THÔNG TIN TÀI LIỆU
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC NGUYN THÀ TRANG lu an n va p ie gh tn to PH×ÌNG PHP HIU CHNH LP GII BI TON CHP NHN TCH A TP TRONG KHỈNG GIAN HILBERT d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul LUN VN THC S TON HÅC z m co l gm @ an Lu THI NGUYN 2020 n va ac th si I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC NGUYN THÀ TRANG lu PH×ÌNG PHP HIU CHNH LP GII BI TON CHP NHN TCH A TP TRONG KHỈNG GIAN HILBERT an n va to p ie gh tn Chuy¶n ng nh: To¡n ùng dưng M¢ sè: 46 01 12 d oa nl w nf va an lu LUN VN THC S TON HC z at nh oi lm ul z NGìI HìẻNG DN KHOA HÅC GS.TS NGUYN B×ÍNG m co l gm @ an Lu THI NGUYN 2020 n va ac th si Líi c£m ìn Tỉi xin b y tä lỏng biát ỡn sƠu sưc án GS.TS Nguyạn Bữớng, ngữới  tên tẳnh hữợng dăn, giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp nghiản cựu tổi hon thnh luên vôn Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn Ban GiĂm Hi»u, c¡c th¦y gi¡o, cỉ gi¡o khoa To¡n Tin, trữớng Ôi hồc Khoa hồc Ôi hồc ThĂi Nguyản  tên tẳnh lu an giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu tÔi Trữớng n va Tỉi xin gûi líi c£m ìn tỵi Ban Gi¡m Hi»u Tr÷íng THCS C£nh H÷ng - nìi tn to tỉi ang lm viằc, cĂc ỗng nghiằp  tÔo iÃu kiằn v· måi m°t º tỉi tham gia håc tªp v nghi»n cùu gh p ie Nh¥n dàp n y, tỉi cơng xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh tợi Ban GiĂm Hiằu trữớng THCS CÊnh Hững, gia ẳnh, ỗng nghiảp, ngữới thƠn, bÔn b  ởng d oa nl w viằn, khẵch lằ, giúp ù tổi quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Möc löc lu Lới cÊm ỡn Mởt số kỵ hiằu v viát tưt M Ưu Chữỡng Kián thực chuân b an va 1.1 ii iv 2 1.1.1 Khæng gian Hilbert 1.1.2 Mởt số tẵnh chĐt 1.1.3 Hm lỗi v dữợi vi phƠn 1.1.4 To¡n tû khæng gian Hilbert 1.1.5 iºm b§t ëng cừa Ănh xÔ khổng giÂn n CĂc khĂi niằm cỡ b£n cõa gi£i t½ch h m p ie gh tn to nl w 14 Ph¡t biºu b i to¡n 15 1.3 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh l°p 17 d oa 1.2 lu nf va an Ch÷ìng Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh lp cho bi toĂn chĐp nhên tĂch khổng gian a têp 19 lm ul Mởt số bờ à cƯn thi¸t 2.2 Thuªt to¡n v sü hëi tö 22 2.3 V½ dư sè 29 19 31 32 z m co l gm @ Kát luên Ti liằu tham khÊo z at nh oi 2.1 an Lu n va ac th si Mët sè kỵ hiằu v viát tưt khổng gian Hilbert thỹc H khổng gian ối ngău cừa N têp số nguyản khổng Ơm N têp số nguyản dữỡng R têp hủp cĂc số thỹc C têp õng lỗi cừa php giao têp rộng x vợi mồi lu H H an n va H p ie gh tn to giợi hÔn trản cừa dÂy số {xn } giợi hÔn dữợi cừa dÂy số {xn } w lim sup xn x n→∞ nl oa lim inf xn n→∞ d ∂f F (T ) dÂy {xn } hởi tử mÔnh và dÂy {xn } hởi tử yáu và x0 x0 têp im bĐt ởng cừa Ănh xÔ dữợi vi phƠn cừa hm lỗi z at nh oi PC hoc lm ul F ix(T ) nf va xn * x0 an lu xn −→ x0 ph²p m¶tric l¶n T f C z m co l gm @ an Lu n va ac th si M Ưu Bi toĂn chĐp nhên tĂch âng vai trá °c bi»t quan trång vi»c mæ hẳnh hõa nhiÃu bi toĂn ngữủc xuĐt hiằn thỹc tá nhữ bi toĂn nn hẳnh Ênh, chửp hẳnh cởng h÷ðng tø, khỉi phưc £nh Mët nhúng ph÷ìng ph¡p  v ang ữủc nhiÃu tĂc giÊ sỷ dửng giÊi bi toĂn chĐp nhên tĂch l phữỡng phĂp chiáu õ cƯn phÊi thỹc hiằn php chiáu mảtric lản cĂc têp lỗi lu an õng cừa khổng gian Hilbert Tuy nhiản, viằc tẵnh Ênh cừa Ănh xÔ chiáu mảtric n va trản mởt têp lỗi õng bĐt ký cụng khổng thỹc thi Do vêy, cƯn xƠy dỹng tn to c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i hi»u qu£ hìn · ti cừa luên vôn l phữỡng phĂp hiằu chnh lp giÊi bi toĂn chĐp nhên tĂch a têp khổng gian Hilbert â l gh p ie b i to¡n t¼m mët iºm thuëc giao iºm cõa mët hå tªp âng, lỗi khổng gian Hilbert m Ênh cừa nõ qua mởt Ănh xÔ tuyán tẵnh giợi nởi nơm vo giao nl w cừa mởt hồ cĂc têp õng, lỗi mët khỉng gian Hilbert kh¡c ¥y l mët oa à ti vứa cõ ỵ nghắa và mt lỵ thuyát, ỗng thới vứa cõ ỵ nghắa thỹc tiạn cao d Nởi dung cừa luên vôn ữủc chia lm hai chữỡng chẵnh: nf va an lu Chữỡng Mởt số kián thực chuân b Trong chữỡng ny, luên vôn à cêp án mởt số vĐn à cỡ bÊn cừa giÊi tẵch lm ul hm, phĂt biu bi toĂn chĐp nhên tĂch a têp, phữỡng phĂp hiằu chnh, phữỡng phĂp lp, hiằu ch¿nh l°p z at nh oi Ch÷ìng Ph÷ìng ph¡p hiằu chnh lp giÊi bi toĂn chĐp nhên tĂch khổng gian a têp z Trong chữỡng ny, luên vôn têp trung trẳnh by lÔi mởt cĂch chi tiát cĂc k¸t gm @ qu£ cõa N Buong, P.T.T Ho i, K.T Bẳnh [3] và phữỡng phĂp hiằu chnh lp giÊi bi toĂn chĐp nhên tĂch a têp khổng gian Hilbert m co l an Lu n va ac th si Chữỡng Kián thực chuân b Chữỡng ny bao bỗm mửc Mửc 1.1 trẳnh by cĂc khĂi niằm cì b£n cõa gi£i t½ch h m Mưc 1.2 ph¡t biºu bi toĂn chĐp nhên tĂch Mửc 1.3 à cêp án ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh l°p Nëi dung cõa ch÷ìng n y ÷đc tham kh£o c¡c t i li»u [3, 4] lu 1.1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n cõa gi£i t½ch h m 1.1.1 Khỉng gian Hilbert ành ngh¾a 1.1 X an va Cho khổng gian vctỡ X n hữợng xĂc nh trản trữớng số thỹc R Tẵch vổ l mởt Ănh xÔ tn to gh hÃ, Ãi : X ì X → R p ie (x, y) 7→ hx, yi hx, xi ≥ vỵi måi x ∈ X , hx, xi = ⇔ x = 0; d oa (i) nl w thọa mÂn cĂc iÃu kiằn sau Ơy: hy, xi = hx, yi vỵi måi x, y ∈ X ; an lu (ii) hx + x0 , yi = hx, yi + hx0 , yi (iv) hλx, yi = hx, yi ữủc gồi l Nhên xt 1.1 tẵch vổ hữợng cừa hai vctỡ x, y X Tứ nh nghắa suy vợi mồi hx, y + zi = hx, yi + hx, zi; hx, λyi = λhx, yi; (X, h·, ·i), â X l t½ch vổ hữợng trản X ữủc gồi l l mởt khổng gian tuyán tẵnh trản an Lu Cp m co R, h·, ·i ta câ l hx, 0i = ành ngh¾a 1.2 x, y, z ∈ X, λ ∈ R, gm (iii) x, y ∈ X , λ ∈ R @ (ii) vỵi måi z (i) x, x0 , y ∈ X ; z at nh oi hx, yi vỵi måi lm ul Sè nf va (iii) khỉng gian ti·n Hilbert thüc n va ac th si M»nh · 1.1 Måi khæng gian ti·n Hilbert X l khæng gian tuyán tẵnh nh chuân, vợi chuân xĂc nh bi kxk = nh nghắa 1.3 X Náu l khổng gian tiÃn Hilbert thỹc v Ưy ừ ối vợi chuân cÊm sinh tứ tẵch vổ hữợng thẳ nh nghắa 1.4 (i) H Cho vỵi x ∈ X p hx, xi X ÷đc gåi l khỉng gian Hilbert thüc l khỉng gian Hilbert DÂy {xn } ữủc gồi l Hởi tử mÔnh tợi phƯn tỷ x H , kỵ hiằu xn → x, n¸u kxn − xk → n ; (ii) lu Hởi tử yáu tợi phƯn tỷ x H , kỵ hiằu xn * x, náu hxn, yi → hx, yi an n→∞ vỵi måi y H n va Chú ỵ 1.1 H , hởi tử mÔnh ko theo hởi tử yáu, iÃu ngữủc lÔi khổng úng p ie gh tn to (i) Trong khæng gian Hilbert (ii) Måi khæng gian Hilbert Ãu cõ tẵnh chĐt Kadec-Klee, tực l náu dÂy xn → x oa th¼ nl w khỉng gian Hilbert thäa m¢n c¡c i·u ki»n kxn k → kxk v xn * x n → ∞ d ành ngh¾a 1.5 H {xn } l tªp cõa khỉng gian Hilbert C ữủc náu mồi dÂy x C; C; xn * x n → ∞, ta ·u câ mởt dÂy hởi tử và mởt gm phƯn tỷ thuởc {xn } C thọa mÂn @ náu mồi dÂy {xn } C z Têp compact z at nh oi lm ul Têp õng yáu Ãu cõ (iii) Khi õ Têp õng náu mồi dÂy {xn} C thäa m¢n xn → x n → ∞, ta ·u câ x ∈ C; (ii) H nf va gåi l (i) C an lu Cho l Tªp compact tữỡng ối náu mồi dÂy {xn} C Ãu cõ mởt dÂy hởi tử; (v) Têp compact yáu náu måi d¢y {xn } ⊂ C ·u câ mët d¢y hëi tư y¸u v· m co (iv) C; an Lu mët ph¦n tû thuëc n va ac th si (vi) Têp compact tữỡng ối yáu náu mồi dÂy {xn} ⊂ C ·u câ mët d¢y hëi tư yáu Nhên xt 1.2 (i) Mồi têp compact Ãu l têp compact tữỡng ối, iÃu ngữủc lÔi khổng úng (ii) Mồi têp õng yáu Ãu l têp õng, iÃu ngữủc lÔi khổng úng Mằnh à 1.2 Cho H l khỉng gian Hilbert thüc v C l mët tªp cõa H lu Khi â, ta câ c¡c khng nh sau: (i) Náu C l têp lỗi, õng thẳ C l têp õng yáu; (ii) Náu C l têp b chn thẳ C l têp compact tữỡng ối yáu an n va nh nghắa 1.6 tn to Hilbert thüc PC (x) ∈ C C l mët tªp khĂc rộng, lỗi, õng cừa khổng gian Ta biát rơng vỵi méi x ∈ H, p kx − PC (x)k = inf kx − yk y∈C PC (x) nl w PhƯn tỷ hẳnh chiáu cừa x lản C v th nh PC (x) ÷đc gåi l ph²p ÷đc x¡c ành nhữ trản ữủc gồi l PC : H C oa Ănh xÔ Ãu tỗn tÔi nhĐt mởt phƯn thọa mÂn ie gh tỷ H Cho bián mội phƯn tỷ d chiáu mảtric tứ H lản C xH an lu nf va c trững cừa php chiáu mảtric ữủc cho bi mằnh à dữợi Ơy lm ul Mằnh à 1.3 Cho C l mởt têp lỗi, õng, kh¡c réng cõa khæng gian z at nh oi Hilbert thỹc H Khi õ, Ănh xÔ PC : H C l php chiáu mảtric tứ H lản C v ch¿ hx − PC (x), y − PC (x)i z Và phữỡng diằn hẳnh hồc, vỵi måi x − PC (x) v y − PC (x) thẳ náu ta gồi l gõc l gm tÔo bi cĂc vctỡ l khổng gian Hilbert thỹc vợi tẵch vổ hữợng k=1 k k an Lu hx, yi = n X m co V½ dư 1.1 Rn y ∈ C, π α≤ @ Nhªn x²t 1.3 vỵi måi y ∈ C n va ac th si â x = (λ1 , λ2 , , λn ), y = (α1 , α2 , , αn ) kxk = hx, xi = n X αk αk = k=1 Vẵ dử 1.2 Khổng gian l2 , vợi v chuân c£m sinh n X k=1 x = {λk }, y = {αk }, hx, yi = ∞ X |αk |2 ta nh nghắa k k k=1 thẳ hÃ, Ãi l tẵch vổ hữợng, (l2 , hÃ, Ãi) l khổng gian Hilbert 1.1.2 Mởt số tẵnh chĐt nh lẵ 1.1 lu X, (B§t ¯ng thùc Cauchy-Schwartz) Trong khỉng gian ti·n Hilbert an vỵi måi x, y ∈ X ta ln câ b§t ¯ng thùc sau n va |hx, yi|2 ≤ hx, xi.hy, yi (1.1) tn to Chùng minh Vỵi y = bĐt ng thực hin nhiản úng GiÊ sû y 6= â λ∈R ta ·u câ ie gh vỵi måi sè p hx + λy, x + λyi ≥ nl w tùc l d oa hx, xi + λhy, xi + λhx, yi + |λ|2 hy, yi ≥ hx, yi hy, yi ta ÷đc nf va an λ=− lu Chån |hx, yi|2 ≥ ⇔ |hx, yi|2 ≤ hx, xi.hy, yi hy, yi z at nh oi nh lỵ ữủc chựng minh lm ul hx, xi − ành l½ 1.2 Gi£ sû {xn}n, {yn}n l hai dÂy hởi tử yáu án a, b khæng z gian ti·n Hilbert thüc X Khi â @ gm lim hxn , yn i = ha, bi n→∞ lim hxn , yn i = ha, bi n→∞ R an Lu Thªt vªy, ta câ m minh co l Chùng minh Gi£ sû n→∞ lim xn = a, lim yn = b khæng gian X Ta s³ chùng n→∞ n va |hxn , yn i − ha, bi| = |hxn , yn i + hxn , bi − hxn , bi − ha, bi| ac th si Ch÷ìng Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh lp cho bi toĂn chĐp nhên tĂch khổng gian a têp Nởi dung chẵnh cừa chữỡng ny trẳnh by phữỡng phĂp hiằu chnh lp cho bi toĂn chĐp nhên tĂch khổng gian a têp Cử th gỗm mửc: mửc 2.1 trẳnh by mởt số bờ à cƯn thiát, mửc 2.2 trẳnh by thuêt toĂn v sỹ hởi tử, lu an mửc 2.3 trẳnh by mởt số vẵ dö n va tn to 2.1 Mët sè bê · cƯn thiát Bờ à 2.1 Cho H1 v H2 l hai khỉng gian Hilbert thüc, cho Tj vỵi måi j J2 gh l mởt Ănh xÔ khổng giÂn H2 cho ∩j∈J Fix(Tj ) 6= ∅ v cho A l mởt Ănh xÔ tuyán tẵnh giợi nởi tứ H1 v o H2 Khi â, p ie Fix(Tj ) = ∩j∈J Fix(I − γA∗(I − Tj )A) = A−1(∩j∈J Fix(Tj )), 2 oa nl w ∩j∈J2 A−1 d â γ l mët sè d÷ìng Chùng minh Rã r ng, º chùng minh ¯ng thùc thù nh§t ch¿ cƯn ch rơng nf va an lu j J2 Thêt vêy, náu z A (I Tj )Az = z , Fix(I − γA γ > z∈ z ∈ A−1 Fix(Tj ), câ ngh¾a l Fix(I − γA∗ (I − Tj )A) Az = Tj Az , th¼ Tø bao h m thùc z∈ (I − Tj )A), câ ngh¾a l γA∗ (I − Tj )Az = suy A∗ (I − Tj )Az = 0, Do â, z ∗ = Fix(I − γA∗ (I − Tj )A), z at nh oi vỵi måi Fix(Tj ) lm ul A−1 @ Do â, Fix(Tj ) Khi â, ta câ Ap ∈ Fix(Tj ), câ ngh¾a l m co Tj Ap = Ap p ∈ A1 l LĐy mởt phƯn tỷ gm Tj Az = Az + wj , A∗ wj = an Lu kAz − Apk2 ≥ kTj Az − Tj Apk2 = kAz − Ap + wj k2 = kAz − Apk2 + kwj k2 + 2hwj , A(z − p)i n va ac th si 20 = kAz − Apk2 + kwj k2 + 2hA∗ wj , z − pi = kAz Apk2 + kwj k2 Vẳ vêy, wj = Câ ngh¾a l Tj Az = Az , z ∈ A−1 Fix(Tj ) ¯ng thùc thù hai ÷đc suy tø ∩j∈J2 A−1 Fix(Tj ) = A−1 (∩j∈J2 Fix(Tj )) Suy i·u ph£i chùng minh Bê · 2.2 Cho H1, H2, A v γ gièng nhữ Bờ à 2.1 v cho Tj vợi mồi l mởt Ănh xÔ khổng giÂn H2 cho ∩∞j=1Fix(Tj ) 6= ∅ Khi â, j ∈ N+ C˜ := ∩j∈N+ Fix(I − γA∗ (I − Tj )A) = Fix(T∞ ), â T∞ = I − γA∗(I − V∞)A, V∞ = ∞j=1 ηj Tj v ηj thäa m¢n iÃu kiằn () Chựng minh Nhữ ta  biát Ănh xÔ V l khổng giÂn vợi têp im bĐt ởng P lu an n va tn to Fix(V∞ ) Vỵi mội gh = j=1 Fix(Tj ) Trữợc tiản, ta chùng minh bao h m thùc C ⊂ Fix(T∞ ) ˜ , ta câ (I − γA∗ (I − Tj )A)z = z vỵi måi j ∈ N+ Tø â, ta iºm z ∈ C ie câ p ∞ X j=1 nl w oa â I − γA∗ (I − V∞ )A)z = z, d v A∗ an I lu v¼ ηj (I − γA∗ (I − Tj )A)z = z, l hai Ănh xÔ tuyán tẵnh iÃu õ cõ nghắa l nf va BƠy giớ ta chùng minh Fix(T∞ ) Fix(V∞ ) Do z∈ Fix(T∞ ) n¶n ta câ lm ul p∈ ⊂ C˜ z Fix(T ) LĐy hai im bĐt kẳ A (I − V∞ )Az = b¬ng â V∞ z at nh oi lêp luên tữỡng tỹ nhữ chựng minh Bờ à 2.1 vợi ta nhên ữủc ng thực z ∈ Fix(T∞ ) V∞ Az = Az , ngh¾a l z Fix(T ) v Tiáp theo, bơng J2 = {1} v T1 thay γA∗ (I − V∞ )Az = 0, Suy i·u ph£i chùng minh z Bê · 2.3 Cho H l khæng gian Hilbert thüc v cho Si, vỵi måi i ∈ N+ l mët @ Sk := Pk ˜ i=1 (βi /βk )Si V¼ Si l khổng giÂn cht vợi mồi an Lu ny, ta xt Ănh xÔ m co l gm Ănh xÔ khỉng gi¢n ch°t H Gi£ sû i·u ki»n ( ) ữủc thọa mÂn Khi õ, P cĂc Ănh xÔ S := i=1 iSi v I S cụng l khổng giÂn cht Chựng minh Trữợc tiản, ta ch rơng S l khổng giÂn cht Vợi mửc ẵch n va ac th si 21 i ∈ N+ v hm kxk2 lỗi, nản k X (i /k )hSi u − Si v, u − vi hSk u − Sk v, u − vi = ≥ i=1 k X (βi /β˜k )kSi u − Si vk2 i=1 k X ˜k )(Si u − Si v) (β / β ≥ i i=1 = kSk u − Sk vk2 ∀u, v ∈ H Pk S k u := i=1 βi u → S∞ u v β˜k → tø i·u ki»n (β ) k → ∞ Sk u = (1/β˜k )S k u → S∞ u Cho k → ta cõ bĐt ng thực Ta biát rơng lu Khi â, an n va hS∞ u − S∞ v, u − vi ≥ kS∞ u − S∞ vk2 , l khổng giÂn cht Tiáp theo, ta ch I − S∞ l khỉng gi¢n ch°t tn to S∞ suy Thêt vêy, vẳ gh p ie h(ISi )u (I − Si )v, u − vi − k(I − Si )u − (I − Si )vk2 l khỉng gi¢n ch°t n¶n oa Si nl v w = hSi u − Si v, u − vi2 − kSi u − Si vk2 I − Si cơng l khỉng gi¢n ch°t Do â, d k X (βi /β˜k )h(I − Si )u − (I − Si )v, u − vi h(I − Sk )u − (I − Sk )v, u − vi = nf va an lu ≥ i=1 k X lm ul (βi /β˜k )k(I − Si )u − (I − Si )vk2 i=1 z at nh oi k X ˜k )(I − Si )u − (I − Si )v ≥ (β / β i i=1 = k(I − Sk )u − (I − Sk )vk2 z tián án vổ bĐt ng thực trản, ta cõ ữủc kát luên thự gm hai k @ Cho co l Bê · 2.4 Cho H1, H2 v A gièng nh÷ Bê · 2.1 Khi â, vợi mởt số m tũy ỵ cố nh (0, 2/(kAk2 + 2)), Ănh xÔ T, := I (A(I V )A + I) l mởt Ănh xÔ co vỵi h» sè − γα, â V l Ănh xÔ khổng giÂn cht v l mởt số dữỡng (0, 1) Khi = thẳ Tγ := I − γA∗(I − V )A l khæng gi¢n an Lu n va ac th si 22 Chùng minh Thêt vêy, tứ cĂc ng thực dữợi Ơy kT, x − Tγ,α yk2 = k(1 − γα)(x − y) − γ[A∗ (I − V )Ax − A∗ (I − V )Ayk2 = (1 − γα)2 kx − yk2 + γ kA∗ (I − V )Ax − A∗ (I − V )Ayk2 − 2γ(1 − γα)hA∗ (I − V )Ax − A∗ (I − V )Ay, x − yi v i·u ki»n cõa γ v V, ta câ kTγ,α x − Tγ,α yk2 ≤ (1 − γα)2 kx − yk2 + γ kA∗ (I − V )Ax − A∗ (I − V )Ayk2 − 2γ(1 − γα)k(I − V )Ax − A∗ (I − V )Ayk2 ≤ (1 − γα)2 kx − yk2 + γ kA∗ (I − V )Ax − A∗ (I − V )Ayk2 − 2γ(1 − γα)kA∗ (I − V )Ax − A∗ (I − V )Ayk2 /kAk2 lu ≤ (1 − γα)2 kx − yk2 , an n va 2γ(1 − γα)/kAk2 ≥ γ Tγ l khỉng gi¢n Do â, T, l mởt Ănh xÔ co Ró rng, =0 p ie gh tn to 2.2 Thuªt to¡n v sü hëi tư Trong mưc n y tỉi mð rëng (1.13) cho bi toĂn chĐp nhên tĂch a têp vợi J1 v J2 , câ ngh¾a l J1 = J2 = N+ Trong â l k½ hi»u l N+ nl w cĂc hồ vổ hÔn d oa tĐt cÊ cĂc số tỹ nhiản dữỡng Phữỡng phĂp ny ữủc xĂc nh nh÷ sau (2.1) an lu xk+1 = Uk Tγk ,αk xk , x1 ∈ H1 , nf va â z at nh oi lm ul k k X X ∗ βi PCi , Tγk ,αk = I − γk (A (I − Vk )A + αk I), Vk = η j P Qj , Uk = η˜k j=1 β˜k i=1 β˜k = β1 + · · · + βk , η˜k = η1 + · · · + ηk v c¡c tham sè i ∈ N+ thäa m¢n αk ∈ (0, 1) (γ ) γk ∈ (ε0 , 2/(kAk2 + 2)) vỵi måi = 1; i=1 βi k ∈ N+ j=1 ηj cho vỵi måi limk→∞ αk = k ∈ N+ â v P∞ ε0 k=1 αk =∞ v m (α) v = 1; P∞ co ηj > P∞ l j ∈ N+ v (η ) vỵi måi γk gm vỵi måi v @ βi > βi , ηj , αk z c¡c i·u ki»n sau: (β ) (2.2) l mët số dữỡng nhọ an Lu Lữu ỵ rơng, mội bữợc lp, phữỡng phĂp (2.1) ch sỷ dửng tờng hỳu hÔn Do n va õ, viằc tẵnh toĂn phữỡng ph¡p n y l ìn gi£n ac th si 23 Ti¸p theo, ta ch sỹ hởi tử mÔnh cừa thuêt to¡n (2.1) - (2.2) vỵi i·u ki»n (β ), (η ), (α) v (γ ) Düa v o möc 2.1 ta cõ cĂc kát quÊ sau nh lẵ 2.1 Cho H1, H2 v A gièng nh÷ Bê · 2.1 Cho {Ci}iN v + l hai hồ vổ hÔn cĂc têp lỗi, õng H1 v H2, tữỡng ựng GiÊ sû Γ 6= ∅ v giú nguy¶n c¡c i·u ki»n cõa (β ), (η), (α) v (γ ) Khi â, dÂy {xk } ữủc nh nghắa bi (2.1) v (2.1) hởi tử mÔnh và nghiằm cõ chuân nhọ nhĐt cừa (1.9) k → ∞, vỵi J1 = J2 = N+ Chựng minh Trữợc hát, ta ch rơng {xk } l dÂy b chn Thêt vêy, lĐy mởt {Qj }j∈N+ iºm cè ành câ p ∈ Ci p ∈ Γ, tø Bê · 2.1 vỵi Tj = PQj (I − γk A∗ (I − PQj )A)p = p v lu an p = Uk p, Tγk p = p va n vỵi méi i, k ∈ N+ , tn to giÂn cừa Uk õ vợi mồi v P Qj v tẵnh khổng giÂn cừa i, j, k N+ v â PCi Tγk p = p, Tγk = I − γk A∗ (I − Vk )A ta (2.3) Do vêy, tứ tẵnh khổng v Bờ à 2.4, suy ie gh kxk+1 − pk = kUk Tγk ,αk xk − Uk Tγk pk p ≤ kTγk ,αk xk − Tγk pk nl w = kTγk ,αk xk − Tγk ,αk p − γk αk pk oa ≤ (1 − γk αk )kxk − pk + γk αk kpk d ≤ max{kx1 − pk, kpk} an lu {xk } nf va iÃu ny cõ nghắa l dÂy cho b chn Do õ, tỗn tÔi mởt hơng sè d÷ìng ˜ M lm ul ˜ sup kxk k, kxk − pk, kA∗ (I − Vk )Axk k ≤ M k≥1 U k , Tγ k z at nh oi Tiáp theo, vẳ l khổng giÂn, minh cừa Bê · 2.3 v kxk2 I − Vk l khæng giÂn cht, dỹa theo chựng l mởt hm lỗi, tứ (2.3) ta câ co l gm = kTγk xk − Tγk p − γk αk xk k2 @ ≤ kTγk ,αk xk − Tγk pk2 z kxk+1 − pk2 = kUk Tγk ,αk xk − Uk Tγk pk2 m = kTγk xk − Tγk pk2 + (γk αk )2 kxk k2 − 2γk αk hTγk xk − Tγk p, xk i n va ˜2 + γk2 kA∗ (I − Vk )Axk k2 + (γk αk )2 M an Lu ≤ kxk − pk2 − 2γk h(I − Vk )Axk − (I − Vk )Ap, Axk − Api ac th si 24 − 2γk αk hTγk xk − Tγk p, xk i ≤ kxk − pk2 − 2γk kAxk − Vk Axk k2 + γk2 kAk2 kAxk − Vk Axk k2 ˜ − 2γk αk hTγ xk − Tγ p, xk i + (γk αk )2 M k k ≤ kxk − pk2 − γk (2 − γk kAk2 )kAxk − Vk Axk k2 ˜ + 2γk αk M ˜ + (γk αk )2 M Hìn núa, Uk (2.4) l khổng giÂn nản ta cõ kxk+1 Uk xk k = kUk Tγk ,αk xk − Uk xk k ≤ kTγk ,αk xk − xk k ˜ ≤ γk kAkkAxk − Vk Axk k + γk αk M (2.5) lu an Mt khĂc, sỷ dửng tẵnh chĐt cừa php chiáu mảtric P Ci vợi x = z k := Tγk ,αk xk , va n ta câ thº vi¸t to gh tn kz k − PCi z k k2 + kPCi z k − pk2 ≤ kz k − pk2 , p ie â, i=1 i=1 oa kxk2 l hm lỗi H1 , tứ bĐt ¯ng thùc ci cịng, ta ÷đc k k X X k k k ˜ ˜ ≤ kz k − pk2 (β / β )(z − P z ) + (β / β )(P z − p) i k Ci i k Ci d V¼ nl w k k X X k k ˜ (βi /β˜k )kPCi z k − pk2 ≤ kz k − pk2 (βi /βk )kz − PCi z k + i=1 z at nh oi lm ul Do â, nf va an lu i=1 kTγk ,αk − xk+1 k2 + kxk+1 − pk2 ≤ kTγk ,αk xk − pk2 = kTγk xk − Tγk p − γk αk xk k2 z ˜2 = kTγk xk − Tγk pk2 − 2γk αk hTγk xk − Tγk p, xk i + (γk αk )2 M @ ˜ + (γk αk )2 M ˜ ≤ kxk − pk2 + 2γk αk M m co M°t kh¡c, l gm (2.6) an Lu kTγk ,αk xk − xk+1 k2 = kxk − xk+1 k2 + kγk αk xk + γk A∗ (I − Vk )Axk k2 − 2hγk αk xk + γk A∗ (I − Vk )Axk , xk − xk+1 i (2.7) n va ac th si 25 Cuối cũng, vẳ H1 Uk l khổng giÂn, P Ci l khổng giÂn cht v kxk2 l hm lỗi n¶n ta câ kxk+1 − pk2 = kUk Tγk ,αk xk − Uk Tγk pk2 k X ≤ (βi /β˜k )kPCi Tγk ,αk xk − PCi Tγk pk2 i=1 ≤ hTγk ,αk xk − Tγk p, xk+1 − pi lu = hTγk ,αk xk − Tγk ,αk p, xk+1 − pi + γk αk hp, p − xk+1 i γk ∗ = (1 − γk αk ) I − (A (I − Vk )A) xk − γk αk γk ∗ k+1 (A (I − Vk )A) p, x − p +γk αk hp, p − xk+1 i − I− − γk αk an ≤ (1 − γk αk )kxk − pkkxk+1 − pk + γk αk hp, p − xk+1 i − γk αk k ≤ kx − pk2 + kxk+1 − pk2 + γk αk hp, p − xk+1 i, 2 n va gh tn to I − γk [A∗ (I − Vk )A]/(1 − γk αk ) ( ) v tẵnh chĐt cừa A (I Vk )A l Ănh xÔ khổng giÂn theo Bờ à 2.4, (α), Vªy, p ie kxk+1 − pk2 ≤ (1 − γk αk )kxk − pk2 + γk αk hp, p − xk+1 i (2.8) måi Vªy, limk→∞ kxk − pk d k ≥ k0 oa nl w Tr÷íng hủp 1: Tỗn tÔi mởt số thỹc dữỡng k0 cho kxk+1 − pk ≤ kxk − pk vỵi limk→∞ kxk − pk v (2.4), ta câ an lu Hìn nỳa, theo sỹ tỗn tÔi cừa tỗn tÔi lim sup γk (2 − γk kAk2 )kAxk − Vk Axk k2 = nf va (2.9) k→∞ lm ul Rã r ng tø i·u ki»n (γ ), ta câ z at nh oi γk (2 − γk kAk2 ) ≥ γk (2 − (2kAk2 /(kAk2 + 2)) ≥ 4ε0 /(kAk2 + 2) Tø i·u n y v (2.9) suy z lim kAxk − Vk Axk k2 = αk → th¼ k tỗn tÔi, tứ (2.6) v k 0, ta câ lim kTγk ,αk xk − xk+1 k = (2.12) n va k→∞ an Lu limk→∞ kxk − pk m Do (2.11) co lim kxk+1 − Uk xk k = l gm Hìn núa, theo (2.5), (2.10) v (2.10) @ k→∞ ac th si 26 kγk αk xk + γk A∗ (I − Vk )Axk k ≤ γk αk kxk k + γk kAkkAxk − Vk Axk k Vẳ (2.10) v iÃu kiằn trản k nản tứ ta câ lim kγk αk xk + γk A∗ (I − Vk )Axk k = (2.13) k→∞ Do â, tứ giợi hÔn cừa {xk } suy lim hk αk xk + γk A∗ (I − Vk )Axk , xk − xk+1 i = (2.14) k→∞ Tø (2.7), (2.12), (2.13) v (2.14), ta câ lim kxk+1 − xk k = (2.15) k→∞ {xk } v {γk } l giợi nởi nản khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, ta cõ th giÊ Vẳ cĂc dÂy lu an sỷ mởt d¢y n va v {kj } cõa {k} cho {xkj } hởi tử yáu án mởt phƯn tỷ x˜ ∈ H1 γkj → γ ∈ [ε0 , 2/(kAk2 + 2)] tn to 2.1, 2.2 v 2.3, suy â U∞ = j → ∞ Ta s³ chùng minh x˜ ∈ ∩i∈N+ Ci ∩ F ix(T∞ ) ho°c x˜ ∈ Γ Tø Bê · x˜ ∈ F ix(U∞ ) ∩ F ix(T∞ ), P∞ i=1 βi PCi gh x˜ ∈ F ix(U∞ ) Thªt vªy, tø (2.11) v (2.15), p ie Trữợc tiản, ta chựng minh r¬ng w suy nl lim kxk − Uk xk k = k Vẳ vêy, vợi mồi vợi im cố nh >0 tỗn tÔi x H1 j > nản ta cõ cho vợi mồi Ukj x → U∞ x j ≥ jε nf va an j → ∞ lu Uk x → U∞ x d oa V¼ (2.16) k→∞ sup kUkj x − U xk < , D l têp giợi nởi cõa H1 L§y D = {xkj }, z at nh oi â lm ul x∈D ta câ kUkj xkj − U∞ xkj k < ε, z câ ngh¾a l @ j→∞ (2.17) m co l Do â, tø (2.16), (2.17) v gm lim kUkj xkj − U∞ xkj k = kxkj − U∞ xkj k → Khi â, düa v o Bê · 1.3 th¼ x˜ ∈ F ix(U∞ ) n va suy an Lu kxkj − U∞ xkj k ≤ kxkj − Ukj xkj k + kUkj xkj − U∞ xkj k ac th si 27 x˜ ∈ F ix(T∞ ) B¥y gií, ta chùng minh Thªt vªy, tø (2.12) v (2.15), ta câ lim kxk − Tγk ,αk xk k = (2.18) k Bơng cĂch lêp luên nhữ trản, ta cõ lim kVkj Axkj − V∞ Axkj k = 0, j→∞ k¸t hủp vợi (2.19), ta ữủc kxkj T xkj k ≤ kxkj − Tγkj ,αkj xkj k + kTγkj ,αkj xkj − T∞ xkj k ˜ ≤ kxkj − Tγkj ,αkj xkj k + kTγkj xkj − T∞ xkj k + γkj αkj M ˜ ≤ kxkj − Tγkj ,αkj xkj k + |γkj − γ|M lu ˜ + γkVkj Axkj − V∞ Axkj k + γkj αkj M an n va v gi£ ành suy r¬ng kxkj − T xkj k LÔi theo Bờ à 1.3, ta câ x˜ ∈ cõa (1.9) Ti¸p theo, ta chùng minh r¬ng gh tn to F ix(T∞ ) Rã r ng, mồi dÂy hởi tử yáu cừa {xk } hởi tử yáu án mởt nghiằm nhọ nhĐt cừa (1.9) Ta thĐy rơng p ie x {xk } hởi tử mÔnh v· nghi»m câ chu©n lim suphx∗ , x∗ − xk i = lim hx∗ , x∗ − xkl i = hx∗ , x∗ − x˜i ≤ 0, (2.19) l→∞ k→∞ nl w x∗ x∗ , (2.19) v Bê · 1.1 ta câ p d oa l nghi»m câ chuân nhọ nhĐt cừa (1.9) Cuối cũng, tứ (2.8) thay kxk − x∗ k → bði k → lu Trữớng hủp 2: Tỗn tÔi mởt dÂy {xk } cõa {xk } cho kxk −pk < kxk +1 −pk an l ∈ N+ nf va vỵi måi l cho mk → ∞ v kxmk − pk ≤ kxmk +1 − pk vỵi måi k N+ Khi õ, tỗn tÔi v kxk pk ≤ kxmk +1 − pk limk→∞ kxmk − pk z k x˜ cõa {xmk } thuëc Γ Hìn núa, (2.20) v lêp luên tữỡng tỹ nhữ thay bi mk v mội im giợi l gm @ trản, ta cõ ng thực (2.10)-(2.12) v (2.15) vợi hÔn yáu l l giợi nởi nản tỗn tÔi mởt dÂy khổng tông z at nh oi {mk } ⊆ N+ {xk } lm ul Khi â, theo Bê · 1.2, l lim suphx∗ , x∗ − xmk +1 i = hx∗ , x∗ − x˜i ≤ ÷đc thay bði x∗ , suy (2.22) n va kxmk − x∗ k2 ≤ hx∗ , x∗ − xmk +1 i, an Lu p m Tứ (2.8) v bĐt ng thực Ưu tiản (2.20) vỵi (2.21) co k→∞ ac th si 28 vỵi méi k ∈ N+ Tø (2.21) v (2.22), ta câ lim sup kxmk − x∗ k2 = (2.23) k Tứ (2.15) vợi k mk ữủc thay bi v (2.23), ta câ lim kxmk +1 − x∗ k ≤ lim kxmk +1 − xmk k + lim kxmk − x∗ k = 0, k→∞ k→∞ k→∞ cịng vỵi b§t ¯ng thùc thù hai (2.20) suy lim kxk x k = k Nhữ vêy ta cõ iÃu phÊi chựng lu Ta cõ cĂc nh lỵ sau an n va ành l½ 2.2 Cho H1, H2 v A gièng nh÷ Bê · 2.1 Cho {Ci}Ni=1 v p ie gh tn to l hai hå c¡c têp lỗi, õng khổng gian H1 v H2, tữỡng ựng GiÊ sỷ 6= v giỳ nguyản c¡c i·u ki»n cõa (η), (α), (γ ) v P (β 0) βi > ≤ i ≤ N cho Ni=1 βi = Khi â, vỵi k thẳ dÂy {xk } ữủc nh nghắa bði {Qj }j∈N+ k = U Tγk ,αk x , k ≥ 1, x ∈ H1 , U = oa nl w x k+1 N X βi PCi , i=1 d hởi tử mÔnh và nghiằm cõ chuân nhä nh§t cõa (1.9) Chùng minh L§y Ci = CN vợi i > N , chựng minh nhữ nh lỵ 2.1 ành l½ 2.3 Cho H1, H2 v A gièng nh÷ Bê · 2.1 Cho {Ci}i∈N v {Qj }M j=1 l hai hồ cĂc têp lỗi, õng H1 v H2 , t÷ìng ùng Gi£ sû Γ 6= ∅ v giú nguy¶n c¡c i·u ki»n cõa (β ), (α), (γ ) v P (η0) ηj > ≤ j ≤ M cho Mj=1 ηj = Khi õ, vợi k thẳ dÂy {xk } ữủc nh nghắa bi nf va an lu lm ul + z at nh oi z ∗ k gm @ x k+1 = Uk (I − γk (A (I − V )A + αk I))x , k ≥ 1, x ∈ H1 , V = M X η j P Qj , l i=1 m co hëi tử mÔnh và nghiằm cõ chuân nhọ nhĐt cừa (1.9) nh lẵ 2.4 Cho H1, H2 v A giống nhữ Bê · 2.1 Cho {Ci}Mi=1 v {Qj }N j=1 l hai hồ hỳu hÔn cừa cĂc têp lỗi, âng H1 v H2 , t÷ìng an Lu n va ac th si 29 ùng Gi£ sû Γ 6= ∅ v giú nguy¶n c¡c i·u ki»n cõa (β 0), (α), (γ ) v (η0) Khi â, vỵi k → dÂy {xk } ữủc nh nghắa bi xk+1 = U (I − γk (A∗ (I − V )A + αk I))xk , x1 ∈ H1 , â U v V ữủc nh nghắa nhữ nh lỵ 2.2 v 2.3 tữỡng ựng, hởi tử mÔnh án nghiằm cõ chuân nhọ nhĐt (1.9) Chú ỵ 2.1 P Ci vỵi T i = PCi (I − γA∗ (I − PQi )A) °t I − γA∗ (I − PQi )A, giÊi bi toĂn (1.9) vợi Vk k tÔi mội bữợc lp v lữu ỵ tẵnh trung bẳnh cừa = ∩i∈N+ F ix(T i ) Bê · 1.4 v 2.1 ta câ J1 = J2 = N+ , düa trản k ta cƯn xƠy dỹng cĂc Ănh xÔ Ănh xÔ Ưu tiản cừa Ti v k Do õ, Wk , Sk v số thỹc dữỡng lu 2.3 Vẵ dử số an va n Ta xt bi toĂn chĐp nhên tĂch a têp vợi to v Q = j=1 Qj , gh tn C = ∩∞ i=1 Ci p ie â nl w Ci = {x ∈ En : ai1 x1 + ai2 x2 + · · · + ain ≤ bi }, vỵi 1≤l≤n v i ∈ N+ , d oa ail , bi ∈ (−∞; +∞), (2.24) lu m X Qj = {y ∈ E : (yl − ajl )2 ≤ Rj }, Rj > 0, ìn và, måi 1≤l≤m j ∈ N+ v A l mởt ma cù Trong vẵ dử Ưu tiản, tỉi x²t tr÷íng hđp ai1 = 1/i, ai2 = −1 j ≥ v v z at nh oi V½ dư 2.1 vỵi (2.25) l=1 lm ul ajl ∈ (−∞; +∞), nf va an m bi = vỵi måi M = N = 2, A l ma trªn i ≥ 1, Rj = Khi â, khæng khâ º kim tra rơng x = (0; 0) z cõ chuân nhọ nhĐt cừa bi toĂn (2.24) - (2.25) Vẳ m × n v aj = (1/j, 0) vỵi l nghi»m nhĐt A = I, thuêt toĂn (2.1) - @ gm (2.2) cõ dÔng l xk+1 = Uk ((1 − γk (1 + αk ))xk + γk Vk xk ) (2.26) co x1 = (3.0; 3.0), ta nhên ữủc bÊng số n va liằu dữợi Ơy v im xuĐt ph¡t an Lu 1/(1 + 0.05 + (1/k) βi = ηi = 1/(i(i + 1)), αk = 1/k , γk = m Dỷ dửng phữỡng phĂp (2.26) vợi ac th si 30 k xk+1 xk+1 k xk+1 xk+1 0.0243902439 0.3658536585 100 0.0012390505 0.0083945251 10 0.0102553274 0.0694794968 500 0.0002695347 0.0018260888 20 0.0055344982 0.0374960376 1000 0.0001394192 0.0009445606 30 0.0038180428 0.0258671112 2000 0.0000720824 0.0004883558 40 0.0029249862 0.0198166827 3000 0.0000489994 0.0000331969 V½ dư 2.2 Trong v½ dư thù hai, giỳ nguyản phĂt, tổi xt têp mợi Qj = {y ∈ E3 : ky − aj k ≤ 1} 1); 1/(j + 1); 1/(j + 1)) vỵi i = 1, 2, Ci , βi , ηj , Rj , γk , αk v A l mët ma trªn cï 3ì2 õ v im xuĐt aj = (1/(j + vợi cĂc phƯn tỷ v phƯn tỷ cỏn lÔi bơng khổng Dạ thĐy x = (0; 0) ai1 = 1, l nghiằm lu nhĐt cõ chuân nhọ nhĐt Kát quÊ tẵnh toĂn sỷ dửng phữỡng phĂp (2.1) - an k xk+1 xk+1 k xk+1 xk+1 0.6019388274 1.5365833659 100 0.0142047415 0.0363009852 10 0.1176994981 0.3004546610 500 0.0030934268 0.0078966734 0.0635189516 0.1621465290 1000 0.0016001024 0.0040846244 0.1118588139 2000 0.0008272834 0.0021118284 0.0856945566 3000 0.0005623615 0.0014355553 n va (2.2) ữủc trẳnh b y b£ng sè li»u sau ie gh tn to p 20 0.0438193443 nl w 0.0356981140 d oa 40 30 an lu Nhữ vêy, chữỡng ny cừa luên vôn  trẳnh by mởt số bờ à cƯn thiát cừa phữỡng phĂp hiằu chnh lp cho bi toĂn chĐp nhªn t¡ch khỉng gian nf va a tªp v ữa mởt vi vẵ dử minh hồa cho phữỡng ph¡p n y z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Kát luên Trong luên vôn ny chúng tổi nghiản cựu mởt cĂch khĂ chi tiát v hằ thống và cĂc vĐn à sau: ã Mởt số khĂi niằm cỡ bÊn cừa giÊi tẵch lỗi, khổng gian Hilbert, toĂn tû khỉng gian Hilbert, iºm b§t ëng cõa ¡nh xÔ khổng giÂn; lu an ã CĂc kát quÊ nghiản cùu cõa N Buong, P.T.T Hoai, K.T Binh t i va li»u [3] v· ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh l°p gi£i bi toĂn chĐp nhên tĂch a têp n khổng gian Hilbert p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si T i li»u tham kh£o Tiáng Viằt [1] Nguyạn Vôn HiÃn, Lả Dụng Mữu (2003), dưng, Vi»n To¡n håc, H Nëi lu [2] é V«n Lữu, Nguyạn ực LÔng (2010), Nhêp mổn giÊi tẵch lỗi v ựng GiĂo trẳnh giÊi tẵch hm, NXB Ôi an håc Quèc gia, H Nëi va n Ti¸ng Anh gh tn to Iterative regularization methods for the Multiple-Sets split feasibility problem in Hilbert spaces, Acta [3] N Buong, P.T.T Hoai, K.T Binh (2019), p ie nl w Applicandae Mathicalae, Springer oa [4] Agarwal R P., O'Regan D., Sahu D R (2009), Fixed Point Theory for d Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer [5] Alber, Y., Ryazantseva, I.P (2006), Nonlinear Ill-Posed Problems of Monotone Type, Springer nf va an lu lm ul [6] Bakushinsky, A.B (1977), Methods for solving monotonic variational in- z at nh oi equalities based on the principle of iterative regularization, and Math Physics., 17, 12-24 z [7] Bakushinsky, A.B., Goncharsky, A (1989), Comput Math Ill-Posed Problems: Theory and l gm @ Applications Kluwer Academic Publishers [8] Byrne C (2004), A unified treatment of some iterative algorithms in signal Inverse Problems, 18, 103-120 m co processing and image reconstruction, an Lu [9] Bruck, R E (1974), A strong convergent iterative method for the solution n va ac th si 33 ∈ Ux for a maximal monotone operator Anal Appl., 48, 114-126 U in Hilbert spaces J Math [10] Censor Y., Elfving T (1994), A multi projection algorithm using Bregman projections in a product space, Numer Algorithms, 8(2-4), 221-239 [11] Chuang, Ch.Sh (2013), Strong convergence theorems for the split variational inclusion problem in Hilbert spaces, cations, 2013, 350 Fixed Point Theory and Appli- [12] Xu, H.K (2010), Iterative methods for the split feasibility problem in infinite-dimensional Hilbert spaces, Inverse Problems, 26, 1005018, 17 lu [13] Y.Yao, W Jiang, Y.C.Liou (2012), Regularized methods for the split feasi- an bility problem, va Abstract and Applied Analysis, 2012, Article 140679, DOI: n 10.1155/2012/14 0679 p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si
Ngày đăng: 24/07/2023, 09:27
Xem thêm: