(Luận văn) phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử trong không gian banach

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC o0o H€ V‹N DÜ lu an n va p ie gh tn to d oa nl w PH×ÌNG PHP HI›U CHNH H PHìèNG TRNH TON T TRONG KHặNG GIAN BANACH nf va an lu lm ul z at nh oi LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC z m co l gm @ an Lu THI NGUY–N, 10/2018 n va ac th si „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC o0o H€ V‹N DÜ lu PH×ÌNG PHP HI›U CHNH H PHìèNG TRNH TON T TRONG KHặNG GIAN BANACH an n va ie gh tn to p Chuy¶n ng nh: To¡n ùng dưng M¢ sè: 8460112 oa nl w d LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC nf va an lu lm ul GIO VIN HìẻNG DN z at nh oi z @ m co l gm PGS.TS NGUY™N THÀ THU THÕY an Lu THI NGUY–N, 10/2018 n va ac th si iii Mửc lửc BÊng kỵ hiằu M Ưu lu an Chữỡng Bi toĂn t khỉng ch¿nh v  ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh BrowderTikhonov n va p ie gh tn to 1.1 B i to¡n °t khæng ch¿nh 1.1.1 Khæng gian Banach 1.1.2 To¡n tû khæng gian Banach 1.1.3 B i to¡n °t khæng ch¿nh 15 1.1.4 V½ dư v· b i to¡n °t khæng ch¿nh 16 nl w Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh 17 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh BrowderTikhonov 19 nf va an 1.2.2 To¡n tû hi»u ch¿nh 17 lu 1.2.1 d oa 1.2 2.1 Hằ phữỡng trẳnh toĂn tỷ t khổng chnh 21 2.1.1 Hằ phữỡng trẳnh toĂn tỷ 21 2.1.2 Mët sè b i to¡n li¶n quan 22 z Hi»u ch¿nh h» ph÷ìng trẳnh toĂn tỷ ngữủc ỡn iằu mÔnh 24 gm @ 2.2 z at nh oi lm ul Ch÷ìng Hi»u chnh hằ phữỡng trẳnh toĂn tỷ ngữủc ỡn iằu mÔnh 21 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh 24 2.2.2 Sỹ hởi tử cừa phữỡng phĂp 2.2.3 XĐp x hỳu hÔn chiÃu 28 l 2.2.1 m co 25 an Lu n va ac th si iv K¸t luªn 35 T i li»u tham kh£o 36 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si BÊng kỵ hiằu an n va X khæng gian Banach X∗ khæng gian èi ngău cừa X SX mt cƯu ỡn v cừa X R tªp c¡c sè thüc Rn khỉng gian Euclid n chi·u ∀x vỵi måi x D(A) mi·n x¡c ành cõa to¡n tû A R(A) mi·n £nh cõa to¡n tû A A−1 to¡n tû ng÷đc cõa to¡n tû A I to¡n tỷ ỗng nhĐt ie gh tn to khổng gian Hilbert thỹc p lu H nl w têp tĐt cÊ cĂc toĂn tỷ tuyán tẵnh liản tửc tứ d oa L(X, Y ) C[a, b] khỉng gian c¡c h m li¶n tửc trản oÔn [a, b] nf va lp an lu khæng gian Banach X v o khæng gian Banach Y khæng gian cĂc dÂy số khÊ tờng bêc p khổng gian cĂc hm khÊ tẵch bêc p trản oÔn [a, b] d(x, C) khoÊng cĂch tứ phƯn tỷ x án têp hủp C lim supn xn giợi hÔn trản cừa dÂy số {xn } lim inf n xn giợi hÔn dữợi cõa d¢y sè {xn } xn → x0 d¢y {xn } hởi tử mÔnh và x0 xn * x0 dÂy {xn } hởi tử yáu và x0 Js Ănh xÔ ối ngău tờng quĂt J Ănh xÔ ối ngău chuân tưc Fix(T ) têp im bĐt ởng cừa Ănh xÔ T z at nh oi lm ul Lp [a, b] z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mð ¦u Kh¡i ni»m b i to¡n °t khỉng ch¿nh ÷đc nh  To¡n håc Jacques Hadamard ngữới PhĂp ữa vo nôm 1932 nghiản cựu Ênh hững cừa bi toĂn giĂ tr biản vợi phữỡng trẳnh vi phƠn ặng l ngữới  ch lu nhúng b i to¡n khæng ên ành l  "b i to¡n °t khæng ch¿nh" (xem an va wikipedia.org/wiki/Jacques Hadamard) n X²t b i toĂn ngữủc: tẳm mởt Ôi lữủng vêt lỵ x X chữa biát tứ Banach, N Trản thỹc tá, cĂc dỳ kiằn ny thữớng khổng ữủc biát ie gh tn to bë dú ki»n (f0 , f1 , , fN ) ∈ Y N +1 , ð ¥y X v  Y l  c¡c khỉng gian p chẵnh xĂc, m ch ữủc biát xĐp x bi fiδ ∈ Y thäa m¢n (1) i = 0, 1, , N, oa nl w kfiδ − fi k ≤ δi , d vỵi δi > (sai số cho trữợc) Bở hỳu hÔn dỳ kiằn fiδ ∈ Y , i = 0, 1, , N lu an nhên ữủc bơng viằc o Ôc trỹc tiáp trản cĂc tham số Bi toĂn ny nf va ữủc mổ hẳnh hõa toĂn hồc bi lm ul to¡n tû Ai t÷ìng ùng z at nh oi Ai (x) = fi , i = 0, 1, , N, (2)
ð ¥y Ai : D(Ai ) ⊆ X → Y v  D(Ai ) l  kỵ hiằu miÃn xĂc nh cừa z Bi toĂn (2), nâi chung, l  mët b i to¡n °t khæng ch¿nh theo nghắa @ gm nghiằm khổng nhĐt v nghiằm cừa b i to¡n khỉng phư thc li¶n l tưc v o dỳ kiằn ban Ưu Do õ, ngữới ta phÊi sỷ dưng c¡c ph÷ìng ph¡p m co gi£i ên ành b i to¡n n y Mët c¡c ph÷ìng ph¡p ÷đc sû dưng an Lu khĂ rởng rÂi v hiằu quÊ l phữỡng phĂp hiằu chnh Tikhonov Mửc tiảu cừa luên vôn l trẳnh by phữỡng phĂp hiằu chnh Tikhonov n va ac th si hiằu chnh hằ phữỡng trẳnh toĂn tỷ (2) trữớng hủp toĂn tỷ A0 ỡn iằu, hemi-liản töc, cán c¡c to¡n tû Ai , i = 1, , N cõ tẵnh chĐt ngữủc ỡn iằu mÔnh khổng gian Banach thỹc phÊn xÔ X b i b¡o [9] cỉng bè n«m 2018 Nëi dung cừa luên vôn ữủc trẳnh by hai chữỡng Chữỡng giỵi thi»u kh¡i ni»m v· khỉng gian Banach, to¡n tỷ ỡn iằu, ỡn iằu cỹc Ôi, toĂn tỷ liản tưc, kh£ vi Fr²chet khỉng gian Banach cịng mët số tẵnh chĐt; nh nghắa v vẵ dử và bi toĂn ngữủc t khổng chnh; trẳnh by phữỡng phĂp hiằu chnh BrowderTikhonov hiằu chnh phữỡng trẳnh toĂn tỷ ỡn iằu Chữỡng giợi thiằu và hằ phữỡng trẳnh lu toĂn tỷ t khổng chnh, trẳnh by phữỡng phĂp hiằu chnh hằ phữỡng an va trẳnh toĂn tỷ ngữủc ỡn iằu mÔnh v xĐp x hỳu hÔn chiÃu nghiằm n nghiằm chnh khổng gian Banach cĂc nh lỵ hởi tử mÔnh gh tn to Luên vôn ữủc hon thnh tÔi Trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc p ie ThĂi Nguyản Trong quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn ny, Trữớng w Ôi hồc Khoa hồc  tÔo mồi iÃu kiằn tốt nhĐt  tĂc giÊ hồc têp, oa nl nghiản cựu TĂc giÊ xin ữủc by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh án cĂc d thƯy, cổ khoa ToĂn - Tin, Trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi lu an hồc ThĂi Nguyản c biằt, tĂc giÊ xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi nf va PGS.TS Nguyạn Th Thu Thừy - Ngữới  tên tẳnh hữợng dăn tĂc lm ul giÊ hon thnh luên vôn ny TĂc giÊ cụng xin ữủc gỷi lới cÊm ỡn tợi z at nh oi Ban giĂm hiằu Trữớng PTDTBT THCS Trung H, x Trung H, huyằn Chiảm Hõa, tnh Tuyản Quang  luổn tÔo iÃu kiằn tốt nhĐt cho tĂc giÊ hon thnh khõa hồc ChƠn thnh cÊm ỡn gia ẳnh, ỗng nghiằp, z bÔn b  luổn cờ vụ, ởng viản tĂc giÊ suốt quĂ trẳnh hồc têp v l gm @ nghi¶n cùu./ m co Th¡i Nguy¶n, th¡ng 10 nôm 2018 an Lu TĂc giÊ luên vôn H Vôn Dü n va ac th si Ch÷ìng B i to¡n °t khỉng ch¿nh v  ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh lu BrowderTikhonov an n va gh tn to Chữỡng ny giợi thi»u v· b i to¡n °t khæng ch¿nh khæng gian p ie Banach; trẳnh by vẵ dử và bi toĂn °t khỉng ch¿nh v  ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh BrowderTikhonov hi»u ch¿nh b i to¡n n y Nëi dung cõa oa nl w ch÷ìng ÷đc têng hđp tø c¡c t i li»u [1], [3], [4] v  [5] d 1.1 B i to¡n °t khæng ch¿nh nf va an lu Mưc n y tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc v·: khỉng gian Banach, b i to¡n 1.1.1 z at nh oi lm ul ng÷đc °t khỉng ch¿nh v  vẵ dử và bi toĂn ngữủc t khổng chnh Khổng gian Banach Trữợc hát ta nhưc lÔi mởt số khĂi ni»m v· khỉng gian ành chu©n v  z gm @ khỉng gian Banach (xem [3]) l ành ngh¾a 1.1.1 Cho X l mởt khổng gian tuyán tẵnh trản trữớng sè m an Lu m¢n c¡c i·u ki»n sau: co thỹc R nh xÔ k.k : X R ữủc gồi l mởt chuân trản X náu nõ thọa (i) ||x|| ≥ vỵi måi x ∈ X ; ||x|| = v  ch¿ x = 0; n va ac th si (ii) ||kx|| = |k|||x|| vỵi måi x ∈ X , vỵi måi k ∈ R; (iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| vỵi måi x, y X Khổng gian tuyán tẵnh X vợi chuân k.k xĂc nh nhữ trản ữủc gồi l khổng gian nh chuân, kỵ hiằu l (X, ||.||) nh nghắa 1.1.2 DÂy {xn } khổng gian nh chuân X ữủc gồi l hởi tử yáu tợi phƯn tỷ x0 X , kỵ hiằu l xn * x0 , náu vợi mồi f X , khổng gian li¶n hđp cõa X , ta câ f (xn ) → f (x0 ) n → ∞ Nhªn xt 1.1.3 Mởt dÂy hởi tử mÔnh thẳ hởi tử yáu, iÃu ngữủc lÔi khổng úng Vẵ dử, khổng gian Hilbert l2 ta lĐy dÂy lu (e1 , e2 , , en , ) cho an n va   1, i = j hei , ej i =  0, i 6= j ie gh tn to Khi â, vỵi måi ϕ = (ϕ1 , ϕ2 , , ϕn , ) ∈ l2 ta câ hej , ϕi = ϕj V¼ p ϕ ∈ l2 n¶n lim ϕj = 0, tùc l  d¢y (e1 , e2 , , en , ) hëi tư y¸u ¸n j phƯn tỷ Những dÂy ny khổng hởi tử mÔnh vẳ kei ej k = vợi måi w d oa nl i kh¡c j , nản dÂy (e1 , e2 , , en , ) khỉng ph£i l  d¢y Cauchy l2 an lu Chú ỵ 1.1.4 Trong khổng gian nh chuân X náu dÂy {xn } hởi tử mÔnh nf va án x0 thẳ xn * x0 v  kxn k → kx0 k z at nh oi gian Banach lm ul ành ngh¾a 1.1.5 Khỉng gian ành chuân Ưy ừ ữủc gồi l khổng Sau Ơy ta dũng kỵ hiằu k.k cho chuân X v X v viát tẵch ối ngău hx , xi thay cho giĂ tr cừa phiám hm tuyán tẵnh x X tÔi z gm @ im x X , tùc l  hx∗ , xi = x∗ (x) l Vẵ dử 1.1.6 CĂc khổng gian sau Ơy l khổng gian Banach: m co (i) khổng gian hỳu hÔn chiÃu Rn vợi chuân xĂc nh bi: n X 1 2 ||x||2 = |xi | , x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn ; an Lu i=1 n va ac th si (ii) khỉng gian C[a, b] c¡c h m li¶n tưc trản oÔn [a, b] vợi chuân xĂc nh bi: ||f || = sup {|f (x)|} , f ∈ C[a, b] x[a,b] nh nghắa 1.1.7 Khổng gian Banach X ữủc gồi l phÊn xÔ náu vợi mồi phƯn tỷ x X ∗∗ , khỉng gian li¶n hđp thù hai cõa X , Ãu tỗn tÔi phƯn tỷ x X cho x∗ (x) = x∗∗ (x∗ ) ∀x∗ ∈ X ∗ V½ dư 1.1.8 (i) Khỉng gian Rn , khæng gian Hilbert H , khæng gian lp v  Lp [a, b] vỵi < p < ∞ l  cĂc khổng gian phÊn xÔ lu an (ii) CĂc khổng gian l1 , L1 khổng phÊn xÔ va n nh lỵ sau Ơy ữủc dũng cho chựng minh sỹ hởi tư cõa ph÷ìng Gi£ sû X l  khỉng gian Banach Khi â, c¡c m»nh · sau l  t÷ìng ÷ìng: (i) X l khổng gian phÊn xÔ (ii) Mồi dÂy b chn X Ãu cõ dÂy hởi tử yáu gh tn to ph¡p hi»u ch¿nh ð Ch÷ìng p ie nh lỵ 1.1.9 (xem [4]) d oa nl w an lu nf va ành ngh¾a 1.1.10 Khỉng gian Banach X ÷đc gåi l  z at nh oi lm ul (i) lỗi cht náu vợi mồi x, y thuởc m°t c¦u ìn SX cõa khỉng gian  Banach X , SX := x ∈ X : kxk = , x 6= y , th¼ k(1 − λ)x + λyk < 1, λ ∈ (0, 1); z (ii) lỗi Ãu náu vợi mồi < 2, kxk ≤ 1, kyk ≤ v  kx − yk thẳ m co l gm @ tỗn tÔi = () > cho x + y < − δ nh÷ Vẵ dử 1.1.6(i) l khổng gian lỗi cht an Lu V½ dư 1.1.11 (i) Khỉng gian Rn , n ≥ vợi chuân kxk2 ữủc xĂc nh n va ac th si ε K (t, s) sin(ωs)ds K (t, s) cos ωs cos ωsds = − − ε ε ω ∂s 0 ε Mε < , ≤ ω 2N 2N Mε Do â, ε Z