Luận văn thạc sĩ phương pháp runge kutta và thuật toán tính số mũ luyapunov của hệ động lực

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG NGUYỄN QUANG HUY PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA VÀ THUẬT TỐN TÍNH SỐ MŨ LYAPUNOV CỦA HỆ ĐỘNG LỰC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH THÁI NGUYÊN, 2017 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA VÀ THUẬT TỐN TÍNH SỐ MŨ LYAPUNOV CỦA HỆ ĐỘNG LỰC Chuyên ngành: Khoa học máy tính Mã số: 60 48 01 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH Người hướng dẫn khoa học: TS TRƯƠNG HÀ HẢI Học viên thực hiện: Nguyễn Quang Huy THÁI NGUYÊN, 2017 c c c c c LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: Luận văn thạc sỹ chuyên ngành Khoa học máy tính, tên đề tài “Phương pháp Runge-Kutta thuật tốn tính số mũ Lyapunov hệ động lực” cơng trình nghiên cứu, tìm hiểu trình bày thực hướng dẫn khoa học TS Trương Hà Hải, Trường Đại học Công nghệ Thông tin Truyền thông - Đại học Thái Nguyên Kết tìm hiểu, nghiên cứu luận văn hồn tồn trung thực, khơng vi phạm điều luật sở hữu trí tuệ pháp luật Việt Nam Nếu sai, tơi hồn tồn chịu trách nhiệm trước pháp luật Tất tài liệu, báo, khóa luận, cơng cụ phần mềm tác giả khác sử dụng lại luận văn dẫn tường minh tác giả có danh mục tài liệu tham khảo Thái Nguyên, ngày 18 tháng năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Quang Huy i c LỜI CẢM ƠN Tác giả xin chân thành cảm ơn TS Trương Hà Hải, trường Đại học Công nghệ thông tin truyền thông - Đại học Thái Nguyên, giáo viên hướng dẫn khoa học hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này, xin cảm ơn thầy, cô giáo trường Đại học công nghệ thông tin truyền thông nơi tác giả theo học hồn thành chương trình cao học nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ Xin cảm ơn trường Cao đẳng Kinh tế - Tài Thái Nguyên nơi tác giả công tác tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành chương trình học tập Và cuối xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, ngày 18 tháng năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Quang Huy ii c DANH SÁCH HÌNH VẼ 1.1 Vùng hút Lorenz 1.2 Vùng hút Rossler 11 1.3 Vùng hút Rabinovich-Fabrikant 12 1.4 Vùng hút Mạch Chua 13 1.5 Mô tả phân tách quỹ đạo 15 1.6 Mô tả thay đổi hình cầu điều kiện ban đầu qua ánh xạ 16 1.7 Vùng ổn định phương pháp RK4 18 1.8 Biểu đồ hội tụ phương pháp Euler phương pháp RK4 21 2.1 Mô tả trình phân tách quỹ đạo có nhiễu nhỏ ban đầu 32 3.1 Không gian pha hệ Rabinovich - Fabrikant với a = 0.1, b = 0.98 giá trị ban đầu [0.1, 0.1, 0.1] Hệ hỗn loạn 41 3.2 Không gian pha hệ Rabinovich - Fabrikant với a = 0.1, b = 0.2715 giá trị ban đầu [0.1, 0.1, 0.1] Hệ không hỗn loạn 41 3.3 Không gian pha hệ Rabinovich - Fabrikant với a = 0.1, b = 0.5 giá trị ban đầu [0.1, 0.1, 0.1] Hệ không hỗn loạn 42 3.4 Không gian pha hệ Rabinovich - Fabrikant với a = −1, b = −0.1 giá trị ban đầu [0.1, 0.1, 0.1] Hệ hỗn loạn 42 iii c DANH SÁCH BẢNG 1.1 Tỷ số khó trung bình hệ nghiên cứu luận văn 2.1 Bảng Butcher dạng tổng quát 23 2.2 Bảng butcher phương pháp Euler 23 2.3 Bảng Butcher phương pháp RK4 2.4 Bảng Butcher phương pháp RK ẩn hai giai đoạn 25 2.5 Bảng Butcher phương pháp IRK8 27 2.6 Các hệ số bảng Butcher IRK8 27 3.1 Số mũ Lyapunov hệ theo tài liệu cơng bố 38 3.2 Tính tốn số mũ Lyapunov hệ Lorenz 38 3.3 Tính tốn số mũ Lyapunov hệ Rossler 40 3.4 Tính tốn số mũ Lyapunov hệ RF 40 3.5 Tính toán số mũ Lyapunov lớn mạch Chua 42 iv c 19 24 tác giả cần lập trình hàm tính tốn độ khó f unctionstif f nessCalculator(), số kết hình vẽ quỹ đạo nghiệm trường hợp tham số khác chương trước lập trình đầy đủ Chi tiết chương trình cài đặt ngơn ngữ Matlab tham khảo phụ lục đính kèm luận văn Cần phải nhắc lại hai phương pháp giải số RK4 IRK8 sử dụng cho thuật toán OS, với thuật tốn CGSO chúng tơi sử dụng phương pháp RK4 để tránh thời gian tính tốn q lâu Bảng 3.2 tập hợp kết tính tốn số mũ Lyapunov luận văn cho hệ Lorenz Nó bao gồm giái trị sử dụng với tEnd , t1 số giá trị ban đầu Bảng 3.3 liệt kê số mũ Lyapunov tính tốn cho hệ Rossler tEnd , t1 số giá trị ban đầu sử dụng Bảng 3.4 bao gồm kết tính toán cho hệ Rabinovich-Fabrikant với số sử dụng, tEnd , t1 số giá trị ban đầu Cuối bảng 3.5 thể số mũ Lyapunov lớn hệ Chua giá trị cài đặt cần thiết Các giá trị số mũ Lyapunov hệ tài liệu tham khảo liệt kê bảng 3.1 3.1 Kết tính tốn với hệ Lorenz Việc nghiên cứu cài đặt tính toán số mũ Lyapunov hệ Lorenz đảm bảo đắn kết hội tụ đến kết công bố, chẳng hạn Sprott [26] Việc cài đặt thuật toán phân tách quỹ đạo cho kết gần với kết Sprott công bố, λ = 0.9056 Tác giả nhận nhiều kinh nghiệm việc cài đặt việc sử dụng thời gian kết thúc tEnd , sử dụng nhiều quỹ đạo để tính tốn từ tập ban đầu ngẫu nhiên lấy kết trung bình Chúng tơi thấy với 1000 tập giá trị ban đầu ngẫu nhiên t1 = 20, 37 c tEnd = 1000 kiện thiết lập đủ để kết đảm bảo hội tụ kết công bố Bảng 3.2 tập hợp kết tính tốn Bảng 3.1: Số mũ Lyapunov hệ theo tài liệu cơng bố Thuật tốn Hệ động lực Số mũ Lyapunov Nguồn 0.9056 OS Lorenz Sprott [26] −14.5723 0.0714 OS Rossler Sprott [26] −5.3943 0.3271 OS Chua Sprott [26] −2.5197 Khác 0.23 Chua Matsumo [21] −1.78 Bảng 3.2: Kết tính tốn số mũ Lyapunov hệ Lorenz với tham số δ = 10, β = 83 , ρ = 28 tham số phương pháp t0 = 0, h = 0.01 Phương Số tập giá trị Thuật toán t1 TEnd Số mũ Lyapunov pháp giải số ban đầu OS RK4 20 1000 1000 0.905744684705866 OS RK4 20 1000 2000 0.905761423985076 OS IRK8 20 1000 1000 0.905758237263004 0.895462506170606 CGSO RK4 1000 1000 0.002098916817564 −14.564258489126374 0.885311976076725 CGSO RK4 500 1000 0.004195827397323 −14.556179060698607 0.885137292321675 CGSO RK4 1000 500 0.004284019108387 −14.556134884379532 Với thuật toán phân tách quỹ đạo OS, việc gấp đôi số tập giá trị ban đầu lên 2000 có hiệu nhỏ Tính tốn số mũ Lyapunov địi hỏi tiến trình tính tốn lớn Thực tế gấp đơi số quỹ đạo thời gian tính tốn gấp đơi, kết thay đổi không đáng kể 1000 2000 tập điểm giá trị ban đầu 1000 đủ IRK8 RK4 38 c sử dụng thuật toán để đưa kết so sánh với nhau, tính tốn hệ khác sử dụng hai phương pháp giải số chọn phương pháp dựa thời gian thực tế tốt Việc cài đặt thực thuật toán trực chuẩn Gram-Schmidt CGSO mang lại kết λ1 , λ2 không tương ứng với kết thuật toán phân tách quỹ đạo OS Tuy nhiên kết λ3 luận văn gần với kết λ3 ≈ −14.5723 công bố [22] Ngồi việc tính tốn với số quỹ đạo khác để lấy trung bình tEnd giảm xuống 500 thực Điều ảnh hưởng lên λ1 λ2 : λ1 cách xa giá trị tính thuật tốn phân tách quỹ đạo kết Sprott λ2 tăng gấp đơi tiến Vì rõ ràng cần trì 1000 quỹ đạo tEnd = 1000 cho tính tốn với hệ sau dựa kết phân tích 3.2 Kết tính tốn với hệ Rossler Một hệ ODEs ba chiều có λ1 > phải có λ2 = trường hợp hệ bị chặn Lưu ý Sprott [26] đặt λ2 = theo tính chất lý thuyết mà khơng tính tốn Điều cho thấy tính tốn luận văn cho kết khác không chút sai Mặc dù có sai khác với λ2 vậy, giá trị tính tốn với λ1 hai thuật toán gần với kết Sprott 0.0714 Trong với hệ Lorenz giá trị có sai khác nhiều Thuật tốn trực chuẩn hóa Gram - Schmidt liên tục cho λ3 gần với kết Sprott (tính theo lý thuyết) −5.3943 Sprott tính λ3 xuất phát từ tính chất λ1 + λ2 + λ3 = trace(J) (3.2.1) nên sau đặt λ2 = tính tốn λ1 , Sprott suy λ3 từ công thức (3.2.1) Chi tiết kết xem bảng 3.3 39 c Bảng 3.3: Kết tính tốn số mũ Lyapunov hệ Rossler với tham số a = 0.2, b = 0.2, c = 5.7 bước lưới h = 0.01 Phương Số tập giá trị Thuật toán t1 TEnd Số mũ Lyapunov pháp giải số ban đầu OS RK4 20 1000 1000 0.071015024065389 OS IRK8 20 1000 2000 0.071005884751426 0.071265371260077 CGSO RK4 1000 1000 0.004274602121437 −5.398739627693884 3.3 Tính tốn số mũ Lyapunov hệ Rabinovich - Fabrikant Hệ Rabinovich - Fabrikant biểu tượng khác tranh pha phụ thuộc vào số a, b sử dụng Có thể xem tranh pha hệ hình 3.1, 3.2, 3.3 3.4 để thấy rõ thêm điều Luo [20] so sánh nhiều tranh pha nhiều tập tham số khác Hình 3.2 cho thấy hệ xuất vùng hút, với tham số hệ chưa phải hệ hỗn loạn Ở hình 3.3 xuất hội tụ điểm cố định, tương ứng việc tính tốn λ1 âm Hình ảnh 3.1 3.4 cho thấy hệ hỗn loạn với vùng hút thể Cùng với tính tốn cho thấy hệ xuất số mũ Lyapunov dương Chi tiết tính tốn số mũ Lyapunov hệ trường hợp liệt kê bảng 3.4 Bảng 3.4: Kết tính tốn số mũ Lyapunov hệ Rabinovich - Fabrikant sử dụng thuật toán OS phương pháp giải số IRK8 với bước lưới h = 0.01 Số tập giá trị Tham số a, b t1 TEnd Số mũ Lyapunov ban đầu 0.1, 0.98 20 1000 1000 0.023375301581978 0.1, 0.5 20 1000 2000 -0.081743950195497 1000 1000 -0.035868531917007 1000 1000 0.071203019400215 0.1, 0.2715 −1, −0.1 20 40 c Hình 3.1: Khơng gian pha hệ Rabinovich - Fabrikant với a = 0.1, b = 0.98 giá trị ban đầu [0.1, 0.1, 0.1] Hệ hỗn loạn Hình 3.2: Khơng gian pha hệ Rabinovich - Fabrikant với a = 0.1, b = 0.2715 giá trị ban đầu [0.1, 0.1, 0.1] Hệ khơng hỗn loạn 3.4 Kết tính tốn số mũ Lyapunov mạch Chua Hệ ODEs cuối nghiên cứu luận văn mạch Chua với tham số α = 9, β = 100 , a = − 87 b = − 75 Với giá trị tham số này, số mũ Lyapunov lớn hệ dương hệ hỗn loạn Hình 1.4 tranh pha mạch Chua với tham số Kết tính tốn số mũ Lyapunov lớn sử dụng thuật toán phân tách quỹ đạo OS phương pháp giải số cho bảng 3.5 41 c Hình 3.3: Không gian pha hệ Rabinovich - Fabrikant với a = 0.1, b = 0.5 giá trị ban đầu [0.1, 0.1, 0.1] Hệ khơng hỗn loạn Hình 3.4: Không gian pha hệ Rabinovich - Fabrikant với a = −1, b = −0.1 giá trị ban đầu [0.1, 0.1, 0.1] Hệ hỗn loạn Bảng 3.5: Tính tốn số mũ Lyapunov lớn mạch Chua sử dụng thuật toán OS phương pháp giải số IRK8 với tham số α = 9, β = 100 , a = − b = − bước lưới h = 0.01 Thuật toán Phương pháp giải số t1 TEnd Số tập giá trị ban đầu Số mũ Lyapunov OS IRK8 20 1000 1000 0.326602252020003 OS RK4 20 1000 1000 0.326746202448946 42 c KẾT LUẬN CHUNG Dưới bảo Giáo viên hướng dẫn, vào đề cương luận văn phê duyệt, luận văn đạt số nhiệm vụ sau: (1) Tìm hiểu tính chất hỗn loạn hệ động lực, mơ hình hóa hệ phương trình vi phân thường Có nhiều định nghĩa khác hỗn loạn tựu chung lại hệ phải thể nhạy cảm với điều kiện ban đầu, khơng có hành vi tuần hồn thời gian dài, bị chặn Trong hành vi nhạy cảm với điều kiện ban đầu đo qua số mũ Lyapunov Nếu hệ tồn số mũ Lyapunov dương hệ hỗn loạn theo định nghĩa Alligood [5] Luận văn tìm hiểu hệ động lực sử dụng để tính tốn số mũ Lyapunov nghiên cứu định nghĩa số mũ Lyapunov hệ động lực nói chung Các tính chất phương pháp giải số cần quan tâm trước định sử dụng tìm hiểu chặt chẽ: Tính khó, tính hội tụ độ xác phương pháp số (2) Nội dung chương hai tập chung nghiên cứu hai phương pháp giải số hệ phương trình vi phân thường hai thuật tốn tính số mũ Lyapunov Hai phương pháp giải số nghiên cứu phương pháp RK4 IRK8 Sau sử dụng hai phương pháp để áp dụng giải vấn đề giải số hệ phương trình vi phân trình thực hai thuật tốn tính số mũ Lyapunov Hai thuật tốn tính 43 c số mũ Lyapunov nghiên cứu tìm hiểu thuật toán phân tách quỹ đạo (OS) thuật toán trực chuẩn hóa liên tục Gram-Smicht (CGSO) Thuật tốn thứ đơn giản cho ta đầu số mũ Lyapunov lớn hệ Nó cho phép đo hệ động lực có phải hệ hỗn loạn khơng Cịn thuật tốn thứ hai phức tạp tính tồn số mũ Lyapunov hệ theo hướng sở trực chuẩn Vì phức tạp tính tốn mà thuật tốn thứ hai sử dụng phương pháp RK4 có độ xác thấp IRK8 thời gian tính tốn chấp nhận (3) Khi nghiên cứu đầy đủ phương pháp thuật toán, tác giả luận văn tiến hành cài đặt thực môi trường Matlab Các kết thu hệ động lực so sánh với kết công bố phân tích ý nghĩa kinh nghiệm trình cài đặt Trên sở kết đạt được, tiếp tục nghiên cứu luận văn tảng tốt để nghiên cứu thêm số vấn đề sau: • Các phương pháp giải số hệ phương trình vi phân thường • Hệ động lực, tính chất hỗn loạn hệ động lực • Các ứng dụng hệ động lực hỗn loạn việc tạo số ngẫu nhiên, mã hóa 44 c TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Kỳ Anh, Giải tích số NXB Đại học Quốc gia Hà Nội , 2008 [2] Vũ Tuấn, Đồn Văn Ngọc , Phương trình vi phân NXB Giáo dục, 1996 [3] Nguyên Thị Mơ Sử dụng phương pháp Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định phương trình vi phân số mơ hình ứng dụng Luận văn thạc sĩ, Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2012 [4] Nguyễn Đình Cơng, Lý thuyết hệ động lực ngẫu nhiên NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2002 [5] K T Alligood, T D Sauer and J A Jorke, Chaos: An Introduction to Dynamical Systems Springer, 1996 [6] E Bress, J M Gruber and Directors, The Butterfly Effect [7] J Butcher, Implicit Runge - Kutta processes Math Comp 18, 85(1964), 50- 64 [8] J Butcher, Numerical Methods for Ordinary Differential Equations.Wiley, 2008 [9] F Christiansen and H Rugh, Computing lyapunov spectra with continuous gram-schmidt orthonormalization Nonlinearity 10(1997), 1063-1072 [10] M F Danca A multistep algorithm for odes Dyn Cont Disc Imp Sys 13 (2006), 803-821 [11] M F.Danca and G ChenBifurcation and chaos in a complex model of dissipative medium 3409-3447 45 c [12] R L Devanley An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, second ed Westview, 2003 [13] J GLeick Chaos Penguin, 1988 [14] E Hairer and G Wanner Solving Ordinary Differential Equations II Springer -Verlag, 1996 [15] W B Hayer Rigorous Shadowing of Ordinary Differential Equations by Containment PhD thesis, University of Toronto, 2001 [16] W.B Hayer, K R Jackson and C Young Rigorous high-dimensional shadowing using containment: The general case Discrete Contin Dyn S 14, (2006), 329-342 [17] A Iserles A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations Cambridge University Press, 2004 [18] W.Liniger and R A WilLoughby Efficient integration methods for stiff systems of ordinary differential equations SIAM J Numer Anal (1970), 47-66 [19] E N Lorenz Deterministic nonperiodic flow J Atmos Sci 20 (1963), 130-141 [20] X Luo, M Small, M F Danca and G Chen, On a dynamical system with multiple chaotic attractors Int J Bif Chaos 17 (2007), 3235 - 3251 [21] T Matsumoto, L.O Chua and M Komuro The double scroll IEEE Trans Circuits Syst CAS-32, (1985), 798 - 818 [22] C Meador Numerical methods, phase plots, and the rabinovichfabrikant system May 2009 Senior Thesis, Marshall University 46 c [23] J Murray Mathematical Biology: I An Introduction, third ed Springer, 2002 [24] S A Sarra Personal communication [25] S A Sarra and C Meador On the solution of chaotic dynamical systems using extend precision floating point arithmetic and very high order numerical methods 2011 [26] J C Sprott Chaos and Time-Series Analysis Oxford University Press, 2003 [27] S H Strogatz Nonlinear Dynamics and Chaos Westview Press, 2000 [28] P Thomson Numerical Weather Analysis and Prediction The Macmillan Company,1961 [29] W.Tucker The lorenz attractor exists C R Acad Sci Paris 328 (1999), 1197-1202 47 c PHỤ LỤC Hàm RK4 hàm IRK8 cài đặt phương pháp giải số Hàm RK4 function v = rk4(V,t,k,F) s1 = feval(F,V,t); s2 = feval(F,V+k*s1/2,t+k/2); s3 = feval(F,V+k*s2/2,t+k/2); s4 = feval(F,V+k*s3,t+k); v = V+k*(s1+2*s2+2*s3+s4)/6; Hàm IRK8 function v = gauss8newton (V, dt ,F, J ,TOL,MAXIT) if nargin