(Luận văn) bao hàm thức vi phân với bài toán tử đơn điệu cực đại phụ thuộc thời gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HUỲNH THỊ TUYẾT TRÂM lu an n va p ie gh tn to BAO HÀM THỨC VI PHÂN VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI PHỤ THUỘC THỜI GIAN d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HUỲNH THỊ TUYẾT TRÂM lu BAO HÀM THỨC VI PHÂN VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI PHỤ THUỘC THỜI GIAN an n va p ie gh tn to w d oa nl Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 nf va an lu lm ul Người hướng dẫn: TS LÊ QUANG THUẬN z at nh oi z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mục lục lu an i Lời mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị n va Lời cam đoan ie gh tn to 1.1 p 1.2 Không gian vectơ Euclide n-chiều Khoảng cách hai tập hợp w 1.3 1.4 Ánh xạ đa trị đơn điệu d oa nl lu 1.4.1 Định nghĩa số ví dụ 1.4.2 Một số tính chất ánh xạ đa trị đơn điệu nf va an 7 lm ul 1.5 Ánh xạ đa trị Ánh xạ đa trị đơn điệu cực đại 10 z at nh oi 1.5.1 Định nghĩa số ví dụ 10 1.5.2 Một số tính chất ánh xạ đa trị đơn điệu cực đại 11 z @ Khoảng cách hai ánh xạ đơn điệu cực đại 13 1.7 Không gian hàm hội tụ hàm 15 Bao hàm thức vi phân với ánh xạ đơn điệu cực đại biến an Lu m co l gm 1.6 n va i ac th si ii thiên thời gian 20 2.1 Bao hàm thức vi phân 20 2.2 Sự tồn nghiệm 21 2.3 Một số mở rộng 33 2.4 Hệ tuyến tính ánh xạ đơn điệu cực đại 39 2.5 Hệ bù tuyến tính 46 51 Tài liệu tham khảo 52 lu Kết luận an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ đề tài " Bao hàm thức vi phân với toán tử đơn điệu cực đại phụ thuộc thời gian " kết trình đọc tài liệu, nghiên cứu làm rõ hướng dẫn TS Lê Quang Thuận Trường Đại học Quy Nhơn Luận văn không trùng lặp với luận văn thạc sĩ khác chuyên ngành lu an n va Bình Định, ngày tháng năm 2020 to p ie gh tn Học viên nl w d oa Huỳnh Thị Tuyết Trâm nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si LỜI NÓI ĐẦU Các bao hàm thức vi phân đối tượng toán học tập trung lu nghiên cứu nhiều từ năm 60 kỉ XX khả ứng an dụng lớn khía cạnh lý thuyết ứng dụng thực tế lý thuyết va n Việc nghiên cứu tính chất nghiệm bao hàm thức vi phân gh tn to cần thiết quan trọng Tương tự phương trình vi phân thường, p ie toán cho bao hàm thức vi phân w tồn nghiệm cho điều kiện ban đầu Bài toán oa nl tập trung nghiên cứu vào năm 1970 thu nhiều kết d rực rỡ Với mong muốn tìm hiểu điều kiện cho tồn nghiệm an lu nghiệm bao hàm thức vi phân kết hợp với ánh xạ đa trị nf va đơn điệu cực đại biến thiên thời gian, học viên chọn đề tài "Bao hàm lm ul thức vi phân với toán tử đơn điệu cực đại phụ thuộc thời gian" để nghiên z at nh oi cứu cho luận văn thạc sĩ Trong luận văn này, mục lục, mở đầu kết luận, nội dung luận văn trình bày hai chương: z gm @ Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị để làm sở cho lập luận m co l chứng minh chương sau an Lu Chương Bao hàm thức vi phân với ánh xạ đơn điệu cực đại biến thiên thời gian Trong chương này, chúng tơi trình bày tồn n va ac th si nghiệm bao hàm thức vi phân với ánh xạ đơn điệu cực đại biến thiên thời gian Luận văn hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn thầy TS Lê Quang Thuận Nhân đây, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy hướng dẫn Thầy không hướng dẫn nghiên cứu khoa học mà cịn thơng cảm tạo điều kiện, động viên tơi suốt q trình làm đề tài Tơi xin chân thành cảm ơn khoa Tốn, phịng Đào tạo sau đại học, Trường Đại học Quy Nhơn giúp đỡ tạo lu an điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành khóa học với luận văn va n Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, người gh tn to thân quan tâm, giúp đỡ sát cánh bên tơi Trong q trình viết p ie luận văn chắn không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Rất w mong nhận góp ý q thầy cơ, q bạn đồng nghiệp để luận d oa nl văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn nf va an lu Bình Định, ngày tháng năm 2020 Học viên z at nh oi lm ul Huỳnh Thị Tuyết Trâm z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Một số kiến thức chuẩn bị lu an Trong phần này, giới thiệu số kiến thức chuẩn bị cần thiết va cho lập luận chương sau n tn to Không gian vectơ Euclide n-chiều p ie gh 1.1 d oa nl w Định nghĩa 1.1 Xét không gian véc tơ Euclide n-chiều Rn Với     x y  1  1      x2  y  n  ∈ R , y =   ∈ Rn , x=     . .     xn yn nf va an lu lm ul z at nh oi tích vơ hướng hai vectơ x y Rn xác định hx, yi := x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn z p hx, xi Hình gm @ Chuẩn vectơ x ∈ Rn định nghĩa kxk = co l cầu đơn vị Rn định nghĩa Bn := {x ∈ Rn : kxk 1} m Cho λ ∈ R Khi n va an Lu λA := {λa : a ∈ A} ac th si Cho A, B ⊂ Rn Khi A + B := {a + b : a ∈ A, b ∈ B} Bao đóng cl(A) phần int(A) định nghĩa sau: \ cl(A) = (A + Bn ) , int(A) := {a ∈ A : ∃ > 0, a + Bn ⊂ A} >0 Biên tập A định nghĩa bd(A) = cl(A) \ int(A) 1.2 Khoảng cách hai tập hợp lu an va Định nghĩa 1.2 Cho S ⊆ Rn Hàm khoảng cách dist (·, S) : Rn → R n định nghĩa tn to ie gh dist (x, S) = inf {kx − ak : a ∈ S} , x ∈ Rn p Nếu tập S đóng lồi với x ∈ Rn tồn điểm oa nl w y ∈ S cho kx − yk = dist(x, S) Một điểm y gọi hình chiếu x lên tập S ký hiệu proj(x, S) d lu nf va an Định nghĩa 1.3 Khoảng cách Hausdorff hai tập khác rỗng S1 lm ul S2 Rn định nghĩa bởi:   dH (S1 , S2 ) := max inf dist (z1 , S2 ) , inf dist (z2 , S1 ) z1 ∈S1 z at nh oi z2 ∈S2 Vì dist(x, S) = dist(x, cl(S)) với điểm x tập S khác rỗng nên khoảng cách Hausdorff bất biến, tức z @ l gm dH (S1 , S2 ) = dH (cl(S1 ), cl(S2 )) m co Ngoài ra, y = proj(x, cl(S2 )) với x ∈ cl(S1 ) ta có kx − yk ≤ sup dist(z, S2 ) ≤ dH (S1 , S2 ) (1.1) an Lu z∈S1 n va ac th si 1.3 Ánh xạ đa trị Định nghĩa 1.4 Một ánh xạ đa trị F từ Rn vào Rm ánh xạ biến phần tử x ∈ Rn thành tập hợp F (x) ⊂ Rm Ta kí hiệu ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm Chú ý định nghĩa ta không loại trừ khả có phần tử x ∈ Rn cho F (x) tập hợp rỗng Nếu với x ∈ Rn mà F (x) tập hợp có phần tử Rm F trở thành ánh xạ đơn trị kí lu an hiệu thơng thường F : Rn → Rm va n Định nghĩa 1.5 Đồ thị ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm kí hiệu gh tn to graphF xác định p ie graphF = {(x, y) ∈ Rn × Rm | y ∈ F (x)} oa nl w Miền F kí hiệu domF xác định d domF = {x ∈ Rn | F (x) 6= ∅} lu nf va an Ảnh F kí hiệu imF xác định lm ul imF = {y ∈ Rm | ∃x ∈ Rn , y ∈ F (x)} z at nh oi Ánh xạ ngược F −1 : Rm ⇒ Rn ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm xác định công thức F −1 (y) = {x ∈ Rn |y ∈ F (x)} z Định nghĩa 1.6 Cho F : Rn ⇒ Rm ánh xạ đa trị @ m co ánh xạ đa trị đóng l gm (a) Nếu graphF tập đóng khơng gian Rn × Rm F gọi ánh xạ đa trị lồi an Lu (b) Nếu graphF tập lồi khơng gian Rn × Rm F gọi n va ac th si 39  với t ∈ Γ := t ∈ [0, T ]|x` , ` > L, x, ψ khác thời điểm t Cho t∗ ∈ Γ Bằng cách xây dựng, ta có (x` (t∗ ) , −x˙ ` (t∗ )) ∈ graph G` (t∗ , x` (t∗ )) tương đương,   ˙ ∗ ∗ ∗ b x` (t ) , −ψ (t ) y` (t ) ∈ graph G` (t∗ , x` (t∗ )) −1 ∗ ∗ ˙ ∗ G` (t , x` (t )) Sử b ψ(t ) Nói cách khác, y` (t∗ ) thuộc tập hợp lồi lu an Mệnh đề 1.38 với S` (t) = −1 ˙b G` (t, x` (t)) , ψ(t) dụng ˙ nhớ lại ψb (t) > với n va t ∈ [0, T ], ta thấy `→∞ gh tn to    ˙ x˙ (t∗ ) = ψb (t∗ ) y (t∗ ) ∈ cl conv lim sup S` (t∗ ) ⊆ −G (t∗ , x (t∗ )) p ie cho hầu hết t∗ ∈ [0, T ] w Hệ tuyến tính ánh xạ đơn điệu cực đại d oa nl 2.4 lu nf va an Một lớp hệ đặc biệt thú vị sinh từ kết nối hệ tuyến tính thụ động với ánh xạ đơn điệu cực đại Để thiết lập, xét hệ tuyến tính sau: lm ul x(t) ˙ = Ax(t) + Bz(t) + u(t) (2.45) z at nh oi w(t) = Cx(t) + Dz(t) + v(t) (2.46) z x ∈ Rn trạng thái, u ∈ Rn v ∈ Rm điều khiển bên ngoài, @ l gm (z, w) ∈ Rm+m biến ngoài, thỏa mãn m an Lu với ánh xạ đa trị M : Rm ⇒ Rm (2.47) co (−z(t), w(t)) ∈ graph(M) n va ac th si 40 Bằng cách giải z từ (2.46), (2.47) thay vào (2.45), nhận bao hàm thức vi phân x(t) ˙ ∈ −H(t, x(t)) + u(t) (2.48) H(t, x) = −Ax + B(M + D)−1 (Cx + v(t)) (2.49) dom H(t, ·) = C −1 (im(M + D) − v(t)) lu an Phần lại phần dành cho điều kiện, điều kiện va n ánh xạ đa trị phụ thuộc thời gian H(t, ·) thỏa mãn Định lý 2.2 Để gh tn to thiết lập điều kiện vậy, trước tiên chúng tơi giới thiệu tính thụ dộng p ie hệ tuyến tính nl w Một hệ tuyến tính Σ(A, B, C, D) oa x(t) ˙ = Ax(t) + Bz(t) d (2.50) an lu w(t) = Cx(t) + Dz (t) lm ul đẳng thức nf va gọi thụ động, tồn hàm không âm V : Rn → R+ cho bất Z z T (τ )w(τ )dτ V (x (t2 )) z at nh oi V (x (t1 )) + t2 t1 với t1 , t2 với t1 < t2 với nghiệm (z, x, w) ∈ L2 ([t1 , t2 ] , Rm )× z AC ([t1 , t2 ] , Rn ) × L2 ([t1 , t2 ] , Rm ) hệ (2.50) gm @ Theo Bổ đề Kalman-Yakubovich-Popov nói hệ tuyến tính (2.50) l m co thụ động bất đẳng thức ma trận tuyến tính   T T A K + KA KB − C K = KT > 
60 T T B K −C − D +D an Lu (2.51) n va ac th si 41 có nghiệm K Hơn nữa, V (x) = T x Kx định nghĩa hàm Lyapunov trường hợp K nghiệm hệ (2.51) Trong mệnh đề sau, tóm tắt số hệ thụ động sử dụng sau Mệnh đề 2.9 ([5]) Nếu Σ(A, B, C, D) thụ động với hàm Lyapunov x 7→ 21 xT Kx ta có điều kiện sau đúng: lu i D ma trận nửa xác định dương

ii KB − C T ker D + DT = {0} an n va Định lý sau nêu điều kiện đảm bảo giả thiết Định lý gh tn to 2.7 cho ánh xạ phụ thuộc thời gian H định nghĩa (2.49) Định lý 2.10 ([5]) Cho T > Giả sử ie p i Σ(A, B, C, D) thụ động với hàm Lyapunov x 7→ 12 xT x, oa nl w ii M đơn điệu cực đại, d iii Với t ∈ [0, T ], ta có im C∩ ri (im(M + D) − v(t)) 6= ∅, lu nf va an iv v bị chặn [0, T ], v Tồn hàm không giảm liên tục tuyệt đối θ : [0, T ] → R cho lm ul dist(w, im C ∩ (im(M + D) − v(t))) θ(t) − θ(s) sup z at nh oi w∈im C∩(im(M+D)−v(s) với s, t với s t T z vi Với số dương ρ cho Bm (ρ) ∩ dom(M + D)−1 6= ∅, tồn số gm @ dương αρ cho Khi đó, H thỏa giả thiết (A1) − (A4) an Lu với η ∈ Bm (ρ) ∩ dom(M + D)−1 m co l
−1 (η) αρ (1 + kηk) B (M + D) n va ac th si 42 Chứng minh Ta định nghĩa W (t) := im(M + D) − v(t) với t ∈ [0, T ] Lưu ý dom H(t, ·) = C −1 W (t) với t ∈ [0, T ] (A1): Theo [2] điều kiện (i.)-(iii.) thỏa, biết H(t, ·) ánh xạ đơn điệu tối đa với t ∈ [0, T ] Như vậy, H thỏa mãn giả thiết (A1) (A2): Đặt t s cho s t T Ngoài ra, cho x ∈ C −1 W (s)
y = proj x, C −1 W (t) Hơn nữa, cho ζ = proj(Cx, im C ∩ W (t)) Do đó, tồn ξ cho ζ = Cξ Khơng tính tổng qt, ta giả lu sử x − ξ ∈ im C T Rn = im C T ⊕ ker C Bây giờ, ta thấy an Cx ∈ im C ∩ W (s) ζ = Cξ ∈ cl(im C ∩ W (t)) Từ (v.), ta va n kCx − Cξk θ(t) − θ(s) tn to ie gh Vì x − ξ ∈ im C T , nên tồn số dương α cho p kx − ξk α(θ(t) − θ(s)) d oa nl w Vì ξ ∈ C −1 W (t), ta nhận kx − yk kx − ξk α(θ(t) − θ(s)) nf va an lu Do đó, ta thấy Suy sup x∈C −1 W (s) z at nh oi lm ul
dist x, C −1 W (t) α(θ(t) − θ(s))
dist x, C −1 W (t) α(θ(t) − θ(s)) z Vì dom H(t, ·) = C −1 W (t), ta giả sử H thỏa giả thiết (A2) gm @ (A3): Cho r số dương Bn (r) ∩ dom H (t∗ , ·) 6= ∅ với t∗ ∈ [0, T ] l (C Bn (r) + v(t)) ∩ (W (t) + v(t)) 6= ∅ an Lu mãn giả thiết (A3) Giả sử Γ 6= ∅ nên m co Cho Γ = {t ∈ [0, T ] : Bn (r) ∩ dom H(t, ·) 6= ∅} Nếu Γ = ∅, H thỏa (2.52) n va ac th si 43 với t ∈ Γ Vì v bị chặn [0, T ] giả thiết (iv.), ta tìm số dương ρ cho C Bn (r) + v(t) ⊆ Bm (ρ) (2.53) với t ∈ Γ Từ (2.52) ta thấy Bm (ρ) ∩ dom(M + D)−1 6= ∅ W (t) + v(t) = im(M + D) = dom(M + D)−1 Từ (vi.), ta biết tồn số dương αρ cho
−1 (η) αρ (1 + kηk) B (M + D) (2.54) lu an với η ∈ Bm (ρ) ∩ dom(M + D)−1 Cho x ∈ Bn (r) ∩ dom H(t, ·) với
0 t ∈ [0, T ] Vì Ax−Bz ∈ H(t, x) z ∈ (M + D)−1 (Cx+v(t)), n va tn to ta có (2.55) p ie gh H (t, x) Ax − Bz kAxk + Bz Cx + v(t) ∈ Bm (ρ) ∩ dom(M + D)−1 d oa nl w Vì t ∈ Γ x ∈ Bn (r) ∩ dom H(t, ·), ta thấy từ (2.53) suy lu nf va an Khi đó, từ (2.54), (2.55) giới hạn v suy H (t, x) kAxk + αρ (1 + kCx + v(t)k) β(1 + kxk) lm ul z at nh oi với số dương β không phụ thuộc vào t Do đó, ta có H (t, x) β(1 + kxk) z giả thiết (A3) l gm @ với x ∈ Bm (ρ) ∩ dom H(t, ·) với t ∈ [0, T ] Nói cách khác, H thỏa mãn m co (A4): Cho (t` , x` , y` )`∈N ⊆ [0, T ] × Rn × Rn dãy cho y` ∈ chứng minh y ∈ H(t, x) an Lu H (t` , x` ) lim`↑∞ (t` , x` , y` ) = (t, x, y) với t ∈ [0, T ], x, y ∈ Rn Điều cần n va ac th si 44 Lưu ý với ` tồn z` ∈ (M + D)−1 (Cx` + v (t` )) cho y` = −Ax` + Bz` Khi đó, dãy (Bz` )`∈N hội tụ Cho W không gian song song với bao affine im(M + D) = dom(M + D)−1 Xuất phát từ tính đơn điệu cực đại (M + D)−1 với ` ζ + z` ∈ (M + D)−1 (Cx` + v (t` )) (2.56) với ζ ∈ W ⊥ Bây giờ, cho z` = z`1 + z`2 z`1 ∈ ker B ∩ W ⊥ lu z`2 ∈ ker B ∩ W ⊥
⊥ = im B T + W (2.57) an n va Lưu ý (2.58) tn to Bz` = Bz`2 ie gh Từ (2.56) cách lấy ζ = −z`1 , ta có p z`2 ∈ (M + D)−1 (Cx` + v (t` )) (2.59)

Giả sử z`2 `∈N bị chặn Do đó, z`2 `∈N hội tụ dãy oa nl w d N, theo z Khi đó, ta thấy từ (x` , y` ) = (x` , −Ax` + Bz` ) (x` , y` )`∈N lu nf va an hội tụ đến (x, y) = (x, −Ax + Bz) Vì H(t, ·) đơn điệu cực đại đóng đồ thị graph(H(t, ·)), nên kết luận (x, y) ∈ lm ul z at nh oi graph(H(t, ·)), tương đương y ∈ H(t, x)
Do đó, đủ để chứng minh z`2 `∈N bị chặn Giả sử ngược lại z`2 khơng bị chặn Khơng tính tổng qt, giả sử hội tụ Định nghĩa `→∞ an Lu lim Bz`2 = Bζ m Từ (2.58) thực tế (Bz` )`∈N hội tụ, ta có (2.60) co z`2 = lim `→∞ kz` k l ζ∞ gm @ z`2 kz`2 k z dãy n va ac th si 45 Như vậy, ta ζ∞ ∈ ker B (2.61) Cho (¯ x, y¯) ∈ graph H(t, ·) Khi đó, y¯ = −A¯ x + B z¯ z¯ ∈ (M + D)−1 (C x¯ + v(t)) (2.62) Do tính phụ thuộc với K = I tính đơn điệu (M + D)−1 , từ lu an n va tn to (2.59) (2.62) mà

x` − x¯, −A (x` − x¯) + B z`2 − z¯ > z`2 − z¯, C (x` − x¯) − D z`2 − z¯ > − z`2 − z¯, v (t` ) − v(t) Bằng cách chia cho zt2 , ta lấy giới hạn ` tiến vô sử dụng ie gh tính bị chặn v, ta thu p hζ∞ , Dζ∞ i w oa nl Vì D nửa xác định dương Mệnh đề 1.29, kết dẫn đến d
ζ∞ ∈ ker D + DT an lu nf va Khi đó, từ (2.61), K = I , ý thứ hai Mệnh đề 1.29 suy lm ul ζ∞ ∈ ker C T (2.63) z at nh oi Cho η ∈ im(M + D) − v(t) ζ ∈ (M + D)−1 (η + v(t)) Theo quan điểm z tính đơn điệu (M + D)−1 ta   z` − ζ , Cx` + v (t` ) − η − v(t) > 0, kz`2 k l gm @ sử dụng (2.63), ta an Lu hζ∞ , Cx − ηi = hζ∞ , −ηi > m co từ (2.59) Lấy giới hạn ` tiến đến vơ cùng, sử dụng tính bị chặn v , (2.64) n va ac th si 46 Từ (2.63) (2.64), ta thấy không gian siêu phẳng span ({ζ∞ })⊥ tách tập imC im(M+ D) − v(t) Theo quan điểm imC = ri( im C) (iii.) từ [10] im C im(M + D) − v(t) tách rời Vì thế, hai im C im(M + D) − v(t) phải chứa không gian siêu phẳng span ({ζ∞ })⊥ Do đó, ta thấy im (M+D) chứa v(t)+span ({ζ∞ })⊥ Vì W khơng gian affine im(M+D), ta W ⊆ span ({ζ∞ })⊥ ngụ ý ζ∞ ∈ W ⊥ Cùng với (2.61), ta lu ζ∞ ∈ ker B ∩ W ⊥ an n va Tiếp theo, tập trung vào kết Định lý 2.10 để nguyên ie gh tn to Theo quan điểm (2.57) (2.60) suy ζ∞ = Tuy nhiên mâu thuẫn với (2.60) Do đó, zt2 phải bị chặn p cứu hệ bù tuyến tính sau nl w Hệ bù tuyến tính d oa 2.5 lu nf va an Các hệ bù tuyến tính trường hợp quan trọng bao hàm thức vi phân (2.48) với M mô tả gọi mở rộng Trong phần này, lm ul chúng tơi hướng đến việc trình bày điều kiện phù hợp cho tồn z at nh oi nghiệm hệ bù tuyến tính Xét hệ bù tuyến tính z gm @ x(t) ˙ = Ax(t) + Bz(t) + u(t) w(t) = Cx(t) + Dz(t) + v(t) l (−z(t), w(t)) ∈ graph(P) an Lu (z, w) ∈ Rm+m biến ngồi thỏa mãn m co x ∈ Rn trạng thái, u ∈ Rn v ∈ Rm đầu vào bên n va ac th si 47 P : Rm ⇒ Rm ánh xạ đơn điệu cực đại cho P(ζ) = {η : η > 0, ζ 0, hη, ζi = 0} Tiếp theo, giới thiệu vấn đề tuyến tính mở rộng Cho véc tơ q ∈ Rm ma trận M ∈ Rm×m , tốn mở rộng tuyến tính LCP(q, M ) tìm véc tơ z ∈ Rm cho lu an (2.65) q + Mz > (2.66) hz, q + M zi = (2.67) n va z>0 gh tn to Ta nói LCP(q, M ) khả thi tồn z thỏa mãn (2.65) (2.66) Nếu véc tơ z khả thi thỏa mãn (2.67) ta nói z giải p ie w pháp LCP(q, M ) Tập hợp tất giải pháp LCP(q, M ) oa nl kí hiệu SOL(q, M ) d Trong phần quan tâm đến LCP(q, M ) lu nf va an M ma trận nửa xác định dương (không thiết phải đối xứng) Cho ma trận vuông M, ta định nghĩa lm ul hình nón kép z at nh oi QM := SOL(0, M ) = {z : z > 0, M z > 0, hz, M zi = 0} z  Q+ = ζ : hζ, zi > với z ∈ Q M M gm @ xứng), tập QM hình nón lồi cho bởi: m co l Khi M ma trận nửa xác định dương (không thiết phải đối an Lu 
QM = z : z > 0, M z > 0, M + M T z = n va ac th si 48 Mệnh đề sau mô tả điều kiện theo LCP có giá trị dương ma trận M nửa xác định dương Mệnh đề 2.11 Gọi M ma trận nửa xác định dương Khi đó, mệnh đề sau tương đương: i q ∈ Q+ M ii LCP(q, M ) khả thi iii LCP(q, M ) giải lu Hơn nữa, mệnh đề sau đúng: an n va ∗ iv Với q ∈ Q+ M , tồn nghiệm z (q) ∈ SOL(q, M ) theo tn to nghĩa kz ∗ (q)k kzk với z ∈ SOL(q, M ) v Tồn số dương α cho ie gh p kz ∗ (q)k α kqk ∀q ∈ Q+ M w d oa nl Bây giờ, ta định nghĩa HP (t, x) = −Ax + B(P + D)−1 (Cx + v(t)) nf va an lu (2.68) Lưu ý dom HP (t, ·) = C −1 (im(P + D) − v(t)) Hơn nữa, q ∈ (P + lm ul D)(z) −z ∈ SOL(q, D) Điều có nghĩa q ∈ (P+D)(z) z at nh oi q ∈ Q+ D theo quan điềm Mệnh đề 2.11 Nói cách khác
dom HP (t, ·) = C −1 Q+ − v(t) D z Định lý sau cung cấp điều kiện hợp lý để đảm bảo giả thiết @ (2.68) i Σ(A, B, C, D) phụ thuộc với hàm x 7→ 21 xT x an Lu Định lý 2.12 Cho T > Giả sử m co l gm Định lý 2.10 cho ánh xạ đa trị phụ thuộc thời gian HP định nghĩa n va ac th si 49 ii im C∩ ri (im(P + D) − v(t)) 6= ∅ với t ∈ [0, T ] iii v ∈ AC ([0, T ], Rm ), Khi đó, HP thỏa mãn giả thiết (A1) − (A4) Chứng minh Điều kiện đủ để HP thỏa mãn giả thiết (i.)-(vi.) Định lý 2.10 Bốn giả thiết Định lý 2.10 dễ dàng thỏa mãn Cho giả thiết (v.) Định lý 2.10, cần phiên lu cận Hoffman’s tập đa diện Để giải thích, cho ∅ 6= R ⊆ Rm an n va tập hợp đa diện cho R = {ζ : Rζ = Qζ q} tn to R, Q ma trận q véc tơ với kích thước phù hợp Cận Hoffman’s ie gh (xem [6] ) khẳng định tồn số dương α phụ thuộc R cho p dist(x, R) α(kRxk + | max(0, Qx − q)|) (2.69) w oa nl với x ∈ Rm max biểu thị tối đa thành phần Theo định nghĩa d + m Q+ D nón đa diện Do đó, ta có QD = {η ∈ R : Qη 0} với ma lu nf va an trận Q Cho E ma trận cho im C = ker E Khi đó, ta có
im C ∩ (im(P + D) − v(t)) = im C ∩ Q+ − v(t) D  = ζ ∈ Rm : Eζ = Qζ −Qv(t) (2.70) z at nh oi lm ul với t ∈ [0, T ] z (2.68), ta thấy (2.71) m Ew = Qw −Qv(s) co l gm @ Cho s, t cho s t T w ∈ im C ∩ (im(P + D) − v(s)) Từ an Lu n va ac th si 50 Bây giờ, ta có (2.71) dist(w, im C ∩ (im(P + D) − v(t))) α(kEwk + | max(0, Qw + Qv(t))|) (2.71) α| max(0, −Qv(s) + Qv(t))| β kv(s) − v(t)k (2.72) β số dương Vì v liên tục tuyệt đối, ta có Z t Z t Z t Z s kv(τ ˙ )k dτ = kv(τ ˙ )k dτ − kv(τ ˙ )k dτ ˙ )dτ kv(s) − v(t)k = v(τ s lu s 0 an Khi đó, (2.74) tương đương n va dist(w, im C ∩ (im(P + D) − v(t))) θ(t) − θ(s) gh tn to sup w∈im C∩(im(P+D)−v(s) β Rt kv(τ ˙ )k dτ với p ie với s, t với s t T θ(t) = w t ∈ [0, T ] Rõ ràng, θ không tăng liên tục tuyệt đối Cho giả thiết oa nl (vi.) Định lý 2.10, lưu ý ζ ∈ (P + D)−1 (η) −ζ ∈ d SOL(η, D) Do Mệnh đề 1.29, D bán tự nhiên Khi đó, theo Mệnh đề lu nf va an 2.11 tồn số dương α cho lm ul (P + D)−1
0 (η) α kηk lý 2.10 z at nh oi với η ∈ dom(P + D)−1 Do đó, HP thỏa mãn giả thiết (vi.) Định z m co l gm @ an Lu n va ac th si KẾT LUẬN Luận văn trình bày số vấn đề sau: lu - Trình bày số tính chất ánh xạ đa trị đơn điệu cực đại an n va không gian hữu hạn chiều đặc trưng tương đương loại - Trình bày tồn nghiệm bao hàm thức vi phân ie gh tn to ánh xạ p kết hợp với ánh xạ đa trị đơn điệu cực đại biến thiên thời gian nl w - Áp dụng nghiên cứu tồn nghiệm số hệ điều d oa khiển tuyến tính hệ vi phân bù tuyến tính lu an Bên cạnh kết đạt được, luận văn tránh khỏi nf va hạn chế thiếu sót Rất mong nhận phản hồi quý thầy cô z at nh oi lm ul bạn để luận văn hoàn thiện z m co l gm @ an Lu n va 51 ac th si Tài liệu tham khảo [1] H.Brézis Opérateurs Maximaux Monotones et Semi-Groupes des Contractions dans les Espaces de Hilbert North-Holland, Mathematics lu an Studies, 1973 va n [2] M.K Camlibel and J.M.Schumacher, Linear passive systems and max- gh tn to imal monotone mappings, Math Program., Ser B, 157:397-420, 2016 p ie [3] M.K Camlibel, L Iannelli, A Tanwani, Evolution inclutions with time- dependent maximal monotone operators, arXiv:1903.10803, 2019 nl w d oa [4] M.K.Camlibel, W.P.M.H Heemels, and J.M.Schumacher Consistency an lu of a time-stepping method for a class of piecewise-linear networks nf va IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory lm ul and Applications, 49(3):349-357, 2002 z at nh oi [5] M.K Camlibel, L Iannelli, and F Vasca Passivity and complementarity Mathematical Programming-A, 145:531-563, 2014 z gm @ [6] F Facchinei and J-S.Pang Finite-Dimensional Variational Inequalities and Complemen-tarity Problems I, Springer, New York, 2003 l m co [7] M Kunze and M.D.P Monteiro Marques BV solutions to evolution an Lu problems with time-dependent domains Set-Valued Analysis, 5:5772,1997 n va 52 ac th si 53 [8] R.T Rockafellar and J.-B Wets Variational Analysis A Series of Comprehensive Studies in Mathematics 317 Springer, 1998 [9] W Rudin Principles of Mathematical Analysis International Series in Pure and Applied Mathematics McGraw-Hill Book Co., New Your, third edition, 1976 [10] R.T.Rockafellar Conex Analysis Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1970 lu an [11] A.A Vladimirov Nonstationary dissipative evolution equations in a n va Hilbert space Nonlinear Analysis, 17:499-518, 1991 p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si