ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THU THỦY PHƢƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TIKHONOV VÀ PHƢƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ QUÁN TÍNH HIỆU CHỈNH CHO BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐÔNG CHUNG CỦA MỘT HỌ HỮU HẠN[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ THU THỦY PHƢƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TIKHONOV VÀ PHƢƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ QN TÍNH HIỆU CHỈNH CHO BÀI TỐN ĐIỂM BẤT ĐƠNG CHUNG CỦA MỘT HỌ HỮU HẠN ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHƠNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ THU THỦY PHƢƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TIKHONOV VÀ PHƢƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ QUÁN TÍNH HIỆU CHỈNH CHO BÀI TỐN ĐIỂM BẤT ĐƠNG CHUNG CỦA MỘT HỌ HỮU HẠN ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành :Tốn ứng dụng Mã số : 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Trƣơng Minh Tuyên THÁI NGUYÊN - 2016 c i Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Trương Minh Tuyên, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu để hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, thầy giáo khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên tận tình giúp đỡ truyền thụ kiến thức cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Trường Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Thái Nguyên, lãnh đạo trường Trung học phổ thơng Gang Thép tồn thể đồng nghiệp trường Trung học phổ thông Gang Thép quan tâm tạo điều kiện thuận lợi cho thực kế hoạch học tập nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn học viên lớp Cao học Toán K8A bạn đồng nghiệp xa gần động viên, khích lệ trao đổi chun mơn suốt q trình học tập, nghiên cứu hoàn thiện luận văn c ii Mục lục Lời cảm ơn i Một số ký hiệu viết tắt iii Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số vấn đề hình học khơng gian Banach, tốn tử đơn điệu ánh xạ không giãn 1.2 Bài tốn đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh 13 1.2.1 Khái niệm tốn đặt khơng chỉnh 13 1.2.2 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 14 1.3 Phương pháp điểm gần kề quán tính 17 1.4 Phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh 19 1.5 Một số bổ đề bổ trợ 20 Chương Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh 21 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 21 2.2 Phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh 29 2.3 Ví dụ số minh họa 33 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 c iii Một số ký hiệu viết tắt E không gian Banach E∗ không gian đối ngẫu E θ phần tử không không gian Banach E R tập hợp số thực R+ tập số thực không âm ∩ phép giao inf M cận tập hợp số M sup M cận tập hợp số M max M số lớn tập hợp số M M số nhỏ tập hợp số M argminx∈X F (x) tập điểm cực tiểu hàm F X ∅ tập rỗng ∀x với x D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền ảnh toán tử A A−1 toán tử ngược toán tử A I tốn tử đồng Lp (Ω) khơng gian hàm khả tích bậc p Ω lp khơng gian dãy số khả tổng bậc p d(x, M ) khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp M c iv H(C1 , C2 ) khoảng cách Hausdorff hai tập hợp C1 C2 lim sup xn giới hạn dãy số {xn } n→∞ αn & α0 dãy số thực {αn } hội tụ giảm α0 xn −→ x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị δE (ε) mô đun lồi không gian Banach E ρE (τ ) mô đun trơn không gian Banach E F ix(T ) F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T ∂f vi phân hàm lồi f M bao đóng tập hợp M d(a, M ) khoảng cách tử phần tử a đến tập hợp M err sai số nghiệm xấp xỉ so với nghiệm xác c Mở đầu Bài tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Hilbert hay không gian Banach trường hợp riêng tốn chấp nhận lồi: "Tìm phần tử thuộc giao khác rỗng họ hữu hạn hay vơ hạn tập lồi đóng {Ci }i∈I không gian Hilbert H hay không gian Banach E" Bài tốn có nhiều ứng dụng quan trọng lĩnh vực khoa học khác như: Xử lí ảnh, khơi phục tín hiệu, vật lý, y học Khi Ci = F ix(Ti ), với F ix(Ti ) tập điểm bất động ánh xạ không giãn Ti , i = 1, 2, , N , có nhiều phương pháp đề xuất dựa phương pháp lặp cổ điển tiếng Đó phương pháp lặp Kranoselskii, Mann, Ishikawa, Halpern phương pháp xấp xỉ mềm Chẳng hạn, tương tự phương pháp chiếu xoay vịng để giải tốn chấp nhận lồi không gian Hilbert, năm 1996 Bauschke H H đề xuất phương pháp lặp xoay vòng dựa phương pháp lặp Halpern cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Hilbert Ta biết rằng, T ánh xạ không giãn không gian Banach E, tốn tử A = I − T toán tử j-đơn điệu, với I toán tử đồng E Như vậy, toán tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn Ti không gian Banach E đưa tốn tìm khơng điểm chung họ hữu hạn toán tử j-đơn điệu Ai = I − Ti với i = 1, 2, , N Đối với tốn tìm nghiệm chung họ hữu hạn phương trình tốn tử với toán tử đơn điệu cực đại, năm 2006 tác giả Buong Ng [11] đề xuất nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho toán c tìm khơng điểm chung họ hữu hạn toán tử đơn trị đơn điệu, năng, h-liên tục từ không gian Banach E vào không gian đối ngẫu E ∗ Ơng quy tốn giải hệ phương trình với tốn tử đơn điệu cực đại việc giải phương trình tốn tử thu hội tụ mạnh thuật toán nghiệm hệ tham số hiệu chỉnh chọn thích hợp Năm 2008, sở kết nghiên cứu đạt vào năm 2006, tác giả Buong Ng [12] lần nghiên cứu kết hợp phương pháp điểm gần kề quán tính với hiệu chỉnh gọi phương pháp điểm gần kề qn tính hiệu chỉnh, cho việc giải tốn tìm khơng điểm chung họ hữu hạn toán tử đơn điệu cực đại Ai = ∂fi , với ∂fi vi phân phiếm hàm lồi, thường, nửa liên tục yếu fi , i = 1, 2, , N không gian Hilbert H Mục đích luận văn trình bày lại kết báo Tuyen T.M [25] báo Kim J.K., Tuyen T.M [20] phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh, với tính ổn định phương pháp cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ khơng giãn khơng gian Banach Nội dung luận văn chia làm hai chương Chương 1, giới thiệu sơ lược số vấn đề liên quan đến cấu trúc hình học khơng gian Banach, tốn đặt khơng chỉnh với tốn tử loại đơn điệu, phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, phương pháp điểm gần kề quán tính , phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cuối số bổ đề cần sử dụng cho việc chứng minh kết nghiên cứu đạt chương sau luận văn Chương 2, trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp điểm gần kề qn tính hiệu chỉnh cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ khơng giãn khơng gian Banach có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy [25], đồng thời tính ổn định phương pháp [20] giới thiệu chương c Chương Kiến thức chuẩn bị Chương bao bồm mục Mục 1.1 trình bày số vấn đề khơng gian Banach lồi đều, trơn đều, số lớp toán tử loại đơn điệu, ánh xạ không giãn tính chất chúng Mục 1.2 giới thiệu tốn đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Mục 1.3 1.4 trình bày phương pháp điểm gần kề quán tính phương pháp điểm gần kề qn tính hiệu chỉnh Mục 1.5 trình bày số bổ đề quan trọng thường xuyên sử dụng đến việc chứng minh định lý chương sau luận văn 1.1 Một số vấn đề hình học khơng gian Banach, tốn tử đơn điệu ánh xạ không giãn Cho E không gian Banach E ∗ không gian đối ngẫu Để cho đơn giản thuận tiện hơn, chúng tơi thống sử dụng kí hiệu k.k để chuẩn E E ∗ ; Sự hội tụ mạnh yếu dãy {xn } phần tử x E kí hiệu xn → x xn * x tồn luận văn Trong luận văn này, chúng tơi thường xun sử dụng tính chất khơng gian Banach phản xạ Mệnh đề 1.1 (xem [1] trang 41) Cho E khơng gian Banach Khi đó, khẳng định sau tương đương: i) E không gian phản xạ ii) Mọi dãy bị chặn E, có dãy hội tụ yếu c Tiếp theo, mục đề cập đến số vấn đề cấu trúc hình học khơng gian Banach, như: tính lồi, tính trơn, mô đun lồi, mô đun trơn Định nghĩa 1.1 Không gian Banach E gọi lồi chặt với x, y ∈ E, x 6= y mà kxk = 1, kyk = ta có x + y < Chú ý 1.1 Định nghĩa 1.1 cịn phát biểu dạng tương đương sau: Không gian Banach E gọi lồi chặt với x, y ∈ SE thỏa kx + yk mãn = 1, suy x = y với x, y ∈ SE x 6= y ta có ktx + (1 − t)yk < với t ∈ (0, 1), SE = {x ∈ E : kxk = 1} Định nghĩa 1.2 Không gian Banach E gọi lồi với ε > 0, tồn δ(ε) > cho với x, y ∈ E mà kxk = 1, kyk = 1, kx − yk ≥ ε ta ln có x + y ≤ − δ(ε) Dễ thấy E không gian Banach lồi khơng gian Banach lồi chặt Tuy nhiên điều ngược lại khơng đúng, ví dụ điều Ví dụ 1.1 (xem [1] trang 54) Xét E = c0 (không gian dãy số hội tụ không) với chuẩn k.kβ xác định X 1/2 ∞ |xi |2 kxkβ = kxkc0 + β , x = (xi ) ∈ c0 i i=1 Khi đó, (E, k.kβ ), β > không gian lồi chặt không không gian lồi Để đo tính lồi khơng gian Banach E, người ta đưa vào khái niệm sau: Mô đun lồi không gian Banach E hàm số x + y δE (ε) = inf − : kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk ≥ ε c ... sau luận văn Chương 2, trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Banach có ánh. .. Chương Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh 21 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 21 2.2 Phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh. .. đặt khơng chỉnh với toán tử loại đơn điệu, phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, phương pháp điểm gần kề quán tính , phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cuối số bổ đề cần sử dụng cho việc