Luận văn thạc sĩ phương pháp hiệu chỉnh tikhonov và phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho bài toán

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ THU THỦY PHƢƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TIKHONOV VÀ PHƢƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ QN TÍNH HIỆU CHỈNH CHO BÀI TỐN ĐIỂM BẤT ĐƠNG CHUNG CỦA MỘT HỌ HỮU HẠN ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHƠNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ THU THỦY PHƢƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TIKHONOV VÀ PHƢƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ QUÁN TÍNH HIỆU CHỈNH CHO BÀI TỐN ĐIỂM BẤT ĐƠNG CHUNG CỦA MỘT HỌ HỮU HẠN ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành :Tốn ứng dụng Mã số : 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Trƣơng Minh Tuyên THÁI NGUYÊN - 2016 i Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Trương Minh Tuyên, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu để hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, thầy giáo khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên tận tình giúp đỡ truyền thụ kiến thức cho suốt trình học tập nghiên cứu Trường Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Thái Nguyên, lãnh đạo trường Trung học phổ thơng Gang Thép tồn thể đồng nghiệp trường Trung học phổ thông Gang Thép quan tâm tạo điều kiện thuận lợi cho thực kế hoạch học tập nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn học viên lớp Cao học Toán K8A bạn đồng nghiệp xa gần động viên, khích lệ trao đổi chun mơn suốt q trình học tập, nghiên cứu hoàn thiện luận văn ii Mục lục Lời cảm ơn Một số ký hiệu viết tắt i iii Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số vấn đề hình học khơng gian Banach, tốn tử đơn điệu ánh xạ không giãn 1.2 Bài toán đặt không chỉnh phương pháp hiệu chỉnh 13 1.2.1 Khái niệm tốn đặt khơng chỉnh 13 1.2.2 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 14 1.3 Phương pháp điểm gần kề quán tính 17 1.4 Phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh 19 1.5 Một số bổ đề bổ trợ 20 Chương Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh 21 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 21 2.2 Phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh 29 2.3 Ví dụ số minh họa 33 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 iii Một số ký hiệu viết tắt E không gian Banach E∗ không gian đối ngẫu E θ phần tử không không gian Banach E R tập hợp số thực R+ tập số thực không âm ∩ phép giao inf M cận tập hợp số M sup M cận tập hợp số M max M số lớn tập hợp số M M số nhỏ tập hợp số M argminx∈X F (x) tập điểm cực tiểu hàm F X ∅ tập rỗng ∀x với x D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền ảnh toán tử A A−1 toán tử ngược toán tử A I toán tử đồng Lp (Ω) không gian hàm khả tích bậc p Ω lp khơng gian dãy số khả tổng bậc p d(x, M ) khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp M iv H(C1 , C2 ) khoảng cách Hausdorff hai tập hợp C1 C2 lim sup xn giới hạn dãy số {xn } n→∞ αn α0 dãy số thực {αn } hội tụ giảm α0 xn −→ x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn dãy {xn } hội tụ yếu x0 x0 J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị δE (ε) mô đun lồi không gian Banach E ρE (τ ) mô đun trơn không gian Banach E F ix(T ) F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T ∂f vi phân hàm lồi f M bao đóng tập hợp M d(a, M ) khoảng cách tử phần tử a đến tập hợp M err sai số nghiệm xấp xỉ so với nghiệm xác Mở đầu Bài tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Hilbert hay không gian Banach trường hợp riêng tốn chấp nhận lồi: "Tìm phần tử thuộc giao khác rỗng họ hữu hạn hay vô hạn tập lồi đóng {Ci }i∈I khơng gian Hilbert H hay khơng gian Banach E" Bài tốn có nhiều ứng dụng quan trọng lĩnh vực khoa học khác như: Xử lí ảnh, khơi phục tín hiệu, vật lý, y học Khi Ci = F ix(Ti ), với F ix(Ti ) tập điểm bất động ánh xạ không giãn Ti , i = 1, 2, , N , có nhiều phương pháp đề xuất dựa phương pháp lặp cổ điển tiếng Đó phương pháp lặp Kranoselskii, Mann, Ishikawa, Halpern phương pháp xấp xỉ mềm Chẳng hạn, tương tự phương pháp chiếu xoay vòng để giải tốn chấp nhận lồi khơng gian Hilbert, năm 1996 Bauschke H H đề xuất phương pháp lặp xoay vịng dựa phương pháp lặp Halpern cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Hilbert Ta biết rằng, T ánh xạ không giãn khơng gian Banach E, tốn tử A = I − T toán tử j-đơn điệu, với I toán tử đồng E Như vậy, tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn Ti khơng gian Banach E đưa tốn tìm khơng điểm chung họ hữu hạn toán tử j-đơn điệu Ai = I − Ti với i = 1, 2, , N Đối với tốn tìm nghiệm chung họ hữu hạn phương trình tốn tử với tốn tử đơn điệu cực đại, năm 2006 tác giả Buong Ng [11] đề xuất nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho tốn tìm khơng điểm chung họ hữu hạn toán tử đơn trị đơn điệu, năng, h-liên tục từ không gian Banach E vào khơng gian đối ngẫu E ∗ Ơng quy tốn giải hệ phương trình với tốn tử đơn điệu cực đại việc giải phương trình toán tử thu hội tụ mạnh thuật toán nghiệm hệ tham số hiệu chỉnh chọn thích hợp Năm 2008, sở kết nghiên cứu đạt vào năm 2006, tác giả Buong Ng [12] lần nghiên cứu kết hợp phương pháp điểm gần kề quán tính với hiệu chỉnh gọi phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh, cho việc giải tốn tìm khơng điểm chung họ hữu hạn toán tử đơn điệu cực đại Ai = ∂fi , với ∂fi vi phân phiếm hàm lồi, thường, nửa liên tục yếu fi , i = 1, 2, , N không gian Hilbert H Mục đích luận văn trình bày lại kết báo Tuyen T.M [25] báo Kim J.K., Tuyen T.M [20] phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh, với tính ổn định phương pháp cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Banach Nội dung luận văn chia làm hai chương Chương 1, giới thiệu sơ lược số vấn đề liên quan đến cấu trúc hình học khơng gian Banach, tốn đặt khơng chỉnh với toán tử loại đơn điệu, phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, phương pháp điểm gần kề quán tính , phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cuối số bổ đề cần sử dụng cho việc chứng minh kết nghiên cứu đạt chương sau luận văn Chương 2, trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp điểm gần kề qn tính hiệu chỉnh cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ khơng giãn khơng gian Banach có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy [25], đồng thời tính ổn định phương pháp [20] giới thiệu chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương bao bồm mục Mục 1.1 trình bày số vấn đề không gian Banach lồi đều, trơn đều, số lớp tốn tử loại đơn điệu, ánh xạ khơng giãn tính chất chúng Mục 1.2 giới thiệu tốn đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Mục 1.3 1.4 trình bày phương pháp điểm gần kề quán tính phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh Mục 1.5 trình bày số bổ đề quan trọng thường xuyên sử dụng đến việc chứng minh định lý chương sau luận văn 1.1 Một số vấn đề hình học khơng gian Banach, tốn tử đơn điệu ánh xạ khơng giãn Cho E không gian Banach E ∗ khơng gian đối ngẫu Để cho đơn giản thuận tiện hơn, thống sử dụng kí hiệu để chuẩn E E ∗ ; Sự hội tụ mạnh yếu dãy {xn } phần tử x E kí hiệu xn → x xn x toàn luận văn Trong luận văn này, chúng tơi thường xun sử dụng tính chất không gian Banach phản xạ Mệnh đề 1.1 (xem [1] trang 41) Cho E không gian Banach Khi đó, khẳng định sau tương đương: i) E không gian phản xạ ii) Mọi dãy bị chặn E, có dãy hội tụ yếu Tiếp theo, mục đề cập đến số vấn đề cấu trúc hình học khơng gian Banach, như: tính lồi, tính trơn, mơ đun lồi, mơ đun trơn Định nghĩa 1.1 Không gian Banach E gọi lồi chặt với x, y ∈ E, x = y mà x = 1, y = ta có x+y < Chú ý 1.1 Định nghĩa 1.1 cịn phát biểu dạng tương đương sau: Không gian Banach E gọi lồi chặt với x, y ∈ SE thỏa x+y mãn = 1, suy x = y với x, y ∈ SE x = y ta có tx + (1 − t)y < với t ∈ (0, 1), SE = {x ∈ E : x = 1} Định nghĩa 1.2 Không gian Banach E gọi lồi với ε > 0, tồn δ(ε) > cho với x, y ∈ E mà x = 1, y = 1, x − y ≥ ε ta có x+y ≤ − δ(ε) Dễ thấy E khơng gian Banach lồi khơng gian Banach lồi chặt Tuy nhiên điều ngược lại khơng đúng, ví dụ điều Ví dụ 1.1 (xem [1] trang 54) Xét E = c0 (không gian dãy số hội tụ không) với chuẩn β xác định ∞ x β = x c0 +β i=1 |xi |2 i2 1/2 , x = (xi ) ∈ c0 Khi đó, (E, β ), β > không gian lồi chặt không không gian lồi Để đo tính lồi khơng gian Banach E, người ta đưa vào khái niệm sau: Mô đun lồi không gian Banach E hàm số δE (ε) = inf − x+y : x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε 24 Từ phương trình (2.9) (2.2) từ tính j-đơn điệu toán tử N i=1 Ai , ta có αn+1 xn+1 − αn xn , j(xn+1 − xn ) ≤ (2.10) Suy αn xn+1 − xn ≤ (αn+1 − αn ) −xn+1 , j(xn+1 − xn ) ≤ |αn+1 − αn | xn+1 xn+1 − xn ≤ QS θ |αn+1 − αn | xn+1 − xn Do xn+1 − xn ≤ |αn+1 − αn | R0 , ∀n ≥ 0, αn R0 = QS θ Năm 2011, để giải toán (1.17), Kim J.K Tuyen T.M [19] sử dụng phương pháp prox-Tikhonov thu hội tụ mạnh dãy {xn } xác định N Bi (xn+1 ) + xn+1 = tn u + (1 − tn )xn , u, x0 ∈ E, n ≥ 0, rn (2.11) i=1 Bi = I − Ti QCi , i = 1, 2, , N QCi : E −→ Ci ánh xạ co rút không giãn từ E lên Ci , i = 1, 2, , N Họ chứng minh định lý đây: Định lí 2.2 [19] Giả sử E không gian Banach lồi trơn có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j liên tục yếu theo dãy từ E vào E ∗ Cho Ci tập lồi, đóng co rút không giãn E cho Ti : Ci −→ Ci , i = 1, 2, , N ánh xạ không giãn cho S = ∩N i=1 F (Ti ) = ∅ Nếu dãy số {rn } ⊂ (0, +∞) {tn } ⊂ (0, 1) thỏa mãn điều kiện i) limn→∞ tn = 0, ∞ n=0 tn = +∞, ii) limn→∞ rn = +∞, dãy {xn } xác định (2.11) hội tụ mạnh QS u, QS : E −→ S ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S 25 Hơn nữa, họ nghiên cứu tính ổn định phương pháp lặp (2.11) trường hợp Ci tập lồi, đóng co rút khơng giãn theo tia E, tất miền xác định Ci ánh xạ không giãn Ti cho nhiễu Cụ thể hơn, giả thiết nhiễu đặt sau: (P1) Thay cho tập Ci , tồn tập lồi, đóng, co rút khơng giãn theo tia Cin ⊂ E, n = 1, 2, 3, thỏa mãn H(Cin , Ci ) ≤ δn , i = 1, 2, , N, {δn } dãy số thực không âm (P2) Đối với tập Cin , tồn ánh xạ không giãn Tin : Cin −→ Cin , i = 1, 2, , N thỏa mãn điều kiện: tồn hàm tăng không âm g(t) ξ(t) xác định với t > cho g(0) ≥ 0, ξ(0) = x ∈ Ci , y ∈ Cim thỏa mãn x − y ≤ δ, Ti x − Tim y ≤ g(max{ x , y })ξ(δ) (2.12) Chính xác hơn, họ thiết lập tính ổn định (2.11) dạng N Bin (zn+1 ) + zn+1 = tn u + (1 − tn )zn , u, z0 ∈ E, n ≥ 0, rn (2.13) i=1 Bin = I − Tin QCin , i = 1, 2, , N QCin : E −→ Cin ánh xạ co rút không gian theo tia từ E lên Cin , i = 1, 2, , N Định lí 2.3 [19] Giả sử E không gian Banach lồi trơn có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j liên tục yếu theo dãy từ E vào E ∗ Cho Ci tập lồi, đóng co rút không giãn theo tia E cho Ti : Ci −→ Ci , i = 1, 2, , N ánh xạ không giãn cho S = ∩N i=1 F (Ti ) = ∅ Nếu điều kiện (P1) (P2) thỏa mãn dãy số {rn }, {δn } {tn } thỏa mãn điều kiện i) limn→∞ tn = 0, ii) limn→∞ rn = +∞, ∞ n=0 tn = +∞, 26 iii) ∞ n=0 rn ξ(a hE (δn )) < +∞ với a > 0, dãy {zn } xác định (2.13) hội tụ mạnh QS u, QS : E −→ S ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S Chú ý 2.1 Các điều kiện nhiễu (P1) (P2) nghiên cứu Alber Y ơng xét tính ổn định phương pháp đường dốc cho toán tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn [3] Tuy nhiên, Alber nghiên cứu cho trường hợp ánh xạ Năm 2016, tác giả Kim J.K Tuyên T.M nghiên cứu thiết lập tính ổn định phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov (2.2) dạng N Bin (zn ) + αn zn = 0, (2.14) i=1 u0 , u1 ∈ E, Bin = I − Tin QCin QCin : E −→ Cin ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên Cin , i = 1, 2, , N , tương ứng Ta cần nhắc lại tính chất quan trọng mơ đun trơn khơng gian Banach E Đặt ρE (τ ) , τ > (2.15) τ Khi đó, hàm số hE (τ ) không giảm Hơn nữa, ta dễ dàng đánh giá hE (τ ) = hE (Kτ ) ≤ LKhE (τ ) ∀K > 1, τ > 0, (2.16) L số Figiel Thật vậy, tài liệu [14] ta có bất đẳng thức ρE (ξ) ρE (η) ≤ L , ∀η ≥ ξ > η2 ξ2 (2.17) ξhE (η) ≤ LηhE (ξ), ∀η ≥ ξ > (2.18) Do Trong (2.18) thay η = Cτ thay ξ = τ , ta nhận τ hE (Cτ ) ≤ LCτ hE (τ ), suy bất đẳng thức cần chứng minh (2.19) 27 Định lí 2.4 Giả sử E khơng gian Banach lồi trơn có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j liên tục yếu theo dãy từ E vào E ∗ Cho Ci tập lồi, đóng co rút khơng giãn theo tia E cho Ti : Ci −→ Ci , i = 1, 2, , N ánh xạ không giãn cho S = ∩N i=1 F (Ti ) = ∅ i) Với αn > 0, phương trình (2.14) có nghiệm zn ii) Nếu điều kiện (P1) (P2) thỏa mãn dãy số {αn }, {δn } thỏa mãn ξ a hE (δn ) −→ với a > 0, αn αn −→ 0, (2.20) zn −→ QS θ n −→ ∞, QS : E −→ S ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S Hơn nữa, ta có đánh giá sau zn+1 − zn ≤ R g(M )ξ γ3,4 hE (δn ) |αn − αn+1 | +N αn αn (2.21) R, M , γ3,4 số dương Chứng minh i) Trước hết, ta phương trình (2.14) có nghiệm zn Thật vậy, tốn tử N n i=1 Bi Lipschitz j-đơn điệu E, nên m-j-đơn điệu (Chú ý 1.7) Do vậy, phương trình (2.14) xác định phần tử zn ∈ E ii) Từ phương trình (2.2) (2.14), ta có N N Bin (zn ) − Bin (xn ) Bin (xn ) − Bi (xn ) = + αn (zn − xn ) + i=1 i=1 Từ tính j-đơn điệu toán tử N n i=1 Bi , ta nhận N Bin (xn ) − Bi (xn ) , j(zn − xn ) ≤ αn (zn − xn ) + i=1 Suy N Bin (xn ) − Bi (xn ) αn zn − xn ≤ i=1 28 Với i ∈ {1, 2, , N }, Bin (xn ) − Bi (xn ) = Tin QCin xn − Ti QCi xn Vì {xn } bị chặn H(Ci , Cin ) ≤ δn , nên tồn số K1,i > K2,i > cho bất đẳng thức QCi xn − QCin xn ≤ K1,i hE (K2,i δn ) ≤ K1,i K2,i L hE (δn ) Từ điều kiện (P2), ta có Tin QCin xn − Ti QCi xn ≤ g(Mi )ξ K1,i K2,i L hE (δn ) , Mi = max{supn QCi xn , supn QCin xn } < +∞ Như vậy, ta thu αn zn − xn ≤ N g(M )ξ γ1,2 M = max {Mi } γ1,2 = i=1,2, ,N hE (δn ) , max {K1,i i=1,2, ,N K2,i L} Do đó, zn − xn ≤ N g(M )ξ γ1,2 hE (δn ) −→ 0, n −→ ∞ αn Theo Định lý 2.1, xn −→ QS θ, nên kết hợp với bất đẳng thức ta nhận zn −→ QS θ Cuối ta chứng minh bất đẳng thức (2.21) Trong phương trình (2.14) thay n n + 1, ta nhận N Bin+1 (zn+1 ) + αn+1 zn+1 = i=1 Từ phương trình (2.14) (2.22), ta có N Bin+1 (zn+1 ) − Bin+1 (zn ) + αn+1 zn+1 − αn zn i=1 N Bin+1 (zn ) − Bin (zn ) = + i=1 (2.22) 29 Từ tính j-đơn điệu tốn tử N n i=1 Bi , ta thu N Bin+1 (zn ) − Bin (zn ) , (2.23) Bin+1 (zn ) − Bin (zn ) = Tin+1 QCin+1 zn − Tin QCin zn , (2.24) αn zn+1 − zn ≤ R|αn − αn+1 | + i=1 R = supn zn Với i ∈ {1, 2, , N }, ta có đánh giá H(Cin , Cin+1 ) ≤ H(Cin , Ci ) + H(Ci , Cin+1 ) ≤ δn + δn+1 ≤ 2δn Vì dãy {zn } bị chặn, nên tồn số K3,i > K4,i > cho bất đẳng thức sau QCin zn − QCin+1 zn ≤ K3,i hE (K4,i δn ) ≤ K3,i K4,i L hE (δn ) Từ điều kiện (P2), suy Tin+1 QCin+1 zn − Tin QCin zn ≤ g(M )ξ K3,i K4,i L hE (δn ) , Mi = max{supn QCin zn , supn QCin+1 zn } < +∞ Từ(2.23), (2.24) (2.4), ta nhận αn zn+1 − zn ≤ R|αn − αn+1 | + N g(M )ξ γ3,4 M = max {Mi } γ3,4 = i=1,2, ,N max {K3,i i=1,2, ,N hE (δn ) , K4,i L} Do đó, zn+1 − zn ≤ R g(M )ξ γ3,4 hE (δn ) |αn − αn+1 | +N αn αn Định lý chứng minh 2.2 Phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh Trong mục này, chúng tơi trình bày phương pháp điểm gần kề qn tính hiệu chỉnh dạng N Ai (un+1 ) + αn un+1 + un+1 = un + γn (un − un−1 ), u0 , u1 ∈ E (2.25) cn i=1 đề xuất Tuyên T.M tài liệu [25] để giải tốn (2.1) 30 Định lí 2.5 Giả sử E không gian Banach lồi trơn có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j liên tục yếu theo dãy từ E vào E ∗ Cho Ci tập lồi, đóng co rút không giãn E cho Ti : Ci −→ Ci , i = 1, 2, , N ánh xạ không giãn cho S = ∩N i=1 F (Ti ) = ∅ Nếu dãy số {cn }, {αn } {γn } thỏa mãn điều kiện i) < c0 < cn , αn > 0, αn −→ 0, |αn+1 − αn | −→ 0, αn2 ∞ n=0 αn = +∞; ii) γn ≥ 0, γn αn−1 un − un−1 −→ 0, dãy {un } xác định (2.25) hội tụ mạnh QS θ, QS : E −→ S ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S Chứng minh Trước hết, ta phương trình (2.25) có nghiệm un+1 Thật vậy, tốn tử N i=1 Ai Lipschitz j-đơn điệu E, nên m-j- đơn điệu (Chú ý 1.7) Do đó, phương trình (2.25) có nghiệm un+1 Ta viết lại phương trình (2.2) (2.25) dạng N dn Ai (xn ) + xn = βn xn , (2.26) Ai (un+1 ) + un+1 = βn (un + γn (un − un−1 )), (2.27) i=1 N dn i=1 dn = cn βn + cn αn Từ phương trình (2.26) (2.27) từ tính j-đơn điệu tốn tử tương ứng, βn = N i=1 Ai , ta nhận uu+1 − xn ≤ βn un − xn + βn γn un − un−1 Suy un+1 − xn+1 ≤ un+1 − xn + xn+1 − xn ≤ βn un − xn + βn γn un − un−1 + |αn+1 − αn | R0 , αn (2.28) hay tương đương với un+1 − xn+1 ≤ (1 − bn ) un − xn + σn , bn = cn αn , + cn αn (2.29) 31 σn = βn γn un − un−1 + |αn+1 − αn | R0 αn Từ giả thiết, ta có σn 1 |αn+1 − αn | = αn−1 γn un − un−1 + ( + αn ) R0 bn cn cn αn2 1 |αn+1 − αn | ≤ αn−1 γn un − un−1 + ( + αn ) R0 −→ c0 c0 αn2 Thêm nữa, ∞ n=0 αn = +∞, nên ∞ n=0 bn = +∞ Áp dụng Bổ đề 1.4, ta nhận un − xn −→ Do xn −→ QS θ n −→ ∞, nên un −→ QS θ n −→ ∞ Định lý chứng minh Dưới đây, luận văn trình bày tính ổn định phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh (2.25) đề xuất tác giả Kim J.K Tuyên T.M tài liệu [20], dạng N Bin (un+1 ) + αn un+1 + un+1 = un + γn (un − un−1 ), cn (2.30) i=1 u0 , u1 ∈ E, Bin = I − Tin QCin QCin : E −→ Cin ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên Cin , i = 1, 2, , N , tương ứng Định lí 2.6 Giả sử E khơng gian Banach lồi trơn có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j liên tục yếu theo dãy từ E vào E ∗ Cho Ci tập lồi, đóng co rút khơng giãn theo tia E cho Ti : Ci −→ Ci , i = 1, 2, , N ánh xạ không giãn cho S = ∩N i=1 F (Ti ) = ∅ Nếu điều kiện (P1) (P2) thỏa mãn dãy số dương {αn }, {cn }, {γn } thỏa mãn i) αn −→ 0, ii) |αn − αn+1 | −→ 0, αn2 ∞ n=1 αn = +∞, ξ a hE (δn ) −→ với a > 0, αn2 iii) < c0 < cn , γn αn−1 un − un−1 −→ 0, dãy {un } xác định (2.30) hội tụ mạnh QS θ, QS : E −→ S ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S 32 Chứng minh Trước hết, ta phương trình (2.30) xác định phần tử un+1 Thật vậy, tốn tử N n i=1 Bi Lipschitz j-đơn điệu E, nên m-j-đơn điệu (Chú ý 1.7) Suy phương trình (2.30) có nghiệm un+1 Ta viết lại phương trình (2.14) (2.30) dạng N dn Bin (zn ) + zn = βn zn , (2.31) Bin (un+1 ) + un+1 = βn un + γn (un − un−1 ) , (2.32) i=1 N dn i=1 dn = cn βn + cn αn Từ phương trình (2.31), (2.32) từ tính j-đơn điệu tốn tử βn = N n i=1 Bi , ta nhận un+1 − zn ≤ βn un − zn + βn γn un − un−1 (2.33) Suy un+1 − zn+1 ≤ un+1 − zn + zn+1 − zn ≤ βn un − zn + βn γn un − un−1 +R (2.34) g(M )ξ γ3,4 hE (δn ) |αn − αn+1 | +N αn αn Ta viết lại (2.34) dạng un+1 − zn+1 ≤ (1 − bn ) un − zn + σn , bn = cn αn + cn αn σn = βn γn un − un−1 +R g(M )ξ γ3,4 hE (δn ) |αn − αn+1 | +N αn αn (2.35) 33 Từ giả thiết, ta có σn = γn αn−1 un − un−1 bn cn g(M )ξ γ3,4 hE (δn ) |αn − αn+1 | + + αn R + N cn αn2 αn2 ≤ γn αn−1 un − un−1 c0 g(M )ξ γ3,4 hE (δn ) |αn − αn+1 | + + αn R +N c0 αn αn2 Vì ∞ n=0 αn ∞ n=0 bn = +∞, nên −→ 0, n −→ ∞ = +∞ Áp dụng Bổ đề 1.4 vào (2.33), ta thu un − zn −→ Do zn −→ QS θ n −→ ∞, nên suy un −→ QS θ n −→ ∞ Định lý chứng minh 2.3 Ví dụ số minh họa Ví dụ 2.1 Xét hệ phương trình tuyến tính Ax = b, với A = (aij )101x200 xác định ai,i+k = với i = 1, 2, , 101 k = 0, 1, 2, , 99, phần tử aij khác bi = 100 với i = 1, 2, , 101 Dễ thấy hệ phương trình có vô số nghiệm (hệ nghiệm phụ thuộc 99 tham số) nghiệm có chuẩn nhỏ hệ phương trình x∗ = (x∗1 x∗2 x∗200 ) với x∗i = với i = 1, 2, , 200 Chú ý 2.2 Sai số nghiệm xấp xỉ so với nghiệm ví dụ xác định err = max i=1,2, ,200 (nmax ) |xi − x∗i | - Khi áp dụng phương pháp lặp (2.2) với αn = 1/n, ta có bảng kết sau: 34 n n err 100 0.273269 700 0.063999 200 0.174990 800 0.056841 300 0.129549 900 0.051127 400 0.103036 1000 0.046458 500 0.085595 err 600 0.073230 10000 0.005049 Bảng 2.1 √ - Khi áp dụng phương pháp lặp (2.25) với cn = 1, αn = 1/ n γn = 0, ta có bảng kết sau: n n err 1000 0.470916 7000 0.302372 3000 0.374417 10000 0.273560 5000 0.330479 100000 0.123475 err Bảng 2.2 35 Kết luận Luận văn trình bày lại cách có hệ thống phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp điểm gần kề quán tính , với tính ổn định phương pháp cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Banach Cụ thể là: • Sơ lược số tính chất hình học đặc trưng khơng gian Banach, tốn tử j-đơn điệu; Bài tốn đặt khơng chỉnh, phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, phương pháp điểm gần kề quán tính phương pháp điểm gần kề qn tính hiệu chỉnh; • Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp điểm gần qn tính hiệu chỉnh, tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Banach có ánh xạ đối ngẫu liên tục yếu theo dãy tài liệu [25]; • Trình bày tính ổn định phương pháp lặp giới thiệu tài liệu [25], miền xác định Ci ánh xạ Ti cho nhiễu (xem [20]) 36 Tài liệu tham khảo [1] Agarwal R P., O’Regan D., Sahu D R (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer [2] Alber Y (1975), "On solving nonlinear equations involving monotone operators in Banach spaces", Sib Math J., Vol 16 (1), , pp 3-11 [3] Alber Y (2007), "On the stability of iterative approximatins to fixed points of nonexpansive mappings", J Math Anal Appl., 328, pp 958-971 [4] Alber Y., Ryazantseva I (2006), Nonlinear Ill-Posed Problems of Monotone Type, Springer [5] Alber Y., Reich S., Yao J-C (2003), "Iterative methods for solving fixed point problems with nonself-mappings in Banach spaces", Abstr Appl Anal., 4, pp 194-216 [6] Alvarez F (2000), "On the minimizing property of a second order dissipative system in Hilbert space", SIAM J Control Optim., 38 (4), pp 1102-1119 [7] Alvarez F., Attouch H (2001), "An inertial proximal method for maximal monotone operators via discretization of a nonolinear oscillator with damping", Set-Valued Analysis, (1-2), pp 3-11 [8] Bauschke H H., Matouˇskov´a E., Reich S (2004), "Projection and proximal point methods: convergence results and counterexamples", Nonlinear Analysis, 56, pp 715-738 37 [9] Browder, F E (1966), "Existence and approximation of solution of nonlinear variational inequalities", Proc Nat Acad Sci., U.S.A., 56 (4), pp 1080-1086 [10] Browder, F E (1967), "Nonlinear mapping of nonexpansive and accretive type in Banach spaces", Bull Amer Math Soc., 73, pp 875-882 [11] Buong Ng (2006), "Regularization for unconstrained vector optimization of convex functionals in Banach spaces", Compt Math and Math Phys., 46 (3), pp 372-378 [12] Buong Ng (2008), "Regularization proximal point algorithm for unconstrained vector convex optimization problems", Ukrainian Mathematical Journal, 60 (9), pp 1483-1491 [13] Diestel J (1970), Geometry of Banach Spaces-Selected Topics, SpringerVerlag [14] Figiel T (1976), "On the modunli of convexity and smoothness", Studia Math., 56, pp 121-155 [15] Goebel K., Kirk W.A (1990), Topic in Metric Fixed Point Theory, Cambridge University Press [16] Goebel K., Reich S (1984), Uniform Convexity, Hyperbolic Geometry and Nonexpansive Mappings, Marcel Dekker, New York and Basel [17] Guler O (1991), "On the convergence of the proximal point algorithm for convex minimization", SIAM J Control Optim., 29 (2), pp 403-419 [18] Hadamard J (1902), "Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur signification physique", Princeton University Bulletin, 13, pp 49-52 [19] Kim J K., T M Tuyen (2011), "Regularization proximal point algorithm for finding a common fixed point of a finite family of nonexpansive mappings in Banach spaces", Fixed Point Theory and Applications, 2011 (52) 38 [20] Kim J K., T M Tuyen (2016),"On the some regularization methods for common fixed point of a finite family of nonexpansive mappings", J Nonl and Conv Ana., 17 (1), pp 93-104 [21] Lindenstrauss J., Tzafriri L (1979), Classical Banach Spaces II: Function Spaces, Ergebnisse Math Grenzgebiete Bd 97, Springer-Verlag [22] Martinet B (1970), "Regularisation dinequations variationnelles par approximation successives", Rev PranMc-aise Informat Recherche operationnelle, 4, pp 154-158 [23] Rockafellar R T (1970), " On the maximal monotonicity of subdifferential mappings", Pacific J Math., Vol 33 (1), pp 209-216 [24] Rockafellar R T (1976), "Monotone operators and proximal point algorithm", SIAM J Control Optim., 14, pp 887-897 [25] Tuyen T.M (2012), "Regularization for the problem of finding a common fixed point of a finite family of nonexpansive mappings in Banach spaces", Nonl Func Anal and Appl., 17 (1), pp 89-98 [26] Xu H K (2006), A regularization method for the proximal point algorithm, J Global Optim., 36 (1) (2006), pp 115-125 ... Chương Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp điểm gần kề qn tính hiệu chỉnh Trong chương này, chúng tơi phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh, với tính. .. giãn tính chất chúng Mục 1.2 giới thiệu toán đặt không chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Mục 1.3 1.4 trình bày phương pháp điểm gần kề quán tính phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh. .. số tính chất hình học đặc trưng khơng gian Banach, tốn tử j-đơn điệu; Bài tốn đặt khơng chỉnh, phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, phương pháp điểm gần kề quán tính phương pháp điểm gần kề quán tính