1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

(Luận Văn Thạc Sĩ) Về Số Đa Thức Bất Khả Quy Trên Trường Hữu Hạn.pdf

39 6 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Nội dung

Untitled ✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ✖✖✖✖✖✖✕♦✵♦✖✖✖✖✖✖✕ ❚❘❺◆ ❚❍➚ ❍❒◆ ❱➋ ❙➮ ✣❆ ❚❍Ù❈ ❇❻❚ ❑❍❷ ◗❯❨ ❚❘➊◆ ❚❘×❮◆● ❍Ú❯ ❍❸◆ ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✷✵ ✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ❚❘×❮◆[.]

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ✖✖✖✖✖✖✕♦✵♦✖✖✖✖✖✖✕ ❚❘❺◆ ❚❍➚ ❍❒◆ ❱➋ ❙➮ ✣❆ ❚❍Ù❈ ❇❻❚ ❑❍❷ ◗❯❨ ❚❘➊◆ ❚❘×❮◆● ❍Ú❯ ❍❸◆ ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✷✵ ✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ✖✖✖✖✖✖✕♦✵♦✖✖✖✖✖✖✕ ❚❘❺◆ ❚❍➚ ❍❒◆ ❱➋ ❙➮ ✣❆ ❚❍Ù❈ ❇❻❚ ❑❍❷ ◗❯❨ ❚❘➊◆ ❚❘×❮◆● ❍Ú❯ ❍❸◆ ❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t♦→♥ ❝➜♣ ▼➣ sè✿ ✽ ✹✻ ✵✶ ✶✸ ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈ ◆●×❮■ ❍×❰◆● ❉❼◆ ❑❍❖❆ ❍➴❈ ❚❙✳ ◆●➷ ❚❍➚ ◆●❖❆◆ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✷✵ ✐ ▼ư❝ ❧ư❝ ▼ð ✤➛✉ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ✶ ✹ ✶✳✶ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹ ✶✳✷ ❚r÷í♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ✶✳✸ ❍➔♠ ▼♦❜✐✉s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ❙ü t÷ì♥❣ tü ❣✐ú❛ Fq [T ] ✈➔ Z ✶✵ ❈❤÷ì♥❣ ✸ ✣➳♠ sè ✤❛ t❤ù❝ ❜➜t ❦❤↔ q✉② ✶✹ ✷✳✶ ▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ Fq [T ] ✈➔ Z ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ t t tữỡ ỗ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷ ✸✳✶ ❙è ✤❛ t❤ù❝ ❜➜t ❦❤↔ q✉② ♠♦♥✐❝ ❜➟❝ n tr➯♥ Fq ✸✳✷ ❙è ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ❜➜t ❦❤↔ q✉② ✈ỵ✐ ❜➟❝ ≤ n ✳ ✳ ✸✳✸ ❚➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✳✹ ✣✐➲✉ ❝❤➾♥❤ ❤➔♠ ✤➳♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ✶✽ ✷✺ ✷✽ ✸✺ ✐✐ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ✤÷đ❝ t❤ü❝ ❤✐➺♥ t↕✐ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✕ t ữợ sỹ ữợ ❞➝♥ ❝õ❛ ❚❙✳ ◆❣ỉ ❚❤à ◆❣♦❛♥✳ ❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ✤÷đ❝ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ✈➔ s➙✉ s➢❝ tợ ữớ ữợ ữớ t ự tớ ữợ ✈➔ t➟♥ t➻♥❤ ❣✐↔✐ ✤→♣ ♥❤ú♥❣ t❤➢❝ ♠➢❝ ❝õ❛ t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❧➔♠ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❚→❝ ❣✐↔ ❝ơ♥❣ ✤➣ ❤å❝ t➟♣ ✤÷đ❝ r➜t ♥❤✐➲✉ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤ ❜ê ➼❝❤ ❝❤♦ ❝æ♥❣ t→❝ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ❜↔♥ t❤➙♥✳ ❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❝↔♠ ì♥ s➙✉ s➢❝ tỵ✐ ❝→❝ t❤➛② ❣✐→♦✱ ❝ỉ ❣✐→♦ ✤➣ t❤❛♠ ợ trữớ ✈➔ ❝→❝ ♣❤á♥❣ ❝❤ù❝ ♥➠♥❣ ❝õ❛ ❚r÷í♥❣❀ ❑❤♦❛ ❚♦→♥ ✕ ❚✐♥✱ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✕ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✤➣ q✉❛♥ t➙♠ ✈➔ ❣✐ó♣ ✤ï t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ s✉èt t❤í✐ ❣✐❛♥ ❤å❝ t➟♣ t↕✐ tr÷í♥❣✳ ❚→❝ ❣✐↔ ❝ơ♥❣ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ s➙✉ s➢❝ tỵ✐ ❚r✉♥❣ t➙♠ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ P❤→t tr✐➸♥ ❣✐→♦ ❞ö❝ ❍↔✐ P❤á♥❣ ✤➣ ❣✐ó♣ ✤ï✱ t↕♦ ♠å✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤✉➟♥ ❧đ✐ ❣✐ó♣ tỉ✐ ❝â t❤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✳ ❚→❝ ❣✐↔ ❝ô♥❣ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ tỵ✐ t➟♣ t❤➸ ❧ỵ♣ ❈❛♦ ❤å❝ ❚♦→♥ ❑✶✷❆✼ ✤➣ ❧✉ỉ♥ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥ ✈➔ ❣✐ó♣ ✤ï t→❝ ❣✐↔ r➜t ♥❤✐➲✉ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ❧➔♠ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❈✉è✐ ❝ị♥❣✱ tỉ✐ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ tỵ✐ ❣✐❛ ✤➻♥❤✱ ❜↕♥ ❜➧ ✤➣ ❣✐ó♣ ✤ï ✈➔ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tèt ♥❤➜t ❝❤♦ tæ✐ ❦❤✐ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✻ ♥➠♠ ✷✵✷✵ ❚→❝ ❣✐↔ ❚r➛♥ ❚❤à ❍ì♥ ✶ ▼ð ✤➛✉ ▼ët tr ỳ ữủ ự tr ỵ tt sè ✤â ❧➔ sü ♣❤➙♥ ❜è ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ tè✳ ◆❣÷í✐ t❛ ♥❤➟♥ t❤➜② r➡♥❣ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ tè ♥❤ä ♥➡♠ t÷ì♥❣ ✤è✐ ❣➛♥ ♥❤❛✉✱ tr♦♥❣ ❦❤✐ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ tố ợ t õ ữợ ♥❤❛✉ ❤ì♥✳ ❚❛ ✤➦t ❝➙✉ ❤ä✐ ✈➲ sü ❧✐➯♥ q✉❛♥ ❣✐ú❛ ♠➟t ✤ë ❝õ❛ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ tè ✈ỵ✐ ✤ë ❧ỵ♥ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣✳ ❇➡♥❣ ❝→❝❤ ❧➟♣ ❜↔♥❣ sè ♥❣✉②➯♥ tè ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠➟t ✤ë✱ ●❛✉ss t❤➜② r➡♥❣ “①✉♥❣ q✉❛♥❤ x ♠➟t ✤ë ❝õ❛ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❧➔ ①➜♣ ①➾ ❧♦❣1(x) ” t❤❡♦ ❬✾❪✳ P❤→t ❤✐➺♥ ♥➔② ❧➔ ❝❤➻❛ õ t ỵ số tố ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♣❤→t ❤✐➺♥ ♥➔②✱ ●❛✉ss ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❤➔♠ ✤➳♠ sè ♥❣✉②➯♥ tè✿ ●å✐ x ❧➔ sè t❤ü❝ ❞÷ì♥❣✱ π(x) ❜✐➸✉ t❤à sè ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ tè ♥❤ä ❤ì♥ ❤♦➦❝ P ❜➡♥❣ x✳ ❚ù❝ ❧➔ t❛ ❝â π(x) = 1✳ ❱➻ ♥❣÷í✐ t❛ ✤➣ ❞ü ✤♦→♥ ✈➲ ♠➟t ✤ë ❝→❝ p≤x ❧♦❣(x) ✱ ♥➯♥ ❤å ❝ô♥❣ ❞ü ✤♦→♥ r➡♥❣ π(x) ①➜♣ ①➾ sè ♥❣✉②➯♥ tè q✉❛♥❤ x ❧➔ ✈ỵ✐ ♠ët tê♥❣ ❧♦❣❛r✐t ❤♦➦❝ ♠ët t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❧♦❣❛r✐t✳ ❈❤ó♥❣ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✤÷đ❝ ❝❤♦ ❜ð✐✿ ❧s(x) := , ❧♦❣ (n) 2≤n≤x X ❧✐(x) := Zx dt ❧♦❣(t) ❚❛ ♥â✐ ❤❛✐ ❤➔♠ f ✈➔ g ❧➔ ❤❛✐ ❤➔♠ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ♥➳✉ t❤÷ì♥❣ sè ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ f (x) t✐➳♥ tỵ✐ ✶ ❦❤✐ x t✐➳♥ tỵ✐ ✈ỉ ❝ị♥❣✳ ❚❛ sû ỵ f (x) g(x) g(x) ❧♦❣(2) t❤❡♦ ❍➺ q✉↔ ✶✳✺✳✶ tr♦♥❣ ❬✹❪✳ ❉♦ ✤â✱ ❤❛✐ ❤➔♠ tê♥❣ ❧♦❣❛r✐t ✈➔ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❧♦❣❛r✐t ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✳ ụ tữỡ ữỡ ợ x(x) q tr ỵ số tố ữủ ●❛✉ss ✭✶✼✾✷✮ ✈➔ ▲❡❣❡♥❞r❡ ✭✶✼✾✽✮ ♥➯✉ r❛ x → ∞✳ ❱ỵ✐ ♠é✐ x ≥ 2✱ ❤✐➺✉ sè ❣✐ú❛ ❧s(x) ✈➔ ❧✐(x) ❜à ❝❤➦♥ ❜ð✐ ✷ ❣✐↔ t❤✉②➳t r➡♥❣ ❤➔♠ ✤➳♠ số tố (x) tữỡ ữỡ ợ õ ữủ tr ữợ x (x) ❧♦❣(x) (x → ∞) ▼ët tr➠♠ ♥➠♠ s❛✉ ✈➔♦ ♥➠♠ ỵ ữủ ự r ✈➔ ▲❛ ❱❛❧❧➨❡ ▼✉❢❢s✐♥ ♠ët ❝→❝❤ ✤ë❝ ❧➟♣✳ ❈↔ ❤❛✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝õ❛ ❤å ✤➲✉ ❞ü❛ tr➯♥ ❤➔♠ ③❡t❛ ❘✐❡♠❛♥♥✱ ♠ët ♠ð rë♥❣ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❝õ❛ tê♥❣ ∞ P ζ(s) = ✳ ❘✐❡♠❛♥♥ ✤➣ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ sü ♣❤➙♥ ❜ê ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❝â s n=1 n ❧✐➯♥ q✉❛♥ trü❝ t✐➳♣ ✤➳♥ t➟♣ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➔♠ ♥➔②✳ ❍❛❞❛♠❛r❞ ✈➔ ▲❛ ❱❛❧❧➨❡ ▼✉❢❢s✐♥ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❤➔♠ ❘✐❡♠❛♥♥ ③❡t❛ ❦❤ỉ♥❣ ❝â ♥❣❤✐➺♠ tr➯♥ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❘❡(s) = 1✱ ❝❤ó♥❣ ✤➣ ✤÷đ❝ sû ❞ư♥❣ ✤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤à♥❤ ỵ số tố tr ❧s(x) ✈➔ ❧✐(x) tèt ❤ì♥ ❧♦❣x(x) ❞♦ ✤â ❝❤ó♥❣ t❤÷í♥❣ ✤÷đ❝ ÷✉ t✐➯♥ ❤ì♥ ❦❤✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ♣❤➛♥ s❛✐ sè✳ ✣è✐ ✈ỵ✐ ❝→❝ ♣❤➛♥ s❛✐ sè✱ t❛ sû ❞ư♥❣ ỵ O ợ f g t ý t õ f (x) = O(g(x)) tỗ t ❤➡♥❣ sè C s❛♦ ❝❤♦ ✈ỵ✐ x ✤õ ❧ỵ♥✱ ❣✐→ trà t✉②➺t ✤è✐ ❝õ❛ f (x) ❜à ❝❤➦♥ ❜ð✐ Cg(x)✳ ❱➻ ❧s(x) ✈➔ ❧✐(x) ❝❤➾ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ♠ët sè ❜à ❝❤➦♥✱ ♥➯♥ ♣❤➛♥ s❛✐ sè ❝ơ♥❣ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ ❧s(x)✳ ❇➡♥❣ ❝→❝❤ sû ❞ư♥❣ ❤➔♠ ζ ❦❤ỉ♥❣ ❝â ♥❣❤✐➺♠ tr➯♥ ✤÷í♥❣ t (s) = t ỵ tr ự ữủ tỗ t số c s ❝❤♦✿   √ −c ❧♦❣(x) ✭✷✮ π(x) = ❧✐(x) + O xe P❤➛♥ s❛✐ sè ð ✤➙② ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ ❦❤→✐ q✉→t ❤ì♥ ❜ð✐ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ζ ✳ ✣➦t Θ = s✉♣ζ(s)=0 ❘❡(s) ❧➔ ❝➟♥ tr➯♥ ✤ó♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤➛♥ t❤ü❝ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ζ ✳ ❑❤✐ ✤â t❤❡♦ ❬✺❪ t❛ ❝â✿  π(x) = ❧✐(x) + O xΘ ❧♦❣(x) ✭✸✮ ❘✐❡♠❛♥♥ ✤➣ ❝❤♦ r➡♥❣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❦❤ỉ♥❣ t➛♠ t❤÷í♥❣ ❝õ❛ ζ ♥➡♠ tr➯♥ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❘❡(s) = 21 ✳ ●✐↔ t❤✐➳t ♥➔② ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❣✐↔ t❤✉②➳t ❘✐❡♠❛♥♥✳ ●✐↔ t❤✉②➳t ❘✐❡♠❛♥♥ s✉② r❛ Θ = 12 ✱ ✤✐➲✉ ♥➔② ❝❤♦ t❛ ①➜♣ ①➾ π(x) = ❧✐(x) + O √  x❧♦❣(x) ✸ ❚r♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✱ t❛ s➩ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➲ ♠ët sü t÷ì♥❣ tỹ ỵ số tố ữ ữủ t tr♦♥❣ ✈➔♥❤ Fq [T ] ❧➔ ✈➔♥❤ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝ ởt ợ số tở trữớ ỳ ❤↕♥ Fq ✳ ❚❛ s➩ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ❤➔♠ t÷ì♥❣ ữỡ ợ số tự t q✉② ✈➔ ❝â sü s♦ s→♥❤ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥➔② ✈ỵ✐ ❤➔♠ ✤➳♠ sè ♥❣✉②➯♥ tè π(x)✳ ▼ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❧đ✐ t❤➳ ❦❤✐ ❧➔♠ ✈✐➺❝ ✈ỵ✐ Fq [T ] ❧➔ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❝õ❛ ●❛✉ss✱ ♠ët ❝æ♥❣ t❤ù❝ trü❝ t✐➳♣ ✈➲ sè ❧÷đ♥❣ ✤❛ t❤ù❝ ♠♦♥✐❝ ❜➜t ❦❤↔ q✉② ❜➟❝ n✳ ✣➙② ❧➔ ♠ët ❝ỉ♥❣ ❝ư r➜t ♠↕♥❤ ✤➸ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ❤➔♠ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ❤➔♠ ✤➳♠✳ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ ❝❤✐❛ t ữỡ ữỡ ỗ ởt số tự trữớ ỳ ỵ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ▼♦❜✐✉s✳ ◆❤ú♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ♥➔② ♣❤ö❝ ✈ö ❝❤♦ ✈✐➺❝ tr➻♥❤ ❜➔② ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❝❤÷ì♥❣ s❛✉✳ ❈❤÷ì♥❣ ✷ ♥➯✉ ❧➯♥ ♥❤ú♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥✱ ❝❤ó♥❣ ❝❤♦ t❛ t❤➜② sü t÷ì♥❣ tü ❣✐ú❛ ❤❛✐ ♠✐➲♥ ♥❣✉②➯♥ Z ✈➔ Fq [T ]✳ ❈❤÷ì♥❣ ✸ tr➻♥❤ ❜➔② ✈➲ ❤➔♠ ✤➳♠ sè ✤❛ t❤ù❝ ❜➜t ❦❤↔ q tr trữớ ỳ q tỷ ỗ tớ ụ t t sỹ tữỡ tỹ ợ ỵ ✈➲ ❤➔♠ ✤➳♠ sè ♥❣✉②➯♥ tè tr♦♥❣ ✈➔♥❤ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥✳ ✹ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ ♥➔②✱ t❛ s➩ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ✈➲ ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ ✈➔ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❤➔♠ ▼♦❜✐✉s✳ ◆❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ ♥➔② s➩ ✤÷đ❝ sû ❞ư♥❣ ✤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❝õ❛ ●❛✉ss ✈➲ sè ✤❛ t❤ù❝ ❜➜t ❦❤↔ q✉② ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ❜➟❝ n ✈➔ ✤÷đ❝ sû ❞ư♥❣ tr♦♥❣ ❝→❝ ❝❤÷ì♥❣ s❛✉ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ✶✳✶ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❚❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐✱ ♠ët tr÷í♥❣ F ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦→♥ ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣ ✈➔ ♠å✐ ♣❤➛♥ tû ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣ ✤➲✉ ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤✳ ▼ët tr÷í♥❣ ❝â ❤ú✉ ❤↕♥ ♣❤➛♥ tû ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët tr÷í♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳ ❚r÷í♥❣ F ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët tr÷í♥❣ ♥❣✉②➯♥ tè ♥➳✉ ♥â ❦❤ỉ♥❣ ❝â tr÷í♥❣ ❝♦♥ ♥➔♦ ♥❣♦➔✐ ❜↔♥ t❤➙♥ ♥â✳ ◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳✷✳ (i) ❈❤♦ F ❧➔ tr÷í♥❣ ♥❣✉②➯♥ tè✳ ❑❤✐ ✤â ❝❤➾ ❝â t❤➸ ①↔② r❛ ♠ët tr♦♥❣ ❤❛✐ tr÷í♥❣ ❤đ♣✿ ♥➳✉ F ❝â ✤➦❝ sè ✵ t❤➻ F ∼ = Zp = Q❀ ♥➳✉ F ❝â ✤➦❝ sè p t❤➻ F ∼ ❚r÷í♥❣ ❤đ♣ F ∼ = Zp t❛ t❤÷í♥❣ ❦➼ ❤✐➺✉ Fp t❤❛② ❝❤♦ F (ii) E ởt trữớ tũ ỵ õ ❣å✐ F ❧➔ ❣✐❛♦ ❝õ❛ ♠å✐ tr÷í♥❣ ❝♦♥ ❝õ❛ E t❤➻ F ❝ơ♥❣ ❧➔ ♠ët tr÷í♥❣ ❝♦♥ ❝õ❛ E, rã r➔♥❣ F ❧➔ tr÷í♥❣ ❝♦♥ ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ E ✱ ❞♦ ✤â F ❧➔ tr÷í♥❣ ♥❣✉②➯♥ tè✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥➔②✱ t❛ ♥â✐ F ❧➔ tr÷í♥❣ ❝♦♥ ♥❣✉②➯♥ tè ❝õ❛ E ✳ ◆❤÷ ✈➟②✱ ♠å✐ tr÷í♥❣ ✤➲✉ ❝❤ù❛ ♠ët tr÷í♥❣ ❝♦♥ ♥❣✉②➯♥ tè✳ ✺ ✶✳✷ ❚r÷í♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ ●✐↔ sû p ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ tè✱ ✈➔♥❤ Z/pZ ❧➔ ♠ët tr÷í♥❣ ❝â ✤ó♥❣ p ♣❤➛♥ tû✳ ✣➙② ❧➔ tr÷í♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ ❞✉② ♥❤➜t ✭s❛✐ ❦❤→❝ ✤➥♥❣ ❝➜✉✮ ❝â ✤ó♥❣ p ♣❤➛♥ tỷ L ởt trữớ ợ p tỷ ❣å✐ p′ ❧➔ ✤➦❝ sè ❝õ❛ L✳ ❑❤✐ ✤â Z/p′Z ❧➔ ✤➥♥❣ ❝➜✉ ❝õ❛ ♠ët tr÷í♥❣ ❝♦♥ ❝õ❛ L✱ ♥➯♥ p′ ❝❤✐❛ ❤➳t p✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ❝❤➾ ✤ó♥❣ ♥➳✉ p′ = p õ L = Z/pZ ỵ ❤✐➺✉ Fp := Z/pZ✳ ❚ê♥❣ q✉→t ❤ì♥✱ ♥➳✉ q ❧➔ ụ tứ ởt tố t tỗ t ởt trữớ t ợ q tỷ ỵ Fq ✳ ❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✶ ✭❈➜✉ tró❝ tr÷í♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥✮✳ (i) ❈❤♦ F ❧➔ tr÷í♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝â q ♣❤➛♥ tû✳ õ tỗ t số tố p s q = pn ✈ỵ✐ sè tü ♥❤✐➯♥ n ♥➔♦ ✤â✳ (ii) ❱ỵ✐ ♠é✐ sè ♥❣✉②➯♥ tè p ✈➔ sè tü n 6= tỗ t t ởt trữớ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝â pn ♣❤➛♥ tû ✭s❛✐ ❦❤→❝ ♠ët ✤➥♥❣ ❝➜✉ tr÷í♥❣✮✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ (i) ●å✐ p ❧➔ ✤➦❝ sè ❝õ❛ tr÷í♥❣ F ✱ ❦❤✐ ✤â p ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ tè✳ ●å✐ Fp ❧➔ tr÷í♥❣ ❝♦♥ ♥❣✉②➯♥ tè ❝õ❛ F ✱ ❦❤✐ ✤â Fp ∼ = Zp ✳ ❚❛ ❜✐➳t r➡♥❣ F ❧➔ Fp −❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉✳ ●✐↔ sû dimF (F ) = n < ∞✱ ❦❤✐ ✤â F ❝â ♠ët ❝ì n P sð ❧➔ {e1, , en} ✈➔ ✈➻ t❤➳ ♠é✐ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ F ❝â ❞↕♥❣ x = aiei ✈ỵ✐ i=1 a1 , , an ∈ Fp ❚ø ✤â s✉② r❛ sè ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ F ❜➡♥❣ sè ❝→❝ ❜ë ♣❤➛♥ tû (a1 , , an ) ∈ Fp × × Fp ✭n ❧➛♥✮✳ ❉♦ ✤â q = pn (ii) ỹ tỗ t trữớ õ q = pn tû✳ ❳➨t ✤❛ t❤ù❝ f (x) = xq − x Fp [x] ợ Fp = Zp trữớ ♥❣✉②➯♥ tè ❝â ✤➦❝ sè ♥❣✉②➯♥ tè p✳ ●å✐ E ❧➔ tr÷í♥❣ ♣❤➙♥ r➣ ❝õ❛ f (x) tr➯♥ Fp ✣➦t p K = {α ∈ E | f (α) = 0} ✤â ❝❤➼♥❤ ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ f (x)✳ ❑❤✐ ✤â K ❧➔ ♠ët tr÷í♥❣ ❝♦♥ ❝õ❛ E ✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ α, β ∈ K t❛ ❝â (α − β)q = αq − β q = α − β, (αβ)q = αq β q = αβ ❉♦ ✤â α − β, αβ ∈ K ✳ ◆➳✉ α ∈ K ∗ t❤➻ (α−1)q = (aq )−1 = α−1 s✉② r❛ α−1 ∈ K ◆❣♦➔✐ r❛✱ rã r➔♥❣ 1q = ♥➯♥ ∈ K ❈✉è✐ ❝ò♥❣✱ t❛ t❤➜② r➡♥❣ ♠å✐ a ∈ Fp ✤➲✉ t❤ä❛ ♠➣♥ ap = a ❞♦ ✤â aq = ap = a ❝❤ù♥❣ tä Fp ⊆ K n ✻ ◆❤÷ ✈➟② K ❝❤➼♥❤ ❧➔ tr÷í♥❣ ♣❤➙♥ r➣ ❝õ❛ f (x) tr➯♥ Fp✱ tr÷í♥❣ õ q = pn tỷ ữ ỵ r ✤❛ t❤ù❝ f (x) ❦❤æ♥❣ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❜ë✐✮✳ ❚➼♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ tr÷í♥❣ ❝â q = pn ♣❤➛♥ tû✳ ●✐↔ sû Fq ❧➔ tr÷í♥❣ ❝â q = pn ♣❤➛♥ tû✳ ❑❤✐ ✤â Fq ❝â ✤➦❝ sè ❧➔ p ✭❣✐↔ sû p1 ❧➔ ✤➦❝ sè ❝õ❛ Fq t❤➻ t❤❡♦ (i) s✉② r❛ q = pn1 ❀ ❞♦ ✤â pn = pn1 ✈➻ t❤➳ p = p1) ❱➻ F∗q = Fq \ {0} ❧➔ ♥❤â♠ ✈ỵ✐ ♣❤➨♣ ♥❤➙♥ ♥➯♥ αq−1 = ✈ỵ✐ ♠å✐ α ∈ F∗q ❀ ❞♦ ✤â αq = α ✈ỵ✐ ♠å✐ α ∈ Fq ✳ ❈❤ù♥❣ tä ♠å✐ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ Fq ✤➲✉ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ f (x) = xq − x ∈ Fp [x] ✈ỵ✐ Fp ❧➔ tr÷í♥❣ ♥❣✉②➯♥ tè ❝õ❛ Fq ✳ ❙✉② r❛ tr÷í♥❣ Fq ❝❤➼♥❤ ❧➔ tr÷í♥❣ ♣❤➙♥ r➣ ❝õ❛ f (x) tr➯♥ Fp ✣✐➲✉ ✤â ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ t➼♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ Fq s❛✐ ❦❤→❝ ♠ët ✤➥♥❣ ❝➜✉ tr÷í♥❣✳ ❚❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐✱ ♠ët ♠ð rë♥❣ tr÷í♥❣ E/F ✭F ⊂ E ✮ ❧➔ ♠ët ♠ð rë♥❣ ●❛❧♦✐s ♥➳✉ ♥â ❧➔ ♠ð rë♥❣ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ✈➔ t→❝❤ ✤÷đ❝ ✭❈❤÷ì♥❣ ✷ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✶❪✮✳ ❚❛ ❝â ❦➳t q✉↔ s❛✉✿ ′ ′ ❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✷✳ ❈❤♦ E/F ❧➔ ♠ët ♠ð rë♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ ❦❤✐ ✤â ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿ ✭✐✮ E/F ❧➔ ♠ð rë♥❣ ●❛❧♦✐s❀ ✭✐✐✮ ◆➳✉ p(x) ∈ F (x) ❧➔ ✤❛ t❤ù❝ ❜➜t ❦❤↔ q✉② tr➯♥ F ❝â ♠ët ♥❣❤✐➺♠ tr♦♥❣ E t❤➻ ♥â t→❝❤ ✤÷đ❝ ✈➔ ❝â ♠å✐ ♥❣❤✐➺♠ tr♦♥❣ E ✭tù❝ ❧➔ p(x) t→❝❤ ✤÷đ❝ ✈➔ ♣❤➙♥ r➣ tr➯♥ E ✮❀ ✭✐✐✐✮ E ❧➔ tr÷í♥❣ ♣❤➙♥ r➣ ❝õ❛ ♠ët ✤❛ t❤ù❝ t→❝❤ ✤÷đ❝ f (x) ∈ F [x]✳ ✣à♥❤ ỵ q ụ tứ ởt số ♥❣✉②➯♥ tè ✈➔ a, b ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✳ ◆➳✉ a ữợ b t Fqa trữớ ❝õ❛ Fqb ✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ♠ð rë♥❣ tr÷í♥❣ Fqb /Fqa ❧➔ ♠ð rë♥❣ ●❛❧♦✐s✳ ▼å✐ ✤❛ t❤ù❝ ❜➜t ❦❤↔ q✉② tr➯♥ Fqa ✤➲✉ t→❝❤ ✤÷đ❝ ✈➔ ♥➳✉ ♥â ❝â ♥❣❤✐➺♠ tr♦♥❣ Fqb t❤➻ ♠å✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♥â ✤➲✉ t❤✉ë❝ Fqb ✳ ●✐↔ sû a, b ❧➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ s a ữợ b ❧✉➟♥ ♥❤÷ tr♦♥❣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝õ❛ ❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✶✱ tr÷í♥❣ ♣❤➙♥ r➣ ❝õ❛ P (T ) = T q − T tr➯♥ Fq ❝â ✤ó♥❣ q b ♣❤➛♥ tû ✈➔ ợ Fq rữớ r ụ ❝❤ù❛ Fq ✱ ✈➔ ❞♦ ✤â Fq ❧➔ ♠ët tr÷í♥❣ ❝♦♥ ❝õ❛ Fq ✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ✈➻ P (T ) ❧➔ ✤❛ t❤ù❝ t→❝❤ ✤÷đ❝✱ Fq ❧➔ tr÷í♥❣ ♣❤➙♥ r➣ ❝õ❛ P (T ) tr➯♥ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ b a b a a b b X µ(n) n x o nxo X nxo X X x ≤1+ µ(n) |µ(n)| = + ≤1+

Ngày đăng: 01/04/2023, 09:46

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

  • Đang cập nhật ...

TÀI LIỆU LIÊN QUAN