(Luận văn) phương pháp hiệu chỉnh cải biên cho thuật toán điểm gần kề tìm không điểm của toán tử đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN BÍCH LƯƠNG lu an n va tn to PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH CẢI BIÊN p ie gh CHO THUẬT TOÁN ĐIỂM GẦN KỀ TÌM d oa nl w KHƠNG ĐIỂM CỦA TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2015 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN BÍCH LƯƠNG lu an PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH CẢI BIÊN n va CHO THUẬT TỐN ĐIỂM GẦN KỀ TÌM to p ie gh tn KHƠNG ĐIỂM CỦA TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU w d oa nl Chuyên ngành: Toán ứng dụng 60 46 01 12 an lu Mã số: nf va LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul Người hướng dẫn khoa học: z GS.TS NGUYỄN BƯỜNG m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2015 n va ac th si i Mục lục Lời cảm ơn ii Danh sách ký hiệu iii lu an 1 n va Lời mở đầu gh tn to Một số vấn đề Khơng gian Hilbert số ví dụ 1.2 Bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi không gian Hilbert 1.3 Phương pháp hiệu chỉnh giải phương trình với tốn tử đơn điệu 11 p ie 1.1 oa nl w Phương pháp hiệu chỉnh cải biên cho thuật tốn điểm gần kề tìm d an lu 17 nf va khơng điểm tốn tử đơn điệu Một số bổ đề bổ trợ 17 2.2 Mô tả phương pháp 19 2.3 Sự hội tụ phương pháp 22 @ 35 m co l gm Tài liệu tham khảo 34 z Kết luận z at nh oi lm ul 2.1 an Lu n va ac th si ii Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS Nguyễn Bường, người tận tình bảo, định hướng, chọn đề tài truyền đạt kiến thức để hồn thành luận văn lu an Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô giáo trường n va Đại học Khoa học Thái Nguyên, đặc biệt thầy cô Khoa Tốn - Tin, Qua tơi xin gửi lời cảm ơn Trường Cao đẳng Sư phạm Hưng Yên, ie gh tn to giúp đỡ suốt trình nghiên cứu học tập p tập thể lớp Cao học K7Y, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên, góp ý nl w cho nhận xét quý báu d oa Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, an lu tơi mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn để nf va luận văn hồn thiện lm ul Tơi xin chân thành cảm ơn! z at nh oi Thái Nguyên, tháng 12 năm 2015 Tác giả z l gm @ m co Nguyễn Bích Lương an Lu n va ac th si iii Danh sách ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: lu an n va không gian số thực H không gian Hilbert thực X∗ không gian đối ngẫu X domA miền hữu hiệu A D(T ) miền xác định T p ie gh tn to R w R(T ) nón pháp tuyến điểm x tập C tập điểm bất động ánh xạ S d Fix(S) oa nl NC (x) miền ảnh T lu tích vơ hướng hai vectơ x y δC (.) hàm C kxk chuẩn vectơ x nf va an hx, yi lm ul z at nh oi xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn * x dãy {xn } hội tụ yếu tới x tập rỗng I ánh xạ đơn vị an Lu ∅ m tồn x co ∃x l x gm ∀x @ x gán y z x := y n va ac th si Lời mở đầu Toán tử đơn điệu lĩnh vực giải tích đại nhiều nhà toán học hàng đầu giới nghiên cứu, đặc biệt phải kể đến Browder F E, Rockafellar R T, Minty G J Bên cạnh kết đặc lu an biệt có ý nghĩa mặt lý thuyết, tốn tử đơn điệu cơng n va cụ sử dụng nhiều có hiệu lĩnh vực toán ứng dụng chẳng tn to hạn bất đẳng thức biến phân Nó giúp ích cho việc nghiên cứu ánh xạ ie gh gradient gradient, chứng minh tồn nghiệm cho nhiều p lớp toán cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân tốn tối ưu nl w Mục đích luận văn trình bày phương pháp hiệu chỉnh cải biên d oa cho thuật toán điểm gần kề để chứng minh dãy lặp {xn } hội tụ mạnh an lu đến x∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân hF x∗ − u, x∗ − pi ≤ nf va Luận văn trình bày hai chương: lm ul Trong Chương chúng tơi xin trình bày khái niệm khơng gian Hilbert, z at nh oi số ví dụ minh họa tốn cực tiểu phiếm hàm lồi khơng gian Thuật tốn điểm gần kề, khái niệm tốn đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov dựa phương trình với tốn tử đơn điệu trình z gm @ bày chương Chương dành cho việc mô tả phương pháp hiệu chỉnh cải biên thuật toán l m an Lu số kết bổ trợ co điểm gần kề chứng minh nghiệm bất đẳng thức biến phân dựa n va ac th si Chương Một số vấn đề Chương nhắc lại số kiến thức giải tích hàm, giải tích lồi lu tốn đặt khơng chỉnh Khơng gian Hilbert số ví dụ xét mục an n va 1.1 Mục 1.2 nhắc lại tốn cực tiểu phiếm hàm lồi khơng gian Hilbert tn to Trong mục 1.3 trình bày phương pháp hiệu chỉnh giải phương trình với tốn tử gh đơn điệu Kiến thức chương tham khảo tài liệu [1], p ie [2], [3] Không gian Hilbert số ví dụ d oa nl w 1.1 an lu Trong mục này, tơi xin trình bày khái niệm không gian Hilbert số nf va ví dụ khơng gian lm ul Định nghĩa 1.1 Cho H khơng gian tuyến tính trường R Một tích vơ đây: z at nh oi hướng H ánh xạ h., i : X × X → R thỏa mãn điều kiện sau z i hx, yi = hy, xi với x, y ∈ H @ iii hλx, yi = λ hx, yi với x, y ∈ H; λ ∈ R l gm ii hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với x, y, z ∈ H m co iv hx, xi ≥ với x ∈ H hx, xi = x = an Lu Số hx, yi gọi tích vơ hướng hai vectơ x y Cặp (H, h·, ·i) n va gọi khơng gian tiền Hilbert (hay cịn gọi không gian Unita) ac th si Từ định nghĩa ta thấy tích vơ hướng h·, ·i dạng song tuyến tính xác định dương H Khi H gọi khơng gian tiền Hilbert thực Định lí 1.1 Cho H khơng gian tiền Hilbert với x, y ∈ H, ta ln có bất đẳng thức sau |hx, yi|2 ≤ hx, xi hy, yi Dấu xảy x, y phụ thuộc tuyến tính Chứng minh Hiển nhiên bất đẳng thức với y = Giả sử y 6= Với lu số λ, ta có an hx + λy, x + λyi ≥ n va tn to tức ie gh hx, xi + λ hy, xi + λ hx, yi + |λ|2 hy, yi ≥ p Lấy λ = − w hx, yi , ta hy, yi d oa nl khx, yik2 ≥ 0, hx, xi − hy, yi lu nf va an từ suy bất đẳng thức cần chứng minh xác định chuẩn H z at nh oi lm ul Định lí 1.2 Cho H khơng gian tiền Hilbert Khi kxk = hx, xi1/2 , x ∈ H Chứng minh Từ điều kiện d) Định nghĩa 1.1 suy kxk = z x = Từ a) c) suy kλxk2 = hλx, λxi = |λ|2 kxk2 , từ kλxk = co l gm Với x, y ∈ H @ |λ| kxk, với x ∈ H, λ ∈ R m kx + yk2 = hx + y, x + yi = kxk2 + hy, xi + hx, yi + kyk2 an Lu ≤ kxk2 + 2| hx, yi | + kyk2 n va ac th si (vì hx, yi + hy, xi = 2Re hx, yi ≤ |hx, yi|) Do đó, theo bất đẳng thức Schwarz kx + yk2 ≤ kxk2 + kxk kyk + kyk2 = (kxk + kyk)2 tức kx + yk ≤ kxk + kyk Như vậy, không gian tiền Hilbert khơng gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.2 Nếu H không gian tiền Hilbert đầy đủ chuẩn lu cảm sinh từ tích vơ hướng gọi khơng gian Hilbert an n va Sau số ví dụ khơng gian Hilbert tn to Ví dụ 1.1 Rn khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng hx, yi = Pn i=1 xi yi , p ie gh đó: nl w x = (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ Rn , y = (y1 , y2 , · · · , yn ) ∈ Rn d oa Ví dụ 1.2 Xét khơng gian: ( lu x = (xn )n ⊂ K : an l2 = ∞ X ) |xn |2 < +∞ nf va n=1 z at nh oi lm ul Ta biết l2 không gian Banach với chuẩn v u∞ uX x=t |xn |2 (1.1) n=1 z Với x = (xn )n∈R , y = (yn )n∈R ∈ l2 , nhờ bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: ∞ X xn yn ≤ kxk2 kyk2 < +∞ P∞ xác định tích vơ hướng l2 cảm sinh (1.1) Vậy l2 không gian Hilbert an Lu n=1 xn yn m Dễ kiểm tra rằng: hx, yi = co l gm @ n=1 n va ac th si Ví dụ 1.3 Cho (X, A, µ) khơng gian độ đo E ∈ A Xét không gian   Z   2 L (E, µ) = f : E → R |f | dµ < ∞   E ta biết L2 (E, µ) không gian Banach với chuẩn   12 Z kf k =  |f |2 dµ E Hơn nữa, với f, g ∈ L2 (E, µ), từ bất đẳng thc Hăolder v tớch phõn, ta cú lu an Z n va |f g|dµ ≤   12   12 Z |f |2 dµ  |g|2 dµ < +∞ E E tn to E Z ie gh Ta dễ dàng kiểm tra p hf, gi = Z f gdµ, nl w E d oa xác định tích vơ hướng L2 (E, µ) L2 (E, µ) khơng gian Hilbert Bài tốn cực tiểu phiếm hàm lồi không gian Hilbert z at nh oi lm ul 1.2 nf va an lu thực Trước hết ta nhắc lại số kiến thức giải tích lồi tập lồi, hàm lồi, z vi phân, @ ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C m co ∀x, y ∈ C, l gm Định nghĩa 1.3 Một tập C ⊆ H gọi tập lồi an Lu Định nghĩa 1.4 i Một tập C ⊆ H gọi nón có đỉnh ∀λ > ⇒ λx ∈ C n va ∀x ∈ C, ac th si dt   n=0 = (∞ Xπ n=1 r = ε1 ) 21 (cn − an )2 π Như vậy, toán lại ổn định, tức kiện ban đầu an cho xấp xỉ cn với sai lu số nhỏ, chuỗi Fourier tương ứng sai khác không an va nhiều L2 [0, π] n Tiếp theo, nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov dựa gh tn to toán tử đơn điệu p ie Cho phương trình tốn tử f0 ∈ X ∗ , (1.4) nl w A(x) = f0 , d oa A tốn tử đơn điệu h - liên tục từ không gian Hilbert X vào X ∗ , an lu X ∗ lồi chặt có tính ES, tức X phản xạ dãy {xn } phần nf va tử xn ∈ X hội tụ yếu X đến x kxn k → kxk cho ta {xn } hội tụ mạnh lm ul đến phần tử x tốn khơng chỉnh z at nh oi Nếu A khơng có tính đơn điệu đều, tốn (1.4) nói chung Giả sử (1.4) có nghiệm, tức f0 ∈ R(A) Ta kí hiệu S0 tập nghiệm z co l Xét phương trình gm @ phương trình Khi S0 tập đóng lồi X (1.5) m A(x) + αU s (x − x0 ) = fδ , kfδ − f0 k ≤ δ an Lu x0 phần tử X Phần tử giúp cho ta tìm nghiệm n va (1.4) theo ý muốn Ta có kết sau ac th si 15 Định lí 1.5 Với α > fδ ∈ X ∗ , phương trình (1.4) có nghiệm  δ xδα Nếu α, → xδα hội tụ đến phần tử x0 ∈ S0 thỏa mãn α x0 − x0 = x − x0 (1.6) x∈S0 Nhờ kết này, ta xác định toán tử hiệu chỉnh R(f, α), dựa vào việc giải phương trình (1.5) phụ thuộc α = α(δ) để nghiệm phương trình hội tụ đến nghiệm tốn khơng chỉnh ban đầu Chính lẽ mà phương trình (1.5) gọi phương trình hiệu chỉnh cho lu phương trình (1.4) an Bây giờ, xét trường hợp tổng quát hơn, toán tử vế phải biết va n xấp xỉ, tức là, thay cho A ta biết xấp xỉ Ah thỏa mãn tn to (1.7) p ie gh kAh (x) − A(x)k ≤ hg(kxk) có tính chất A (đơn điệu h - liên tục), g(t) hàm giới nội oa nl w (đưa tập giới nội vào tập giới nội) d Ta có kết sau an lu nf va Định lí 1.6 Với α > 0, h > fδ ∈ X ∗ phương trình hiệu chỉnh (1.8) z at nh oi lm ul Ah (x) + αI(x − x0 ) = fδ δ h có nghiệm xηα , η = (h, δ) Nếu α, , → 0, {xηα } hội tụ đến phần α α tử x0 z Nếu Ah khơng có tính chất đơn điệu, phương trình (1.8) khơng có @ m co tốn bất đẳng thức biến phân: tìm xω ∈ X cho l gm nghiệm Do đó, O A Liskovets xây dựng nghiệm hiệu chỉnh xηα dựa vào an Lu Ah (xω ) + αU s (xω − x0 ) − fδ , x − xω + εg(kxω )k kx − xω k ≥ 0, (1.9) n va ∀x ∈ X, ε > h, ac th si 16 ω = ω(h, δ, α, ε) Phần tử xω thỏa mãn (1.9) gọi nghiệm hiệu chỉnh tốn (1.4) cho trường hợp Ah khơng đơn điệu Kết luận: Chương trình bày sơ lược khơng gian tiền Hilbert, không gian Hilbert đồng thời đưa số ví dụ minh họa Phát biểu tốn cực tiểu phiếm hàm lồi trình bày thuật tốn điểm gần kề để giải tốn tìm cực tiểu Khái niệm tốn đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov dựa toán tử đơn điệu trình bày chương làm sở cho việc nghiên cứu chương lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 17 Chương Phương pháp hiệu chỉnh cải biên cho thuật tốn điểm gần kề tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu lu an va n Chương nội dung luận văn trình bày phương pháp hiệu tn to chỉnh cải biên cho thuật toán điểm gần kề Mục 2.1 số bổ đề bổ trợ Mô ie gh tả phương pháp hiệu chỉnh trình bày mục 2.2 Phương pháp hiệu p chỉnh cải biên cho thuật toán điểm gần kề tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu nl w trình bày mục 2.3 Những kiến thức chương tham d oa khảo tài liệu [4] - [11] lu Một số bổ đề bổ trợ nf va an 2.1 lm ul Cho H khơng gian Hilbert thực với tích h·, ·i chuẩn k·k Cho dãy z at nh oi {xn } H, ta viết xn * x để dãy {xn } hội tụ yếu tới x, xn → x nghĩa {xn } hội tụ mạnh đến x z Một ánh xạ F gọi k - Lipschitz tồn số k dương (2.1) ∀x, y ∈ H co l kF x − F yk ≤ k kx − yk , gm @ cho m F gọi η đơn điệu mạnh tồn số η cho an Lu hF x − F y, x − yi ≥ η kx − yk2 , (2.2) ∀x, y ∈ H n va ac th si 18 e>0 Cho A tốn tử tuyến tính giới nội H tồn số γ cho hAx, xi ≥ γe kxk2 , (2.3) ∀x ∈ H Một toán quan trọng cực tiểu phiếm hàm toàn phương tập điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Hilbert thực H:  x∈Fix(W )  hAx, xi − hx, bi , (2.4) b điểm bất động H Fix(W ) tập hợp điểm bất lu động ánh xạ không giãn W an n va Chú ý 2.1 Từ định nghĩa A lưu ý tốn tử tuyến tính, giới nội, Cho T tốn tử đơn điệu cực đại khơng gian Hilbert thực H ie gh tn to e - đơn điệu mạnh dương mạnh A toán tử kAk - Lipschitz γ p cho S := T −1 (0) 6= Với c > 0, ta kí hiệu JcT tốn tử giải T , với (2.5) oa nl w JcT = (I + cT )−1 d Dễ thấy JcT tốn tử khơng giãn mạnh an lu nf va S = Fix(JcT ) = x ∈ Hx = JcT x z at nh oi lm ul Ta có bổ đề sau: Bổ đề 2.1 Cho t, c > Khi đó, với x ∈ H,     t t JcT x = JtT x+ 1− JcT x c c z (2.6) @ l gm Để chứng minh kết chính, cần bổ đề sau m gian Hilbert H với < η ≤ k < t < η/k co Bổ đề 2.2 Cho F toán tử k - Lipschitz η - đơn điệu mạnh không an Lu n va Khi đó, S = (I − tF ) : H → H toán tử co với hệ số co τt = p − t(2η − tk ) ac th si 19 Bổ đề 2.3 T tốn tử khơng giãn mạnh 2T − I không giãn Bổ đề 2.4 Cho H không gian Hilbert, C tập lồi H T : C → C ánh xạ không giãn với F ix(T ) 6= 0, {xn } dãy C hội tụ yếu đến x (I − T )xn hội tụ mạnh đến y (I −T )x = y Bổ đề 2.5 Cho {xn } {zn } dãy giới nội không gian Banach E {γn } dãy [0,1] thỏa mãn điều kiện sau (2.7) lu < lim inf γn ≤ lim sup γn < an n→∞ n→∞ va n Giả sử xn+1 = γn xn + (1 − γn )zn , n ≥ lim sup(kzn+1 − zn k − kxn+1 − xn k) ≤ Khi đó, lim kzn − xn k = tn to n→∞ n→∞ gh p ie Bổ đề 2.6 Cho {sn } dãy số thực không âm thỏa mãn w (2.8) n ≥ 0, d oa nl sn+1 ≤ (1 − λn )sn + λn δn + γn , nf va an lu {λn }, {δn } {γn } thỏa mãn điều kiện sau: P (i) λn ⊂ [0, 1] ∞ n=0 λn = ∞, P (ii) lim sup δn ≤ ∞ n=0 λn δn < ∞, n→∞ P (iii) γn ≥ 0(n ≥ 0), ∞ n=0 γn < ∞ n→∞ gm @ Mô tả phương pháp z 2.2 z at nh oi lm ul Khi lim sn = l Cho H không gian Hilbert thực C tập đóng, lồi, m co khác rỗng H giả sử F : H → H toán tử phi tuyến tính Bài tốn ∀v ∈ C (2.9) n va hF x∗ , v − x∗ i ≥ 0, an Lu bất đẳng thức biến phân phát biểu sau: tìm điểm x∗ ∈ C cho ac th si 20 Năm 1964, Stampacchia [7] đưa vào nghiên cứu bất đẳng thức biến phân Bất đẳng thức biến phân bao gồm số ngành đa dạng phương trình vi phân phần, điều khiển tối ưu, tối ưu hóa, lập phương trình tốn học, khí tài Cho T toán tử với miền xác định D(T ) miền ảnh R(T ) H Một toán tử đa trị T : H → 2H gọi đơn điệu (2.10) hu − v, x − yi ≥ 0, lu với u ∈ T x, v ∈ T y đơn điệu cực đại đơn điệu đồ thị an va (2.11) n G(T ) = {(x, y) : x ∈ D(T ), y ∈ T x} tn to gh khơng nằm đồ thị tốn tử đơn điệu khác p ie Một tốn quan trọng lí thuyết tốn tử đơn điệu tìm w điểm tập khơng điểm phát biểu sau: tìm điểm x oa nl cho x ∈ T −1 (0) T −1 (0) tập khơng điểm toán tử T d Một số toán bao gồm toán quy hoạch lồi, bất đẳng thức biến phân lu nf va an phát biểu tìm điểm khơng tốn tử đơn điệu cực đại Phương pháp cổ điển để giải toán thuật toán điểm gần Rockafellar [5], xây dựng lm ul dãy (2.12) z at nh oi xn+1 = JcT (xn + en ), c > 0, JcT toán tử giải T cho JcT = (I + cT )−1 , với I z ánh xạ đơn vị không gian H Nếu T −1 (0) 6= ta biết dãy @ l gm tạo (2.12) hội tụ yếu tới số điểm T −1 (0) an Lu (2.13) n ≥ 0, n va xn+1 = JcTn ((1 − tn )xn + tn u + en ), m xét dạng lặp hiệu chỉnh: với điểm cố định u ∈ H, co Dựa vào phương pháp prox - Tikhonov Lehdili Moudafi [4], Xu [10] ac th si 21 tn ∈ (0, 1) {en } dãy sai số Khi đó, dãy lặp hội tụ mạnh đến PT −1 (0) u, với điều kiện (C1): lim tn = 0, n→∞ P (C2): ∞ n=0 ktn+1 − tn k < ∞, (C3): ≤ c ≤ cn ≤ c, P (C4): ∞ n=0 kcn+1 − cn k < ∞, P∞ P (C5): n=0 tn = ∞, ∞ n=0 |ken k| < ∞ lu Mới đây, Song Yang [6] loại số điều kiện chặt chẽ kết P Xu [10] Với điều kiện (C1), (C2), (C4) (hoặc ∞ n=0 k1 − cn /cn+1 k < an +∞), (C5) (C3’) va n (C3’): < lim infcn Họ chứng minh dãy tạo (2.13) hội tụ mạnh tới PT −1 (0) u gh tn to n→∞ p ie Rất gần đây, với điều kiện (C1), (C3) (hoặc C3’), (C5) (C4’) c n = (C4’): lim − n→∞ cn+1 Wang [8] chứng minh hội tụ mạnh dãy tạo (2.13) nl w d oa Dễ dàng thấy điều kiện (C3’)và (C4’) yếu so với điều kiện (C3) an lu (C4) tương ứng nf va Chúng nhắc lại rằng: để đảm bảo hội tụ mạnh dãy lặp {xn }, có lm ul tham số hội tụ không (tn → 0) kết Xu [10], Song z at nh oi Yang [6] Wang [8] kết dẫn đến câu hỏi sau: Câu hỏi 1: Liệu nhận định lí hội tụ mạnh mà không cần dãy tham số {tn } hội tụ không? z gm @ Câu hỏi 2: Chúng ta nhận dãy {xn } hội tụ mạnh đến x∗ ∈ T −1 (0) l nghiệm bất đẳng thức biến phân đó? m co Dựa vào kết trên, xem xét phương pháp sau đây: phương pháp an Lu n va ac th si 22 hiệu chỉnh cho thuật toán điểm gần kề Cho điểm tùy ý x0 ∈ H, zn = (I − tn F )xn + tn u + en , xn+1 = JcT zn , (2.14) n ≥ 0, F toán tử k - Lipschitz η đơn điệu mạnh H u điểm bất động H Nếu khơng có dãy tham số {tn } hội tụ không, chứng minh dãy {xn } (2.14) hội tụ mạnh đến x∗ ∈ T −1 (0), nghiệm bất đẳng thức biến phân hF x∗ − u, x∗ − pi ≤ với p ∈ T −1 (0) lu an Sự hội tụ phương pháp n va 2.3 to tn Cho F toán tử k - Lipschitz η - đơn điệu mạnh H với p ie gh < η ≤ k JcT toán tử giải T Giả sử t ∈ (0, η/k ) τt = p − t(2η − tk ) ∈ (0, 1) xét ánh xạ Vt H xác định w (2.15) x ∈ H, d oa nl Vt x = JcT [(I − tF )x + tu], an lu c > số cố định u ∈ H điểm bất động Dễ thấy nf va Vt toán tử co Từ Bổ đề 2.2, ta có lm ul kVt x − Vt yk = JcT [(I − tF )x + tu] − JcT [(I − tF )y + tu] z at nh oi (2.16) ≤ k(I − tF )x − (I − tF )yk ≤ τt kx − yk , z phương trình (2.17) vt ∈ H m vt = JcT [(I − tF )vt + tu], co l gm @ với ∀x, y ∈ H Do đó, có điểm bất động nhất, kí hiệu vt nghiệm an Lu Định lí 2.1 Với c > u ∈ H, cho mạch (net) {vt } tạo n va (2.17) Khi đó, cho t → mạch (net) {vt } hội tụ mạnh đến v S nghiệm ac th si 23 bất đẳng thức biến phân hF v ∗ − u, v ∗ − pi ≤ 0, (2.18) ∀p ∈ S Chứng minh Đầu tiên chứng minh tính nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.18) Giả sử v ∗ ∈ S ve ∈ S hai nghiệm (2.18), hF v ∗ − u, v ∗ − vei ≤ 0, (2.19) hF ve − u, ve − v ∗ i ≤ (2.20) lu Cộng (2.19) vào (2.20) ta có an n va hF v ∗ − F ve, v ∗ − vei ≤ (2.21) gh tn to Tính đơn điệu mạnh F v ∗ = ve tính chứng minh p ie Sau đây, sử dụng v ∗ ∈ S nghiệm (2.18) Tiếp theo chứng minh {vt } giới nội Lấy p ∈ S , từ (2.17) sử dụng Bổ oa nl w đề 2.2, ta có: d kvt − pk = JcT [(I − tF )vt + tu] − p nf va an lu (2.22) ≤ k(I − tF )vt − (I − tF )pt (u − F p)k Nên kvt − pk ≤ Ta thấy t ku − F pk − τt z at nh oi lm ul ≤ τt kvt − pk + t ku − F pk , (2.23) z t = (2.24) t→0 − τt η Cho t → ∞, giả sử mà khơng tính tổng quát t < t η/k − ε, ε số dương nhỏ Khi liên tục, với − τt t ∈ [0, η/k − ε] Do đó, ta có:   η i t sup : t ∈ 0, − ε < +∞ (2.25) − τt k m co l gm @ lim+ an Lu n va ac th si 24 Từ (2.23) (2.25) có {vt } {F vt } giới nội Mặt khác, từ (2.17) ta có vt − J T vt = J T [(I − tF )vt + tu] − J T vt c c c (2.26) ≤ k(I − tF )vt + tu − vt k ≤ t ku − F vt k → (t → 0) Để chứng minh vt → v ∗ với p ∈ S ta sử dụng Bổ đề 2.2, ta có: kvt − pk2 = JcT [(I − tF )vt + tu] − p lu ≤ k(I − tF )vt − (I − tF )p + t(u − F p)k2 an va ≤ τt2 kvt − pk2 + t2 ku − F pk2 n + 2t h(U − tF )vt − (I − tF )p, u − F pi tn to (2.27) gh ≤ τt kvt − pk2 + t2 ku − F pk2 + 2t hvt − p, u − F pi p ie + 2t2 hF p − F vt , u − F pi nl w ≤ τ kvt − pk2 + t2 ku − F pk2 + 2t hv + t − p, u − F pi d oa + 2t2 k kp − vt k ku − F pk nf va an lu ≤ τ kvt − pk2 + 2t2 M + 2t hvt − p, u − F pi , n o M = max |u − F p| , 2k |p − vt | |u − F p| Do lm ul z at nh oi 2t 2t2 M+ hvt − p, u − F pi (2.28) − τt − τt   p t Từ τt = − t(2η − tk ), ta có lim = Ngồi ra, vt → p, t→0 − τt ta có lim((2t/(1 − τt )) hvt − p, u − F pi) = kvt − pk2 ≤ z gm @ t→0 Do {vt } giới nội, thấy {tn } dãy l m an Lu vtn → ve co (0, η/k − ε] cho tn → vtn → ve, kết hợp với (2.28) ta có Ngoài ra, từ (2.26) sử dụng Bổ đề 2.4, ta có ve ∈ S Tiếp theo chúng tơi n va chứng minh ve nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.18) ac th si 25 Từ (2.17) p ∈ S , ta có kvt − pk2 ≤ k(I − tF )vt + tu − pk2 (2.29) 2 = kvt − pk + t ku − F vt k + 2t hvt − p, u − F vt i , Có nghĩa hF vt − u, vt − pi ≤ t ku − F vt k2 (2.30) Bây thay t (2.30) tn cho n → ∞, ta có: (2.31) hF ve − u, ve − pi ≤ lu an va Khi ve ∈ S nghiệm (2.18) ve = v ∗ tính n v ∗ Tóm lại, chúng tơi điểm tụ mạch {vt } (tại t → 0) gh tn to v ∗ Vì vt → v ∗ t → p ie Giả sử F = A Định lí 2.1, có kết sau nl w Hệ 2.1 Với c > u ∈ H Cho A tốn tử tuyến tính, giới nội, d oa e ≤ kAk Với t ∈ (0, γ e/ kAk2 ), giả sử dương, mạnh với hệ số < γ an lu mạch {vt } tạo vt = JcT [(I − tA)vt + tu] Khi đó, cho t → lm ul phân nf va mạch (net) {vt } hội tụ mạnh đến v ∗ nghiệm bất đẳng thức biến hAv ∗ − u, v ∗ − pi ≤ 0, (2.32) z at nh oi ∀p ∈ S Giả sử F = I v ∗ = Ps u Định lí 2.1, ta có kết sau z gm @ Hệ 2.2 Với c > u ∈ H Cho t ∈ (0, 1), mạch (net) l {vt } tạo vt = JcT [(1 − t)vt + tu] Khi đó, cho t → 0, {vt } hội tụ c > m co mạnh đến hình chiếu điểm u lên S Ngồi ra, giới hạn đạt an Lu Kết cho định lí hội tụ mạnh Thuật toán 2.14 với n va điều kiện yếu dãy {tn } ac th si 26 Định lí 2.2 Cho T tốn tử tuyến tính cực đại khơng gian Hilbert H với S 6= ∅ Giả sử F toán tử k - Lipschitz η - đơn điệu mạnh với < η ≤ k Cho {tn } dãy (0,1), (cn ) dãy (0, ∞) ε số dương nhỏ tùy ý Giả sử điều kiện (C1’), (C3’), (C4’), (C5’) cố định {tn }, (cn ), (en ) (C1’): < tn ≤ η/k − ε với n ≥ n0 , với số nguyên n0 ≥ Cho điểm tùy ý x0 ∈ H, dãy xn tạo (2.14) cho zn → x∗ ↔ tn (u − F xn ) → 0(n → ∞), (2.33) lu an x∗ ∈ S nghiệm bất đẳng thức biến phân n va (2.34) ∀p ∈ S gh tn to hF x∗ − u, x∗ − pi ≤ 0, p ie Chứng minh Một mặt giả sử tn (u − F xn ) → (n → ∞) Chúng tiến hành bước sau oa nl w Bước Chúng cho {xn } bị giới nội Thật vậy, lấy p ∈ S , từ (2.14) d (C1’) sử dụng Bổ đề 2.5, ta có lu nf va an kxn+1 − pk = JcTn zn − p lm ul ≤ k(I − tn F )xn + tn u + en − pk ≤ k(I − tn F )xn − (I − tn F )p + tn (u − F p) + en k z at nh oi ≤ τtn kxn − pk + tn (u − F p) + ken k (2.35) z ≤ [1 − (1 − τtn )] kxn − pk tn ku − F pk + ken k + (1 − τtn ) − τtn   tn ≤ max |xn − p| , |u − F p| + ken k , − τtn n va − tn (2η − tn k ) ∈ (0, 1) an Lu τtn = q m co l gm @ với n ≥ n0 , với số nguyên n0 ≥ ac th si