ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ VẦN MỘT SỐ ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH GIẢI BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG TÁCH TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành Toán ứng dụng Mã số 8 46 01 12 LUẬ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - HOÀNG THỊ VẦN MỘT SỐ ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH GIẢI BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG TÁCH TRONG KHƠNG GIAN HILBERT Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trương Minh Tuyên TS Phạm Hồng Trường THÁI NGUYÊN - 2020 ii Lời cảm ơn Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Trương Minh Tun người thầy ln tận tình hướng dẫn, bảo giúp đỡ tác giả trình học tập hoàn thiện luận văn Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến thầy, khoa Tốn– Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Trường Cuối tác giả xin chân thành cảm ơn tới người thân gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên tạo điều kiện giúp đỡ mặt suốt trình học tập viết luận văn iii Mục lục Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu viết tắt iv Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số đặc trưng không gian Hilbert 1.2 Ánh xạ không giãn không gian Hilbert 11 1.2.1 Ánh xạ không giãn 11 1.2.2 Phương pháp chiếu lai ghép 15 1.2.3 Phương pháp chiếu thu hẹp 15 1.3 Toán tử đơn điệu không gian Hilbert 16 Chương Hai phương pháp chiếu giải toán điểm bất động chung tách 21 2.1 Phát biểu toán 21 2.2 Phương pháp chiếu lai ghép 23 2.3 Phương pháp chiếu thu hẹp 27 2.4 Ứng dụng 31 2.4.1 Bài toán (MSCFPP) 31 2.4.2 Bài toán (MSCNPP) 32 Kết luận Tài liệu tham khảo 34 35 iv Một số ký hiệu viết tắt h., i tích vơ hướng không gian Hilbert H k.k chuẩn không gian Hilbert H ∪ phép hợp ∩ phép giao R+ tập số thực không âm G(A) đồ thị toán tử A D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền ảnh toán tử A A−1 toán tử ngược toán tử A I toán tử đồng ∅ tập rỗng ∀x với x xn −→ x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 Mở đầu Cho C Q tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert H1 H2 , tương ứng Cho T : H1 −→ H2 tốn tử tuyến tính bị chặn Bài tốn chấp nhận tách (SFP-Split Feasibility Problem) có dạng sau: Tìm phần tử x∗ ∈ C ∩ T −1 (Q) (0.1) Một dạng tổng quát Bài toán (0.1) toán chấp nhận tách đa tập (MSSFP-Multiple sets Split Feasibility Problem), toán phát biểu sau: Cho Ci , i = 1, 2, , N Qj , j = 1, 2, , M tập lồi đóng H1 H2 tương ứng −1 Tìm phần tử x∗ ∈ ∩N (∩M i=1 Ci ∩ T j=1 Qj ) 6= ∅ (0.2) Mơ hình tốn (SFP) lần giới thiệu nghiên cứu Y Censor T Elfving [5] cho mơ hình tốn ngược Bài tốn đóng vai trị quan trọng khơi phục hình ảnh Y học, điều khiển cường độ xạ trị điều trị bệnh ung thư, khơi phục tín hiệu (xem [3], [4]) hay áp dụng cho việc giải toán cân kinh tế, lý thuyết trị chơi Bài tốn chấp nhận tách (0.1) trường hợp đặc biệt toán điểm bất động chung tách Dạng tổng quát toán điểm bất động chung tách phát biểu sau: Cho Ti : H1 −→ H1 , i = 1, 2, , N Sj : H2 −→ H2 , j = 1, 2, , M ánh xạ không giãn H1 H2 , tương ứng −1 Tìm phần tử x∗ ∈ ∩N ∩M ∅ i=1 Fix(Ti ) ∩ T j=1 Fix(Sj ) = (0.3) Thời gian gần đây, lớp Bài toán (0.3) thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà tốn học ngồi nước Năm 2019, tác giả Reich S Tuyen T.M đưa phương pháp lặp dựa phương pháp chiếu lai ghép (Hybrid projection method) để giải Bài tốn (0.3) (xem [8, Định lý 4.2]) Mục đích luận văn trình bày chứng minh chi tiết cho Định lý 4.2 [8] trình bày lại kết tác giả Ha M.T.N phương pháp chiếu co hẹp [6] để xấp xỉ nghiệm Bài toán (0.3) cho trường hợp M = N = Nội dung luận văn chia làm hai chương chính: Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, luận văn đề cập đến số đặc trưng không gian Hilbert, phép chiếu mêtric, ánh xạ không giãn phương pháp chiếu lai ghép hay chiếu co hẹp để tìm điểm bất động cho lớp ánh xạ Mục cuối chương đề cập đến khái niệm toán tử đơn điệu số tính chất Chương Hai phương pháp chiếu giải toán điểm bất động chung tách Chương tác giả trình bày chứng minh chi tiết cho Định lý 4.2 [8] trình bày lại kết tác giả Ha M.T.H [6] Ngồi ra, cách sử dụng tính chất điểm bất động ánh xạ trung bình hay tính chất tốn tử giải tốn tử đơn điệu, tác giả đưa số phương pháp giải Bài tốn (0.3) tốn khơng điểm chung tách 3 Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương bao gồm ba mục Mục 1.1 đề cập đến số đặc trưng không gian Hilbert thực, Mục 1.2 giới thiệu sơ lược số kết ánh xạ không giãn, với phương pháp chiếu lai ghép chiếu thu hẹp tìm điểm bất động cho lớp ánh xạ Mục 1.3 trình bày số khái niệm tính chất tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert Nội dung chương phần lớn tham khảo từ tài liệu [1] [2] 1.1 Một số đặc trưng không gian Hilbert Ta giả thiết H khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng kí hiệu h., i chuẩn kí hiệu k.k Mệnh đề 1.1 Trong khơng gian Hilbert thực H ta ln có đẳng thức sau kx − yk2 + kx − zk2 = ky − zk2 + 2hx − y, x − zi, với x, y, z ∈ H Chứng minh Thật vậy, ta có ky − zk2 + 2hx − y, x − zi = hy, yi + hz, zi + 2hx, xi − 2hx, zi − 2hx, yi = [hx, xi − 2hx, yi + hy, yi] + [hx, xi − 2hx, zi + hz, zi] = kx − yk2 + kx − zk2 Vậy ta điều phải chứng minh Mệnh đề 1.2 Cho H không gian Hilbert thực Khi đó, với x, y ∈ H λ ∈ [0, 1], ta có kλx + (1 − λ)yk2 = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)kx − yk2 (1.1) Chứng minh Ta có kλx + (1 − λ)yk2 = λ2 kxk2 + 2λ(1 − λ)hx, yi + (1 − λ)2 kyk2 = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)(kxk2 − 2hx, yi + kyk2 ) = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)kx − yk2 Ta điều phải chứng minh Mệnh đề 1.3 Cho H khơng gian Hilbert thực Khi đó, với x, y ∈ H thỏa mãn điều kiện |hx, yi| = kxk.kyk, tức bất đẳng thức Schwars xảy dấu hai véc tơ x y phụ thuộc tuyến tính Chứng minh Giả sử ngược lại x 6= λy với λ ∈ R Khi đó, từ tính chất tích vơ hướng, ta có < kx − λyk2 = λ2 kyk2 − 2λhx, yi + kxk2 , với λ ∈ R Ta thấy y = 0, hiển nhiên x y phụ thuộc tuyến hx, yi tính Giả sử y 6= 0, với λ = , bất đẳng thức trở thành kyk2 |hx, yi| < kxk.kyk, điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy x y phụ thuộc tuyến tính Mệnh đề chứng minh 5 Nhắc lại rằng, dãy {xn } không gian Hilbert H gọi hội tụ yếu phần tử x ∈ H, lim hxn , yi = hx, yi, n→∞ với y ∈ H Từ tính liên tục tích vơ hướng, suy xn → x, xn * x Tuy nhiên, điều ngược lại không Chẳng hạn xét không gian l2 = {xn } ⊂ P∞ 2 R: n=1 |xn | < ∞ {en } ⊂ l , cho en = (0, , 0, , 0, , 0, ), vị trí thứ n với n ≥ Khi đó, en * 0, n → ∞ Thật vậy, với y ∈ H, từ bất đẳng thức Bessel, ta có ∞ X |hen , yi|2 ≤ kyk2 < ∞ n=1 Suy limn→∞ hen , yi = 0, tức en * Tuy nhiên, {en } khơng hội tụ 0, ken k = với n ≥ Ta biết không gian Hilbert H thỏa mãn điều kiện Opial, tính chất thể mệnh đề đây: Mệnh đề 1.4 Cho H không gian Hilbert thực {xn } ⊂ H dãy thỏa mãn điều kiện xn * x, n → ∞ Khi đó, với y ∈ H y 6= x, ta có lim inf kxn − xk < lim inf kxn − yk n→∞ n→∞ Chứng minh Vì xn * x, nên {xn } bị chặn Ta có kxn − yk2 = kxn − xk2 + kx − yk2 + 2hxn − x, x − yi Vì x 6= y, nên lim inf kxn − yk2 > lim inf (kxn − xk2 + 2hxn − x, x − yi) n→∞ n→∞ = lim inf kxn − xk2 n→∞ (1.2) Do đó, ta nhận lim inf kxn − xk < lim inf kxn − yk n→∞ n→∞ Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 1.5 Mọi không gian Hilbert thực H có tính chất Kadec-Klee, tức {xn } ⊂ H dãy H thỏa mãn điều kiện xn * x kxn k → kxk, xn → x, n → ∞ Chứng minh Ta có kxn − xk2 = kxn k2 − 2hxn , xi + kxk2 → 0, n → ∞ Suy xn → x, n → ∞ Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 1.6 Cho C tập lồi đóng khơng gian Hilbert thực H Khi đó, tồn phần tử x∗ ∈ C cho kx∗ k ≤ kxk với x ∈ C Chứng minh Thật vậy, đặt d = inf kxk Khi đó, tồn {xn } ⊂ C cho x∈C kxn k −→ d, n −→ ∞ Từ đẳng thức hình bình hành, ta có kxn − xm k2 = 2(kxn k2 + kxm k2 ) − 4k xn + xm k ≤ (kxn k2 + kxm k2 ) − 4d2 −→ 0, n, m −→ ∞ Do {xn } dãy Cauchy H Suy tồn x∗ = lim xn ∈ n→∞ C (do {xn } ⊂ C C tập đóng) Do chuẩn hàm số liên tục nên kx∗ k = d Tiếp theo ta tính Giả sử tồn y ∗ ∈ C cho ky ∗ k = d Ta có x∗ + y ∗ kx − y k = 2(kx k + ky k ) − 4k k ∗ ∗ ∗ ∗ ... toán cân kinh tế, lý thuyết trị chơi Bài tốn chấp nhận tách (0.1) trường hợp đặc biệt toán điểm bất động chung tách Dạng tổng quát toán điểm bất động chung tách phát biểu sau: Cho Ti : H1 −→ H1... nghiệm Bài toán (0.3) cho trường hợp M = N = Nội dung luận văn chia làm hai chương chính: Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, luận văn đề cập đến số đặc trưng không gian Hilbert, ... tử giải toán tử đơn điệu, tác giả đưa số phương pháp giải Bài toán (0.3) tốn khơng điểm chung tách 3 Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương bao gồm ba mục Mục 1.1 đề cập đến số đặc trưng không