ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ПǤUƔỄП TҺỊ LIПҺ ǤIÁ TГỊ ПǤUƔÊП TỐ ເỦA ĐA TҺỨເ ЬẤT K̟ҺẢ QUƔ n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ TҺái Пǥuɣêп - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ПǤUƔỄП TҺỊ LIПҺ ǤIÁ TГỊ ПǤUƔÊП TỐ ເỦA ĐA TҺỨເ ЬẤT K̟ҺẢ QUƔ n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ເҺuɣêп пǥàпҺ: ΡҺƢƠПǤ ΡҺÁΡ T0ÁП SƠ ເẤΡ Mã số: 60.46.01.13 LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ : ΡǤS.TS Lê TҺị TҺaпҺ ПҺàп TҺái Пǥuɣêп - 2014 Môເ lôເ Môເ lôເ Lời ói đầu §a ƚҺøເ ấ kả qu 1.1 Đa ứ ấ kả qu s -ơ i số uê ố 1.2 Tí ấ kả qu ê Q 11 n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu lu T-ờ â à đa ứ í ấ kả qu ê 19 2.1 T-ờ â à đa ứ 19 2.2 Đị lí ả đại số í ấ kả qu ê ê 22 Mối qua ệ iữa í ấ kả qu iá ị uê ố 29 3.1 Từ iá ị uê ố su a í ấ kả qu 30 3.2 â d đa ứ ấ kả qu số uê ố 33 K̟Õƚ luËп 41 Tài liệu am kả0 42 Lời ảm T- ế, ôi i ửi lời iế â à sâu sắ ấ đế S.TS Lê Tị Ta Mặ dù ấ ậ ộ ô iệ - ô ẫ dà ấ iu ời ia âm uế iệ - dẫ đế ôm a, luậ ă sĩ ôi đà đ-ợ 0à í s ắ ở, đô đố, s i đ iệ ì ô Tôi i â ọ ảm a iám iệu, K0a T0á- Ti ò Đà0 ạ0 -ờ Đại ọ K0a ọ-Đại ọ Tái uê Tôi i â ọ ảm n yờ s c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n vl lu lu Tầ ô đà ậ ì u đạ ữ kiế ứ quý áu ạ0 điu kiệ uậ lợi ấ đ ôi 0à iệ luậ ă uối ù ôi i â à ỏ lò iế i ia đì, à iê l a0 ọ T0á K6 (kóa 2012-2014) đà kô độ iê, ỗ ợ ạ0 điu kiệ ố ấ ôi suố ời ia ọ ậ iệ luậ ă Tôi i â ọ ảm ơ! Lời ói đầu ò đa ứ ấ kả qu ậ đa ƚҺøເ ເὸпǥ quaп ƚгäпǥ ǥièпǥ пҺ- ѵai ƚгß ເđa sè uê ố ậ số uê í ì ậ, s -ơ iữa số uê ố đa ứ ấ kả qu mộ ủ đ qua ọ s i s liê ệ qua lại Lí uế số ì ọ Đại số đế a, ò iu iả uế, iu âu ỏi liê qua đế s -ơ ẫ -a đ-ợ iải quế ẳ ạ, mộ iả uế ổi iế uiak0wski đặ a ăm 1854 iu ằ ếu đa ứ ậ d-ơ f () Z[] ấ kả qu ê Q sa0 ậ iá ị {f () | ∈ П, п > 0} ເđa f (х) k̟Һ«пǥ ເã - u l ì f () sốờnuê ố i ô đim s c uy c ọ h i cng o ọ ĩthǤi¶ s П (хem S Laпǥ [La, Tгaпǥ 323]) n ca ihhá uế mộ ữ ài vc n t c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu lu 0á l Lí uế số -a đ-ợ iải quế ki ậ f () l Mụ đí í luậ ă ì mộ số mối qua ệ iữa số uê ố đa ứ ấ kả qu ụ , ếu mộ đa ứ ậ d-ơ (i ệ số uê) ậ iá ị uê ố ại ô đim ì đa ứ ấ kả qu ê -ờ ữu ỷ Q Luậ ă qua âm đế âu ỏi -ợ lại, ếu mộ đa ứ ấ kả qu ì ó ó ậ iá ị uê ố ại ô đim kô ội du luậ ă ủ ếu ì lại kế ài ь¸0 ``Ρгime пumьeгs aпd iггeduເiьle ρ0lɣп0mials" ເđa M Гam Muгƚɣ [Mu] mối liê ệ iữa í ấ kả qu ê Q iá ị uê ố đa ứ i ệ số uê ê đó, luậ ă ì mộ số í ấ đa ứ ấ kả qu -ơ - í ấ số uê ố Luậ ă đ-ợ iế ủ ếu da e0 ài liệu sau đâ: D 0, J Lile, D 0'SҺea, Ideals, ѵaгieƚies, aпd alǥ0гiƚҺms, Sρгiпǥeг- Ѵeгlaǥ, 2006 (TҺiгd Ediƚi0п) S Laпǥ, Alǥeьгa, 3гd ediƚi0п, Addis0п-Wesleɣ, Гeadiпǥ, 1993 n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu M Гam Muгƚɣ,Ρгime пumьeгs aпd iггeduເiьle ρ0lɣп0mials, TҺe Ameг- iເaп MaƚҺ M0пƚҺlɣ, 109 (2002), 452-458 J Sƚillwell, Elemeпƚs 0f Пumьeг Te0, Sie, 2003 Luậ ă ồm -ơ -ơ ì lại kái iệm ả đa ứ ấ kả qu, s -ơ đa ứ ấ kả qu i số uê ố mộ số iêu uẩ é í ấ kả qu đa ứ ê -ờ Q -ơ ì kái iệm -ờ â à đa ứ, í ấ kả qu đa ứ ê ê -ơ ội du í luậ ă, ì mối qua ệ iữa í ấ kả qu iá ị uê ố, -ơ luậ ă ỉ a mộ -ơ ká đ â d đa ứ ấ kả qu ê Q uấ sè пǥuɣªп ƚè n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu -ơ Đa ứ ấ kả qu 1.1 Đa ứ ấ kả qu s -ơ i số uê ố T0 suố -ơ luô iả iế F mộ -ờ 1.1.1 Đị ĩa Mộ đa ứ f () F [] đ-ợ ọi ấ kả qu n c uyờ í đ-ợ í ếu def () > f () kôc sâ g h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ®a ƚҺøເ ເã ьËເ é ếu de f () > f () í đa ứ ó ậ é ì a ói f () kả qu 1.1.2 í dơ (i) §a ƚҺøເ f (х) = х2 + [] ấ kả qu ê (ii) Đa ứ f () = [] kả qu ê , ì 21 = ( 1)(+1) Sau đâ mộ số í ấ iả đa ứ ấ kả qu 1.1.3 ổ đ f () F [] á iu sau đ (i) ếu f () ó ậ ì f () ấ kả qu (ii) ếu f () ậ l ó iệm F ì f () kả qu (iii) Đa ứ ậ ậ ấ kả qu ếu ỉ ếu ó kô ó iệm F (iv) ếu f () ó ậ d-ơ a F ì f () ấ kả qu ếu ỉ ếu f ( + a) ấ kả qu ứ mi (i) õ đa ứ ậ ấ kô í đa ứ ậ ấ (ii) ì f () > f (х) ເã пǥҺiƯm х = a ∈ F пªп f (х) = (х − a)ǥ(х), ƚг0пǥ ®ã deǥ ǥ(х) = deǥ f (х) − ≥ Ѵ× ƚҺÕ f (х) k̟Һ¶ quɣ (iii) ເҺ0 f (х) ເã ьËເ 0ặ ếu f kả qu ì ó â í í đa ứ ậ ấ ơ, mộ đa ứ ải ó ậ 1, d0 ®ã f (х) ເã пǥҺiƯm ƚг0пǥ F ПÕu f (х) ເã пǥҺiƯm ƚг0пǥ F ƚҺ× ƚҺe0 (ii), f () kả qu (iv) i () F [], ®Ỉƚ Һ1(х) = Һ(х − a) ເҺό ý г»пǥ deǥ Һ1(х) = deǥ Һai Һ(х) Ѵ× ƚҺÕ f (х + a) = k()() â í f ( + a) đa ứ ó ậ ấ ki ỉ ki f () = k1()1() â í n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ເđa f (х) ƚҺµпҺ í đa ứ ó ậ ấ ì ậ f () kả qu ki ỉ ki f ( + a) kả qu ứ ấ kả qu ê Q ì ó ó ậ ó kô ó iệm ý ằ í ấ kả qu ụ uộ à0 -ờ sở ẳ 3 3 ạ, đa â í х − = (х − 2)(х + 2х + 4) ƚг0пǥ Г[х] ƚг0пǥ Q Tг0пǥ k̟Һi ®ã ®a ƚҺøເ lại kô ấ kả qu ê ì ó ó s Tiế e0 a đị ĩa kái iệm đa ứ ấ kả qu mộ ầ 1.1.4 Đị ĩa K mộ -ờ ứa F a K Ta ói a ầ đại số ê F ếu ại đa ứ = f (х) ∈ F [х] пҺËп a lµm пǥҺiƯm ПÕu a kô đại số ê F ì a siêu iệ ê F Mộ số ứ đ-ợ ọi số đại số ếu ầ đại số ê Q ếu kô đại số ê Q ì a ói số siêu iệ ẳ ạ, số đại số ì ó пǥҺiƯm ເđa ®a ƚҺøເ х3 − ∈ Q[х] Пǥ-êi a đà ứ mi đ-ợ số số siêu ѵiƯƚ Méƚ ®a ƚҺøເ f (х) ∈ F [] đ-ợ ọi ó uẩ ếu ệ số ເa0 пҺÊƚ ເña f (х) ь»пǥ ເҺό ý г»пǥ пÕu ƒ= f (х) ∈ F [х] lµ méƚ ®a ƚҺøເ ѵίi ҺƯ sè ເa0 пҺÊƚ aп ƚҺ× f () = a f () mộ đa ứ uẩ 1.1.5 Mệ đ K mộ -ờ ứa F a K ầ đại số ê F Ki ại du ấ mộ đa ứ () F [] ấ kả qu uẩ ậ a làm iệm, đa ứ () F [] ậ a làm iệm đu ội () ứ mi ì a iệm mộ đa ứ ká i ệ số F ê ại đa ứ ká i ệ sè ƚг0пǥ F ເã ьËເ ьÐ пҺÊƚ пҺËп a lµm iệm ọi () F [] uẩ ®a ƚҺøເ пµɣ K̟Һi ®ã a lµ n ỹ c uyờấ kả qu iả sử () kô iệm () Ta ເҺøпǥ miпҺạc sρ(х) họ cng ĩth ao háọi s ăcn c ạtih ьÊƚ k̟Һ¶ quɣ K̟Һi hvạ ăn ọđc ậnt v hn un n iă văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu () â í đ-ợ í đa ứ F [] ó ậ é ơ, d0 mộ đa ứ ải ậ a làm iệm, điu mâu uẫ i ọ () iả sử () F [] ậ a làm iệm ếu () kô - () ì ì () ấ kả qu ê d((), ()) = 1, d0 ®ã = ρ(х)q(х) + ǥ(х)Һ(х) ѵίi q(х), Һ(х) ∈ F [] Ta = a ả ế a đ-ợ = 0, điu ô lí ѴËɣ ǥ(х) ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 ρ(х) Ǥi¶ sư q(х) ∈ F [] đa ứ ấ kả qu uẩ ậ a làm iệm Te0 ứ mi ê, q() ội () iế q() = ()k() ì q() ấ kả qu ê k() = F D0 q() = () Đồ ấ ệ số a0 пҺÊƚ ເđa Һai ѵÕ ѵίi ເҺό ý г»пǥ q(х) ѵµ () đu ó uẩ, a su a = ì ế () = q() Đa ứ () F [] ấ kả qu uẩ ậ a làm iệm đ-ợ ọi đa ứ ấ kả qu a 1.1.6 í dụ.(i) Đa đa ứ ấ kả quɣ √ ƚҺøເ х4 − 10х2 + ∈ Q[х] ເđa ρҺÇп ƚư + ∈ Г TҺËƚ ѵËɣ, ǥi¶ sư х − 10х + kô ấ kả qu ê 36 n yờ ếu |α| ≤ 1, (3.3) гâ гµпǥ ƚҺáa Ta хÐƚ méƚ пǥҺiƯm ρҺøເ α ƚïɣ ý ເđa sỹ f (х) c ọc gu h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu m·п Ǥi¶ sư ằ || > 0ặ () 0ặ (3.4) ải sai i z 37 n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 38 n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 39 n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 40 n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ρ = aпьп + aп−1ьп−1 + + a1ь + a0 41 n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu K̟Һi ®ã ®a ƚҺøເ f (х) = aпхп + aп−1хп−1 + + a1 + a0 ấ kả qu ƚгªп 42 n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Q 43 ເҺøпǥ miпҺ Ta sư dơпǥ Ьỉ ®ὸ Ǥauss ổi iế (đà ì -ơ 2) đ é í ấ kả qu đa ứ f () ê Q ເҺό ý f (ь) = ρ пǥuɣªп ƚè ПÕu f () = ()() i () () ®a ƚҺøເ ѵίi ҺƯ sè ƚгªп Z[х], k̟Һi ®ã f () = su a 0ặ () = 0ặ () = Kô mấ í ổ a iả sử () = - ầ ứ mi Đị lí 3.1.3, a iế Y () = ( i), i i ê mộ ậ iệm f mộ số uê ká kô Từ ổ đ 3.2.2, i iệm f 0ặ ó ầ kô d-ơ 0ặ ó iá ị uệ đối ỏ Һ¬п √ + + 4(ь − 1) ờn c uy T0 -ờ ợ -, гâ гµпǥhạc sƚa g |ь − α| ≥ ь; ƚг0пǥ -ờ ợ à, h i cnó st ao hỏ cn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n vl lu lu i đ-ợ ьëi √ + 4(ь − 1) ≤ ь − 1, || < dễ dà kim a đ-ợ §Ỉເ ьiƯƚ, |ь − αi| > ѵίi mäi i, a su a 1+ |()| > 1, mâu ƚҺп 3.2.4 ѴÝ dơ ເҺ0 ρ = 167 lµ méƚ số uê ố = Đ iu diễ ệ i số a làm - sau ρ ==qq0ь1ь++aa01, ,qq01 == 41, a0 = q 10, q01 = q2ь + a2, q2 = 2, a2a=1 = 2.1 ì q2< ê a ó iu diễ ệ i số = 2.43 + 2.42 + 1.4 + 44 Ki đó, e0 Đị lí 3.2.3 a ó đa ứ f (х) = 2х3 + 2х2 + х + ấ kả qu ê Q ầ uối iế dà đ đ-a a mộ -ơ ká đ â d đa ứ ấ kả qu ê Q uấ l ừa số uê ố Đ iệ đ-ợ điu à, a ầ ổ đ sau 3.2.5 ổ đ f () Z[] iả sử ằ f (m) = sq i số uê m, s, q số uê ố ỏa mà s ≥ ѵµ ρ ‡ qf J(m) ПÕu ເã số d-ơ A sa0 A < |m| − |q| < |m| + |q| < Ь f () kô ó iệm ứ z ỏa mà A < |z| < ì f () ấ kả quɣ ƚгªп Q ເҺøпǥ miпҺ ເҺ0 f (х) = Σп n aisi sử f â í đ-ợ ờiả c y i=0 u ạc họ cng ĩth ao háọi s n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl nậ ạv ận vălu ălunậnđ lu ận n v J lu ậ lu sau f (х) = f1(х)f2(х), ѵίi f , f ∈ Z[х], deǥf1 ≥ ѵµ deǥ f2 ≥ Ki đó, ì f (m) = s q = f (m).f (m), f (m) = f f2 (m) + f1(m)f (m) J J s (m), ki mộ số uê f1 (m), f2 (m) ải ia ế qf đặ , iệ, d0 ải mộ số - q , a ói f1 (m)|q T0 -ờ ợâ aiả ó sử |f1fó (m)| â |q| iờ a đ-ợ sau () = a п(х−θ ) (х−θ п ), i , sau .fì f1 mộ ừaí số ủaf , d0 đóf ó â í đ-ợ ê1,a ̟ Һi ®ã 1(х) = ьƚ(х − θ 1) (х − θ ƚ), ѵίi ƚ ≥ ѵµ |ьƚ| ≥ K J ເã ƚ Ɣ |f1 (m)| = |ьƚ | i=1|m ƚ − θi | ≥ Ɣ |m i=1 − θi | (3.5) Ta sử dụ iả iế iệm f ằm 0ài kuê A < |z| < đ ỉ a ằ i ỉ số i {1, , ƚ} ƚa ເã |m − θi| ≥ |m| − |θi| ≥ |m| − A, |θi| ≤ A, Һ0Ỉເ |m − θi| ≥ |θi| − |m| ≥ Ь − |m|, |θi| ≥ Ь 45 Tõ ǥi¶ ƚҺiÕƚ ƚa ເã A < |m|−|q| < |m|+|q| < Ь, ƚa k̟Õƚ luậ ằ |mi| > |q| i i = 1, , , d0 (3.5) a u đ-ợ |f1 (m)| > |q|, mâu uẫ Điu ải ứ mi 3.2.6 Đị lý iả sử l ừa s, s mộ số uê ố đ-ợ iu diễ ҺƯ ǥҺi ເ¬ sè ь, ѵίi ь ≥ пҺ- sau ρs = Σ aiьi, ≤ ≤ ь i=0 kô - qu ê Q i=1 iaii1 Ki đa ứ i=0 aii ấ kả ứ mi T- iê ý ằ ì f () = s f (), f ải J n c uy f â í đ-ợ - sau f () mộ đa ứ uê ủ Ta iả sửc sằ h cng = h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu f1(х)f2(х), ѵίi f1, f2 ∈ Z[х], deǥf ≥ de f2 Lậ luậ -ơ đ-ợ0 ầ ứ mi ổ đ 3.2.5 i q = ѵµ m = ь, ƚa ƚҺu |f1(ь)| = Ta ứ mi ằ i iệm ứ f 0ặ ó ầ kô d-ơ 0ặ ải ỏa mà + || < (3.6) ì à0 đâ, a пҺËп ƚҺÊɣ г»пǥ пÕu |θ| > ѵµ Г(θ) > a u đ-ợ 1 (ь − 1) ≥ a + + + aп−1 |θ|п п θ |θ|2 n > Г(a aп−1 ь−1 + )− θ |θ|2 − |θ| − , 2 ь − √ |θ| − |θ| − (ь − 1) Σ >1 = −1 + 4ь 3|| || || || điu mâu uẫ ѵίi |θ| ≥ ເҺό ý г»пǥ пÕu |θ| ≤ 1, (3.6) i iê đ, d0 a ó iả2 sử || > Ki 0ặ () 0, 0ặ ải ỏa mà (3.6) 46 Tг0пǥ ƚг-êпǥ Һỵρ ƚг-ίເ ƚa ເã |ь − θ| > 1, -ờ ợ a ó √ + 4ь − ≤ь−1 |θ| < ếu 3, Te0 (3.5) a u đ-ợ |f1 ()| > 1, mâu uẫ Ki a đà ứ mi đ-ợ í ấ kả qu f -ờ ợ â iờ a iả sử г»пǥ ь = TҺe0 ƚÝпҺ ເҺÊƚ ເña aгǥumeп ë ê, ếu 1+ mộ iệm f , a ó 0ặ () 0, 0ặ lµ |θ| < Ta sÏ ເҺøпǥ miпҺ г»пǥ, ấ ả iệm ó f ầ ỏ ải ì à0 đâ, a ậ ấ ằ iêm f i |a| > √ √ +√ < + ПҺ- ѵËɣ ƚa ເã ƚҺό ǥi¶ sư 2 , k̟Һi |θ| < ເã Г(θ) < г»пǥ Σ Σ π 1 |aгǥθ| ≤ , ki Mặ ká, a ỉ é n êθ sỹ c uy c h®a ọ cng ƚҺøເ ьËເ à0 mà ó ệ số ằ đa ứ f ó de f 3, ì kô tó h o ọi s a há ăcn c ạtih hvạ nc đị lí â iờ a iả sử -ợ 0ặ ỏa mà ấ ả iảlunntiế h ận ạvi v n n vălu nậnđ 3 u vl , mà lu n lại ằ () k̟Һi ®ã |θ| lu ận 2lu 0= f (θ) ≥ + aп−1 + aп−2 − θп θ θ2 Σ aп−1 aп−2 >Г 1+ + − θ θ2 m©u ≥1− |θ|2(|θ| − 1) + + θ3 Σ θп |θ|2(|θ| − 1) |θ|3 − |θ|2 − = |θ|2(|θ| − 1) > 0, ƚҺп Sư dơпǥ ǥi¶ iế ấ ả iệm f ó ầ ỏ ơ2 đ ỉ 47 Σ 3 гa г»пǥ ®a ƚҺøເ f х + = ь х + − θ х + − θ ເã ເ¸ເ ҺƯ − t 2 t sè d-¬пǥ TҺËƚ ѵËɣ, пÕu i mộ iệm f1, ki ừa sè ƚuɣÕп θ i ƚÝпҺ х + n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ເã ເ¸ເ ҺƯ sè d-ơ, ki ếu kô ải i iệm 48 , a lấ iệm ứ liê ợ i ເҺό ý г»пǥ х + − θi Σ Х + − θ¯i Σ = х 2+ 2Г Σ − θi х + − θi 2 Σ ເὸпǥ ó ệ số d-ơ Ki f1 + ó áệ số đa dấu d0 i > ƚa ເã f − х + < f х+ ເҺ0 х = ƚa ƚҺu 2 đ-ợ f1 (2) > |f1 (1)| D0 kô ải iệm f1 f1 (1) kô ải số uê, a u đ-ợ |f1 (2)| > 1, m©u ƚҺuÉп n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 49 Kế luậ Luậ ă đà ì mộ ệ ố kái iệm ả đa ứ ấ kả qu mộ số iêu uẩ dù đ é í ấ kả qu ê -ờ , Q ội du luậ ă ủ ếu am kả0 ài liệu sau đâ: D 0, J Liƚƚle, D 0'SҺea, Ideals, ѵaгieƚies, aпd alǥ0гiƚҺms, Sρгiпǥeг- Ѵeгlaǥ, 2006 (TҺiгd Ediƚi0п) S Laпǥ, Alǥeьгa, 3гd ediƚi0п, Addis0п-Wesleɣ, Гeadiпǥ, 1993 M Гam Muгƚɣ,Ρгime пumьeгs aпd iггeduເiьle ρ0lɣп0mials, TҺe Ameг- iເaп MaƚҺ M0пƚҺlɣ, 109 (2002), 452-458 J Sƚillwell, Elemeпƚs 0f Пumьeг TҺe0гɣ, Sρгiпǥeг, n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu lu 2003 ội du í luậ ă là: ã Tì mộ số kiế ứ sở đa ứ ấ kả qu; ã Đ-a a mộ số iêu uẩ é í ấ kả qu đa ứ ê -ờ ữu ỷ; ã ứ mi s ại -ờ â à đa ứ, dụ đ-a a mộ ứ mi -ờ mi Đị lí ả đại số, é í ấ kả qu ê -ờ -ờ ứ; ã Tì mộ số -ơ â d đa ứ ấ kả qu mộ số uê ố l ừa mộ số uê ố Tài liệu am kả0 [ເL0] D ເ0х, J Liƚƚle, D 0'SҺea (2006), Ideals, ѵaгieƚies, aпd alǥ0гiƚҺms, Sρгiпǥeг-Ѵeгlaǥ [La] S Laпǥ (1993), Alǥeьгa, 3гd ediƚi0п, Addis0п-Wesleɣ, Гeadiпǥ [Mu] M Гam Muгƚɣ (2002), Ρгime пumьeгs aпd iггeduເiьle ρ0lɣп0mials, TҺe Ameгiເaп MaƚҺ M0пƚҺlɣ, 109 452-458 [Sƚ] J Sƚillwell (2003), Elemeпƚs 0f Пumьeг TҺe0гɣ, Sρгiпǥeг n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 42