(Luận văn) phương pháp điểm gần kề suy rộng tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN CẨM DƯƠNG lu an n va p ie gh tn to PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ SUY RỘNG TÌM KHƠNG ĐIỂM CỦA TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI TRONG KHÔNG GIAN HILBERT d oa nl w nf va an lu lm ul z at nh oi LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2017 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN CẨM DƯƠNG lu an PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ SUY RỘNG n va TÌM KHƠNG ĐIỂM CỦA TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI TRONG KHƠNG GIAN HILBERT p ie gh tn to d oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC an lu nf va Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 z at nh oi lm ul GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN GS TS NGUYỄN BƯỜNG z m co l gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2017 ac th si i Mục lục ii Mở đầu 1 Một số vấn đề liên quan 1.1 Khơng gian Hilbert số tính chất 3 lu Bảng ký hiệu an n va p ie gh tn to 1.2 1.3 w Toán tử đơn điệu cực đại 12 Phương pháp điểm gần kề cổ điển 20 d oa nl Thuật toán điểm gần kề suy rộng 23 2.1 Thuật toán điểm gần kề suy rộng Ackstein Bertsekas 23 lu Thuật toán điểm gần kề co 28 nf va Kết luận an 2.2 lm ul 35 z at nh oi Tài liệu tham khảo 34 z m co l gm @ an Lu n va ac th si ii Bảng ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định lu bảng đây: R tập số thực an n va không gian véc tơ n chiều tương ứng tập hàm thực liên tục [a, b] conv C bao lồi tập C gh tn to Rn C[a, b] bao lồi đóng tập C tốn tử liên hợp toán tử A A dom A toán tử mở rộng toán tử A miền xác định toán tử A p ie conv C A∗ đồ thị toán tử A miền hữu hiệu hàm f d oa nl w nf va an lu gra A domf tập đồ thị hàm f tập tất không điểm A, A−1 (0) Jr,T NC toán tử giải toán tử T hình nón chuẩn tắc ứng với tập lồi C ∅ tập rỗng δC (.) hàm C z at nh oi lm ul epif zer(A) z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Toán tử đơn điệu lĩnh vực giải tích đại lu nhiều nhà toán học hàng đầu giới nghiên cứu, đặc biệt phải kể đến Browder F E, Rockafellar R T, Minty G J Bên cạnh an va n kết đặc biệt có ý nghĩa mặt lý thuyết, toán tử đơn điệu công cụ sử dụng nhiều có hiệu lĩnh vực p ie gh tn to tốn ứng dụng Phương pháp tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại zk+1 = λk u + (1 − λk )(I + ck T )−1 zk + ek , k ≥ d oa nl w có hội tụ yếu Để khắc phục điểm yếu Xu đưa cải biên an lu với điều kiện {ck } tiến tới vơ nf va Mục đích đề tài luận văn nghiên cứu số phương pháp điểm gần kề suy rộng để tìm khơng điểm toán tử đơn điệu cực đại lm ul z at nh oi không gian Hilbert Nội dung đề tài luận văn viết hai chương: Chương 1: "Một số vấn đề liên quan" Chương giới thiệu không gian Hilbert trường số thực số kiến thức z l gm @ giải tích lồi, giới thiệu tốn tử đơn điệu cực đại định nghĩa toán tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại cuối giới thiệu m co thuật toán điểm gần kề cổ điển Chương 2: "Thuật toán điểm gần kề suy rộng" Chương trình bày an Lu hai phương pháp tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại không n va gian Hilbert Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học ac th si Thái Nguyên hướng dẫn tận tình GS TS Nguyễn Bường, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy, người người dành nhiều thời gian tâm huyết để hướng dẫn tận tình, giúp đỡ tơi q trình học tập, nghiên cứu viết luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin tồn thể thầy ngồi trường giảng dạy giúp tác giả trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc học tập nghiên cứu thân Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô lu an Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè ln động n va viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tác giả trình học tập, nghiên cứu làm luận văn ie gh tn to Xin chân thành cảm ơn! p Thái Nguyên, tháng năm 2017 d oa nl w Học viên nf va an lu Nguyễn Cẩm Dương z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Một số vấn đề liên quan lu an n va Chương trình bày số vấn đề để phục vụ cho chương sau gh tn to Cụ thể: Mục 1.1 giới thiệu không gian Hilbert thực số tính chất khơng gian Hilbert Mục 1.2 trình bày số kiến thức giải tích p ie lồi, giới thiệu toán tử đơn điệu cực đại, định nghĩa khơng điểm Mục 1.3 trình bày phương pháp điểm gần kề cổ điển Các kiến thức chương Khơng gian Hilbert số tính chất d oa 1.1 nl w tổng hợp từ tài liệu [1], [2], [3] nf va an lu Định nghĩa 1.1.1 Một tập X gọi khơng gian tuyến tính R với cặp (x, y) ∈ X × X, phần tử X, ta gọi tổng x z at nh oi lm ul y, ký hiệu x + y; với α ∈ R x ∈ X, phần tử X, gọi tích α x, ký hiệu αx thỏa mãn điều kiện sau: (i) x + y = y + x với x, y ∈ X (tính chất giao hốn); (ii) (x + y) + z = x + (y + z) với x, y, z ∈ X (tính chất kết hợp); z l gm x ∈ X; @ (iii) tồn phần tử không X, ký hiệu 0, cho: x + = + x với m co (iv) với x ∈ X, tồn phần tử đối x, ký hiệu −x, cho x + (−x) = với x ∈ X; an Lu (v) · x = x · = x, với x ∈ X (1 phần tử đơn vị); n va (vi) α(βx) = (αβ)x, với α, β ∈ R, với x ∈ X; ac th si (vii) (α + β)x = αx + βx), với α, β ∈ R, với x ∈ X; (viii) α(x + y) = αx + αy), với α ∈ R, với x, y ∈ X Định nghĩa 1.1.2 Cho H không gian tuyến tính trường số thực R Tích vơ hướng không gian H ánh xạ từ tích Descartes H × H vào R, ký hiệu h., i, thỏa mãn điều kiện sau: (i) hx, yi = hy, xi với x, y ∈ H; (ii) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với x, y, z ∈ H; lu an (iii) hαx, yi = αhx, yi với x, y ∈ H α ∈ R; va n (iv) hx, xi > x 6= hx, xi = x = gh tn to Nhận xét 1.1.3 Từ Định nghĩa 1.1.2 ta suy p ie (i) hx, αyi = αhy, xi với x, y ∈ H α ∈ R; (ii) hx, y + zi = hx, yi + hx, zi với x, y, z ∈ H nl w d oa Định nghĩa 1.1.4 Khơng gian tuyến tính H với tích vơ hướng an lu gọi khơng gian tiền Hilbert nf va Định lý 1.1.5 (Bất đẳng thức Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert H, lm ul với x, y ∈ H ta ln có bất đẳng thức sau: |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi z at nh oi (1.1) Chứng minh Với số thực α với x, y ∈ H ta có z Từ suy m co l gm @ ≤ hx − αy, x − αyi = hx, xi − 2αhx, yi + α2 hy, yi n |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi với x, y ∈ H va Hay an Lu ∆ = |hx, yi|2 − hx, xihy, yi ≤ với x, y ∈ H ac th si  Dấu đẳng thức bất đẳng thức (1.1) xảy x y phụ thuộc tuyến tính Định lý 1.1.6 Khơng gian tiền Hilbert H khơng gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn xác định kxk = p hx, xi với x ∈ H (1.2) lu Chuẩn gọi chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng p Hàm số kxk = hx, xi với x ∈ H chuẩn H Chứng minh Thật vậy, từ điều kiện (iv) Định nghĩa 1.1.2 ta có an n va x ∈ H Từ bất đẳng thức Schwarz cách định nghĩa chuẩn ta có p ie gh tn to kxk > x 6= kxk = x = với x ∈ H Từ điều kiện (i) (iii) Định nghĩa 1.1.2 ta suy kαxk = |α|.kxk với α ∈ R (1.3) nl w |hx, yi| ≤ kxk.kyk với x, y ∈ H d oa Từ với x, y ∈ H ta có: lu
2 ≤ kxk2 + 2kxk.kyk + kyk2 = kxk + kyk nf va an hx + y, x + yi = hx, xi + 2hx, yi + hy, yi lm ul Suy kx + yk ≤ kxk + kyk với x, y ∈ H  z at nh oi Định nghĩa 1.1.7 Nếu H không gian tiền Hilbert thực đầy đủ z chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng xác định (1.2) H gọi khơng gian Hilbert thực l gm @ Ví dụ 1.1.8 Không gian co ∞ n o X l = x = {xn }n ∈ R : |xn | < +∞ m an Lu n=1 n va ac th si khơng gian Hilbert với tích vơ hướng hx, yi = ∞ X x = {xn }n∈N , y = {yn }n∈N ∈ l2 x n yn , n=1 chuẩn v u∞ ∞ 1 X p uX 2 t kxk = hx, xi = |xn | = |xn | n=1 n=1 Ví dụ 1.1.9 Không gian L2 [a, b] không gian Hilbert với tích vơ hướng lu an Zb n va ∀x, y ∈ L2 [a, b] x(t)y(t)dt, (x, y) = chuẩn gh tn to a ! 12 ie Zb |x(t)|2 dt p kxk = nl w a oa Ví dụ 1.1.10 Gọi C[a, b] tập tất hàm giá trị thực liên tục d khoảng đóng hữu hạn [a, b] ⊂ R Trong C[a, b] xét tích vơ hướng an lu b nf va Z hx, yi = x(t)y(t).dt, x(t), y(t) ∈ C[a, b] a lm ul Không gian C[a, b] với chuẩn z at nh oi kxk = Z b  12 |x(t)| dt a z gm @ không gian tiền Hilbert, không gian Hilbert m co l Định lý 1.1.11 Giả sử {xn }n∈N , {yn }n∈N hai dãy hội tụ mạnh đến x0 , y0 không gian tiền Hilbert thực H Khi đó, an Lu lim hxn , yn i = hx0 , y0 i n→∞ va n→∞ n→∞ n Chứng minh Giả sử lim xn = x0 , lim yn = y0 không gian Hilbert ac th si m co l gm @ 0 ac th si 14 Dễ dàng thấy rằng, A toán tử tuyến tính Do đó, A tốn tử  tuyến tính liên tục Ví dụ 1.2.7 Cho X = Rk , Y = Rm , A(ξ1 , ξ2 , , ξk ) = (η1 , η2 , , ηm ) với ηi = k X aij ξj i = 1, 2, 3, , m, (1.7) j=1 lu aij số Ma  a11   an  a1k   · · · amk n va am1 trận gh tn to ma trận toán tử A Thật vậy, (1.7) dạng tổng quát toán tử tuyến tính từ Rk vào Rm Cho A tốn tử tuyến tính từ Rk vào p ie Rm Gọi e1 , e2 , , ek f1 , f2 , , fk sở Rk Rm cho với x = (ξ1 , ξ2 , , ξk ) ∈ Rk , y = (η1 , η2 , , ηm ) ∈ Rm : oa nl w x= d nf va an y= m X ηi fi i=1 z at nh oi lm ul với ξj ej j=1 lu k X e1 = (1, 0, , 0), e2 = (0, 1, , 0), , ek = (0, 0, , 1), z f1 = (1, 0, , 0), f2 = (0, 1, , 0), , fm = (0, 0, , 1) n Ax = (η1 , η2 , , ηm ) va Đặt an Lu j=1 m ξj (Aej ) co Ax = k X l gm @ Vì A tốn tử tuyến tính nên ac th si 15 Aej = (a1j , a2j , , amj )  ta có (1.7) Cho H không gian Hilbert thực, C tập H Định nghĩa 1.2.8 Tập C ⊂ H tập lồi với x1 , x2 ∈ C với số thực λ ∈ [0, 1] ta có λx1 + (1 − λ)x2 ∈ C Từ định nghĩa ta thấy tập ∅ tập lồi Định nghĩa 1.2.9 Hàm f : C → R gọi là: lu an (i) Lồi C với λ ∈ [0, 1], với x, y ∈ C va n f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) ; ie gh tn to (ii) lồi chặt C với λ ∈ (0, 1), với x, y ∈ C, x 6= y p f (λx + (1 − λ) y) < λf (x) + (1 − λ) f (y) nl w d oa Định nghĩa 1.2.10 Cho C tập lồi đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert thực H, A : C → H ánh xạ Ánh xạ A gọi là: an lu (i) L-liên tục Lipschitz C, tồn số L > cho nf va ∀x, y ∈ C z at nh oi lm ul kA(x) − A(y)k ≤ L kx − yk Nếu < L < A ánh xạ co, L = A ánh xạ không giãn; z (ii) bị chặn C, với tập khác rỗng, bị chặn B C, tồn @ l gm số dương kB phụ thuộc vào tập B cho ∀x, y ∈ B; m co hA(x) − A(y), x − yi ≤ kB kx − yk an Lu (iii) bị chặn Lipschitz C với tập bị chặn B C, A ánh xạ liên tục Lipschitz B n va ac th si 16 Định nghĩa 1.2.11 Cho C tập lồi đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert thực H, A : C → H ánh xạ Ánh xạ A gọi là: (i) Đơn điệu C, hA(x) − A(y), x − yi ≥ ∀x, y ∈ C; (ii) η-đơn điệu mạnh C, tồn số η dương cho hA(x) − A(y), x − yi ≥ η kx − yk2 ∀x, y ∈ C; lu an n va (iii) hemi-liên tục (hemicontinuous) C A(x + ty) * Ax t → với x, y ∈ C demi-liên tục (demicontinuous) C từ (iv) C ie gh tn to xn → x suy Axn * Ax n → ∞; p hAx, xi = +∞, kxk→+∞ kxk x ∈ C oa nl w lim d Bổ đề 1.2.12 Cho X không gian Banach thực, X ∗ không gian đối an lu ngẫu X, f ∈ X ∗ A : X → X ∗ tốn tử hemi-liên tục Khi nf va tồn x0 ∈ X thỏa mãn bất đẳng thức: lm ul hA(x) − f, x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ X z at nh oi x0 nghiệm phương trình A(x) = f Nếu A tốn tử đơn điệu X điều kiện tương đương với z ∀x ∈ X gm @ hA(x0 ) − f, x − x0 i ≥ 0, co l Tiếp theo chúng tơi trình bày toán cực tiểu phiếm hàm lồi m Bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi phát biểu sau: an Lu Tìm z ∈ H cho f (z) = x ∈ H f (x) va n Điểm cực tiểu tốn khơng điểm tốn tử đơn điệu ac th si 17 cực đại T = ∂f Để tìm khơng điểm T, Rockafellar phát triển thuật toán điểm gần kề cho tốn tìm khơng điểm ánh xạ đơn điệu cực đại T không gian Hilbert thực H Theo định lý 1.3 T vi phân hàm lồi, thường, nửa liên tục f : H → R ∪ {+∞}(tức T = ∂f ) T tốn tử đơn điệu cực đại Theo định lý Minty, với z ∈ H ck > 0, tồn u ∈ H cho z ∈ (I + ck T )(u) lu Khi đó, tốn tử Pk = (I + ck T )−1 đơn trị, xác định toàn H Pk tốn tử khơng giãn, tức là: an va n k Pk (z) − Pk (z ) k≤k z − z k ie gh tn to p z ∈ (I + ck T )(z) = z + ck T (z) d oa nl w hay ∈ ck T (z) Do z khơng điểm ánh xạ T Sau chúng tơi trình bày mối tương ứng họ toán tử đơn điệu an lu cực đại lớp tốn tử khơng giãn chặt có miền xác định H nf va Định nghĩa 1.2.13 Tốn tử K H gọi khơng giãn lm ul kx0 − xk >k y − y k ∀(x, y), (x0 , y ) ∈ K z at nh oi Bổ đề 1.2.14 Mọi toán tử không giãn đơn trị Chứng minh Cho (x, y1 ), (x, y2 ) ∈ K, =k x − x k>k y1 − y2 k, suy z  gm @ y1 = y2 ∀(x, y), (x0 , y ) ∈ K m hx0 − x, y − yi > k y − y k co l Định nghĩa 1.2.15 K không giãn chặt an Lu n va Bổ đề 1.2.16 Mọi tốn tử khơng giãn chặt đơn điệu khơng giãn Vì chúng đơn trị ac th si 18 Chứng minh Cho K toán tử khơng giãn chặt Vì hx0 − x, y − yi > k y − y k ∀(x, y), (x0 , y ) ∈ K, nên K đơn điệu Một khái niệm tương đương toán tử không giãn chặt đưa sau: 2 k y − y k k x0 − x k − k (x0 − y ) − (x − y) k ∀(x, y), (x0 , y ) ∈ K lu an Mối quan hệ tương đương kiểm tra cách tính tốn trực va tiếp Từ dạng suy K không giãn, theo Bổ đề 1.2.14 n K đơn trị Định nghĩa 1.2.17 Bài tốn điểm bất động K tìm phần tử x∗ ∈ H gh tn to  p ie cho Kx∗ = x∗ w Một lược đồ tự nhiên phép lặp xk+1 = Kxk , xuất phát từ điểm x0 d ta có oa nl thuộc H Nếu w điểm bất động K, từ Bổ đề 1.2.12 an lu 2 nf va k xk+1 − w k k xk − w k − k xk+1 − xk k ∀k > z at nh oi lm ul Suy khoảng cách xk điểm bất động không tăng, k xk+1 − xk k −→ Vì vậy, tồn điểm bất động dãy xk phải giới nội Từ đó, phụ thuộc vào điều kiện toán đặt người ta sử dụng kết luận để suy tính hội tụ dãy xk đến điểm z bất động K, thông thường tôpô yếu Trong không gian hữu hạn chiều, hội tụ đảm bảo l gm @ m co Định nghĩa 1.2.18 Cho toán tử đơn điệu cực đại T số thực r > 0, ta định nghĩa toán tử giải Jr,T T (I + rT )−1 an Lu Mệnh đề 1.2.19 Toán tử T H đơn điệu J1,T = n va (I + T )−1 không giãn chặt T đơn điệu cực đại (I + T )−1 khơng giãn chặt có miền xác định tồn khơng gian ac th si 19 Chứng minh Ta có (x, y) ∈ T ⇔ (x + y, x) ∈ (I + T )−1 hx0 − x, y − yi > ⇔ hx0 − x + y − y, x0 − xi > k x0 − x k Suy kết luận thứ Mặt khác, theo Bổ đề 1.2.12, T cực đại im(I + T ) = H Điều tốn tử (I + T )−1 có miền xác định tồn khơng gian Điều xác minh cho kết luận thứ hai  lu an Hệ 1.2.20 Tốn tử K khơng giãn chặt K −1 − I đơn điệu K khơng giãn chặt với miền xác định tồn khơng gian va n K −1 − I đơn điệu cực đại gh tn to Hệ 1.2.21 Hàm số từ T 7−→ (I + T )−1 song ánh họ M (H) p ie toán tử đơn điệu cực đại H họ F (H) tốn tử khơng giãn chặt H nl w d oa Hệ 1.2.22 Cho T tốn tử đơn điệu cực đại số thực r > 0, toán tử giải Jr,T = (I + rT )−1 không giãn chặt (do đơn trị) có lu nf va an miền xác định tồn khơng gian Chứng minh Theo Bổ đề 1.1.20, rT đơn điệu cực đại (I + rT )−1  lm ul khơng giãn chặt có miền xác định tồn khơng gian z at nh oi Bổ đề 1.2.23 Cho toán tử đơn điệu cực đại T , số thực r > 0, x ∈ H, ∈ T x Jr,T (x) = {x} z Chứng minh Bằng cách tính trực tiếp, Jr,T = {(x + ry, x) | (x, y) ∈ T } @ Vì gm l ∈ T x ⇔ (x, 0) ∈ T ⇔ (x, x) ∈ Jr,T Jr,T đơn trị nên phần chứng minh kết thúc m co  ∀r > x0 ∈ H ta có n va xk+1 = Jr,T (xk ) = (I + rT )−1 xk an Lu Từ ta xây dựng xấp xỉ khơng điểm toán tử T Xuất phát ac th si 20 Rockafellar [11] chứng minh phân tích thuật tốn (gọi thuật toán điểm gần kề): lấy dãy {rk } số thực dương, bị chặn 0, x0 ∈ H tùy ý, ta thực phép lặp xk+1 = Jrk ,T (xk ) = (I + rk T )−1 xk Mệnh đề 1.2.24 Cho T toán tử đơn điệu cực đại Nếu zer(T ) 6= ∅, dãy {xk } sinh thuật toán điểm gần kề giới nội hội tụ yếu đến không điểm T Nếu zer(T ) = ∅ {xk } khơng giới nội lu Điều quan trọng mà ta cần lưu ý thuật toán tạo dãy lặp an n va xk+1 = Kxk , K tốn tử khơng giãn chặt với miền xác định tồn khơng gian, xem xét phần ứng dụng thuật toán gh tn to điểm gần kề với toán tử đơn điệu cực đại K −1 − I, {rk } cố định Phương pháp điểm gần kề cổ điển p ie 1.3 Cho H khơng gian Hillbert thực với tích vơ hướng h., i chuẩn nl w k k cho T toán tử với miền xác định D(T) miền giá trị d oa R(T) H T gọi toán tử đơn điệu đồ thị G(T ) = {(x, y) ∈ H × H : x ∈ D(T ), y ∈ T x} tập đơn điệu H × H lu nf va an Có nghĩa T đơn điệu lm ul (x, y), (x0 , y ) ∈ G(T ) ⇒ hx − x0 , y − y i ≥ 0, z at nh oi Toán tử đơn điệu T gọi đơn điệu cực đại đồ thị G(T) không nằm thực đồ thị toán tử đơn điệu khác H z Giả sử T toán tử đơn điệu cực đại H Ta gọi z ∈ D(T ) không điểm T ∈ T z Ta kí hiệu S tập không điểm T, @ co l gm S = T −1 Một toán quan trọng lý thuyết toán tử đơn điệu cực đại tìm m điểm tập nghiệm S, với giả thiết S khác rỗng Có nhiều tốn, ví dụ, quy hoạch lồi bất đẳng thức biến phân phát an Lu biểu dạng tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại Thuật toán va đơn điệu cực đại xem xét thuật toán hữu hiệu việc n ac th si 21 tìm nghiệm tốn tử đơn điệu cực đại Xuất phát từ z0 ∈ H cho trước, thuật toán điểm gần kề đề xuất dãy {zk } theo bao hàm thức zk ∈ zk+1 + ck T zk+1 , (1.7) ck > tham số hiệu chỉnh Vì giải tốn bao hàm thức (1.7) khó giải tốn ban đầu tìm nghiệm bao hàm thức ∈ T z, thuật tốn có tính ứng dụng đề xuất Rockaffellar [5] sai số thuật toán điểm gần kề lu đưa đến dãy {ek } theo hệ thức sau: an (1.8) n va zk + ek ∈ zk+1 + ck T zk+1 , ie gh tn to ek dãy sai số Tiêu chuẩn xác dãy ek thuật tốn điểm gần kề có sai số (1.8) p nghiên cứu rộng rãi cho hội tụ mạnh (1.8) đảm bảo Hai tiêu chuẩn đưa sau: oa nl w d k ek k≤ εk , ∞ X εk < ∞, (1.9) nf va an lu k=1 k ek k≤ δk k zk+1 − zk k, ∞ X δk < ∞ (1.10) lm ul k=1 z at nh oi Sử dụng tiêu chuẩn (1.9), Rockafellar chứng minh hội tụ yếu thuật toán (1.8) với điều kiện dãy tham số ck bị chặn số khác z He nhận tốc độ hội tụ sử dụng tiêu chuẩn (1.10) Một tiêu chuẩn khác đưa sau: @ gm (1.11) m co k=1 η k < ∞ l k ek k≤ ηk k zk+1 − zk k, ∞ X an Lu Nếu H không gian Hillbert hữu hạn chiều dãy {zk } đưa thuật tốn (1.8) hội tụ đến điểm S với điều kiện (1.11) thỏa n va mãn dãy hiệu chỉnh {ck } bị chặn ac th si 22 Ackstein Bertsekas xét thuật toán điểm gần kề suy rộng đây: zk+1 = (1 − ρk )zk + ρk wk , k ≥ (1.12) ρk ∈ (0, 2)(∀k) k wk − (I + ck T )−1 zk k≤ εk , k ≥ Họ chứng minh hội tụ yếu thuật toán (1.12) cho lu ∞ X an < ∞, infk ck > k=1 n va tn to có số ρ ∈ (0, 2) với tính chất p ie gh ρ ≤ ρk ≤ − ρ, ∀k ≥ w Mặt khác, thuật tốn điểm gần kề (1.7) không hội tụ mạnh nên d oa nl điều thú vị đưa làm cải biên thuật toán điểm gần kề (1.7) cho hội tụ mạnh đảm bảo Năm 2002, Xu đưa cải biên nf va an lu thuật toán điểm gần kề co sau: zk+1 = λk u + (1 − λk )(I + ck T )−1 zk + ek , k ≥ (1.13) lm ul chứng minh hội tụ mạnh (1.13) với điều kiện dãy {ck } tiến tới z at nh oi vô Mới đây, Marino Xu tiếp tục xem xét thuật toán gần kề co (1.13) z nhận số hội tụ mạnh với số điều kiện định Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất gm @ co l không gian Hilbert thực, giới thiệu số kiến thức giải tích lồi, tốn tử đơn điệu cực đại phương pháp điểm gần kề cổ điển m Trong chương sau, chúng tơi trình bày hai phương pháp điểm gần kề suy rộng tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại khơng gian an Lu Hilbert n va ac th si 23 Chương Thuật toán điểm gần kề suy rộng lu an n va Chương trình bày hai phương pháp để giải tốn tìm khơng điểm gh tn to tốn tử đơn điệu cực đại không gian Hilbert Các kiến thức chương tổng hợp từ tài liệu [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11] Thuật toán điểm gần kề suy rộng Ackstein Bertsekas p ie 2.1 oa nl sau: w Ackstein Bertsekas đưa thuật toán điểm gần kề suy rộng zk+1 = (1 − ρk )zk + ρk Jck (zk ) + ek , k ≥ 0, (2.1) d lu an ek sai số nf va Thuật toán Ackstein Bertsekas mở rộng thuật toán Gol’shtein Tret’yakov định nghĩa lm ul zk+1 = (1 − ρk )zk + ρk Jc (zk ) + ek , k ≥ z at nh oi (2.2) Gol’shtein Tret’yakov xét thuật toán (2.2) không gian hữu z hạn chiều không cho phép thông số c thay đổi theo bước lặp Kí hiệu wω (zk ) tập điểm tụ yếu {zk } Khi đó, wω (zk ) tập tất co l gm @ điểm mà giới hạn yếu dãy {zk } m Bổ đề 2.1.1 Cho {zk } sinh thuật tốn (2.1), {zk } hội tụ yếu đến z ∈ S wω (zk ) ⊂ S an Lu n va Đầu tiên xét thuật toán Gol’shtein Tret’yakov (2.2) với sai ac th si 24 số, cụ thể thuật toán sau: zk+1 = (1 − ρk )zk + ρk Jc (zk ) + ek , k ≥ (2.3) Định lý 2.1.2 Cho {zk } sinh thuật toán (2.3) Giả sử limk→∞ k ek k= < lim infk→∞ ρk ≤ lim supk→∞ ρk < Khi {zk } hội tụ yếu đến điểm S Chứng minh Đầu tiên, ta thấy {zk } giới nội Khi đó, chọn p ∈ S, ta có lu an k zk+1 − p k ≤ (1 − ρk ) k zk − p k +ρk k Jc (zk ) − p k + k ek k va n ≤ ((1 − ρk ) k zk − p k +ρk k zk − p k + k ek k gh tn to =k zk − p k + k ek k p ie Vì vậy, theo Bổ đề 1.1.19, limk→∞ k zk+1 − p k tồn Điều suy {zk } oa nl w giới nội, đặt zk+1 = (1 − ρk )zk + ρk yk Chú ý {yk } giới nội Khi ta có: zk+2 − (1 − ρk+1 )zk+1 zk+1 − (1 − ρk )zk − ρk+1 ρk ek+1 ek = Jc (zk+1 ) − Jc (z k ) + − ρk+1 ρk d yk+1 − yk = nf va an lu (2.4) lm ul Từ tính khơng giãn Jc (2.4), ta có: z at nh oi k yk+1 − yk k − k zk+1 − zk k≤ ρk+1 k ek+1 k + k ek k, ρk z từ suy (lưu ý limk→∞ k ek k= ) gm @ lim sup(k yk+1 − yk k − k zk+1 − zk k≤ (2.5) k→∞ m Từ (2.5) Bổ đề 2.1.1 suy lim k zk − yk k co l k→∞ k→∞ an Lu Vì limk→∞ k zk+1 − zk k= 0, ta có lim k Jc (zk ) − zk k= Khi n va áp dụng Bổ đề 1.1.20 ta thấy wω (zk ) ⊂ F ix(Jc ) = S, theo Bổ đề 1.1.19, {zk } hội tụ yếu tới điểm S Điều kết thúc chứng minh  ac th si