Luận văn đa thức đối xứng và các hệ phương trình và bất đẳng thức liên quan

I TãI U Tì I K0A Пæпǥ ữ a A T ẩI ã ì TГœПҺ Ѵ€ Ь‡T •ПǤ TҺὺເ LI–П QUAП n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n vl lu lu LU T Sò T0ã uả : ì ã T0ã S M số: 60.46.01.13 ữi ữợ dă k0a S TSK U MŠU TҺ•I ПǤUƔ–П - П‹M 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Mưເ lưເ Mưເ lưເ M Ưu a Ôi số Ă a ối Ê 1.1 Tẵ Đ ừa a Ôi số 1.2 Ă ẵ Đ ừa a ối хὺпǥ ເὶ ь£п 1.2.1 a ƚҺὺເ èi хὺпǥ пҺi·u ьi¸п 1.2.2 a ƚҺὺເ èi хὺпǥ ьa ьi¸п ên sỹ c uy c ọ g h i cn 1.2.3 a ƚҺὺເ èi хὺпǥ Һai ọ ĩth o ьi¸п ns ca ạtihhá c ă v n c đ h ă 1.3 Mëƚ sè dÔ iu diạ a ối h ậnt vເõa ălun ận ạviă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 10 12 14 18 ằ ữ ẳ ối ằ dÔ ối 20 Đ liả qua a ối 37 2.1 ằ ữ ẳ ừa a ƚҺὺເ èi хὺпǥ 20 2.1.1 ằ ữ ẳ ©п (п > 3, п∈ П) 20 2.1.2 ằ ữ ẳ a ©п 24 2.1.3 Һ» ữ ẳ â 28 2.2 ằ ữ ẳ ối ỏ qua 30 2.3 Mở số ằ Đ ữ ẳ ối ເὶ ь£п 35 3.1 Đ ừa Ă dÔ a ьªເ Һai 3.1.1 Tẵ Đ 3.1.2 Ь i ƚªρ ¡ρ döпǥ 3.2 Đ ừa Ă dÔ a ƚҺὺເ ьªເ ເa0 3.3 Đ ừa Ă dÔ Ơ Ká luê T i li»u ƚҺam k̟Һ£0 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 37 37 38 42 52 56 57 Mð ¦u Lỵ d0 à i 1.1 s lẵ luê: T0Ă l mổ a0 ừa ẵ ƚu», l mæп k̟Һ0a Һåເ ǥiόρ Һåເ siпҺ ρҺ¡ƚ ƚгiºп ô lỹ ữ du, kÊ ô dỹ 0Ă Ơ ẵ ủ, Ă iằ, iá u, i ợ ki ẳ ь ɣ mëƚ ѵ§п · mëƚ ເ¡ເҺ k̟Һ0a Һåເ, lỉ i, 1.2 s ỹ á: T0 ữ ƚг¼пҺ ƚ0¡п Һåເ ð ƚгuпǥ Һåເ ρҺê ƚҺỉпǥ ƚҺ¼ a ƚҺὺເ ເâ ѵai ên sỹ c uy ƚгá ѵ ѵà ẵ Đ qua ẳ õ skthcaoổ h i cng l mở ối ữủ iả u n c ihhỏ vc n ct Ơm ừa Ôi số m ỏ l ălunậmëƚ nth vă ăhnọđເỉпǥ ເư -ເ lüເ ເõa ǥi£i ẵ Lỵ n i v lun nv n v lun Lỵ uá iu diạ T0 Ă ký i uá Đ , Lỵ uá ởilulusu, n n v ậ lu Һåເ siпҺ ǥiäi ƚ0¡п quèເ ǥia, 0lɣmρiເ 0Ă ku ỹ quố ẳ Ă i 0Ă Ã a ụ ữủ em ữ dÔ ь i ƚ0¡п k̟Һâ ð ьªເ ƚгuпǥ Һåເ ρҺê ƚҺỉпǥ T0 lắ ỹ Ô ừa Ôi số ối ợi si ổ ữ l iÊi ữ ẳ, ằ ữ ẳ ê a0, Ơ ẵ Ă a iÃu iá ê a0 Ơ ỷ, mi Ă Đ a iÃu iá số Mëƚ ƚг÷ίпǥ Һđρ quaп ƚгåпǥ ѵ ƚҺ÷ίпǥ ǥ°ρ ƚг0пǥ Ă i 0Ă ừa Ă lắ ỹ õi ả l k̟Һi ເ¡ເ ьi¸п sè ເõa a ƚҺὺເ ເâ ѵai ỏ ẵ ữ au a ồi a ƚҺὺເ ƚг0пǥ ƚг÷ίпǥ Һđρ п ɣ l a ƚҺὺເ èi Luê ô " a ối Ă ằ ữ ẳ ối Đ liả qua" ẳ mở số Đ Ã liả qua ¸п пҺi·u ь i ƚ0¡п k̟Һâ ເâ ເҺὺa ɣ¸u ƚè ối áu iá Ă dử lỵ uá à a ƚҺὺເ èi хὺпǥ s³ l m ເҺ0 ь i ƚ0¡п ả iÊ Luê ô ơm iợi iằu s lỵ uá ừa Ă a ối dử ừa õ Ôi số s Đ Ă Đ Ã ừa lỵ uá ữủ ẳ mở Ă iÊ e0 ữợ qu Ô, ứ ữ ủ iá, a iá, iÃu iá Ă ẵ dử Ă dử ụ ữủ ẳ ứ iÊ Ô Ă i 0Ă ữủ ẳ luê ô áu l Ă i Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 0Ă kõ, iÃu i 0Ă ữủ ẵ a ứ ເ¡ເ · ƚҺi Һåເ siпҺ ǥiäi quèເ n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ǥia, 0lɣmρiເ ƚ0¡п qເ ƚ¸, IM0 à i qua Ơm iÃu ối ữủ, ƚг0пǥ â Һ0 п ƚ0 п ρҺὸ Һđρ ѵỵi ƚҺüເ m Ê Ơ a ổ Ă Mử ẵ iả u Luê ô " a ối Ă ằ ữ ẳ ối Đ liả qua" ơm iằ ó ỏ qua ừa Ôi số 0Ă Luê ô l ເҺuɣ¶п · ƚêпǥ quaп ѵ· a ƚҺὺເ èi хὺпǥ ổ qua Ă ắa, lỵ, Ă ẵ dử i ê Ă dử ối ữủ Ôm i iả u Tam kÊ0 iả u ứ Ă i liằu, iĂ0 ẳ ừa S-TSK uạ ô Mêu Ă sĂ uả à à a , ữ ẳ, ằ ữ ẳ Ă i Ă0 0Ă iá à a ối , ơm ằ ố Ă dÔ 0Ă Ã a ối iả u ƚгüເ ƚi¸ρ ƚø ເ¡ເ ƚ i ƚ i li»u ເõa iĂ0 iả ữợ dă, ừa Ă ờn s c uy iả a0 lợ ỗ iằ ụ ữ Ă Ôhc g h cn i st ao hỏ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n vl lu lu ị ắa k0a ỹ iạ ừa à i TÔ0 ữủ mở à i ủ iằ iÊ dÔ, ỗi d÷ïпǥ Һåເ siпҺ ƚгuпǥ Һåເ ρҺê ƚҺỉпǥ, · ƚ i õ õ iá ỹ iằ dÔ a ối , ữ ẳ, Đ ữ ẳ Đ ữ ổ, em lÔi iÃm am mả sĂ Ô0 ứ i 0Ă Ê Đ Đu ừa luê ô Luê ô ỗm Ư m Ưu, ká luê, i liằu am kÊ0 ữ: ữ 1: a Ôi số ເ¡ເ a ƚҺὺເ èi хὺпǥ ເὶ ь£п ເҺ÷ὶпǥ 2: Һ» ữ ẳ ối ằ dÔ ối ữ 3: Đ liả qua a ối D  Рố -, ữ - - ởi du ữủ ẳ luê ô kổ Ă kọi iáu sõ, em Đ m0 ữủ sỹ õ ỵ ừa Ă Ư ổ iĂ0 Ă Ô em iá iằ luê ô luê ô ữủ dữợi sỹ ữợ dă k̟Һ0a Һåເ ເõa ǤS TSK̟Һ ПǤUƔ™П Ѵ‹П MŠU Em хiп ữủ ọ lỏ Êm Ơ Đ ợi TƯ à sỹ i ù iằ ẳ ứ ki Ơ dỹ à ữ, iá luê ô Tiá e0 em i Ơ Êm ເ¡ເ ƚҺ¦ɣ ເỉ ǥi¡0 ρҺ£п ьi»п Số hóa trung taõm hoùc lieọu http://www.lrc-tnu.edu.vn/  õ ỵ em iằ luê ô ừa mẳ, em i ữủ Êm Ơ Đ k0a T0Ă - Ti ừa ữ Ôi K0a Ôi TĂi uả, i em  ê ữủ mở Đ sau Ôi ô Ê.i Êm ia ẳ, çпǥ пǥҺi»ρ ¢ ເ£m ƚҺỉпǥ ເҺia s´, õпǥ Һë ѵǥiόρ ï ƚг0пǥ ƚҺίi ǥiaп em Һåເ ເa0 Һåເ ѵ ѵi¸ƚ luê ô Li uối em i s kọe Ă Ư ổ iĂ0 ỗ iằ Em i Ơ пҺ ເ£m ὶп n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ເҺ÷ὶпǥ a Ôi số Ă a ối Ê 1.1 Tẵ Đ ừa a Ôi số ắa 1.1 (em [1]-[4]) Mở a ê ừa â l iu õ dÔ: () = n ê sỹ c−1uy c hп ọ cng п−1 h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth ă ọ nậ v iăhn п−1 vălu ălunậnậ0nđạv ận v un lu ận n văl lu ậ lu a пх п +a х + · · · + a 1х + a 0, ƚг0пǥ â, ເ¡ເ Һ» sè aп, a , , a l пҺύпǥ sè ƚҺüເ (Һ0°ເ sè ρҺὺເ) ѵ aп ƒ= 0, п∈ П Ta k̟½ Һi»u: i) п (х) l deǥΡп D0 ѵªɣ deǥ Ρп (х) = п ii) Ьªເ a l ừa ằ asố a0Đ (ẵ) ừa a , iii) a0 l Һ» sè ƚü d0 ເõa a ƚҺὺເ, iv) a l Ô ỷ a0 Đ ắa 1.2 (хem [1]-[3]) ເҺ0 a ƚҺὺເ Ρп(х) = aпхп + aп−1хп−1 + · · · + a1х + a0, ѵỵi aп ƒ= K̟Һi â, α ∈ ເ ÷đເ ǥåi l пǥҺi»m ເõa a ƚҺὺເ Ρп(х) п¸u Ρп(α) = П¸u ỗ Ôi k , k > sa0 (х).(х α) ѵ Ρп (х) (х α) ƚҺ¼ α k k+1 ∈ − ƒ − ÷đເ ǥåi l пǥҺi»m ьëi k̟ ເõa a ƚҺὺເ Ρп (х) °ເ ьi»ƚ k̟ = ẳ ữủ ồi l iằm , k = ẳ ữủ ồi liằm k lỵ 1.1 (em [1]-[3], lỵ auss) Mồi a ê ả ữ Ãu õ iằm áu mội iằm ữủ ẵ mở số lƯ ởi ເõa пâ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Ьê · 1.1 ເ¡ເ пǥҺi»m ρҺὺເ ƚҺüເ sü ເõa ữ ẳ a ỹ iằ e0 ứ iằm liả ủ Tê ê,áu a l iằm ừa ữ ẳ (z) = ẳ (a) = K̟Һi â, ƚa ເâ: Ρп(z) = хu§ƚ = (a) = (a) lỵ 1.2 (em [1]-[3]) Mồi a ợi ằ số ỹ Ãu õ iu diạ dữợi dÔ: () = a0( 1)1 (х − αг)пг (х2 + ρ1х + q1)m1 (х2 +s ρsх + qs)m s, ƚг0пǥ â, г s Σ пi+2 i=1 ѵ Σ mi = п, ρ2 −i 4qi < 0, i = 1, s i=1 α0, α1, , αг; ρ1, q1, s, qs Tứ lỵ 1.2 a õ ká quÊ qua sau Ơ n yờ s c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Һ» qu£ 1.1 Ǥi£ sû Ρп(х) l a ƚҺὺເ ьªເ п ເâ k̟ пǥҺi»m ƚҺüເ, k̟ k ẵ đ l ẳ lỵ 1.3 (em [1]-[4]) Mội a ê ·u ເâ k̟Һỉпǥ qu¡ п пǥҺi»m ƚҺüເ 1.2 ເ¡ເ ƚ½пҺ ເҺ§ƚ ເõa a ƚҺὺເ èi хὺпǥ ເὶ ь£п a ƚҺὺເ èi хὺпǥ l ເỉпǥ ເư Һύu Һi»u º ǥi£i ເ¡ເ ữ ẳ Ôi số ê a0, iằ l ữ ẳ ằ số ối ữ ẳ ỗi qu àпҺ пǥҺ¾a 1.3 (хem [3]) a ƚҺὺເ f (z) = a 0z п + a1zп−1 + · · · + aп−1z + aп (a0 ƒ= 0) : a0 = aп, a1 = aп−1, a2 = aп−2, пǥҺ¾a ǥåi l Ă ối , ằlsốaĂ aisố Ưuối au, ữủ ẵ ldửa1.1 a áu sauĂƠ Ãuằ : z5 3z4 + 2z3 + 2z2 − 3z + 1, 2z8 + z7 − 6z6 + 4z5 + 3z4 + 4z3 − 6z2 + z + Số hóa trung tâm hoùc lieọu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ lỵ 1.4 a f (z) ьªເ п l a ƚҺὺເ èi хὺпǥ k̟Һi ѵ ເҺ¿ k̟Һi z пf Σ = f (z), ợi z = z ắa 1.4 (em [3]) ữ ẳ () = a + a11+ a22+ à · · + a1х2+ a1х + a0 = 0, aп = (1) ữủ ồi l ữ ẳ ối , áu ằ số ừa số Ô Ă Ãu Ưu ѵ ເuèi ь¬пǥ пҺau, ƚὺເ l aп = a0; aп−1 = a1; aп−2 = a2; - П¸u п = 2k̟ + 1, ƚa ǥåi (1) l ρҺ÷ὶпǥ ẳ ối ê l - áu = 2k a ồi (1) l ữ ẳ ối ê đ Ta õ Ă ká quÊ sau Ơ Mằ à 1.1 (em [3]) Mồi ữ ẳ ối ê l Ãu ê = l m mở iằm ỵ 1.1 (em [3]) Tứ lỵ ez0u su a áu () = l ữ ẳ ối Ơ l´ (deǥ Ρ (х) =c sỹ 2k ̟ +yên1) ƚҺ¼ ọc gu h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Ρ (х) = ⇔ (х − 1)Q (х) = 0, ð ¥ɣ deǥ Q (х) = 2k̟, ѵ Q(х) l a ƚҺὺເ ối ê đ Mằ à 1.2 (em [3]) ợi ữ ẳ ối ê đ 2k , ເ¡ເҺ °ƚ ɣ = х + х , ρҺ÷ὶпǥ ẳ qu à ữ ẳ ê k ẵ dử 1.2 iÊi ữ ẳ + 23 62 + + = Li iÊi ữ ẳ х4 + 2х3 − 6х2 + 2х + = (1) Ơ l ữ ẳ ối ê đ Гã г пǥ х = k̟Һæпǥ ρҺ£i l пǥҺi»m ເõa (1) п¶п (1) х2 + + 2(х + х) − = Σ Σ − = −2 + х + x ⇔ х+ x Σ +2 x + − = (2) x ⇔ x+ x Σ2 ⇔ х2 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ °ƚ ɣ = х + x, k̟Һi â (2) ⇔ ɣ2 + 2ɣ − = Σ х+ Σ =2 y = −4 Σ x х ⇔ ɣ=2 ⇔ + 4x + = х − 2х + = х=1 x = −2 ± ⇔ √ = ê ữ ẳ (1) õ ьa пǥҺi»m х = 1; х = −2 + 3; х = −2 − x+ x Ѵ½ dư 1.3 iÊi ữ ẳ 44 + 33 + 32 − 4х + = (1) Lίi ǥi£i ¥ɣ l ữ ẳ ối ê l, ả (1) - - õ mở iằm -1 Te0 lữủ ỗ 00e, ƚa ƚҺ§ɣ n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu 3ận n văl lu ậ lu Σ (х + 1) (х4 − 5х3 + 8х2 − + 1) = ữ ẳ = −1 x4 − 5x + 8x − 5x+ = х − 5х + 8х − 5х + = (2) D0 х = k̟Һỉпǥ ρҺ£i l пǥҺi»m ເõa (2) п¶п (2) ⇔ Σ 1Σ х + +8 = −5 х + x ⇔ х2 х + Σ −5 х + Σ +6 = (3) х х °ƚ ɣ = х + , ѵ ƚø (3) ƚa ເâ: х Σ ɣ2 − 5ɣ + = ⇔ a П¸u х + ɣy = = х = ⇔ х − 2х + = ⇔ х = √ b П¸u х + = ⇔ х2 − 3х + = ⇔ х = ê ữ ẳ  ເâ пǥҺi»m l √ √ 3+ 3− х = 1; х = −1; х = ;х= 2 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 53 Ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ (2): х2 + ɣ + z + ≥ D0 х2 + ɣ + z ≥ (х + ɣ + z + 1)2 25 (х + ɣ + z)2 ả Đ ả ữủ mi áu a ເҺὺпǥ miпҺ ÷đເ (х + ɣ + z)2 + ≥ (х + ɣ + z + 1)2 25 °ƚ ƚ = х + ɣ + z ẳ Ta Ư mi 13 725 ƚ + ≥ (ƚ + 1)2 ⇔ 4ƚ2 − 42ƚ + 54 ≥ ⇔ (ƚ − 9) ƚ − ≥20 i·u п ɣ Һ0 п ƚ0 п όпǥ ∀ƚ ≥ D0 â ь i ƚ0¡п ¢ ǥi£i х0пǥ n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ¯пǥ ƚҺὺເ х£ɣ гa k̟Һi ѵ ເҺ¿ k̟Һi a = ь = ເ Ь i ƚ0¡п 3.9 ເҺ0 a, ь, ເ l ເ¡ເ sè ƚҺüເ d÷ὶпǥ ເҺὺпǥ miпҺ г¬пǥ: (a + ь)2(ь + ເ)2(ເ + a)2 aьເ (a + ь + ເ) ≥ (1) Lίi ǥi£i ເ¡ເҺ K̟Һi ƚҺaɣ (a; ь; ເ) ьði (a; ; ) ẳ Đ (1) kổ a ời, ả kổ mĐ quĂ iÊ sỷ a + ь + ເ = (1) ⇔ (a + ь)2(ь + ເ)2(ເ + a)2 ≥4 aьເ ⇔ (a + ь) (ь + ເ)2 (ເ + a)2 ≥√64aьເ ⇔ (a + ь) (ь + ເ) (ເ + a) ≥ aьເ (2) Ѵ¼ a + ь + ເ = п¶п (a + ь) (ь + ເ) (ເ + a) = (3 − ເ) (3 − a) (3 − ь) = 27 − (a + ь + ເ) + (aь + ьເ + ເa) − aьເ = 27 − 9.3 + (aь + ьເ + ເa) − aьເ = (aь + ьເ + ເa) − aьເ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 54 ã dử Đ que uở: Ta õ (х + ɣ + z)2 ≥ (хɣ + ɣz + zх) , ∀х, ɣ, z ∈ Г √ (aь + ьເ + ເa)2 ≥ 3aьເ (a + ь + ເ) = 9aьເ ⇒ aь + ьເ + ເa ≥ aьເ D0 â √ Σ √ √ √ (a + ь) (ь + ເ) (ເ + a) ≥ aьເ − aьເ = aьເ + aьເ − aьເ TҺe0 ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ AM - ǤM, ƚa ເâ √ √ 3 = a + ь + ເ ≥ aьເ ⇒ ≥ aьເ ⇒ − aьເ ≥ Suɣ гa: (a + ь) (ь + ເ) (ເ + a) ≥ √ aьເ Đ (2) ữủ mi yờn х£ɣ гa k̟Һi ѵ ເҺ¿ k̟Һi ỹ a = ь = ເ = s c u ạc họ cng ĩs th ao háọi n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu lu ê Đ (1) ữủ mi, ¯пǥ ƚҺὺເ х£ɣ гa k̟Һi ѵ ເҺ¿ k̟Һi a = ь = ເ ເ¡ເҺ ເҺu©п Һâa a + ь + ເ = Ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ (1) ƚгð ƚҺ пҺ : (a + ь)2(ь + ເ)2(ເ + a)2 ≥ ⇔ (a + ь) aьເ (ь + (ເ + a)2 ≥ aьເ (2) ເ)2 iá ời Ă dử Đ AM - ǤM ƚa ÷đເ : (a + ь)2(ь + ເ)2(ເ + a)2 = [(a + ь + ເ) (aь + ьເ + ເa) − aьເ]2 Σ Σ2 Σ √ Σ2+ bcΣ + ca) − = 3(a + b + c) (ab + bc1+ ca) + 3(a + b 2+ c) (ab (aь + ь ເ + ເ a) + 9 = (aь + ьເ + ≥ aьເ (aьເ − aьເ ເa) 94 abc ) = (aь + ьເ + ເ4a) 3aьເ = aьເ.( ρເm) ≥ 3aьເ (a + ь + ເ) = Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Σ2 55 Ь i ƚ0¡п 3.10 (ПҺªƚ ь£п 1997) ເҺ0 a, , l Ă số ỹ mi Đ ¯пǥ ƚҺὺເ (ь + ເ − a)2 (ь + ເ)2 + a2 (ເ + a − ь)2 + (a + ь − ເ)2 + (ເ + a)2 + ь2 (a + ь)2 + ເ2 ≥ i ƚ0¡п п ɣ ເâ ƚг0пǥ ເuèп s¡ເҺ "Tuɣºп ƚªρ ເ¡ເ ь i 0Ă ứ uở i Ôi Tu Quố", ữủ iÊi kĂ Ô Ă sỷ dử Đ Su é Ơ a ữa a li iÊi iằ sỷ dử ẵ ỗ ê ừa Ă iu ƚҺam ǥia ƚг0пǥ ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ ເ¡ເҺ 1: °ƚ Lίi iÊi ê = + a 2ɣ = ເ + a − ь 2z = a + ь − ເ ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ a=ɣ+z ь=z+ ⇔ х ເ=х+ɣ 4х2 4ɣ2 (2х + ɣ + z)2 + (ɣ + z) (2ɣ + z + х)2 + (z + х)2 4z2 + ≥ (2z + х + ɣ)2 + (х + ɣ)2 х2 ɣ2 ⇔ + 2х + ɣ2 + z2 + 2хɣ + 2хz + 2ɣz 2ɣ2 + х2 + z2 + 2хɣ + 2ɣz + 2zх z2 + ≥ 2z + х2 + ɣ2 + 2хɣ + 2ɣz + 2zх 10 ⇔ + ên sỹ c uy ạc họ cng ĩs th ao háọi n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu D0 п¶п 2хɣ ≤ х2 + ɣ 2, 2ɣz ≤ ɣ2 + z , 2zх ≤ х2+ z ѴT≥ х2 4х2 + 3ɣ2 + 3z2 ɣ2 + 4ɣ2 + 3z2 + 3х2 + z2 4z2 + 3х2 + 3ɣ2 °ƚ 2 х1 = х1х , ɣ1 = ɣ , z1 = z , х1, ɣ1, z1 > 0.z1 ѴT ɣ1 + + ≥ + 3z1 sè + 3х 4z1k̟+Һ3х + 3ɣ1 + 3z1 1 + 3ɣ1 ເ¡ເ ρҺ¥п ƚҺὺເ Êi õ ỷ số4 1mău ỗ ê, ổ mĐ quĂ, iÊ sỷ + + z1 =х1 ѴT Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 56 ɣ1 + ɣ 1+ ≥ х1 + z1 + z1 + n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 57 °ƚ J f (ƚ) = , ƚ > 0, f (ƚ) = ƚ (ƚ + 3)3 , f (ƚ)= −6 JJ < ƚ +3 ( +dửng 3)2 bĐt ng thực h m lỗi ta cõ: f (t) l h m lỗi trản (0, + ∞) •p Σ Σ f (х1) + f (ɣ1) + f (z1) ≥ 3.f = Ѵ T ⇒ ≥ 10 +3 х1 + ɣ1 + z = 3f ( ρເm) ເ¡ເҺ Ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ (ь + ເ − a)2 (ເ + a − ь)2 (a + ь − ເ)2 ⇔ −1+ −1+ −1 ≥ − (ь + ເ)2 + a2 (ເ + a)2 + ь2 (a + ь)2 + ເ2 (ь + ເ) (ເ + a) (a + ь) ເ a ь ⇔ + + ≤ (ь + ເ)2 + a2 (ເ + a)2 + ь2 (a + ь)2 + ເ2 12 ເ¡ເ Ơ Ăi õ ỷ số mău số ỗ ê, kổ mĐ ờn s c uy c ọ g h cn qu¡ƚ, ǥi£ sû a + ь + ເ = Ь§ƚ ăc¯пǥ ĩth o i iá lÔi ns ca tihhỏ v n c nth vă nọđ (1 − ເ) ເ + luậ ận v vălun + ≤ lu n −2a + 2a2 lu−ậ 2ь + 2ь2 − ເ + ເ2 h unậ n iă (1 văl nậ− ạvь) ь n ălu ậnđ (1 a) a ã dử Đ AM - ǤM: 2a (1 − a) ≤ (a + 1)2 suɣ гa: − 2a + 2a2 ≥ − (1 − a) a ≤ D0 â − 2a + 2a2 T÷ὶпǥ ƚü, (1 − ь) ь − 2ь + 2ь2 , (a + 1)2 = (1 − a) (3 + a) 4 4a (1 − a) a = (1 − a) (3 + a) 3+a 4ь , (1 − ເ) ເ 4ເ ≤ ≤ + ь − 2ເ + 2ເ +ເ º ເҺὺпǥ miпҺ ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ · ь i ƚa ເ¦п ເҺὺпǥ miпҺ 4a ь 3+a 4ເ + 3+ь + 3+ເ Số hóa trung tâm học lieäu ≤ ⇔ 3+a + 3+ь + 3+ເ http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ≥ 10 58 •ρ dưпǥ ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ AM - ǤM: (3 + a + + ь + + ເ) Suɣ гa: 10 + 1 + + 3+a 3+ь 1 + +ເ Σ ≥ Σ ≥ +a +b + c 1 D0 â + + ≥ , ρເm 10 +a +b + c Ь i ƚ0¡п 3.11 (M0ld0ѵa 1999) ເҺ0 a, ь, ເ > ເҺὺпǥ miпҺ г¬пǥ: aь ьເ ເa a ь ເ + + ≥ + + ເ(ເ + a) a(a + ь) ь(ь + ເ) a + ເ ь + a + Ă ừa Đ l Ă iu ê (ê kổ) Kổ mĐ ƚêпǥ qu¡ƚ, ƚa ເâ ƚҺº ǥi£ sû г¬пǥ aьເ = Ki õ Đ Ư mi ƚҺ пҺ Lίi ǥi£i (ь + ເ)(ь + a) (ເ + a)(ເ + ь) ເ2 ⇔ (ab + bc + ca) D0 ѵ + (a + ເь)(a + ) ên +hạc sỹhọci cnguy 2 ь a sĩt cao tihháọ ăcna)(ь ạ v n c đ (ь ậ+ + (ເ + a)(ເ + ь) nth vă + (a + ь)(a + ≥ n vălunălunậnậnđເạvi)ăh ເ) ậ v un + lu ận n văl aь ເa lu ậ lu ьເ Σ Σ + + + ь2 2 ເ a + + c2 a b Σ c2 a b Σ ь ເ ≥ (aь + ьເ + ເa) + a + + + + ьເ ເa aь ເ a ь 1 1 + + + + ≥ ьເ ເa aь a2 ь2 ເ2 ь ເ a ь2 ເ2 a2 + + ເ a ь + + ≥ ເ2 a2 ь2 гa k̟Һi ѵ ເҺ¿ k̟Һi a = ь = ເ п¶п a õ m DĐu Ê i 0Ă 3.12 (ѴM0 - 2004, Ь£пǥ A) Х²ƚ ເ¡ເ sè ƚҺüເ d÷ὶпǥ х, ɣ, z ƚҺäa m¢п i·u k̟i»п (х + ɣ + z)3 = 32z  ẳm iĂ ọ Đ iĂ lợ Đ ừa iu : + ɣ + z Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 59 Ρ= (х + ɣ + z)4 n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 60 Lίi ǥi£i ເ¡ເҺ ê ợi l mở số ỹ ỵ, a luổ õ: (, , z) = Ρ (αх, αɣ, αz) ѵ п¸u х, ɣ, z ọa m iÃu kiằ ừa à i ẳ , , z ụ ọa m à iÃu kiằ õ ẳ kổ mĐ quĂ, õ iÊ sỷ + ɣ + z = 4, k̟Һi â хɣz = Ь i ƚ0¡п ƚгð ƚҺ пҺ: T¼m ǥi¡ ƚгà ọ Đ iĂ lợ Đ ừa iu Ρ = х+ɣ+z) х + 4ɣ + z4 = 4, ѵхɣz = k̟Һi х, ɣ, z > ƚҺaɣ êi sa0256 ເҺ0 °ƚ Q = х4 + ɣ4 + z4 ѵ ƚ = хɣ + ɣz + zх Ta ເâ Q = (х2 + ɣ2 + z2)2 − 2(х2ɣ2 + ɣ 2z + z 2х2) ⇔ Q = − 2ƚ Σ − Σƚ − 2хɣz(хn + ɣ + z) Σ ê sỹ c uy ạc họ cng ĩth ao háọi s n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n v2ăl lu ậ lu ⇔ Q = 2ƚ − 64ƚ + 44 + 32 = 2(ƚ2 − 32ƚ + 144) Tø ǥi£ ƚҺi¸ƚ ƚa ເâ: D0 â ƚ = х(4 − х) + ɣ + z = − х, ɣz = ã dử Đ AM - M: Х²ƚ Һ Ta ເâ √ ɣ + z ≥ ɣz ⇒ (4 − х) ≥ х ⇔ х3 − 8х2 + 16х − ≥ Σ ⇔ (х −√2) х2 − 6х + ≥ ⇔ − ≤ х ≤ 2, d0 х ∈ (0; 4) Σ Σ m sè ƚ = (4 ) + ả 0Ô 5; х ƚJ (х) = ѵ Σ −2(х − 1) х2 − х − , x2 √ Σ 1± J ƚ (х) = ⇔ х = ∨ х = Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ (1) (2) (3) 61 Suɣ гa 5≤ƚ≤ √ 5−1 Ѵ¼ Σ Һ√m √ 5 1iá ả k0Ê (0; 16) số5; 5 − f (ƚ) − 32ƚ + Σ1445; пǥҺàເҺ 16)ƚn¶n tr¶n Σ ⊂ (0;= Σ ta câ: 2 Σ √ √ 5−1 383 − 165 miп f (ƚ) = f = , 2 ѵ maх f (ƚ) = f (5) = Ká ủ ợi (1) a ữủ: miQ = 383 − 165 5, maх Q = 18 √ 383 − 165 ê mi = , Ô ữủ Ô ki = =z= 1+ ma , Ô 128 = 256 ữủ Ô ki = 2, = z = n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ເ¡ເҺ K̟Һỉпǥ m§ƚ ƚêпǥ qu¡ƚ, ƚa ǥi£ sû х + ɣ + z = ѵ ƚø ǥi£ ƚҺi¸ƚ suɣ гa хɣz = °ƚ ƚ = aь + ьເ + ເa = хɣ + ɣz + zх K̟Һi â 32 х4 + ɣ + z Σ = (1 − 2ƚ)22 − ƚ2 − 2хɣz = 2(1 − пҺä пҺ§ƚ ເõa Ρ , a Ư ẳm iĂ lợ Tá ả ẳm iĂ lợ Đ, t) Đ, ọ Đ ừa ƚ ƚ = хɣ + ɣz + zх = ɣ(1 − ɣ) + D0 х + z = − ɣ, хz = , (х + z)2 ≥ 4хz 32ɣ (1 − ɣ)2 ≥ 8ɣ 32ɣ ả iÊi Đ ữ ẳ ê a ເҺ0 ƚa пǥҺi»m ≥ ɣ ≥ ເ¦п ເҺὺпǥ mi () iá ả k0Ê Soỏ hoựa bụỷi trung tâm học liệu √ 3− Σ √ − 45 ; ѵ http://www.lrc-tnu.edu.vn/ , ƚa ເҺ¿ d0 â ƚa 62 ເâ: ƚ √ Σ Σ 3− ≥ ƚ(ɣ) ≥ ƚ Tứ õ ẳm ữủ iĂ lợ Đ, ọ пҺ§ƚ ເõa Ρ 3.3 Ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ ເõa ເ¡ເ dÔ Ơ ẵ dử 3.1 a, , l Ă số ỹ ọa m iÃu kiằ a = ເҺὺпǥ miпҺ г¬пǥ a(ь + 1) Lίi ǥi£i + ь(ເ + 1) + ເ(a + 1) ≥ Ѵ¼ a, ь, ເ l Ă số ỹ õ a = ả a ເâ ƚҺº °ƚ z ѵ ເ = , ѵỵi х, , z l Ă số ỹ Ki õ, Đ ¯пǥ ɣ х a= ,ь , z = ɣ ɣ ƚҺὺເ ເ¦п ເҺὺпǥ miпҺ ƚгð ƚҺ пҺ n yê 1c sỹ ọc u h cng ĩth ao háọi s n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu Σ + z х Σ + ɣ z х.ɣ Σ≥2 +1 +1 +1 z x y z x y yz xy zx ⇔ + + ≥ х(ɣɣz+ z) ɣ(z + х) z(х + ɣ) zх хɣ 32 ⇔ + + ≥ хɣ + zх ɣz + хɣ zх + ɣz Һaɣ u ѵ+w + ѵ w+u + ≥ , u+ѵ w ѵỵi u = ɣz, ѵ = zх, w = хɣ l ເ¡ເ sè ƚҺüເ Ơ ẵ l Đ esi a sè d÷ὶпǥ D0 â, ƚa ເâ i·u ρҺ£i ເҺὺпǥ miпҺ ь ເ ь ເ , a, a ь ເ ƚг0пǥ â a, ь, ເ l ເ¡ເ sè ƚҺüເ k̟Һ¡ເ K̟Һi â, ƚa °ƚ х = , ɣ = , z = ь ເ a aь ເ º ÷a ь i 0Ă Ã Ă iá mợi ọa m iÃu kiằ хɣz = = ь ເa Ѵ½ dư 3.2 ເҺ0 a, ь, ເ l ເ¡ເ sè ƚҺüເ d÷ὶпǥ ເҺὺпǥ miпҺ г¬пǥ ь ເ a + + ≤ a + 2ь ь + 2ເ ເ + 2a a ỵ 3.1 ối ợi mở số i 0Ă a lÔi Ă iu , Soỏ hoựa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 63 Ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ Ư mi ữ ữ ợi Li iÊi a +ь + ≤1 ເ +2 +2 +2 a b ເ a ь ເ ь ເ a °ƚ х = , ɣ = , z = (3.5) ƚҺ¼ х, , z l Ă số ỹ õ ẵ z = Ki õ, Đ (3.5) ữủ iá lÔi dữợi dÔ +2 + +2 + z+2 ≤1 Һaɣ (х + 2)(ɣ + 2) + (ɣ + 2)(z + 2) + (z + 2)(х + 2) ≤ (х + 2)(ɣ + 2)(z + 2) ⇔ (хɣ + ɣz + zх) + 4(х + ɣ + z) + 12 ≤ хɣz + 4(х + ɣ + z) +2(хɣ + ɣz + zх) + ⇔ ≤ хɣz + хɣ + ɣz + zх ⇔ ≤ хɣ + ɣz + zх (ѵ¼ хɣz = 1) n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ u l •ρ dưпǥ Đ AM-M a số dữ, a õ хɣ + ɣz + zх ≥ (хɣz)2 = Tø â, suɣ гa ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ (3.5) όпǥ ѵ ƚa ເâ i·u ρҺ£i ເҺὺпǥ miпҺ Ѵ½ dư 3.3 ເҺ0 a, ь, ເ l ເ¡ເ sè ƚҺüເ d÷ὶпǥ ເҺὺпǥ miпҺ г¬пǥ aь ເ(ເ + a) + ьເ + a(a + ь) ເa ь(ь + ເ) ≥ a ເ+a + a+ + + Đ Ư mi ữ ữ ợi Li iÊi c a ь a ເ + + ເ + + ≥ ເ +a a + ь ь + ເ ເ ເ + a a a + ь ь ь +ເ b Һaɣ a ь ເ + a c ເ a +1 +1 a+ ь a ь ເ ь ເ a °ƚ х = , ɣ = , z = a ь ь+ ເ ≥ ເ a +1 +a ь +1 + b ເ (3.6) +1 ƚҺ¼ х, ɣ, z l ເ¡ເ số ỹ õ ẵ z = Soỏ hoựa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 64 K̟Һi â 1 ɣ z х + + ≥ + + z+1 х+1 ɣ+1 z + х + ɣ +1 (3.6) ⇔ ⇔ ɣ(х + 1)(ɣ + 1) +(хz(ɣ + 1)(z + 1) ++ х(z1)(z + 1)(х + 1)(ɣ + 1) + (ɣ + 1)++1) (z + 1)(х + 1) ≥ ⇔ + ɣz2 + zх2 ) + (х2 + ɣ2 + z 2) + (хɣ + ɣz + zх) + (х + ɣ + (хɣ2 ⇔ z) + ɣz + ≥ (хɣ + ɣz + zх) + 2(х + ɣ + z) + )+ + ɣ2 + z2) ≥ (х + ɣ + z) + (хɣ2 zх2 (х2 ⇔ (х − 1)2 + (ɣ − 1)2 + (z − 1)2 + (х + ɣ + z − 3) +(хɣ2 + ɣz2 + zх2 − 3) ã dử Đ AM-M a sè d÷ὶпǥ, ƚa ເâ хɣ + ɣz + zх ≥ 3 (хɣz)3 = √ х + ɣ + z ≥ 3 хɣz = ѵ ên Tø â suɣ гa ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ (3.6) όпǥ sỹ c uyD0 õ, a õ Đ Ư c ọ g h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá ເҺὺпǥ miпҺ c ă vạ n c nth ă ọđ 2 v hn unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Mëƚ sè ь i ƚ0¡п ເҺὺпǥ miпҺ ь§ƚ a a iá dÔ ối Ta õ ƚҺº sû dưпǥ ρҺ²ρ êi ьi¸п: х = a + ь + ເ; ɣ = aь + ьເ + ເa; z = aьເ ເ¡ເ ¯пǥ ƚҺὺເ ƚҺ÷ίпǥ sû dưпǥ ххɣ + ɣz = + ь)(ь +2ເເ))(+ (ь + ເ)(ເ + a) + (ເ + a)(a + ь) ==(a (a х2 −−2ɣ a2++ь)(ь ь2 + + ເ ເ + a) х − 3хɣ + 3z = a + ь + Ă Đ ữ sỷ dử 3 3 (3.9) х2 ≥ 3ɣ хɣ32 ≥≥ 27z 3хz хɣ ≥ 9z х3 − 4хɣ + 9z ≥ Số hóa trung tâm học liệu (3.8) (3.7) http://www.lrc-tnu.edu.vn/ (3.10) 65 Ѵ½ dư 3.4 ເҺ0 a, ь, ເ l Ă số ỹ ọa m iÃu kiằ a++a = ເҺὺпǥ miпҺ г¬пǥ a+ь Lίi ǥi£i + ь+ເ + ເ+a ≥ a + ь+ ເ + a++ Đ Ư mi ữ ữ ợi (a + )( + ) + ( + ເ)(ເ + a) + (ເ + a)(a + ь) a + ь + ເ + ≥ a+ь+ເ (a + ь)(ь + ເ)(ເ + a) °ƚ х = a + ь + ເ, (3.11) ƚгð ƚҺ пҺ х2 + ɣ хɣ − z (3.11) ɣ = aь + ьເ + ເa, z = aьເ Tø (3.7) ѵ (3.9), ƚa ເâ х ≥ + ⇔ (х х ⇔ 3х3 + 3)6х − (х + 18)(3х − z) ≥ 36х + z + 18z ≥ 2 х − n yê sỹ c học cngu 3ăcnsĩth cao tihháọi v n cạ nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu 3(х3 ⇔ − 12х + 9z) + х z − 9z ≥ ⇔ 3(х − 12х + 9z) + z(х − 9) ≥ D0 = ả (3.11), 9, kámi ủ ợi (3.9), õ a Đk ả ,ứsu a i su ƚ0¡п гa ÷đເ ƚҺὺເƚaх£ɣ Һi ≥ ѵ ເҺ¿ k̟Һi a = ь = ເ = Số hóa trung taõm hoùc lieọu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 66 Ká luê Luê ô " a ối Ă ằ ữ ẳ ối Đ liả qua"  ẳ ká quÊ sau: - iợi iằu s lỵ uá ừa Ă Ôi số Ă a èi хὺпǥ ເὶ ь£п ѵ mëƚ sè ὺпǥ döпǥ ເõa õ Ôi số s Đ - Ă Đ Ã ừa lỵ uá ữủ ẳ mở Ă iÊ e0 Ă ữ ủ iá, a iá iÃu iá - Tẳ Ă i 0Ă l0Ôi kõ, iÃu i 0Ă ữủ ẵ a ứ ເ¡ເ · ƚҺi Һåເ siпҺ ǥiäi quèເ ǥia, 0lɣmρiເ ƚ0¡п quèເ ƚ¸, IM0 n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 67 T i liằu am kÊ0 [1] uạ ô Mêu, a Ôi số Ơ u , iĂ0 dử, 2004 [2] uạ ô Mêu, Đ ƚҺὺເ - àпҺ l½ ѵ ¡ρ dưпǥ, ПХЬ Ǥi¡0 dưເ, 2006 [3] uạ ô Mêu, uạ ô ồ, uả à ເҺåп låເ: a ƚҺὺເ èi хὺпǥ ѵ ¡ρ döпǥ, ПХЬ iĂ0 dử, 2008 [4] a u KÊi, ữ ẳ Đ ữ ẳ Ôi số, K0a n ỹ пҺi¶п ѵ ເỉпǥ пǥҺ», 2009 sỹ c ọc gu h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/