Hệ động lực ngẫu nhiên ẩn rời rạc và áp dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ TIẾN VIỆT HỆ ĐỘNG LỰC NGẪU NHIÊN ẨN RỜI RẠC VÀ ÁP DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ TIẾN VIỆT HỆ ĐỘNG LỰC NGẪU NHIÊN ẨN RỜI RẠC VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất Thống kê toán học Mã số: 62 46 15 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn khoa học: GS-TS Nguyễn Hữu Dư TS Nguyễn Hồng Hải Hà Nội - 2013 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Luận án hồn thành hướng dẫn GS TS Nguyễn Hữu Dư TS Nguyễn Hồng Hải Các số liệu, kết nêu Luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Vũ Tiến Việt LỜI CẢM ƠN Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới GS-TS Nguyễn Hữu Dư NCVCC-TS Nguyễn Hồng Hải Các thầy tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi vượt qua nhiều khó khăn học tập, nghiên cứu khoa học sống Tôi xin trân trọng cảm ơn tồn thể Thầy, Cơ cán Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Những người dạy dỗ, giúp đỡ suốt nhiều năm qua, từ học sinh A0, đến sinh viên đại học, sau học viên cao học nghiên cứu sinh Tôi xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp gia đình động viên giúp đỡ tơi sống để tơi hồn thành luận án Tơi xin trân trọng cảm ơn riêng GS-TSKH Nguyễn Duy Tiến GS-TS Nguyễn Quý Hỷ động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án Tác giả Vũ Tiến Việt Mục lục Danh mục ký hiệu sử dụng luận án Mở đầu iii Chu.o.ng Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức đại số tuyến tính 1.1.1 Chỉ số ma trận chùm hai ma trận 1.1.2 Khai triển Jordan khai triển Kronecker 1.1.3 Một vài tính chất ba ma trận 1.1.4 Nghịch đảo suy rộng Moore-Penrose ma trận 1.2 Số mũ Lyapunov Định lý ergodic nhân tính (MET) 1.2.1 Số mũ Lyapunov 1.2.2 Định lý ergodic nhân tính (MET) 11 11 11 12 13 16 18 18 19 Chu.o.ng Đồng chu trình suy biến với số số mũ Lyapunov 2.1 Giới thiệu 2.2 Tính giải phương trình sai phân ẩn số 2.2.1 Phương trình sai phân ẩn với hệ số 2.2.2 Phương trình sai phân khơng Autonom có số 2.2.3 Phép chiếu chuẩn tắc 2.2.4 Toán tử Cauchy 2.3 Phương trình sai phân ẩn với hệ số ngẫu nhiên 22 22 23 23 24 28 29 30 i 2.4 2.5 2.6 2.3.1 Sự tồn nghiệm phương trình (2.3.1) 2.3.2 Nghiệm phương trình sai phân ẩn lùi Tính chất động lực Số mũ Lyapunov Định lý ergodic nhân tính Kết luận với n ≥ 30 33 35 38 49 Chu.o.ng Phương trình sai phân ẩn số 3.1 Giới thiệu 3.2 Phương trình sai phân ẩn với số mềm 3.3 Tính giải phương trình sai phân ngẫu nhiên ẩn tuyến tính số 3.4 Định lý ergodic nhân tính phương trình sai phân ngẫu nhiên ẩn tuyến tính số 3.4.1 Nghiệm toán Cauchy với phương trình tiến 3.4.2 Nghiệm tốn Cauchy cho phương trình lùi 3.4.3 Tính chất đồng chu trình nghiệm 3.4.4 Định lý ergodic nhân tính 3.5 Các ví dụ minh hoạ 3.6 Kết luận 50 50 51 Áp dụng 83 Kết luận hướng nghiên cứu 91 Các cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 93 Tài liệu tham khảo 94 ii 56 67 68 69 71 74 77 81 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN (A, B) : (A, A, B) : det A : dim W , dim(W ) : GL(Rd ): Ik , I : im A : ker A : ind A : ind(A, B) : Jf : Jb : M† : Nn : N1,n : N: N0 = N ∪ {0} : Nk : Z: R, C : Rd , (Cd ) : Re(z): Rr×s , (Cr×s ) : Or×s , Ok , O : cặp ma trận ba ma trận định thức ma trận A số chiều khơng gian W nhóm ma trận khả nghịch cấp d × d ma trận đơn vị kích thước k × k, d × d ảnh ma trận A nhân ma trận A số ma trận A số cặp ma trận (A, B) không gian điều kiện ban đầu cho tốn với n > khơng gian điều kiện ban đầu cho toán với n < Nghịch đảo suy rộng Moore-Penrose ma trận M nhân tốn tử tuyến tính An nhân tốn tử tuyến tính ker Gn tập hợp số tự nhiên tập hợp số tự nhiên lớn tập hợp số tự nhiên lớn k tập hợp số nguyên trường số thực, trường số phức không gian véctơ thực (phức) d chiều phần thực số phức z không gian ma trận thực (phức) kích thước r × s ma trận khơng kích thước r × s, k × k, d × d iii phép chiếu tắc từ Rd lên Rr song song với Rd−r Q: phép chiếu tắc từ Rd lên Rd−r song song với Rr Qn : phép chiếu từ Rd lên Nn Q1,n : toán tử chiếu lên ker Gn rankA : hạng A Sn : khơng gian chứa nghiệm phương trình sai phân số 1: An xn+1 = Bn xn + qn = {ξ | Bn ξ ∈ im An } S1,n : khơng gian chứa nghiệm phương trình số = {z ∈ Rd , : Bn Pn−1 z ∈ im Gn } X : ma trận (véctơ) chuyển vị ma trận (vector) X Φ(n, m) : Ma trận Cauchy phương trình sai phân ẩn λ[f ]: số mũ Lyapunov hàm f λ[x]: số mũ Lyapunov nghiệm xuất phát từ X(t, x) 0: véctơ không không gian tương ứng xét : tổng trực tiếp span(S) : Bao tuyến tính tập hợp S gồm véctơ P : Các chữ viết tắt: h.c.c: Hầu chắn h.k.n: Hầu khắp nơi i.i.d: Độc lập, phân phối PTSPÂTT: SVD: Phương trình sai phân ẩn tuyến tính Khai triển theo giá trị kì dị iv Mở đầu Phương trình sai phân cơng cụ mạnh để mô tả phát triển hệ nghiên cứu quan sát khoảng thời gian cách giá trị thời điểm thứ n biểu diễn truy hồi qua giá trị khứ trước n Vì thế, lý thuyết phương trình sai phân đối tượng nhiều nhà nghiên cứu ứng dụng quan tâm xuất nhiều lĩnh vực khác toán học ứng dụng thực tế khoa học khác, chẳng hạn giải tích số, lý thuyết điều khiển, lý thuyết trò chơi, lý thuyết số, lý thuyết xác suất, giải tích tổ hợp, khoa học máy tính, lý thuyết mạch, lý thuyết lượng tử, di truyền học, kinh tế học, tâm lý học xã hội học Thí dụ, xét q trình phát triển quần thể có cấu trúc tuổi hệ sinh thái Nếu gọi xn+1 véctơ cấu trúc quần thể thời điểm năm n + (tức số lượng cá thể lứa tuổi quần thể năm n + 1) xn+1 hàm véctơ cấu trúc quần thể xn thời điểm năm trước Sự liên hệ mơ tả hệ thức xn+1 = f (xn , n), n ∈ N0 Trong trường hợp mối liên hệ tuyến tính phương trình có dạng xn+1 = An xn , với An ma trận Leslie có dạng  f0 f1   s0  An =   s1   0 n ∈ N0 ,  fd−2 fd−1  0   0  ,   sd−2 (0.0.1) d tuổi cao đạt quần thể; fi tỷ lệ sinh cá thể cá thể có tuổi i; si tỷ lệ sống sót tuổi i với i = 1, 2, , d − (xem [33]) Phương trình sai phân gặp áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp Euler để tìm nghiệm xấp xỉ số phương trình đạo hàm riêng phương trình vi phân ta khơng thể tìm nghiệm giải tích hệ dx = f (x(t), t), dt t ∈ [0, T ] Dạng tổng quát phương trình sai phân cho sau F (xn+1 , xn , xn−1 , , xn−k , n) = 0, n ∈ Nk , (0.0.2) F hàm Trong trường hợp k hữu hạn, phương trình sai phân (0.0.2) gọi phương trình sai phân cấp k + Một trường hợp đặc biệt (dạng tường minh) quan trọng phương trình sai phân (0.0.2) xn+1 = f (xn , xn−1 , xn−2 , , xn−k , n), n ∈ Nk , (0.0.3) f hàm Nghiệm phương trình sai phân (0.0.3) tính dễ dàng nhờ phương pháp truy hồi, tức tính với n = 1, 2, 3, Các kết phương trình sai phân liên quan đến tốn giải nghiệm, tính ổn định, điều khiển được, điều khiển tối ưu, số mũ Liapunov ứng dụng phong phú trình bày nhiều sách tạp chí (xem tài liệu [6, 7, 26, 36, 27, 28, ]) Đối với phương trình (0.0.2), ta giải số hạng có số cao xn+1 hàm biến cịn lại (ít mặt địa phương) phương trình (0.0.2) chuyển phương trình (0.0.3) ta dễ dàng giải nghiệm Trong trường hợp chiều (tức xn lấy cung từ nốt, cần phải tồn dịng điện từ nốt tới nốt khác Định luật bảo tồn dẫn đến hệ phương trình Ax = h, xj , j = 1, 2, , n, dòng qua cung j h = (h1 , h2 , , hn ) Định luật bảo toàn thứ liên quan đến điện chu trình tạo dịng Một chu trình tập hợp cung đường tải dòng điện (khác 0) tất thiết bị cung cấp ngoại vi đặt chế độ Như vậy, không gian chu trình ker A ⊂ Rn Giả sử B ma trận mà cột tạo thành sở khơng gian chu trình giả sử c ∈ Rn véctơ điện Khi cần phải đưa đẳng thức B u = c, uj , j = 1, 2, , n điện qua cung j Mỗi có hình thái mạch điện mơ tả mạng lưới, ta mơ hình mạch điện Mỗi thiết bị có đặc trưng riêng biệt mà nói chung mơ tả phương trình φ(x, u, x, ˙ u) ˙ = 0, liên quan tới dịng, điện đạo hàm Hệ phương trình Φ(x, u, x, ˙ u) ˙ = gồm phương trình gọi đặc trưng mạng Thí dụ, thiết bị hai cổng đơn giản (nhưng điển hình) điện trở, cảm biến tụ điện mà phương trình đặc trưng chúng (không chịu nhiễu) liên quan đến cung thứ j uj = Rxj , uj = Lx˙ j xj = C u˙ j , tương ứng với số R, L, C Cũng vậy, nguồn điện (xj không đổi) nguồn điện áp (uj không đổi) thiết bị chung Như vậy, giải mạch điện có nghĩa tìm dịng x giảm điện áp u xác định từ hệ    Ax = h    B u=c Φ(x, u, x, ˙ u) ˙ = Chúng ta xét ví dụ cụ thể Xét mạng gồm có hai cảm biến điện trở với giả thiết hoạt động chúng chịu nhiễu ngẫu nhiên Để đơn 84 giản ta giả sử ba thành phần điện áp chịu chung nhiễu ξ(t) thời điểm t Trường hợp nhiễu tác động lên thiết bị độc lập với làm tương tự Sự hoạt động mạch mơ hình hóa hệ ngẫu nhiên   x1 = −x2 = x3        u1 − u2 + u3 = u1 = L1 x˙ + τ1 u1 ξ     u2 = L2 x˙ + τ2 u2 ξ     u = Rx + τ u ξ, 3 3 (4.1.6) ξ(t) ồn trắng độc lập τ1 , τ2 , τ3 số khác zero (là biên độ nhiễu) Phương trình (4.1.6) viết lại dạng ma trận  0   0 0 0      0 u˙ −1 −R u1      0 R  u˙  −1  u2    +    L1  x˙  −1 0   x1  L2 x˙ −1 0 x2  −τ3 τ3 −τ τ  3 =  τ1 0 τ2 85   u1   0 u2      ξ(t)   x1  x2 Như ta nhận phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ sau  0   0 0 0    0 du1 −1     0  du2  −1   = − −1 L1  dx1  L2 dx2    −R u1   R u2      dt 0   x1  −1 0 x2   −τ3 τ3 0 u1 −τ τ 0 u    2  3 +    dW (t), (4.1.7)  τ 0   x1  τ2 0 x2 phương trình có dạng (3.5.2) Để đơn giản tính tốn, ta xét trường hợp đặc biệt phương trình (4.1.7) cách đặt τ1 = τ2 = 2, τ3 = Li = với i = 1, 2, R = (biên độ thực tế R 10−6 Li 104 ) Dù trường hợp đơn giản, cách làm áp dụng cho trường hợp tổng quát Hơn nữa, với cách chọn tham số vậy, cấu trúc nghiệm toán khơng có thay đổi Đặt     1 − −1 − − −1 − 2 4  −1 1   −1 −1      U =  , V =  41  1 0   0 1 −1 0 −2 0 Nhân bên trái hai vế (4.1.7) với U đặt y     1 0 −1 0 0 0   0       y(t)dt +    dy(t) = −  0 0 0   0 0 0 0 0 = V −1 x có  −1 −2 −2 −2 −2   dW (t) 0 0 0 Sai phân hóa phương trình với bước nhảy τ ta nhận phương trình 86 (3.5.3)  0   0 có dạng   0 1−  0    y(n+1)τ =   0 0 0  −ξn −2ξn −τ − 2ξn − 2ξn −2ξn    ynτ 0 −τ  0 −τ (4.1.8) ξn = W(n+1)τ −Wnτ Vì (ξn ) dãy i.i.d với phân bố chuẩn N (0, τ ) nên tồn phép biến đổi bảo toàn độ đo θ cho ξn = ξ0 (θn ) Đặt     0 0 −ξn −2ξn − τ2 − ξn 0   −τ − 2ξn − 2ξn −2ξn      A=   B(τ, ξn ) =  0 0   0 −τ  0 −τ 0 0 τ − ξn Dễ thấy ker A = {(0, x, 0, y) : x, y ∈ R} Vì ma trận   0 0 0 0    Q=  0 0  0 phép chiếu lên ker A Hơn ma trận  0 −τ − 2ξ  n Gn = A + B(τ, ξn )Q =  0 0  −2ξn −2ξn    0  −τ suy biến với n Thêm vào đó, dễ thấy Gn có hạng hầu khắp z , z, 0) : z ∈ R nơi ξn có phân phối chuẩn Ta lại có ker Gn = (0, τ +2ξ n không gian chiều Để tìm phép chiếu Q1,n lên ker Gn , ta đặt vectơ 87 v sau:  v= 1 (τ +2ξn )2 1+ 1+ (τ +2ξn )2     τ +2ξn   ,   phép chiếu Q1,n lên ker Gn  Q1,n = vv T = 0  0  0   0 (τ +2ξn )2 τ +2ξn τ +2ξn 0  0  0  Dễ dàng kiểm tra Q1,n ∗ Q1,n = Q1,n Thật có Q1,n ∗ Q1,n = 1+   0  0  · (τ +2ξn )2  0 (τ +2ξn )2 τ +2ξn τ +2ξn 1+   0   0  0 (τ +2ξn )2 τ +2ξn τ +2ξn · (τ +2ξn )2 (τ +2ξn )2 τ +2ξn 0  0  0  = 0   0  0  0  0 0  1+ 1+ (τ +2ξn )2 (τ +2ξn )2 τ +2ξn 1+ 1+ 88 (τ +2ξn )2 (τ +2ξn )2 = Q1,n   0   0  Vậy Q1,n phép chiếu Do G1,n = Gn + B(I − Q)Tn Q1,n ma trận không suy biến nên hệ (4.1.8) có số Ở nhắc lại Tn phép đẳng cấu cho thu hẹp ker Gn phép đẳng cấu ker Gn ker Gn−1 Tuy nhiên đặc thù nên hệ (4.1.8) giải sau: đặt ynτ = (ynτ , ynτ , ynτ , ynτ ) Từ phương trình thứ ba thứ tư (4.1.8) nhận ynτ = ynτ = ∀ n Từ n−1 ynτ = 1− i=1 τ − ξi ; 2 ynτ = Do số mũ Lyapunov hệ λτ [y] = E − τ − ξ1 Chú ý ξ1 có phân phối chuẩn N (0, τ ) (phụ thuộc theo τ ), thu lim λτ [y] = E|1 − ξ1 | = τ →0 Các kết tính tốn kiểm chứng Matlab nhờ chương trình sau 89 clear all; clc tt=10;%number for t nt=100;%number for e Max=10^7; for i=1:tt e=0; for j=1:nt%run nt times each t's value t=10^(−i); n = normrnd(0,t,[1 Max]); m=abs(1−t/2−n); e=e+mean(m); clear n clear m end e=e/nt;%e=1/100 %fprintf('t=%.11f e=%.11f \n',t,e); end Kết cho theo bảng Từ ta có kết luận hệ ổn định τ λτ τ λτ 0.10000000000 0.94999890615 0.00000100000 0.99999949997 0.01000000000 0.99499546777 0.00000010000 0.99999995000 0.00100000000 0.99949995902 0.00000001000 0.99999999500 0.00010000000 0.99994999841 0.00000000100 0.99999999950 0.00001000000 0.99999500028 0.00000000010 0.99999999999 90 Kết luận hướng nghiên cứu Luận án nghiên cứu hệ phương trình sai phân ngẫu nhiên ẩn tuyến tính dạng  A X n n+1 = Bn Xn , n = 0, ±1, ±2, (*) X0 = x ∈ Rd , với An , Bn ma trận suy biến Luận án có kết đóng góp sau: • Đưa khái niệm số hệ phương trình (*) • Với điều kiện hệ (*) có số thỏa mãn, đưa phương pháp giải công thức nghiệm cho tốn (*) • Chỉ tính chất động lực học tốn tử Cauchy nghiệm • Nghiên cứu số mũ Lyapunov nghiệm toán (*), đưa phân hoạch dạng Furstenberg-Kifer chứng minh định lý ergodic nhân tính (MET) cho hệ (*) • Với trường hợp hệ (*) không thỏa mãn điều kiện số 1, luận án đưa khái niệm số mà thực chất số số • Với điệu kiện hệ (*) thỏa mãn điều kiện số 2, luận án đưa phương pháp giải toán (*) đưa cơng thức nghiệm 91 • Nghiên cứu số mũ Lyapunov nghiệm toán (*), trường hợp chứng minh định lý ergodic nhân tính (MET) cho hệ (*) Một điều đáng lưu ý phương pháp tiếp cận luận án để nghiên cứu hệ (*) phương pháp hoàn toàn khác hẳn mặt chất so với phương pháp truyền thống trước Đồng thời phương pháp tiếp cận cho phép phát triển để đưa điều kiện số cao cho hệ (*) toán mở người quan tâm đến lĩnh vực 92 Các cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án [I ] N H Du, T K Duy, and V T Viet (2007) "Degenerate cocycle with index-1 and Lyapunov exponents", Stoch Dyn., 7(2), pp 229–245 [II ] N H Du, L.C Loi, T K Duy, and V T Viet (2011), "On index-2 linear implicit difference equations", Linear Algebra and its Applications, 434, pp 394–414 93 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] M.V Được, N.Q Hỷ, and V.T Việt (2008), "Thuật toán bắn ngẫu nhiên Markov phần mềm VSAM-3 giải toán vận hành hệ thống thuỷ điện bậc thang sơng Đà" Tạp chí Ứng dụng Tốn học, VI(2), trang 75–110 [2] Đ.D Hải (2006), Phương trình sai phân ẩn tuyến tính với hệ số có hạng số Luận văn Thạc sĩ, Đại học Quốc gia Hà Nội [3] N.Q Hỷ, T.T Thuỷ, M.V Được, N.D Phương, and V.T Việt (2008), "Cơ sở toán học phầm mềm VSAM toán giảm thiểu độ rủi ro lũ lụt cho cơng trình thuỷ điện Sơn La" Tạp chí Ứng dụng Toán học, VI(1), trang 57–92 [4] L.C Lợi (2004), Phương trình sai phân ẩn tuyến tính khơng dừng số Luận án Tiến sĩ, Đại học Quốc gia Hà Nội [5] H.T.N Yến (2006), Phương trình sai phân ẩn phi tuyến với kỹ thuật tuyến tính hố Luận án Tiến sĩ, Đại học Quốc gia Hà Nội 94 Tiếng Anh [6] R.P Agarwal (2000), Difference Equations and Inequalities Theory, Methods, and Applications Marcel Dekker Incr [7] P.K Anh, N.H Du, and L.C Loi (2004), "Connections between implicit difference equations and differential-algebraic equations" Acta Math Vietnam, 29(1), pp 23–49 [8] P.K Anh and D.S Hoang (2006), "Stability of a Class of Singular Difference Equations" Int J Difference Equ., 1(2), pp 181–193 [9] P.K Anh and L.C Loi (2001), "On multipoint BPVs for linear implicit non-autonomous system of difference equations" Vietnam J Math., 29(3), pp 281–286 [10] P.K Anh and L.C Loi (2006), "On discrete analogues of nonlinear implicit differential equations" Adv Difference Equ., Article ID 43092, pp 1–19 [11] P.K Anh and H.T.N Yen (2004), "On the solvability of initial-value problems for nonlinear implicit difference equations" Adv Difference Equ., 3, pp 195–200 [12] P.K Anh and H.T.N Yen (2006), "Floquet theorem for linear implicit nonautonomous difference equations" Math Anal Appl.,, 321(2), pp 921–929 [13] P.K Anh, H.T.N Yen, and T.Q Binh (2004), "On quasi-linear implicit difference equations" Vietnam J Math.,, 32(1), pp 921–929 [14] L Arnold.(1998), Random Dynamical Systems Springer Verlag 95 [15] R Bellman (1987), Introduction to Matrix Analysis, volume 19 of Classics in Applied Mathematics SIAM [16] M.F Bondarenko and A.G Rutkas (1998), "On a class of implicit difference equations" Dopov Nats Akad Nauk Ukr Mat Priodozn Tekh Nauki, 7, pp.11–15 [17] M.F Bondarenko and A.G Rutkas (2001), "Criteria for the determinancy of implicit discrete nonautonomous systems" Dopov Nats Akad Nauk Ukr Mat Priodozn Tekh Nauki, 2, pp 7–11 [18] M.F Bondarenko, L.A Vlassenko, and A.G Rutkas (1999), "Periodic solutions of a class of implicit difference equations" Dopov Nats Akad Nauk Ukr Mat Priodozn Tekh Nauki, 1, pp 9–14 [19] L.S Campbell and D Meyer (1991), Generalized Inverse of Linear Transformations Dover [20] S.L Campbell (1980), Singular Systems of Differential Equations Pitman Advanced Publishing Program [21] S.L Campbell (1982), Singular Systems of Differential Equations II Pitman Advanced Publishing Program [22] C Chicone (1999), Ordinary Differential Equations with Applications Springer-Verlag, New York [23] L Dai (1989), Singular Control Systems, volume 118 of Lecture Notes in Control and Information Sciences Springer Verlag [24] N H Du, D T Lien, and V H Linh (2003), "On complex stability radii for implicit discrete time system" Vietnam J Math., 31, pp 475–488 96 [25] C Gokcek (2004), "Stability analysis of periodically switched linear systems using Floquet theory" Math Prob Engineering, 1, pp 1–10 [26] I Ya Goldsheid and G.A Margulis (1989), "Lyapunov Exponents of Random Matrices Product" Uspechi Matematitreskix Nauk, 44(5 (269)), pp 13–60 [27] V.M Gundlach and O Steinkamp.(2000), "Product of Random Rectangular Matrices" Math Nachr., 212, pp 54–76 [28] H Furstenberg and Y Kifer (1983), "Random Matrix Products and Measures on Projective Spaces" Israel J Math., 46 [29] R Măarz, "On linear differential-algebraic equations and linearizations," Applied Numerical Mathematics 18, 267-292, 1995 [30] Ha, N T.; Rodjanadid B.; Sanh N V.; Du N H., (2009) Stability Radii for Implicit Difference Equations, Asia-Europian J of Mathematics, no 1, pp 95-115 [31] S Hassan (2000) Existence of solutions for certain singular difference equations J Differ Equations Appl , no 5, pp 535-561 [32] R Lamour, R Măarz, and R Winkler (1998), "How Floquet theory applies to index-1 differential algebraic equations" J Math Anal Appl., 217, pp 371–394 [33] P.H Leslie (1948), "Some further notes on the use of matrices in population mathematics" Biometrika, 35(3–4), pp 213–245 [34] L.C Loi, N.H Du, and P.K Anh (2002), "On linear implicit nonautonomous systems of difference equations" J Difference Eqns Appl., 8, pp 1085–1105 97 [35] L Qiu, B Berhardsson, A Rantzer, E.J Davison, P.M Young, and J.C Doyle (1995), "A formula for computation of the real stability radius" Automatica, 31(6), pp 879–890 [36] V I Oseledets (1968), "Multiplicative ergodic theorem: Characteristic Lyapunov exponents of dynamical systems", Trudy MMO 19, pp 179210 (in Russian) [37] A N Shiryaev (1995), Probability Springer Verlag, edition ˇ [38] V F Cistjakov (1996), Differential-Algebraic Operators with Finite Dimensional Kernels Nauka, Moscow (Russian) [39] (1995) K Takaba, N Morihira and T Katayama, A generalized Lyapunov theorem for descriptor syst Systems & Control Letters, 24, pp 49-5l [40] V.T Viet (2008), "An application of random process for controlled object identification with traffic delay problem" VNU Journal of Science, Math.-Phys., 24, pp 101–109 [41] C-J Wang (1999), "Controllability and observability of linear timevarying singular systems" IEEE Trans Automatic Control, 44(10), pp 1901–1905 [42] R Winkler (2004), "Stochastic differential algebraic equations of index and applications in circuit simulation" J Comput Appl Math., 163(2), pp 435–463 98 ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ TIẾN VIỆT HỆ ĐỘNG LỰC NGẪU NHIÊN ẨN RỜI RẠC VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất Thống kê toán học Mã số: 62... nhiễu ngẫu nhiên tác động vào hệ dạng nhiễu ồn thực (real noise), tức nhiễu trình dừng Khái niệm "ồn thực" đưa V I Oseledets vào năm 1968 báo tiếng [36] Sau nhóm nghiên cứu GS Arnold Hệ động lực ngẫu. .. sai phân thường ngẫu nhiên, nhìn chung tồn nghiệm phương trình sai phân ẩn ngẫu nhiên đòi hỏi điều kiện ban đầu phải biến ngẫu nhiên lấy giá trị Jf ∩ J b 34 2.4 Tính chất động lực Ở mục 2.3 xét