THÔNG TIN TÀI LIỆU
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ MỴ lu an n va p ie gh tn to d oa nl w TỐN TỬ TUYẾN TÍNH ĐƠN ĐIỆU MẠNH VÀ PHƢƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH CHO BÀI TỐN ĐẶT KHƠNG CHỈNH ll u nf va an lu oi m LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2016 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ MỴ lu an n va TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH ĐƠN ĐIỆU MẠNH VÀ PHƢƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH CHO BÀI TỐN ĐẶT KHƠNG CHỈNH p ie gh tn to d oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC lu va an Chuyên ngành :Toán ứng dụng Mã số ll u nf : 60 46 01 12 oi m z at nh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: z TS Nguyễn Thị Thu Thủy TS Lâm Thùy Dƣơng m co l gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2016 ac th si i Mục lục lu an iii Bảng ký hiệu Lời nói đầu Chương Tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh n va Lời cảm ơn p ie gh tn to 1.1 1.1.1 Không gian Banach 1.1.2 Một số tính chất không gian Hilbert Tốn tử tuyến tính liên tục 16 1.2.1 16 d oa 1.2 nl w Không gian Banach Không gian Hilbert Ví dụ 17 va an Toán tử đơn điệu mạnh 18 1.3.1 Hàm lồi vi phân 18 1.3.2 Toán tử đơn điệu mạnh 22 oi lm ul nf 1.3 lu 1.2.2 Định nghĩa z at nh Chương Hiệu chỉnh phương trình tốn tử với tốn tử tuyến tính đơn điệu Phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh 25 2.1.1 Định nghĩa 25 2.1.2 Ví dụ 26 m co l gm Hiệu chỉnh phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh dựa tốn an Lu 2.2 @ 2.1 25 z mạnh tử tuyến tính đơn điệu mạnh 27 n va ac th si ii 2.3 2.2.1 Phương trình hiệu chỉnh 27 2.2.2 Sự tồn tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh 28 2.2.3 Sự hội tụ phương pháp hiệu chỉnh 31 2.2.4 Phương pháp lặp 35 Ví dụ 36 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si iii Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Thị Thu Thủy lu TS Lâm Thùy Dương Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu an sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, n va dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả gh tn to suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phịng Đào tạo, Ban chủ nhiệm p ie Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, w giảng viên tham gia giảng dạy cao học Toán trường Đại học Khoa học oa nl tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu d Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Tốn K8A (khóa nf va tập, nghiên cứu an lu 2014–2016) động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học oi lm ul Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị công tác đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt z at nh cho tơi q trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2016 z l gm @ Tác giả m co Nguyễn Thị Mỵ an Lu n va ac th si Bảng ký hiệu tập số thực H không gian Hilbert thực X không gian Banach X∗ không gian đối ngẫu X C tập đóng lồi H A tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert dom(A) miền hữu hiệu toán tử A Fix(S) tập điểm bất động ánh xạ S PC (x) phép chiếu mêtric điểm x tập C lu R an n va p ie gh tn to tích vơ hướng hai vectơ x y oa nl hàm C d δC (.) w hx, yi chuẩn vectơ x xn → x xn hội tụ mạnh đến x xn ⇀ x xn hội tụ yếu đến x I ánh xạ đơn vị H oi lm ul nf va an lu kxk z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Lời nói đầu Rất nhiều tốn thực tiễn, khoa học, công nghệ dẫn tới tốn đặt khơng chỉnh (ill-posed) theo nghĩa Hadamard, nghĩa toán (khi kiện thay đổi lu nhỏ) không tồn nghiệm, nghiệm không nhất, nghiệm an không phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu Do tính khơng ổn định n va tốn đặt khơng chỉnh nên việc giải số gặp khó khăn Lý giải Đề tài luận văn nghiên cứu tốn đặt khơng chỉnh dạng phương trình p ie gh tn to sai số nhỏ kiện tốn dẫn đến sai số lời oa nl w toán tử (1) d A(x) = f , an lu va A : X −→ X ∗ toán tử đơn điệu đơn trị từ không gian Banach ul nf phản xạ X vào không gian liên hợp X ∗ X Để giải loại toán này, ta phải oi lm sử dụng phương pháp ổn định, cho sai số kiện nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần với nghiệm toán xuất z at nh phát Năm 1963, A.N Tikhonov [5] đưa phương pháp hiệu chỉnh tiếng z kể từ lý thuyết tốn đặt không chỉnh phát triển sôi động gm @ có mặt hầu hết tốn thực tế Nội dung chủ yếu phương pháp xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình tốn tử (1) không gian l m co Hilbert thực H dựa việc tìm phần tử cực tiểu xαh,δ phiếm hàm Tikhonov Fαh,δ (x) = kAh (x) − fδ k2 + α kx∗ − xk2 an Lu (2) n va ac th si α > tham số hiệu chỉnh phụ thuộc vào h δ , x∗ phần tử cho trước đóng vai trị tiêu chuẩn chọn (Ah , fδ ) xấp xỉ (A, f ) Hai vấn đề cần giải tìm phần tử cực tiểu phiếm hàm Tikhonov δ chọn tham số hiệu chỉnh α = α (h, δ ) thích hợp để phần tử cực tiểu xh, α (h,δ ) dần tới nghiệm xác tốn (1) h δ dần tới khơng Việc tìm phần tử cực tiểu phiếm hàm Tikhonov gặp nhiều khó khăn trường hợp tốn phi tuyến Đối với lớp toán phi tuyến với toán tử đơn điệu A : X → X ∗ , F Browder [3] đưa dạng khác phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Tư tưởng chủ yếu phương pháp F Browder đề xuất sử dụng toán tử B : X → X ∗ có tính chất đơn điệu mạnh làm thành phần lu an hiệu chỉnh n va Mục đích đề tài luận văn nhằm trình bày lại phương pháp giải ổn định việc sử dụng tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh gh tn to (phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov) phương trình tốn đơn điệu với p ie báo "Regularization by linear operators" Giáo sư Nguyễn Bường cơng bố tạp chí Acta Mathematica Vietnamica nl w Nội dung đề tài trình bày hai chương Chương giới thiệu d oa số kiến thức tốn đặt khơng chỉnh phương trình tốn tử an lu đơn điệu Chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh phương trình toán tử với oi lm ul nf va toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh lu an Chương trình bày khái niệm số tính chất khơng gian va n Banach, không gian Hilbert thực; khái niệm tính chất tốn tử tuyến tính; tham khảo từ tài liệu [1] [2] p ie gh tn to toán tử đơn điệu mạnh số ví dụ minh họa Các kiến thức chương Không gian Banach Không gian Hilbert nl w 1.1 d oa Mục giới thiệu khái niệm số tính chất khơng gian Banach, khơng Khơng gian Banach oi lm ul nf 1.1.1 va an lu gian Hilbert ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Định nghĩa 1.1.1 Khơng gian định chuẩn khơng gian tuyến tính X điều kiện sau: z at nh ứng với phần tử x ∈ X ta có số kxk gọi chuẩn x, thỏa mãn z gm @ (1) kxk > với x 6= 0; kxk = ⇔ x = 0; (3) kα xk = |α |kxk với x ∈ X, α ∈ R m co l (2) kx + yk ≤ kxk + kyk với x, y ∈ X (bất đẳng thức tam giác); an Lu Không gian định chuẩn đầy đủ gọi không gian Banach n va ac th si Định nghĩa 1.1.2 Không gian L(X, R)-tập tất phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định X gọi không gian liên hợp hay không gian đối ngẫu X, ký hiệu X ∗ Định nghĩa 1.1.3 Giả sử X không gian định chuẩn R, X ∗ không gian liên hợp X gọi X ∗∗ = L(X ∗ , R) không gian liên hợp thứ hai X Ta cho tương ứng với x ∈ X phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗∗ X ∗∗ nhờ hệ thức hx∗∗ , f i = h f , xi, với f ∈ X ∗∗ Ở h f , xi ký hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục f ∈ X ∗ x ∈ X Ta có kxk = kx∗∗ k Đặt h(x) = x∗∗ , h : X −→ X ∗∗ toàn ánh khơng gian X gọi khơng gian phản xạ lu an Ví dụ 1.1.4 Các khơng gian vectơ định chuẩn hữu hạn chiều, không gian l p , n va L p [a, b], < p < ∞ không gian Banach phản xạ tương đương: ie gh tn to Định lý 1.1.5 Cho X khơng gian Banach Khi đó, khẳng định sau p (i) X không gian phản xạ; w oa nl (ii) Mọi dãy bị chặn X có dãy hội tụ yếu d Ký hiệu SX := {x ∈ X : kxk = 1} mặt cầu đơn vị không gian Banach va an lu X oi lm x, y ∈ SX , x 6= y, suy ul nf Định nghĩa 1.1.6 Không gian Banach X gọi lồi chặt với điểm z at nh k(1 − λ )x + λ yk < ∀λ ∈ (0, 1) z x, y ∈ SX : kxk = kyk = k x+y k, x = y m co l gm @ Điều có nghĩa mặt cầu đơn vị SX không chứa đoạn thẳng Điều x+y có nghĩa trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm x, y phân biệt mặt cầu đơn vị khơng nằm mặt cầu đơn vị Nói cách khác an Lu n va ac th si Zt !2 |x(s)|ds = kxk2 , ≤ Z1 |x(s)|2 ds ∀s ∈ [0, 1] Do Ax ∈ L2 [0, 1] tốn tử A bị chặn lu Dễ thấy A toán tử tuyến tính Do đó, A liên tục an n va Ví dụ 1.2.8 Cho H khơng gian Hilbert, A : H −→ H toán tử tuyến gh tn to tính thỏa mãn điều kiện x, y ∈ H, p ie hAx, yi = hx, Ayi với Toán tử đơn điệu mạnh d an lu 1.3 oa nl w A tốn tử liên tục nf va Mục trình bày khái niệm hàm lồi, vi phân hàm lồi, khái niệm Hàm lồi vi phân z at nh 1.3.1 oi lm ul ví dụ tốn tử đơn điệu mạnh Định nghĩa 1.3.1 Cho H không gian Hilbert thực, C ⊂ H f : C → R ∪ z gm @ {−∞, +∞} Ta có định nghĩa sau m co l (i) Trên đồ thị (epigraph) hàm f , ký hiệu epi( f ), định nghĩa bởi: an Lu epi( f ) = (x, r) ∈ C × R : f (x) ≤ r n va ac th si 19 (ii) Hàm f gọi hàm lồi epi( f ) tập lồi H × R Hàm f gọi hàm lõm − f hàm lồi (iii) Miền hữu dụng (miền xác định) hàm f ký hiệu dom( f ) định nghĩa là: dom( f ) := x ∈ C : f (x) < +∞ (iv) Hàm f xác định H gọi dương (positively homogeneous), với x ∈ H với λ ∈ (0, +∞) ta có: f (λ x) = λ f (x) lu an n va Ví dụ 1.3.2 Hàm f (x) = |x| với x ∈ R hàm lồi (−∞, +∞] Khi đó, hàm f lồi C khi: p ie gh tn to Định lý 1.3.3 Giả sử C tập lồi, khác rỗng không gian H, hàm f : C → ∀λ ∈ [0, 1] ∀x, y ∈ C nl w f (λ x + (1 − λ )y) ≤ λ f (x) + (1 − λ ) f (y) d oa Định nghĩa 1.3.4 Hàm f gọi thường (proper) f thỏa mãn (i) dom( f ) 6= 0; nf va an lu hai điều kiện sau: oi lm ul (ii) f (x) > −∞ với x ∈ C Mệnh đề 1.3.5 Hàm dương f : H → (−∞, +∞] lồi z at nh với x, y ∈ H ta ln có: z gm @ f (x + y) ≤ f (x) + f (y) an Lu f (x) ≤ f (x) + ε , m co ε > tồn δ > cho l Định nghĩa 1.3.6 Hàm f : D −→ R gọi nửa liên tục x ∈ D với ∀x ∈ D, kx − xk < δ n va ac th si 20 Hàm f gọi nửa liên tục D f nửa liên tục điểm x ∈ D Định nghĩa 1.3.7 Cho f hàm lồi thường H, phiếm hàm (vectơ) x∗ ∈ H gọi gradient f x nếu: f (x) − f (x) ≥ hx∗ , x − x i với x ∈ H Tập tất gradient f x gọi vi phân f x Ký hiệu ∂ f (x) Như vậy: n o ∂ f (x) = x ∈ H : f (x) − f (x) ≥ hx , x − xi với x ∈ H ∗ ∗ lu an n va / Hàm f gọi khả vi phân x ∂ f (x) 6= tn to Ví dụ 1.3.8 Cho C tập lồi khác rỗng H Xét hàm tập C: p ie gh 0 δC (x) := +∞ nl w x ∈ / C d oa Khi x0 ∈ C x ∈ C lu o ∀x ∈ C nf va an n ∂ δC (x0 ) = x∗ ∈ H : hx∗ , x − x0 i ≤ δC (x) oi lm ul Với x ∈ / C δC (x) = +∞ nên bất đẳng thức hx∗ , x − x0i ≤ δC (x) ln Do z at nh n ∂ δC (x0 ) = x∗ ∈ H : hx∗ , x − x0 i ≤ 0, ∀x ∈ C = NC (x0 ), z nón pháp tuyến C x0 o @ gm Ví dụ 1.3.9 Cho f : H → R hàm lồi dương ∀x ∈ C an Lu hz, x − xi ≤ f (x) − f (x) m co Thật vậy, z ∈ ∂ f (x) ∀x ∈ C l Nếu z ∈ ∂ f (x) hz, xi = f (x) hz, xi ≤ f (x) (1.8) n va ac th si 21 Thay x = 2x vào (1.8) ta có (1.9) hz, xi ≤ f (2x) − f (x) = f (x) Còn thay x = vào (1.8) ta có −hz, xi ≤ − f (x) (1.10) hz, xi = f (x) (1.11) hz, x − xi = hz, xi − hz, xi = hz, xi − f (x) (1.12) Kết hợp (1.9) (1.10) suy lu an n va Hơn nữa, p ie gh tn to Do đó, ∀x ∈ C oa nl w hz, xi ≤ f (x) d Nhận xét 1.3.10 Nếu f hàm lồi dương thỏa mãn oi lm ul nf va an lu f (−x) = f (x) ≥ ∀x ∈ C, z at nh hz, xi ≤ f (x) ∀x ∈ C z ⇔ |hz, xi| ≤ f (x) ∀x ∈ C gm @ l Định nghĩa 1.3.11 Hàm f : Rn −→ Rm gọi khả vi Gâteaux x m co tồn ma trận M cấp m × n cho với u ∈ Rn ta có t→0 f (x + tu) − f (x) = M(u) t an Lu lim n va ac th si 22 Khi M gọi đạo hàm Gâteaux hàm f x Chú ý 1.3.12 Nếu hàm lồi f khả vi Gâteaux f khả vi phân Ngược lại, hàm lồi f khả vi phân điểm x0 vi phân gồm điểm f khả vi Gâteaux đạo hàm Gâteaux x0 trùng với vi phân 1.3.2 Tốn tử đơn điệu mạnh Cho H khơng gian Hilbert thực, A : H → 2H ánh xạ Ký hiệu đồ thị toán tử A G(A) := {(x, Ax) : x ∈ H} lu an Định nghĩa 1.3.13 Cho H không gian Hilbert Toán tử A : H → 2H n va gọi ie gh tn to (i) đơn điệu với (x, u) (y, v) thuộc đồ thị G(A) A ta ln có (1.13) p hu − v, x − yi ≥ w d oa nl Trong trường hợp toán tử A đơn trị ta có va an lu (1.14) hAx − Ay, x − yi ≥ ∀x, y ∈ D(A) oi lm ul nf (ii) η -đơn điệu mạnh C, tồn số η dương cho hA(x) − A(y), x − yi ≥ η ||x − y||2 z at nh ∀x, y ∈ C z Ví dụ 1.3.14 Cho f : H → R ∪ {+∞} hàm lồi, thường Ánh xạ vi gm @ phân ∂ f : H → 2H f toán tử đơn điệu dom(∂ f ) m co l Thật vậy, với x, y ∈ dom(∂ f ), u ∈ ∂ f (x), v ∈ ∂ f (y) ta có ∀y ∈ H, v ∈ ∂ f (x) ⇔ hv, x − yi ≤ f (x) − f (y) ∀y ∈ H (1.15) an Lu u ∈ ∂ f (x) ⇔ hu, y − xi ≤ f (y) − f (x) (1.16) n va ac th si 23 Cộng vế (1.15) (1.16) ta có hv, x − yi − hu, x − yi ≤ ⇔ hu − v, x − yi ≥ Hay ∂ f toán tử đơn điệu Định nghĩa 1.3.15 Một toán tử đơn điệu A : H −→ 2H gọi đơn điệu cực đại đồ thị G(A) khơng thực chứa đồ thị toán tử đơn điệu khác H lu Ví dụ 1.3.16 Cho f : H → R hàm lồi thường nửa liên tục an n va Khi đó, tốn tử vi phân to ie gh tn n o ∗ ∗ ∂ f (x) = x ∈ H : f (y) − f (x) ≥ hy − x, x i ∀y ∈ H p toán tử đơn điệu cực đại d oa nl w Ví dụ 1.3.17 Ánh xạ T : R −→ 2R xác định sau: x > x = nf va an lu T (x) = [0, 1] −x2 oi lm ul x < z z at nh toán tử đơn điệu cực đại Thật vậy, với M(x, y) ∈ / G(T ) ta ln tìm −−→ −−→ điểm M0 (x0 , y0 ) ∈ G(T ) cho góc OM OM0 góc tù Nghĩa m co l Vậy T toán tử đơn điệu cực đại gm @ −−→ −−→ h(x, y), (x0 , y0 )i = OM.OM0 < Định lý 1.3.18 (Định lý Minty) Cho A toán tử đơn điệu từ H đến 2H an Lu Khi A gọi đơn điệu cực đại ran(I + λ A) = H với n va ac th si 24 λ > 0, ran(I + λ A) miền ảnh toán tử I + λ A I toán tử đồng H Cho H khơng gian Hilbert thực, tốn tử A : H → 2H đơn điệu cực đại, tốn bao hàm thức đơn điệu cực đại phát biểu sau Tìm phần tử z ∈ H (1.17) cho ∈ A(z) Nếu toán tử A đơn trị (1.17) tốn giải phương trình A(z) = Nếu tốn tử A tốn tử đa trị (1.17) tốn tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại A Về mặt hình thức tốn đơn giản, nhiên bao lu hàm nhiều lớp toán quan trọng khác thuộc nhiều lĩnh vực toán an va cực tiểu hàm lồi, toán bất đẳng thức biến phân, toán bù, toán điểm n bất động p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 25 Chương Hiệu chỉnh phương trình tốn tử với tốn lu tử tuyến tính đơn điệu mạnh an n va chỉnh; phương pháp hiệu chỉnh phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh với thành ie gh tn to Chương trình bày khái niệm ví dụ phương trình tốn tử đặt khơng p phần hiệu chỉnh tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh Các kiến thức chương Phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh d 2.1 oa nl w tham khảo từ tài liệu [1] báo [4] Định nghĩa oi lm Xét phương trình tốn tử: ul nf va an lu 2.1.1 (2.1) A(x) = f , z at nh A : X → Y toán tử từ không gian Banach X vào không gian z Banach Y , f phần tử thuộc Y Sau định nghĩa Hadamard @ gm Định nghĩa 2.1.1 Cho A tốn tử từ khơng gian Banach X vào không m co l gian Banach Y Bài toán (2.1) gọi toán đặt chỉnh (well-posed) (1) phương trình A(x) = f có nghiệm với f ∈ Y ; an Lu (2) nghiệm nhất; n va ac th si 26 (3) nghiệm phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu Nếu điều kiện khơng thỏa mãn tốn (2.1) gọi tốn đặt khơng chỉnh (ill-posed) 2.1.2 Ví dụ Ví dụ 2.1.2 Xét phương trình tốn tử (2.1) với A ma trận vuông cấp M = xác định lu 2 2 2 2, 001 2 A= 2 2, 001 2 2, 001 an n va gh tn to vế phải T f = 8, 001 8, 001 8, 001 ∈ R4 p ie oa nl w Ta thấy phương trình A(x) = f có nghiệm d T x = 1 1 ∈ R4 nf va an lu Nếu oi lm ul 2 2 2 2, 001 2 A = Ah1 2 2, 001 2 2 z at nh z @ vế phải m co l gm T f = fδ1 = 8, 001 8, 001 ∈ R4 an Lu n va ac th si 27 Khi đó, ta thấy phương trình A(x) = f có vơ số nghiệm Nếu 2 A = Ah1 = 2 vế phải 2 2, 001 2 2, 001 2 2 T f = 8, 001 8, 001 8, 001 ∈ R4 Khi phương trình A(x) = f vơ nghiệm lu Như ta thấy cần thay đổi nhỏ kiện ban đầu dẫn đến an va thay đổi lớn nghiệm Vậy toán cho toán đặt khơng chỉnh n Vì tính khơng nghiệm tốn đặt khơng chỉnh nên người gh tn to ta thường có tiêu chuẩn cho lựa chọn nghiệm Ta sử dụng nghiệm x0 p ie cho x0 − x∗ có chuẩn nhỏ nhất, nghĩa ta tìm nghiệm x0 ∈ S thỏa mãn d oa nl w A(x0 ) = f , va an lu kx0 − x∗ k = min{kx − x∗ k : Ax = f }, ul nf S tập nghiệm tốn (2.1), giả thiết khác rỗng Bằng oi lm cách chọn x∗ ta có nghiệm mà ta muốn xấp xỉ z at nh 2.2 Hiệu chỉnh phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh dựa z tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh Phương trình hiệu chỉnh l gm @ 2.2.1 m co Cho X không gian Banach phản xạ thực X ∗ không gian liên hợp an Lu X, hai có chuẩn ký hiệu k.k Ta viết hx∗ , xi thay cho x∗ (x) với x∗ ∈ X ∗ x ∈ X Cho A toán tử đơn điệu, liên tục bị chặn với miền xác n va ac th si 28 định D(A) = X miền giá trị R(A) ⊆ X ∗ f0 phần tử cố định R(A) Nếu thêm điều kiện đặt lên tốn tử A, chẳng hạn tính đồng bức, đơn điệu mạnh tốn (2.2) A(x) = f0 nói chung tốn đặt khơng chỉnh Điều có nghĩa nghiệm (2.2) không phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu A f0 Ta xét phương trình hiệu chỉnh A(x) + α J(x) = fδ , (2.3) đó, J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc X, α > tham số hiệu chỉnh lu an fδ xấp xỉ f thỏa mãn điều kiện va n k fδ − f k ≤ δ (2.4) Định lý 2.2.1 Phương trình (2.3), với α > có nghiệm xαδ xαδ ie gh tn to δ → p hội tụ tới nghiệm (2.2) δ /α → w Sự tồn tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh d oa nl 2.2.2 va an lu Định nghĩa 2.2.2 Toán tử B : X → X ∗ gọi toán tử đơn điệu mạnh với mB > 0, x ∈ D(B) oi lm ul nf hBx, xi ≥ mB kxk2 , Ví dụ 2.2.3 Cho Ω tập bị chặn, mở đo Rn với biên trơn ΓΩ l gm 1≤kBk≤2m ¯ (Ω ¯ = Ω ∪ ΓΩ) aβ Dβ u, aβ (x) ∈ C(Ω); @ ∑ z τu = z at nh Đặt τ u toán tử vi phân phần m co kBk chuẩn B Rn Cho V tập đóng chuẩn không an Lu n va ac th si 29 gian Wq2m tất hàm từ C2m (Ω) thỏa mãn điều kiện: Dr u(x) = 0, q > n − 2m ≤ q > x ∈ ΓΩ, ≤ |r| ≤ m − 2n n − 2m > Khi đó, n + 2m hBu, ui ≥ mBkuk2 , ∀u ∈ V, mB > 0, p−1 + q−1 = đó, Bu = ru, D(B) = V Ví dụ 2.2.4 Khơng gian véctơ định chuẩn Y gọi đơn ánh tồn lu an không gian Hilbert H cho Y ֒→ H đơn ánh tự nhiên ֒→ trù mật liên n va tục gian Hilbert H cho gh tn to Nếu X không gian Banach phản xạ với X ∗ đơn ánh tồn khơng p ie X ∗ ֒→ H ֒→ X d oa nl w đó, đơn ánh trù mật liên tục Trong H ta tìm tốn tử tuyến tính Bˆ cho: ∀ϕ ∈ H, mBˆ > nf va an lu mBˆ kϕ k2∗ ≥ hBˆ ϕ , ϕ i ≥ MBˆ kϕ k∗ , oi lm ul ˆ X ∗ ) B = Bˆ −1 D(B) ֒→ H Ta có: Đặt D(B) = R(B| ∀ϕ ∈ D(B) z at nh hBϕ , ϕ i ≤ mB kϕ k2 , z H nhúng liên tục X Nó biết đến R(B) = X ∗ Vì B đơn điệu cực đại m co l gm @ B−1 trù mật X ∗ liên tục Vì B−1 đơn điệu cực đại Vì vậy, an Lu n va ac th si 30 Ví dụ 2.2.5 Đặt W˜ pm (Ω) không gian Sobolev với chuẩn: kϕ kW˜ pm (Ω) = ∑ kD α |a|≥m 1 ϕ k2L p (Ω) , < p < Từ Lq (Ω) ֒→ L2 (Ω) ֒→ L p (Ω), kϕ kL2 (Ω) , c0 số xác định dương, với ϕ ∈ W˜ 2m (Ω) ta có: kϕ kW˜ m (Ω) ≤ c0 kϕ kW˜ pm (Ω) lu W˜ pm (Ω)∗ ֒→ W˜ 2m (Ω) ֒→ W˜ pm (Ω) Do đó, chọn toán tử B cách an n va Tiếp theo ta chứng minh kết sau toán tử B với tính chất ie gh tn to Định lý 2.2.6 Nếu X không gian Banach phản xạ tách được, tồn p Chứng minh Đầu tiên, ta chứng minh tồn không gian Hilbert H cho w H ֒→ X Thật vậy, cho ϕ˜ j đếm trù mật tập X phần tử oa nl độc lập tuyến tính Đặt ϕ j = ϕ˜ j /kϕ˜ j k Đặt H0 tập tất tổ hợp tuyến tính d ϕ j Thì H0 ⊂ X H0 khơng gian tuyến tính Trong H0 ta có cấu trúc tích lu an vơ hướng: oi lm ul nf va π2 ∞ hϕ , ψ i = ak bk k2 , ∑ k=1 ∞ ∑ akϕk , ψ = ∑ bk ϕk k=1 z at nh ϕ= ∞ k=1 z Ta biết ak bk có hữu hạn phần tử khác phần tử khơng Ta có: k=1 ∞ ∑k k=1 −2 −1/2 ∞ ∑ k |ak | 2 k=1 m co k=1 |ak |k ≤ l ∑ |ak | = ∑ k −1 gm ∞ @ kϕ k ≤ ∞ 1/2 := kϕ k1 an Lu Nói cách khác, H0 liên tục nhúng X Vì vậy, phần bù H chuẩn k.k1 liên tục nhúng X X ∗ ⊂ H ∗ n va ac th si
Ngày đăng: 24/07/2023, 09:47
Xem thêm: