Luận Văn Thạc Sĩ Dáng Điệu Nghiệm Của Hệ Động Lực Tuyến Tính Và Một Vài Ứng Dụng .Pdf

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - THÂN THU PHƯƠNG DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - THÂN THU PHƯƠNG DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS ĐẶNG ĐÌNH CHÂU Hà Nội - 2015 z Mục lục Nửa nhóm liên tục mạnh tốn tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh 1.1 Khái niệm nửa nhóm liên tục mạnh số tính chất sơ cấp nửa nhóm liên tục mạnh 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Một số tính chất sơ cấp nửa nhóm liên tục mạnh 1.2 Khái niệm tốn tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh tính chất 1.2.1 Khái niệm toán tử sinh 1.2.2 Các tính chất tốn tử sinh 1.2.3 Một vài biểu thức liên quan đến giải toán tử sinh 1.3 Các định lý toán tử sinh nửa nhóm 1.4 Một số dạng đặc biệt nửa nhóm liên tục mạnh 1.4.1 Nửa nhóm liên tục 1.4.2 Nửa nhóm tích phân Bài tốn nhiễu nửa nhóm liên tục mạnh 2.1 Khái niệm họ tốn tử tiến hóa số tính chất nghiệm phương trình vi phân tuyến tính 2.2 Phương trình vi phân tuyến tính bị nhiễu đường thẳng thực số mơ hình đơn lồi 2.2.1 Mơ hình quần thể tăng trưởng theo hàm mũ (Malthus, 1798) 2.2.2 Mô hình quần thể tăng trưởng Logistic (Verhulst, 1838) 2.3 Mơ hình thú - mồi Lotka - Volterra đơn giản 2.4 Mơ hình thú - mồi Lotka - Volterra với loài mồi tăng trưởng Logistic 2.5 Nhiễu bị chặn nửa nhóm liên tục mạnh 2.6 Phương trình tiến hóa với nhiễu Lipschitz 2.7 Nhiễu tuyến tính phương trình tiến hố họ tốn tử tiến hóa liên tục mạnh 2.8 Một số ví dụ minh họa 2.8.1 Giới thiệu toán 2.8.2 Các ví dụ z 4 7 12 15 21 21 25 28 28 38 38 39 40 43 45 48 54 56 56 58 Mở Đầu Lý thuyết hệ động lực khởi xướng nhà toán học Pháp Henri Poincare cách kỷ Ngày nay, phát triển mạnh mẽ trở thành lĩnh vực quan trọng toán học Lý thuyết hệ động lực liên quan tới hầu hết ngành khoa học khác ứng dụng rộng rãi đời sống ngày Để có khái niệm sơ lược hệ động lực ta bắt đầu làm quen với định nghĩa sau Ký hiệu R đường thẳng thực, M không gian Metric, giả sử S tập mở M Ta thường ký hiệu φ : R × S → M φ = φ(t, x) (hay φ = φt x ) ánh xạ φ nhóm phụ thuộc tham số tức là: (a) φt=0 : S → S ánh xạ đồng (b) φt φs = φt+s , với s, t ∈ R Như biết hầu hết vấn đề liên quan tới tốn học trừu tượng mà ứng dụng ngành khoa học tự nhiên đến nghiên cứu tính chất hệ động lực tập nghiệm phương trình vi phân thường phương trình đạo hàm riêng Bài tốn mà chúng tơi đề cập đến Luận văn "Dáng điệu nghiệm hệ phương trình động lực tuyến tính số ứng dụng" chủ yếu tìm hiểu trình bày lại vài vấn đề phương pháp hệ động lực tuyến tính khả ứng dụng thực tế Cụ thể phương pháp nửa nhóm bị nhiễu để nghiên cứu phương trình tiến hóa Tuy nhiên lĩnh vực trừu tượng đa dạng khn khổ luận văn thạc sĩ dành quan tâm nhiều cho việc xây dựng ví dụ minh họa cho phương pháp nửa nhóm vài ứng dụng lý thuyết nhiễu số mơ hình quần thể sinh học quen thuộc Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày định nghĩa, tính chất nửa nhóm liên tục mạnh số định lý quan trọng tốn tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh Để z hoàn thành nội dung chương tham khảo tài liêu [1], [2],[6], [7], [8], [9], [10], [12], [14] Chương hai trình bày tốn nhiễu nửa nhóm, định nghĩa tính chất họ tốn tử tiến hóa liên tục mạnh đủ tốt ứng dụng toán nhiễu mơ hình quần thể đa lồi Để hồn thành nội dung chương tham khảo tài liêu [11], [17], [18], [19], [23], [25], [26] Bản luận văn thực hướng dẫn PGS TS Đặng Đình Châu Nhân dịp tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người dành nhiều công sức thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tơi việc hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo thầy khoa Tốn - Cơ Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội kiến thức điều tốt đẹp mang lại cho thời gian học tập trường Tơi xin cảm ơn tới phịng Sau Đại học điều kiện thuận lợi việc hoàn thành thủ tục học tập bảo vệ luận văn Cám ơn thầy bạn seminar Phương trình vi phân động viên ý kiến trao đổi quí báu thân thời gian qua Cuối muốn tỏ lịng biết ơn gia đình, người thân chỗ dựa tinh thần vật chất cho sống học tập Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận góp ý q thầy, bạn Hà Nội, tháng 11 năm 2015 Thân Thu Phương z Chương Nửa nhóm liên tục mạnh tốn tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh 1.1 Khái niệm nửa nhóm liên tục mạnh số tính chất sơ cấp nửa nhóm liên tục mạnh 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Một họ (T (t))t≥0 tốn tử tuyến tính bị chặn khơng gian Banach X gọi nửa nhóm liên tục mạnh (hoặc C0 − nửa nhóm ) thỏa mãn điều kiện sau: T (t + s) = T (t)T (s) với t, s ≥ T (0) = I lim T (t)x = T (t0 )x với x ∈ X, t ≥ t→t0 Ví dụ 1.1 Xét nửa nhóm (T (t))t≥0 không gian C0 = C0 (R), xác định C0 (R) = {f ∈ C(R) : lim f (s) = 0} s→±∞ Với chuẩn ||f || = sup |f (s)| Ta có (C0 , ||.||) khơng gian Banach s∈R ∀t ≥ 0, ta định nghĩa: (Tl (t)f )(s) = f (t + s) ∀f ∈ C0 , ∀s ∈ R (Tr (t))f (s) = f (s − t) ∀f ∈ C0 , ∀s ∈ R Và z Khi (Tr (t))t≥0 (Tl (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh C0 , gọi tương ứng nửa nhóm dịch chuyển phải trái C0 Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp nửa nhóm dịch chuyển trái, trường hợp nửa nhóm dịch chuyển phải chứng minh tương tự • Ta chứng minh (Tl (t)) nửa nhóm Thật vậy: ∀t, h ≥ 0, ∀f ∈ C0 , s ∈ R, ta có (Tl (t + h)f )(s) = f (t + h + s) = (Tl (t)f )(h + s) = (Tl (t)Tl (h))f (s) suy Tl (t + h) = Tl (t)Tl (h) • Ta chứng minh (Tl (t))t≥0 liên tục mạnh Thật vậy, ta cần rằng, ∀f ∈ C0 lim ||Tl (t)f − f || = lim sup |f (t + s) − f (s)| = t→0+ t→0+ s∈R Vì f ∈ C0 suy f liên tục R tồn giới hạn lim f (s) = 0, s→±∞ nên f liên tục R Do ∀ > 0, ∃δ > cho: ∀s1 , s2 : |s1 − s2 | < δ Khi ∀t : ≤ t < δ, |t + s − s| < δ, ∀s ∈ R, ta có |f (t + s) − f (s)| <  Suy sup |f (t + s) − f (s)| ≤  suy : |f (s1 ) − f (s2 )| <  ∀s ∈ R ∀t : ≤ t < δ s∈R Vậy theo định nghĩa giới hạn ta có lim sup |f (t + s) − f (s)| = t→0+ s∈R Vậy (Tl (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh 1.1.2 Một số tính chất sơ cấp nửa nhóm liên tục mạnh Bổ đề 1.1 Giả sử X không gian Banach F hàm từ tập compact K ⊂ R vào L(X) Khi khẳng định sau tương đương (a) F tốn tử tơpơ liên tục mạnh; tức là, ánh xạ K t 7→ F (t)x ∈ X liên z tục ∀x ∈ X (b) F bị chặn K, ánh xạ K t 7→ F (t)x ∈ X liên tục ∀x ∈ D ⊂ X, D trù mật X (c) F liên tục tôpô hội tụ tập compact X ; tức là, ánh xạ K × C (t, x) 7→ F (t)x ∈ X liên tục tập compact C X Định lý 1.1 Cho nửa nhóm (T (t))t≥0 khơng gian Banach X Khi tính chất sau tương đương (a) (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh (b) lim+ T (t)x = x ∀x ∈ X t→0 (c) Có số δ > 0, M ≥ tập trù mật D ⊂ X thỏa mãn i ||T (t)|| ≤ M ∀t ∈ [0, δ], ii lim+ T (t)x = x ∀x ∈ D t→0 Chứng minh +) Chứng minh (a) ⇒ (c.ii) Vì (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh khơng gian Banach, nên ∀x ∈ D (D trù mật X ) lim T (t)x = T (0)x = x t→0+ +) Chứng minh (a) ⇒ (c.i) Giả sử ngược lại, tức tồn dãy (δn )n∈N ⊂ R+ hội tụ đến thỏa mãn ||T (δn )|| → ∞ n → ∞ Theo nguyên lý bị chặn đều, tồn x ∈ X thỏa mãn (||T (δn )x||)n∈N không bị chặn Điều mâu thuẫn với T (.)x liên tục t = (do (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh) +) Chứng minh (c) ⇒ (b) Đặt K = {tn : n ∈ N} ∪ {0} với dãy (tn )n∈N ⊂ [0, ∞) hội tụ đến Khi K ⊂ [0, ∞) compact, T (.)|K x liên tục ∀x ∈ D Do áp dụng bổ đề 1.1 (b) ta T (.)|K x liên tục ∀x ∈ X, tức là: lim T (tn )x = x n→∞ ∀x ∈ X Vì (tn )n∈N chọn tùy ý nên (b) chứng minh +) Chứng minh (b) ⇒ (a) Giả sử t0 > x ∈ X Khi lim ||T (t0 + h)x − T (t0 )x|| ≤ ||T (t0 )||.|| lim ||T (h)x − x|| = 0, h→0+ h→0+ suy (T (t))t≥0 liên tục phải Nếu h < ||T (t0 + h)x − T (t0 )x|| ≤ ||T (t0 + h)||.||x − T (−h)x|| z dẫn đến tính liên tục trái, ||T (t)|| bị chặn ∀t ∈ [0, t0 ] Vậy (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh Định lý 1.2 Cho nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 Khi có số w ∈ R M ≥ thỏa mãn: ||T (t)|| ≤ M ewt ∀t > (1.1) Chứng minh Chọn M ≥ thỏa mãn ||T (s)|| ≤ M ∀0 ≤ s ≤ Với t ≥ lấy t = s + n, ∀n ∈ N ≤ s < Khi đó: ||T (t)|| = ||T (s + n)|| = ||T (s).T (n)|| ≤ ||T (s)||.||T (n)|| ≤ ||T (s)||.||T (1)||n ≤ M n+1 = M en ln M ≤ M ewt với w = ln M t ≥ Ví dụ 1.2 Theo đinh lý (1.2) ta ln có ω < +∞ ω0 = −∞ Chẳng hạn: Trong không gian L1[0;1] , ta xét nửa nhóm tịnh tiến trái xác định bởi: ( f (t + s) s + t ≤ T (t)f (s) = s + t > Ta có: T (t) = 0, ∀t > R1 Với t thỏa mãn ≤ t ≤ 1, ||T (t)|| ≤ ||T (t)f || = || T (t)f (s)ds|| ≤ ||f || Suy ||T (t)|| ≤ Với ω < cố định, chọn M cho M ≤ e−ω Khi đó: ||T (t)|| < ≤ M.eω ≤ M.eωt , ∀t ≥ Vậy ω0 = −∞ 1.2 Khái niệm tốn tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh tính chất 1.2.1 Khái niệm toán tử sinh Để xây dựng khái niệm toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh, trước hết ta chứng minh bổ đề sau: z Bổ đề 1.2 Cho nửa nhóm (T (t))t≥0 liên tục mạnh phần tử x ∈ X Đối với quỹ đạo ánh xạ ξx : t 7→ T (t)x, tính chất sau tương đương (a) ξx (.) khả vi R+ (b) ξx (.) khả vi bên phải t = Định nghĩa 1.2 Toán tử sinh A : D(A) ⊂ X → X nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 khơng gian Banach X toán tử Ax = ξ˙x (0) = lim+ (T (h)x − x), h→0 h (1.2) xác định với x miền xác định D(A) = {x ∈ X : ξx khả vi R+ } (1.3) Theo bổ đề 1.2, ta thấy miền xác định D(A) tập tất phần tử x ∈ X mà ξx (.) khả vi bên phải t = Do D(A) = {x ∈ X : lim+ (T (h)x − x) tồn tại} h→0 h (1.4) Miền D(A) khơng gian vector ký hiệu tốn tử sinh (A, D(A)) Chúng ta thường viết A coi miền xác định cho (1.4) 1.2.2 Các tính chất tốn tử sinh Giả sử T (t)t≥0 toán tử liên tục mạnh toán tử sinh (A, D(A)), ta đặt: y(t) = t Zt ξx (s)ds = t Zt T (s)xds, ∀x ∈ X, t > 0 Do lim+ T (t)x = x nên với ε > 0, tồn số δ > cho với < t < δ ta t→0 có ε ||T (t)x − x|| < Mặt khác theo định nghĩa tích phân xác định với ε > tồn phân hoạch đoạn [0, t] cho: n T (s)xds − x ≤ T (s)xds − t t t t i=1 i=1 n ε X1 < + ||T (αi )x − x||∆si t i=1 < ε Vậy ta có: lim y(t) = lim + + t→0 t→0 t Zt T (s)xds = x (1.5) Định lý 1.3 Cho tốn tử sinh (A, D(A)) nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 , ta có tính chất sau (i) A : D(A) ⊂ X → X tốn tử tuyến tính (ii) Nếu x ∈ D(A) T (t)x ∈ D(A) d T (t)x = T (t)Ax = AT (t)x dt ∀t ≥ (1.6) x ∈ X, (1.7) (iii) ∀t ≥ x ∈ X, ta có Zt T (s)xds ∈ D(A) (iv) ∀t ≥ 0, ta có: Zt T (t)x − x = A T (s)xds Zt = T (s)Axds x ∈ D(A) Chứng minh (i) ∀α, β ∈ R x, y ∈ X, ta có A(αx + βy) = lim h→0+ [(T (h)(αx + βy) − (αx + βy)] = αAx + βAy h Vậy A : D(A) ⊆ X → X toán tử tuyến tính (ii) Lấy x ∈ D(A), từ ξ˙x (t) = T (t)ξ˙x (0), ∀t ≥ ta thấy ˙ = lim T (t + h)x − T (t)x = T (t)ξ(0) ˙ ξ(t) = T (t)Ax h h→0+ z (1.8) Do lim+ h→0 T (t + h)x − T (t)x (T (h)T (t)x − T (t)x) = lim = T (t)Ax, h h h→0 T (t)x ∈ D(A) (do (1.4)) suy AT (t)x = T (t)Ax (iii) ∀x ∈ X, t ≥ ta có  1 T (h) h Zt Zt T (s)xds − = h Zt+h T (s)xds − h Zt  T (s + h)xds − h T (s)xds = h Zt T (s)xds Zt+h T (s)xds − h t h Zt T (s)xds = h Zh T (s)xds hội tụ đến T (t)x − x h → 0+ Do Zt T (s)xds ∈ D(A) (iv) Theo chứng minh (iii) h → 0+ , ∀x ∈ X ta có (1.7) Nếu x ∈ D(A) hàm s 7→ T (s) hội tụ [0, t] đến hàm Do lim+ (T (h) − I) h→0 h (T (h)x − x) h s 7→ T (s)Ax Zt Zt T (s)xds = lim+ h→0 h → 0+ T (s) (T (h) − I)xds = h 0 Zt Axds Định lý 1.4 Toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh tốn tử tuyến tính đóng, xác định trù mật xác định nửa nhóm Chứng minh Giả sử (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh khơng gian Banach X Theo bổ đề 1.3 toán tử sinh (A, D(A)) tốn tử tuyến tính +) Chứng minh A đóng Lấy dãy (xn )n∈N ⊂ D(A) cho lim xn = x lim Axn = y tồn n→∞ n→∞ Do (1.8) bổ đề 1.3 ta có: Zt T (t)xn − xn = T (s)Axn ds, 10 z ∀t ≥ Do tính hội tụ T (.)Axn [0, t] n → ∞ dẫn đến: Zt T (t)x − x = T (s)yds Nhân hai vế với lấy giới hạn t → 0+ ta được: t  lim t→0+ T (t)x − x t  = lim t→0+ t Zt T (s)yds, suy x ∈ D(A) Ax = y, tức A đóng +) Chứng minh D(A) trù mật X Rt Theo bổ đề 1.3(iii) ta có T (s)xds ∈ D(A) t Do tính liên tục mạnh (T (t))t≥0 nên lim+ t→0 Rt T (s)xds = x t0 ∀x ∈ X Suy D(A) trù mật X +) Chứng minh tính Giả sử (S(t))t≥0 nửa nhóm khác liên tục mạnh có tốn tử sinh (A, D(A)) ∀x ∈ D(A) t > 0, xét ánh xạ: s 7→ ηx (s) = T (t − s)S(s)x Ta có với s cố định tập n S(s + h)x − S(s)x h ∀0 ≤ s ≤ t o : h ∈ (0, 1) ∪ {AS(s)x} compact Xét tỷ số sai phân: 1 (ηx (s + h) − ηx (s)) = T (t − s − h) (S(s + h)x − S(s)x) h h + (T (t − s − h) − T (t − s)) S(s)x h Khi đó: d ηx (s) = T (t − s)AS(s)x − AT (t − s)S(s)x = dt Suy ηx (s) số Ta có ηx (0) = T (t)x ηx (t) = S(t)x Suy ra: T (t)x = S(t)x với x miền trù mật D(A) Do đó: T (t) = S(t) ∀t ≥ 11 z 1.2.3 Một vài biểu thức liên quan đến giải toán tử sinh Định lý 1.5 Giả sử (A, D(A)) toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 Khi với λ ∈ C t > 0, ta có đẳng thức sau:  Rt   (A − λI) e−λs T (s)xds x ∈ X (∗) e−λt T (t)x − x = Rt    e−λs T (s)(A − λI)xds x ∈ D(A) (∗∗) Chứng minh Áp dụng định lý 1.3 nửa nhóm điều chỉnh S(t) = e−λt T (t), t ≥ Ta có:   e−λt − I e−λt T (t) − I −λt T (t) − I lim t→0+ t x = lim+ e t→0 = Ax − λx, t x+ t x ∀x ∈ D(A) Miền xác định D(B) toán tử sinh B nửa nhóm (S(t))t≥0 D(B) = D(A) Bx = Ax − λx với x ∈ D(A) Áp dụng định lý 1.3, ta suy ra:  t R   B S(s)xds x ∈ X S(t)x − x = Rt    S(s)Bxds x ∈ D(B) Vậy ta có điều phải chứng minh Sau ta nêu công thức quan trọng liên hệ nửa nhóm với giải thức tốn tử sinh Định lý 1.6 Giả sử T (t)t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh khơng gian Banach X có tốn tử sinh (A, D(A)) lấy số w ∈ R, M ≥ thỏa mãn ||T (t)|| ≤ M ewt ∀t ≥ (1.9) Khi tính chất sau R∞ (i) Nếu λ ∈ C thỏa mãn R(λ)x = e−λs T (s)xds tồn ∀x ∈ X , λ ∈ ρ(A) R(λ, A) = R(λ) (ii) Nếu Reλ > w λ ∈ ρ(A), giải thức cho tích phân (i) M , ∀Reλ > w Reλ − w Công thức R(λ, A) (i) gọi biểu diễn tích phân giải thức Tích (iii) ||R(λ, A)|| ≤ phân hiểu tích phân Riemann suy rộng, tức là: Zt e−λs T (s)xds R(λ, A)x = lim t→∞ 12 z ∀x ∈ X (1.10) Ta thường viết Z∞ R(λ, A) = e−λs T (s)ds (1.11) Chứng minh (định lý 1.6) (i) Xét trường hợp λ = Khi với x tùy ý ∈ X h > 0, ta có Z∞ T (h) − I T (h) − I R(0)x = h h T (s)xds = h Z∞ T (s + h)xds − h Z∞ = h T (s)xds Z∞ T (s)xds − h Z∞ T (s)xds = − h h Zh T (s)xds Lấy giới hạn h → 0+ suy vế phải tiến đến -x nên R(0)x ∈ D(A) AR(0) = −I Mặt khác với x ∈ D(A), ta có Rt lim t→∞ lim A t→∞ Rt T (s)xds = lim Rt t→∞ 0 T (s)xds = R(0)x, T (s)Axds = R(0)Ax(theo bổ đề 1.3(iv)) Vì theo định lý 1.4 tốn tử A đóng dẫn tới R(0)Ax = AR(0)x = −x, R(0) = (−A)−1 + Phần (ii) (iii) suy từ (i) Vì Zt || e−λs T (s)ds|| ≤ M Với Reλ > w vế phải hội tụ đến Zt e(w−Reλ)s ds M t → ∞ (Reλ − w) Hệ 1.1 Đối với toán tử sinh (A, D(A)) nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 thỏa mãn ||T (t)|| ≤ M ewt với t ≥ 0, với Reλ > w n ∈ N ta có: Z+∞ n−1 n−1 R(λ, A)n x = (−1) d R(λ, A)x = n−1 (n − 1)! dλ (n − 1)! sn−1 e−λs T (s)xds, ∀x ∈ X (1.12) 13 z Đặc biệt, ta có: ||R(λ, A)n || ≤ M , (Reλ − w)n ∀n ∈ N Reλ > w Chứng minh Đẳng thức (1.12) tương đương với: dn−1 R(λ, A)x = (−1)n−1 (n − 1)!R(λ, A)n x dλn−1 = (−1)n−1 Z+∞ sn−1 e−λs T (s)xds Với λ, µ ∈ ρ(A), ta có (λI − A)R(λ, A) = I Do vậy, ta suy ra: [λIR(λ, A) − AR(λ, A)]R(µ, A) = R(µ, A), R(λ, A)[µR(µ, A) − AR(µ, A)] = R(λ, A) Do A R(λ, A) giao hoán với nên trừ vế hai phương trình trên, ta được: R(λ, A) − R(µ, A) = (µ − λ)R(λ, A)R(µ, A) Suy ra: R(λ, A) − R(µ, A) = −R(λ, A)R(µ, A) λ−µ với µ 6= λ Cho µ → λ, ta có: d R(λ, A) = −R(λ, A)2 dλ Mặt khác, ta có: d d R(λ, A) = dλ dλ Z+∞ Z+∞ 0 e−λs T (s)xds = − se−λs T (s)xds Vậy (1.12) với n = Trường hợp tổng quát ta suy quy nạp Thật giả sử (1.12) với n, tức là: dn−1 R(λ, A) = (−1)n−1 (n − 1)!(R(λ, A))n n−1 dλ Ta chứng minh cho trường hợp n + Ta có: dn R(λ, A) d = (−1)n−1 (n − 1)! (R(λ, A))n n dλ dλ d = (−1)n−1 n!R(λ, A)n−1 R(λ, A) dλ n n+1 = (−1) n!R(λ, A) 14 z tức đẳng thức thứ (1.12) với n + Mặt khác từ đẳng thức: Z+∞ dn−1 R(λ, A)x = (−1)n−1 dλn−1 sn−1 e−λs T (s)xds ⇒ dn R(λ, A) = (−1)n dλn Z+∞ sn e−λs T (s)xds Vậy (1.12) cho n + Nhận xét 1.1 Tính chất định lý 1.6 cho thấy phổ toán tử sinh nửa nhóm ln chứa nửa bên trái mặt phẳng phức Số xác định nửa bên trái nhỏ số đặc trưng quan trọng toán tử sinh xác định sau: Định nghĩa 1.3 Cho nửa nhóm liên tục mạnh T = (T (t))t≥0 , gọi ω0 cận tăng trưởng ω0 = ω0 (T ) = inf{w ∈ R : tồn Mw ≥ thỏa mãn ||T (t)|| ≤ Mw ewt , ∀t ≥ 0} Xét trường hợp đặc biệt - Nếu w = 0, nửa nhóm (T (t))t≥0 gọi nửa nhóm bị chặn - Nếu w = M = 1, nửa nhóm (T (t))t≥0 gọi là nửa nhóm co - Nếu ||T (t)x|| = ||x||, ∀t ≥ x ∈ X, nửa nhóm (T (t))t≥0 gọi nửa nhóm đẳng cự Định nghĩa 1.4 Đối với toán tử A, ta gọi cận phổ A số s(A) xác định bởi: s(A) = sup{Reλ : λ ∈ σ(A)} Hệ 1.2 Đối với nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 với tốn tứ sinh A, ta có −∞ ≤ s(A) ≤ w0 ≤ +∞, w0 cận tăng trưởng nửa nhóm: w0 = inf{w ∈ R : ∃M, ||T (t)|| ≤ M ewt , ∀t > 0} 1.3 Các định lý tốn tử sinh nửa nhóm Bây ta trở lại vấn đề nửa nhóm tìm đặc trưng tốn tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh Ta nhớ lại tốn tử sinh nửa nhóm tốn tử đóng có miền xác định trù mật có phổ chứa nửa mặt phẳng trái Tuy nhiên điều kiện điều kiện cần điều kiện đủ Trước hết, ta chứng minh bổ đề sau: 15 z Bổ đề 1.3 Giả sử (A, D(A)) tốn tử đóng, xác định trù mật tồn w ∈ R M ≥ cho [w, +∞) ⊂ ρ(A) ||λR(λ, A)|| ≤ M với λ ≥ w Khi với λ → +∞, ta có: λR(λ, A)x → x với x ∈ X λAR(λ, A)x = λR(λ, A)Ax → Ax với x ∈ D(A) Định lý 1.7 (Định lý Hille-Yosida đặc trưng toán tử sinh nửa nhóm co) Đối với tốn tử (A, D(A)) khơng gian Banach, tính chất sau tương đương: (A, D(A)) sinh nửa nhóm co liên tục mạnh (A, D(A)) tốn tử đóng, D(A) = X với λ > ta có λ ∈ ρ(A) đồng thời ||λR(λ, A)|| ≤ (A, D(A)) tốn tử đóng, D(A) = X với λ ∈ C với Reλ > ta có λ ∈ ρ(A) đồng thời ||R(λ, A)|| ≤ Reλ Chứng minh Do định lý 1.4 định lý 1.6, ta có ⇒ Rõ ràng ⇒ Ta cần chứng minh ⇒ Muốn ta xét xấp xỉ Yosida: An := nAR(n, A) = n2 R(n, A)−nI (do (nI−A)R(n, A) = I ⇒ AR(n, A) = nR(n, A)−I) An toán tử bị chặn với n giao hoán với (do R(λ, A) R(µ, A) giao hốn nhau, điều suy từ hệ thức Hilbert) Xét nửa nhóm liên tục xác định bởi: Tn (t) = etAn (t ≥ 0, n ∈ L) Theo bổ đề 1.3 ý ⇒ An x hội tụ mạnh đến Ax D(A) Từ suy tính chất sau: (a) T (t)x := lim Tn (t)x tồn với x ∈ X n→∞ (b) (T (t))t≥0 nửa nhóm co liên tục mạnh X (c) Nửa nhóm có tốn tử sinh (A, D(A)) Chứng minh (a) Với n, (Tn (t))t≥0 nửa nhóm co Tn (t) = e(n đó: +∞ ... - - - - - - - - - THÂN THU PHƯƠNG DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:... đến Luận văn "Dáng điệu nghiệm hệ phương trình động lực tuyến tính số ứng dụng" chủ yếu tìm hiểu trình bày lại vài vấn đề phương pháp hệ động lực tuyến tính khả ứng dụng thực tế Cụ thể phương pháp... mà ứng dụng ngành khoa học tự nhiên đến nghiên cứu tính chất hệ động lực tập nghiệm phương trình vi phân thường phương trình đạo hàm riêng Bài tốn mà chúng tơi đề cập đến Luận văn "Dáng điệu nghiệm