ số hai đoạn thẳng AB AB ĐS: b) Cho biết đoạn thẳng MN 55 cm M N  77 cm; hỏi hai đoạn thẳng AB AB có tỉ lệ với đoạn thẳng MN M N  khơng? ĐS: Có tỉ lệ Lời giải a) AB 5CD   AB 7CD MN 55 AB MN         b) M N 77 A B M N  Vậy hai đoạn thẳng AB AB tỉ lệ với đoạn thẳng MN M N  Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng chứng minh đoạn thẳng tỉ lệ  Bước 1: Xác định cặp đoạn thẳng tỉ lệ có nhờ định lí Ta-lét  Bước 2: Sử đụng độ dài đoạn thẳng có vận dụng tính chất tỉ lệ thức để tìm độ dài đoạn thẳng Ví dụ Tính x trường hợp sau a) b) c) ĐS: x 2 ĐS: x 6,8 ĐS: x 2,8 Lời giải PHIẾU BÀI TẬP TOÁN a) Trang 3/13 AM AN  MB NC x  10 x 2 b) KN KO  KL KM  x  3,5 x 6,8 c) PS PT  SQ TR  x 8,5  x 2,8 Ví dụ Cho hình thang ABCD có ( AB CD) AB  CD Đường thẳng song song với đáy AB cắt cạnh bên AD , BC theo thứ tự M , N Chứng minh a) MA NB  AD BC ; b) MA NB  MD NC ; c) MD NC  DA CB Lời giải Gọi giao điểm AD BC E a) Vì EA EB  AM BN AB CD nên EA EB  AD BC AB  MN nên Từ điều suy MA AD EA AM    NB BC EB BN b) Theo ý a) ta có tỉ lệ thức suy c) Theo ý b) ta có MA NB  AD BC nên theo tính MA AD  AM MD   NB BC  BN NC MD DA MA   NC CB NB Vậy MA NB  MD NC chất nên theo tính chất tỉ lệ thức suy PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 4/13 MD MD  MA AD   NC NC  NB BC Vậy MD NC  DA CB Dạng 3: Sử dụng hệ định lý Ta-lét để tính độ dài đoạn thẳng  Bước 1: Xác định cặp đoạn thẳng tỉ lệ nhờ hệ định lý Ta-lét  Bước 2: Sử dụng độ dài đoạn thẳng có vận dụng tính chất tỉ lệ thức để tìm độ dài đoạn thẳng cần tìm Ví dụ Tính x trường hợp sau a) b) Lời giải MN AM 2    MN  BC  6,5 2, 5 a) BC AB  (đvđd) b) OP PQ  ON MN x 5,  52 x  (dv dd) 15 Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A , MN  BC (M  AB, N  AC ) , AB 24 cm, AM 16 cm, AN 12 cm Tính độ dài đoạn thẳng NC NB Lời giải Theo định lí Ta-lét  AC  AM AN  AB AC AB AN 24 12  18(cm) AM 16 ,  NC  AC  AN 6 cm 2 Lại có tam giác ANB vng A Tính NB  AN  AB 12 Dạng 4: Sử dụng định lý Ta-lét đảo để chứng minh đường thẳng song song  Bước 1: Xác định cặp đoạn thẳng tỉ lệ tam giác PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 5/13  Bước 2: Sử dụng định lý đảo định lý Ta-lét để chứng minh đoạn thẳng song song Ví dụ Cho hình thang ABCD ( AB CD) Gọi trung điểm đường chéo AC BD M , N Chứng minh MN , AB CD song song với Lời giải OC OD  Gọi giao điểm hai đường chéo O Vì AB CD nên OA OB  OC  OA OD  OB  OA OB Suy AC BD  OA OB Từ AC 2 AM BD 2 BN Suy AM BN AM BN    OA OB OA OB AM  OA BN  OB OM ON   OA OB Theo tính chất tỉ lệ thức ta có hay OA OB Áp dụng định lý Ta-lét đảo suy MN  AB mà AB CD (do ABCD hình thang) nên MN  AB CD Dạng 5: Sử dụng hệ định lý Ta-lét để chứng minh hệ thức, đoạn thẳng  Bước 1: Xét đường thẳng song song với cạnh tam giác, sử dụng hệ để lập đoạn thẳng tỉ lệ  Bước 2: Sử dụng tỉ số có, với tính chất tỉ lệ thức, tỉ số trung gian (nếu cần) để tính độ dài đoạn thẳng chứng minh hệ thức có từ hệ quả, từ suy đoạn thẳng Ví dụ Cho tam giác ABC có BC 15 cm Trên đường cao AH lấy điểm I , K cho AK KI IH Qua I , K vẽ đường thẳng EF  BC , MN  BC a) Tính độ dài đoạn thẳng EF MN b) Tính diện tích tứ giác MNEF , biết diện tích tam giác ABC 270 cm Lời giải a) Ta có Suy EF AE AK    BC AB AH EF  BC 5 (cm) PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 6/13 MN AM AI    Ta có BC AB AH Suy MN  BC 10 (cm) b) Vì S ABC 270 nên AH BC 540 Suy AH 36 nên IK 12 Suy S ABCD  IK ( EF  MN ) 90(cm ) Ví dụ Cho hình thang ABCD( AB CD) Đường thẳng song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC đường chéo BD, AC M , N , P, Q Chứng minh a) MD CQ  AD BC b) MN PQ Lời giải a) Ta có MD DN CQ   AD DB CB MN MD CQ PQ    b) Ta có AB AD CB AB C BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Cho biết độ dài MN gấp lần độ dài PQ độ dài đoạn thẳng M N  gấp 12 lần độ dài PQ a) Tính tỉ số hai đoạn thẳng MN M N  ĐS: 12 b) Cho biết đoạn thẳng DE 9 cm DE  10,8 dm, hỏi hai đoạn thẳng MN M N  có tỉ lệ với đoạn thẳng DE DE  không? ĐS: Không tỉ lệ Lời giải MN PQ   a) M N  12 PQ 12 b) DE MN     DE  108 12 12 M N  Vậy hai đoạn thẳng MN M N  không tỉ lệ với đoạn thẳng DE DE  PHIẾU BÀI TẬP TỐN Bài Tính x trường hợp sau Trang 7/13 a) b) ĐS: x 3, 25 ĐS: x 6,3 Lời giải a) AF AE  FB EC 6,5  x x 3, 25 b) DI DK  IE KF x  10,5 24  x 6,3 Bài Cho góc xAy khác góc bẹt Trên tia Ax lấy điểm B , C Qua B C vẽ hai đường thẳng song song, cắt Ay D E Qua E vẽ đường thẳng song song với CD cắt tia Ax F a) So sánh AB AC AD AC AE ; AF AD AE b) Chứng minh AC  AB AF Lời giải AB AD AC AD   a) Theo định lí Ta-lét ta có AC AE ; AF AE AB AC  b) Từ a) ta có AC AF suy AC  AB AF Bài Tính x trường hợp sau AB AD AC AD   ĐS: AC AE ; AF AE PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 8/13 a) b) ĐS: x 15,3 ĐS: x 28 Lời giải AD AE 17 x     x 15,3 a) DB EC 10 MI MK 16 20     x 28 x 20  15 b) MN MP Bài Cho tam giác ABC , đường thẳng d cắt AB , AC B, C  cho Chứng minh a) AB AC   BB C C ; b) AB AC   AB AC BB CC   AB AC Lời giải Từ AB AC   BB AC suy d  BC (theo định lí Ta-lét đảo) a) Vì BC   BC nên theo định lí Ta-lét ta có AB AC   BB C C ; b) Vì BC   BC nên theo định lí Ta-lét ta có BB  CC   AB AC Bài 6: Cho góc xOy Trên tia Ox , lấy theo thứ tự điểm A, B cho OA 2cm, AB 3cm Trên tia Oy , lấy điểm C với OC 3cm Từ B , kẻ đường thẳng song song với AC cắt Oy D Tính độ dài CD Lời giải Xét OBD có: AC / /BD (gt) Þ AO OC = AB CD (định lí Ta-let tam giác) Þ CD = AB OC 3.3 = = 4,5(cm) OA PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Bài 7: Tìm x hình Biết MN / / PQ Hình Lời giải Trang 9/13 Hình Hình Trong tam giác ABC, OPQ, MN / / PQ ta  Hình OP PQ  có: ON MN ( hệ định lí Ta-let) x 5, 5, 2.2 52   x   cm  3 15 Hình Ta có: EF  AB; EF  QD Suy AB / /QD OF FQ   OQF , QF / / EB Trong suy ra: OE EB ( hệ định lí Ta-let)  x 3,5 3.3,   x 5, 25  cm  2  Hình 3.Áp dụng định lí Pytago AMN , A 90 ta có: MN  AM  AN 162  122  MN  400 20  cm  AM AN   AMN , MN / / BC Trong suy ra: AB AC ( hệ định lí Ta-let)  16 12 24.12   AC  18  cm  NC 18  12 6  cm  24 AC 16 ; AM MN   AMN , MN / / BC Trong suy ra: AB BC ( hệ định lí Ta-let)  16 20 24.20   BC  30  cm  24 BC 16 Bài Cho tam giác ABC có cạnh BC a Trên cạnh AB lấy điểm D E cho AD DE EB Từ D, E kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC theo thứ tự M , N Tính theo a độ dài đoạn thẳng DM EN Lời giải AD DM a = = Þ DM = 3 Áp dụng định lý Ta-lét ta có AB BC PHIẾU BÀI TẬP TỐN Trang 10/13 AD DM = = Þ EN = 2DM = a Tương tự ta có AE EN Bài Cho hình thang cân ABCD( AB CD) có hai đường chéo AC BD cắt O Gọi M , N trung điểm BD AC Biết MD 2 MO , đáy lớn CD 5, cm a) Tính độ dài đoạn thẳng MN b) Chứng minh MN  CD  AB Lời giải OD OC OD OC OD OC      AB  CD a) Vì nên DB AC 2MD NC MD NC Suy MN CD nên MN OM   CD OD 28 MN  CD  15 Vậy b) Vì OB MB  OM MD  OM OM nên AB OB MO = = = CD OD 3MO suy CD 3 AB 1 1 1 MN  CD  CD  CD  CD  3 AB  (CD  AB ) 6 Vậy Bài 10 Cho hình thang cân ABCD ( AB CD) Đường thẳng song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC đường chéo BD, AC M , Q, N , P Chứng minh a) DN CP  BD AC b) MN PQ Lời giải DN DM CP   a) Ta có BD DA AC b) Ta có MN DN CP PQ    AB DB CA AB suy MN PQ Bài 11 Tam giác ABC , đường cao AH Đường thẳng d song song với BC , cắt cạnh AB , AC đường cao AH theo thứ tự điểm B, C  , H  Chứng minh a) AH  BC   AH BC ; S ABC   BC     S b) ABC  BC  PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Lời giải a) Trang 11/13 AH  BH  AB BC     AH BH AB BC S ABC  AH BC   BC      S AH  BC  BC  ABC b) Bài 12 Tính x trường hợp sau a) b) Lời giải IK DI IK DE (9,5  28) 600   x   x DE DI 9,5 19 (đvđd) a) OB AB 4,     x 8, b) OC CD x (đvđd) Bài 13 Cho tam giác ABC , MN  BC (M  AB, N  AC ), AB 25 cm, AM 16 cm, BC 45 cm, AN 12 cm Tính độ dài đoạn thẳng MN AC Lời giải AM AN MN   Theo định lí Ta-lét AB AC BC Suy MN  AC  AM BC 16 45  28,8 AB 25 cm AB AN 25 12  18, 75 AM 16 cm Bài 14 Cho tam giác ABC có điểm M cạnh BC cho BC 4CM Trên cạnh AC lấy điểm N cho CN  AN Chứng minh MN song song với AB Lời giải Theo tính chất tỉ lệ thức ta có CN CN CN      AN AN  CN  AC PHIẾU BÀI TẬP TOÁN CM  BC Mặt khác Suy Trang 12/13 CM CN  BC AC Vậy MN  AB Bài 15 Cho tam giác ABC , đường cao AH Đường thẳng d song song với BC , cắt cạnh AB, AC đường cao AH theo thứ tự điểm B, C , H  a) Chứng minh b) Cho AH  BC   AH BC AH   AH diện tích tam giác ABC 67,5 cm Tính diện tích tam giác ABC  Lời giải a) Ta có b) Vì AH  AB BC    AH AB BC AH   AH nên BC   BC Suy 1 1 S ABC   AH B C    AH  BC  S ABC 7,5cm 2 3 Bài 16 Cho hình thang ABCD với AB CD có hai đường chéo AC , BD cắt O đường thẳng qua O song song với đáy cắt cạnh bên AD BC theo thứ tự M N Chứng minh OM ON Lời giải Xét ADC có MO  DC nên theo định lí Ta-lét ta có OM OA  DC AC (1) Xét BCD có ON CD nên theo định lí Ta-lét ta ON BN  CD BC (2) Xét CAB có ON CD nên theo định lí Ta-lét ta BN AO  BC AC (3) OM OA BN ON    Từ (1) , (2) , (3) suy DC AC BC CD Suy OM ON có có PHIẾU BÀI TẬP TOÁN Trang 13/13