Đang tải... (xem toàn văn)
Untitled ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN HOÀI TRANG PHƯƠNG PHÁP LẶP SONG SONG TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC TOÁN TỬ BREGMAN KHÔNG GIÃN MẠNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN HỒI TRANG PHƯƠNG PHÁP LẶP SONG SONG TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC TỐN TỬ BREGMAN KHƠNG GIÃN MẠNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trương Minh Tuyên Thái Nguyên – 2019 Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS Trương Minh Tuyên, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, thầy giáo, giáo khoa Tốn -Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Ngun tận tình giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Trường Nhân dịp xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu đồng nghiệp trường THPT Phổ Yên, gia đình, bạn bè, người thân ln động viện, giúp đỡ tạo điều kiện cho suốt trình học tập thực luận văn ii Mục lục Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu viết tắt v Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach phản xạ 1.2 Khoảng cách Bregman ánh xạ Bregman không giãn mạnh 1.2.1 Đạo hàm Gâteaux đạo hàm Fréchet 1.2.2 Hàm lồi khoảng cách Bregman 1.2.3 Hàm lồi hoàn toàn 12 1.2.4 Phép chiếu Bregman 15 1.2.5 Ánh xạ Bregman không giãn mạnh 17 1.3 Bài tốn tìm điểm bất động ánh xạ Bregman không giãn mạnh 18 Hai phương pháp chiếu tìm điểm bất động chung hữu hạn tốn tử Bregman khơng giãn mạnh 21 2.1 Phương pháp chiếu lai ghép 21 2.2 Phương pháp chiếu thu hẹp 26 2.3 Ứng dụng 28 2.3.1 Bài toán chấp nhận lồi 28 2.3.2 Không điểm chung toán tử đơn điệu cực đại 29 2.3.3 Bài toán cân 29 iii iv 2.3.4 Không điểm chung toán tử Bregman ngược đơn điệu mạnh 31 2.3.5 Bất đẳng thức biến phân 32 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 Một số ký hiệu viết tắt X không gian Banach X∗ không gian đối ngẫu X R tập hợp số thực R+ tập số thực không âm ∩ phép giao int M phần tập hợp M inf M cận tập hợp số M sup M cận tập hợp số M max M số lớn tập hợp số M M số nhỏ tập hợp số M argminx∈X F (x) tập điểm cực tiểu hàm F X ∅ tập rỗng dom(A) miền hữu hiệu toán tử (hàm số) A R(A) miền ảnh toán tử A A−1 toán tử ngược toán tử A I toán tử đồng lim sup xn giới hạn dãy số {xn } lim inf xn giới hạn dãy số {xn } n→∞ n→∞ v vi xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh x0 x n ⇀ x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T Fˆ (T ) tập điểm bất động tiệm cận ánh xạ T ∂f vi phân hàm lồi f ▽f gradient hàm f M bao đóng tập hợp M projfC phép chiếu Bregman lên C Df (x, y) khoảng cách Bregman từ x đến y Mở đầu Đầu kỉ XX xuất nhiều định lý điểm bất động tiếng, phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912), nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) Các kết mở rộng lớp ánh xạ không gian khác Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng lĩnh vực toán học khác như: Giải tích số, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, tối ưu hóa, tốn liên quan đến kinh tế toán cân bằng, toán chấp nhận lồi toán bất đẳng thức biến phân Bài tốn điểm bất động có hai lĩnh vực quan tâm nghiên cứu chủ yếu, là: Ta quan tâm đến tồn nghiệm phương trình T (x) = x, T ánh xạ từ tập C không gian X vào X nghiệm x0 gọi điểm bất động T Trong nhiều trường hợp quan trọng việc giải phương trình đưa việc tìm điểm bất động ánh xạ thích hợp Chẳng hạn, X khơng gian tuyến tính, S ánh xạ X y phần tử cố định thuộc X, nghiệm phương trình S(x) = y điểm bất động ánh xạ T xác định T (x) = S(x) + x − y, với x ∈ X Bên cạnh việc tìm phương pháp tìm hay xấp xỉ điểm bất động ánh xạ thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều người làm toán ngồi nước Một tốn xấp xỉ điểm bất động quan tâm nghiên cứu nhiều tốn tìm điểm bất động hay họ ánh xạ kiểu không giãn không gian Hilbert hay Banach Một khó khăn nghiên cứu toán xấp xỉ điểm bất động toán liên quan khác (chẳng hạn tốn tìm khơng điểm) khơng gian Banach ta phải sử dụng đến ánh xạ đối ngẫu không gian Ta biết trường hợp tổng quát ánh xạ đối ngẫu khó xác định ngồi khơng có tính chất tuyến tính Do việc tìm dạng tường minh tốn tử giải tương ứng với tốn tử đơn điệu khơng gian Banach “rất khó” Để khắc phục khó khăn này, người ta sử dụng khoảng cách Bregman để thay cho khoảng cách thông thường thay ánh xạ đối ngẫu gradient phiếm hàm lồi, khả vi Gâteaux Mục đích luận văn trình bày lại kết tác giả Tuyen T.M báo [26] hai phương pháp chiếu tìm điểm bất động chung họ hữu hạn toán tử Bregman không giãn mạnh, với số ứng dụng cho việc giải toán liên quan khác không gian Banach phản xạ Nội dung luận văn chia làm hai chương chính: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, luận văn đề cập đến số vấn đề không gian Banach phản xạ, khoảng cách Bregman, phép chiếu Bregman toán tử Bregman khơng giãn mạnh Chương Hai phương pháp chiếu tìm điểm bất động chung hữu hạn toán tử Bregman không giãn mạnh Trong chương luận văn tập trung trình bày lại cách chi tiết kết Tuyen T.M tài liệu [26] phương pháp chiếu lai ghép phương pháp chiếu thu hẹp tìm điểm bất động chung họ hữu hạn tốn tử Bregman khơng giãn mạnh khơng gian Banach phản xạ Ngoài ra, số ứng dụng định lý cho việc giải số lớp toán liên quan khác giới thiệu chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương bao gồm ba mục Mục 1.1 trình bày số tính chất khơng gian phản xạ Mục 1.2 giới thiệu khoảng cách Bregman, phép chiếu Bregman tốn tử Bregman khơng giãn mạnh Mục 1.3 đề cập đến số phương pháp tìm điểm bất động tốn tử Bregman khơng giãn mạnh Nội dung chương tham khảo tài liệu [1, 17, 20, 24, 27] 1.1 Không gian Banach phản xạ Trước hết, mục nhắc lại khái niệm không gian Banach phản xạ Định nghĩa 1.1.1 Một không gian Banach X gọi không gian phản xạ, với phần tử x∗∗ không gian liên hợp thứ hai X ∗∗ X, tồn phần tử x thuộc X cho hx, x∗ i = hx∗ , x∗∗ i với x∗ ∈ X ∗ Chú ý 1.1.2 Trong luận văn, sử dụng ký hiệu hx∗ , xi để giá trị phiếm hàm x∗ ∈ X ∗ x ∈ X Mệnh đề 1.1.3 [1] Cho X khơng gian Banach Khi đó, khẳng định sau tương đương: i) X không gian phản xạ ii) Mọi dãy bị chặn X, có dãy hội tụ yếu Mệnh đề cho ta mối liên hệ tập đóng tập đóng yếu khơng gian tuyến tính định chuẩn Mệnh đề 1.1.4 Nếu C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian khơng gian tuyến tính định chuẩn X, C tập đóng yếu Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử tồn dãy {xn } ⊂ C cho xn ⇀ x, x ∈ / C Theo định lý tách tập lồi, tồn x∗ ∈ X ∗ tách ngặt x C, tức tồn ε > cho hy, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, với y ∈ C Đặc biệt, ta có hxn , x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, với n ≥ Ngồi ra, xn ⇀ x, nên hxn , x∗ i → hx, x∗ i Do đó, bất đẳng thức trên, cho n → ∞, ta nhận hx, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, điều vô lý Do đó, điều giả sử sai, hay C tập đóng yếu Mệnh đề chứng minh Chú ý 1.1.5 Nếu C tập đóng yếu, hiển nhiên C tập đóng 1.2 1.2.1 Khoảng cách Bregman ánh xạ Bregman không giãn mạnh Đạo hàm Gâteaux đạo hàm Fréchet Cho X không gian Banach cho f : X −→ (−∞, +∞] hàm số Ta ký hiệu miền hữu hiệu domf tập {x ∈ X : f (x) < +∞} Với x ∈