(Luận văn) phương pháp lặp song song tìm điểm bất động chung của các toán tử bregman không giãn mạch

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN HOÀI TRANG lu an n va p ie gh tn to PHƯƠNG PHÁP LẶP SONG SONG TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC TỐN TỬ BREGMAN KHƠNG GIÃN MẠNH d oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi lm ul nf va an lu Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 z at nh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trương Minh Tuyên z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên – 2019 ac th si Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS Trương Minh Tuyên, người lu tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu để tơi an hồn thành luận văn va n Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, thầy giáo, cô giáo khoa gh tn to Toán -Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Trường ie p Nhân dịp xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu đồng nl w nghiệp trường THPT Phổ Yên, gia đình, bạn bè, người thân ln động luận văn d oa viện, giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập thực oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th ii si Mục lục ii Một số ký hiệu viết tắt v Mở đầu lu Lời cảm ơn an n va gh tn to p ie Kiến thức chuẩn bị Không gian Banach phản xạ 1.2 Khoảng cách Bregman ánh xạ Bregman không giãn mạnh Đạo hàm Gâteaux đạo hàm Fréchet 1.2.2 1.2.3 Hàm lồi hoàn toàn 12 1.2.4 Phép chiếu Bregman 15 1.2.5 Ánh xạ Bregman không giãn mạnh 17 oa 1.2.1 d nl w 1.1 oi lm ul nf va an lu 1.3 Hàm lồi khoảng cách Bregman Bài tốn tìm điểm bất động ánh xạ Bregman không giãn mạnh 18 z at nh Hai phương pháp chiếu tìm điểm bất động chung hữu hạn z 21 @ tốn tử Bregman khơng giãn mạnh Phương pháp chiếu lai ghép 21 2.2 Phương pháp chiếu thu hẹp 26 2.3 Ứng dụng 28 m co l gm 2.1 Bài toán chấp nhận lồi 28 2.3.2 Khơng điểm chung tốn tử đơn điệu cực đại 29 2.3.3 Bài toán cân 29 an Lu 2.3.1 n va ac th iii si iv 2.3.4 Không điểm chung toán tử Bregman ngược đơn điệu mạnh 31 2.3.5 Bất đẳng thức biến phân 32 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Một số ký hiệu viết tắt lu an n va không gian Banach X∗ không gian đối ngẫu X R tập hợp số thực R+ tập số thực không âm p ie gh tn to X phép giao int M phần tập hợp M oa nl w ∩ inf M cận tập hợp số M d cận tập hợp số M an số lớn tập hợp số M oi lm argminx∈X F (x) số nhỏ tập hợp số M ul M nf va max M lu sup M tập điểm cực tiểu hàm F X z at nh tập rỗng dom(A) miền hữu hiệu toán tử (hàm số) A R(A) miền ảnh toán tử A A−1 toán tử ngược toán tử A I toán tử đồng z ∅ giới hạn dãy số {xn } n va n→∞ an Lu giới hạn dãy số {xn } n→∞ lim inf xn m co l gm @ lim sup xn ac th v si vi dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T Fˆ (T ) tập điểm bất động tiệm cận ánh xạ T ∂f vi phân hàm lồi f 5f gradient hàm f M bao đóng tập hợp M projfC phép chiếu Bregman lên C Df (x, y) khoảng cách Bregman từ x đến y lu xn → x0 an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Đầu kỉ XX xuất nhiều định lý điểm bất động tiếng, lu phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912), nguyên lý ánh xạ co an va Banach (1922) Các kết mở rộng lớp ánh xạ không n gian khác Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng lĩnh vực gh tn to toán học khác như: Giải tích số, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, tối ưu hóa, toán liên quan đến kinh tế toán cân bằng, ie p toán chấp nhận lồi toán bất đẳng thức biến phân nl w Bài tốn điểm bất động có hai lĩnh vực quan tâm nghiên cứu chủ yếu, d oa là: Ta quan tâm đến tồn nghiệm phương trình T (x) = x, an lu T ánh xạ từ tập C khơng gian X vào X nghiệm x0 gọi điểm bất động T Trong nhiều trường hợp quan trọng việc va ul nf giải phương trình đưa việc tìm điểm bất động ánh xạ thích oi lm hợp Chẳng hạn, X không gian tuyến tính, S ánh xạ X y phần tử cố định thuộc X, nghiệm phương trình S(x) = y z at nh điểm bất động ánh xạ T xác định T (x) = S(x) + x − y, với x ∈ X Bên cạnh việc tìm phương pháp tìm hay xấp xỉ điểm bất động z gm @ ánh xạ thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều người làm tốn ngồi nước l m co Một toán xấp xỉ điểm bất động quan tâm nghiên cứu nhiều tốn tìm điểm bất động hay họ ánh xạ kiểu an Lu không giãn không gian Hilbert hay Banach Một khó khăn n va nghiên cứu toán xấp xỉ điểm bất động toán liên quan khác (chẳng ac th si hạn tốn tìm khơng điểm) khơng gian Banach ta phải sử dụng đến ánh xạ đối ngẫu không gian Ta biết trường hợp tổng quát ánh xạ đối ngẫu khó xác định ngồi khơng có tính chất tuyến tính Do việc tìm dạng tường minh tốn tử giải tương ứng với toán tử đơn điệu khơng gian Banach “rất khó” Để khắc phục khó khăn này, người ta sử dụng khoảng cách Bregman để thay cho khoảng cách thông thường thay ánh xạ đối ngẫu gradient phiếm hàm lồi, khả vi Gâteaux Mục đích luận văn trình bày lại kết tác giả Tuyen lu an T.M báo [26] hai phương pháp chiếu tìm điểm bất động chung n va họ hữu hạn tốn tử Bregman khơng giãn mạnh, với số ứng dụng Nội dung luận văn chia làm hai chương chính: gh tn to cho việc giải toán liên quan khác không gian Banach phản xạ p ie Chương Kiến thức chuẩn bị w Trong chương này, luận văn đề cập đến số vấn đề không gian Banach giãn mạnh d oa nl phản xạ, khoảng cách Bregman, phép chiếu Bregman toán tử Bregman khơng an lu Chương Hai phương pháp chiếu tìm điểm bất động chung hữu nf va hạn toán tử Bregman không giãn mạnh oi lm ul Trong chương luận văn tập trung trình bày lại cách chi tiết kết Tuyen T.M tài liệu [26] phương pháp chiếu lai ghép z at nh phương pháp chiếu thu hẹp tìm điểm bất động chung họ hữu hạn toán tử Bregman không giãn mạnh không gian Banach phản xạ Ngoài ra, z số ứng dụng định lý cho việc giải số lớp tốn liên quan m co l gm @ khác giới thiệu chương an Lu n va ac th si Chương Kiến thức chuẩn bị lu an va Chương bao gồm ba mục Mục 1.1 trình bày số tính chất n tn to không gian phản xạ Mục 1.2 giới thiệu khoảng cách Bregman, phép chiếu ie gh Bregman tốn tử Bregman khơng giãn mạnh Mục 1.3 đề cập đến số p phương pháp tìm điểm bất động tốn tử Bregman khơng giãn mạnh Nội dung chương tham khảo tài liệu [1, 17, 20, 24, 27] oa nl w Không gian Banach phản xạ d 1.1 an lu Trước hết, mục nhắc lại khái niệm không gian Banach oi lm ul nf va phản xạ Định nghĩa 1.1.1 Một không gian Banach X gọi không gian phản xạ, phần tử x thuộc X cho z at nh với phần tử x∗∗ không gian liên hợp thứ hai X ∗∗ X, tồn z hx, x∗ i = hx∗ , x∗∗ i với x∗ ∈ X ∗ gm @ Chú ý 1.1.2 Trong luận văn, sử dụng ký hiệu hx∗ , xi để giá trị l m co phiếm hàm x∗ ∈ X ∗ x ∈ X an Lu Mệnh đề 1.1.3 [1] Cho X không gian Banach Khi đó, khẳng định sau tương đương: va n i) X không gian phản xạ ac th si ii) Mọi dãy bị chặn X, có dãy hội tụ yếu Mệnh đề cho ta mối liên hệ tập đóng tập đóng yếu khơng gian tuyến tính định chuẩn Mệnh đề 1.1.4 Nếu C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian khơng gian tuyến tính định chuẩn X, C tập đóng yếu Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử tồn dãy {xn } ⊂ C lu cho xn * x, x ∈ / C Theo định lý tách tập lồi, tồn x∗ ∈ X ∗ tách an ngặt x C, tức tồn ε > cho va n hy, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, tn to p ie gh với y ∈ C Đặc biệt, ta có w hxn , x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, oa nl với n ≥ Ngoài ra, xn * x, nên hxn , x∗ i → hx, x∗ i Do đó, bất d đẳng thức trên, cho n → ∞, ta nhận ul nf va an lu hx, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, Mệnh đề chứng minh oi lm điều vơ lý Do đó, điều giả sử sai, hay C tập đóng yếu z at nh Chú ý 1.1.5 Nếu C tập đóng yếu, hiển nhiên C tập đóng z Khoảng cách Bregman ánh xạ Bregman không giãn mạnh 1.2.1 Đạo hàm Gâteaux đạo hàm Fréchet m co l gm @ 1.2 an Lu Cho X không gian Banach cho f : X −→ (−∞, +∞] hàm n va số Ta ký hiệu miền hữu hiệu domf tập {x ∈ X : f (x) < +∞} Với x ∈ ac th si 24 Do đó, từ Mệnh đề 1.2.20, ta nhận lim kxn+1 − y n k = (2.8) n→∞ Từ (2.6), (2.8) bất đẳng thức kxn − y n k ≤ kxn+1 − xn k + kxn+1 − y n k, suy kxn − y n k → 0, as n → ∞ Bước Mọi giới hạn yếu dãy {xn } thuộc F lu an Từ Mệnh đề 1.2.4, ta có f liên tục X Do đó, từ tính bị chặn va n {5f (xn )} từ định nghĩa Df (y n , xn ), ta nhận to tn lim Df (y n , xn ) = n→+∞ gh p ie Do vậy, từ định nghĩa y n , ta thu limn→+∞ Df (yni , xn ) = với nl w i ∈ {1, 2, , N } Từ Mệnh đề 1.2.20 suy oa lim kxn − yni k = 0, (2.9) n→∞ d lu an với i ∈ {1, 2, , N } ul nf va Từ (2.9) Mệnh đề 1.2.14, ta có lim k f (yni ) − 5f (xn )k = 0, z at nh với i ∈ {1, 2, , N } (2.10) oi lm n→∞ Với p ∈ F với i ∈ {1, 2, , N }, ta có z gm @ Df (p, xn ) − Df (p, yni ) = f (yni ) − f (xn ) m co l + h5f (yni ) − 5f (xn ), p − xn i + h5f (yni ), xn − yni i Vì {yni } bị chặn, nên {5f (yni )} bị chặn Do đó, từ bất đẳng thức trên, (2.9) n va lim (Df (p, xn ) − Df (p, yni )) = n→∞ an Lu (2.10), ta nhận ac th si 25 tức là, lim (Df (p, xn ) − Df (p, Ti xn )) = 0, (2.11) n→∞ với p ∈ F i ∈ {1, 2, , N } Vì, Ti tốn tử BSNE F (Ti ) = Fˆ (Ti ), nên lim Df (Ti xn , xn ) = 0, (2.12) n→∞ với i ∈ {1, 2, , N } Do đó, {xnk } dãy {xn } hội tụ yếu v, v ∈ Fˆ (Ti ) = F (Ti ) với i ∈ {1, 2, , N } Vì vậy, v ∈ F , tức lu giới hạn yếu {xn } thuộc F an va Bước Dãy {xn } hội tụ mạnh projfF (x0 ), n → +∞ n Đặt x† = projfF (x0 ) Vì xn+1 = projfCn ∩Qn (x0 ) F ⊂ Cn ∩ Qn , nên ta có Df (xn , x† ) = Df (xn , x0 ) + Df (x0 , x† ) − h5f (x† ) − 5f (x0 ), xn − x0 i p ie gh tn to Df (xn+1 , x0 ) ≤ Df (x† , x0 ) Từ đẳng thức ba điểm, ta có = h5f (x† ) − 5f (x0 ), x† − xn i (2.13) d oa nl w ≤ Df (x† , x0 ) + Df (x0 , x† ) − h5f (x† ) − 5f (x0 ), xn − x0 i an lu Vì, {xn } bị chặn, nên tồn dãy {xnk } {xn } hội tụ yếu phần tử va u ∈ X Từ Bước 5, ta có u ∈ F Do đó, từ Mệnh đề 1.2.23 ii) (2.13), ta nhận oi lm ul nf lim sup Df (xnk , x† ) ≤ lim suph5f (x† ) − 5f (x0 ), x† − xnk i k→+∞ k→+∞ z at nh = h5f (x† ) − 5f (x0 ), x† − ui ≤ z Do đó, @ l gm lim Df (xnk , x† ) = k→+∞ Từ Mệnh đề 1.2.20, {xnk } hội tụ mạnh x† Giả sử {xnl } dãy m co khác {xn }, hội tụ mạnh phần tử u0 Ta có, {xnl } hội tụ yếu u0 Bằng hội tụ mạnh x† , n → +∞ n va Định lý chứng minh an Lu lập luận tương tự trên, ta nhận {xnl } hội tụ mạnh x† Do đó, {xn } ac th si 26 2.2 Phương pháp chiếu thu hẹp Năm 2014, P.K Anh D.V Hieu [4] đưa hai phương pháp lặp song song dựa phương pháp chiếu co hẹp cho toán tìm phần tử chung tập điểm bất động họ ánh xạ φ-tựa không giãn tiệm cận, tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm tốn cân khơng gian Banach trơn 2-lồi Dựa ý tưởng này,T.M Tuyen [26] phát biểu chứng minh kết để tìm nghiệm Bài tốn (2.1) lu an n va p ie gh tn to Định lý 2.2.1 Với x0 ∈ X, dãy {xn } xác định    C0 = X,        yni = Ti xn , i = 1, 2, , N,    (2.14) oa nl w in ∈ argmaxi=1,2, ,N {Df (yni , xn )}, y n = ynin ,       Cn+1 = {z ∈ Cn : Df (z, y n ) ≤ Df (z, xn )},      f x n+1 = projCn+1 (x0 ), d hội tụ mạnh projfF (x0 ) n → +∞ an lu nf va Chứng minh Bước Cn tập lồi đóng X với n ≥ oi lm ul Rõ ràng C0 tập lồi đóng, C0 = X Giả sử Cn tập lồi đóng X với n ≥ Ta có z at nh Cn+1 = Cn ∩ {z ∈ X : h5f (xn ) − 5f (y n ), zi ≤ f (y n ) − f (xn ) + h5f (x), xn i − h5f (y n ), y n i}, z @ gm điều suy Cn+1 tập lồi đóng X Do đó, từ cách xây dựng tập m co Bước Dãy {xn } hoàn toàn xác định l Cn , suy Cn tập lồi đóng X với n ≥ p ∈ F với n ≥ 0, ta có n va Df (p, y n ) = Df (p, Tin xn ) ≤ Df (p, xn ), an Lu Rõ ràng Cn tập lồi, đóng F ⊂ C0 Giả sử F ⊂ Cn với n ≥ Lấy ac th si 27 điều suy p ∈ Cn+1 Do đó, qui nạp, ta nhận p ∈ Cn với n ≥ Suy ra, F ⊂ Cn với n ≥ Vì vậy, dãy {xn } hồn tồn xác định Bước Dãy {xn } bị chặn Với p ∈ F , từ Mệnh đề 1.2.23 iii), ta có Df (xn , x0 ) = Df (projfCn (x0 ), x0 ) ≤ Df (p, x0 ) − Df (p, projfCn (x0 )) ≤ Df (p, x0 ), (2.15) lu an điều suy dãy {Df (xn , x0 )} bị chặn Do đó, từ Mệnh đề 1.2.17, dãy {xn } n va bị chặn Vì Cn+1 ⊂ Cn , nên từ Mệnh đề 1.2.23 iii) suy p ie gh tn to Bước Tồn giới hạn hữu hạn dãy {Df (xn , x0 )} Df (xn+1 , projfCn (x0 )) + Df (projfCn (x0 ), x0 ) ≤ Df (xn+1 , x0 ), nl w (2.16) d oa Df (xn+1 , xn ) + Df (xn , x0 ) ≤ Df (xn+1 , x0 ) an lu Suy {Df (xn , x0 )} dãy đơn điệu tăng kết hợp với (2.15), ta thu giới hạn limn→+∞ Df (xn , x0 ) tồn hữu hạn va ul nf Bước Dãy {xn } hội tụ mạnh phần tử p ∈ X đề 1.2.23 iii) ta có oi lm Ta có Cm ⊂ Cn với m ≥ n Do đó, xm ∈ Cn Vì, xn = projfCn , nên từ Bổ z at nh Df (xm , xn ) ≤ Df (xm , x0 ) − Df (xn , x0 ) → 0, z điều suy Df (xm , xn ), m, n → +∞ Từ Mệnh đề 1.2.20, kxm −xn k → 0, @ gm m, n → +∞ Do đó, {xn } dãy Cauchy Vì vậy, dãy {xn } hội tụ mạnh m co l phần tử p ∈ X Bước Ta p ∈ F định nghĩa Cn+1 , ta nhận n va kxn+1 − y n k ≤ kxn+1 − xn k an Lu Vì {xn } dãy Cauchy, nên limn→+∞ kxn+1 − xn k = Từ xn+1 ∈ Cn+1 ac th si 28 Do đó, limn→+∞ kxn+1 − y n k = Vì vậy, từ đánh giá kxn − y n k ≤ kxn+1 − xn k + kxn+1 − y n k, ta thu limn→+∞ kxn − y n k = Từ định nghĩa y n , ta nhận kxn − yni k → 0, với i = 1, 2, , N Bởi lập luận tương tự Bước chứng minh Định lý 2.1.1, ta có lu p ∈ F an Đặt x† = projfF (x0 ) Vì xn = projfCn (x0 ) F ⊂ Cn , ta có Df (xn , x0 ) ≤ n va Bước p = projfF (x0 ) gh tn to Df (x† , x0 ) Do đó, lập luận tương tự Bước chứng minh Định lý 2.1.1, ta nhận p = x† ie p Định lý chứng minh nl w Ứng dụng d oa 2.3 an lu Trong mục này, luận văn đề cập đến số ứng dụng định lý 2.1.1 Bài toán chấp nhận lồi oi lm 2.3.1 ul nf va 2.2.1 cho số toán liên quan z at nh Cho Ci , i = 1, 2, , N N tập lồi, đóng khác rỗng X, cho C = ∩N i=1 Ci 6= ∅ toán chấp nhận lồi (CFP) xác định phần tử z C Ta biết F (projfCi ) = Ci với i ∈ {1, 2, , N } hàm Legendre @ Ci Ci Ci m co lấy Ti = projfCi l gm f khả vi Fréchet bị chặn tập bị chặn X, phép chiếu Bregman projf toán tử BFNE F (projf ) = Fˆ (projf ) (xem [22]) Do đó, Định lý 2.1.1 Định lý 2.2.1, ta nhận hai an Lu thuật toán để giải toán chấp nhận lồi Định lý 2.3.1 Cho Ci , i = 1, 2, , N N tập lồi, đóng khác rỗng va n X, cho C = ∩N i=1 Ci 6= ∅ Cho f : X −→ R hàm Legendre bị chặn, khả ac th si 29 vi Fréchet lồi hoàn toàn tập bị chặn X Khi đó, với x0 ∈ X, dãy {xn } xác định (2.2) (2.14) với Ti = projfCi với i = 1, 2, , N , hội tụ mạnh projfC (x0 ), n → +∞ 2.3.2 Khơng điểm chung tốn tử đơn điệu cực đại ∗ Cho A : X −→ 2X tốn tử đơn điệu cực đại tốn tìm phần tử x ∈ X cho ∈ Ax đóng vai trị quan trọng lĩnh vực tối ưu lĩnh vực liên quan lu an Ta nhắc lại khái niệm toán tử giải A, ký hiệu ResfA : X −→ 2X va xác định sau (xem [7]): n to ie gh tn ResfA (x) = (5f + A)−1 ◦ f (x) p Bauschke cộng [7] chứng minh toán tử giải toán tử BFNE Nếu thêm điều kiện hàm Legendre f khả vi Fréchet bị chặn w A d A oa nl tập bị chặn X, tốn tử giải ResfA tốn tử BSNE thỏa mãn F (Resf ) = Fˆ (Resf ) (xem [22]) Từ F (Resf ) = A−1 0, Định lý 2.1.1 A lu an Định lý 2.2.1, ta lấy Ti = ResfAi với i = 1, 2, , N , ta nhận hai oi lm ul điệu cực đại nf va thuật toán cho tốn tìm khơng điểm chung họ hữu hạn toán tử đơn ∗ Định lý 2.3.2 Cho Ai : X −→ 2X , i = 1, 2, , N N toán tử đơn điệu cực z at nh −1 đại cho F = ∩N i=1 Ai 6= ∅ Cho f : X −→ R hàm Legendre bị chặn, khả vi Fréchet lồi hoàn toàn tập bị chặn X Khi đó, với z gm @ x0 ∈ X, dãy {xn } xác định (2.2) (2.14) với Ti = ResfAi với i = 1, 2, , N , hội tụ mạnh projfF (x0 ), n → +∞ Bài toán cân m co l 2.3.3 an Lu Cho C tập lồi, đóng khác rỗng X Cho g song hàm n va xác định C × C nhận giá trị R Bài toán cân phát biểu ac th si 30 sau: Tìm phần tử x ∈ C cho g(x, y) ≥ 0, ∀y ∈ C (2.17) Ta ký hiệu EP (g) tập nghiệm Bài toán (2.17) Để nghiên cứu Bài toán (2.17), ta cần đặt lên g số giả thiết sau (xem [8]): C1) g(x, x) = với x ∈ C; C2) g đơn điệu, tức là, g(x, y) + g(y, x) ≤ với x, y ∈ C; lu an C3) với x, y, z ∈ C, va n lim sup g(tz + (1 − t)x, y) ≤ g(x, y); tn to t↓0 ie gh C4) với x ∈ C, g(x, ) hàm lồi, nửa liên tục p Tốn tử giải song hàm g : C × C −→ R (xem [16]) Resfg : X −→ 2C oa nl w xác định d Resfg (x) = {z ∈ C : g(z, y) + h5f (z) − 5f (x), y − zi ≥ ∀y ∈ C} an lu Ta cần bổ đề (xem [22]): nf va ul Bổ đề 2.3.3 Cho f : X −→ (−∞, +∞] hàm khả vi Gâteaux oi lm Cho C tập lồi đóng X Nếu song hàm g : C × C −→ R z at nh thỏa mãn điều kiện C1)-C4), dom (Resfg ) = X Bổ đề 2.3.4 Cho f : X −→ (−∞, +∞] hàm Legendre Cho C z tập lồi đóng X Nếu song hàm g : C × C −→ R thỏa mãn điều m co l an Lu ii) Resfg toán tử BFNE; gm i) Resfg đơn trị; @ kiện C1)-C4), n F (Resfg ) = EP (g); va iii) tập điểm bất động Resfg tập nghiệm toán cân bằng, tức là, ac th si 31 iv) EP (g) tập lồi đóng C; v) với x ∈ X u ∈ F (Resfg ), ta có Df (u, Resfg (x)) + Df (Resfg (x), x) ≤ Df (u, x) Do đó, Từ Bổ đề 2.3.3 Bổ đề 2.3.4 suy f : X −→ R hàm Legendre, bức, bị chặn, khả vi Fréchet lồi hoàn toàn tập bị chặn X ta lấy Ti = Resfgi , Ti tốn tử BSNE với F (Ti ) = Fˆ (Ti ) (xem [22], Bổ đề 1.3.2) Ti có miền hữu hiệu X Do đó, ta lu an có định lý sau: va n Định lý 2.3.5 Cho Ci , i = 1, 2, , N N tập lồi, đóng khác rỗng tn to X cho gi : Ci × Ci −→ R, i = 1, 2, , N N song hàm thỏa mãn điều kiện ie gh C1)-C4) cho S = ∩N i=1 EP (gi ) 6= ∅ Cho f : X −→ R hàm Legendre, p bức, bị chặn, khả vi Fréchet lồi hoàn toàn tập bị chặn X w Khi đó, với x0 ∈ X, dãy {xn } xác định (2.2) (2.14) với Ti = Resfgi d oa nl với i = 1, 2, , N , hội tụ mạnh projfS (x0 ), n → +∞ lu Khơng điểm chung tốn tử Bregman ngược đơn điệu ul nf va mạnh an 2.3.4 oi lm Lớp toán tử Bregman ngược đơn điệu mạnh xây dựng Butnariu Kassay tài liệu [13] Ta giả sử hàm Legendre f thỏa mãn điều kiện miền z at nh sau: ran (5f − A) ⊂ ran (5f ) z ∗ (2.18) gm @ Một toán tử A : X −→ 2X gọi toán tử Bregman ngược đơn điệu mạnh (BISM) (domA) ∩ (int domf ) 6= ∅ với x, y ∈ int domf , l m co ξ ∈ Ax, η ∈ Ay, ta có hξ − η, 5f ∗ (5f (x) − ξ) − 5f ∗ (5f (y) − η)i ≥ an Lu Toán tử phản giải A Af : X −→ 2X xác định n va Af = 5fo∗ (5f − A) ac th si 32 Ta biết toán tử A BISM tốn tử phản giải Af (đơn trị) toán tử BFNE (xem [13], Bổ đề 3.5) Reich cộng chứng minh ∗ f : X −→ (−∞, +∞] hàm Legendre A : X −→ 2X toán tử BISM cho A−1 (0) 6= ∅, A−1 (0) = F (Af ) (xem [21], Mệnh đề 7) Do đó, hàm Legendre f khả vi Fréchet lồi hoàn toàn tập bị chặn X, tốn tử phản giải Af đơn trị toán tử BSNE thỏa mãn F (Af ) = Fˆ (Af ) (xem [22], Bổ đề 1.3.2) Bây giờ, cho Ci , i = 1, 2, , N N tập lồi, đóng khác rỗng lu ∗ an X cho Ai : X −→ 2X , i = 1, 2, , N N toán tử BISM cho n va Ci ⊂ domAi với i ∈ {1, 2, , N } f : X −→ R Từ điều kiện miền tn to (2.18), ta có domAfi = (domA) ∩ (int domf ) = domAi trường hợp gh int domf = X Từ Mệnh đề i) tài liệu [22], ta nhận A−1 (0) = F (Af ) p ie Do đó, ta có định lý sau: w Định lý 2.3.6 Cho Ci , i = 1, 2, , N N tập lồi, đóng khác rỗng ∗ oa nl X X cho C = ∩N i=1 Ci 6= ∅ Cho Ai : X −→ , i = 1, 2, , N N toán d −1 tử BISM cho Ci ⊂ domAi S = ∩N i=1 Ai (0) 6= ∅ Cho f : X −→ R lu va an hàm Legendre, bị chặn, khả vi Fréchet lồi hoàn toàn tập bị nf chặn X Giả sử điều kiện miền (2.18) thỏa mãn với Ai Khi đó, oi lm ul với x0 ∈ X, dãy {xn } xác định (2.2) (2.14) với Ti = Afi với i = 1, 2, , N , hội tụ mạnh projfS (x0 ), n → +∞ z at nh 2.3.5 Bất đẳng thức biến phân z gm @ Xét toán bất đẳng thức biến phân: Tìm phần tử x† ∈ C cho hAx† , y − x† i ≥ ∀y ∈ C, m co l (2.19) A : X −→ X ∗ toán tử BISM C tập lồi, đóng khác rỗng an Lu domA Ta ký hiệu V I(C, A) tập nghiệm Bài toán (2.19) Ta biết (xem [21], Mệnh đề 8), Reich cộng chứng minh va n f : X −→ (−∞, +∞] hàm Legendre lồi hoàn toàn, thỏa mãn điều ac th si 33 kiện miền (2.18) A : X −→ X ∗ toán tử BISM, C tập lồi, đóng khác rỗng domA ∩ int domf , V I(A, C) = F (projfC o Af ) Ta biết phép chiếu Begman projfC tốn tử BSNE thỏa mãn tính chất F (projfC ) = Fˆ (projfC ) Do đó, từ Bổ đề tài liệu [18], projfC o Af toán tử BSNE với F (projf o Af ) = Fˆ (projf o Af ) Vì vậy, ta có định lý sau: C C Định lý 2.3.7 Cho Ci , i = 1, 2, , N N tập lồi, đóng khác rỗng ∗ X cho C = ∩N i=1 Ci 6= ∅ Cho Ai : X −→ X , i = 1, 2, , N N toán lu tử BISM cho Ci ⊂ dom Ai S = ∩N i=1 V I(Ci , Ai ) 6= ∅ Cho f : X −→ R an hàm Legendre, bị chặn, khả vi Fréchet lồi hoàn toàn tập va n bị chặn X Giả sử điều kiện miền (2.18) thỏa mãn với Ai Khi đó, tn to với x0 ∈ X, dãy {xn } xác định (2.2) (2.14) với Ti = Afi với p ie gh i = 1, 2, , N , hội tụ mạnh projfS (x0 ), n → +∞ d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Kết luận Luận văn trình bày lại cách chi tiết hệ thống lu vấn đề sau: an va • Một số tính chất đặc trưng khơng gian không gian Banach phản xạ, n gh tn to khoảng cách Bregman, phép chiếu Bregman, hàm lồi hồn tồn; • Tốn tử Bregman khơng giãn mạnh số kết tốn tìm ie p điểm bất động cho lớp ánh xạ này; w oa nl • Các kết nghiên cứu T.M Tuyen tài liệu [26] phương pháp chiếu lai ghép phương pháp chiếu thu hẹp cho tốn tìm điểm bất d an lu động chung họ hữu hạn tốn tử Bregman khơng giãn mạnh oi lm ul nf va không gian Banach phản xạ z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th 34 si Tài liệu tham khảo [1] Agarwal R P., O’Regan D., Sahu D R (2009), Fixed Point Theory for lu Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer an va [2] Ambrosetti A., Prodi G (1993), A Primer of Nonlinear Analysis, Cambridge n gh tn to University Press, Cambridge [3] Anh P K., Chung C V (2014), “Parallel hybrid methods for a finite family ie p of relatively nonexpansive mappings”, Numer Funct Anal Optim., 35, pp oa nl w 649–664 [4] Anh P.K., Hieu D.V (2016), “Parallel hybrid methods for variational in- d an lu equalities, equilibrium problems and common fixed point problems”, Viet- nf va nam J Math., 44(2), pp 351–374 oi lm ul [5] Alber Y.I (1996), “Metric and generalized projection operators in Banach spaces: properties and applications, In: Kartsatos, A.G (ed.) Theory and z at nh Applications of Nonlinear Operator of Accretive and Monotone Type”, Marcel Dekker, New York, pp 15–50 z @ [6] Bauschke H.H., Borwein J.M., Combettes P.L (2001), “Essential smooth- gm m co Commun Contemp Math., 3, pp 615–647 l ness, essential strict convexity, and Legendre functions in Banach spaces”, an Lu [7] Bauschke H.H., Borwein J.M., Combettes P.L (2003), “Bregman monotone optimization algorithms”, SIAM J Control Optim., 42, pp 596–636 n va ac th 35 si 36 [8] Blum E., Oettli W (1994), “From optimization and variational inequalities to equilibrium problems”, Math Student, 63, pp 123–145 [9] Bonnans J.F., Shapiro A (2000), Perturbation Analysis of Optimization Problem, Springer, New York [10] Browder F.E (1996), “Existence and approximation of solutions of nonlinear variational inequalities”, Proc Natl Acad Sci USA., 56, pp 1080–1086 lu [11] Butnariu D., Iusem A.N (2000), Totally convex functions for fixed points an computation and infinite dimensional optimization, Kluwer Academic Pub- va n lishers, Dordrecht tions and a method for solving operator equations in Banach spaces”, Abstr p ie gh tn to [12] Butnariu D., Resmerita E (2006), “Bregman distances, totally convex func- w Appl Anal., 2006, pp 1–39 oa nl [13] Butnariu D., Kassay G (2008), “A proximal-projection method for finding d zeroes of set-valued operators”, SIAM J Control Optim., 47, pp 2096–2136 an lu [14] Ceng L.C., Yao J.C (2008), “A hybrid iterative scheme for mixed equilibrium va oi lm 201 ul nf problems and fixed point problems”, J Comput Appl Math., 214, pp 186– z at nh [15] Censor Y., Reich S (1996), “Iterations of paracontractions and firmly nonexpansive operators with applications to feasibility and optimization”, Op- z timization, 37, pp 323–339 gm @ [16] Combettes P.L., Hirstoaga S.A (2005), “Equilibrium programming in l Hilbert spaces”, J Nonlinear Convex Anal., 6, pp 117–136 m co [17] Goebel K., Kirk W.A (1990), Topics in Metric Fixed Point Theory, Cam- an Lu bridge Stud Adv Math., 28, Cambridge Univ Press, Cambridge, UK n va ac th si 37 [18] Reich S (1996), “A weak convergence theorem for the alternating method with Bregman distances, in: Theory and Applications of Nonlinear Operators of Accretive and Monotone Type”, Marcel Dekker, New York, pp 313– 318 [19] Reich S., Sabach S (2009), “A strong convergence theorem for a proximal type algorithm in reflexive Banach spaces”, J Nonlinear Convex Anal., 10, pp 471–485 lu an [20] Reich S., Sabach S (2010), “Two strong convergence theorems for a proximal n va method in reflexive Banach spaces”, Numer Funct Anal Optim., 31, pp tn to 22–44 ie gh [21] Reich S., Sabach S (2010), “Two strong convergence theorems for Breg- p man strongly nonexpansive operators in reflexive Banach spaces”, Nonlinear Analysis, 73, pp 122–135 nl w d oa [22] Reich S., Sabach S (2011), “Existence and approximation of fixed points an lu of Bregman firmly nonexpansive mappings in reflexive Banach spaces, in: va Fixed-Point Algorithms for Inverse Problems in Science and Engineering”, oi lm ul nf Springer, New York, 49 , pp 301–316 [23] Resmerita E (2004), “On total convexity, Bregman projections and stability z at nh in Banach spaces”, J Convex Anal., 11, pp 1–16 [24] Suantai S., Cho Y.J., Cholamjiak P (2012), “Halperns iteration for Bregman z Appl., 64, pp 489–499 l gm @ strongly nonexpansive mappings in reflexive Banach spaces”, Comput Math m co [25] Takahashi W., Toyoda M (2003), “Weak convergence theorems for nonex- pp 417–428 an Lu pansive mappings and monotone mappings”, J Optim Theory Appl., 118, n va ac th si 38 [26] Tuyen T.M (2017), “Parallel iterative methods for Bregman strongly nonexpansive operators in reflexive Banach spaces”, J Fixed Point Theory Appl., 19(3), pp 1695–1710 [27] Zegeye H (2014), “Convergence theorems for Bregman strongly nonexpansive mappings in reflexive Banach spaces”, Filomat, 7, pp 1525–1536 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si