Hệ động lực ngẫu nhiên ẩn rời rạc và áp dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ TIẾN VIỆT HỆ ĐỘNG LỰC NGẪU NHIÊN ẨN RỜI RẠC VÀ ÁP DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ TIẾN VIỆT HỆ ĐỘNG LỰC NGẪU NHIÊN ẨN RỜI RẠC VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất Thống kê toán học Mã số: 62 46 15 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn khoa học: GS-TS Nguyễn Hữu Dư TS Nguyễn Hồng Hải LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Luận án hoàn thành hướng dẫn GS TS Nguyễn Hữu Dư TS Nguyễn Hồng Hải Các số liệu, kết nêu Luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Vũ Tiến Việt LỜI CẢM ƠN Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới GS-TS Nguyễn Hữu Dư NCVCC-TS Nguyễn Hồng Hải Các thầy tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi vượt qua nhiều khó khăn học tập, nghiên cứu khoa học sống Tơi xin trân trọng cảm ơn tồn thể Thầy, Cơ cán Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Những người dạy dỗ, giúp đỡ suốt nhiều năm qua, từ học sinh A0, đến sinh viên đại học, sau học viên cao học nghiên cứu sinh Tôi xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp gia đình động viên giúp đỡ tơi sống để tơi hồn thành luận án Tơi xin trân trọng cảm ơn riêng GS-TSKH Nguyễn Duy Tiến GS-TS Nguyễn Quý Hỷ động viên tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận án Tác giả Vũ Tiến Việt Mnc lnc Danh mnc ký hi¾u sE dnng lu¾n án iii Ma đau Chu o ng M®t so kien thÉc chuan b% 11 1.1 M®t so kien thúc đai so tuyen tính 11 1.1.1 Chi so cna ma tr¾n cna chùm hai ma tr¾n 11 1.1.2 Khai trien Jordan khai trien Kronecker 12 1.1.3 Mđt vi tớnh chat cna bđ ba cỏc ma trắn 13 1.1.4 Ngh%ch đao suy rđng Moore-Penrose cna mđt ma trắn 16 1.2 So mũ Lyapunov Đ%nh lý ergodic nhân tính (MET) 18 1.2.1 So mũ Lyapunov 18 1.2.2 Đ%nh lý ergodic nhân tính (MET) 19 Chu o ng Đong chu trình suy bien vái chi so so mũ Lyapunov 22 2.1 Giói thi¾u 22 2.2 Tính giai đưoc cna phương trình sai phân an chi so 23 2.2.1 Phương trình sai phân an thuan nhat vói h¾ so hang 23 2.2.2 Phương trình sai phân khơng Autonom có chi so 24 2.2.3 Phép chieu chuan tac 28 2.2.4 Toán tu Cauchy 29 2.3 Phương trình sai phân an vói h¾ so ngau nhiên 30 i 2.3.1 Sn ton tai nghi¾m cna phương trình (2.3.1) vói n ≥ 30 2.3.2 Nghi¾m cna phương trình sai phân an lùi 2.4 Tính chat đ®ng lnc 33 35 2.5 So mũ Lyapunov Đ%nh lý ergodic nhân tính 2.6 Ket lu¾n 38 49 Chu o ng Phương trình sai phân an chi so 50 3.1 Giói thi¾u 50 3.2 Phương trình sai phân an vói chi so mem 51 3.3 Tính giai đưoc cna phương trình sai phân ngau nhiên an tuyen tính chi so 56 3.4 Đ%nh lý ergodic nhân tính đoi vói phương trình sai phân ngau nhiên an tuyen tính chi so 67 3.4.1 Nghi¾m cna tốn Cauchy vói phương trình tien 68 3.4.2 Nghi¾m cna tốn Cauchy cho phương trình lùi 69 3.4.3 Tính chat đong chu trình cna nghi¾m 71 3.4.4 Đ%nh lý ergodic nhân tính 74 3.5 Các ví du minh hoa 77 3.6 Ket lu¾n 81 Áp dnng 83 Ket lu¾n hưáng nghiên cÉu tiep theo 91 Các cơng trình khoa Tài li¾u tham khao HQC CUA tác gia liên quan đen lu¾n án 93 94 DANH MUC CÁC KÝ HIfiU SU DUNG TRONG LU¾N ÁN (A, B) : c¾p ma tr¾n (A, A, B) : bđ ba ma trắn det A : %nh thỳc cna ma tr¾n A dim W , dim(W ) : so chieu cna khơng gian W GL(Rd): × d Ik, I : d im A : ker A : ind A : ind(A, B) : Jf : Jb: M† : Nn : N1,n : nhóm ma tr¾n kha ngh%ch cap d ma trắn n v% kớch thúc k ì k, d × N: N0 = N ∪ {0} : Nk : Z: R, C : Rd, (Cd) : Re(z): t¾p hop so tn nhiên t¾p hop so tn nhiên lón ho¾c bang t¾p hop so tn nhiên lón ho¾c bang k t¾p hop so ngun trưịng so thnc, trưịng so phúc khơng gian véctơ thnc (phúc) d chieu phan thnc cna so phúc z Rr×s, (Cr×s) : Or×s, Ok, O : khơng gian ma trắn thnc (phỳc) kớch thúc r ì s ma trắn khơng kích thưóc r × s, k × k, d × d anh cna ma tr¾n A nhân cna ma tr¾n A chi so cna ma tr¾n A chi so cna c¾p ma tr¾n (A, B) khơng gian đieu ki¾n ban đau cho tốn vói n > khơng gian đieu ki¾n ban đau cho tốn vói n < Ngh%ch đao suy r®ng Moore-Penrose cna ma tr¾n M nhân cna tốn tu tuyen tính An nhân cna tốn tu tuyen tính ker Gn P˜ : phép chieu tac tù Rd lên Rr song song vói Rd−r Q phép chieu tac tù Rd lên Rd−r song ˜: song vói Rr Qn : phép chieu tù Rd lên Nn Q1,n: toán tu chieu lên ker Gn rankA : hang cna A Sn : không gian chúa nghi¾m cna phương trình sai phân chi so 1: Anxn+1 = Bnxn + qn = {ξ | Bnξ ∈ im An} S1,n: khơng gian chúa nghi¾m cna phương trình chi so = {z ∈ Rd, : BnPn−1z ∈ im Gn} XT: ma tr¾n (véctơ) chuyen v% cna ma tr¾n (vector) X Φ(n, m) : Ma tr¾n Cauchy cna phương trình sai phân an λ[f ]: so mũ Lyapunov cna hàm f λ[x]: so mũ Lyapunov cna nghi¾m xuat phát tù X(t, x) 0: véctơ không không gian tương úng L xét : tőng trnc tiep span(S) : Bao tuyen tính cna t¾p hop S gom véctơ Các chE viet tat: h.c.c: Hau chac chan h.k.n: Hau khap ni i.i.d: đc lắp, cựng phõn phoi PTSPTT: SVD: Phương trình sai phân an tuyen tính Khai trien theo giá tr% kì d% Ma đau Phương trình sai phân công cu manh đe mô ta sn phát trien cna h¾ nghiên cúu đưoc quan sát nhung khoang thòi gian cách đeu giá tr% tai thòi điem thú n đưoc bieu dien truy hoi qua giá tr% q khú trưóc n Vì the, lý thuyet phương trình sai phân đoi tưong đưoc nhieu nhà nghiên cúu úng dung quan tâm xuat hi¾n o nhieu lĩnh vnc khác toán HQc úng dung thnc te khoa HQc khác, chang han giai tích so, lý thuyet đieu khien, lý thuyet trò chơi, lý thuyet so, lý thuyet xác suat, giai tích tő hop, khoa HQc máy tính, lý thuyet mach, lý thuyet lưong tu, di truyen HQc, kinh te HQc, tâm lý HQc xã h®i HQc Thí du, xét q trình phát trien cna quan the có cau trúc tuői m®t h¾ sinh thái Neu GQI xn+1 véctơ cau trúc cna quan the tai thòi điem năm n + (túc so lưong cá the o tùng lúa tuői cna quan the tai năm n + 1) xn+1 m®t hàm cna véctơ cau trúc quan the xn tai thịi điem năm trưóc Sn liên h¾ đưoc mơ ta boi h¾ thúc xn+1 = f (xn , n), n ∈ N0 Trong trưòng hop moi liên h¾ tuyen tính phương trình có dang xn+1 = Anxn, n ∈ N0 , vói An ma tr¾n Leslie có dang  f0 f1 fd−2  s  fd−1 An = s1  0 sd−2  ,   (0.0.1) d tuői cao nhat đat đưoc cna quan the; fi l ty lắ sinh cỏ the múi cna mđt cá the có tuői i; si ty l¾ song sót cna tuői i vói i = 1, 2, , d− (xem [33]) Phương trình sai phân đưoc g¾p áp dung phương pháp sai phân huu han, phương pháp Euler hi¾n đe tìm nghi¾m xap xi bang so cna phương trình đao hàm riêng ho¾c phương trình vi phân ta khơng the tìm đưoc nghi¾m giai tích cna h¾ dx = f (x(t), t), t ∈ [0, T ] dt Dang tőng quát cna phương trình sai phân đưoc cho sau F (xn+1, xn, xn−1, , xn−k, n) = 0, n ∈ Nk, (0.0.2) F m®t hàm Trong trưịng hop k huu han, phương trình sai phân (0.0.2) đưoc GQI phương trình sai phõn cap k + Mđt trũng hop ắc biắt (dang tưịng minh) quan TRQNG cna phương trình sai phân (0.0.2) xn+1 = f (xn, xn−1, xn−2, , xn−k, n), n ∈ Nk, (0.0.3) ú f l mđt hm no ú Nghiắm cna phng trình sai phân (0.0.3) có the tính de dàng nhị phương pháp truy hoi, túc tính lan lưot vói n = 1, 2, 3, Các ket qua ve phương trình sai phân liên quan đen tốn giai nghi¾m, tính őn đ%nh, đieu khien đưoc, đieu khien toi ưu, so mũ Liapunov úng dung rat phong phú đưoc trình bày rat nhieu sách tap chí (xem tài li¾u [6, 7, 26, 36, 27, 28, ]) Đoi vói phương trình (0.0.2), neu ta có the giai so hang có chi so cao nhat xn+1 m®t hàm cna bien cịn lai (ít nhat ve m¾t đ%a phương) phương trình (0.0.2) có the chuyen ve phương trình (0.0.3) ta de dàng giai đưoc nghi¾m cna Trong trưịng hop chieu (túc xn lay   (τ +2ξn)2  Σ Σ (τ +2ξn )2 τ +2ξn) τ n) 0 +2ξ0 τ +2ξn 0 0 τ +2ξn 1+ ( Σ τ +2ξn 1+ ( Σ 0  1+ (τ +2ξn)2 τ +2ξn = Q1,n 1 1+ (τ +2ξn)2  Vắy Q1,n l mđt phộp chieu Do vắy G1,n = Gn + B(I Q)TnQ1,n l mđt ma tr¾n khơng suy bien nên h¾ (4.1.8) có chi so e nhac lai rang Tn phép cau cho thu hep cna ker Gn phép cau giua ker Gn ker Gn−1 Tuy nhiên đ¾c thù nên h¾ , , n4 ) Tù phương trình (4.1.8) có the giai sau: đ¾t ynτ = (y1n , nτ τ y y y τ nτ thú ba thú tư cna (4.1.8) nh¾n đưoc ynτ = y nτ = ∀ n Tù đưoc ynτ − τ − Σ ; ynτ = ξi nY−1 i= = Do v¾y so mũ Lyapunov cna h¾ λτ − [y] = E τ − ξ1 Chú ý rang ξ1 có phân phoi chuan N (0, τ ) (phu thu®c theo τ ), se thu đưoc lim λτ [y] = E|1 − ξ1| = τ→ Các ket qua tính tốn o đưoc kiem chúng bang Matlab nhị chương trình sau clear all; clc tt=10;%number for t nt=100;%number for e Max=10^7; for i=1:tt e=0; for j=1:nt%run nt times each t's value t=10^(−i); n = normrnd(0,t,[1 Max]); m=abs(1−t/2−n); e=e+mean(m); clear n clear m end e=e/nt;%e=1/100 %fprintf('t=%.11f e=%.11f \n',t,e); end Ket qua đưoc cho theo bang Tù ta có ket lu¾n rang h¾ őn đ%nh τ λτ 0.1000000000 0.0100000000 0.0010000000 0.0001000000 0.0000100000 0.9499989061 0.9949954677 0.9994999590 0.9999499984 0.9999950002 τ λτ 0.00000100000 0.9999994999 0.00000010000 0.9999999500 0.00000001000 0.9999999950 0.00000000100 0.9999999995 0.00000000010 0.9999999999 Ket lu¾n hưáng nghiên cÉu tiep theo Lu¾n án nghiên cúu h¾ phương trình sai phân ngau nhiên an tuyen tính dang n = 0, ±1, ±2, (*)   An Xn+1 =  d BnXn, X = x ∈ R ,0 vói An, Bn ma tr¾n suy bien Lu¾n án có nhung ket qua đóng góp mói sau: • Đưa khái ni¾m chi so cna h¾ phương trình (*) ã Vúi ieu kiắn hắ (*) cú chi so đưoc thoa mãn, đưa phương pháp giai cụng thỳc nghiắm cho bi toỏn (*) ã Chi tính chat đ®ng lnc HQc cna tốn tu Cauchy cna nghiắm ã Nghiờn cỳu so m Lyapunov cna nghiắm cna toán (*), đưa phân hoach dang Furstenberg-Kifer chúng minh đ%nh lý ergodic nhân tính (MET) cho h¾ (*) ã Vúi trũng hop hắ (*) khụng thoa đieu ki¾n chi so 1, lu¾n án đưa khái ni¾m chi so mà thnc chat chi so cna chi so ã Vúi iắu kiắn h¾ (*) thoa mãn đieu ki¾n chi so 2, lu¾n án đưa phương pháp giai cna toán (*) v a cụng thỳc nghiắm ã Nghiờn cỳu so mũ Lyapunov cna nghi¾m cna tốn (*), trưòng hop chúng minh đ%nh lý ergodic nhân tớnh (MET) cho hắ (*) Mđt ieu nua cng ỏng lưu ý phương pháp tiep c¾n cna lu¾n án đe nghiên cúu h¾ (*) phương pháp hồn tồn khác han ve m¾t ban chat so vói phương pháp truyen thong trưóc Đong thịi phương pháp tiep c¾n cịn có the cho phép phát trien đe đưa đieu ki¾n chi so cao cho h¾ (*) tốn mo đoi vói nhung ngưòi quan tâm đen lĩnh vnc Các cơng trình khoa HQC CUA tác gia liên quan đen lu¾n án [I ] N H Du, T K Duy, and V T Viet (2007) "Degenerate cocycle with index-1 and Lyapunov exponents", Stoch Dyn., 7(2), pp 229–245 [II ] N H Du, L.C Loi, T K Duy, and V T Viet (2011), "On index-2 lin- ear implicit difference equations", Linear Algebra and its Applications, 434, pp 394–414 Tài li¾u tham khao Tieng Vi¾t [1] M.V Đưoc, N.Q Hy, and V.T Vi¾t (2008), "Thu¾t tốn ban ngau nhiên Markov phan mem VSAM-3 giai tốn v¾n hành h¾ thong thuy đi¾n b¾c thang sơng Đà" Tap chí Úng dnng Toán HQc, VI(2), trang 75–110 [2] Đ.D Hai (2006), Phương trình sai phân an tuyen tính vái h¾ so ca có hang khơng phai hang so Lu¾n văn Thac sĩ, Đai HQc Quoc gia Hà N®i [3] N.Q Hy, T.T Thuy, M.V Đưoc, N.D Phương, and V.T Vi¾t (2008), "Cơ so toán HQc cna pham mem VSAM tốn giam thieu đ® rni ro lũ lut cho cơng trình thuy đi¾n Sơn La" Tap chí Úng dnng Tốn HQc, VI(1), trang 57–92 [4] L.C Loi (2004), Phương trình sai phân an tuyen tính khơng dùng chs so Lu¾n án Tien sĩ, Đai HQc Quoc gia Hà N®i [5] H.T.N Yen (2006), Phương trình sai phân an phi tuyen vái ky thu¾t tuyen tính hố Lu¾n án Tien sĩ, Đai HQc Quoc gia Hà N®i Tieng Anh [6] R.P Agarwal (2000), Difference Equations and Inequalities Theory, Methods, and Applications Marcel Dekker Incr [7] P.K Anh, N.H Du, and L.C Loi (2004), "Connections between implicit difference equations and differential-algebraic equations" Acta Math Vietnam, 29(1), pp 23–49 [8] P.K Anh and D.S Hoang (2006), "Stability of a Class of Singular Difference Equations" Int J Difference Equ., 1(2), pp 181–193 [9] P.K Anh and L.C Loi (2001), "On multipoint BPVs for linear implicit non-autonomous system of difference equations" Vietnam J Math., 29(3), pp 281–286 [10] P.K Anh and L.C Loi (2006), "On discrete analogues of nonlinear implicit differential equations" Adv Difference Equ., Article ID 43092, pp 1–19 [11] P.K Anh and H.T.N Yen (2004), "On the solvability of initial-value problems for nonlinear implicit difference equations" Adv Difference Equ., 3, pp 195–200 [12] P.K Anh and H.T.N Yen (2006), "Floquet theorem for linear implicit nonautonomous difference equations" Math Anal Appl.,, 321(2), pp 921–929 [13] P.K Anh, H.T.N Yen, and T.Q Binh (2004), "On quasi-linear implicit difference equations" Vietnam J Math.,, 32(1), pp 921–929 [14] L Arnold.(1998), Random Dynamical Systems Springer Verlag [15] R Bellman (1987), Introduction to Matrix Analysis, volume 19 of Classics in Applied Mathematics SIAM [16] M.F Bondarenko and A.G Rutkas (1998), "On a class of implicit difference equations" Dopov Nats Akad Nauk Ukr Mat Priodozn Tekh Nauki, 7, pp.11–15 [17] M.F Bondarenko and A.G Rutkas (2001), "Criteria for the determinancy of implicit discrete nonautonomous systems" Dopov Nats Akad Nauk Ukr Mat Priodozn Tekh Nauki, 2, pp 7–11 [18] M.F Bondarenko, L.A Vlassenko, and A.G Rutkas (1999), "Periodic solutions of a class of implicit difference equations" Dopov Nats Akad Nauk Ukr Mat Priodozn Tekh Nauki, 1, pp 9–14 [19] L.S Campbell and D Meyer (1991), Generalized Inverse of Linear Transformations Dover [20] S.L Campbell (1980), Singular Systems of Differential Equations Pitman Advanced Publishing Program [21] S.L Campbell (1982), Singular Systems of Differential Equations II Pitman Advanced Publishing Program [22] C Chicone (1999), Ordinary Differential Equations with Applications Springer-Verlag, New York [23] L Dai (1989), Singular Control Systems, volume 118 of Lecture Notes in Control and Information Sciences Springer Verlag [24] N H Du, D T Lien, and V H Linh (2003), "On complex stability radii for implicit discrete time system" Vietnam J Math., 31, pp 475–488 [25] C Gokcek (2004), "Stability analysis of periodically switched linear systems using Floquet theory" Math Prob Engineering, 1, pp 1–10 [26] I Ya Goldsheid and G.A Margulis (1989), "Lyapunov Exponents of Random Matrices Product" Uspechi Matematitreskix Nauk, 44(5 (269)), pp 13–60 [27] V.M Gundlach and O Steinkamp.(2000), "Product of Random Rectangular Matrices" Math Nachr., 212, pp 54–76 [28] H Furstenberg and Y Kifer (1983), "Random Matrix Products and Measures on Projective Spaces" Israel J Math., 46 [29] R Măarz, "On linear differential-algebraic equations and lineariza- tions," Applied Numerical Mathematics 18, 267-292, 1995 [30] Ha, N T.; Rodjanadid B.; Sanh N V.; Du N H., (2009) Stability Radii for Implicit Difference Equations, Asia-Europian J of Mathematics, no 1, pp 95-115 [31] S Hassan (2000) Existence of solutions for certain singular difference equations J Differ Equations Appl , no 5, pp 535-561 [32] R Lamour, R Măarz, and R Winkler (1998), "How Floquet theory applies to index-1 differential algebraic equations" J Math Anal Appl., 217, pp 371–394 [33] P.H Leslie (1948), "Some further notes on the use of matrices in population mathematics" Biometrika, 35(3–4), pp 213–245 [34] L.C Loi, N.H Du, and P.K Anh (2002), "On linear implicit nonautonomous systems of difference equations" J Difference Eqns Appl., 8, pp 1085–1105 [35] L Qiu, B Berhardsson, A Rantzer, E.J Davison, P.M Young, and J.C Doyle (1995), "A formula for computation of the real stability radius" Automatica, 31(6), pp 879–890 [36] V I Oseledets (1968), "Multiplicative ergodic theorem: Characteristic Lyapunov exponents of dynamical systems", Trudy MMO 19, pp 179- 210 (in Russian) [37] A N Shiryaev (1995), Probability Springer Verlag, edition [38] V F Cˇ istjakov (1996), Differential-Algebraic Operators with Finite Dimensional Kernels Nauka, Moscow (Russian) [39] (1995) K Takaba, N Morihira and T Katayama, A generalized Lyapunov theorem for descriptor syst Systems & Control Letters, 24, pp 49-5l [40] V.T Viet (2008), "An application of random process for controlled object identification with traffic delay problem" VNU Journal of Science, Math.-Phys., 24, pp 101–109 [41] C-J Wang (1999), "Controllability and observability of linear timevarying singular systems" IEEE Trans Automatic Control, 44(10), pp 1901–1905 [42] R Winkler (2004), "Stochastic differential algebraic equations of index and applications in circuit simulation" J Comput Appl Math., 163(2), pp 435–463 ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ TIẾN VIỆT HỆ ĐỘNG LỰC NGẪU NHIÊN ẨN RỜI RẠC VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất Thống kê toán học Mã số: 62... tính giai đưoc cna h¾ Các phương pháp trình bày o cơng trình dna chn yeu vào khai trien kỳ d% cna ma tr¾n An Đây phương pháp de hieu cong kenh cách trình bày khó áp dung cho chi so cao Mđt nhung... cna tuői i vói i = 1, 2, , d− (xem [33]) Phương trình sai phân đưoc g¾p áp dung phương pháp sai phân huu han, phương pháp Euler hi¾n đe tìm nghi¾m xap xi bang so cna phương trình đao hàm riêng