THÔNG TIN TÀI LIỆU
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ THU THỦY lu an n va p ie gh tn to PHƢƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TIKHONOV VÀ PHƢƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ QUÁN TÍNH HIỆU CHỈNH CHO BÀI TỐN ĐIỂM BẤT ĐƠNG CHUNG CỦA MỘT HỌ HỮU HẠN ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH d oa nl w nf va an lu lm ul z at nh oi LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2016 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ THU THỦY lu an n va p ie gh tn to PHƢƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TIKHONOV VÀ PHƢƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ QN TÍNH HIỆU CHỈNH CHO BÀI TỐN ĐIỂM BẤT ĐÔNG CHUNG CỦA MỘT HỌ HỮU HẠN ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH d oa nl w nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Mã số : 60 46 01 12 z at nh oi lm ul Chuyên ngành :Toán ứng dụng z NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: @ m co l gm TS Trƣơng Minh Tuyên an Lu THÁI NGUYÊN - 2016 n va ac th si i Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Trương Minh Tuyên, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu để lu an hoàn thành luận văn n va Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, thầy giáo khoa Tốn truyền thụ kiến thức cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu gh tn to - Tin trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên tận tình giúp đỡ ie Trường p Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Thái Nguyên, lãnh nl w đạo trường Trung học phổ thông Gang Thép toàn thể đồng nghiệp oa trường Trung học phổ thông Gang Thép quan tâm tạo điều kiện d thuận lợi cho thực kế hoạch học tập nghiên cứu lu va an Xin chân thành cảm ơn học viên lớp Cao học Toán K8A nf bạn đồng nghiệp xa gần động viên, khích lệ trao đổi chuyên oi lm ul mơn suốt q trình học tập, nghiên cứu hoàn thiện luận văn z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si ii Mục lục Lời cảm ơn i lu an Một số ký hiệu viết tắt iii va n Mở đầu tn to gh Chương Kiến thức chuẩn bị p ie 1.1 Một số vấn đề hình học khơng gian Banach, tốn tử đơn w điệu ánh xạ không giãn oa nl 1.2 Bài tốn đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh 13 1.2.1 Khái niệm tốn đặt khơng chỉnh 13 d an lu 1.2.2 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 14 va 1.3 Phương pháp điểm gần kề quán tính 17 ul nf 1.4 Phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh 19 oi lm 1.5 Một số bổ đề bổ trợ 20 z at nh Chương Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh 21 z 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 21 @ gm 2.2 Phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh 29 Kết luận 35 an Lu Tài liệu tham khảo m co l 2.3 Ví dụ số minh họa 33 36 n va ac th si iii Một số ký hiệu viết tắt lu an n va không gian Banach E∗ không gian đối ngẫu E θ phần tử không không gian Banach E R tập hợp số thực gh tn to E R+ p ie tập số thực không âm phép giao w ∩ cận tập hợp số M số nhỏ tập hợp số M nf tập điểm cực tiểu hàm F X oi lm ul argminx∈X F (x) số lớn tập hợp số M va M an lu max M cận tập hợp số M d sup M oa nl inf M tập rỗng ∀x với x D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền ảnh toán tử A A−1 toán tử ngược toán tử A I tốn tử đồng Lp (Ω) khơng gian hàm khả tích bậc p Ω lp khơng gian dãy số khả tổng bậc p d(x, M ) khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp M z at nh ∅ z m co l gm @ an Lu n va ac th si iv H(C1 , C2 ) khoảng cách Hausdorff hai tập hợp C1 C2 lim sup xn giới hạn dãy số {xn } n→∞ lu an n va dãy số thực {αn } hội tụ giảm α0 xn −→ x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị δE (ε) mô đun lồi không gian Banach E ρE (τ ) mô đun trơn không gian Banach E F ix(T ) F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T ∂f vi phân hàm lồi f ie gh tn to αn & α0 bao đóng tập hợp M p M khoảng cách tử phần tử a đến tập hợp M sai số nghiệm xấp xỉ so với nghiệm xác d oa err nl w d(a, M ) oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Bài tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Hilbert hay không gian Banach trường hợp riêng lu an toán chấp nhận lồi: "Tìm phần tử thuộc giao khác rỗng họ n va hữu hạn hay vô hạn tập lồi đóng {Ci }i∈I khơng gian Hilbert H tn to hay khơng gian Banach E" Bài tốn có nhiều ứng dụng quan trọng lĩnh vực khoa học khác như: Xử lí ảnh, khơi phục tín hiệu, vật lý, y gh p ie học Khi Ci = F ix(Ti ), với F ix(Ti ) tập điểm bất động ánh xạ không giãn nl w Ti , i = 1, 2, , N , có nhiều phương pháp đề xuất dựa d oa phương pháp lặp cổ điển tiếng Đó phương pháp lặp Kranoselskii, an lu Mann, Ishikawa, Halpern phương pháp xấp xỉ mềm Chẳng hạn, tương tự phương pháp chiếu xoay vịng để giải tốn chấp nhận lồi không va ul nf gian Hilbert, năm 1996 Bauschke H H đề xuất phương pháp lặp xoay vòng oi lm dựa phương pháp lặp Halpern cho toán tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Hilbert z at nh Ta biết rằng, T ánh xạ khơng giãn khơng gian Banach E, toán tử A = I − T toán tử j-đơn điệu, với I toán tử đồng z @ E Như vậy, tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn gm ánh xạ không giãn Ti không gian Banach E đưa tốn tìm i = 1, 2, , N m co l không điểm chung họ hữu hạn toán tử j-đơn điệu Ai = I − Ti với an Lu Đối với tốn tìm nghiệm chung họ hữu hạn phương trình tốn tử với tốn tử đơn điệu cực đại, năm 2006 tác giả Buong Ng [11] va đề xuất nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho toán n ac th si tìm khơng điểm chung họ hữu hạn toán tử đơn trị đơn điệu, năng, h-liên tục từ không gian Banach E vào không gian đối ngẫu E ∗ Ơng quy tốn giải hệ phương trình với tốn tử đơn điệu cực đại việc giải phương trình tốn tử thu hội tụ mạnh thuật toán nghiệm hệ tham số hiệu chỉnh chọn thích hợp Năm 2008, sở kết nghiên cứu đạt vào năm 2006, tác giả Buong Ng [12] lần nghiên cứu kết hợp phương pháp điểm gần kề quán tính với hiệu chỉnh gọi phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu lu an chỉnh, cho việc giải tốn tìm khơng điểm chung họ hữu hạn n va toán tử đơn điệu cực đại Ai = ∂fi , với ∂fi vi phân phiếm hàm Hilbert H gh tn to lồi, thường, nửa liên tục yếu fi , i = 1, 2, , N khơng gian Mục đích luận văn trình bày lại kết báo ie p Tuyen T.M [25] báo Kim J.K., Tuyen T.M [20] phương pháp nl w hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh, oa với tính ổn định phương pháp cho tốn tìm điểm bất động chung d họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Banach Nội dung lu va an luận văn chia làm hai chương Chương 1, giới thiệu sơ lược số vấn đề liên quan đến cấu trúc hình học khơng gian Banach, tốn đặt nf oi lm ul khơng chỉnh với tốn tử loại đơn điệu, phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, phương pháp điểm gần kề quán tính , phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu z at nh chỉnh cuối số bổ đề cần sử dụng cho việc chứng minh kết nghiên cứu đạt chương sau luận văn Chương 2, trình bày z phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp điểm gần kề quán tính @ gm hiệu chỉnh cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ l không giãn khơng gian Banach có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu an Lu thiệu chương m co theo dãy [25], đồng thời tính ổn định phương pháp [20] giới n va ac th si Chương Kiến thức chuẩn bị lu an Chương bao bồm mục Mục 1.1 trình bày số vấn đề khơng va n gian Banach lồi đều, trơn đều, số lớp toán tử loại đơn điệu, ánh xạ không tn to giãn tính chất chúng Mục 1.2 giới thiệu tốn đặt ie gh khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Mục 1.3 1.4 trình bày p phương pháp điểm gần kề quán tính phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh Mục 1.5 trình bày số bổ đề quan trọng thường xuyên sử dụng w d oa nl đến việc chứng minh định lý chương sau luận văn Một số vấn đề hình học khơng gian Banach, tốn tử đơn điệu ánh xạ không giãn nf va an lu 1.1 oi lm ul Cho E không gian Banach E ∗ không gian đối ngẫu Để cho đơn giản thuận tiện hơn, chúng tơi thống sử dụng kí hiệu k.k để z at nh chuẩn E E ∗ ; Sự hội tụ mạnh yếu dãy {xn } phần tử x E kí hiệu xn → x xn * x toàn luận văn z Trong luận văn này, chúng tơi thường xun sử dụng tính chất l gm @ không gian Banach phản xạ Mệnh đề 1.1 (xem [1] trang 41) Cho E khơng gian Banach Khi đó, an Lu i) E không gian phản xạ m co khẳng định sau tương đương: n va ii) Mọi dãy bị chặn E, có dãy hội tụ yếu ac th si Tiếp theo, mục đề cập đến số vấn đề cấu trúc hình học khơng gian Banach, như: tính lồi, tính trơn, mơ đun lồi, mơ đun trơn Định nghĩa 1.1 Không gian Banach E gọi lồi chặt với x, y ∈ E, x 6= y mà kxk = 1, kyk = ta có x + y < Chú ý 1.1 Định nghĩa 1.1 cịn phát biểu dạng tương đương lu an n va tn to sau: Không gian Banach E gọi lồi chặt với x, y ∈ SE thỏa kx + yk mãn = 1, suy x = y với x, y ∈ SE x 6= y ta có ktx + (1 − t)yk < với t ∈ (0, 1), ie gh SE = {x ∈ E : kxk = 1} p Định nghĩa 1.2 Không gian Banach E gọi lồi với ε > 0, oa ln có nl w tồn δ(ε) > cho với x, y ∈ E mà kxk = 1, kyk = 1, kx − yk ≥ ε ta d x + y ≤ − δ(ε) an lu Dễ thấy E khơng gian Banach lồi khơng gian va oi lm điều ul nf Banach lồi chặt Tuy nhiên điều ngược lại không đúng, ví dụ Ví dụ 1.1 (xem [1] trang 54) Xét E = c0 (không gian dãy số hội tụ z at nh z không) với chuẩn k.kβ xác định X 1/2 ∞ |xi |2 kxkβ = kxkc0 + β , x = (xi ) ∈ c0 i i=1 gm @ m co lồi l Khi đó, (E, k.kβ ), β > không gian lồi chặt khơng khơng gian Để đo tính lồi không gian Banach E, người ta đưa vào khái niệm sau: an Lu n va Mô đun lồi không gian Banach E hàm số x + y δE (ε) = inf − : kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk ≥ ε ac th si 24 Từ phương trình (2.9) (2.2) từ tính j-đơn điệu tốn tử PN i=1 Ai , ta có hαn+1 xn+1 − αn xn , j(xn+1 − xn )i ≤ (2.10) Suy αn kxn+1 − xn k2 ≤ (αn+1 − αn )h−xn+1 , j(xn+1 − xn )i ≤ |αn+1 − αn |.kxn+1 k.kxn+1 − xn k ≤ 2kQS θk.|αn+1 − αn |.kxn+1 − xn k lu an Do va n kxn+1 − xn k ≤ |αn+1 − αn | R0 , ∀n ≥ 0, αn gh tn to R0 = 2kQS θk p ie Năm 2011, để giải toán (1.17), Kim J.K Tuyen T.M [19] sử dụng (2.11) an lu i=1 Bi (xn+1 ) + xn+1 = tn u + (1 − tn )xn , u, x0 ∈ E, n ≥ 0, d rn N X oa nl w phương pháp prox-Tikhonov thu hội tụ mạnh dãy {xn } xác định nf va Bi = I − Ti QCi , i = 1, 2, , N QCi : E −→ Ci ánh xạ co rút oi lm ul không giãn từ E lên Ci , i = 1, 2, , N Họ chứng minh định lý đây: Định lí 2.2 [19] Giả sử E không gian Banach lồi trơn có ánh z at nh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j liên tục yếu theo dãy từ E vào E ∗ Cho Ci tập lồi, đóng co rút khơng giãn E cho Ti : Ci −→ Ci , i = 1, 2, , N z n=0 tn = +∞, an Lu ii) limn→∞ rn = +∞, m co P∞ l i) limn→∞ tn = 0, gm {tn } ⊂ (0, 1) thỏa mãn điều kiện @ ánh xạ không giãn cho S = ∩N i=1 F (Ti ) 6= ∅ Nếu dãy số {rn } ⊂ (0, +∞) n ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S va dãy {xn } xác định (2.11) hội tụ mạnh QS u, QS : E −→ S ac th si 25 Hơn nữa, họ nghiên cứu tính ổn định phương pháp lặp (2.11) trường hợp Ci tập lồi, đóng co rút khơng giãn theo tia E, tất miền xác định Ci ánh xạ không giãn Ti cho nhiễu Cụ thể hơn, giả thiết nhiễu đặt sau: (P1) Thay cho tập Ci , tồn tập lồi, đóng, co rút khơng giãn theo tia Cin ⊂ E, n = 1, 2, 3, thỏa mãn H(Cin , Ci ) ≤ δn , i = 1, 2, , N, lu an {δn } dãy số thực khơng âm n va 1, 2, , N thỏa mãn điều kiện: tồn hàm tăng không âm g(t) ξ(t) xác định với t > cho g(0) ≥ 0, ξ(0) = x ∈ Ci , ie gh tn to (P2) Đối với tập Cin , tồn ánh xạ không giãn Tin : Cin −→ Cin , i = p y ∈ Cim thỏa mãn kx − yk ≤ δ, w (2.12) d oa nl kTi x − Tim yk ≤ g(max{kxk, kyk})ξ(δ) va Bin (zn+1 ) + zn+1 = tn u + (1 − tn )zn , u, z0 ∈ E, n ≥ 0, (2.13) nf rn N X an lu Chính xác hơn, họ thiết lập tính ổn định (2.11) dạng oi lm ul i=1 Bin = I − Tin QCin , i = 1, 2, , N QCin : E −→ Cin ánh xạ co z at nh rút không gian theo tia từ E lên Cin , i = 1, 2, , N Định lí 2.3 [19] Giả sử E không gian Banach lồi trơn có ánh z gm @ xạ đối ngẫu chuẩn tắc j liên tục yếu theo dãy từ E vào E ∗ Cho Ci tập lồi, đóng co rút khơng giãn theo tia E cho Ti : Ci −→ Ci , i = 1, 2, , N l m co ánh xạ không giãn cho S = ∩N i=1 F (Ti ) 6= ∅ Nếu điều kiện (P1) (P2) thỏa mãn dãy số {rn }, {δn } {tn } thỏa mãn điều kiện P∞ = +∞, n va ii) limn→∞ rn = +∞, n=0 tn an Lu i) limn→∞ tn = 0, ac th si 26 iii) P∞ p n=0 rn ξ(a hE (δn )) < +∞ với a > 0, dãy {zn } xác định (2.13) hội tụ mạnh QS u, QS : E −→ S ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S Chú ý 2.1 Các điều kiện nhiễu (P1) (P2) nghiên cứu Alber Y ơng xét tính ổn định phương pháp đường dốc cho tốn tìm điểm bất động ánh xạ không giãn [3] Tuy nhiên, Alber nghiên cứu cho trường hợp ánh xạ lu an Năm 2016, tác giả Kim J.K Tuyên T.M nghiên cứu thiết lập n va tính ổn định phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov (2.2) dạng tn to N X Bin (zn ) + αn zn = 0, (2.14) ie gh i=1 p u0 , u1 ∈ E, Bin = I − Tin QCin QCin : E −→ Cin ánh xạ co rút w không giãn theo tia từ E lên Cin , i = 1, 2, , N , tương ứng Banach E Đặt d oa nl Ta cần nhắc lại tính chất quan trọng mô đun trơn không gian lu ρE (τ ) , τ > (2.15) τ Khi đó, hàm số hE (τ ) không giảm Hơn nữa, ta dễ dàng đánh giá ul nf va an hE (τ ) = hE (Kτ ) ≤ LKhE (τ ) ∀K > 1, τ > 0, oi lm (2.16) z at nh L số Figiel Thật vậy, tài liệu [14] ta có bất đẳng thức ρE (ξ) ρE (η) ≤ L , ∀η ≥ ξ > η2 ξ2 z (2.17) @ l gm Do ξhE (η) ≤ LηhE (ξ), ∀η ≥ ξ > (2.18) m co Trong (2.18) thay η = Cτ thay ξ = τ , ta nhận (2.19) n va suy bất đẳng thức cần chứng minh an Lu τ hE (Cτ ) ≤ LCτ hE (τ ), ac th si 27 Định lí 2.4 Giả sử E không gian Banach lồi trơn có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j liên tục yếu theo dãy từ E vào E ∗ Cho Ci tập lồi, đóng co rút không giãn theo tia E cho Ti : Ci −→ Ci , i = 1, 2, , N ánh xạ không giãn cho S = ∩N i=1 F (Ti ) 6= ∅ i) Với αn > 0, phương trình (2.14) có nghiệm zn ii) Nếu điều kiện (P1) (P2) thỏa mãn dãy số {αn }, {δn } thỏa mãn lu p ξ a hE (δn ) αn −→ 0, −→ với a > 0, αn an (2.20) va n zn −→ QS θ n −→ ∞, QS : E −→ S ánh xạ co rút không tn to giãn theo tia từ E lên S p ie gh Hơn nữa, ta có đánh giá sau p g(M )ξ γ3,4 hE (δn ) |αn − αn+1 | kzn+1 − zn k ≤ R +N αn αn nl w (2.21) d oa R, M , γ3,4 số dương va an lu Chứng minh i) Trước hết, ta phương trình (2.14) có nghiệm PN zn Thật vậy, tốn tử i=1 Bin Lipschitz j-đơn điệu E, nên ul nf m-j-đơn điệu (Chú ý 1.7) Do vậy, phương trình (2.14) xác định oi lm phần tử zn ∈ E ii) Từ phương trình (2.2) (2.14), ta có Bin (zn ) − Bin (xn ) z at nh N X + αn (zn − xn ) + Bin (xn ) − Bi (xn ) = i=1 z i=1 N X n i=1 Bi , ta nhận l gm Bin (xn ) − Bi (xn ) , j(zn − xn )i ≤ m co hαn (zn − xn ) + N X PN @ Từ tính j-đơn điệu tốn tử i=1 an Lu Suy n i=1 kBin (xn ) − Bi (xn )k va αn kzn − xn k ≤ N X ac th si 28 Với i ∈ {1, 2, , N }, kBin (xn ) − Bi (xn )k = kTin QCin xn − Ti QCi xn k Vì {xn } bị chặn H(Ci , Cin ) ≤ δn , nên tồn số K1,i > K2,i > cho bất đẳng thức q p p kQCi xn − QCin xn k ≤ K1,i hE (K2,i δn ) ≤ K1,i K2,i L hE (δn ) Từ điều kiện (P2), ta có lu an n va kTin QCin xn − Ti QCi xn k ≤ g(Mi )ξ K1,i p p K2,i L hE (δn ) , tn to Mi = max{supn kQCi xn k, supn kQCin xn k} < +∞ ie gh Như vậy, ta thu p αn kzn − xn k ≤ N g(M )ξ γ1,2 p hE (δn ) , w nl M = max {Mi } γ1,2 = i=1,2, ,N max {K1,i i=1,2, ,N p K2,i L} oa d Do đó, va an lu p g(M )ξ γ1,2 hE (δn ) −→ 0, n −→ ∞ kzn − xn k ≤ N αn oi lm ul zn −→ QS θ nf Theo Định lý 2.1, xn −→ QS θ, nên kết hợp với bất đẳng thức ta nhận Cuối ta chứng minh bất đẳng thức (2.21) Trong phương trình (2.14) N X z at nh thay n n + 1, ta nhận Bin+1 (zn+1 ) + αn+1 zn+1 = z (2.22) m co N X l Từ phương trình (2.14) (2.22), ta có gm @ i=1 Bin+1 (zn+1 ) − Bin+1 (zn ) + αn+1 zn+1 − αn zn n i=1 Bin+1 (zn ) − Bin (zn ) = va + N X an Lu i=1 ac th si 29 Từ tính j-đơn điệu toán tử PN n i=1 Bi , ta thu N X kBin+1 (zn ) − Bin (zn )k, (2.23) kBin+1 (zn ) − Bin (zn )k = kTin+1 QCin+1 zn − Tin QCin zn k, (2.24) αn kzn+1 − zn k ≤ R|αn − αn+1 | + i=1 R = supn kzn k Với i ∈ {1, 2, , N }, ta có đánh giá lu H(Cin , Cin+1 ) ≤ H(Cin , Ci ) + H(Ci , Cin+1 ) ≤ δn + δn+1 ≤ 2δn an n va Vì dãy {zn } bị chặn, nên tồn số K3,i > K4,i > cho bất tn to đẳng thức sau ie gh q p p kQCin zn − QCin+1 zn k ≤ K3,i hE (K4,i δn ) ≤ K3,i K4,i L hE (δn ) p Từ điều kiện (P2), suy p p K4,i L hE (δn ) , nl w kTin+1 QCin+1 zn − Tin QCin zn k ≤ g(M )ξ K3,i d oa Mi0 = max{supn kQCin zn k, supn kQCin+1 zn k} < +∞ an lu Từ(2.23), (2.24) (2.4), ta nhận Do đó, oi lm i=1,2, ,N ul nf va p αn kzn+1 − zn k ≤ R|αn − αn+1 | + N g(M )ξ γ3,4 hE (δn ) , p M = max {Mi0 } γ3,4 = max {K3,i K4,i L} i=1,2, ,N z at nh p g(M )ξ γ3,4 hE (δn ) |αn − αn+1 | kzn+1 − zn k ≤ R +N αn αn Định lý chứng minh z @ Phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh l gm 2.2 m co Trong mục này, chúng tơi trình bày phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu va i=1 an Lu chỉnh dạng X N cn Ai (un+1 ) + αn un+1 + un+1 = un + γn (un − un−1 ), u0 , u1 ∈ E (2.25) n đề xuất Tuyên T.M tài liệu [25] để giải toán (2.1) ac th si 30 Định lí 2.5 Giả sử E khơng gian Banach lồi trơn có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j liên tục yếu theo dãy từ E vào E ∗ Cho Ci tập lồi, đóng co rút khơng giãn E cho Ti : Ci −→ Ci , i = 1, 2, , N ánh xạ không giãn cho S = ∩N i=1 F (Ti ) 6= ∅ Nếu dãy số {cn }, {αn } {γn } thỏa mãn điều kiện i) < c0 < cn , αn > 0, αn −→ 0, P∞ |αn+1 − αn | −→ 0, n=0 αn = +∞; αn2 ii) γn ≥ 0, γn αn−1 kun − un−1 k −→ 0, lu an dãy {un } xác định (2.25) hội tụ mạnh QS θ, QS : E −→ S n va ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S gh tn to Chứng minh Trước hết, ta phương trình (2.25) có nghiệm un+1 PN Thật vậy, tốn tử i=1 Ai Lipschitz j-đơn điệu E, nên m-j- p ie đơn điệu (Chú ý 1.7) Do đó, phương trình (2.25) có nghiệm un+1 nl w Ta viết lại phương trình (2.2) (2.25) dạng oa dn N X (2.26) d i=1 N X Ai (xn ) + xn = βn xn , an lu dn (2.27) nf va i=1 Ai (un+1 ) + un+1 = βn (un + γn (un − un−1 )), oi lm ul dn = cn βn + cn αn PN Từ phương trình (2.26) (2.27) từ tính j-đơn điệu tốn tử i=1 Ai , tương ứng, βn = z at nh ta nhận z kuu+1 − xn k ≤ βn kun − xn k + βn γn kun − un−1 k @ kun+1 − xn+1 k ≤ kun+1 − xn k + kxn+1 − xn k l gm Suy (2.28) m co ≤ βn kun − xn k + βn γn kun − un−1 k + n (2.29) ac th cn αn , + cn αn va kun+1 − xn+1 k ≤ (1 − bn )kun − xn k + σn , bn = an Lu hay tương đương với |αn+1 − αn | R0 , αn si 31 σn = βn γn kun − un−1 k + |αn+1 − αn | R0 αn Từ giả thiết, ta có σn 1 |αn+1 − αn | = αn−1 γn kun − un−1 k + ( + αn ) R0 bn cn cn αn2 1 |αn+1 − αn | ≤ αn−1 γn kun − un−1 k + ( + αn ) R0 −→ c0 c0 αn2 P∞ P∞ Thêm nữa, n=0 αn = +∞, nên n=0 bn = +∞ Áp dụng Bổ đề 1.4, ta nhận kun − xn k −→ Do xn −→ QS θ n −→ ∞, lu an nên un −→ QS θ n −→ ∞ n va Định lý chứng minh tn to Dưới đây, luận văn trình bày tính ổn định phương pháp điểm gần gh kề quán tính hiệu chỉnh (2.25) đề xuất tác giả Kim J.K Tuyên p ie T.M tài liệu [20], dạng X N n Bi (un+1 ) + αn un+1 + un+1 = un + γn (un − un−1 ), cn nl w (2.30) oa i=1 d u0 , u1 ∈ E, Bin = I − Tin QCin QCin : E −→ Cin ánh xạ co rút lu va an không giãn theo tia từ E lên Cin , i = 1, 2, , N , tương ứng ul nf Định lí 2.6 Giả sử E khơng gian Banach lồi trơn có ánh xạ oi lm đối ngẫu chuẩn tắc j liên tục yếu theo dãy từ E vào E ∗ Cho Ci tập lồi, đóng co rút không giãn theo tia E cho Ti : Ci −→ Ci , i = 1, 2, , N z at nh ánh xạ không giãn cho S = ∩N i=1 F (Ti ) 6= ∅ Nếu điều kiện (P1) (P2) thỏa mãn dãy số dương {αn }, {cn }, {γn } thỏa mãn z an Lu iii) < c0 < cn , γn αn−1 kun − un−1 k −→ 0, m co l gm @ P∞ |αn − αn+1 | −→ 0, n=1 αn = +∞, αn2 p ξ a hE (δn ) −→ với a > 0, ii) αn2 i) αn −→ 0, n ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S va dãy {un } xác định (2.30) hội tụ mạnh QS θ, QS : E −→ S ac th si 32 Chứng minh Trước hết, ta phương trình (2.30) xác định PN phần tử un+1 Thật vậy, tốn tử i=1 Bin Lipschitz j-đơn điệu E, nên m-j-đơn điệu (Chú ý 1.7) Suy phương trình (2.30) có nghiệm un+1 Ta viết lại phương trình (2.14) (2.30) dạng dn lu an dn N X i=1 N X Bin (zn ) + zn = βn zn , (2.31) Bin (un+1 ) + un+1 = βn un + γn (un − un−1 ) , (2.32) i=1 n va gh tn to dn = cn βn + cn αn PN Từ phương trình (2.31), (2.32) từ tính j-đơn điệu tốn tử i=1 Bin , βn = p ie ta nhận kun+1 − zn k ≤ βn kun − zn k + βn γn kun − un−1 k (2.33) d oa nl w Suy lu an kun+1 − zn+1 k ≤ kun+1 − zn k + kzn+1 − zn k va ≤ βn kun − zn k + βn γn kun − un−1 k p g(M )ξ γ3,4 hE (δn ) |αn − αn+1 | +R +N αn αn oi lm ul nf (2.34) z at nh Ta viết lại (2.34) dạng kun+1 − zn+1 k ≤ (1 − bn )kun − zn k + σn , (2.35) z m co l σn = βn γn kun − un−1 k gm cn αn + cn αn @ bn = an Lu p g(M )ξ γ3,4 hE (δn ) |αn − αn+1 | +R +N αn αn n va ac th si 33 Từ giả thiết, ta có lu σn = γn αn−1 kun − un−1 k bn cn p g(M )ξ γ3,4 hE (δn ) |αn − αn+1 | + + αn R +N cn αn2 αn2 ≤ γn αn−1 kun − un−1 k c0 p g(M )ξ γ3,4 hE (δn ) |αn − αn+1 | + + αn R +N −→ 0, n −→ ∞ c0 αn2 αn2 P∞ P∞ Vì n=0 αn = +∞, nên n=0 bn = +∞ an n va Áp dụng Bổ đề 1.4 vào (2.33), ta thu kun − zn k −→ Do zn −→ QS θ tn to n −→ ∞, nên suy un −→ QS θ n −→ ∞ Định lý chứng minh ie gh p 2.3 Ví dụ số minh họa w oa nl Ví dụ 2.1 Xét hệ phương trình tuyến tính Ax = b, với A = (aij )101x200 d xác định ai,i+k = với i = 1, 2, , 101 k = 0, 1, 2, , 99, phần an lu tử aij khác bi = 100 với i = 1, 2, , 101 va Dễ thấy hệ phương trình có vơ số nghiệm (hệ nghiệm phụ thuộc 99 oi lm ul nf tham số) nghiệm có chuẩn nhỏ hệ phương trình x∗ = (x∗1 x∗2 x∗200 ) với x∗i = với i = 1, 2, , 200 z at nh Chú ý 2.2 Sai số nghiệm xấp xỉ so với nghiệm ví dụ z xác định max − x∗i | gm i=1,2, ,200 (nmax ) |xi @ err = m co l - Khi áp dụng phương pháp lặp (2.2) với αn = 1/n, ta có bảng kết sau: an Lu n va ac th si 34 n n err 100 0.273269 700 0.063999 200 0.174990 800 0.056841 300 0.129549 900 0.051127 400 0.103036 1000 0.046458 500 0.085595 err 600 0.073230 10000 0.005049 Bảng 2.1 lu an √ - Khi áp dụng phương pháp lặp (2.25) với cn = 1, αn = 1/ n γn = 0, ta va n có bảng kết sau: tn to n p ie gh err 1000 0.470916 7000 0.302372 3000 0.374417 10000 0.273560 5000 0.330479 100000 0.123475 oa nl w n err d Bảng 2.2 oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 35 Kết luận Luận văn trình bày lại cách có hệ thống phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp điểm gần kề quán tính , với tính ổn định lu an phương pháp cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn n va ánh xạ không giãn khơng gian Banach Cụ thể là: tốn tử j-đơn điệu; Bài tốn đặt khơng chỉnh, phương pháp hiệu chỉnh ie gh tn to • Sơ lược số tính chất hình học đặc trưng khơng gian Banach, p Tikhonov, phương pháp điểm gần kề quán tính phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh; nl w d oa • Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp điểm gần qn tính hiệu chỉnh, tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không lu tài liệu [25]; ul nf va an giãn khơng gian Banach có ánh xạ đối ngẫu liên tục yếu theo dãy oi lm • Trình bày tính ổn định phương pháp lặp giới thiệu tài liệu [25], miền xác định Ci ánh xạ Ti cho nhiễu z at nh (xem [20]) z m co l gm @ an Lu n va ac th si 36 Tài liệu tham khảo [1] Agarwal R P., O’Regan D., Sahu D R (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer lu an [2] Alber Y (1975), "On solving nonlinear equations involving monotone op- va n erators in Banach spaces", Sib Math J., Vol 16 (1), , pp 3-11 of nonexpansive mappings", J Math Anal Appl., 328, pp 958-971 p ie gh tn to [3] Alber Y (2007), "On the stability of iterative approximatins to fixed points w [4] Alber Y., Ryazantseva I (2006), Nonlinear Ill-Posed Problems of Monotone oa nl Type, Springer d [5] Alber Y., Reich S., Yao J-C (2003), "Iterative methods for solving fixed lu va an point problems with nonself-mappings in Banach spaces", Abstr Appl Anal., 4, pp 194-216 ul nf oi lm [6] Alvarez F (2000), "On the minimizing property of a second order dissipative system in Hilbert space", SIAM J Control Optim., 38 (4), pp 1102-1119 z at nh [7] Alvarez F., Attouch H (2001), "An inertial proximal method for maximal z monotone operators via discretization of a nonolinear oscillator with damp- @ l gm ing", Set-Valued Analysis, (1-2), pp 3-11 [8] Bauschke H H., Matouˇskov´a E., Reich S (2004), "Projection and proxi- m co mal point methods: convergence results and counterexamples", Nonlinear an Lu Analysis, 56, pp 715-738 n va ac th si 37 [9] Browder, F E (1966), "Existence and approximation of solution of nonlinear variational inequalities", Proc Nat Acad Sci., U.S.A., 56 (4), pp 1080-1086 [10] Browder, F E (1967), "Nonlinear mapping of nonexpansive and accretive type in Banach spaces", Bull Amer Math Soc., 73, pp 875-882 [11] Buong Ng (2006), "Regularization for unconstrained vector optimization of convex functionals in Banach spaces", Compt Math and Math Phys., lu an 46 (3), pp 372-378 va [12] Buong Ng (2008), "Regularization proximal point algorithm for uncon- n Journal, 60 (9), pp 1483-1491 ie gh tn to strained vector convex optimization problems", Ukrainian Mathematical p [13] Diestel J (1970), Geometry of Banach Spaces-Selected Topics, Springer- nl w Verlag d oa [14] Figiel T (1976), "On the modunli of convexity and smoothness", Studia an lu Math., 56, pp 121-155 nf va [15] Goebel K., Kirk W.A (1990), Topic in Metric Fixed Point Theory, Cam- oi lm ul bridge University Press [16] Goebel K., Reich S (1984), Uniform Convexity, Hyperbolic Geometry and z at nh Nonexpansive Mappings, Marcel Dekker, New York and Basel z [17] Guler O (1991), "On the convergence of the proximal point algorithm for @ convex minimization", SIAM J Control Optim., 29 (2), pp 403-419 gm m co l [18] Hadamard J (1902), "Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur signification physique", Princeton University Bulletin, 13, pp 49-52 an Lu [19] Kim J K., T M Tuyen (2011), "Regularization proximal point algorithm for finding a common fixed point of a finite family of nonexpansive mappings va n in Banach spaces", Fixed Point Theory and Applications, 2011 (52) ac th si 38 [20] Kim J K., T M Tuyen (2016),"On the some regularization methods for common fixed point of a finite family of nonexpansive mappings", J Nonl and Conv Ana., 17 (1), pp 93-104 [21] Lindenstrauss J., Tzafriri L (1979), Classical Banach Spaces II: Function Spaces, Ergebnisse Math Grenzgebiete Bd 97, Springer-Verlag [22] Martinet B (1970), "Regularisation dinequations variationnelles par approximation successives", Rev PranMc-aise Informat Recherche opera- lu an tionnelle, 4, pp 154-158 va [23] Rockafellar R T (1970), " On the maximal monotonicity of subdifferential n gh tn to mappings", Pacific J Math., Vol 33 (1), pp 209-216 [24] Rockafellar R T (1976), "Monotone operators and proximal point algo- ie p rithm", SIAM J Control Optim., 14, pp 887-897 nl w [25] Tuyen T.M (2012), "Regularization for the problem of finding a common d oa fixed point of a finite family of nonexpansive mappings in Banach spaces", an lu Nonl Func Anal and Appl., 17 (1), pp 89-98 nf va [26] Xu H K (2006), A regularization method for the proximal point algorithm, oi lm ul J Global Optim., 36 (1) (2006), pp 115-125 z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si
Ngày đăng: 24/07/2023, 09:27
Xem thêm: