(Luận văn) phương pháp runge kutta và thuật toán tính số mũ luyapunov của hệ động lực

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG NGUYỄN QUANG HUY lu an n va p ie gh tn to d oa nl w PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA VÀ THUẬT TỐN TÍNH SỐ MŨ LYAPUNOV CỦA HỆ ĐỘNG LỰC ll u nf va an lu oi m z at nh LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN, 2017 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA VÀ THUẬT TỐN TÍNH SỐ MŨ LYAPUNOV CỦA HỆ ĐỘNG LỰC lu an n va Chuyên ngành: Khoa học máy tính Mã số: 60 48 01 01 p ie gh tn to nl w d oa LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH ll u nf va an lu oi m Người hướng dẫn khoa học: TS TRƯƠNG HÀ HẢI Học viên thực hiện: Nguyễn Quang Huy z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN, 2017 n va ac th si lu an n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si lu an n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si lu an n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: Luận văn thạc sỹ chuyên ngành Khoa học máy tính, tên đề tài “Phương pháp Runge-Kutta thuật tốn tính số mũ Lyapunov hệ động lực” cơng trình nghiên cứu, tìm hiểu trình bày tơi thực hướng dẫn khoa học TS Trương Hà Hải, Trường Đại học Công nghệ Thông tin Truyền thông - Đại học lu an Thái Nguyên n va Kết tìm hiểu, nghiên cứu luận văn hồn tồn trung thực, tn to khơng vi phạm điều luật sở hữu trí tuệ pháp luật Việt ie gh Nam Nếu sai, hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật p Tất tài liệu, báo, khóa luận, cơng cụ phần mềm tác giả khác sử dụng lại luận văn dẫn tường nl w d oa minh tác giả có danh mục tài liệu tham khảo nf va an lu Thái Nguyên, ngày 18 tháng năm 2017 lm ul Tác giả luận văn z at nh oi Nguyễn Quang Huy z m co l gm @ an Lu n va i ac th si LỜI CẢM ƠN Tác giả xin chân thành cảm ơn TS Trương Hà Hải, trường Đại học Công nghệ thông tin truyền thông - Đại học Thái Nguyên, giáo viên hướng dẫn khoa học hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này, xin cảm ơn thầy, cô giáo trường Đại học công nghệ thông tin truyền thơng nơi tác giả theo học hồn thành chương trình cao lu an học nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ va n Xin cảm ơn trường Cao đẳng Kinh tế - Tài Thái Nguyên nơi to gh tn tác giả công tác tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành chương trình học tập p ie Và cuối xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên, luận văn d oa nl w giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành nf va an lu Xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, ngày 18 tháng năm 2017 lm ul z at nh oi Tác giả luận văn Nguyễn Quang Huy z m co l gm @ an Lu n va ii ac th si DANH SÁCH HÌNH VẼ 1.1 Vùng hút Lorenz 1.2 Vùng hút Rossler 11 1.3 Vùng hút Rabinovich-Fabrikant 12 1.4 Vùng hút Mạch Chua 13 1.5 Mô tả phân tách quỹ đạo 15 1.6 Mô tả thay đổi hình cầu điều kiện ban đầu qua lu an ánh xạ 16 Vùng ổn định phương pháp RK4 18 1.8 Biểu đồ hội tụ phương pháp Euler phương pháp RK4 21 gh Mô tả q trình phân tách quỹ đạo có nhiễu nhỏ ban đầu 32 n va 1.7 tn to p ie 2.1 3.1 Không gian pha hệ Rabinovich - Fabrikant với a = nl w Không gian pha hệ Rabinovich - Fabrikant với a = an lu 3.2 d oa 0.1, b = 0.98 giá trị ban đầu [0.1, 0.1, 0.1] Hệ hỗn loạn 41 0.1, b = 0.2715 giá trị ban đầu [0.1, 0.1, 0.1] Hệ không nf va hỗn loạn 41 lm ul 3.3 Không gian pha hệ Rabinovich - Fabrikant với a = z at nh oi 0.1, b = 0.5 giá trị ban đầu [0.1, 0.1, 0.1] Hệ không hỗn loạn 42 Không gian pha hệ Rabinovich - Fabrikant với a = z 3.4 @ m co l gm −1, b = −0.1 giá trị ban đầu [0.1, 0.1, 0.1] Hệ hỗn loạn 42 an Lu n va iii ac th si DANH SÁCH BẢNG lu an 1.1 Tỷ số khó trung bình hệ nghiên cứu luận văn 19 2.1 Bảng Butcher dạng tổng quát 23 2.2 Bảng butcher phương pháp Euler 23 2.3 Bảng Butcher phương pháp RK4 2.4 Bảng Butcher phương pháp RK ẩn hai giai đoạn 25 2.5 Bảng Butcher phương pháp IRK8 27 2.6 Các hệ số bảng Butcher IRK8 27 3.1 Số mũ Lyapunov hệ theo tài liệu công bố 38 24 n va tn to Tính tốn số mũ Lyapunov hệ Lorenz 38 Tính tốn số mũ Lyapunov hệ Rossler 40 3.4 3.5 Tính tốn số mũ Lyapunov lớn mạch Chua 42 p 3.3 ie gh 3.2 Tính tốn số mũ Lyapunov hệ RF 40 d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va iv ac th si tác giả cần lập trình hàm tính tốn độ khó f unctionstif f nessCalculator(), số kết hình vẽ quỹ đạo nghiệm trường hợp tham số khác chương trước lập trình đầy đủ Chi tiết chương trình cài đặt ngơn ngữ Matlab tham khảo phụ lục đính kèm luận văn Cần phải nhắc lại hai phương pháp giải số RK4 IRK8 sử dụng cho thuật tốn OS, với thuật tốn CGSO chúng tơi sử dụng phương pháp RK4 để tránh thời gian tính toán lâu Bảng 3.2 tập hợp kết tính tốn số mũ Lyapunov luận văn lu an cho hệ Lorenz Nó bao gồm giái trị sử dụng với tEnd , t1 số n va giá trị ban đầu Bảng 3.3 liệt kê số mũ Lyapunov tính tốn cho hệ to tn Rossler tEnd , t1 số giá trị ban đầu sử dụng Bảng 3.4 ie gh bao gồm kết tính tốn cho hệ Rabinovich-Fabrikant với p số sử dụng, tEnd , t1 số giá trị ban đầu Cuối bảng nl w 3.5 thể số mũ Lyapunov lớn hệ Chua giá trị d oa cài đặt cần thiết Các giá trị số mũ Lyapunov hệ 3.1 nf va an lu tài liệu tham khảo liệt kê bảng 3.1 Kết tính tốn với hệ Lorenz lm ul Việc nghiên cứu cài đặt tính tốn số mũ Lyapunov hệ Lorenz đảm z at nh oi bảo đắn kết hội tụ đến kết công bố, chẳng hạn Sprott [26] Việc cài đặt thuật toán phân tách quỹ đạo cho z kết gần với kết Sprott công bố, λ = 0.9056 @ l gm Tác giả nhận nhiều kinh nghiệm việc cài đặt việc sử dụng thời gian kết thúc tEnd , sử dụng nhiều quỹ đạo để tính co m tốn từ tập ban đầu ngẫu nhiên lấy kết trung bình Chúng an Lu tơi thấy với 1000 tập giá trị ban đầu ngẫu nhiên t1 = 20, n va 37 ac th si tEnd = 1000 kiện thiết lập đủ để kết đảm bảo hội tụ kết cơng bố Bảng 3.2 tập hợp kết tính toán Bảng 3.1: Số mũ Lyapunov hệ theo tài liệu cơng bố Thuật tốn Hệ động lực Số mũ Lyapunov Nguồn 0.9056 OS Lorenz Sprott [26] −14.5723 0.0714 OS Rossler Sprott [26] −5.3943 0.3271 OS Chua Sprott [26] lu −2.5197 an va Khác 0.23 Chua Matsumo [21] n −1.78 gh tn to p ie Bảng 3.2: Kết tính tốn số mũ Lyapunov hệ Lorenz với tham số δ = 10, β = 83 , ρ = 28 tham số phương pháp t0 = 0, h = 0.01 Phương Số tập giá trị Thuật toán t1 TEnd Số mũ Lyapunov pháp giải số ban đầu 20 1000 1000 0.905744684705866 RK4 20 1000 2000 0.905761423985076 IRK8 20 1000 1000 0.905758237263004 d oa OS RK4 nl OS w OS lu RK4 an CGSO 0.895462506170606 1000 1000 0.002098916817564 nf va RK4 500 1000 0.004195827397323 −14.556179060698607 z at nh oi CGSO RK4 0.885311976076725 lm ul CGSO −14.564258489126374 1000 0.885137292321675 0.004284019108387 500 −14.556134884379532 z @ gm Với thuật toán phân tách quỹ đạo OS, việc gấp đôi số tập giá trị ban co l đầu lên 2000 có hiệu nhỏ Tính tốn số mũ Lyapunov địi hỏi m tiến trình tính tốn lớn Thực tế gấp đơi số quỹ đạo thời gian an Lu tính tốn gấp đơi, kết thay đổi không đáng kể 1000 2000 tập điểm giá trị ban đầu 1000 đủ IRK8 RK4 n va 38 ac th si sử dụng thuật toán để đưa kết so sánh với nhau, tính tốn hệ khác sử dụng hai phương pháp giải số chọn phương pháp dựa thời gian thực tế tốt Việc cài đặt thực thuật toán trực chuẩn Gram-Schmidt CGSO mang lại kết λ1 , λ2 không tương ứng với kết thuật toán phân tách quỹ đạo OS Tuy nhiên kết λ3 luận văn gần với kết λ3 ≈ −14.5723 công bố [22] Ngồi việc tính tốn với số quỹ đạo khác để lấy trung bình tEnd giảm xuống 500 thực Điều ảnh hưởng lên λ1 λ2 : λ1 lu an cách xa giá trị tính thuật tốn phân tách quỹ đạo kết n va Sprott λ2 tăng gấp đơi tiến Vì rõ ràng to tn cần trì 1000 quỹ đạo tEnd = 1000 cho tính tốn với Kết tính tốn với hệ Rossler nl w 3.2 p ie gh hệ sau dựa kết phân tích d oa Một hệ ODEs ba chiều có λ1 > phải có λ2 = trường hợp an lu hệ bị chặn Lưu ý Sprott [26] đặt λ2 = theo tính chất lý thuyết mà khơng tính tốn Điều cho thấy tính nf va tốn luận văn cho kết khác khơng chút sai lm ul Mặc dù có sai khác với λ2 vậy, giá trị tính tốn với λ1 z at nh oi hai thuật toán gần với kết Sprott 0.0714 Trong với hệ Lorenz giá trị có sai khác nhiều Thuật tốn trực chuẩn z hóa Gram - Schmidt liên tục cho λ3 gần với kết Sprott @ (3.2.1) m co λ1 + λ2 + λ3 = trace(J) l gm (tính theo lý thuyết) −5.3943 Sprott tính λ3 xuất phát từ tính chất thức (3.2.1) Chi tiết kết xem bảng 3.3 an Lu nên sau đặt λ2 = tính tốn λ1 , Sprott suy λ3 từ công n va 39 ac th si Bảng 3.3: Kết tính toán số mũ Lyapunov hệ Rossler với tham số a = 0.2, b = 0.2, c = 5.7 bước lưới h = 0.01 Phương Số tập giá trị Thuật toán t1 TEnd Số mũ Lyapunov pháp giải số ban đầu OS RK4 20 1000 1000 0.071015024065389 OS IRK8 20 1000 2000 0.071005884751426 0.071265371260077 CGSO RK4 1000 1000 0.004274602121437 −5.398739627693884 3.3 Tính tốn số mũ Lyapunov hệ Rabinovich - Fabrikant lu Hệ Rabinovich - Fabrikant biểu tượng khác an n va tranh pha phụ thuộc vào số a, b sử dụng Có thể xem tranh pha hệ hình 3.1, 3.2, 3.3 3.4 tn to để thấy rõ thêm điều Luo [20] so sánh nhiều tranh gh p ie pha nhiều tập tham số khác w Hình 3.2 cho thấy hệ xuất vùng hút, với tham oa nl số hệ chưa phải hệ hỗn loạn Ở hình 3.3 xuất hội tụ d điểm cố định, tương ứng việc tính tốn λ1 âm Hình ảnh 3.1 lu nf va an 3.4 cho thấy hệ hỗn loạn với vùng hút thể Cùng với tính tốn cho thấy hệ xuất số mũ Lyapunov dương Chi tiết lm ul tính tốn số mũ Lyapunov hệ trường hợp liệt kê z at nh oi bảng 3.4 z Bảng 3.4: Kết tính toán số mũ Lyapunov hệ Rabinovich - Fabrikant sử dụng thuật toán OS phương pháp giải số IRK8 với bước lưới h = 0.01 Số tập giá trị Tham số a, b t1 TEnd Số mũ Lyapunov ban đầu gm @ 0.1, 0.98 20 1000 1000 0.023375301581978 0.1, 0.5 20 1000 2000 -0.081743950195497 1000 1000 -0.035868531917007 1000 1000 0.071203019400215 20 m −1, −0.1 co 0.1, 0.2715 l an Lu n va 40 ac th si Hình 3.1: Không gian pha hệ Rabinovich - Fabrikant với a = 0.1, b = 0.98 giá trị ban đầu [0.1, 0.1, 0.1] Hệ hỗn loạn lu an n va p ie gh tn to w d oa nl Hình 3.2: Khơng gian pha hệ Rabinovich - Fabrikant với a = 0.1, b = 0.2715 giá trị ban đầu [0.1, 0.1, 0.1] Hệ không hỗn loạn an lu 3.4 Kết tính tốn số mũ Lyapunov mạch Chua nf va lm ul Hệ ODEs cuối nghiên cứu luận văn mạch Chua 100 , a = − 87 b = − 75 Với giá trị z at nh oi với tham số α = 9, β = tham số này, số mũ Lyapunov lớn hệ dương hệ hỗn loạn Hình 1.4 tranh pha mạch Chua với tham số z gm @ Kết tính tốn số mũ Lyapunov lớn sử dụng thuật toán phân tách quỹ đạo OS phương pháp giải số cho bảng l m co 3.5 an Lu n va 41 ac th si lu Hình 3.3: Khơng gian pha hệ Rabinovich - Fabrikant với a = 0.1, b = 0.5 giá trị ban đầu [0.1, 0.1, 0.1] Hệ không hỗn loạn an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu lm ul z at nh oi Hình 3.4: Khơng gian pha hệ Rabinovich - Fabrikant với a = −1, b = −0.1 giá trị ban đầu [0.1, 0.1, 0.1] Hệ hỗn loạn z @ Thuật toán Phương pháp giải số t1 TEnd Số tập giá trị ban đầu OS IRK8 20 1000 1000 0.326602252020003 OS RK4 20 1000 1000 0.326746202448946 Số mũ Lyapunov m co l gm Bảng 3.5: Tính tốn số mũ Lyapunov lớn mạch Chua sử dụng thuật toán OS phương pháp giải số IRK8 với tham số α = 9, β = 100 , a = − b = − bước lưới h = 0.01 an Lu n va 42 ac th si KẾT LUẬN CHUNG Dưới bảo Giáo viên hướng dẫn, vào đề cương luận văn phê duyệt, luận văn đạt số nhiệm vụ sau: (1) Tìm hiểu tính chất hỗn loạn hệ động lực, mơ hình hóa hệ phương trình vi phân thường Có nhiều định nghĩa khác lu hỗn loạn tựu chung lại hệ phải thể an n va nhạy cảm với điều kiện ban đầu, khơng có hành vi tuần hoàn ban đầu đo qua số mũ Lyapunov Nếu hệ tồn số mũ gh tn to thời gian dài, bị chặn Trong hành vi nhạy cảm với điều kiện p ie Lyapunov dương hệ hỗn loạn theo định nghĩa Alligood nl w [5] d oa Luận văn tìm hiểu hệ động lực sử dụng để tính toán an lu số mũ Lyapunov nghiên cứu định nghĩa số mũ Lyapunov nf va hệ động lực nói chung Các tính chất phương pháp giải số cần quan tâm trước định sử dụng tìm lm ul hiểu chặt chẽ: Tính khó, tính hội tụ độ xác z at nh oi phương pháp số (2) Nội dung chương hai tập chung nghiên cứu hai phương pháp giải z gm @ số hệ phương trình vi phân thường hai thuật tốn tính số mũ Lyapunov Hai phương pháp giải số nghiên cứu phương pháp l m co RK4 IRK8 Sau sử dụng hai phương pháp để áp dụng giải vấn đề giải số hệ phương trình vi phân trình an Lu thực hai thuật tốn tính số mũ Lyapunov Hai thuật tốn tính n va 43 ac th si số mũ Lyapunov nghiên cứu tìm hiểu thuật tốn phân tách quỹ đạo (OS) thuật tốn trực chuẩn hóa liên tục Gram-Smicht (CGSO) Thuật toán thứ đơn giản cho ta đầu số mũ Lyapunov lớn hệ Nó cho phép đo hệ động lực có phải hệ hỗn loạn khơng Cịn thuật tốn thứ hai phức tạp tính tồn số mũ Lyapunov hệ theo hướng sở trực chuẩn Vì phức tạp tính tốn mà thuật tốn thứ hai sử dụng phương pháp RK4 có độ xác thấp IRK8 thời gian tính toán chấp nhận lu an (3) Khi nghiên cứu đầy đủ phương pháp thuật toán, tác giả va n luận văn tiến hành cài đặt thực môi trường Matlab Các gh tn to kết thu hệ động lực so sánh với kết p ie công bố phân tích ý nghĩa kinh nghiệm nl w trình cài đặt oa Trên sở kết đạt được, tiếp tục nghiên cứu d luận văn tảng tốt để nghiên cứu thêm số vấn đề sau: an lu nf va • Các phương pháp giải số hệ phương trình vi phân thường z at nh oi lm ul • Hệ động lực, tính chất hỗn loạn hệ động lực • Các ứng dụng hệ động lực hỗn loạn việc tạo số ngẫu nhiên, mã hóa z m co l gm @ an Lu n va 44 ac th si TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Kỳ Anh, Giải tích số NXB Đại học Quốc gia Hà Nội , 2008 [2] Vũ Tuấn, Đồn Văn Ngọc , Phương trình vi phân NXB Giáo dục, 1996 [3] Nguyên Thị Mơ Sử dụng phương pháp Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định phương trình vi phân số mơ hình ứng dụng lu Luận văn thạc sĩ, Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2012 an n va [4] Nguyễn Đình Cơng, Lý thuyết hệ động lực ngẫu nhiên NXB Đại tn to học Quốc gia Hà Nội, 2002 ie gh [5] K T Alligood, T D Sauer and J A Jorke, Chaos: An Introduction p to Dynamical Systems Springer, 1996 oa nl w [6] E Bress, J M Gruber and Directors, The Butterfly Effect d [7] J Butcher, Implicit Runge - Kutta processes Math Comp 18, lu nf va an 85(1964), 50- 64 [8] J Butcher, Numerical Methods for Ordinary Differential Equa- z at nh oi lm ul tions.Wiley, 2008 [9] F Christiansen and H Rugh, Computing lyapunov spectra with continuous gram-schmidt orthonormalization Nonlinearity 10(1997), z gm @ 1063-1072 l [10] M F Danca A multistep algorithm for odes Dyn Cont Disc Imp m co Sys 13 (2006), 803-821 of dissipative medium 3409-3447 an Lu [11] M F.Danca and G ChenBifurcation and chaos in a complex model n va 45 ac th si [12] R L Devanley An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, second ed Westview, 2003 [13] J GLeick Chaos Penguin, 1988 [14] E Hairer and G Wanner Solving Ordinary Differential Equations II Springer -Verlag, 1996 [15] W B Hayer Rigorous Shadowing of Ordinary Differential Equations by Containment PhD thesis, University of Toronto, 2001 lu [16] W.B Hayer, K R Jackson and C Young Rigorous high-dimensional an shadowing using containment: The general case Discrete Contin va n Dyn S 14, (2006), 329-342 tn to [17] A Iserles A First Course in the Numerical Analysis of Differential gh p ie Equations Cambridge University Press, 2004 nl w [18] W.Liniger and R A WilLoughby Efficient integration methods for d oa stiff systems of ordinary differential equations SIAM J Numer an lu Anal (1970), 47-66 lm ul (1963), 130-141 nf va [19] E N Lorenz Deterministic nonperiodic flow J Atmos Sci 20 z at nh oi [20] X Luo, M Small, M F Danca and G Chen, On a dynamical system with multiple chaotic attractors Int J Bif Chaos 17 (2007), 3235 z - 3251 @ l gm [21] T Matsumoto, L.O Chua and M Komuro The double scroll IEEE Trans Circuits Syst CAS-32, (1985), 798 - 818 m co an Lu [22] C Meador Numerical methods, phase plots, and the rabinovichfabrikant system May 2009 Senior Thesis, Marshall University n va 46 ac th si [23] J Murray Mathematical Biology: I An Introduction, third ed Springer, 2002 [24] S A Sarra Personal communication [25] S A Sarra and C Meador On the solution of chaotic dynamical systems using extend precision floating point arithmetic and very high order numerical methods 2011 [26] J C Sprott Chaos and Time-Series Analysis Oxford University Press, 2003 lu an [27] S H Strogatz Nonlinear Dynamics and Chaos Westview Press, va n 2000 tn to [28] P Thomson Numerical Weather Analysis and Prediction The gh p ie Macmillan Company,1961 nl w [29] W.Tucker The lorenz attractor exists C R Acad Sci Paris 328 d oa (1999), 1197-1202 nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va 47 ac th si PHỤ LỤC Hàm RK4 hàm IRK8 cài đặt phương pháp giải số Hàm RK4 function v = rk4(V,t,k,F) lu s1 = feval(F,V,t); an s2 = feval(F,V+k*s1/2,t+k/2); n va s3 = feval(F,V+k*s2/2,t+k/2); to gh tn s4 = feval(F,V+k*s3,t+k); p ie v = V+k*(s1+2*s2+2*s3+s4)/6; w d oa nl Hàm IRK8 lu MAXIT=250; end nf va an function v = gauss8newton (V, dt ,F, J ,TOL,MAXIT) if nargin