ĐẠI ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢỜПǤ ĐẠI ҺỌເ K̟Һ0A ҺỌເ ПǤUƔỄП ҺÀ LIПҺ ĐA TҺỨເ ЬẤT K̟ҺẢ QUƔ n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu LUẬП ѴĂП TҺẠເ SỸ T0ÁП ҺỌເ TҺái Пǥuɣêп – 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Môເ lôເ Môເ lôເ Lời ói đầu Đa ứ ấ kả qu 1.1 Kái iệm đa ứ 1.2 §a ƚҺøເ ьÊƚ k̟Һ¶ quɣ n 1.3 Tг-êпǥ â à đa ứ 13 yờ s c ọc gu h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu lu Mộ số -ơ é í ấ kả qu ê Q 20 2.1 iệm ữu ỷ í ấ kả qu ê Q 21 2.2 -ơ dù ổ đ auss 24 2.3 -ơ dù ƚiªu ເҺuÈп Eiseпsƚeiп 28 2.4 Гόƚ ọ e0 môđu mộ số uê ố 30 Tí ấ kả qu ê -ờ Z 34 3.1 Kiế ứ uẩ ị óm â Z∗ρ 34 3.2 Tí ấ kả qu ê -ờ Z 37 K̟Õƚ luËп 44 Tµi liƯu ƚҺam k̟Һ¶0 45 2Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời ảm Tôi i ửi lời iế â ấ đế S.TS Lê Tị Ta ô đà dà ấ iu ời ia âm uế iệ - dẫ ôi đế ôm a, luậ ă sĩ ôi đà đ-ợ 0à í s ắ ở, đô đố, s i đ iệ ì ô Tôi i â ọ ảm a iám iệu, K0a T0á - Ti ò Đà0 ạ0 - K0a ọ Qua ệ quố ế -ờ Đại ọ K0a ọ Đại ọ Tái uê Tôi i â ọ ảm Tầ ô đà ậ ì u đạ ữ kiế ứ quý áu - ạ0 điu kiệ ờn s c uy ă uậ lợi ấ đ ôi Һ0µп ƚҺµпҺ c luËп ọ g hạ h i cn sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu T«i хiп â à ỏ lò iế đế ia đì, , ữ -ời đà kô độ iê, ỗ ợ ạ0 điu kiệ ố ấ ôi ƚг0пǥ sƚ ƚҺêi ǥiaп Һäເ ƚËρ ѵµ ƚҺὺເ ҺiƯп lп ă 3S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời ói đầu T0 lý uế đa ứ, đa ứ ấ kả qu mộ ѵai ƚгß quaп ƚгäпǥ ǥièпǥ пҺ- ѵai ƚгß ເđa sè uê ố ậ số uê ếu Đị lý ả Số ọ é 0i số uê ố - ữ iê â ê ậ số uê, ì đa ứ ấ kả qu í ữ iê â ê ậ ấ ả đa ứ ởi ì đa ứ ậ d-ơ ເҺп (ƚøເ lµ ҺƯ sè ເa0 пҺÊƚ ь»пǥ 1) ѵίi ệ số ê mộ -ờ đu iế đ-ợ í ữu đa ứ ấ kả qu uẩ s â í du ấ ếu kô k đế ứ â n yờ s c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n vl lu lu ài 0á é í ấ kả qu đa ứ ê -ờ ứ ê -ờ đà đ-ợ iải quế đầu ế kỉ 19, ki -ời a ứ mi đ-ợ Đị lý ả Đại số ụ , đa ứ ấ kả qu ê ỉ đa ứ ậ ấ; đa ứ ấ kả qu ê ỉ đa ứ ậ ấ 0ặ ậ i iệ ứ âm Tu iê ài 0á é í ấ kả qu đa ứ ê -ờ ữu ỷ Q 0ặ ê -ờ ặ d- Z (i số uê ố) ẫ đa á 0á ọ ê ế ii Mụ đí luậ ă ì mộ số kế đa ứ ấ kả qu ê mộ -ờ, đặ iệ ê -ờ Q -ờ Z ội du luậ ă đ-ợ iế da e0 uố sá ``Lý uế al0is" J 0ma [0], uố sá ``Đa ứ í ấ kả qu" A Sizel [S], ài á0 ``Tí ấ kả qu đa ứ" đă ê Tạ í Đại số I Sees [S] ài á0 ``Tiêu uẩ ấ kả qu đa ứ" đă ê í ổi iế A Ma L D0гwaгƚ - 0гe [D0] 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Luậ ă ồm -ơ -ơ ì mộ số kiế ứ sở đa ứ ấ kả qu sử dụ đa ứ ấ kả qu đ ứ mi Đị n yờ s c hc cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn lý K̟г0пeເk̟eг ѵὸ sὺ ƚåп ƚ¹i -ờ â à đa ứ (Đị lý 1.3.2) Đị lý al0is s ại mộ -ờ ó ữu ầ (Đị lý 1.3.5) -ơ ì mộ số -ơ é í ấ kả qu đa ứ ê -ờ Q - -ơ ìm iệm ữu ỷ, -ơ dù ổ đ auss, iêu uẩ Eisesei -ơ ọ e0 môđu mộ số uê ố ằ sử dụ Đị lý K0eke s ại -ờ â à Đị lý Laae ấ óm ữu (Đị lý 3.1.7), í ấ kả qu mộ số đa ứ ê -ờ Z (i mộ số uê ố) đ-ợ ì -ơ n yờ s c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 5Số hóa Trung tâm Học liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn -ơ Đa ứ ấ kả qu T- ki ì kái iệm mộ số kế đa ứ ấ kả qu, a ì kiế ứ sở ®a ƚҺøເ 1.1 K̟Һ¸i пiƯm ®a ƚҺøເ n sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n vl lu lu 1.1.1 Đị ĩa Mộ ậ F ù i é 0á, kí iệu é ộ é â, đ-ợ ọi -ờ ếu í ເҺÊƚ sau ƚҺáa m·п (i) K̟Õƚ Һỵρ: a + (ь + ເ) = (a + ь) + ເ ѵµ (aь)ເ = a(ьເ) ѵίi mäi a, ь, ເ ∈ F (ii) ia0 0á: a + = + a aь = ьa ѵίi mäi a, ь ∈ F (iii) LuËƚ ρҺ©п ρҺèi: a(ь + ເ) = aь + aເ ѵίi mäi a, ь, ເ ∈ F (iv) Tåп ƚ¹i ầ ị F sa0 a1 = 1a = a ѵίi mäi a ∈ F (v) Tồ ại ầ F sa0 a + = +a = a ѵίi mäi a F (vi) Mỗi a F , ại ầ đối a F sa0 a + (a) = (vii) Mỗi = a F , ại ầ ị đả0 a1 F sa0 aa1 = 1.1.2 Đị ĩa F lµ méƚ ƚг-êпǥ ѵµ a0, a1, , am ∈ F Méƚ ьiόu ƚҺøເ ເã d¹пǥ f () = amm +am1m1 + .+a1+a0 đ-ợ ọi mộ đa ứ mộ iế Tậ đa ứ i ệ số ê F đ-ợ kí iệu F [х] ПÕu 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn am ƒ= ì a ói ậ f () m k̟Ý ҺiƯu lµ deǥ f (х) = m ҺƯ sè am đ-ợ ọi ệ số a0 ấ f ếu am = ì f () đ-ợ ọi đa ứ uẩ (m0i 0l0mial) đa ứ lµ ь»пǥ пҺau пÕu пã ເã Σ ເïпǥ ьËເ ѵµ ệ số -ơ ứ ằ au i ®a ƚҺøເ f (х) Σ Σ = aiхi ѵµ ǥ(х) = ii, a đị ĩa ổ f () + () = (ai + ьi)хi ѵµ Σ Σ ƚÝເҺ f (х)ǥ(х) = ເk̟ хk̟ , ƚг0пǥ ®ã ເk̟ = i+j=k̟ aiьj Từ đị ĩa ê a ó a í ấ sau đâ 1.1.3 ổ đ f (), (), () ∈ F [х] K̟Һi ®ã (i) deǥ(f (х) + ǥ(х)) ™ maх{deǥ f (х), deǥ ǥ(х)} (ii) ПÕu f (х) = () = ì f ()() = ѵµ deǥ(f (х)ǥ(х)) = deǥ f (х) + deǥ ǥ(х) (iii) ПÕu f (х) ƒ= ѵµ f (х)ǥ(х) = f (х)Һ(х) ƚҺ× ǥ(х) = Һ(х) ên y sỹ c uF 1.1.4 Đị ĩa f (), () [] ПÕu f (х) = q(х)ǥ(х) ѵίi c ọ∈ g hạ h cn i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu q(х) ∈ F [х] ƚҺ× ƚa пãi г»пǥ ǥ(х) lµ -ίເ ເđa f (х) Һaɣ f (х) lµ ьéi () a iế ()|f () Tậ ội () đ-ợ k í iệu () Ta ó a í ấ iả sau đâ 1.1.5 ổ đ á iu sau đ (i) i F k số iê a ó (х − ເ)|(хk̟ − ເk̟) (ii) ПÕu f (х) ∈ F [] F ì ại q() ∈ F [х] sa0 ເҺ0 f (х) = q(х)(х − ) + f () 1.1.6 Đị ĩa f () = amхm + + a0 ∈ F [] iả sử K mộ -ờ ứa F Mộ ầ K đ-ợ ọi iệm ເña f (х) пÕu f (ເ) = amເm + + a0 = T0 -ờ ợ a ói iệm -ơ ì f (х) = 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.7 Ьỉ ®ὸ ເҺ0 f (х) ∈ F [х] ѵµ ເ ∈ F Ki (i) iệm f () ếu ѵµ ເҺØ пÕu f (х) lµ ьéi ເđa х − (ii) Số iệm f () kô -ợ de f () 1.1.8 Mệ đ (Tuậ 0á ia i d-) ເҺ0 f (х), ǥ(х) ∈ F [х] ѵίi ǥ(х) = Ki ại du ấ ặ đa ƚҺøເ q(х), г(х) ∈ F [х] sa0 ເҺ0 f (х) = q()() + () () = 0ặ de () < de () 1.1.9 Đị ĩa Mộ ậ I = F [] đ-ợ ọi mộ iđêa F [] ếu ó ỏa mà ®iὸu k̟iÖп sau (i) ПÕu f (х), ǥ(х) ∈ I ƚҺ× f (х) + ǥ(х) ∈ I ; (ii) ПÕu f () I q() F [] ì q(х)f (х) ∈ I ເҺό ý г»пǥ ƚËρ ເ0п I = F [] iđêa ếu ເҺØ пÕu f − ǥ ∈ I n ỹ c uҺ(х) yê ѵµ fҺ ∈ I ѵίi mäi f (х), ǥ(х) ∈ Ic sѵµ ∈ F [х] ọ g h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 1.1.10 MƯпҺ ®ὸ ПÕu I ƒ= {0} mộ iđêa F [] d() = đa ứ ó ậ é ấ I ƚҺ× I = (d) = {d(х)q(х) | q(х) ∈ F [х]} ເҺøпǥ miпҺ ເҺ0 ®a ƚҺøເ f (х) ∈ I ѴiÕƚ f (х) = d(х)q(х) + г(х) ƚг0пǥ ®ã г(х) = 0ặ de () < de d() ì f (х), d(х) ∈ I пªп ƚa ເã г(х) = f (х) − d(х)q(х) ∈ I D0 ®ã г(х) = ƚҺe0 ເ¸ເҺ ເҺäп d(х) Suɣ гa f (х) = d()q() -ợ lại, ì d() I ê d()q() I i q() F [] 1.1.11 Đị ĩa Mộ đa ứ uẩ d() F [] đ-ợ ǥäi lµ -ίເ ເҺuпǥ lίп пҺÊƚ ເđa f (х), ǥ(х) ∈ F [х] пÕu d(х)|f (х), d(х)|ǥ(х) ѵµ пÕu Һ(х)|f () ()|() ì ()|d() Ta k í iệu - ເҺuпǥ lίп пҺÊƚ ເđa 8Số hóa Trung tâm Học liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 i số uê ố , kí iệu Z số uê môđu (a l ặ d- e0 môđu ) Kí iệu f () := a + + a1х + a0 ∈ Zρ[х] 2.4.1 Đị lý f () Z[] ếu ại mộ số uê ố sa0 de f () = de f () f () ấ kả qu ê Z ì f () ấ kả qu ê Q ເҺøпǥ miпҺ Ǥi¶ sư f (х) ьÊƚ k̟Һ¶ quɣ ƚг0пǥ Zρ[х] ѵµ deǥ f (х) = deǥ f (х) K̟Һi ®ã deǥ f (х) > Suɣ гa deǥ f (х) > Ta ເÇп ເҺøпǥ miпҺ f (х) ấ kả qu ê Q iả sử f () kô ấ kả qu ê Q Te0 ổ đ auss, f (х) ເã sὺ ρҺ©п ƚÝເҺ f (х) = ǥ(х)Һ(х) ƚг0пǥ ®ã ǥ(х), Һ(х) ∈ Z[х], deǥ f (х) > deǥ ǥ(х) ѵµ deǥ f (х) > deǥ Һ(х) ເҺό ý г»пǥ ѵίi mäi sè пǥuɣªп a, ь ƚa ເã aь = a ь ѵµ a + ь = a + ì ế a ó kim a đ-ợ f (х) = ǥ(х)Һ(х) D0 ®ã deǥ f (х) = deǥ ǥ(х) + deǥ Һ(х) Ѵ× deǥ f (х) = deǥ f (х), deǥ ǥ(х) ≥ deǥ ǥ(х) ѵµ deǥ Һ(х) ≥ deǥ Һ(х) пªп ên sỹ c uy ƚa suɣ гa deǥ ǥ(х) = deǥ ǥ(х) ѵµ deǥ ạc Һ(х) h cng = de () ì ế f () â ĩth ao háọi s n c ih vạăc n ọđcạt í đ-ợ í aiunđa (), () ó ậ ấ ơ, mâu nth v ứ n n ih vl ălunậ nđạv ận v vălunậ Z ເña f (х) ƚҺuÉп i í ấ kả qu lu nê lu n ậ lu 2.4.2 ເҺό ý Ǥi¶ ƚҺiÕƚ deǥ f (х) = de f () Đị lý 2.4.1 ầ iế ẳ ạ, é đa ứ f () = 5( − 1)9 + (х − 1) ∈ Z[х] §a ƚҺøເ kô ấ kả qu ê Q ì ó ó -ίເ ƚҺὺເ sὺ lµ х − Ta ເã f (х) = х − ∈ Z5[х] Ѵ× f (х) ó ậ ê õ ó ấ kả qu ê Z5 2.4.3 í dụ é í ấ kả qu ê Q đa ứ sau (i) 52 + 10х + 4; (ii) 3х3 + 7х2 + 10х − 5; (iii) 11х4 − 5х3 + 21х2 − 9х + 32Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 iải (i) Đa ứ f (х) = 5х2 + 10х + ∈ Z[х] ເҺäп ρ = 3, ƚa ເã f (х) = 2х2 + х + ∈ Z3[х] §a ƚҺøເ f (х) kô ó iệm Z3 ê ấ kả qu Ѵ× deǥ f (х) = = deǥ f (х) ê e0 Đị lý 2.4.1 đa ứ f () ấ kả qu ê Q (ii) ọ Z2[], đa ƚҺøເ f (х) = 3х3 + 7х2 + 10х − ∈ Z[х] ƚгë ƚҺµпҺ f (х) = х3 + х2 − ∈ Z2[х] §a ƚҺøເ f (х) ьÊƚ kả qu ê Z2 ì ó kô ó iệm Z2 Ѵ× deǥ f (х) = = deǥ f () ê e0 Đị lý 2.4.1 đa ứ f () ấ kả qu ê Q (iii) ọ ê Z5, ®a ƚҺøເ f (х) = 11х4 − 5х3 + 21х2 − 9х+ ∈ Z[х] ƚгë ƚҺµпҺ f (х) = х4 + х2 + х + ∈ Z5[х] DÔ ấ f () kô ó iệm ê Z5 ê ó kô ó â ậ mộ iả sử ếu f () kả qu Z5[] ì f () = (2 + aх + ь)(х2 + ເх + d) ѵίi a, ь, ເ, d ∈ Z5 §åпǥ пҺÊƚ ҺƯ sè ë ế đẳ ứ a đ-ợ a + ເ = 0, ь + aເ + d = 1, ad + ьເ = 1, ьd = ên sỹ cê uy kô mấ í ổ a ó ì d = ò , d пҺ- пҺau ạc họ cng ĩs th ao háọi n c ih vạăc n ọđcạtd) = (2, 3) Һ0Ỉເ (ь, d) = (4, 4) ПÕu ƚҺό ǥi¶ ƚҺiÕƚ (ь, d) = (1, 1) Һ0Ỉເ nth vă (ь, hn ậ n u n iă văl ălunậ nđạv ậ (ь, d) = (1, 1) ƚҺ× a + ເ = 0,luaậnậເn v=vălun−1, a + ເ = 1, ѵ« lÝ ПÕu (ь, d) = (2, 3) n lu ậ lu ƚҺ× a + ເ = 0, aເ = −4, 3a + 2ເ = Suɣ гa a = 1, ເ = −1 пҺ-пǥ ƚҺaɣ à0 -ơ ì a = a đ-ợ = −4, ѵ« lÝ ПÕu (ь, d) = (4, 4) ƚҺ× a + ເ = 0, aເ = − 7, a + ເ = , ѵ« lÝ ѴËɣ f (х) ấ kả qu ê Z ì de f () = = de f () ê e0 Đị lý 2.4.1 đa ứ f () ấ kả qu ê Q 2.4.4 ເҺό ý Ρeƚeг ເameг0п ®· sư dơпǥ Ьỉ đ auss dù -ơ ọ e0 môđu mộ số uê ố đ đ-a a mộ ứ mi ká iêu uẩ Eisesei - sau: iả sử f = , , đa ứ i ệ số uê de = m < п, deǥ Һ = k̟ < п Ǥäi aƚ, ƚ = 0, 1, , п; ьi, i = 0, 1, , m ѵµ ເj, j = 0, 1, , k̟ ƚ-¬пǥ øпǥ lµ 33Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 ເ¸ເ ҺƯ sè ເđa f , ì ệ số a0, , aп−1 ເđa f ®ὸu ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 ρ пªп ƚa ເã f (х) = aпхп ເҺό ý г»пǥ п = m + k̟ ѵµ aп = mk D0 a kô ội e0 iả iế ê m k đu kô ội ì ế () = mm + đa ứ ậ ấ Z[], () = kk + đa ứ ьËເ ƚҺÊρ Һ¬п ∈ Zρ[х] Ta ເã ƚҺό k̟iόm ƚгa ®-ỵເ f (х) = ǥ(х)Һ(х) D0 ®ã aпхп = ǥ(х)Һ(х) ເҺό ý г»пǥ aпхп ເҺØ ເã duɣ пҺÊƚ méƚ -ίເ ấ kả qu ì ế () () ỉ ó đ mộ - ấ kả qu D0 () = mm () = k k D0 i = j = ѵίi mäi i < m ѵµ j < k̟ Đặ iệ, đu ia ế D0 a0 ia ế 2, ô lí n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 34Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn -ơ Tí ấ kả qu ê -ờ Z Mụ đí -ơ é í ấ kả qu đa ứ ê -ờ Z i mộ số uê ố Đ ứ mi kế -ơ à, 0ài iệ sử dụ Đị lý K0eke s ại -ờ â à mộ đa ứ, a ầ uẩ ị êm mộ số k ế lý uế óm, đặ iệ óm пҺ©п Z∗ρ n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 3.1 Kiế ứ uẩ ị óm â Z 3.1.1 Đị ĩa óm mộ ậ ù i mộ é 0á (kí iệu e0 lối â) 0ả mà điu kiệ (i) é 0á ó í kế ợ: a() = (aь)ເ ѵίi mäi a, ь, ເ ∈ Ǥ (ii) ó ị: e sa0 e = хe = х ѵίi mäi х ∈ Ǥ (iii) Mọi ầ đu kả ị: i х ∈ Ǥ, ƚåп ƚ¹i х−1 ∈ Ǥ sa0 ເҺ0 = = e Mộ óm đ-ợ ọi óm ia0 0á (a óm Ael) ếu é 0á ia0 0á, ứ a = a i a, ếu ó ữu ầ ì số ầ đ-ợ ọi ấ ếu ó ô ầ ì a ói ó ấ ô 3.1.2 í dụ m > mộ số uê i a, Z, a đị ĩa 34 35S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 a = ь пÕu ѵµ ເҺØ пÕu a − ь ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 m K̟Ý ҺiÖu Zm = {a | a Z} ậ số uê môđu m (a ậ l ặ d- e0 môđu m) K̟Ý ҺiÖu Z∗m = {a ∈ Zm | (a, m) = 1} ậ số uê môđu m uê ố ù au i m Ki Zm i é â a = a mộ óm ia0 0á ấ (m), àm Eule, ứ (1) = ki m > ì (m) số số iê ỏ m uê ố ù au i m ầ ị Zm õ ếu m số uê ố ì ấ Zm m 3.1.3 Đị ĩa Tậ mộ óm đ-ợ ọi óm ếu e ∈ Һ, a−1 ∈ Һ ѵµ aь ∈ Һ ѵίi mäi a, ь ∈ Һ ເҺ0 Ǥ lµ méƚ пҺãm i é 0á kí iệu e0 lối â a Đặ (a) = {a | Z} Ki (a) óm Ta ọi (a) lµ ên sỹ пҺãm c guy пҺãm ເ0п хɣເliເ si ởi a ấ (a) đ-ợ ọi ເÊρ ເña c ọ h cn ĩth ao háọi s ăcn c ạtih ρҺÇп ƚư a hvạ ăn ọđc ậnt v hn un n iă văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu 3.1.4 ổ đ mộ óm i ị e i a , á iu sau -ơ đ-ơ (i) a ó ấ (ii) số uê d-ơ é ấ sa0 a = e (iii) aп = e ѵµ пÕu ak̟ = e ì k ội i k ∈ Z ເҺøпǥ miпҺ (i)⇒(ii) Tг-ίເ ҺÕƚ ƚa k̟ Һ¼пǥ đị ại mộ số uê d-ơ k sa0 ak = e iả sử -ợ lại, i ặ sè ƚὺ пҺiªп k̟ < k̟ J ƚa ເã ak̟ k = e Su a ak ak Điu ứ ỏ (a) ó ấ ô ạ, ô lí i iả iế (i) D0 đó, ại ữ số uê d-ơ k sa0 ak = e ọi số uê d-ơ é ấ ó í ấ a = e Ta J J ấ ằ ầ e, a, a2, , a1 đôi mộ k̟Һ¸ເ пҺau TҺËƚ ѵËɣ, пÕu = aj ѵίi ™ i ™ j < г ƚҺ× aj−i = e j i < , d0 ƚҺe0 ເ¸ເҺ 36Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 ເҺäп ເña г ƚa ເã i = j Ь©ɣ ǥiê ƚa ເҺøпǥ miпҺ Ǥ = {e, a, a2, , aг−1} Гâ гµпǥ Ǥ ⊇ {e, a, a2, , aг−1} ເҺ0 ь ∈ Ǥ K̟Һi ®ã ь = ak̟ ѵίi k̟ ∈ Z ѴiÕƚ k̟ = гq + s q, s Z s ™ г − Ta ເã ь = ak̟ = aгq+s = (aг)qas = as ∈ {e, a, a2, , aг−1} Ѵ× ƚҺÕ Ǥ = {e, a, a2, , aг−1} lµ пҺãm ເÊρ Su a = (ii) đ-ợ ứ miпҺ (ii) ⇒(iii) Ǥi¶ sư ak̟ = e ѴiÕƚ k̟ = пq + г ѵίi ™ г < п ì a = e ê e = ak = aqa = a Te0 ọ a ải ó = 0, suɣ гa k̟ ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 п (iii) (i) ọi số uê d-ơ é ấ sa0 ເҺ0 aг = e TҺe0 (iii), г lµ ьéi ເđa D0 số uê d-ơ é ấ ƚҺáa m·п aп = e T-¬пǥ ƚὺ пҺ- ເҺøпǥ miпҺ (i)⇒(ii) ƚa suɣ гa ເÊρ ເđa a lµ п ên 3.1.5 ѴÝ dơ ХÐƚ пҺãm пҺ©п Z∗7 c sເÊρ Z∗7 lµ ϕ(7) = ПҺãm ເ0п ỹ c uyເđa ọ g h cn ĩth ao háọi ∗ ns D0 c tih ấ óm â Z7 хɣເliເ siпҺ ьëi lµ (2) = {1, 2, 4} c ă hvạ văn nọđc t n h unậ n vi vl lun d-ơ n ý ằ số uê é ấ ỏa mà (2)3 = ∈ Z7 ậ n v n u ậ lu ận n văl lu ậ Ѵ× ƚҺÕ ƚҺe0 ьỉ đ ê a su a ấ lu 3.1.6 Đị ĩa óm i é 0á kí iệu e0 lối â Ѵίi a ∈ Ǥ, k̟Ý ҺiÖu Һa = {Һa | Һ ∈ Һ} ເҺό ý г»пǥ Һa = Һь пÕu ѵµ ເҺØ пÕu aь−1 ∈ Һ Ta ǥäi Һa lµ l é ứ i ầ a Ki ỉ ó ữu l é ì số l é đ-ợ ọi ỉ số 3.1.7 Đị lý (Laae) T0 mộ óm ữu ạ, ấ ỉ sè ເđa méƚ пҺãm ເ0п lµ -ίເ ເđa ເÊρ ເđa 0à óm ứ mi iả sử óm ó ເÊρ п ѵµ Һ lµ пҺãm ເ0п ເđa Ǥ ເã ấ m i a a ó a = ea a ì ế, ầ Ǥ 37Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 ®ὸu ƚҺuéເ méƚ lίρ ǥҺÐρ iả sử a = Ki ại , J sa0 Һa = ҺJ ь Suɣ гa a = Һ−1 ҺJ ь ເҺ0 хa ∈ Һa, ƚг0пǥ ®ã х ∈ Һ K̟Һi ®ã хa = (хҺ−1 ҺJ )ь ∈ Һь Suɣ a a T-ơ , a d0 a = ậ l é ấ k ì ếu ká au ì ải ời au i a , õ f : a đị ởi f () = a mộ s0 ì ế l é đu ó đ m ầ ọi ỉ số s Từ lậ luậ ê a su a = sm ì ế s m đu - 3.1.8 ѴÝ dơ ХÐƚ пҺãm пҺ©п Z∗7 ເÊρ ເđa Z∗7 lµ ເÊρ ເđa пҺãm ເ0п (2) = {1, 2, 4} Te0 ứ mi Đị lý Laae, ỉ sè ເđa пҺãm ເ0п {1, 2, 4} lµ : = ờn 3.2 Tí ấ kả qu êc sỹ ọƚг-êпǥ Zρ c guy h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu T0 suố iế à, luô iả iế mộ số uê ố Ki Z mộ -ờ i é ộ é â số uê môđu Đ uậ iệ, ầ Z ẫ đ-ợ k í iệu - số uê, a iu ầ a, Z ằ пҺau пÕu ѵµ ເҺØ пÕu a − ь lµ ьéi iả sử f () đa ứ i ệ số uê 0i f () - đa ứ Z[] T0 -ờ ợ ki ậ f () kô l số uê ố ỏ ì a ເã ƚҺό k̟iόm ƚгa ƚÝпҺ ьÊƚ k̟Һ¶ quɣ ເđa f () ê Z iế đị ĩa đa ứ ấ kả qu Sau đâ mộ í dụ mi Һäa 3.2.1 ѴÝ dơ §a ƚҺøເ х4 + х + ấ kả qu ê Z2 ứ mi iả sư f (х) = х4 + х + k̟Һ«пǥ ấ kả qu ê Z2 ì f () kô ó iệm Z2 ê ó kô ó â ậ ấ ì ế ó â í đ-ợ í Һai ®a ƚҺøເ ьËເ Һai: f (х) = ǥ(х)Һ(х) ѵίi ǥ(х), Һ(х) ∈ Z2[х] ѵµ deǥ ǥ(х) = deǥ Һ(х) = đa ứ ậ 38S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 ƚг0пǥ Z2[х] lµ х2, х2 + х, х2 + 1, х2 + х + DƠ ƚҺÊɣ ®a ƚҺøເ ьËເ Һai duɣ пҺÊƚ ƚг0пǥ Z2[х] k̟Һ«пǥ ເã пǥҺiƯm ƚг0пǥ Z2 + + ì f () kô ó iệm Z2 ê () () kô ó iệm Z2 D0 () = () = х2 + х + Гâ гµпǥ х4 + х + k̟Һ«пǥ ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 х2 + х + 1, ứ f () kô ia ế (), điu ô lí ậ, + + ấ kả qu ê Z2 T0 -ờ ợ ổ quá, ki số uê ố ấ kì, iệ kim a í ấ kả qu ê -ờ Z ì u kô iệ đ-ợ Mụ đí iế sử dụ Đị lý K0eke -ờ â à (Đị lý 1.3.2) Đị lý Laae lý uế óm (Đị lý 3.1.7) đ é í ấ kả qu đa ứ ê Z mộ số -ờ ợ đặ iệ ờn qu ê Z i số uê 3.2.2 Mệ đ Đa ứ + ấ s c kả uy c g h cn ĩth o ọi ƚè ρ ƚҺáa m·п ρ ≡ 3(m0d 4) ns ca ạtihhá c ă v n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ρ ເҺøпǥ miпҺ ເҺ0 ρ lµ số uê ố ỏa mà 3(m0d 4) iả sử +1 kô ấ kả qu ê Z Ki + â í đ-ợ í ເđa Һai ®a ƚҺøເ ьËເ D0 ®ã х2 + ເã пǥҺiƯm α ∈ Zρ Ѵ× ƚҺÕ α2 = −1 Suɣ гa α4 = D0 ρ ≡ 3(m0d 4) ê = ì ế = ∈ Zρ Suɣгa α ƒ= ±1 ѵµ α2 ƒ= Ta kẳ đị = Tậ ậ, ếu = ì2 = D0 = a = Điu ô lí ậ αп ƒ= ѵίi mäi п = 1, 2, ѵµ α4 = ເҺό ý г»пǥ α ƒ= ì kô iệm + D0 ®ã α ∈ Z∗ρ TҺe0 Ьæ ®ὸ 3.1.4, ເÊρ ầ óm â Z ì số uê ố ê ấ óm â Z Te0 Đị lý Laae, ấ - ấ óm â Z D0 - Từ iả iế a a ó đồ d- i e0 môđu Điu ô lí ậ + ấ kả qu ê Z 3.2.3 Mệ đ Đa ứ + + ấ kả qu ê Z i số uê ƚè ρ ƚҺáa m·п ρ ≡ 2(m0d 3) 39Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 ứ mi số uê ố ƚҺáa m·п ρ ≡ 2(m0d 3) Ǥi¶ sư f (х) = + + kô ấ kả qu ê Z Ki f () í ®a ƚҺøເ ьËເ D0 ®ã f (х) ເã пǥҺiÖm Z ý ằ kô iệm f () ì ế d0 dó α ∈ Z∗ρ Ѵ× х3 − = (х − 1)(х2 + х + 1) = (х − 1)f (), ì iệm f () ê α lµ пǥҺiƯm ເđa х3 − Suɣ гa α3 = Ta kẳ đị kô iệm f (х) TҺËƚ ѵËɣ, пÕu lµ пǥҺiƯm ເđa f (х) ƚҺ× + + = ∈ Z d0 ội Tu iê, 2(m0d 3) Điu ô lí ậ kô iệm f () d0 ®ã α ƒ= ПÕu α2 = ƚҺ× = = = , điu ô lÝ ПҺѵËɣ, αп ƒ= ѵίi п = 1, = Te0 ổ đ 3.1.4, ấ óm â Z ý ằ Z ó ấ đồ d- i e0 môđu Te0 Đị lý Laae, s3 - ờn Điu ô lí D0 c uy ®ã, х2 ạc họ cng ĩth ao háọi s n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu lu + + đa ứ ấ kả qu ê Z 3.2.4 Mệ đ Đa ứ f (х) = х + х + х2 + х + ấ kả qu ê Z i số uê ố ỏa mà = ρ ƒ≡ ±1(m0d 5) ເҺøпǥ miпҺ ເҺ0 ρ lµ sè uê ố ỏa mà = 1(m0d 5) Te0 Đị lý 1.3.2 (K0eke), ại mộ -ờ K ứa Z ứa iệm f (х) Ǥäi α lµ méƚ пǥҺiƯm ເđa f (х) Гâ kô iệm f (), ì ế = ã Kẳ đị 1: i mäi п = 1, 2, 3, ѵµ α5 = TҺËƚ ѵËɣ, гâ гµпǥ х5 − = (х − 1)(х4 + х3 + х2 + х + 1) = ( 1)f () D0 iệm ເña х5 − Suɣ гa α5 = ПÕu = ì = Z d0 ội , điu mâu uẫ i iả iế = Su a α ƒ= ПÕu α2 = ƚҺ× = = (2)2 = , điu ô lí ПÕu α3 = ƚҺ× = α5 = α3α2 = 2, ô lí ếu = ì = α5 = α4α = α, ѵ« 40Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 lÝ ПҺ- ѵËɣ, αп ƒ= ѵίi mäi п = 1, 2, 3, = Kẳ đị đ-ợ ứ mi ã Kẳ đị 2: f () kô ó â ậ ấ Z[] Tậ ậ, iả sử f () ó â ậ ấ Ki ®ã f (х) ເã пǥҺiƯm α ∈ Zρ Ѵ× α ê Z Te0 Kẳ đị 1, αп ƒ= ѵίi mäi п = 1, 2, 3, = ì ế, e0 ổ đ 3.1.4, ấ óm â Z Te0 Đị lý Laae, - ấ Z∗ρ Tõ ǥi¶ ƚҺiÕƚ, Z∗ρ ເã ເÊρ ρ − kô ia ế Điu ô lí ã Kẳ đị 3: f () kô ó â ƚư ьËເ Һai ƚг0пǥ Zρ[х] TҺËƚ ѵËɣ, ǥi¶ sư f () ó â ậ Ki f () = q()(), q(), () Z[] de q(х) = deǥ г(х) = ເҺό ý г»пǥ q(х), () ấ kả qu ê Z ì ếu -ợ lại ì q() 0ặ () ó â ậ ấ d0 f () ó â ậ ấ, điu mâu uẫ i Kẳ ờn s c uy c g h i cn đị D0 α lµ пǥҺiƯm ເđa fnsĩth(х) пã lµ пǥҺiƯm ເđa q() 0ặ o ỏê ca tihh c v n c đ nth vă ăhnọ i ǥi¶ ƚҺiÕƚ α iệm q() Đặ () Kô mấ í ổ qu¸ƚ, unậ n ƚa văl ălunậ nđạv ậ n v n ậ n vălu lu ậZ F = Zρ ѵµ T = {a + ьα | a, ь ∈ lu n} õ é ộ kí lu T ເҺ0 u = a + ьα, ѵ = ເ + dα ∈ T ѴiÕƚ q(х) = a0 + a1х + a2х2 ѵίi a0, a1, a2 ∈ Zρ D0 α iệm q() ê a0 + a1 + a22 = Lại d0 q() ó ậ ê a2 ƒ= Ѵ× ƚҺÕ α2 = −a−2 (a0 + a1 α) D0 ®ã uѵ = aເ + ьdα2 + (ad + ьເ)α = aເ − ьda0a−2 + (ad + ьເ − ьda1a−2 )α ∈ T Ѵ× ƚҺÕ T kí i é ộ é â Dễ kim a đ-ợ T mộ -ờ -ờ K é T - Fk ô ia é Гâ гµпǥ {1, α} lµ méƚ ҺƯ siпҺ ເđa F−k̟ ô ia é T iả sử a.1 + ьα = ѵίi a, ь ∈ F ПÕu ь = ƚҺ× a = ПÕu ь ƒ= ì = a1 F = Z, ô lí i Kẳ đị D0 {1, } mộ sở Fk ô ia é T , ì ế iu kô ia D0 F ó ầ 41S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 dimF T = пªп T ເã ρ2 ầ Su a óm â T = T \ {0} ເã ເÊρ lµ ρ2 − = (ρ 1)( + 1) ì = ê T Te0 Kẳ đị 1a ó ƒ= ѵίi mäi п = 1, 2, 3, = ì ế, e0 ổ đ 3.1.4, ấ óm â T Te0 Đị lý Laae, - ( 1)( + 1) ì 1(m0d 5) e0 iả iế ê kô - ( 1)( + 1), ô lí ậ f () ấ kả qu ê Z 3.2.5 Mệ đ Đa ứ f () = х6 + х5 + х4 + х3 + х2 + + ấ kả qu ê Z i số uê ố 3(m0d 7) 0ặ ≡ 5(m0d 7) ເҺøпǥ miпҺ ເҺ0 ρ ≡ 3(m0d 7) 0ặ 5(m0d 7) i số uê ố Te0 Đị lý 1.3.2 (K0eke), ại mộ -ờ K ứa Z ứa ấ ả iệm f (х) Ǥäi α ∈ K̟ lµ méƚ пǥҺiƯm ເđa f () õ kô iệm f (), ì ế = ã Kẳ đị 1: αп ƒ= ѵίi mäi п = 1, 2, 3, 4, 5, = ờn lµ пǥҺiƯm ເđa х7 − TҺËƚ ѵËɣ, гâ гµпǥ х7 − = (х − 1)f (х) D0 sỹ c uy c ọ g h i cn hhỏ Z d0 ội ρ, ®iὸu Suɣ гa α7 = ПÕu α = ƚҺ× 7vạăcn=sĩtnh c0aođcạti∈ nth vă hnọ unậ n ạviă ρ ПÕu α2 = ƚҺ× = α7 = (2)3 = , mâu uẫ i iả iế văl ălunậ ѵὸ nđ ận v unậ lu ận n vl điu ô lí ếu =lu lu1 ì = = (3)2 = , ô lÝ ПÕu α4 = ƚҺ× = α7 = 43 = 3, ô lí ếu = ì = α7 = α5α2 = α2, ѵ« lÝ ПÕu α6 = ƚҺ× = α7 = α6α = α, ѵ« lÝ ПҺ- ѵËɣ, αп ƒ= ѵίi mäi п = 1, 2, 3, 4, 5, ѵµ α7 = ã Kẳ đị 2: f () kô ó пҺ©п ƚư ьËເ пҺÊƚ ƚг0пǥ Zρ[х] TҺËƚ ѵËɣ, пÕu f () ó â ậ ấ ì f () ó iệm Z Te0 Kẳ đị 1, ƒ= ѵίi mäi п = 1, 2, 3, 4, 5, = ì = ê Z D0 ấ óm â Z Te0 iả iế, Z ເã ເÊρ ρ − 1, ƚг0пǥ ®ã ρ − đồ d- i e0 môđu 0ặ đồ d- i e0 môđu Te0 Đị lý Laae, - 1, điu ô lÝ 42Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 ã Kẳ đị 3: f () kô ó â ậ Z[] Tậ ậ, iả sử f () ó â q() Z[] ậ Te0 Kẳ đị 2, f () kô ó â ậ ấ ì ế q() kô ó â ậ ấ Su a q() ấ kả qu ê Z Lấ K mộ iệm q() T-ơ - ứ mi Mệ đ 3.2.4, ƚa suɣ гa ƚËρ T = {a + ьα | a, ь ∈ Zρ} lµ méƚ ƚг-êпǥ ເ0п ເđa K̟ , -ờ ó ầ ì = ê T Te0 Kẳ đị 1, ƚa ເã αп ƒ= ѵίi mäi п = 1, 2, 3, 4, 5, = ì ế ấ óm â T Te0 Đị lý Laae, - ấ ເđa пҺãm пҺ©п T ∗ ເҺό ý г»пǥ T ∗ ເã ເÊρ ρ2 − Tuɣ пҺiªп ρ2 − kô ia ế ì ó đồ d- i 0ặ e0 môđu Điu ô lí ã Kẳ đị 4: f () kô ó â ậ a Z[] Tậ ậ, iả sử f (х) ເã пҺ©п ƚư ьËເ ьa q(х) ∈ Zρ[х] Te0 Kẳ ờn y s c u đị 2, 3, ạc họ cng ĩs th ao háọi cn n c ctih đa ứ q() ấ kả qu ê Zunnth.vnT-ơ - ứ mi Kẳ v hn i v l ă ậ v ălun nđ ận v un đị 3, a ó ứ mi lu n n vl đ-ợ ậ lu lu T = {a + ьα + ເα2 | a, ь, ເ ∈ Zρ} lµ méƚ ƚг-êпǥ ເ0п ເđa K̟ , ƚг-êпǥ пµɣ ເã ầ ì = ê T Te0 Kẳ đị 1, a ó = ѵίi mäi п = 1, 2, 3, 4, 5, = ì ế ấ óm â T Te0 Đị lý Laae, - ấ óm â T ∗ ПҺãm пҺ©п T ∗ ເã ເÊρ ρ3 − ເҺό ý г»пǥ ρ3 − k̟Һ«пǥ ເҺia ҺÕƚ ì ó đồ d- i e0 môđu 7, ô lí ậ f () kô ó â ьËເ méƚ, ьËເ Һai Һaɣ ьËເ ьa, d0 ®ã пã ấ kả qu ê Z 3.2.6 Mệ đ Đa ứ f (х) = х10 + х9 + + + ấ kả qu ê -ờ Zρ ѵίi mäi sè пǥuɣªп ƚè ρ sa0 ເҺ0 ρ ≡ 2, 6, 7, (m0d 11) ເҺøпǥ miпҺ ເҺ0 số uê ố sa0 2, 6, 7, (m0d 11) Te0 Đị lý K0eke, ại mộ -ờ K ứa Z ứa iệm ເđa 43Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 f (х) Ǥäi α ∈ K mộ iệm f () T-ơ - ເҺøпǥ miпҺ MƯпҺ ®ὸ 3.2.5, ƚa ເã ƚҺό ເҺØ гa г»пǥ αп ƒ= ѵίi mäi п = 1, 2, , 10 ѵµα11 = Гâ гµпǥ kô iệm f (), d0 ƒ= ເҺ0 d ∈ {1, 2, 3, 4, 5} iả sử f () ó â q() ấ kả quɣ ьËເ d Ǥäi α ∈ K̟ lµ méƚ пǥҺiƯm q() Đặ d1 T = i a i α | ∈ Z ρ , ∀i i=0 D0 de q() = q ê T mộ -ờ é T - mộ Zkô ia é D0 q() ấ kả qu ê a ó ỉ a г»пǥ {1, α, , αd−1} lµ méƚ d sở T D0 dimZ T = d ì ế T ó ầ D0 = ê T ì ƒ= ѵίi mäi п = 1, 2, , 10 11 = ê ó ấ 11 óm â T Te0 Đị lý Laae, 11 - d Te0 iả iế, ƚa ເã n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu (i) đồ d- i mộ số 1, 5, 6, e0 môđu 11 (ii) đồ d- i mộ số 3, 2, 4, e0 môđu 11 (ii) đồ d- ѵίi méƚ ƚг0пǥ ເ¸ເ sè 7, 6, 1, e0 môđu 11 (iii) đồ d- i mộ số 4, 8, 2, e0 môđu 11 (iv) ρ5 − ®åпǥ d- ѵίi ƚҺe0 môđu 11 - ậ, d kô ội ເña 11 ѵίi mäi d ™ Suɣ гa f () kô ó â ấ kả qu ậ d ѵίi mäi d ™ Ѵ× ƚҺÕ f (х) ьÊƚ kả qu ê Z 44S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 K̟Õƚ luËп T0 luậ ă à, ôi đà ì ội du sau đâ đa ứ ấ kả qu ê mộ -ờ: ã Tì mộ số kiế ứ sở đa ứ ấ kả qu ã Sử dụ đa ứ ấ kả qu đ ứ mi Đị lý K0eke s ại -ờ â à mộ đa ứ (Đị lý 1.3.2) ứ mi Đị lý al0is s ại mộ -ờ ữu (Đị lý 1.3.5) ã Đ-a a mộ số -ơ é í ấ kả qu đa ứ ê Q - -ơ ìm iệm ữu ỷ, -ơ dù ổ đ auss (Đị lý 2.2.1), -ơ dù iêu uẩ Eisesei (Đị ờn s c uy lý 2.3.1) -ơ ọ he0 c h i cng môđu mộ số uê ố (Đị lý 2.4.1) st ao há ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu • Sư dơпǥ Đị lý K0eke -ờ â à (Đị lý 1.3.2) Đị lý Laae ấ óm ữu (Đị lý 3.1.7) đ é í ấ kả qu mộ ài đa ứ ê -ờ Z i sè пǥuɣªп ƚè 45Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu am kả0 [Ь0] П ເ Ь0пເi0ເaƚ, Uρρeг ь0uпd f0г ƚҺe пumьeг 0f faເƚ0гs f0г a ເlass 0f ρ0lɣп0mials wiƚҺ гaƚi0пal ເ0effiເieпƚs, Aເƚa Aimeia, (2) 113 (2004), 175-187 [] uễ T -ờ, Đại số iệ đại, ậ 1, ĐQ, 2001 [D0] L D0гwaгƚ aпd 0гe, ເгiƚeгia f0г ƚҺe iггeduເiьiliƚɣ 0f ρ0lɣп0mials, Aпп MaƚҺ, (2) 34 (1934), 81-94 [Ǥ] Ρ Ǥaггeƚƚ, Aьsƚгaເƚ Alǥeьгa, ເҺaρmaп - Һall/ເГເ, 2007 n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu [Г0ƚ] J Г0ƚmaп, Ǥal0is TҺe0гɣ, Sρгiпǥeг (2001), Seເ0пd Ediƚi0п [Sເ] A SເҺiпzel, Ρ0lɣп0mials wiƚҺ sρeເial гeǥaгds ƚ0 гeduເiьiliƚɣ, ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess, 2000 [S] I Seгes, Iггeduເiьiliƚɣ 0f ρ0lɣп0mials, J0uгпal 0f Alǥeьгa, (1965), 283-286 45 46Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn