(Luận văn) thuật toán điểm gần kề với dãy sai số không giới nội tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ HỒNG VÂN lu an n va p ie gh tn to THUẬT TOÁN ĐIỂM GẦN KỀ VỚI DÃY SAI SỐ KHƠNG GIỚI NỘI TÌM KHƠNG ĐIỂM CỦA TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2017 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ HỒNG VÂN lu an n va p ie gh tn to THUẬT TOÁN ĐIỂM GẦN KỀ VỚI DÃY SAI SỐ KHƠNG GIỚI NỘI TÌM KHƠNG ĐIỂM CỦA TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI d oa nl w lu nf va an LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC lm ul z at nh oi Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 z @ m co l gm GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN GS TS NGUYỄN BƯỜNG an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2017 ac th si i Mục lục ii Lời nói đầu 1 3 lu Bảng ký hiệu an n va 1.2 1.3 Bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi không gian Hilbert 10 Tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert 13 1.4 Phương pháp điểm gần kề p ie gh tn to Một số tốn liên quan 1.1 Khơng gian Hilbert oa nl w 18 d Thuật toán điểm gần kề với dãy sai số khơng giới nội tìm lu Thuật toán điểm gần kề 25 So sánh hai thuật toán 27 z at nh oi lm ul 2.2 2.3 nf va an khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại 20 2.1 Thuật toán điểm gần kề 20 Ứng dụng 30 3.1 Bài toán tối ưu 30 z Bài toán bất đẳng thức biến phân 32 34 co l 35 m Tài liệu tham khảo gm Kết luận @ 3.2 an Lu n va ac th si ii Bảng ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định lu bảng đây: R tập số thực an n va không gian véc tơ n chiều tương ứng không gian Hilbert thực A dom A gra A domf epif zer(A) Jr,T NC ∅ hx, yi I tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert gh tn to Rn H p ie miền xác định toán tử A đồ thị toán tử A oa nl w miền hữu hiệu hàm f tập đồ thị hàm f d tập tất khơng điểm A, A−1 (0) tốn tử giải toán tử T nf va an lu lm ul hình nón chuẩn tắc ứng với tập lồi C tập rỗng z at nh oi tích vơ hướng hai véc tơ x y ánh xạ đơn vị z m co l gm @ an Lu n va ac th si Lời nói đầu Bài tốn xác định khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại khơng lu gian Hilbert có nhiều ý nghĩa quan trọng nhiều lĩnh vực khác như: kinh tế, tối ưu hóa tốn liên quan đến vật lý Một an va n phương pháp bật để giải tốn tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại phương pháp điểm gần kề đề xuất nghiên cứu p ie gh tn to Martinet cho cực tiểu phiếm hàm lồi Rn sau mở rộng Rockafellar Mới Boikanyo Morosanu nghiên cứu hội tụ thuật toán d oa nl w điểm gần kề với sai số cho toán tử đơn điệu cực đại A Họ giả thiết tập không điểm toán tử A khác rỗng dãy sai số (en ) giới nội Trong an lu đề tài luận văn xét dãy tạo nf va xn+1 = Jγn (λn u + (1 − λn )(xn + en )), ∀n > lm ul z at nh oi đưa điều kiện cần đủ cho tập không điểm A khác rỗng Chúng dãy (xn ) hội tụ mạnh đến phép chiếu u lên A−1 (0) khơng cần giả thiết tính giới nội (en ) Luận văn trình bày thành chương với nội dung sau: z l gm @ I: Trong chương trình bày số kiến thức khái niệm khơng gian Hilbert, số ví dụ minh họa, toán cực tiểu phiếm hàm lồi an Lu thuật tốn m co khơng gian Hilbert thuật tốn điểm gần kề cổ điển II: Trình bày hai thuật toán điểm gần kề so sánh tối ưu hai n va III: Trình bày ứng dụng thuật toán điểm gần kề toán tối ưu toán bất đẳng thức biến phân ac th si Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình GS TS Nguyễn Bường, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người dành nhiều thời gian tâm huyết để hướng dẫn tận tình, giúp đỡ tác giả trình học tập, nghiên cứu viết luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Tốn - Tin tồn thể thầy ngồi trường giảng dạy giúp tơi trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc học tập nghiên cứu thân lu an Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Toán n va K9C (khóa 2015-2017) động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập ie gh tn to Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè ln động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho trình học tập, p nghiên cứu làm luận văn Xin chân thành cảm ơn! oa nl w d Thái Nguyên, 29 tháng năm 2017 nf va an lu Tác giả z at nh oi lm ul Nguyễn Thị Hồng Vân z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Một số toán liên quan lu an n va Chương nhắc lại số kiến thức định nghĩa không gian Hilbert, gh tn to giải tích lồi phương pháp điểm gần kề Kiến thức chương tham khảo tài liệu [1], [2] Không gian Hilbert p ie 1.1 w Định nghĩa 1.1.1 Một tập X gọi không gian tuyến tính R d oa nl với cặp (x, y) ∈ X × X , phần tử X , ta gọi tổng x y , ký hiệu x + y ; với α ∈ R x ∈ X , phần tử X gọi an lu tích α x, ký hiệu αx thỏa mãn điều kiện sau: nf va i x + y = y + x với x, y ∈ X (tính chất giao hoán) lm ul ii (x + y) + z = x + (y + z), với x, y, z ∈ X (tính chất kết hợp) z at nh oi iii tồn phần tử không X , ký hiệu 0, cho: x + = + x với x ∈ X z iv với x ∈ X , tồn phần tử đối x, ký hiệu −x, cho x + (−x) = với x ∈ X gm @ co l v · x = x · = x, với x ∈ X (1 phần tử đơn vị) m vi α(βx) = (αβ)x, với α, β ∈ R, với x ∈ X an Lu vii (α + β)x = αx + βx, với α, β ∈ R, với x ∈ X n va viii α(x + y) = αx + αy , với α ∈ R, với x, y ∈ X ac th si Định nghĩa 1.1.2 Cho H khơng gian tuyến tính trường số thực R Tích vô hướng không gian H ánh xạ từ tích Descartes H × H vào R, ký hiệu h., i, thỏa mãn điều kiện sau: i hx, yi = hy, xi với x, y ∈ H ii hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với x, y, z ∈ H iii hαx, yi = αhx, yi với x, y ∈ H α ∈ R iv hx, xi > x 6= hx, xi = x = lu an Nhận xét 1.1.3 Từ Định nghĩa 1.1.2 ta suy n va i hx, αyi = αhy, xi với x, y ∈ H α ∈ R gh tn to ii hx, y + zi = hx, yi + hx, zi với x, y, z ∈ H p ie Định nghĩa 1.1.4 Khơng gian tuyến tính H với tích vơ hướng gọi khơng gian tiền Hilbert w nl Định lý 1.1.5 (bất đẳng thức Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert H, d oa với x, y ∈ H ta ln có bất đẳng thức sau: (1.1) nf va an lu |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi lm ul Chứng minh.Với số thực α với x, y ∈ H ta có: Từ suy z at nh oi ≤ hx − αy, x − αyi = hx, xi − 2αhx, yi + α2 hy, yi z Hay co l gm @ ∆ = |hx, yi|2 − hx, xihy, yi ≤ với x, y ∈ H m |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi với x, y ∈ H an Lu  n va Dấu đẳng thức bất đẳng thức (1.1) xảy x y phụ thuộc tuyến tính ac th si Định lý 1.1.6 Không gian tiền Hilbert H khơng gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn xác định q kxk = hx, xi với x ∈ H (1.2) Chuẩn gọi chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng Hàm số kxk = p hx, xi với x ∈ H chuẩn H Chứng minh.Thật vậy, từ điều kiện (iv) Định nghĩa 1.1.2 ta có kxk > x 6= kxk = x = với x ∈ H Từ điều kiện (i) lu (iii) Định nghĩa 1.1.2 ta suy kαxk = |α|.kxk với α ∈ R x ∈ H Từ bất đẳng thức Schwarz cách định nghĩa chuẩn ta có: an n va (1.3) Từ với x, y ∈ H ta có: p ie gh tn to |hx, yi| ≤ kxk.kyk với x, y ∈ H w hx + y, x + yi = hx, xi + 2hx, yi + hy, yi d oa nl
2 ≤ kxk2 + 2kxk.kyk + kyk2 = kxk + kyk Suy kx + yk ≤ kxk + kyk với x, y ∈ H an lu  nf va Định nghĩa 1.1.7 Nếu H không gian tiền Hilbert thực đầy đủ chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng xác định (1.2) H gọi lm ul không gian Hilbert thực z at nh oi Ví dụ 1.1.8 Khơng gian ∞ n o X l = x = {xn }n ∈ R : |xn | < +∞ z @ không gian Hilbert với tích vơ hướng m xn yn , x = {xn }n∈N , y = {yn }n∈N ∈ l2 an Lu n=1 co hx, yi = ∞ X l gm n=1 n va ac th si chuẩn kxk = q v u∞ ∞ X 1 uX 2 t hx, xi = |xn | = |xn | n=1 n=1 Ví dụ 1.1.9 Khơng gian L2 [a, b] khơng gian Hilbert với tích vơ hướng: Zb (x, y) = ∀x, y ∈ L2 [a, b] x(t)y(t)dt, a lu chuẩn an n va kxk = Zb ! 12 |x(t)|2 dt a p ie gh tn to Ví dụ 1.1.10 Gọi C[a, b] tập tất hàm giá trị thực liên tục khoảng đóng hữu hạn [a, b] ⊂ R Trong C[a, b] xét tích vơ hướng x(t)y(t).dt, x(t), y(t) ∈ C[a, b] a oa nl w hx, yi = b Z d Không gian C[a, b] với chuẩn nf va an lu kxk = Z b  12 |x(t)| dt a lm ul không gian tiền Hilbert, không gian Hilbert z at nh oi Định lý 1.1.11 Giả sử {xn }n∈N , {yn }n∈N hai dãy hội tụ mạnh đến x0 , y0 không gian tiền Hilbert thực H Khi đó, z @ gm lim hxn , yn i = hx0 , y0 i n→∞ l n→∞ n→∞ m an Lu H Ta chứng minh co Chứng minh Giả sử lim xn = x0 , lim yn = y0 không gian Hilbert n va lim hxn , yn i = hx0 , y0 i R n→∞ ac th si dt ≤ kxk2 m co l gm @ ac th si 15 Dễ dàng thấy rằng, A toán tử tuyến tính Do đó, A tốn tử tuyến  tính liên tục Ví dụ 1.3.7 Cho X = Rk , Y = Rm , A(ξ1 , ξ2 , , ξk ) = (η1 , η2 , , ηm ) với ηi = k X aij ξj i = 1, 2, 3, , m, (1.7) j=1 lu aij số Ma  a11   an n va  a1k   · · · amk ma trận toán tử A Thật vậy, (1.7) dạng tổng quát toán tử gh tn to am1 trận p ie tuyến tính từ Rk vào Rm Cho A tốn tử tuyến tính từ Rk vào Rm Gọi e1 , e2 , , ek f1 , f2 , , fk sở Rk Rm cho d oa nl w với x = (ξ1 , ξ2 , , ξk )T ∈ Rk , y = (η1 , η2 , , ηm )T ∈ Rm : an lu x= ξj ej j=1 nf va y= m X ηi f i , z at nh oi lm ul k X i=1 với z gm @ e1 = (1, 0, , 0)T , e2 = (0, 1, , 0)T , , ek = (0, 0, , 1)T , co l f1 = (1, 0, , 0)T , f2 = (0, 1, , 0)T , , fm = (0, 0, , 1)T k X n va j=1 ξj (Aej ) an Lu Ax = m Vì A tốn tử tuyến tính nên ac th si 16 Đặt Ax = (η1 , η2 , , ηm ), Aej = (a1j , a2j , , amj )  ta có (1.7) Cho H không gian Hilbert thực, C tập H Định nghĩa 1.3.8 Cho C tập lồi đóng, khác rỗng không gian Hilbert thực H, A : C → H ánh xạ Ánh xạ A gọi là: lu i L-liên tục Lipschitz C , tồn số L > cho an va n kA(x) − A(y)k ≤ L kx − yk ∀x, y ∈ C tn to giãn p ie gh Nếu < L < A ánh xạ co, L = A ánh xạ không ii bị chặn C , với tập khác rỗng, bị chặn B C , tồn w d oa nl số dương kB phụ thuộc vào tập B cho ∀x, y ∈ B nf va an lu hA(x) − A(y), x − yi ≤ kB kx − yk z at nh oi lm ul iii bị chặn Lipschitz C với tập bị chặn B C , A ánh xạ liên tục Lipschitz B Định nghĩa 1.3.9 Cho C tập lồi đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert thực H, A : C → H ánh xạ Ánh xạ A gọi là: z i Đơn điệu C gm @ co l hA(x) − A(y), x − yi ≥ ∀x, y ∈ C m ii η -đơn điệu mạnh C tồn số η dương cho an Lu hA(x) − A(y), x − yi ≥ η kx − yk2 ∀x, y ∈ C n va ac th si 17 iii Hemi-liên tục (hemicontinuous) C A(x + ty) * Ax t → với x, y ∈ C demi-liên tục (demicontinuous) C từ xn → x suy Axn * Ax n → ∞ iv Bức C hAx, xi = +∞, kxk→+∞ kxk x ∈ C lim Sau kết lý thuyết toán tử đơn điệu dùng lu Chương an n va Bổ đề 1.3.10 Cho X không gian Banach thực, X ∗ không gian đối ngẫu X , f ∈ X ∗ A : X → X ∗ toán tử hemi-liên tục Khi gh tn to tồn x0 ∈ X thỏa mãn bất đẳng thức: p ie hA(x) − f, x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ X d oa nl w x0 nghiệm phương trình A(x) = f Nếu A toán tử đơn điệu X điều kiện tương đương với ∀x ∈ X nf va an lu hA(x0 ) − f, x − x0 i ≥ 0, Bổ đề 1.3.10 gọi bổ đề Minty, tên nhà toán học Mỹ, người lm ul Banach z at nh oi chứng minh kết trường hợp không gian Hilbert Sau ơng Browder chứng minh cách độc lập cho khơng gian z Với tốn tử r : X → Y từ không gian Banach X vào không gian Banach Y , ta viết r(x) = o(kxk) với x → θX , r(x)/kxk → x → θX @ l gm Kí hiệu L(X, Y ) tập tất tốn tử tuyến tính liên tục T : X → Y m co Định lý 1.3.11 Cho A : X → Y tốn tử từ khơng gian Banach X an Lu vào không gian Banach Y Toán tử A gọi khả vi Fréchet điểm x ∈ X , tồn T ∈ L(X, Y ) cho n va A(x + h) = A(x) + T h + o(khk), ac th si 18 với h thuộc lân cận điểm θ Nếu tồn tại, T gọi đạo hàm Fréchet A x ta viết A0 (x) = T 1.4 Phương pháp điểm gần kề Cho H không gian Hilbert thực với vô hướng h., i chuẩn k.k Chúng tơi kí hiệu hội tụ yếu H * hội tụ mạnh → Một toán tử A : D(A) ⊆ H ⇒ H gọi đơn điệu đồ thị tập đơn điệu H × H, tức lu hy2 − y1 , x2 − x1 i ≥ 0, an n va với x1 , x2 ∈ D(A) với y1 ∈ Ax1 y2 ∈ Ax2 A toán tử gh tn to đơn điệu cực đại A đơn điệu đồ thị A không nằm thực đồ thị toán tử đơn điệu khác Chúng ta biết p ie khơng gian Hilbert thực điều tương tự với toán tử (I + A), có R(I + A) = H oa nl w Cho D ⊂ H khác rỗng A toán tử T : D −→ H gọi không giãn d kT (x) − T (y)k 6k x − y k, lu nf va an với x, y ∈ D Đối với toán tử đơn điệu cực đại A với t > 0, toán tử Jt : H −→ H xác định Jt := (I + tA)−1 (x) đơn trị z at nh oi lm ul không giãn H Nó gọi tốn tử giải A Xét tốn đa trị sau: Tìm ∈ D(A) cho ∈ A(x) (1.8) z gm @ Một phương pháp lặp hữu hiệu để giải (1.8) thuật toán điểm gần kề Thuật toán điểm gần kề xây dựng dãy lặp (xn ) sau: m co l xn+1 = Jγn (xn + en ), an Lu với n > 0, x0 ∈ H điểm xuất phát cho trước (γn ) ⊂ (0, +∞) n va (en ) dãy sai số tính tốn, thường giới thiệu sai số thực nghiệm ac th si 19 Năm 2013, Boikanyo Morosanu xét dãy tạo thuật toán sau: xn+1 = Jγn (λn u + (1 − λn )(xn + en )), ∀n > Ở xo , u ∈ H, λn ∈ (0, 1), γn ∈ (0, ∞), với n ≥ Họ A−1 6= ∅ λn −→ 1, γn −→ ∞ (en ) giới nội, dãy (xn ) hội tụ mạnh đến phần tử A−1 (0), gần đến điểm u Kết luận: Chương trình bày sơ lược khơng gian tiền Hilbert, Không gian Hilbert đồng thời đưa số ví dụ minh họa Phát biểu tốn lu cực tiểu phiếm hàm lồi Toán tử đơn điệu không gian Hilbert Phương an n va pháp điểm gần kề trình bày chương làm sở cho việc nghiên cứu chương p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 20 Chương Thuật toán điểm gần kề với dãy sai lu an số khơng giới nội tìm không điểm n va p ie gh tn to toán tử đơn điệu cực đại Chương nội dung luận văn trình bày thuật tốn điểm d oa nl w gần kề với dãy sai số khơng giới nội tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại Mục 2.1 Thuật toán điểm gần kề Thuật toán điểm gần kề [3]-[9] lm ul 2.1 nf va an lu trình bày mục 2.2 So sánh hai thuật tốn trình bày mục 2.3 Những kiến thức chương tham khảo tài liệu Thuật toán điểm gần kề z at nh oi Trong mục này, đưa điều kiện cần đủ cho không điểm A khác rỗng z Bổ đề 2.1.1 Cho A : D(A) ⊆ H ⇒ H toán tử đơn điệu cực đại với A−1 (0) = F 6= ∅ cho u ∈ H, (I + tA)−1 u → PF u t → +∞, co l gm @ đây, PF u hình chiếu u F m Định lý 2.1.2 Cho A : D(A) ⊆ H ⇒ H toán tử đơn điệu cực đại Với x0 , u ∈ H cố định, xét dãy (xn ) xác định an Lu (2.1) n va xn+1 = Jγn (λn u + (1 − λn )(xn + en )), ac th si 21 với n > Trong λn ∈ (0, 1) γn ∈ (0, +∞) với n ≥ Khi A−1 (0) 6= ∅ tồn dãy (λn ) ⊂ (0, 1) (γn ) ⊂ (0, +∞) , với λn → γn → +∞ n → +∞, cho dãy ((1 − λn )en ) giới nội lim inf n→∞ (k xn+1 k +(1 − λn ) k xn k) < ∞ hay lim inf n→∞ (k xn+1 k +(1 − λn ) k xn+1 − xn k) < ∞ Chứng minh Giả sử A−1 (0) 6= ∅ cho p ∈ A−1 (0) Từ (2.1) tốn tử giải khơng giãn, với m ≥ 0, ta có: lu k xm+1 − p k =k Jγm (λm u + (1 − λm )(xm + em )) − Jγm (p) k an ≤k (λm u + (1 − λm )(xm + em ) − p k va (2.2) n ≤ λm k u − p k +(1 − λm ) k em k Từ bất đẳng thức trên, với n ≥ 0, ta thu được: p ie gh tn to + (1 − λm ) k xm − p k w k xm+1 − p k ≤ λn k u − p k d oa nl + (1 − λn ) k en k +(1 − λn ) k xn − p k nf va an lu ≤ λn k u − p k (1 − λn ) k en k +(1 − λn ) h + λn−1 k u − p k +(1 − λn−1 ) k en−1 k i + (1 − λn−1 ) k xn−1 − p k h i = λn + λn−1 (1 − λn ) k u − p k h + (1 − λn ) k en k i + (1 − λn )(1 − λn−1 ) k en−1 k z at nh oi lm ul z @ gm + (1 − λn )(1 − λn−1 ) k xn−1 − p k m co l ≤ h ≤ λn + λn−1 (1 − λn ) + λn−2 (1 − λn−1 )(1 − λn ) an Lu + n va ac th si 22 i + λ0 (1 − λ1 ) (1 − λn ) k u − p k h + (1 − λn ) k en k +(1 − λn )(1 − λn−1 ) k en−1 k (2.3) + + (1 − λn )(1 − λn−1 (1 − λ0 k e0 k i + (1 − λn )(1 − λn−1 (1 − λ0 ) k x0 − p k Vì λn → (1 − λn )en giới nội, nên tồn < α < M > lu an n va p ie gh tn to cho với n ∈ N , ta có − λn α (1 − λn ) k en k6 M Vì từ (2.3), ta có: h i n k xn+1 − p k + α + α + + α k u − p k h i n + M + M α + M α + + M α (2.4) n + α k x0 − p k M ku−pk + + k x0 − p k 1−α 1−α oa nl w d Bất đẳng thức (xn ) giới nội an lu lim inf (k xn+1 k +(1 − λn ) k xn k) < ∞ nf va n→∞ lm ul Ngược lại, giả thiết lim inf n→∞ (k xn+1 k +(1 − λn ) k xn k) < ∞ Khi z at nh oi tồn dãy (n(k)) N cho k xn(k)+1 k +(1 − λn(k) ) k xn(k) k giới nội Vì tồn dãy (m(l)) (n(k)) xm(l)+1 * p l → ∞ với p ∈ H Tương tự ((1 − λm(l) )xm(l) ) dãy giới nội Bây z cho x ∈ D(A) y ∈ A(x), @ m nên ta thu được: co l gm λn u + (1 − λn )(xn + en ) − xn+1 ∈ A(xn+1 ), γn an Lu n va D E λm(l) u + (1 − λm(l) )(xm(l) + em(l) ) − xm(l)+1 y− , x−xm(l)+1 > (2.5) γm(l) ac th si 23 (1−λm(l) )xm(l) xm(l)+1 giới nội nên λn → 1, γn → ∞ ((1−λn )en ) giới nội, dẫn đến: λm(l) u + (1 − λm(l) )(xm(l) + em(l) ) − xm(l)+1 → 0, γm(l) l → ∞ Bây giờ, cho l → ∞ biểu thức (2.5), ta thu được: hy, x − pi > lu Do đó, tính cực đại A, ta suy p ∈ D(A) ∈ A(p) Định lý an  chứng minh hoàn thành va n Nhận xét 2.1.3 Từ chứng minh Định lý 2.1.2 A−1 (0) 6= ∅ gh tn to (xn ) giới nội p ie Hệ 2.1.4 Cho A : D(A) ⊆ H ⇒ H toán tử đơn điệu cực đại Với x0 , u ∈ H cố định, cho dãy (xn ) xác định (2.1), w d oa nl λn ∈ (0, 1) γn ∈ (0, +∞) với n > Giả sử tồn hai dãy (λn ) ⊂ (0, 1) (γn ) ⊂ (0, +∞) với λn → γn → +∞ nf va an lu n → +∞, cho dãy ((1 − λn )en ) giới nội Khi A−1 (0) 6= ∅ lim inf x→∞ k xn k< ∞ dãy (xn+1 − xn ) giới nội lm ul Chứng minh Chứng minh Hệ 2.1.4 sinh từ Định lý 2.1.2, trường hợp này, ta có điều kiện z at nh oi lim inf (k xn+1 k +(1 − λn ) k xn+1 − xn k) < ∞ n→∞ z  Định lý sau mở rộng kết trước Boikanyo Morosanu ý gm @ m co l rằng, kết Boikanyo Morosanu thu với giả thiết tập không điểm A khác rỗng dãy sai số (en ) giới nội an Lu Định lý 2.1.5 Giả sử A : D(A) ⊆ H ⇒ H toán tử đơn điệu cực đại Với x0 , u ∈ H, cho dãy (xn ) xác định (2.1), va n λn ∈ (0, 1) γn ∈ (0, +∞) với n > Nếu λn → 1, γn → +∞ ac th si 24 ((1 − λn )en ) → n → +∞ (xn ) hội tụ mạnh đến PF u, phép chiếu metric u lên F := A−1 (0), lim inf (k xn+1 k +(1 − λn ) k xn k< ∞ n→∞ Chứng minh Chúng ta biết từ Định lý 2.1.2 Nhận xét 2.1.3 cho thấy A−1 (0) 6= ∅ dãy (xn ) giới nội Hơn nữa, từ (2.1), ta có: lu k xn+1 − PF u k 6k xn+1 − Jγn u k + k Jγn u − PF u k an =k Jγn (γn u + (1 − λn )(xn + en )) − Jγn u k va n + k Jγn u − PF u k to gh tn ≤ (1 − λn ) k xn − u + en k + k Jγn u − PF u k (2.6) ie ≤ (1 − λn ) k xn − u k +(1 − λn ) k en k p + k Jγn u − PF u k w d oa nl Khi bất đẳng thức thứ hai suy từ tốn tử giải khơng giãn Kết suy cách sử dụng Bổ đề 2.1.1 cho n → +∞ lu  nf va an bất đẳng thức n → +∞ Ta xét ví dụ: z at nh oi lm ul Nhận xét 2.1.6 Cho dãy (en ) H (không thiết phải giới nội), tồn dãy (λn ) (0, 1) λn → ((1 − λn )en → λn := − , (n + 1)(k en k +1) z @ gm với n > Vì với tốn tử đơn điệu cực đại A : D(A) ⊆ H ⇒ H l không gian Hilbert thực H với A−1 (0) 6= ∅, suy tương tự dãy hội m co tụ mạnh mẽ phép chiếu metric u lên A−1 (0), γn ∈ (0, +∞) với n > γn → +∞ n → +∞ an Lu xn+1 = Jγn  n va   1 1− u+ (xn + en ) (n + 1)(k en k +1) (n + 1)(k en k +1) ac th si