(Luận văn) phương pháp lặp tổng quát tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— NGUYỄN ĐÌNH LÝ lu an n va p ie gh tn to PHƯƠNG PHÁP LẶP TỔNG QUÁT TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN, 5/2018 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— NGUYỄN ĐÌNH LÝ lu an PHƯƠNG PHÁP LẶP TỔNG QT TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH n va p ie gh tn to d oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC an lu nf va Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 46 01 12 z at nh oi lm ul z NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRƯƠNG MINH TUYÊN m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN, 5/2018 n va ac th si ii Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS Trương Minh Tuyên, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu để hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, thầy giáo, giáo khoa Tốn - Tin, trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên tận tình giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu trường lu Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Bắc Giang, Ban Giám an Hiệu trường Trung Học Phổ Thông Hiệp Hịa số Bắc Giang, tồn va thể đồng nghiệp, người thân gia đình quan tâm, tạo điều kiện thuận n tn to lợi cho thực kế hoạch học tập nghiên cứu gh Thái Nguyên, ngày 20 tháng 05 năm 2018 p ie Tác giả luận văn oa nl w d NGUYỄN ĐÌNH LÝ nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si iii Mục lục Một số ký hiệu viết tắt iv Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số vấn đề không gian Banach lồi đều, không gian Banach lu an n va 1.1.1 Không gian Banach phản xạ 1.1.2 Không gian Banach lồi 1.1.3 Không gian Banach trơn 1.1.4 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc gh tn to trơn ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc p ie 1.2 Tốn tử tuyến tính dương mạnh, ánh xạ giả co ánh xạ không giãn 14 nl w 1.3 Một số phương pháp tìm điểm bất động ánh xạ không giãn 17 d oa 1.4 Giới hạn Banach 19 Phương pháp lặp tổng quát tìm điểm bất động ánh nf va Chương an lu 1.5 Một số bổ đề bổ trợ 23 28 lm ul xạ không giãn không gian Banach 2.1 Phương pháp lặp ẩn 28 z at nh oi 2.2 Phương pháp lặp 35 Kết luận 43 z m co l gm @ an Lu n va ac th si iv Một số ký hiệu viết tắt không gian Banach E∗ không gian đối ngẫu E R tập hợp số thực R+ tập số thực không âm inf M cận tập hợp số M sup M cận tập hợp số M D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền ảnh toán tử A I toán tử đồng lu E an n va gh tn to giới hạn dãy số {xn } lim sup xn p ie n→∞ dãy {xn } hội tụ mạnh x0 w xn → x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 nf va o(t) tập điểm bất động ánh xạ T vi phân hàm lồi f z at nh oi M mô đun trơn không gian Banach E lm ul F ix(T ) F (T ) ∂f ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị an ρE (τ ) lu j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc d J oa nl xn * x0 bao đóng tập hợp M vơ bé bậc cao t z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Đầu kỉ XX xuất nhiều định lý điểm bất động tiếng, phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912), Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) Các kết mở rộng lớp ánh xạ không gian khác Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng lĩnh vực toán học khác như: Giải tích số, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, tối ưu hóa, tốn liên quan đến kinh tế toán cân bằng, lu toán chấp nhận lồi toán bất đẳng thức biến phân an Bài toán điểm bất động có hai lĩnh vực quan tâm nghiên cứu chủ va yếu, là: Ta quan tâm đến tồn nghiệm phương trình T (x) = x, n tn to T ánh xạ từ tập C không gian X vào X nghiệm gh x0 gọi điểm bất động T Trong nhiều trường hợp p ie quan trọng việc giải phương trình đưa việc tìm điểm bất động w ánh xạ thích hợp Chẳng hạn, X khơng gian tuyến tính, S oa nl ánh xạ X y phần tử cố định thuộc X, nghiệm phương trình S(x) = y điểm bất động ánh xạ T xác định d an lu T (x) = S(x) + x − y, với x ∈ X Bên cạnh việc tìm phương pháp nf va tìm hay xấp xỉ điểm bất động ánh xạ thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều người làm tốn ngồi nước lm ul Một toán xấp xỉ điểm bất động quan tâm nghiên z at nh oi cứu nhiều tốn tìm điểm bất động hay họ ánh xạ không giãn Những kết cổ điển lĩnh vực phải kể đến phương pháp lặp Mann [9], phương pháp lặp Halpern [6] phương pháp xấp xỉ gắn kết [10] Cho đến z gm @ có nhiều phương pháp đưa dựa cải biên phương pháp cho lớp toán liên quan, toán bất đẳng thức l biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn co m Mục đích luận văn trình bày lại phương pháp lặp tổng quát an Lu đề xuất Jung tài liệu [7] cho tốn tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn khơng gian Banach khơng có tính liên tục yếu theo dãy n va ac th si ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, đồng thời điểm bất động nghiệm bất đẳng thức biến phân Phương pháp ứng dụng vào việc giải tốn cực trị dạng tồn phương (xem [8]) tập lồi, đóng C (tập điểm bất động phép chiếu mêtric) Nội dung luận văn chia làm hai chương chính: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, luận văn đề cập đến số vấn đề cấu trúc hình học không gian Banach không gian Banach lồi đều, không gian Banach trơn, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc; tốn tử tuyến tính dương mạnh, ánh xạ giả co mạnh ánh xạ khơng giãn; giới hạn Banach Ngồi ra, chương luận lu văn giới thiệu số phương pháp giải toán điểm bất động an với số bổ đề bổ trợ cần sử dụng đến chương sau luận văn va n Chương Phương pháp lặp tổng quát tìm điểm bất động ánh xạ Trong chương luận văn tập trung trình bày lại cách chi tiết kết gh tn to không giãn không gian Banach p ie Jung [7] phương pháp lặp ẩn phương pháp lặp cho w tốn tìm điểm bất động ánh xạ không giãn, đồng thời nghiệm d oa nl bất đẳng thức biến phân không gian Banach nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Kiến thức chuẩn bị Chương gồm mục Mục 1.1 giới thiệu không gian Banach phản xạ, không gian Banach lồi đều, không gian Banach trơn tốn tử j-đơn điệu lu an Mục 1.2 trình bày tốn tử tuyến tính dương mạnh, ánh xạ giả co, giả co n va mạnh ánh xạ không giãn Mục 1.3 giới thiệu số phương pháp tìm tn to điểm bất động ánh xạ không giãn Mục 1.4 đề cập đến giới hạn Banach gh số tính chất quan trọng nhằm phục vụ trình bày nội dung chương p ie Mục 1.5 trình bày số bổ đề bổ trợ cần sử dụng chứng minh nl w định lý chương sau luận văn Một số vấn đề không gian Banach lồi đều, không gian Banach trơn ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 1.1.1 Không gian Banach phản xạ d oa 1.1 nf va an lu phản xạ z at nh oi lm ul Trước hết, mục nhắc lại khái niệm không gian Banach Định nghĩa 1.1 Một không gian Banach E gọi không gian phản xạ, với phần tử x∗∗ không gian liên hợp thứ hai E ∗∗ E, tồn z hx, x∗ i = hx∗ , x∗∗ i, m co với x∗ ∈ E l gm @ phần tử x thuộc E cho phiếm hàm x∗ ∈ E ∗ x ∈ E an Lu Chú ý 1.1 Trong luận văn, sử dụng ký hiệu hx, x∗ i để giá trị n va ac th si Mệnh đề 1.1 [1] Cho E khơng gian Banach Khi đó, khẳng định sau tương đương: i) E không gian phản xạ ii) Mọi dãy bị chặn E, có dãy hội tụ yếu Mệnh đề cho ta mối liên hệ tập đóng tập đóng yếu khơng gian tuyến tính định chuẩn Mệnh đề 1.2 Nếu C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian khơng gian tuyến tính định chuẩn X C tập đóng yếu Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử tồn dãy {xn } ⊂ C lu an cho xn * x, x ∈ / C Theo định lý tách tập lồi, tồn x∗ ∈ X ∗ n va tách ngặt x C, tức tồn ε > cho tn to hy, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, ie gh với y ∈ C Đặc biệt ta có p hxn , x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, nl w với n ≥ Ngoài ra, xn * x nên hxn , x∗ i → hx, x∗ i Do đó, bất d oa đẳng thức cho n → ∞, ta nhận nf va an lu hx, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, điều vơ lý Do đó, điều giả sử sai hay C tập đóng yếu lm ul Mệnh đề chứng minh z at nh oi Chú ý 1.2 Nếu C tập đóng yếu hiển nhiên C tập đóng Mệnh đề cho ta điều kiện tồn điểm cực tiểu phiếm hàm lồi, thường, nửa liên tục không gian Banach phản z gm @ xạ Mệnh đề 1.3 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Banach l phản xạ E f : C −→ (−∞, ∞] hàm lồi, thường, nửa liên tục co m C, cho f (xn ) → ∞ kxn k → ∞ Khi đó, tồn x0 ∈ dom(f ) f (x0 ) = inf{f (x) : x ∈ C} an Lu cho n va ac th si Chứng minh Đặt m = inf{f (x) : x ∈ C} Khi đó, tồn dãy {xn } ⊂ C cho f (xn ) → m n → ∞ Nếu {xn } khơng bị chặn tồn dãy {xnk } {xn } cho kxnk k → ∞ Theo giả thiết, f (xnk ) → ∞, mâu thuẫn với m 6= ∞ Do đó, {xn } bị chặn Theo Mệnh đề 1.1 Mệnh đề 1.2, tồn dãy {xnj } {xn } cho xnj * x0 ∈ C Vì f nửa liên tục tơpơ yếu nên ta có m ≤ f (x0 ) ≤ lim inf f (xnj ) = lim f (xn ) = m n→∞ j→∞ Do đó, m = f (x0 ) Mệnh đề chứng minh lu an 1.1.2 Không gian Banach lồi va n Định nghĩa 1.2 Không gian Banach E gọi lồi chặt với x, y ∈ p ie gh tn to E, x 6= y mà kxk = 1, kyk = ta có x + y < nl w Chú ý 1.3 Định nghĩa 1.2 cịn phát biểu dạng tương đương d oa sau: Không gian Banach E gọi lồi chặt với x, y ∈ SE thỏa kx + yk mãn = 1, suy x = y với x, y ∈ SE x 6= y ta có ktx + (1 − t)yk < với t ∈ (0, 1), nf va an lu lm ul SE = {x ∈ E : kxk = 1} z at nh oi Mệnh đề 1.4 Giả sử C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian  Banach lồi chặt phản xạ E Khi đó, tập C = x ∈ C : kxk = inf{kyk : y ∈ C} gồm phần tử z @ gm Chứng minh Đặt d = inf{kyk : y ∈ C} Khi đó, tồn dãy {xn } ⊂ C cho l kxn k → d, n → ∞ Từ tính bị chặn {xn } Mệnh đề 1.1, tồn dãy m co {xnk } ⊂ {xn } cho xnk * x Từ tính đóng yếu C (Mệnh đề 1.2), suy x ∈ C Do đó, từ tính nửa liên tục yếu chuẩn ta có n va n→∞ an Lu kxk ≤ lim kxn k = d ac th si 15 với x ∈ E kaI − bAk = sup h(aI − bA)x, j(x)i, kxk≤1 với a ∈ [0, 1] b ∈ [−1, 1], I ánh xạ đồng E Mệnh đề 1.9 [3] Giả sử A tốn tử tuyến tính bị chặn dương mạnh với hệ số γ > 0, < ρ < kAk−1 khơng gian Banach trơn E Khi đó, kI − ρAk ≤ − ργ Định nghĩa 1.13 Cho h : E −→ E ánh xạ (i) h gọi giả co, với x, y ∈ E, tồn j(x − y) ∈ J(x − y) lu an cho n va hh(x) − h(y), j(x − y)i ≤ kx − yk2 ; j(x − y) ∈ J(x − y) cho ie gh tn to (i) h gọi giả co mạnh, tồn k ∈ (0, 1) với x, y ∈ E, tồn p hh(x) − h(y), j(x − y)i ≤ kkx − yk2 w oa nl Định nghĩa 1.14 Giả sử T : D(T ) ⊂ E −→ E ánh xạ Phần tử d x ∈ D(T ) gọi điểm bất động T x = T x Tập điểm bất lu nf va an động T thường kí hiệu F ix(T ) hay F (T ) Chú ý 1.7 Tập điểm bất động ánh xạ giả co mạnh có khơng q phần lm ul tử z at nh oi Thật vậy, giả sử h : E −→ E ánh xạ giả co mạnh với hệ số giả co k ∈ (0, 1) Giả sử F ix(h) 6= ∅ x, y ∈ F ix(h) Khi đó, từ tính giả co mạnh h ta có z co l Suy (1 − k)kx − yk2 ≤ Do đó, x = y gm @ kx − yk2 = hx − y, j(x − y)i = hh(x) − h(y), j(x − y)i ≤ kkx − yk2 m Mệnh đề 1.10 [2] Giả sử E không gian Banach, C tập lồi, Khi T có điểm bất động C, tức F ix(T ) 6= ∅ an Lu đóng khác rỗng E T : C −→ C ánh xạ liên tục, giả co mạnh n va ac th si 16 Định nghĩa 1.15 Cho E không gian Banach, ánh xạ T : D(T ) −→ E gọi Lipschitz tồn số L ≥ cho kT (x) − T (y)k ≤ Lkx − yk, với x, y ∈ D(T ) Nếu L = T gọi khơng giãn L ∈ [0, 1) T gọi ánh xạ co với hệ số co L Nhận xét 1.4 Mọi ánh xạ co ánh xạ giả co Thật vậy, giả sử T : D(T ) −→ E ánh xạ co với hệ số co L ∈ [0, 1) Khi đó, với x, y ∈ D(T ) j(x − y) ∈ J(x − y), ta có lu an hT (x) − T (y), j(x − y)i ≤ kT (x) − T (y)k.kj(x − y)k ≤ Lkx − yk2 va Suy T ánh xạ giả co n tn to Chú ý 1.8 Trong trường hợp E không gian lồi chặt tập điểm bất ie gh động ánh xạ khơng giãn T khác rỗng tập lồi đóng p E (xem [5]) Thật vậy, giả sử F ix(T ) 6= ∅ Tính đóng F ix(T ) suy từ tính liên oa nl w tục T d Ta F ix(T ) tập lồi Lấy x, y ∈ F ix(T ) α ∈ [0, 1], đặt lu nf va an z = αx + (1 − α)y Khi đó, ta có kx − T (z)k = kT (x) − T (z)k ≤ kx − zk = (1 − α)kx − yk, lm ul ky − T (z)k = kT (y) − T (z)k ≤ ky − zk = αkx − yk z at nh oi Do kx − yk ≤ kx − T (z)k + kT (z) − yk ≤ kx − yk z Từ suy @ gm kx − yk = kx − T (z)k + ky − T (z)k co l Đặt a = x − T (z), b = T (z) − y ta có ka + bk = kak + kbk Do X không gian lồi chặt nên tồn số dương λ cho a = λb Suy T (z) tổ hợp tuyến m an Lu tính x y, tức T (z) = βx + (1 − β)y với β ∈ R Từ đó, ta nhận kx − T (z)k = kx − zk = (1 − α)kx − yk = (1 − β)kx − yk, n va ac th si 17 ky − T (z)k = ky − zk = αkx − yk = βkx − yk Suy α = β z ∈ F ix(T ) 1.3 Một số phương pháp tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn Bài tốn Cho T : C −→ C ánh xạ không giãn từ tập lồi, đóng khác rỗng C khơng gian Hilbert H vào ánh xạ khơng giãn với F (T ) 6= ∅ Tìm phần tử x∗ ∈ F (T ) Đã có nhiều phương pháp tiếng đề xuất để giải toán trên, lu phương pháp lặp Mann, phương pháp lặp Halpern, phương pháp xấp xỉ mềm an n va Chú ý 1.9 Nếu T ánh xạ co C dãy lặp Picard xác định x0 ∈ C khơng cịn lớp ánh xạ khơng giãn gh tn to xn+1 = T (xn ) hội tụ mạnh điểm bất động T Tuy nhiên điều p ie Phương pháp lặp Mann d oa nl w Năm 1953, W R Mann [9] nghiên cứu đề xuất phương pháp lặp sau: ( x0 ∈ C phần tử bất kì, (1.11) xn+1 = αn xn + (1 − αn )T xn , n ≥ 0, an lu nf va {αn } dãy số thực thỏa mãn α0 = 1, < αn < 1, n ≥ 1, ∞ P αn = ∞ n=0 lm ul Dãy lặp (1.11) gọi dãy lặp Mann Mann W R chứng minh rằng: ∞ P dãy {αn } chọn thỏa mãn αn (1 − αn ) = ∞ dãy {xn } xác định z at nh oi n=1 (1.11) hội tụ yếu tới điểm bất động ánh xạ T Chú ý H không gian Hilbert vô hạn chiều dãy lặp (1.11) cho hội tụ yếu z gm @ Phương pháp lặp Halpern m co l Năm 1967, B Halpern [6] đề xuất phương pháp lặp ( x0 ∈ C phần tử bất kì, n≥0 (1.12) an Lu xn+1 = αn u + (1 − αn )T xn , n va ac th si 18 u ∈ C {αn } ⊂ (0, 1) Dãy lặp (1.12) gọi dãy lặp Halpern Ông chứng minh hội tụ mạnh dãy lặp (1.12) điểm bất động ánh xạ không giãn T với điều kiện αn = n−α , α ∈ (0, 1) Phương pháp lặp xấp xỉ mềm Năm 2000, Moudafi [10] đề xuất phương pháp xấp xỉ mềm, để tìm điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Hilbert chứng minh kết sau: (1) Dãy {xn } ⊂ C xác định bởi: x0 ∈ C, xn = lu εn T xn + f (xn ), ∀n ≥ 0, + εn + εn (1.13) an hội tụ mạnh nghiệm bất đẳng thức biến phân: n va tn to x ∈ F (T ) cho h(I − f )(x), x − xi ≤ 0, ∀x ∈ F (T ), gh {εn } dãy số dương hội tụ p ie (2) Với phần tử ban đầu z0 ∈ C, xác định dãy {zn } ⊂ C bởi: εn T zn + f (zn ), ∀n ≥ (1.14) + εn + εn ∞ P − = {zn } hội tụ mạnh Nếu lim εn = 0, εn = +∞ lim n→∞ n→∞ εn+1 εn n=1 nghiệm bất đẳng thức biến phân: d oa nl w zn+1 = nf va an lu x ∈ F (T ) cho h(I − f )(x), x − xi ≤ 0, ∀x ∈ F (T ), lm ul f : C → C ánh xạ co cho trước với hệ số co c ∈ [0, 1) Tức z at nh oi kf (x) − f (y)k ≤ ckx − yk ∀x, y ∈ C z Chú ý 1.10 Khi f (x) = u với x ∈ C, phương pháp xấp xỉ mềm @ Moudafi trở phương pháp lặp Halpern gm co l Phương pháp lặp tổng quát Năm 2006 Marino Xu [8], đưa phương pháp lặp tổng qt cho tốn tìm điểm bất động ánh m an Lu xạ không giãn T : H −→ H không gian Hilbert H (1.15) n va xn+1 = (I − αn A)T xn + αn γf (xn ), n ≥ 0, ac th si 19 A tốn tử tuyến tính dương mạnh H Hai nhà toán học chứng minh dãy {αn } thỏa mãn điều kiện i) lim αn = 0; n→∞ ii) ∞ P αn = ∞; n=1 iii) ∞ P |αn+1 − αn | < ∞, n=1 dãy {xn } xác định (1.15) hội tụ mạnh điểm bất động x∗ T , đồng thời nghiệm bất đẳng thức biến phân h(A − γf )x∗ , x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ H (1.16) lu an n va Năm 2011, Wangkeeree cộng [11] mở rộng kết Marino gh tn to Bất đẳng thức biến phân (1.16) điền kiện tối ưu tốn cực tiểu hóa hàm toàn phương g(x) = hAx, xi − h(x), với h hàm vị γf , tức h (x) = γf (x) với x ∈ H p ie Xu cho toán bất đẳng thức biến phân (1.16) tập điểm bất động chung w họ vô hạn đếm ánh xạ không giãn không gian Banach Giới hạn Banach nf va an lu 1.4 d oa nl với ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy Tiếp theo, đề cập đến khái niệm giới hạn Banach: ký hiệu z at nh oi lm ul Cho f phiếm hàm tuyến tính liên tục l∞ Ta sử dụng fn (xn+m ) để f (xm+1 , xm+2 , , xm+n , ), với m = 0, 1, 2, z gm @ Định nghĩa 1.16 Một phiếm hàm tuyến tính liên tục f l∞ gọi giới hạn Banach kf k = f (1) = fn (xn ) = fn (xn+1 ) với l x = (x1 , x2 , ) ∈ l∞ co m Chú ý 1.11 Ta ký hiệu giới hạn Banach LIM Khi đó, kLIM k = an Lu lim inf xn ≤ LIMn xn ≤ lim sup xn với (xn ) ∈ l∞ n→∞ n→∞ (1.17) n va ac th si 20 Mệnh đề 1.11 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Banach phản xạ E, {xn } dãy bị chặn C, LIM giới hạn Banach ϕ hàm nhận giá trị thực xác định C cho ϕ(z) = LIMn kxn − zk2 , z ∈ C Khi đó, tập M xác định M = {u ∈ C : ϕ(u) = ϕ(z)} z∈C lồi, đóng, khác rỗng bị chặn Hơn nữa, E không gian lồi đều1.1 M có điểm Chứng minh Trước hết, ta ϕ hàm lồi, liên tục Giả sử {yn } ⊂ C thỏa mãn yn → y ∈ C Đặt L = sup{kxn − ym k + kxn − yk : m, n ∈ N} Ta có lu an kxn − ym k2 − kxn − yk2 ≤ (kxn − ym k + kxn − yk)(kxn − ym k − kxn − yk) va n ≤ L| kxn − ym k − kxn − yk | to gh tn ≤ Lkym − yk, p ie với m, n ∈ N Từ đó, suy oa nl w LIMn kxn − yk2 ≤ LIMn kxn − ym k2 + Lkym − yk2 d Tương tự, ta có lu lm ul Do đó, ta nhận nf va an LIMn kxn − yk2 ≤ LIMn kxn − ym k2 + Lkym − yk2 Suy ϕ liên tục C z at nh oi |ϕ(ym ) − ϕ(x)| ≤ Lkym − xk z Với x, y ∈ C λ ∈ [0, 1], dễ thấy gm @ ϕ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)ϕ(x) + λϕ(y) l 1.1 m co Không gian Banach E gọi lồi với ε > 0, tồn δ(ε) > cho với x, y ∈ E mà kxk = 1, kyk = 1, kx − yk ≥ ε ta ln có x + y ≤ − δ(ε) an Lu n va ac th si 21 Do đó, ϕ hàm lồi C Từ bất đẳng thức ((a + b)/2)2 ≤ (a2 + b2 )/2 với a, b ≥ ta có kym k2 ≤ 2kym − xn k2 + 2kxn k2 , kym k2 ≤ 2ϕ(ym ) + sup kxn k2 , n∈N tức là, ϕ(ym ) → ∞ kym k → ∞ Như ϕ hàm lồi liên tục ϕ(z) → ∞ kzk → ∞ Vì E không gian phản xạ nên theo Mệnh đề 1.2, ϕ đạt cực tiểu C Do M tập lồi, đóng khác rỗng lu Ta M bị chặn Thật vậy, lấy u ∈ M ta có an n va kuk2 ≤ 2ku − xn k2 + 2kxn k2 , ∀n ∈ N, tn to suy kuk2 ≤ 2ϕ(u) + 2K = inf ϕ(z) + 2K, với K = supn {kxn k2 } Vậy M z∈C ie gh tập bị chặn p Giả sử E không gian Banach lồi Lấy z1 , z2 ∈ M Vì M tập lồi nên w (z1 + z2 )/2 ∈ M Chọn r > đủ lớn cho {xn } ∪ M ⊂ SE [0, r] = {x ∈ E : oa nl kxk ≤ r} Khi đó, xn − z1 , xn − z2 ∈ SE [0, 2r] với n Từ Mệnh đề 2.8.171.2 , d trang 105 tài liệu [1] ta có z + z ≤ kxn − z1 k2 + kxn − z2 k2 − g2r (kz1 − z2 k) xn − 2 nf va an lu z∈C z 1.2 1 z1 + z2
≤ ϕ(z1 ) + ϕ(z2 ) − g2r (kz1 − z2 k) 2 = inf ϕ(z) − g2r (kz1 − z2 k) z∈C z at nh oi inf ϕ(z) ≤ ϕ lm ul Nếu z1 6= z2 gm i) E khơng gian lồi đều; @ Mệnh đề 2.8.17 Cho E không gian Banach Khi khẳng định sau tương đương: m co l ii) Với p ∈ (1, ∞) r > 0, tồn hàm lồi tăng ngặt gr : R+ −→ R+ thỏa mãn gr (0) = ktx + (1 − t)ykp ≤ tkxkp + (1 − t)kykp − t(1 − t)gr (kx − yk), an Lu với x, y thỏa mãn kxk ≤ r, kyk ≤ r t ∈ (0, 1) n va ac th si