(Luận văn) tứ giác newton, phương trình bậc ba liên kết và nghiệm hữu tỉ của chúng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - ĐINH XUÂN SÁNG lu an n va p ie gh tn to TỨ GIÁC NEWTON, PHƢƠNG TRÌNH BẬC BA LIÊN KẾT VÀ NGHIỆM HỮU TỈ CỦA CHÚNG w Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp d oa nl Mã số: 46 01 13 va an lu ll u nf LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z TS Ngô Thị Ngoan m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2019 n va ac th si i Mục lục lu an n va Lời cảm ơn Lời mở đầu Tứ giác Newton phương trình bậc ba liên kết 1.1 Bài toán mở đầu 1.2 Sáu phương pháp dẫn tới phương trình Newton 4 tn to p ie gh Nghiệm hữu tỉ phương trình Newton 2.1 Công thức nghiệm Barnett 2.2 Tìm nghiệm hữu tỉ phương pháp đại 2.3 Tương ứng song hữu tỉ hai cơng thức 2.4 Một số tính chất tập nghiệm 2.5 Về tứ giác Newton toán ngược d oa nl w số nghiệm 14 14 17 21 25 28 lu 32 Tài liệu tham khảo nf va an Kết luận 33 z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Lời cảm ơn lu Luận văn thực Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Ngơ Thị Ngoan Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn an n va p ie gh tn to Tác giả học tập nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho công tác nghiên cứu thân Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Tốn K12E2 (khóa 2018-2020); Nhà trường phịng chức Trường; Khoa Tốn – Tin, trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường oa nl w d Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Tốn K12E (khóa 2018–2020) ln động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập, nghiên cứu nf va an lu z at nh oi lm ul Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị công tác đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng năm 2019 z Tác giả gm @ Đinh Xuân Sáng m co l an Lu n va ac th si Mở đầu lu an n va p ie gh tn to “Làm câu hỏi hình học quy phương trình đại số” phần nội dung sách Universal Arithmetick Isaac Newton, viết năm 1720 Một vấn đề mà Newton xử lý vấn đề tìm đường kính đường trịn có tứ giác lồi nội tiếp biết độ dài cạnh a, b, c, cạnh thứ tư d đường kính Q trình giải vấn đề đưa ông đến mối qua hệ đại lượng a, b, c d Mối quan hệ gọi phương trình Newton
d3 − a2 + b2 + c2 d − 2abc = (1) d oa nl w Năm 1915, P Bachmann đưa phương pháp để tìm kiếm tất nghiệm nguyên dương phương trình Newton Vào tháng năm 1926, N Anning đưa bàn luận phương trình Newton hội nghị Toán học Bằng cách chia hai vế phương trình (1) cho d3 , N Anning đưa vấn đề tìm nghiệm phương trình (1) cách tìm nghiệm phương trình u2 + v + w2 + 2uvw − = (2) nf va an lu  (u, v, w) = z at nh oi lm ul Với công thức β + γ − α2 γ + α2 − β α2 + β − γ , , 2βγ 2γα 2αβ  , (3) z gm @ vô số nghiệm hữu tỉ tìm thấy ơng sử dụng mối quan hệ hài hòa số cosin góc hình tam giác m co l Năm 1955, I A Barnett xem xét phương trình (2) Ơng chứng minh tất nghiệm hữu tỉ đưa công thức (3) cho phép α, β γ chạy tất số nguyên khác không Phương pháp ông, sử dụng đại số tuyến tính túy mơ tả chi an Lu n va ac th si tiết Chương 2, mà không sử dụng công cụ lượng giác Việc nghiên cứu ơng hồn tồn độc lập mặt ý tưởng với Anning Năm 2004, gần M Hajja giải phương trình (2) việc dùng cosin góc tam giác Ông kết thúc trình giải phương trình (2) với kết xác giống Barnett M Hajja chứng minh nghiệm hữu tỉ phương trình (2) đưa công thức (3) với α, β, γ hạn chế độ dài cạnh tam giác nhọn lu an n va gh tn to Mục đích luận văn trình bày chi tiết phương pháp đưa
phương trình Newton d3 − a2 + b2 + c2 d − 2abc = (1); trình bày chi tiết chứng minh I A Barnett mô tả cách sử dụng đại số tuyến tính việc tìm tất nghiệm hữu tỉ phương trình u2 +v +w2 +2uvw −1 = (2); trình bày phương pháp đại số để tìm cơng thức tham số hóa cho nghiệm hữu tỉ phương trình (2) theo kết M Hajja J Sondow Luận văn cịn trình bày chi tiết tương ứng song hữu tỉ hai cơng thức nghiệm phương trình (2) thuộc tính nghiệm dương phương trình Newton đa thức đồng hành p ie Luận văn gồm hai chương Chương trình bày vấn đề hình bán nguyệt phương pháp đưa tới phương trình Newton kiến thức có liên quan trình chứng minh kết chương Chương nội dung luận văn Mục 2.1 trình bày cơng thức nghiệm Barnett Mục 2.2 trình bày phương pháp đại số tìm nghiệm hữu tỉ phương trình (2) Mục 2.3 trình bày tương ứng song hữu tỉ hai công thức nghiệm mục 2.1 mục 2.2 Mục 2.4 trình bày số tính chất tập nghiệm mục 2.5 trình bày toán ngược từ nghiệm phương trình Newton liệu có hay khơng tứ giác Newton tương ứng d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Tứ giác Newton phương trình bậc ba liên kết lu an n va p ie gh tn to Chương ta tìm hiểu hình bán nguyệt, vấn đề ba ví dụ cốt lõi mà Newton sử dụng để minh họa làm vấn đề hình học chuyển thành dạng đại số Ta tìm hiểu sáu phương pháp tiếp cận khác đưa phương trình Newton với đa thức Newton nl w Bài toán mở đầu d oa 1.1 lu nf va an Trong kì thi Olympic Tốn học Trung cấp Anh năm 2010 ’Maclaurin’ có câu hỏi sau: z at nh oi lm ul z m co l gm @ Hình an Lu Cho nửa đường trịn đường kính AD có chiều dài AD = Trên nửa đường trịn đó, lấy điểm B C , Hình 1, cho AB = BC = n va ac th si Tìm chiều dài đoạn CD Một ba lời giải toán gợi lại vấn đề trước Newton đề cập làm vấn đề hình học chuyển thành dạng đại số Vấn đề hình bán nguyệt lu an Hình Hình bán nguyệt n va p ie gh tn to Khi bắt tay vào giải đáp vấn đề hình bán nguyệt, Newton có quan sát thú vị rằng, cho a, d, c yêu cầu tìm b Rõ ràng không phức tạp, sử dụng d để vẽ đường trịn đường kính AD, sau dựng dây cung có độ dài a, c đường trịn để xác định vị trí B C Tuy nhiên, cho a, b, c u cầu tìm d, khơng thể bắt đầu q trình khơng thể vẽ vòng tròn ban đầu! Newton đưa sáu phương pháp suy phương trình bậc ba thể mối quan hệ a, b, c d với d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul Định nghĩa 1.1.1 Một tứ giác Newton tứ giác lồi nội tiếp đường tròn bên đường kính, với cạnh đường kính đường trịn z m co l gm @ an Lu Hình Tứ giác Newton n va ac th si Trong hình 3, đa giác ABCD tứ giác Newton với AD đường kính, độ dài cạnh đường chéo kí hiệu AB = a, BC = b, CD = c, DA = a, AC = z, BD = y Newton đưa mối quan hệ độ dài cạnh
gọi phương trình Newton d3 − a2 + b2 + c2 d − 2abc = 1.2 Sáu phương pháp dẫn tới phương trình Newton Phương pháp Tam giác đồng dạng I lu an n va p ie gh tn to oa nl w Hình Tam giác đồng dạng I d Hạ hình chiếu vng góc B E lên đường thẳng CD Ta có ABD CEB hai tam giác vuông đồng dạng dẫn tới p bp ab BD = d2 − a2 , CE = , BE = d − a2 d d nf va an lu lm ul z at nh oi Lại có CD = ED − EC dẫn tới √ CD = BD2 − BE − EC r ab b2 2 ⇔ c = d − a − (d − a2 ) − d d r b ab ⇔ d2 − a2 − (d2 − a2 ) = c + d d
b abc a2 b2 2 2 ⇔d −a − d −a =c +2 + d d d ⇔ d4 − a2 d2 − b2 d2 + a2 b2 = c2 d2 + 2abcd + a2 b z m co l gm @ an Lu ⇔ d4 − a2 d2 − b2 d2 − c2 d2 − 2abcd = 
 ⇔ d d3 − a2 + b2 + c2 d − 2abc = n va ac th si từ ta có phương trình Newton
d3 − a2 + b2 + c2 d − 2abc = Ngoài ra, từ BE = BC − CE = BD2 − DE tới phương trình Hồn tồn làm tương tự hạ DE vng góc từ D xuống BC hạ CE vng góc từ C xuống BD Phương pháp Quy tắc Cosin lu an n va p ie gh tn to w d oa nl Hình an lu Xét tam giác ABD, theo Định lý Pitago ta có nf va d2 − a2 = BD2 lm ul Xét tam giác BCD, theo Định lý Cosin ta có z at nh oi BD2 = b2 + c2 − 2bc cos (180o − θ) = b2 + c2 + 2bc cos θ Mà z a cosθ = d l gm @ Từ đó, với lưu ý d 6= ta có m co 2abc d ⇔ d3 − a2 d = b2 d + c2 d + 2abc ⇔ d3 − (a2 + b2 + c2 )d − 2abc = d2 − a2 = b2 + c2 + an Lu n va ac th si Bổ đề 1.2.1 (Định lý Ptoleme thuận) Nếu tứ giác nội tiếp đường trịn tích hai đường chéo tổng tích cặp cạnh đối diện Chứng minh Gọi ABCD tứ giác nội tiếp đường tròn lu an n va gh tn to p ie Hình nl w Trên cung nhỏ BC , ta có góc nội tiếp ∠BAC = ∠BDC, cung AB , ta có ∠ADB = ∠ACB d oa Lấy điểm K AC cho ∠ABK = ∠CBD; nf va an lu Từ ∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD suy ∠CBK = ∠ABD z at nh oi Suy ra: lm ul Do tam giác ABK đồng dạng với tam giác DBC , tương tự có tam giác ABD đồng dạng với tam giác KBC AK CD CK DA = ; = ; AB BD BC BD z Từ gm @ AK.BD = AB.CD, CK.BD = BC.DA; l Cộng hai đẳng thức theo vế tương ứng ta có m co AK.BD + CK.BD = AB.CD + BC.DA ⇔ AC.BD = AB.CD + BC.DA an Lu ⇔ (AK + CK) BD = AB.CD + BC.DA n va ac th si D1 = D2 =