(Luận văn) miền ổn định của hệ động lực liên tục

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————–o0o——————– PHẠM HỒNG QUÂN lu an va n MIỀN ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC LIÊN TỤC p ie gh tn to d oa nl w lu nf va an LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va Hà Nội - 2020 ac th si ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————–o0o——————– PHẠM HỒNG QUÂN lu an MIỀN ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC LIÊN TỤC n va p ie gh tn to w Chuyên ngành: Toán ứng dụng 84 60112 01 d oa nl Mã số: nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul Người hướng dẫn: PGS TSKH Vũ Hoàng Linh Chủ tịch hội đồng: GS TS Nguyễn Hữu Dư z m co l gm @ an Lu n va Hà Nội - 2020 ac th si Mục lục Lời cảm ơn iii Danh sách hình vẽ iv lu Chương Kiến thức chuẩn bị an Mở đầu n va Hệ động lực phi tuyến 1.2 Tính ổn định 1.3 Lý thuyết hàm Lyapunov 12 p Lý thuyết hàm lượng 15 1.4.1 w Hàm lượng 15 1.4.2 Hàm lượng cho hệ động lực cấp hai 18 ie gh tn to 1.1 1.4 d oa nl lu 23 nf va tục an Chương Miền ổn định tựa ổn định hệ động lực liên Điểm cân biên ổn định 23 2.2 Đặc trưng biên ổn định 31 2.3 Miền tựa ổn định đặc trưng biên tựa ổn định 35 2.4 Thuật toán xác định biên ổn định 39 z at nh oi lm ul 2.1 z 46 Tập mức đặc trưng điểm cân không ổn định gần gm 3.1 @ Chương Ước lượng miền ổn định hệ động lực liên tục 46 3.2 Miền tựa ổn định hàm lượng 50 3.3 Ước lượng miền ổn định theo hàm lượng địa phương m co l an Lu n va i 52 ac th si Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 62 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ii ac th si Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội hoàn thành hướng dẫn PGS TSKH Vũ Hồng Linh Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc chân thành tới thầy giáo hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều tâm huyết, thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Lãnh đạo Khoa Toán - Cơ - Tin học, Bộ mơn Tốn học tính lu tốn Tốn ứng dụng, giảng viên tham gia giảng dạy, tạo an điều kiện tốt để học tập nghiên cứu Đồng thời, xin va n gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Tốn học (khóa 2018-2020), cảm ơn gia tn to đình, bạn bè quan chủ quản động viên, giúp đỡ nhiều gh trình học tập p ie Hà Nội, ngày 10 tháng 11 năm 2020 d oa nl w Học viên nf va an lu Phạm Hồng Quân z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va iii ac th si Danh sách hình vẽ 1.1 Minh họa định nghĩa ổn định Lyapunov 1.2 Minh họa định nghĩa ổn định tiệm cận 1.3 Mô tả đa tạp ổn định địa phương đa tạp không ổn định địa phương điểm cân lu an 1.4 Quan hệ không gian ổn định không gian không va ổn định với đa tạp ổn định đa tạp không ổn định điểm n cân hyperbolic Đa tạp ổn định không ổn định (0, 0); không gian riêng ổn định không ổn định tương ứng ie gh tn to 1.5 p 1.6 12 Minh họa quan hệ hình cầu mở hình cầu đóng chứng minh Định lý 1.11 13 nl w Giao đa tạp không ổn định x1 đa tạp ổn định 2.2 x2 khơng thỏa mãn điều kiện hồnh 29 Miền ổn định điểm cân ổn định (0, 0) Ví dụ 2.1 35 2.3 Minh họa khác miền ổn định miền tựa ổn định 38 2.4 Đường cong A B giới hạn miền ổn định xác định d oa 2.1 nf va an lu lm ul z at nh oi phương pháp khác Đường cong C biên ổn định thu 42 2.5 Bức tranh pha hệ (2.3) biên ổn định 43 2.6 Bức tranh pha hệ động lực Ví dụ 2.3 Biên ổn định z phương pháp @ gm đường in đậm màu đỏ Mối quan hệ mặt mức lượng S(r) giá trị co l 3.1 mức khác miền ổn định A(xs ) 48 Cấu trúc mặt mức lượng tăng giá trị mức 51 m an Lu 3.2 45 n va iv ac th si 3.3 Miền ổn định ước lượng theo mặt lượng 3.4 Bức tranh pha hệ Ví dụ 3.1 So sánh biên ước lượng biên ổn định định xác 3.5 55 56 Miền ổn định xác miền ổn định ước lượng Ví dụ 3.2 59 3.6 Miền ổn định ước lượng Ví dụ 3.3 60 3.7 Miền ổn định ước lượng biên ổn định xác Ví dụ 3.3 61 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va v ac th si Mở đầu Từ nhiều kỷ trước, việc nghiên cứu tính ổn định hệ động lực xem tốn khó hấp dẫn người, xuất nhiều lĩnh vực khác kinh tế, học, vật lý, kỹ thuật lu Cũng chủ đề rộng nên khái niệm độ ổn định an hình thành theo nhiều cách khác tùy thuộc vào mục đích nghiên cứu va n tính ổn định Trong đó, chủ đề quan trọng liên quan chặt tn to chẽ đến ổn định miền ổn định hệ động lực phi tuyến gh Trong thực tế, nhiều hệ thống vật lý kỹ thuật thiết kế để hoạt p ie động trạng thái cân Nói cách khác, cấu tạo để vận hành w điểm cân xung quanh điểm cân oa nl mơ tả q trình vận hành hệ động lực phi tuyến Yêu cầu quan trọng để vận hành thành công hệ thống trì ổn định d an lu trạng thái cân Tính ổn định địi hỏi chắn điểm cân nhiễu nhỏ tác động bên hệ thống gây nf va Nói cách khác, trạng thái hệ thống dần điểm cân lm ul nhiễu nhỏ định Tuy nhiên, hầu hết hệ thống vật lý kỹ thuật z at nh oi khơng ổn định tồn cục Có thể hiểu hệ thống quay trở lại trạng thái cân kích thước có giới hạn nhiễu Mặc dù vấn đề quen thuộc toán đặt làm để z tính miền ổn định xung quanh điểm cân hệ động lực cho @ gm trước Từ đó, cho phép hạn chế nhiễu nhỏ dao động bên l miền ổn định tính tốn Cho đến nay, có số phương pháp m co dùng tính tốn xấp xỉ miền ổn định hệ động lực phi tuyến cho trước hầu hết phương pháp dựa hàm lượng an Lu hàm Lyapunov, [4], [5], [9], [12] Tuy nhiên, cách tiếp n va ac th si cận không dựa hàm Lyapunov xem xét trình bày [5] Phương pháp cho phép tìm miền ổn định xác hệ động lực phi tuyến cho trước Một cách tiếp cận khác dựa phương pháp mặt mức ẩn tập mức nghiên cứu [7], [11] Trong luận văn này, chúng tơi trình bày “Miền ổn định hệ động lực liên tục” Cụ thể hơn, trình bày lý thuyết miền ổn định cách tìm miền ổn định phương pháp số Luận văn chia thành ba chương sau ˆ Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại số khái niệm ổn định tính chất liên quan Ngồi ra, lý lu an thuyết hàm lượng, hàm Lyapunov đề cập đến Các va lý thuyết sử dụng để ước lượng miền ổn định hệ động n lực phi tuyến có số chiều lớn Chương tập trung chủ yếu vào trình bày đặc trưng biên ổn p ie gh tn to ˆ Chương 2: Miền ổn định tựa ổn định hệ động lực liên tục định biên tựa ổn định hệ động lực Ở cuối chương, chỉnh d oa nl w đưa thuật toán để xác định biên ổn định cách hoàn an lu ˆ Chương 3: Ước tính miền ổn định hệ động lực liên tục Trong chương nf va cuối, tập trung vào phương pháp ước lượng miền ổn định hệ động lực cho trước dựa hàm lượng tập lm ul mức Bên cạnh đó, số thử nghiệm số thực cho số hệ z at nh oi động lực phi tuyến tiên tục có số chiều thấp đưa Các tài liệu sử dụng luận văn bao gồm số sách z báo tác giả Hsiao-Dong Chiang Luís Fernando Costa Alberto, @ gm [2], [4], [5], [12] Kết luận văn báo cáo seminar Bộ môn Tốn l học tính tốn Tốn ứng dụng, Khoa Tốn - Cơ - Tin học trình co bày Hội thảo Một số toán chọn lọc phương trình vi phân điều m khiển Viện Nghiên cứu cao cấp Toán tổ chức Tuần Châu, Quảng an Lu Ninh, ngày 05-07/11/2020 n va ac th si Chương Kiến thức chuẩn bị lu Trong chương thứ này, nhắc lại định nghĩa an tính chất tính ổn định hệ động lực Bên cạnh đó, lý thuyết hàm va Lyapunov, hàm lượng hệ động lực ứng dụng n tn to trình bày mục cuối chương Đây kiến thức sở gh cho nội dung chương sau Phần lớn nội dung chương trình p ie bày dựa tài liệu [1], [2], [4] [5] Hệ động lực phi tuyến oa nl w 1.1 d Trong chương này, xét hệ động lực phi tuyến (ô tô nôm) nf va an lu sau x˙ = f (x), (1.1) lm ul x ∈ Rn biến véctơ hàm f : Rn → Rn thỏa mãn điều kiện z at nh oi đảm bảo toán giá trị ban đầu (1.1) tồn nghiệm Trong luận văn này, giả thiết hàm f khả vi r lần đạo hàm liên tục Điều kiện đảm bảo với giá trị ban đầu x0 , z tồn khoảng cực đại I = (w− , w+ ) ⊂ R, ∈ I tồn @ gm hàm khả vi liên tục x(t) : I → Rn nghiệm phương trình (1.1) co l cho x(0) = x0 m Định lý 1.1 ([5]) Cho x(t) nghiệm phương trình (1.1) [0, w+ ] an Lu khoảng cực đại tồn nghiệm Khi đó, tồn tập compact n va ac th si kỳ tập compact, bất biến dương chứa tập w-giới hạn theo Định lý 1.13-1.14, tập w-giới hạn hệ động lực (3.1) chứa điểm cân nên tập S phải chứa điểm cân Điều mâu thuẫn với giả thiết Như vậy, chứng minh kết thúc Nhận xét 3.1 Nếu điểm cực tiểu Định lý tồn biên ổn định khơng thể điểm nguồn Thông thường, điểm cân loại Định lý 3.4 (Đặc trưng động lực, [4]) Giả sử hệ động lực phi tuyến (3.1) tồn hàm lượng Giả thiết thêm xs điểm cân lu ổn định A(xs ) miền ổn định tương ứng hệ (3.1) Khi đó, miền an ổn định A(xs ) khơng trù mật Rn hàm lượng đạt cực tiểu va n biên ổn định x ˆ W u (ˆ x) ∩ A(xs ) 6= ∅ tn to Chứng minh Giả thiết phản chứng đa tạp không ổn định điểm cân ie gh x ˆ không hội tụ điểm cân ổn định xs Theo Định lý 2.1, ta có p W u (ˆ x) ∩ A(xs ) 6= ∅ xˆ điểm hyperbolic Bây giờ, ta giả thiết tồn quỹ đạo nghiệm x(t) {W u (ˆ x) − xˆ} cho x(t) ∈ ∂A(xs ) lim x(t) = xˆ Vì hàm lượng đơn điệu giảm thực dọc theo quỹ đạo oa nl w t→−∞ d nghiệm không tầm thường nên suy tồn điểm khác biên lu an cho hàm lượng đạt giá trị thấp giá trị V (ˆ x) Điều vô lý nf va x ˆ điểm đạt giá trị cực tiểu hàm lượng biên ∂A(xs ) Do lm ul đó, định lý chứng minh z at nh oi Nhận xét 3.2 Nếu x ˆ điểm cân ổn định gần {W s (ˆ x) − xˆ} ∩ ∂A(xs ) 6= ∅ Thật vậy, điểm cân ổn định gần nằm biên ổn định nên Nhận xét suy trực tiếp từ Định lý 2.1 z @ Miền tựa ổn định hàm lượng l gm 3.2 co Mục tập trung trình bày mối quan hệ cấu trúc biên m tựa ổn định mặt mức lượng giá trị mức khác an Lu n va 50 ac th si x1 x1 x5 xco x5 xco xs xs xcl x2 xcl x2 A(xs ) tăng giá trị mức A(xs ) tăng giá trị mức x1 x1 lu an x5 n va x5 to xco xs ie gh tn xco xs p xcl x2 xcl x2 A(xs ) d oa nl w A(xs ) Hình 3.2: Cấu trúc mặt mức lượng tăng giá trị mức an lu nf va Mệnh đề 3.5 (Tính bị chặn, [4]) Giả sử hệ động lực phi tuyến liên tục lm ul mơ tả (3.1) có hàm lượng V (x) Giả sử A, ∂A Aq theo thứ tự miền ổn định, biên ổn định miền tựa ổn định điểm cân z at nh oi ổn định xs Đặt c = V (x), x ∈ ∂A ∩ E , với E tập điểm cân (3.1) Khi đó, giá trị c đạt điểm cân x ˆ ∈ Aq z với ε > đủ nhỏ, tập S(c + ε, xs ) chứa miền tựa ổn định, tức gm @ S(c + ε, xs ) ⊂ Aq l Chứng minh Giả sử x ˆ điểm cân hyperbolic loại k Khi đó, m co tồn hệ tọa độ địa phương (x1 , , xk , y1 , , yn−k ) xác định lân cận U x ˆ cho V (x, y) = c − |x|2 − |y|2 hệ tọa độ Đặt an Lu n va 51 ac th si H(ε) hình chữ nhật lân cận xˆ xác định sau H(ε) := {(x, y) ∈ U : |y|2 < ε, |x|2 ≤ 2ε} Ta có S(c + ε, xs ) đồng phôi với S(c − ε, xs ) ∪ H(ε) Mặt khác, H(ε) S(c − ε, xs ) tập compact Do đó, S(c + ε, xs ) tập compact Điều có nghĩa S(c + ε, xs ) bị chặn Nếu x ˆ ∈ Aq = int A, suy H(ε) ⊂ int A với ε đủ nhỏ Tuy nhiên, S(c − ε, xs ) ⊂ int A Vì thế, H(ε) ∪ S(c − ε, xs ) ⊂ int A Cho ε → 0+ , ta đến kết luận S(c + ε, xs ) ⊂ int A Mệnh đề 3.6 ([4]) Giả sử hệ động lực phi tuyến liên tục dạng (3.1) có lu an hàm lượng V (x) A, ∂A Aq miền ổn định, biên ổn định va miền tựa ổn định xs Đặt c = V (x), x ∈ ∂A ∩ E , với E tập n điểm cân (3.1) Nếu giá trị c đạt điểm cân ie gh tn to xˆ ∈ Aq S(c + ε, xs ) không liên thông đơn liên p 3.3 Ước lượng miền ổn định theo hàm lượng oa nl w địa phương d Mục trình bày cách ước lượng biên ổn định ∂A(xs ) miền ổn lu an định A(xs ) dựa hàm lượng hàm lượng địa phương Xuyên nf va C suốt mục này, sử dụng A (xs ) ký hiệu phần bù tập A(xs ) z at nh oi lm ul S(m, ˆ xs ) thành phần số thành phần liên thông S(m) ˆ chứa điểm cân ổn định xs Định lý 3.7 (Ước lượng tối ưu, [5]) Xét hệ động lực phi tuyến liên tục (3.1) thỏa mãn giả thiết (A1) có hàm lượng V (x) Giả sử xs điểm cân z ổn định tiệm cận có miền ổn định A(xs ) khơng trù mật Rn Ký @ gm hiệu cˆ = V (xi ), xi ∈ ∂A(xs ) ∩ E , với E tập điểm cân co l hệ động lực (3.1) Khi đó, m (1) S(ˆ c, xs ) ⊂ A(xs ) an Lu C (2) tập {S(b, xs ) ∩ A (xs )} tập khác rỗng với b > cˆ n va 52 ac th si Định lý khẳng định thành phần liên thông S(ˆ c, xs ) với cˆ = V (xi ) xấp xỉ tốt miền ổn định A(xs ) dựa mặt mức lượng Tiếp sau đây, ta trình thuật toán xấp xỉ miền ổn định A(xs ) Thuật toán ước lượng miền ổn định theo hàm lượng (A) Xác định giá trị mức hàm lượng (A-1) Tìm tất điểm cân hyperbolic (A-2) Sắp xếp điểm cân có giá trị V (.) lớn V (xs ) theo thứ tự tăng dần lu an (A-3) Trong số điểm cân đó, tìm điểm cân có giá trị hàm va lượng thấp mà có đa tạp không ổn định chứa quỹ đạo n nghiệm hội tụ đến điểm cân ổn định xs Ký hiệu điểm to gh tn xˆ p ie (A-4) Giá trị hàm lượng x ˆ giá trị mức tới hạn hàm lượng (tức V (ˆ x)) w oa nl (B) Ước lượng miền ổn định A(xs ) d (B-1) Thành phần liên thông tập {x : V (x) ≤ V (ˆ x)} chứa điểm cân lu nf va an ổn định xs miền ổn định ước lượng Để làm sáng tỏ thuật tốn trên, ta xét ví dụ đơn giản sau lm ul Ví dụ 3.1 ([4]) Xét hệ động lực vi phân sau z at nh oi x˙ = − sin x1 − 0.5 sin(x1 − x2 ) + 0.01 (3.4) x˙ = − 0.5 sin x2 − 0.5 sin(x2 − x1 ) + 0.05 z @ Giải f (x1 , x2 ) = Matlab, ta thu (0.02801, 0.06403) gm điểm cân ổn định ta ước lượng miền ổn định điểm cân l co Bên cạnh đó, ta thu điểm cân khác, tất m số điểm cân hyperbolic nằm biên ổn định an Lu (0.02801, 0.06403) Trong số điểm này, có sáu điểm cân hyperbolic n va 53 ac th si loại sáu điểm nguồn Khơng cần tính tốn, theo Định lý 2.11, ta dự đốn miền ổn định điểm cân (0.02801, 0.06403) miền bị chặn Ta sử dụng V (x1 , x2 ) := −2 cos x1 −cos x2 −cos(x1 −x2 )−0.02x1 − 0.1x2 hàm lượng hệ (3.4) Thật vậy, khơng khó để ta kiểm tra lại việc thỏa mãn tính chất (1)-(3) hàm lượng trình bày Mục 1.4 Ký hiệu xs = (xs1 , xs2 ) điểm cân ổn định có miền ổn định mà ta cần ước lượng Dễ dàng có quan sát sau (i) Có tất sáu điểm cân hyperbolic loại nằm miền lu an {(x1 , x2 ) : xs1 − π < x1 < xs1 + π, xs2 − π < x2 < xs2 + π} n va tn to (ii) Điểm cân (0.04667, 3.11489) điểm cân có giá trị hàm lượng thấp gh p ie (iii) Giá trị mức tới hạn hệ −0.31329 nl w Bằng cách sử dụng hàm contour Matlab, ta thu mặt mức oa lượng Hình 3.3 Tuy nhiên, có thành phần liên thông d chứa xs Bên cạnh đó, Hình 3.4 so sánh biên ổn định xác biên ổn lu nf va an định ước lượng thu Thuật tốn vừa trình bày u cầu tính tốn giá trị điểm lm ul cân không ổn định gần Một vấn đề đặt xuất z at nh oi hai hay nhiều hai điểm cân hệ có giá trị hàm lượng V Tuy nhiên, theo [4], [5], tất điểm cân hệ động lực có giá trị hàm lượng phân biệt Điều có nghĩa điểm cân z khơng ổn định gần nhất @ gm Như biết nhiều hệ động lực phi tuyến không tồn l hàm lượng tồn cục, việc xây dựng hàm lượng để thuật m co tốn hoạt động khơng thể Tuy nhiên, vấn đề khắc phục việc sử dụng hàm giống hàm lượng xung quanh điểm cân an Lu Do đó, đề xuất phương pháp ước lượng miền ổn định n va 54 ac th si lu an va n Hình 3.3: Miền ổn định ước lượng theo mặt lượng tn to ie gh hệ động lực phi tuyến tổng quát liên lục mà hàm lượng p tổng quát Trước bắt đầu phương pháp này, ta giới thiệu định nghĩa nl w hàm lượng địa phương oa Định nghĩa 3.8 Hàm số V : Rn → R gọi hàm lượng địa d phương tập mở W thỏa mãn hai điều kiện sau tập mở W lu nf va an chứa điểm cân ổn định xs ∈ W , (1) đạo hàm hàm V (x) dọc theo quỹ đạo nghiệm x(t) không V˙ (x(t)) ≤ 0, z at nh oi lm ul dương, tức (2) x(t) quỹ đạo nghiệm tầm thường (tức là, x(t) điểm z cân bằng), dọc theo quỹ đạo nghiệm x(t), tập {t ∈ R : V˙ (x(t)) = 0} gm @ có độ đo không R l Từ định nghĩa trên, ta dễ dàng thấy hàm lượng địa m co phương V (x) thỏa mãn hai điều kiện đầu định nghĩa hàm lượng an Lu toàn cục Bây giờ, ta giả sử V (x) hàm lượng địa phương xung quanh điểm cân tiệm cận ổn định xs S(d, xs ) thành phần liên n va 55 ac th si lu an va n Hình 3.4: Bức tranh pha hệ Ví dụ 3.1 So sánh biên ước lượng biên gh tn to ổn định định xác p ie thông chứa xs tập {x ∈ Rn : V (x) < d} Rõ ràng, tập nằm trọn vẹn tập mở W nằm miền ổn định A(xs ) Ký hiệu dˆ nl w ˆ xs ) số lớn cho điều kiện thỏa mãn, tập S(d, d oa ước lượng cực đại miền ổn định Ngoài ra, giá trị dˆ gọi giá trị lu mức tối ưu ứng với hàm lượng địa phương V (.) Tuy nhiên, ta ý phương khác nf va an giá trị mức dˆ khơng giá trị mức tối ưu với hàm lượng địa lm ul Trong phần sau đây, chúng tơi tập trung trình bày phương pháp xấp lượng toàn cục z at nh oi xỉ miền ổn định hệ động lực phi tuyến tổng quát không tồn hàm Bước 1: Xây dựng hàm lượng địa phương V (.) xung quanh điểm cân z ổn định xs Ký hiệu S(d, xs ) thành phần liên thông chứa xs tập @ gm {x ∈ Rn : V (x) ≤ d} l Bước 2: Xác định giá trị mức V (.) xs cho điều kiện co (1)-(2) thỏa mãn với x ∈ {S(d, xs )} − {xs }, từ xác định giá trị mức m tối ưu dˆ an Lu Bước 3: Ước lượng miền ổn định A(xs ) dựa theo hàm lượng địa phương n va 56 ac th si ˆ V (.) Thành phần liên thơng S(d, xs ) chứa xs {x : V (x) ≤ d} miền ổn định ước lượng A(xs ) Để chi tiết hơn, giới thiệu kỹ thuật tiếng xây dựng hàm lượng địa phương V (x) xung quanh điểm cân ổn định xs Kỹ thuật nghiên cứu trình bày tài liệu [4], [5], [12] cơng việc thực Bước Cụ thể, ta giải phương trình ma trận Lyapunov B sau Bước J T B + BJ = −C, đó, J ma trận Jacobi Df xs C ma trận đối xứng, xác lu định dương Thông thường, ta chọn C ma trận đơn vị Tiếp theo, ta an xây dựng hàm lượng địa phương có dạng hàm tồn phương va n sau V (x) := xT Bx Khi đó, giả sử tồn tập mở W cho to ie gh tn V˙ (x) = 2f (x)T Bx < 0, p với x ∈ {W − xs } Sau bước này, ta xác định giá trị mức tối ưu cho hàm lượng địa phương ước lượng miền ổn định dựa tập mức w oa nl hàm lượng vừa xây dựng d Sau đây, ta đưa hai ví dụ để thử nghiệm thuật tốn vừa trình an lu bày hệ động lực có số chiều khơng q cao Ví dụ thứ hệ liên tục ba chiều nf va động lực phi tuyến hai chiều, cịn ví dụ cịn lại hệ động lực phi tuyến lm ul Ví dụ 3.2 Xét hệ phương trình Vanderpol sau z at nh oi x˙ = − x2 z x˙ = x1 − (1 − x21 )x2 @ gm Dễ dàng kiểm tra (0, 0) điểm cân ổn định hệ co l ta ước lượng miền ổn định điểm cân ổn định (0, 0) Ta có ! −1 + 2x1 x2 x21 − m n va 57 an Lu J(x1 , x2 ) = ac th si Thay C ma trận đơn vị, từ J(0, 0)T B + BJ = −I ta nhận ! B= 0.593 −0.182 −0.182 0.437 Do đó, hàm lượng địa phương  V (x1 , x2 ) = x1 x2  ! 0.593 −0.182 −0.182 0.437 x1 x2 ! =0.593x21 − 0.364x1 x1 + 0.437x22 Ta có lu ∂V ∂V x˙ + x˙ V˙ (x) = ∂x1 ∂x2 =(1.186x1 − 0.364x2 )(−x2 ) + (0.752x2 − 0.364x1 )(x1 − (1 − x21 )x2 ) an n va toán tối ưu khác để tìm giá trị lớn dˆ Bài tốn tối ưu tn to Giá trị mức tới hạn V (x1 , x2 ) (0, 0) Thực tế, ta cần đến ie gh khó để giải Thơng thường, ta giả thiết giá trị tới hạn dˆ = p cố gắng tối ưu hóa hàm lượng Lyapunov thơng qua tốn w khác thay tối ưu hóa giá trị tới hạn dˆ Đây toán lớn nên ta oa nl không xét Sử dụng mặt lượng hằng, thành phần liên thông d tập {x : V (x1 , x2 ) < 1} chứa điểm cân ổn định (0, 0) miền ổn an lu định ước lượng nf va Hình 3.5 biểu diễn miền ổn định ước lượng thu miền ổn định lm ul xác Dễ dàng thấy miền ổn định ước lượng thu giới hạn đường in đậm màu xanh nằm hoàn toàn miền ổn định (0, 0) (tức z at nh oi đường in đậm màu đỏ) Tiếp theo, ta xét ví dụ hệ động lực phi tuyến liên tục ba chiều z Đây hệ tiếng, nghiên cứu [3], [4], [5], [7] [12] @ gm Ví dụ 3.3 Xét hệ động lực co l x˙ = − x2 m x˙ = − x3 an Lu x˙ = − 0.915x1 + (1 − 0.915x21 )x2 − x2 n va 58 ac th si lu an n va p ie gh tn to Hình 3.5: Miền ổn định xác miền ổn định ước lượng Ví dụ 3.2 oa nl w Hệ có điểm cân ổn định (0, 0) miền ổn định điểm cân d  −1  0 −1  −0.915 − 1.83x1 x2 − 0.915x21 −1 nf va an lu cần xấp xỉ Ta có  z at nh oi lm ul  J(x1 , x2 , x3 ) =   Bằng cách giải phương trình J T B + BJ = −I , với J = J(0, 0, 0), ta thu z 12.5 −8.1  gm @  −8.5 13.4 m co l    B= −8.1 20.8 −8.5   an Lu n va 59 ac th si Tương tự ví dụ trên, ta xây dựng hàm lượng địa phương sau     x1   V (x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 x3 B  x2  x3 Giá trị mức tới hạn V (x1 , x2 , x3 ) (0, 0, 0) 1.0 Khi đó, thành phần liên thông tập {x ∈ R3 : V (x1 , x2 , x3 ) ≤ 1} chứa (0, 0, 0) miền ổn định ước lượng Hình 3.6 Hình 3.7 cho thấy miền ổn định ước lượng thu nằm trọn vẹn miền ổn định xác (0, 0, 0) lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu lm ul Hình 3.6: Miền ổn định ước lượng Ví dụ 3.3 z at nh oi z m co l gm @ an Lu n va 60 ac th si lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu lm ul Hình 3.7: Miền ổn định ước lượng biên ổn định xác Ví dụ 3.3 z at nh oi z m co l gm @ an Lu n va 61 ac th si Kết luận Trong luận văn này, trình bày số kết miền ổn định hệ động lực phi tuyến liên tục Cụ thể đã: Nhắc lại số số khái niệm tính ổn định hệ động lực, phương trình lu an vi phân; hàm Lyapunov; hàm lượng tính chất liên quan va n Trình bày đặc trưng miền ổn định biên ổn định hệ động gh tn to lực phi tuyến Trình bày phương pháp xác định xác biên ổn định hệ động ie p lực phi tuyến phương pháp xấp xỉ miền ổn định cho hệ động lực nl w phi tuyến có hàm lượng khơng có hàm lượng d oa Trong đó, đóng góp chúng tơi bao gồm: an lu ˆ Chi tiết hóa chứng minh số định lý quan trọng Định lý 1.11, nf va Định lý 2.1, Định lý 2.7 Định lý 2.11 lm ul ˆ Bổ sung nhận xét đặc trưng biên ổn định hệ động lực z at nh oi phi tuyến Định lý 2.1, Nhận xét 2.1, Nhận xét 2.2 đặc trưng điểm cân ổn định gần Nhận xét 3.1, Nhận xét 3.2 ˆ Thử nghiệm số ví dụ đưa kết minh họa cụ thể cho z m co l gm @ thuật toán đưa an Lu n va 62 ac th si Tài liệu tham khảo [1] L Ya Adrianova, Introduction to linear systems of differential equations, Translations of Mathematical Monographs Vol 146, AMS, Providence, R.I (1995) lu an [2] F M Amaral and L F C Alberto, “Stability boundary characterization n va of nonlinear autonomous dynamical systems in the presence of saddle- to node equilibrium points”, TEMA (São Carlos), volume 13(2), pages 143- gh tn 154, 2012 p ie [3] H D Chiang and J S Thorp, “Stability regions of nonlinear dynamical w systems: A constructive methodology”, IEEE Transactions on Automatic oa nl Control, volume 34(12), pages 1229-1241, 1989 d [4] H D Chiang, Direct methods for stability analysis of electric power sys- lu an tems: theoretical foundation, BCU methodologies, and applications, John nf va Wiley & Sons, 2011 lm ul [5] H D Chiang and L F C Alberto, Stability regions of nonlinear dynamPress, 2015 z at nh oi ical systems: theory, estimation, and applications, Cambridge University [6] M W Hirsch, Differential topology, Springer Science & Business Media, z gm @ volume 3, 2012 l [7] T J Koo and H Su, “A computational approach for estimating stabil- m co ity regions”, 2006 IEEE International Symposium on Intelligent Control, pages 62-68, 2006 an Lu n va 63 ac th si [8] J Lee, Introduction to topological manifolds, Springer Science & Business Media, volume 202, 2010 [9] L Luyckx, M Loccufier and E Noldus, “Computational methods in nonlinear stability analysis: stability boundary calculations”, Journal of computational and applied mathematics, 168(1-2), pages 289-297, 2004 [10] J Milnor and D W Weaver, Topology from the differentiable viewpoint, Princeton university press, 1997 [11] S Osher and R Fedkiw, Level set methods and dynamic implicit surfaces, Springer New York, volume 153, 2005 lu an [12] A N Milchel, N R Sarabudla and R K Miller, “Stability analysis of com- va plex dynamical systems: some computational methods”, Circuits, Sys- n p ie gh tn to tems and Signal Processing, volume I, pages 171-202, 1982 d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va 64 ac th si