(Luận văn) về phân tích phổ của hệ động lực tô pô

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN HOÀNG VIỆT lu an n va tn to p ie gh VỀ PHÂN TÍCH PHỔ CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TÔ-PÔ d oa nl w an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th Hà Nội - 2019 si ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN HOÀNG VIỆT lu an n va tn to p ie gh VỀ PHÂN TÍCH PHỔ CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TÔ-PÔ oa nl w d LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC an lu nf va Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 z at nh oi lm ul z NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS LÊ HUY TIỄN m co l gm @ an Lu n va ac th Hà Nội - 2019 si Mục lục lu Lời cảm ơn Mở đầu an n va 3 10 16 p ie gh tn to Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tính giãn đồng phôi 1.2 Tính bóng đồng phơi 1.3 Đồng phôi Anosov tôpô 23 Tập quay lui xích Tập ổn định không ổn định Phân tích phổ hệ động lực tô-pô 23 29 35 d nf va an lu 45 z at nh oi Tài liệu tham khảo 44 lm ul Kết luận oa nl 2.1 2.2 2.3 w Phân tích phổ hệ động lực tôpô z m co l gm @ an Lu n va ac th i si LỜI CẢM ƠN Luận văn thực Trường Đại học khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà nội hoàn thành hướng dẫn TS Lê Huy Tiễn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc chân thành tới thầy giáo hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều tâm huyết, thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc em suốt trình làm luận văn lu Em xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học khoa học tự nhiên, Ban Chủ nhiệm Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Bộ mơn Tốn giải tích, giảng viên tham gia giảng dạy, tạo an n va p ie gh tn to điều kiện tốt để em học tập nghiên cứu Đồng thời, em xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Tốn học (khóa 2016-2018), cảm ơn gia đình bạn bè động viên giúp đỡ em nhiều trình học tập d oa nl w Hà Nội, ngày 15 tháng 11 năm 2019 Học viên Nguyễn Hoàng Việt nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Lịch sử lý thuyết hệ động lực bắt đầu biết đến Issac-Newton, người mà mô tả quy luật chuyển động phát lực hấp dẫn lu Trong lý thuyết Newton, chuyển động hệ động lực an mơ tả hệ phương trình vi phân Sau đó, cuối kỷ 19, Poincaré va phát triển lý thuyết định tính phương trình vi phân Poincaré nghiên n tn to cứu tính chất nghiệm thay tìm cơng thức giải tích nghiệm gh Nhiều năm sau đó, nhà khoa học phát triển lý thuyết p ie nghiên cứu định tính hệ động lực sở lý thuyết tơpơ Trong đó, việc nghiên cứu đồng phơi giãn bóng chủ đề lớn nl w năm qua Tính chất bóng xuất phát từ việc giải số phương trình vi phân d oa Tính chất bóng có nghĩa tồn quỹ đạo gần giả quỹ đạo cho an lu trước Tính bóng nghiên cứu Anosov, Bowen, Sinai, tác giả cho liên quan đến tốn ổn định toàn cục hệ nf va động lực Các tác giả tiếp cận tính bóng phương pháp lm ul hình học z at nh oi Trong luận văn này, chúng tơi trình bày vấn đề “Về phân tích phổ hệ động lực tơ-pơ ” Trong đó, chúng tơi trình bày chi tiết đồng phơi khơng giãn bóng có phân tích phổ Nội dung luận văn z gm @ chia làm chương Trong đó, m co l • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức đồng phơi giãn khơng gian mêtric tơpơ tính chất liên quan, tính bóng đồng phơi đồng phơi Anosov tôpô an Lu n va ac th si • Chương 2: Phân tích phổ hệ động lực tôpô Các nội dung quan trọng chứng minh chi tiết phân tích phổ theo Smale Bowen trình bày Tài liệu tham khảo khảo hoàn thành luận văn [2] Ngoài ra, tham khảo tài liệu [1], [7] lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Kiến thức chuẩn bị lu an Chương trình bày số kiến thức hệ động lực, va ánh xạ liên tục tính chất hệ Anosov ánh xạ Anosov tơpơ n Bên cạnh đó, chúng tơi trình bày số vấn đề đồng phôi giãn gh tn to tính chất giả quỹ đạo Các tài liệu tham khảo cho kiến thức chương [2] p ie Tính giãn đồng phơi oa nl w 1.1 d Trong mục này, chúng tơi trình bày định nghĩa, tính chất lu an đồng phơi giãn Từ dẫn đến tính chất ánh xạ giãn dương, ánh xạ nf va c-giãn không gian mêtric compact Trong phần này, ta giả thiết không gian pha hệ động lực đa tạp khả vi lm ul z at nh oi Định nghĩa 1.1.1 Toàn ánh liên tục f : M → N không gian mêtric gọi đồng phơi đơn ánh ánh xạ ngược f −1 : N → M liên tục z gm @ Không gian mêtric M gọi đa tạp tôpô n-chiều tồn tập mở Ui ⊂ M đồng phôi αi biến tương ứng 1-1 tập Ui l m co thành tập mở không gian Rn , cho {Ui } phủ M an Lu Định nghĩa 1.1.2 Cho X không gian mêtric với mêtric d Đồng phôi f : X → X gọi đồng phôi giãn tồn số e > cho n va ac th si với x 6= y , x, y ∈ X ta có d(f n (x), f n (y)) > e, với n số nguyên Hằng số e gọi số giãn f Hơn nữa, tính chất phụ thuộc vào cách chọn mêtric X X compact Ta đưa khái niệm độ phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu Điều kiện yếu điều kiện giãn, tức với x ∈ X , tồn δ > lân cận U x mà tồn y ∈ U n ∈ Z cho d(f n (x), f n (y)) > δ lu an Từ khái niệm suy X khơng có điểm lập n va Tiếp theo, ta đưa tính chất truyền ứng tơpơ đồng phôi cho quỹ đạo Of (x0 ) = {f n (x0 ) : n ∈ Z} trù mật X Với khái niệm gh tn to Đồng phôi f : X → X có tính truyền ứng tơpơ tồn x0 ∈ X này, ta có số kết sau p ie w Định lý 1.1.3 Cho f : X → X đồng phôi không gian mêtric oa nl compact Khi đó, d (a) Đồng phơi f có tính chất truyền ứng tôpô với tập lu nf va an mở khác rỗng U, V , tồn số nguyên n ∈ Z cho f n (U ) ∩ V 6= ∅ (b) Nếu giả thiết thêm X tập vơ hạn, đồng phơi f có tính chất truyền lm ul ứng tơpơ P er(f ) = {x ∈ X : f n (x) = x, n > 0} trù mật X z at nh oi f phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu Chú ý rằng, với f : X → X đồng phôi không gian mêtric z compact ký hiệu cl(E) bao đóng tập E l gm @ Khi đó, phủ mở hữu hạn α X phần tử sinh (phần tử sinh yếu) T −n f với dãy kép {An } α: giao vô hạn ∞ (cl(An )) n=−∞ f co nhiều điểm m Nếu α, β phủ mở X hợp chúng α ∨ β xác α ∨ β = {A ∩ B : A ∈ α, B ∈ β} an Lu định n va ac th si Ta nói β mịn α phần tử β tập phần tử thuộc α ta ký hiệu α ≤ β Rõ ràng α ≤ α ∨ β β ≤ α ∨ β Hơn nữa, f : X → X tồn ánh liên tục f −1 (α) = {f −1 (A) : A ∈ α} phủ mở X Ta thấy f −1 (α ∨ β) = f −1 (α) ∨ f −1 (β) f −1 (α) ≤ f −1 (β) α ≤ β Định lý 1.1.4 Cho f : X → X đồng phôi không gian mêtric compact Khi đó, khẳng định sau tương đương (1) f giãn, lu (2) f có phần tử sinh, an n va (3) f có phần tử sinh yếu tn to Chứng minh Rõ ràng (2) ⇒ (3) hiển nhiên ie gh Trước vào chứng minh phần tiếp theo, ta nhắc lại với X p không gian mêtric compact α phủ mở hữu hạn X Nếu với tập A ⊂ B ∈ α thỏa mãn diam (A) < δ δ w oa nl gọi số Lebesgue α d Ta chứng minh (3) ⇒ (2) Thật vậy, cho β = {B1 , B2 , , B2 } lu an phần tử sinh yếu f δ > số Lebesgue β Ký hiệu α nf va phủ mở hữu hạn chứa tập Ai với đường kính diam (cl(Ai )) ≤ δ Nếu n=−∞ Do đó, α phần tử sinh z at nh oi lm ul {Ain } dãy đơi α với n, tồn jn cho cl(Ajn ) ⊂ Bj nên ∞ ∞ [ \ −n f cl(Ajn ) ⊂ f −n (Bjn ) n=−∞ z gm @ (1) ⇒ (2): Cho δ > số giãn f α phủ co l hữu hạn chứa hình cầu mở bán kính δ/2 Giả thiết x, y ∈ T∞ −n (cl(An )), với An ∈ α Khi đó, d(f n (x), f n (y)) ≤ δ với n=−∞ f m n nên theo giả thiết suy x = y (3) ⇒ (1): Giả sử α phần tử sinh yếu δ > số Lebesgue α Khi đó, f (f n (x), f n (y)) < δ với số nguyên n An ∈ α, an Lu n va ac th si T −n n ∈ Z cho f n (x), f n (y) ∈ An x, y ∈ ∞ (An ), mà giao vô n=−∞ f hạn nhiều điểm Suy f giãn Vậy định lý chứng minh Định lý 1.1.5 Cho f : X → X đồng phôi không gian mêtric compact k số ngun khác Khi đó, f đồng phơi giãn f k giãn Chứng minh Ta ý từ khẳng định α phần tử sinh f |k|−1 _ f −i (α) = α ∨ f −1 (α) ∨ · · · ∨ f |k|−1 (α), lu an i=0 n va phần tử sinh f k Ngược lại α phần tử sinh ie gh tn to f k α phần tử sinh f Từ đó, ta có điều phải chứng minh p Định lý 1.1.6 nl w (a) Nếu f : X → X đồng phơi giãn Y tập đóng X với d oa f (Y ) = Y , f|Y : Y → Y đồng phơi giãn, an lu (b) Nếu fi : Xi → Xi , i = 1, 2, ánh xạ giãn đồng phơi f1 × f2 : nf va X1 × X2 → X1 × X2 định nghĩa sau lm ul (f1 × f2 )(x1 , x2 ) = (f1 (x1 ), f2 (x2 )), (x1 , x2 ) ∈ X1 × X2 phơi giãn giãn, z at nh oi đồng phơi giãn Hơn nữa, tích trực tiếp hữu hạn đồng z (c) Nếu X compact f : X → X đồng phơi giãn h◦f ◦h−1 : Y → Y @ gm đồng phơi giãn, đó, h : X → Y đồng phôi co l Trong phần mục này, chúng tơi trình bày khái niệm đồng phôi giãn dương c-giãn số tính chất m an Lu Định nghĩa 1.1.7 Cho X không gian mêtric Đồng phôi f : X → X giãn dương tồn số e > cho x 6= y n va ac th si Mệnh đề 1.2.8 Giả sử σ : X f → X f có tính bóng f : X → X đồng phơi địa phương Khi đó, f có tính bóng Chứng minh Giả sử σ có tính bóng Với ε > 0, giả sử δ số cho δ -giả quỹ đạo σ ε-bóng theo điểm X f Ký hiệu α α = diam (X) chọn N đủ lớn cho < N −2 < δ Khi đó, ta chọn γ > cho d(x, y) ≤ γ tồn {xi : |i| ≤ N } {yi : |i| ≤ N } cho x0 = x, f (xi ) = xi+1 y0 = y, f (yi ) = yi+1 , δ với |i| ≤ N Giả sử {zi : ≤ i < ∞} γ -giả quỹ đạo f Với i ≥ 0, ta thấy tồn (zni ) ∈ X f cho z0i = zi {(zni )} ˜ i (xn ), (z i )) ≤ ε, δ -giả quỹ đạo σ Do đó, tồn (xn ) ∈ X f cho d(σ n ≤ i < ∞ Suy lu d(xi , yi ) < an n va gh tn to p ie ˜ i (xn ), (z i )) ≥ d(f i (x0 ), z i ) = d(f i (x0 ), zi ) ε ≥ d(σ n w oa nl Mệnh đề 1.2.9 Cho X không gian mêtric compact Ánh xạ giãn dương d f : X → X có tính bóng f ánh xạ mở lu nf va an Chứng minh Giả sử f ánh xạ mở Khi đó, f đồng phôi địa phương X X có mêtric hyperbolic Từ suy f đồng phơi lm ul giãn có tính giãn dương Theo Định lý 1.3.1 đồng phơi f có tính bóng z at nh oi Chiều ngược lại, ta giả sử f có tính bóng Ký hiệu U tập mở X với x ∈ U , chọn ε > cho lân cận-ε Uε nằm z U Như vậy, tồn < δ ≤ e cho δ -giả quỹ đạo f εbóng, đó, e số giãn f Nếu z ∈ Uδ (f (x)), dãy {x, z, f (z), f (z), , f i (z), } δ -giả quỹ đạo f ε-bóng theo điểm y thuộc X Khi đó, l gm @ m co d(f i (f (y)), f i (z)) < δ ≤ e, ∀i ≥ 0, an Lu từ suy f (y) = z Vì y ∈ Uε (x) nên ta có f (Uε (x)) ⊃ Uδ (f (x)) Do đó, f (U ) mở X Ta kết thúc chứng minh n va ac th 15 si Ví dụ 1.2 Ta xét họ ánh xạ {fs : s ∈ [0, 1]} gồm ánh xạ f : [0, 1] → [0, 1] xác định sau  sx ≤ x ≤ fs (x) = s(2 − x) ≤ x ≤ có tính chất sau (1) fs có tính chất giả quỹ đạo với hầu hết tham số, ngoại trừ phần có độ đo Lebesgue đoạn [0, 1] (2) Tập tham số mà fs khơng có tính chất giả quỹ đạo tập khơng lu an đếm địa phương va Đây kết [5] Một tập gọi không đếm địa n p ie gh tn to phương giao với tập mở khơng đếm Ta √ ký hiệu ϕn , n ≥ họ hàm xác định [ 2, 2], ϕn (s) = √ fsn (1) Một điểm s ∈ [ 2, 2] gọi điểm tuần hoàn với chu kỳ n d oa nl w fsn (1) = (ϕn (s) = 1), fsk (1) 6= với ≤ k < n Sử dụng định lý giá trị trung bình, ta tham số tuần √ hoàn trù mật [ 2, 2] Do đó, (1) chứng minh Trong đó, (2) chứng minh áp dụng trực tiếp Định lý [3] an lu nf va Trong phần lại mục này, ta đưa kết mà không lm ul chứng minh tính trù mật điểm tuần hồn ánh xạ giãn khơng gian mêtric compact, sở lý thuyết quan trọng để chứng z at nh oi minh kết Chương Định lý 1.2.10 Cho X không gian mêtric compact Nếu X liên thông z f : X → X đồng phơi giãn tập điểm tuần hồn f trù @ m co Đồng phơi Anosov tôpô l 1.3 gm mật X an Lu Trong phần này, định nghĩa đồng phôi Anosov, ánh xạ khả vi Anosov ánh xạ Anosov tơpơ trình bày số tính chất n va ac th 16 si chúng Cho M đa tạp trơn đóng, tức đa tạp trơn, liên thơng, compact khơng có biên Một đồng phôi thuộc lớp C f : M → M gọi đồng phôi Anosov tồn phân tích chùm tiếp tuyến T M = E s ⊕ E u bảo toàn đạo hàm Df f tồn số C > 0, < µ < mêtric k k T M cho với n ≥ (i) kDf n (v)k ≤ Cµn kvk với v ∈ E s , (ii) kDf n (v)k ≥ C −1 µ−n kvk với v ∈ E u lu an Ánh xạ f ∈ C (M, M ) gọi ánh xạ khả vi Anosov f ánh va n xạ quy thuộc lớp C tồn số C > 0, < µ < tn to mêtric Reimann k k T M cho với dãy (xn ) M thỏa mãn ie gh f (xn ) = xn+1 với số nguyên n phân tích p ∞ [ Txn M = Exsn ⊕ Exun = E s ⊕ E u , n=−∞ nl w n=−∞ ∞ [ d oa bảo tồn đạo hàm Df , thêm vào điều kiện (i)-(ii) lu thỏa mãn nf va an Ánh xạ f ∈ C (M, M ) gọi ánh xạ Anosov khả vi đặc biệt f ánh xạ Anosov khả vi Exu không phụ thuộc vào dãy (xn ) với lm ul x0 = x Ta có tính chất sau z at nh oi Mệnh đề 1.3.1 (1) Mọi đồng phơi Anosov có tính giãn tính bóng, z gm @ (2) Mọi ánh xạ khả vi mở rộng có số giãn dương tính bóng, l (3) Mọi ánh xạ Anosov khả vi có số c-giãn tính bóng m co Với f : X → X toàn ánh liên tục không gian mêtric an Lu compact Cho ε > 0, x ∈ X mêtric d cố định, ta định nghĩa tập n ac th 17 va Wεs (x) = {y ∈ X : d(f i (x), f i (y)) < ε, i ≥ 0}, si tập ổn định địa phương với x = (xi ) ∈ X f , Wεu (x) = {y0 ∈ M : ∃(yi ) ∈ X f cho d(xi , yi ) ≤ ε, i ≤ 0}, tập không ổn định địa phương Tiếp theo, ta định nghĩa tập ổn định không ổn định sau W s (x) = {y ∈ X : lim d(f n (x), f n (y)) = 0} n→∞ u W ((xi )) = {y0 ∈ X : ∃(yi ) ∈ X f cho lim d(x−i , y−i ) = 0}, i→∞ với x ∈ X (xi ) ∈ X f lu an Bổ đề 1.3.2 Cho f : X → X toàn ánh liên tục c-giãn với số giãn va e Với γ > 0, tồn nγ > cho x = (xi ) ∈ X f x ∈ X thỏa mãn n gh tn to (a) f n (Wes (x)) ⊂ Wγs (f n (x))) với n ≥ nγ , ie (b) Nếu y = (yi ) ∈ X f d(yi , xi ) ≤ e với i ≤ (tức y0 ∈ Weu (x)) p d(y−n , x−n ) ≤ γ với n ≥ nγ (tức Weu (x) ⊂ f n (Wγu (σ −n x)) với oa nl w n ≥ nγ ) d Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử (a) không xảy ra, nf va an lu tồn xn , y n ∈ X mn ≥ n cho y n ∈ Wes (xn ) d(f mn (xn ), f mn (y n )) ≥ γ lm ul Cố định i, f mn −i (xn ) → x0−i f mn −i (y n ) → y−i n → ∞ z at nh oi d(x0−i , y−i ) ≤ e, z d(f j (xn ), f j (y n )) ≤ e với ≤ j ≤ mn Ta có d(x00 , y00 ) ≥ γ với i = l với i ≥ Vì y n ∈ Wes (xn ), ta suy gm @ Do đó, y00 ∈ Weu (x0 ), x0 = (x0i ) f ( x0−i ) = x00 f i (y−i ) = y00 m co d(f mn +j (xn ), f mn +j (y n )) ≤ e, j ≥ −mn n ac th 18 va ta có x00 = y00 , mâu thuẫn Vậy (a) xảy an Lu y00 ∈ Wes (x00 ) Vì Weu (x0 ) ∩ Wes (x00 ) y00 nên từ tính chất c-giãn si Tiếp theo, (b) khơng xảy ta tìm (xni ), (yin ) ∈ n X f mn ≥ n cho d(xn−mn , y−m ) ≥ γ d(xni , yin ) ≤ e với i ≤ 0, n mâu thuẫn Do đó, (b) xảy Bổ đề chứng minh Chú ý 1.1 Với f : X → X g : Y → Y tồn ánh liên tục khơng gian mêtric compact Giả sử h ◦ f = g ◦ f với đồng phôi h : X → Y Khi (1) Nếu x ∈ X W s (x) tập ổn định f h(W s (x)) tập ổn định g h(x), lu (2) Nếu (xi ) điểm X f W u ((xi )) tập không ổn định an n va f , (h(xi )) thuộc Y g h(W u ((xi ))) tập không ổn định g (h(xi )) tn to gh Mệnh đề sau chứng minh cách suy trực tiếp từ Bổ p ie đề 1.3.2 Bổ đề 1.3.3 Cho f : X → X toàn ánh liên tục c-giãn với w d oa nl số dãn e cho e > ε > x ∈ X Khi đó, [ s W (x) = f −i (Wes (f i (x))) an lu i≥0 nf va với x = (xi ) ∈ X f , lm ul W u (x) = [ z at nh oi f i (Weu (σ −i (x))) i≥0 Tiếp theo, ta trình bày tính chất Anosov tồn ánh z liên tục không gian mêtric compact cách tổng qt Ta nói @ gm tồn ánh liên tục f : X → X gọi ánh xạ Anosov l tôpô (TA) f c-giãn có tính bóng Đặc biệt, f đồng m co phơi f gọi đồng phơi Anosov tơpơ giãn có tính bóng Hơn nữa, ánh xạ Anosov tơpơ f : X → X gọi đặc biệt an Lu thỏa mãn tính chất W u ((xi )) = W u ((yi )) với (xi ), (yi ) ∈ X f , x0 = y0 n va ac th 19 si Với X, Y khơng gian mêtric Ta nói ánh xạ liên tục f : X → X g : X → Y gọi liên hợp tôpô tồn đồng phôi h : Y → X cho f ◦ h = h ◦ g Trong trường hợp này, quỹ đạo g ánh xạ h thành quỹ đạo đồng phôi f Hơn nữa, h tồn ánh liên tục f gọi bán liên hợp tơpơ với g , hay nói cách khác f nhân tử g Chú ý 1.2 Cho f : X → X g : Y → Y đồng phôi không gian mêtric compact Khi đó, f g liên hợp tơpơ f đồng phơi Anosov tơpơ g đồng phôi Anosov lu an tôpô, va n f đồng phôi Anosov tôpô g đồng phôi Anosov to gh tn tôpô, p ie f đồng phôi Anosov tôpô đặc biệt g đồng w phôi Anosov tôpô đặc biệt oa nl Định nghĩa 1.3.4 Cho X không gian mêtric compact với mêtric d d Đồng phôi f : X → X gọi ổn định tôpô lớp đồng phôi an lu với ε > 0, tồn δ > cho với đồng phôi g thỏa mãn d(f (x), g(x)) < nf va δ với x, tồn ánh xạ liên tục h cho h ◦ g = f ◦ h d(h(x), x) < ε với x lm ul Định lý 1.3.5 Nếu đồng phôi f : X → X không gian mêtric compact z at nh oi Anosov tơpơ f ổn định tơpơ trông lớp đồng phôi z e Chứng minh Cho e > số giãn f cố định < ε < Ký e hiệu < δ < số với tính chất giả quỹ đạo Từ tính giãn ta suy tồn x ∈ X ε-bóng δ -giả quỹ đạo {xi } cho trước Thật l gm @ m co vậy, giả sử y ∈ X điểm ε-bóng {xi }, ta có an Lu d(f i (x), f i (y)) ≤ d(f i (x), xi ) + d(xi , f i (y)) ≤ 2ε < e, n ac th 20 va với i ∈ Z nên suy x = y điểm bóng si Gọi g : X → X đồng phôi với d(g(x), f (x)) < δ với x ∈ X Với x ∈ X , d(f ◦ g n (x), g n+1 (x)) < δ với n nguyên nên {g n (x)} δ -giả quỹ đạo f Do đó, tồn điểm h(x) ∈ X mà quỹ đạo f vết-ε {g n (x)} Khi đó, ánh xạ h : X → X thỏa mãn d(f n ◦h(x), g n (x)) < ε với n x ∈ X Cho n = 0, ta suy d(h(x), x) < ε với x ∈ X Vì d(f n ◦ h ◦ g(x), g n (x)) < ε với n số nguyên d(f n ◦ f ◦ h(x), g n+1 (x)) = d(f n+1 ◦ h(x), g n+1 (x)) < ε, với n số nguyên nên ta suy h ◦ g = f ◦ h với x ∈ X lu Tiếp theo, ta chứng minh h liên tục Thật vậy, cho λ > 0, ta an n va tn to chọn N > tùy ý cho d(f n (x), f n (y)) < e với |n| < N nên ε d(x, y) < λ Chọn η > cho d(x, y) < η , suy d(g n (x), g n (y)) < với |n| ≤ N Nếu d(x, y) < η p ie gh d(f n ◦ h(x), f n ◦ h(y)) = d(h ◦ g n (x), h ◦ g n (y)) d oa nl w ≤ d(h ◦ g n (x), g n (x)) + d(g n (x), g n (y)) + d(g n (y), h ◦ g n (y)) e ≤ ε + + ε < e, |n| ≤ N lu nf va an Như vậy, từ d(x, y) < η suy d(h(x), h(y)) < λ nên h liên tục Ví dụ 1.3 Cho h : X → X giả sử X đa tạp tôpô lm ul đóng Khi đó, h : X → X toàn ánh −1 m−1 z at nh oi −m m z m l gm @ −m −m + co Tuy nhiên, trường hợp tổng qt, h khơng tồn ánh Ta đưa m phản ví dụ sau an Lu Xét ánh xạ dịch chuyển σ : Y2Z → Y2Z với Y2 = {0, 1} Khi đó, σ ac th 21 n va ánh xạ giãn có tính bóng Cho m > 0, ta định nghĩa g : Y2Z → Y2Z si sau (g(x))i =     xi xi+1    x−m |i| > m, − m ≤ i < m, i = m , d mêtric Y2Z cho m Nếu m đủ lớn h ◦ σ = g ◦ h với h ánh xạ liên tục, d(h(x), x) < m , Z 2m+1 Z x ∈ Y2 Vì g (x) = x với x ∈ Y2 nên ta có Khi đó, d(g(x), σ(x)) ≤ lu an h(x) = h ◦ g 2m+1 (x) = σ 2m+1 ◦ h(x), va n với x ∈ Y2Z Do đó, h khơng phải tồn ánh to gh tn Với f : X → X đồng phôi không gian mêtric compact, người ie ta gọi điểm p ∈ X bất động f với lân cận U p số p nguyên n0 bất kỳ, tồn n cho |n| > n0 cho f n (U ) ∩ U 6= ∅ Ta nl w ký hiệu Ω(f ) tập điểm bất động f Khi đó, Ω(f ) tập đóng, d oa f -bất biến, tức f (Ω(f )) = Ω(f ) Giả sử g : Y → Y đồng phôi không gian mêtric compact h : X → Y toàn ánh liên tục Nếu g ◦ h = h ◦ f ta kiểm tra h(Ω(f )) ⊂ Ω(g) Đặc biệt, h song ánh h(Ω(f )) = Ω(g) Các tính chất sâu tập bất động ánh xạ Anosov tơpơ trình bày cụ thể chương Ở phần này, ta đưa tính chất sau mà khơng chứng minh nf va an lu z at nh oi lm ul z gm @ Định lý 1.3.6 Giả sử f : M → M đồng phơi đa tạp tơpơ đóng Nếu f ổn định tôpô lớp đồng phôi tập điểm tuần l hồn P er(f ) trù mật Ω(f ) m co an Lu n va ac th 22 si Chương Phân tích phổ hệ động lực tôpô lu an Chương trình bày kết chính, phân tích phổ va đồng phơi khơng giãn bóng Các kết Định lý 2.1.7 Định n lý 2.3.3, Định lý 2.3.3 trường hợp tổng quát Phần đầu gh tn to số kết liên quan tập bất biến để phục vụ cho việc chứng minh định lý phân tích phổ (Định lý 2.3.3) Phần lớn kiến thức ie p chương tham khảo ở[1], [2], [7] nl w Tập quay lui xích d oa 2.1 lu an Cho f : X → X phép đồng phôi không gian mêtric compact nf va Với x, y ∈ X α > 0, ta nói x quan hệ theo α với y có α-quỹ đạo lm ul giả f cho x0 = x, x1 , , xk = y y0 = y , y1 , , yl = x Nếu x quan hệ với y theo α > ta nói x có quan hệ với y ta ký z at nh oi hiệu x ∼ y Ta gọi tập CR(f ) = {x ∈ X : x ∼ x} tập quay lui xích z f Rõ ràng, CR(f ) = f (CR(f )) Ω(f ) ⊂ CR(f ) Hơn nữa, quan hệ ∼ quan hệ tương đương CR(f ) thỏa mãn an Lu Bổ đề 2.1.1 CR(f ) tập đóng m (iii) Tính bắc cầu: u ∼ v v ∼ w → u ∼ w co (ii) Tính đối xứng: u ∼ v → v ∼ u, l gm @ (i) Tính phản xạ: u ∼ u với u, n va ac th 23 si Chứng minh Cho α > Vì X tập compact nên f : X → X liên tục α Do đó, tồn < δ < cho với d(x, y) < δ α d(f (x), f (y)) < Cho {x(k) } dãy tập quay lui xích CR(f ) cho x(k) → x k → ∞ Khi đó, d(x(k) , x) < δ với k > Vì x(k) ∈ CR(f ) nên δ tồn -giả quỹ đạo {x(k) , x1 , , xn , x(k) } Do đó, {x, x1 , , xn , x} α-giả quỹ đạo Vì α chọn nên ta suy x ∈ CR(f ) lu Với X không gian tôpô 2X họ tất tập đóng khác rỗng an X Khi đó, tơpơ mũ 2X xác định cách giả thiết họ tất va n tập to gh tn B(G) = {F ∈ 2X : F ⊂ G} p ie C(H) = {F ∈ 2X : F ∩ H 6= ∅} w tập hình cầu mở 2X mà G H tập mở oa nl của X Khi đó, ta dễ dàng kiểm tra họ tất tập d B(G0 , G1 , , Gn ) = {F ∈ 2X : F ⊂ G0 , F ∩ Gi 6= ∅, ≤ i ≤ n}, an lu lm ul Chú ý 2.1 nf va sở 2X , Gi tập mở X z at nh oi (i) Nếu X compact 2X compact (ii) Nếu X Hausdorff, compact 2X z @ Với X không gian mêtric với mêtric bị chặn d Mêtric ρ xác ρ(A, B) = max{sup d(A, b), sup d(a, B)}, a∈A m b∈B A, B ∈ 2X , co l gm định an Lu d(A, b) = inf{d(a, b) : a ∈ A}, gọi mêtric Hausdorff 2X n va ac th 24 si Định lý 2.1.2 Nếu f có tính bóng Ω(f ) = CR(f ) Chứng minh Vì Ω(f ) ⊂ CR(f ) nên ta cần chứng minh CR(f ) ⊂ Ω(f ) đủ Thật vậy, với x ∈ CR(f ), với α > 0, tồn giả quỹ đạo {xi } cho x0 = x, x1 , , xk = n, d(f i (y), xi ) < α, ≤ i ≤ k với y thuộc X Do đó, f k (Uα (x)) ∩ Uα (x) 6= ∅, Uα (x) = lu {y ∈ X : d(x, y) < α)} Vì α > chọn nên ta suy x ∈ Ω(f ) Vậy CR(f ) ⊂ Ω(f ) Định lý chứng minh an va n Định lý 2.1.3 Cho f : X → X đồng phôi không gian mêtric tn to compact Khi đó, tập quay lui xích f |CR(f ) CR(f ) trùng gh -giả quỹ đạo tuần n hoàn qua x Khi đó, Cn tập hữu hạn Trong khơng gian mêtric Hausdorff, tồn dãy Cnk hội tụ đến tập compact f -bất biến C ⊂ X Nếu ta với y ∈ C ε > 0, tồn ε-giả quỹ đạo tuần hoàn {zi } qua y với zi ∈ C ta suy y ∈ CR(f|C ) ⊂ CR(f ) Thật vậy, y ∈ C nên ta có C ⊂ CR(f ) x ∈ C ⊂ CR(f|C ) ⊂ CR(f|CR(f ) ) Điều với x ∈ CR(f ) nên CR(f ) ⊂ CR(f|CR(f ) ) Tiếp theo, ta chứng minh tồn ε-giả quỹ đạo tuần hoàn qua y với zi ∈ C Vì X compact nên f : X → X liên tục Do đó, ε ε tồn > δ = δ(ε/3) > cho với d(a, b) < δ d(f (a), f (b)) < 3 ε Vì Cnk hội tụ đến C nên ta tìm n = nk cho < n khoảng cách từ Cn đến C không gian mêtric nhỏ δ Giả sử (n) (n) (n) (n) {xi } có chu kỳ j xi+j = xi với i Với xi , lấy zi ∈ C với (n) d(xi , zi ) < δ , zi+j = zi với i zi = y với i Khi đó, (n) p ie Chứng minh Giả sử x ∈ CR(f ) Cn = {xi } d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z (n) m co l gm @ (n) (n) (n) n ac th 25 va Do đó, zi ε-giả quỹ đạo tuần hoàn C qua y an Lu d(f (zi ), zi+1 ) ≤ d(f (zi ), f (xi )) + d(f (xi ), xi+1 ) + d(xi+1 , zi+1 ) < ε si Trước trình bày định lý sau đây, ta đưa khái niệm tập giới hạn Với f : X → X đồng phôi không gian mêtric compact x điểm X Khi đó, tập giới hạn α x ký hiệu α(x), chứa điểm y ∈ X cho y = lim f nj (x) với (nj ) dãy giảm thực j→∞ Trong đó, tập giới hạn w x ký hiệu w(x), chứa điểm y ∈ X cho y = lim f nj (x) với (nj ) dãy tăng thực Rõ ràng, α(x) j→∞ w(x) tập đóng khác rỗng, f -bất biến, tức f (α(x)) = α(x), f (w(x)) = w(x) với x ∈ X Nếu với điểm x X , tập α(x), w(x), tập chứa điểm ta nói x có bán quỹ đạo hội tụ theo f lu an Định lý 2.1.4 Cho f : X → X đồng phôi Anosov tôpô không n va gian mêtric compact Nếu f |CR(f ) có tính truyền ứng tơpơ X = CR(f ) tn to Chứng minh Giả sử X 6= CR(f ) Khi đó, ta mâu thuẫn ie gh cách (X \ CR(f )) ∩ P er(f ) 6= ∅, P er(f ) tập điểm p tuần hoàn f (đã trình bày chương 1) Vì w(x0 ) α(x0 ) nằm nl w CR(f ) với x0 ∈ X \ CR(f ) nên ta có d oa cl({x0 , f (x0 ), }) ∩ CR(f ) 6= ∅ cl({x0 , f −1 (x0 ), }) ∩ CR(f ) 6= ∅ lu an Giả sử < ε < d(x0 , CR(f )) ký hiệu δ > số với tính chất giả nf va quỹ đạo Khi đó, d(CR(f ), f n (x0 )) < δ d(CR(f ), f −n (x0 )) < δ với n lm ul đủ lớn Từ suy d(xn+1 , f n (x0 )) < δ d(x−n−1 , f −n (x0 )) < δ với z at nh oi xn+1 , x−n−1 ∈ CR(f ) Tiếp theo, ta xây dựng δ -giả quỹ đạo {x−n−1 , f −n (x0 ), f −n+1 (x0 ), , f n−1 (x0 ), xn+1 } z gm @ từ x−n−1 đến xn+1 Vì f|CR(f ) có tính truyền dẫn tơpơ nên ta tìm CR(f ) δ -giả quỹ đạo l m co {xn+1 , x˜n+2 , , x˜−n , x−n−1 } an Lu từ xn+1 đến x−n−1 Bằng cách kết hợp hai δ -giả quỹ đạo trên, ta có δ -giả quỹ đạo tuần hồn Vì f có tính bóng nên δ -giả quỹ đạo tuần n va ac th 26 si hồn ε-bóng theo điểm y ∈ X Hơn nữa, f ánh xạ giãn nên y tuần hồn ta có y ∈ / CR(f ) d(x0 , CR(f )) > ε Điều mâu thuẫn với giả thiết Do đó, định lý chứng minh Định lý 2.1.5 ([7]) Cho f : X → X đồng phơi khơng gian mêtric compact Nếu f có tính bóng f |Ω(f ) có tính bóng Hơn nữa, f giãn tập điểm tuần hồn P er(f ) trù mật Ω(f ) Ví dụ 2.1 Trong ví dụ này, ta trình bày đồng phôi Anosov tôpô lu f không gian mêtric compact mà X 6= CR(f ) Thật vậy, xét ánh xạ dịch chuyển σ : Y2Z → Y2Z an n va S = {(xi ) ∈ Y2Z : (xi , xi+1 ) ∈ C, i ∈ Z}, chuyển Markov Vì σ|S ánh xạ giãn có tính bóng nên theo Định lý gh tn to C = {(0, 0), (0, 1), (1, 1)} Khi đó, σ : S → S ánh xạ dịch ie 2.1.5, tập điểm tuần hoàn P er(σ|S ) trù mật CR(σ|S ) Tuy nhiên, p S chứa hai điểm tuần hoàn w oa nl x = ( , 0, 0, ), y = ( , 1, 1, ) d Điểm z = ( , 0, 0, 1, 1, ) S khơng tuần hồn Do đó, lu nf va an z∈ / P er(σ|S ) = CR(σ|S ) 6= S Bây giờ, ta định nghĩa tập cô lập Với X không gian mêtric lm ul compact, tập đóng E ⊂ X gọi cô lập với đồng phôi z at nh oi f : X → X f (E) = E có lân cận compact U E T n cho ∞ −∞ f (U ) = E Định lý 2.1.6 Cho X không gian mêtric compact Nếu f : X → X z m co l gm @ giãn f : CR(f ) → CR(f ) có tính bóng CR(f ) cô lập e Chứng minh Gọi e > số giãn f Với < β < , ký hiệu α số với tính chất giả quỹ đạo Vì X compact nên f liên tục Do đó, d(f (x), f (y)) < n va ac th 27 α , x, y ∈ X an Lu ta lấy < γ < min{α/2, e/2} cho với d(x, y) < γ si Tiếp theo, ta gọi U = {y ∈ X : d(y, CR(f )) < γ} lấy y ∈ T∞ n (U ) Vì với i ∈ Z, f i (y) ∈ U nên tồn xi ∈ CR(f ) với d(f i (y), xi ) < γ với i ∈ Z Do đó, d(f (xi ), xi+1 ) ≤ d(f (xi ), f i+1 (y)) + d(f i+1 (y), xi+1 ) < −∞ f α + γ < α, với i ∈ Z Vì f|CR(f ) có tính bóng nên tồn điểm β -bóng x ∈ CR(f ) với i ∈ Z, ta có d(f i (y), f i (x)) ≤ d(f i (y), xi ) + d(xi , f i (x)) < γ + β < e lu Vì f : X → X ánh xạ giãn nên ta suy x = y y ∈ CR(f ) an va Trước vào kết phần này, ta nhắc lại n đồng phôi f : X → X không gian mêtric trộn tôpô với tập gh tn to khác rỗng U, V , tồn N > cho U ∩ f n (V ) 6= ∅ với n ≥ N Nếu f trộn tơpơ f thỏa mãn truyền ứng tơpơ Tiếp theo, chúng tơi ie p trình bày định lý phân tích tơpơ nl w Định lý 2.1.7 (Định lý phân tích tơpơ) Cho f : X → X tồn ánh d oa liên tục khơng gian mêtric compact CR(f ) tập chuỗi truy an lu hồi Nếu f |CR(f ) : CR(f ) → CR(f ) đồng phơi Anosov tơpơ tính chất sau đúng: nf va lm ul (1) (Định lý phân tích phổ theo Smale) CR(f ) chứa dãy hữu hạn Bi z at nh oi (1 ≤ i ≤ l) tập bất biến f cho S (i) CR(f ) = li=1 Bi (hợp rời nhau), (ii) f |Bi : Bi → Bi có tính chất truyền ứng tơpơ z @ gm (2) (Định lý phân tích theo Bowen) Với Bk , tồn ak > l dãy hữu hạn Ci (0 ≤ i ≤ ak − 1) tập đóng cho m co (i) Ci ∩ Cj = ∅ (i 6= j ), f (Ci ) = Ci+1 f ak (Ci ) = Ci , Sak −1 (ii) B = i=0 Ci , n va ac th 28 an Lu (iii) f |aCki : Ci → Ci trộn tôpô si Các tập Bi Cj các tập sở tập sơ cấp Ta chứng minh định lý cho trường hợp tổng quát (đối với trường hợp toàn ánh liên tục) phần sau Kết sau hệ Định lý 2.1.7 Hệ suy trực tiếp từ phần (2) định lý Hệ 2.1.8 Giả sử f : CR(f ) → CR(f ) đồng phôi Anosov tôpô Hơn nữa, giả giả thiết thêm f : CR(f ) → CR(f ) có tính chất truyền ứng tôpô CR(f ) chứa điểm bất động f f : CR(f ) → CR(f ) có tính chất trộn tơpơ lu an Tập ổn định không ổn định n va 2.2 to tn Trong phần này, chúng tơi trình bày số tính chất liên quan đến ie gh tập ổn định tập không ổn định Các khái niệm đề cập đến p Chương nl w Định lý 2.2.1 Giả sử CR(f ) tập quay lui xích f Nếu f : CR(f ) → d oa CR(f ) đồng phôi Anosov tơpơ CR(f ) phân tích thành hợp hữu hạn CR(f ) = R1 ∪ Rl , với tập sở Rj , ≤ j ≤ l an lu nf va W s (Rj ) = {x ∈ X : lim d(f n (x), Rj ) = 0} n→∞ lm ul W (Rj ) = {x ∈ X : lim d(f −n (x), Rj ) = 0}, u n→∞ k≥0 z k≥0 z at nh oi với ε > 0, tồn tập mở Uj ⊃ Rj cho \ \ f −k (Uj ) ⊂ Wεs (Rj ), f k (Uj ) ⊂ Weu (Rj ) @ gm Chứng minh Vì Rj mở đóng CR(f ) nên f|Rj có tính chất giả l quỹ đạo Do đó, với ε > 0, tồn α > cho α-giả quỹ đạo m co Rj vết- 2ε theo điểm Rj Cho < γ < min{α/2, ε/2} số cho với d(x, y) < γ n va ac th 29 α an Lu d(f (x), f (y)) < si