ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ HỒNG VÂN THUẬT TOÁN ĐIỂM GẦN KỀ VỚI DÃY SAI SỐ KHÔNG GIỚI NỘI TÌM KHÔNG ĐIỂM CỦA TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ HỒNG VÂN THUẬT TOÁN ĐIỂM GẦN KỀ VỚI DÃY SAI SỐ KHƠNG GIỚI NỘI TÌM KHƠNG ĐIỂM CỦA TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ HỒNG VÂN THUẬT TOÁN ĐIỂM GẦN KỀ VỚI DÃY SAI SỐ KHƠNG GIỚI NỘI TÌM KHƠNG ĐIỂM CỦA TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN GS TS NGUYỄN BƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2017 c i Mục lục Bảng ký hiệu ii Lời nói đầu 1 3 Một số tốn liên quan 1.1 Khơng gian Hilbert 1.2 1.3 Bài tốn cực tiểu phiếm hàm lồi khơng gian Hilbert 10 Tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert 13 1.4 Phương pháp điểm gần kề 18 Thuật toán điểm gần kề với dãy sai số không giới nội tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại 20 2.1 Thuật toán điểm gần kề 20 2.2 2.3 Thuật toán điểm gần kề 25 So sánh hai thuật toán 27 Ứng dụng 30 3.1 Bài toán tối ưu 30 3.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 32 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 c ii Bảng ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: R tập số thực Rn H không gian véc tơ n chiều tương ứng không gian Hilbert thực A dom A gra A domf epif zer(A) Jr,T NC ∅ hx, yi I tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert miền xác định toán tử A đồ thị toán tử A miền hữu hiệu hàm f tập đồ thị hàm f tập tất không điểm A, A−1 (0) toán tử giải toán tử T hình nón chuẩn tắc ứng với tập lồi C tập rỗng tích vơ hướng hai véc tơ x y ánh xạ đơn vị c Lời nói đầu Bài tốn xác định khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại khơng gian Hilbert có nhiều ý nghĩa quan trọng nhiều lĩnh vực khác như: kinh tế, tối ưu hóa tốn liên quan đến vật lý Một phương pháp bật để giải tốn tìm khơng điểm toán tử đơn điệu cực đại phương pháp điểm gần kề đề xuất nghiên cứu Martinet cho cực tiểu phiếm hàm lồi Rn sau mở rộng Rockafellar Mới Boikanyo Morosanu nghiên cứu hội tụ thuật toán điểm gần kề với sai số cho toán tử đơn điệu cực đại A Họ giả thiết tập không điểm toán tử A khác rỗng dãy sai số (en ) giới nội Trong đề tài luận văn xét dãy tạo xn+1 = Jγn (λn u + (1 − λn )(xn + en )), ∀n > đưa điều kiện cần đủ cho tập không điểm A khác rỗng Chúng dãy (xn ) hội tụ mạnh đến phép chiếu u lên A−1 (0) khơng cần giả thiết tính giới nội (en ) Luận văn trình bày thành chương với nội dung sau: I: Trong chương trình bày số kiến thức khái niệm không gian Hilbert, số ví dụ minh họa, tốn cực tiểu phiếm hàm lồi khơng gian Hilbert thuật tốn điểm gần kề cổ điển II: Trình bày hai thuật toán điểm gần kề so sánh tối ưu hai thuật tốn III: Trình bày ứng dụng thuật toán điểm gần kề toán tối ưu toán bất đẳng thức biến phân c Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình GS TS Nguyễn Bường, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người dành nhiều thời gian tâm huyết để hướng dẫn tận tình, giúp đỡ tác giả trình học tập, nghiên cứu viết luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin tồn thể thầy ngồi trường giảng dạy giúp trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc học tập nghiên cứu thân Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Tốn K9C (khóa 2015-2017) động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè ln động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tơi q trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, 29 tháng năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Hồng Vân c Chương Một số toán liên quan Chương nhắc lại số kiến thức định nghĩa không gian Hilbert, giải tích lồi phương pháp điểm gần kề Kiến thức chương tham khảo tài liệu [1], [2] 1.1 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.1 Một tập X gọi khơng gian tuyến tính R với cặp (x, y) ∈ X × X , phần tử X , ta gọi tổng x y , ký hiệu x + y ; với α ∈ R x ∈ X , phần tử X gọi tích α x, ký hiệu αx thỏa mãn điều kiện sau: i x + y = y + x với x, y ∈ X (tính chất giao hoán) ii (x + y) + z = x + (y + z), với x, y, z ∈ X (tính chất kết hợp) iii tồn phần tử không X , ký hiệu 0, cho: x + = + x với x ∈ X iv với x ∈ X , tồn phần tử đối x, ký hiệu −x, cho x + (−x) = với x ∈ X v · x = x · = x, với x ∈ X (1 phần tử đơn vị) vi α(βx) = (αβ)x, với α, β ∈ R, với x ∈ X vii (α + β)x = αx + βx, với α, β ∈ R, với x ∈ X viii α(x + y) = αx + αy , với α ∈ R, với x, y ∈ X c Định nghĩa 1.1.2 Cho H khơng gian tuyến tính trường số thực R Tích vơ hướng khơng gian H ánh xạ từ tích Descartes H × H vào R, ký hiệu h., i, thỏa mãn điều kiện sau: i hx, yi = hy, xi với x, y ∈ H ii hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với x, y, z ∈ H iii hαx, yi = αhx, yi với x, y ∈ H α ∈ R iv hx, xi > x 6= hx, xi = x = Nhận xét 1.1.3 Từ Định nghĩa 1.1.2 ta suy i hx, αyi = αhy, xi với x, y ∈ H α ∈ R ii hx, y + zi = hx, yi + hx, zi với x, y, z ∈ H Định nghĩa 1.1.4 Khơng gian tuyến tính H với tích vơ hướng gọi không gian tiền Hilbert Định lý 1.1.5 (bất đẳng thức Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert H, với x, y ∈ H ta ln có bất đẳng thức sau: |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi (1.1) Chứng minh.Với số thực α với x, y ∈ H ta có: ≤ hx − αy, x − αyi = hx, xi − 2αhx, yi + α2 hy, yi Từ suy ∆ = |hx, yi|2 − hx, xihy, yi ≤ với x, y ∈ H Hay |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi với x, y ∈ H Dấu đẳng thức bất đẳng thức (1.1) xảy x y phụ thuộc tuyến tính c Định lý 1.1.6 Không gian tiền Hilbert H không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn xác định q kxk = hx, xi với x ∈ H (1.2) Chuẩn gọi chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng Hàm số kxk = p hx, xi với x ∈ H chuẩn H Chứng minh.Thật vậy, từ điều kiện (iv) Định nghĩa 1.1.2 ta có kxk > x 6= kxk = x = với x ∈ H Từ điều kiện (i) (iii) Định nghĩa 1.1.2 ta suy kαxk = |α|.kxk với α ∈ R x ∈ H Từ bất đẳng thức Schwarz cách định nghĩa chuẩn ta có: |hx, yi| ≤ kxk.kyk với x, y ∈ H (1.3) Từ với x, y ∈ H ta có: hx + y, x + yi = hx, xi + 2hx, yi + hy, yi 2 ≤ kxk2 + 2kxk.kyk + kyk2 = kxk + kyk Suy kx + yk ≤ kxk + kyk với x, y ∈ H Định nghĩa 1.1.7 Nếu H không gian tiền Hilbert thực đầy đủ chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng xác định (1.2) H gọi khơng gian Hilbert thực Ví dụ 1.1.8 Khơng gian ∞ n o X l = x = {xn }n ∈ R : |xn | < +∞ n=1 không gian Hilbert với tích vơ hướng hx, yi = ∞ X xn yn , x = {xn }n∈N , y = {yn }n∈N ∈ l2 n=1 c chuẩn kxk = q v u∞ ∞ X 1 uX 2 t hx, xi = |xn | = |xn | n=1 n=1 Ví dụ 1.1.9 Khơng gian L2 [a, b] khơng gian Hilbert với tích vơ hướng: Zb (x, y) = x(t)y(t)dt, ∀x, y ∈ L2 [a, b] a chuẩn Zb kxk = ! 12 |x(t)|2 dt a Ví dụ 1.1.10 Gọi C[a, b] tập tất hàm giá trị thực liên tục khoảng đóng hữu hạn [a, b] ⊂ R Trong C[a, b] xét tích vơ hướng hx, yi = b Z x(t)y(t).dt, x(t), y(t) ∈ C[a, b] a Không gian C[a, b] với chuẩn kxk = Z b 12 |x(t)| dt a không gian tiền Hilbert, không gian Hilbert Định lý 1.1.11 Giả sử {xn }n∈N , {yn }n∈N hai dãy hội tụ mạnh đến x0 , y0 không gian tiền Hilbert thực H Khi đó, lim hxn , yn i = hx0 , y0 i n→∞ Chứng minh Giả sử lim xn = x0 , lim yn = y0 không gian Hilbert H Ta chứng minh n→∞ n→∞ lim hxn , yn i = hx0 , y0 i R n→∞ c dt ≤ kxk2 0 Suy ra, A bị chặn c 15 Dễ dàng thấy rằng, A tốn tử tuyến tính Do đó, A tốn tử tuyến tính liên tục Ví dụ 1.3.7 Cho X = Rk , Y = Rm , A(ξ1 , ξ2 , , ξk ) = (η1 , η2 , , ηm ) với ηi = k X aij ξj i = 1, 2, 3, , m, (1.7) j=1 aij số Ma a11 am1 trận a1k · · · amk ma trận toán tử A Thật vậy, (1.7) dạng tổng qt tốn tử tuyến tính từ Rk vào Rm Cho A toán tử tuyến tính từ Rk vào Rm Gọi e1 , e2 , , ek f1 , f2 , , fk sở Rk Rm cho với x = (ξ1 , ξ2 , , ξk )T ∈ Rk , y = (η1 , η2 , , ηm )T ∈ Rm : x= k X ξj ej j=1 y= m X ηi f i , i=1 với e1 = (1, 0, , 0)T , e2 = (0, 1, , 0)T , , ek = (0, 0, , 1)T , f1 = (1, 0, , 0)T , f2 = (0, 1, , 0)T , , fm = (0, 0, , 1)T Vì A tốn tử tuyến tính nên Ax = k X j=1 c ξj (Aej ) 16 Đặt Ax = (η1 , η2 , , ηm ), Aej = (a1j , a2j , , amj ) ta có (1.7) Cho H khơng gian Hilbert thực, C tập H Định nghĩa 1.3.8 Cho C tập lồi đóng, khác rỗng không gian Hilbert thực H, A : C → H ánh xạ Ánh xạ A gọi là: i L-liên tục Lipschitz C , tồn số L > cho kA(x) − A(y)k ≤ L kx − yk ∀x, y ∈ C Nếu < L < A ánh xạ co, L = A ánh xạ không giãn ii bị chặn C , với tập khác rỗng, bị chặn B C , tồn số dương kB phụ thuộc vào tập B cho hA(x) − A(y), x − yi ≤ kB kx − yk ∀x, y ∈ B iii bị chặn Lipschitz C với tập bị chặn B C , A ánh xạ liên tục Lipschitz B Định nghĩa 1.3.9 Cho C tập lồi đóng, khác rỗng không gian Hilbert thực H, A : C → H ánh xạ Ánh xạ A gọi là: i Đơn điệu C hA(x) − A(y), x − yi ≥ ∀x, y ∈ C ii η -đơn điệu mạnh C tồn số η dương cho hA(x) − A(y), x − yi ≥ η kx − yk2 c ∀x, y ∈ C ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ HỒNG VÂN THUẬT TOÁN ĐIỂM GẦN KỀ VỚI DÃY SAI SỐ KHƠNG GIỚI NỘI TÌM KHƠNG ĐIỂM CỦA TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI LUẬN VĂN THẠC... sai số khơng giới nội tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại 20 2.1 Thuật toán điểm gần kề 20 2.2 2.3 Thuật toán điểm gần kề 25 So sánh hai thuật toán ... hội tụ thuật toán điểm gần kề với sai số cho toán tử đơn điệu cực đại A Họ giả thiết tập khơng điểm tốn tử A khác rỗng dãy sai số (en ) giới nội Trong đề tài luận văn xét dãy tạo xn+1 = Jγn (λn