(Luận văn) hệ động lực p adic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG THU HÀ lu an n va p ie gh tn to HỆ ĐỘNG LỰC P −ADIC d oa nl w nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2016 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG THU HÀ lu HỆ ĐỘNG LỰC P - ADIC an n va tn to p ie gh Chun ngành : TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60.46.01.02 d oa nl w nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul Người hướng dẫn khoa học: PGS TS HÀ TRẦN PHƯƠNG z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2016 n va ac th si Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan lu kết nêu luận văn, tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm an bảo tính trung thực xác n va to Thái Nguyên, tháng năm 2016 p ie gh tn Người viết luận văn w d oa nl Hoàng Thu Hà nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th i si Lời cảm ơn lu an n va p ie gh tn to Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên Qua xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo Khoa Tốn, Ban Giám hiệu, Phịng Đào nhà trường Quý Thầy Cô giảng dạy lớp Cao học K22 (2014- 2016) trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu, trang bị kiến thức tạo điều kiện tốt cho tơi q trình học tập nghiên cứu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới PGS TS Hà Trần Phương, người tận tình bảo, tạo điều kiện giúp đỡ tơi có thêm nhiều kiến thức, khả nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn cách hồn chỉnh Tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tơi q trình học tập Do thời gian trình độ cịn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý thầy cô bạn để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z Thái Nguyên, tháng năm 2016 Người viết luận văn co l gm @ m Hoàng Thu Hà an Lu n va ac th ii si Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii lu an n va iii Mở đầu tn to Mục lục p ie gh Mở đầu hệ động lực p−adic 1.1 Tập hút tập đẩy 1.1.1 Tính chất bất biến lùi tiến ánh xạ 1.1.2 Tập hút, tập đẩy tính chất 1.2 Điểm bất động ánh xạ 1.2.1 Quan hệ Riemann - Hurwitz 1.2.2 Điểm bất động hàm nguyên d oa nl w 20 20 20 26 36 36 39 nf va an lu 3 12 12 16 z at nh oi lm ul Họ hàm chuẩn tắc lý thuyết Fatou - Julia 2.1 Họ chuẩn tắc định lý Montel 2.1.1 Họ chuẩn tắc tính chất 2.1.2 Định lý Montel 2.2 Lý thuyết Fatou - Julia 2.2.1 Một số khái niệm 2.2.2 Tính chất tập Julia z l gm @ 42 m co Kết luận 44 an Lu Tài liệu tham khảo n va ac th iii si Mở đầu Một vấn đề nghiên cứu quan trọng hàm phân hình nghiên cứu hệ động lực ánh xạ lặp thực hàm phân hình, tức nghiên cứu tính chất ánh xạ lặp thực lu an hàm phân hình Những vấn đề nghiên cứu lý thuyết hệ n va động lực phức nghiên cứu quỹ đạo ánh xạ, tính chất bất biến tn to tập hợp qua ánh xạ, điểm bất động ánh xạ, tính chất chuẩn tắc họ ánh xạ phân hình lý thuyết Julia-Fatou Cuối kỷ 19, gh p ie kết nghiên cứu hệ động lực phức tập trung vào tính chất địa phương ánh xạ chỉnh hình lặp lân cận điểm bất động Năm 1906, P oa nl w Fatou cho biết dáng điệu tồn cục ánh xạ thơng qua số kết nghiên cứu Về sau, vấn đề thu hút quan tâm d an lu nhiều nhà toán học giới G Julia, S Lattes, J F Ritt, J nf va Milnor, L.Carleson, T,W Gamelin Ngày động lực phức lĩnh vực phát triển mạnh mẽ, liên kết với lĩnh vực khác có nhiều ứng z at nh oi lm ul dụng rộng rãi Song song với việc phát triển lý thuyết hệ động lực ánh xạ lặp thực hàm phân hình phức, thời gian gần nhà tốn z học nghiên cứu tính chất tương tự cho ánh xạ thực hàm @ gm phân hình trường khơng Acsimet Những nghiên cứu công l bố P C Hu, C C.Yang, A F Beardon, W K Hayman, I N Baker, m co E Hille, A Escassut Hu, P.C & Yang, C.C tập hợp lại sách an Lu "Meromorphic functions over Non - Archimedean Fields" ([7]) Với mong muốn tìm hiểu kiến thức ban đầu lý thuyết hệ động lực p−adic chúng n va ac th si chọn đề tài "Hệ động lực p−adic" Mục đích luận văn giới thiệu số tính chất quỹ đạo, tính chất bất biến, điểm bất động ánh xạ thực hàm phân hình trường Cp Ngồi ra, luận văn giới thiệu số kết nghiên cứu tính chất chuẩn tắc họ ánh xạ phân hình lý thuyết Julia-Fatou tác giả giới công bố thời gian gần Luận văn chia làm hai chương, Chương chúng tơi trình bày số kiến thức lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna cho hàm phân hình p−adic giới thiệu số kiến thức mở đầu hệ động lực p−adic lu quỹ đạo ánh xạ, tính chất bất biến ánh xạ, điểm bất động an ánh xạ Chương chúng tơi trình bày nghiên cứu họ hàm chuẩn tắc va n lý thuyết Fatou - Julia to gh tn Thái Nguyên, tháng năm 2016 p ie Người viết luận văn oa nl w d Hoàng Thu Hà nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Mở đầu hệ động lực p−adic Tập hút tập đẩy 1.1.1 Tính chất bất biến lùi tiến ánh xạ lu 1.1 an n va gh tn to Trước hết ta giới thiệu số khái niệm Cho M tập hợp hợp khác rỗng, f : M −→ M ánh xạ Một tập E M là: (a) Bất biến tiến f (E) = E; ie p (b) Bất biến lùi f −1 (E) = E; oa nl w (c) Hoàn toàn bất biến f −1 (E) = E = f (E) d Nếu f đơn ánh bất biến tiến kéo theo bất biến lùi hồn tồn bất biến (do f tồn ánh) Một cách tổng qt, ta có liên hệ sau: nf va an lu Bổ đề 1.1 ([6]) Nếu E bất biến lùi f (E) = E ∩ f (M ) ⊂ E; lm ul Nếu f −1 (E) ⊂ E, f (E) ⊂ E E bất biến lùi z at nh oi Chứng minh (1) Hiển nhiên (2) Do f (E) ⊂ E nên với x ∈ E : f (x) ∈ E Suy z x ∈ f −1 (E) suy E ⊂ f −1 (E) suy E = f −1 (E) l gm @ m co Cho M, N hai không gian topo, kí hiệu C(M, N ) tập ánh xạ liên tục từ M vào N Lấy f ∈ C(M, N ) ta kí hiệu lặp f an Lu f = id, f n = f n−1 ◦ f = f ◦ f n−1 (n > 0)) n va ac th si Ta ký hiệu quỹ đạo tiến x ∈ M [ + O (x) = {f n (x)} n >0 Các phần tử O+ (x) gọi phần tử x Ta kí hiệu quỹ đạo lùi x [ O− (x) = {f −n (x)} n >0 Các phần tử O− (x) gọi phần tử trước x Ta kí hiệu quỹ đạo toàn phần x [ + O(x) = O (x) O− (x) lu Tổng quát, với E ⊂ M , ta định nghĩa quỹ đạo tiến, lùi, toàn phần E cách tương ứng S n S −n S O+ (E) = f (E), O− (E) = f (E), O(E) = O+ (E) O− (E) an n va n≥0 tn to n≥0 gh Hiển nhiên, ta có p ie O+ (E) = [ O− (E) = O+ (x), x∈E [ O− (x) x∈E d oa nl w Với x, y ∈ M , ta xác định quan hệ ∼ M x ∼ y tồn m, n ∈ N cho f m (y) = f n (x), nghĩa x y có chung phần tử Ta thấy: lu nf va an ˆ “ ∼ ” đối xứng x ∼ y tồn m, n ∈ N∗ f m (x) = f n (y) Suy f n (x) = f m (y) suy y ∼ x lm ul ˆ “ ∼ ” phản xạ x ∼ x với n : f n (x) = f n (x) z at nh oi ˆ “ ∼ ” bắc cầu x ∼ y, y ∼ z tồn m, n, k, l ∈ N∗ : f m (x) = f n (y), f k (y) = f l (z), (f m (x))k = (f n (y))k suy f mk (x) = (f k (y))n , suy f mk (x) = (f l (z))n = f nl (z) z m co l gm @ Bởi ∼ quan hệ tương đương M Ta kí hiệu lớp tương đương chứa x [x], gọi quỹ đạo tổng quát x Vì ∼ quan hệ tương đương nên hai quỹ đạo tổng quát đồng rời Dễ dàng chứng minh ( ) [ [ [ [x] = O+ (x) O− (f n (x)) = O(f n (x)) n >0 an Lu n >0 n va ac th si Định lý 1.2 ([6]) Các quỹ đạo tổng quát tập nhỏ có tính chất bất biến lùi Hệ 1.3 ([7]) Một tập E M bất biến lùi hợp lớp tương đương [x] Trong trường hợp này, phần bù M \ E phải hợp lớp tương đương bất biến lùi Hệ 1.4 ([7]) Giả sử f : M → M ánh xạ mở liên tục giả sử E bất biến lùi Thì phần E ◦ , biên ∂E , bao đóng E E bất biến lùi Với E ⊂ M , ta xác định [E] = [ [x] lu x∈E an n va p ie gh tn to Khi [E] bất biến lùi (vì [x] bất biến lùi) Hiển nhiên, E bất biến lùi [E] = O(E) = E Tập [E] tập có tính chất bất biến lùi nhỏ chứa E Một điểm bất động ánh xạ f : M → M điểm x ∈ M cho f (x) = x Kí hiệu tập điểm bất động f Fix(f ) Một k - vòng (vòng bậc k ) k - gồm k phần tử x0 , , xk−1 M đôi khác cho oa nl w f (xi ) = xi+1 (0 i k − 1; f (xk−1 ) = x0 d Đối với họ k -vòng {x0 , , xk−1 }, hiển nhiên xi thỏa mãn f k (xi ) = xi , nghĩa {x0 , , xk−1 } ⊂ Fix(f k ) nf va an lu z at nh oi lm ul Mỗi xi gọi điểm bất động cấp k f Một 1-vịng f điểm bất động f Đặt: ∞ [ Per(f ) = Fix(f k ) k=1 z Các điểm cuả Per(f ) gọi điểm tuần hoàn f Hiển nhiên x ∈ Per(f ) f k (x) = x với k ∈ Z+ Giá trị k bé cho f k (x) = x gọi chu kỳ x Nếu k chu kỳ x k > 1, {x, f (x), , f k−1 (x)} k -vòng f Bởi Per(f ) hợp vòng f Với x ∈ M , ta xác định tập w - giới hạn L+ (x) x bởi: \[ L+ (x) = f n (x) m co l gm @ n va ac th an Lu k >0 n>k si df n df = [f (0)] = (0) max (x) x∈[0,r] dz dz z Đặt f n = g Khi g khả vi [0, r] f (0) = Ta chứng minh @ max |g(x)| , với x ∈ [0, r] r x∈[0,r] co l gm |g (x)| m Do g liên tục [0, r] suy tồn x0 ∈ [0, r] để |g(x0 )| = max |g(x)| Suy cần chứng minh g (x) g(x0 ), với x ∈ [0, r] x∈[0,r] an Lu n va ac th si