Luận Án Tiến Sĩ Hệ Động Lực Ngẫu Nhiên Ẩn Rời Rạc Và Áp Dụng.pdf

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ TIẾN VIỆT HỆ ĐỘNG LỰC NGẪU NHIÊN ẨN RỜI RẠC VÀ ÁP DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2013 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ TIẾN VIỆT HỆ ĐỘNG LỰC NGẪU NHIÊN ẨN RỜI RẠC VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất Thống kê toán học Mã số: 62 46 15 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn khoa học: GS-TS Nguyễn Hữu Dư TS Nguyễn Hồng Hải Hà Nội - 2013 z LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Luận án hồn thành hướng dẫn GS TS Nguyễn Hữu Dư TS Nguyễn Hồng Hải Các số liệu, kết nêu Luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Vũ Tiến Việt z LỜI CẢM ƠN Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới GS-TS Nguyễn Hữu Dư NCVCC-TS Nguyễn Hồng Hải Các thầy tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi vượt qua nhiều khó khăn học tập, nghiên cứu khoa học sống Tôi xin trân trọng cảm ơn tồn thể Thầy, Cơ cán Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Những người dạy dỗ, giúp đỡ suốt nhiều năm qua, từ học sinh A0, đến sinh viên đại học, sau học viên cao học nghiên cứu sinh Tôi xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp gia đình động viên giúp đỡ tơi sống để tơi hồn thành luận án Tơi xin trân trọng cảm ơn riêng GS-TSKH Nguyễn Duy Tiến GS-TS Nguyễn Quý Hỷ động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án Tác giả Vũ Tiến Việt z Mục lục Danh mục ký hiệu sử dụng luận án Mở đầu iii Chu.o.ng Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức đại số tuyến tính 1.1.1 Chỉ số ma trận chùm hai ma trận 1.1.2 Khai triển Jordan khai triển Kronecker 1.1.3 Một vài tính chất ba ma trận 1.1.4 Nghịch đảo suy rộng Moore-Penrose ma trận 1.2 Số mũ Lyapunov Định lý ergodic nhân tính (MET) 1.2.1 Số mũ Lyapunov 1.2.2 Định lý ergodic nhân tính (MET) 11 11 11 12 13 16 18 18 19 Chu.o.ng Đồng chu trình suy biến với số số mũ Lyapunov 2.1 Giới thiệu 2.2 Tính giải phương trình sai phân ẩn số 2.2.1 Phương trình sai phân ẩn với hệ số 2.2.2 Phương trình sai phân khơng Autonom có số 2.2.3 Phép chiếu chuẩn tắc 2.2.4 Toán tử Cauchy 2.3 Phương trình sai phân ẩn với hệ số ngẫu nhiên 22 22 23 23 24 28 29 30 i z 2.4 2.5 2.6 2.3.1 Sự tồn nghiệm phương trình (2.3.1) 2.3.2 Nghiệm phương trình sai phân ẩn lùi Tính chất động lực Số mũ Lyapunov Định lý ergodic nhân tính Kết luận với n ≥ 30 33 35 38 49 Chu.o.ng Phương trình sai phân ẩn số 3.1 Giới thiệu 3.2 Phương trình sai phân ẩn với số mềm 3.3 Tính giải phương trình sai phân ngẫu nhiên ẩn tuyến tính số 3.4 Định lý ergodic nhân tính phương trình sai phân ngẫu nhiên ẩn tuyến tính số 3.4.1 Nghiệm tốn Cauchy với phương trình tiến 3.4.2 Nghiệm tốn Cauchy cho phương trình lùi 3.4.3 Tính chất đồng chu trình nghiệm 3.4.4 Định lý ergodic nhân tính 3.5 Các ví dụ minh hoạ 3.6 Kết luận 50 50 51 Áp dụng 83 Kết luận hướng nghiên cứu 91 Các cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 93 Tài liệu tham khảo 94 ii z 56 67 68 69 71 74 77 81 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN (A, B) : (A, A, B) : det A : dim W , dim(W ) : GL(Rd ): Ik , I : im A : ker A : ind A : ind(A, B) : Jf : Jb : M† : Nn : N1,n : N: N0 = N ∪ {0} : Nk : Z: R, C : Rd , (Cd ) : Re(z): Rr×s , (Cr×s ) : Or×s , Ok , O : cặp ma trận ba ma trận định thức ma trận A số chiều không gian W nhóm ma trận khả nghịch cấp d × d ma trận đơn vị kích thước k × k, d × d ảnh ma trận A nhân ma trận A số ma trận A số cặp ma trận (A, B) không gian điều kiện ban đầu cho toán với n > không gian điều kiện ban đầu cho toán với n < Nghịch đảo suy rộng Moore-Penrose ma trận M nhân toán tử tuyến tính An nhân tốn tử tuyến tính ker Gn tập hợp số tự nhiên tập hợp số tự nhiên lớn tập hợp số tự nhiên lớn k tập hợp số nguyên trường số thực, trường số phức không gian véctơ thực (phức) d chiều phần thực số phức z khơng gian ma trận thực (phức) kích thước r × s ma trận khơng kích thước r × s, k × k, d × d iii z Pe : phép chiếu tắc từ Rd lên Rr song song với Rd−r e: Q phép chiếu tắc từ Rd lên Rd−r song song với Rr Qn : phép chiếu từ Rd lên Nn Q1,n : toán tử chiếu lên ker Gn rankA : hạng A Sn : không gian chứa nghiệm phương trình sai phân số 1: An xn+1 = Bn xn + qn = {ξ | Bn ξ ∈ im An } S1,n : không gian chứa nghiệm phương trình số = {z ∈ Rd , : Bn Pn−1 z ∈ im Gn } X >: ma trận (véctơ) chuyển vị ma trận (vector) X Φ(n, m) : Ma trận Cauchy phương trình sai phân ẩn λ[f ]: số mũ Lyapunov hàm f λ[x]: số mũ Lyapunov nghiệm xuất phát từ X(t, x) 0: véctơ không không gian tương ứng xét L : tổng trực tiếp span(S) : Bao tuyến tính tập hợp S gồm véctơ Các chữ viết tắt: h.c.c: Hầu chắn h.k.n: Hầu khắp nơi i.i.d: Độc lập, phân phối PTSPÂTT: SVD: Phương trình sai phân ẩn tuyến tính Khai triển theo giá trị kì dị iv z Mở đầu Phương trình sai phân cơng cụ mạnh để mơ tả phát triển hệ nghiên cứu quan sát khoảng thời gian cách giá trị thời điểm thứ n biểu diễn truy hồi qua giá trị khứ trước n Vì thế, lý thuyết phương trình sai phân đối tượng nhiều nhà nghiên cứu ứng dụng quan tâm xuất nhiều lĩnh vực khác toán học ứng dụng thực tế khoa học khác, chẳng hạn giải tích số, lý thuyết điều khiển, lý thuyết trò chơi, lý thuyết số, lý thuyết xác suất, giải tích tổ hợp, khoa học máy tính, lý thuyết mạch, lý thuyết lượng tử, di truyền học, kinh tế học, tâm lý học xã hội học Thí dụ, xét q trình phát triển quần thể có cấu trúc tuổi hệ sinh thái Nếu gọi xn+1 véctơ cấu trúc quần thể thời điểm năm n + (tức số lượng cá thể lứa tuổi quần thể năm n + 1) xn+1 hàm véctơ cấu trúc quần thể xn thời điểm năm trước Sự liên hệ mô tả hệ thức xn+1 = f (xn , n), n ∈ N0 Trong trường hợp mối liên hệ tuyến tính phương trình có dạng xn+1 = An xn , với An ma trận Leslie có dạng  f0 f1   s0  An =   s1   0 n ∈ N0 ,  fd−2 fd−1  0   0  ,   sd−2 z (0.0.1) d tuổi cao đạt quần thể; fi tỷ lệ sinh cá thể cá thể có tuổi i; si tỷ lệ sống sót tuổi i với i = 1, 2, , d − (xem [33]) Phương trình sai phân gặp áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp Euler để tìm nghiệm xấp xỉ số phương trình đạo hàm riêng phương trình vi phân ta khơng thể tìm nghiệm giải tích hệ dx = f (x(t), t), dt t ∈ [0, T ] Dạng tổng quát phương trình sai phân cho sau F (xn+1 , xn , xn−1 , , xn−k , n) = 0, n ∈ Nk , (0.0.2) F hàm Trong trường hợp k hữu hạn, phương trình sai phân (0.0.2) gọi phương trình sai phân cấp k + Một trường hợp đặc biệt (dạng tường minh) quan trọng phương trình sai phân (0.0.2) xn+1 = f (xn , xn−1 , xn−2 , , xn−k , n), n ∈ Nk , (0.0.3) f hàm Nghiệm phương trình sai phân (0.0.3) tính dễ dàng nhờ phương pháp truy hồi, tức tính với n = 1, 2, 3, Các kết phương trình sai phân liên quan đến tốn giải nghiệm, tính ổn định, điều khiển được, điều khiển tối ưu, số mũ Liapunov ứng dụng phong phú trình bày nhiều sách tạp chí (xem tài liệu [6, 7, 26, 36, 27, 28, ]) Đối với phương trình (0.0.2), ta giải số hạng có số cao xn+1 hàm biến cịn lại (ít mặt địa phương) phương trình (0.0.2) chuyển phương trình (0.0.3) ta dễ dàng giải nghiệm Trong trường hợp chiều (tức xn lấy z ... ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ TIẾN VIỆT HỆ ĐỘNG LỰC NGẪU NHIÊN ẨN RỜI RẠC VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất Thống kê toán học Mã số: 62 46 15 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng... nhiều tác động yếu tố ngẫu nhiên Vì sử dụng phương trình sai phân để mơ tả hệ yếu tố ngẫu nhiên phải ý đến Mục đích luận án nghiên cứu lớp phương trình sai phân ẩn tuyến tính chịu nhiễu ngẫu nhiên. .. nhiễu ngẫu nhiên tác động vào hệ dạng nhiễu ồn thực (real noise), tức nhiễu trình dừng Khái niệm "ồn thực" đưa V I Oseledets vào năm 1968 báo tiếng [36] Sau nhóm nghiên cứu GS Arnold Hệ động lực ngẫu