(Luận văn) đặc trưng euler và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ ÁNH DƢƠNG lu an n va to p ie gh tn ĐẶC TRƢNG EULER VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG d oa nl w ll u nf va an lu oi m LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2018 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ ÁNH DƢƠNG lu an n va ĐẶC TRƢNG EULER VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG p ie gh tn to d oa nl w Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 an lu ll u nf va LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Tạ Duy Phƣợng z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2018 n va ac th si Mục lục Một số kiến thức sơ lược lý thuyết đồ thị lu Lời nói đầu an n va 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Định nghĩa p ie gh tn to 1.1 Định nghĩa đồ thị 1.1.3 Định nghĩa 1.1.4 Định nghĩa oa nl w 7 1.3.1 Đồ thị phẳng 1.3.2 Đồ thị đối ngẫu 8 d 1.2 Chu trình 1.3 Một số dạng đồ thị ul nf va an lu oi lm 1.3.3 Đồ thị liên thông 10 1.3.4 Đơn đồ thị 11 z at nh 1.3.5 Đồ thị đầy đủ 11 z 1.3.6 Đồ thị phân đôi đầy đủ 11 1.4 Cây 12 l 14 m co công thức đặc trưng Euler gm @ Một số cách chứng minh an Lu 2.1 Chứng minh dựa lý thuyết đồ thị 14 2.2 Chứng minh sử dụng phương pháp điện tích 19 n va 2.2.1 Điện tích 20 2.2.2 Điện tích đối ngẫu 20 ac th si 2.3 Chứng minh dựa phương pháp sử dụng góc 21 2.3.1 Tổng góc 21 2.3.2 Góc hình cầu 22 2.4 Chứng minh Euler 27 2.5 Một số chứng minh khác 30 2.5.1 Phương pháp loại bỏ tam giác 30 2.5.2 Chu trình Euler 32 Một số ứng dụng lu an toán liên quan 35 3.1 Khối đa diện Platon 35 va n 3.2 Trái bóng đá toán phủ mặt cầu 38 ie gh tn to 3.3 Đặc trưng Euler số ứng dụng lý thuyết đồ thị 39 3.4 Định lí Pick 44 p 3.5 Định lí Sylvester-Gallai 47 3.6 Định lí đường thẳng đơn sắc 49 oa nl w Kết luận 56 d oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Lời nói đầu Xét khối đa diện sau V −E+F Đỉnh V Tứ diện Hình lập phương 12 Bát diện 12 Thập nhị diện 20 30 12 Nhị thập diện 12 30 20 lu Tên an Cạnh E Mặt F n va p ie gh tn to d oa nl w va an lu oi lm ul nf Hình Ta nhận thấy V − E + F = với tất năm khối đa diện Số z at nh không đổi gọi đặc trưng Euler Đặc trưng Euler, hay công thức V − E + F = 17 phương z trình làm thay đổi giới (xem [1]) Do tính chất quan trọng công thức này, đặc trưng Euler có đến vài chục cách chứng minh (xem [5]) l gm @ có nhiều ứng dụng (xem thí dụ, [6]) m co Đặc trưng Euler (cịn gọi bất biến Euler, công thức Euler, đặc trưng Euler-Poincaré ) bất biến tôpô, số khơng đổi đặc trưng cho an Lu va hình dạng cấu trúc không gian tôpô không phụ thuộc vào cách bị biến dạng Đặc trưng Euler thường ký hiệu X n Đặc trưng Euler X (S) đa giác phẳng S chia thành tam giác số đỉnh trừ số cạnh cộng với số mặt tam giác đa ac th si giác đó: X (S) = V − E + F Bất kỳ đa diện lồi có đặc trưng X = V − E + F = 2, V , E F tương ứng số đỉnh (góc), số cạnh số mặt khối đa diện lu Leonhard Euler, tên ông đặt cho khái niệm này, có cơng trình nghiên cứu đặc trưng an n va Ta mở rộng đặc trưng Euler (tức cơng thức X = 2) cho hình cầu áp dụng cho khối đa diện cầu Chương Một số kiến thức sơ lược lý thuyết đồ thị Chương Một số cách chứng minh công thức đặc trưng Euler p ie gh tn to Luận văn chia làm ba chương Chương Một số ứng dụng toán liên quan nl w d oa Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc đến PGS TS Tạ Duy va an lu Phượng, người thầy định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tơi hoàn thành luận văn oi lm ul nf Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới Thầy giáo thuộc khoa Tốn - Tin, Phịng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Ngun giúp đỡ tơi suốt q trình học tập trường z at nh Tôi xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến trường trung học phổ thông Lê Chân quan tâm tạo điều kiện giúp đỡ tơi q trình học tập z công tác Cuối xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp cổ gm @ m co l vũ, động viên tạo điều kiện để tơi hồn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2018 an Lu Tác giả va n Trần Thị Ánh Dương ac th si Chương Một số kiến thức sơ lược lu an lý thuyết đồ thị n va p ie gh tn to Chương trình bày sơ lược khái niệm lý thuyết đồ thị để bổ trợ cho số cách chứng minh công thức đặc trưng Euler dựa Định nghĩa đồ thị Định nghĩa ul nf 1.1.1 va an lu 1.1 d oa nl w lý thuyết đồ thị chương sau Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [2,3,9] oi lm Đồ thị (graph) G = (V, E) gồm đỉnh V cạnh E, V 6= ∅ cạnh nối với hai đỉnh (không thiết phân biệt) z at nh Nếu cạnh e tương ứng với hai đỉnh u, v ta nói u v hai đỉnh kề Ký hiệu e = (u, v) hay e = (v, u) Cạnh (u, u) tương ứng với hai z gm @ đỉnh trùng gọi vòng hay khuyên(loop) u Hai cạnh phân biệt tương ứng với cặp đỉnh gọi hai cạnh song song hay an Lu thứ tự gọi cạnh có hướng (cung) m co l cạnh bội Cặp đỉnh không thứ tự gọi cạnh vô hướng (cạnh) Cặp đỉnh n va ac th si Hình 1.1 1.1.2 Định nghĩa Đồ thị G gọi đồ thị vô hướng tất cạnh G lu an cạnh vô hướng n va p ie gh tn to oa nl w Hình 1.2 d an lu nf va Bậc đỉnh đồ thị vô hướng số cạnh liên thuộc với nó, riêng khuyên đỉnh tính hai lần cho bậc oi lm ul Kí hiệu là: deg(v) - Đỉnh bậc gọi đỉnh lập Ví dụ Cho đồ thị sau: z at nh - Đỉnh có bậc gọi đỉnh treo z m co l gm @ an Lu n va Hình 1.3 ac th Ta có: deg(a) = 4, deg(b) = 5, deg(c) = 4, deg(d) = 0, deg(e) = 1, si deg(f ) = 4, deg(g) = 1.1.3 Định nghĩa Đồ thị G gọi đồ thị có hướng tất cạnh G cạnh có hướng lu an n va tn to p ie gh Hình 1.4 Định nghĩa oa nl w 1.1.4 d Đồ thị G1 gọi đồ thị đồ thị G tập đỉnh tập cạnh Chu trình oi lm ul 1.2 nf va an lu G1 tương ứng tập tập đỉnh tập cạnh G z at nh Đường (path) có độ dài n từ v0 đến với n số nguyên dương, đồ thị vô hướng dãy cạnh liên tiếp v0 v1 , v1 v2 , , vn−1 Đỉnh v0 gọi đỉnh đầu, đỉnh gọi đỉnh cuối z gm @ Đường có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối gọi chu trình m co đơn (Chu trình đơn) l Đường (Chu trình) khơng qua cạnh lần thứ hai gọi đường Chu trình đơn chứa tất cạnh đồ thị gọi chu trình an Lu Euler n va Đồ thị vơ hướng gọi đồ thị Euler có chu trình Euler ac th si Ví dụ Trong Hình 1.5, đồ thị G1 có chu trình Euler: a, e, c, d, e, b, a Cả hai đồ thị G2 G3 khơng có chu trình Euler lu an va n Hình 1.5 gh tn to Một số dạng đồ thị p ie 1.3 Đồ thị phẳng nl w 1.3.1 d oa Đồ thị G đồ thị phẳng vẽ mặt phẳng cho oi lm ul nf va an lu cạnh khơng cắt ngồi đỉnh z at nh z Đồ thị đối ngẫu an Lu 1.3.2 m co l gm @ Hình 1.6 Đồ thị đối ngẫu đồ thị phẳng G đồ thị G có va n đỉnh tương ứng cho miền mặt phẳng đồ thị G có cạnh tương ứng với cạnh G kết nối hai miền kề G ac th si 28 Trường hợp Giả sử n mặt có chung đỉnh O hình tam giác Bằng cách cắt bỏ O, ta đồng thời loại bỏ n mặt này, hệ tạo n − mặt tam giác Giả sử mặt khơng đồng phẳng, ta có số mặt khối đa diện F − n + (n − 2) = F − (với F số mặt ban đầu) Trong trình ta loại bỏ n cạnh giao O, ta thêm lu n − cạnh nằm n − mặt tam giác Do số cạnh khối đa diện an n va E − n + (n − 3) = E − Ví dụ Hình 2.18, ban đầu khối đa diện có 11 mặt 20 cạnh Sau loại bỏ đỉnh O ta khối đa diện có mặt 17 cạnh p ie gh tn to (với E số cạnh ban đầu) oa nl w Trường hợp Giả sử số mặt giao O khơng phải hình tam giác (ví dụ mặt tơ đen Hình 2.19) Khi khối chóp d tam giác chia mặt bị loại bỏ mặt khơng hoàn toàn bị biến oi lm ul nf va an lu Hơn cạnh thêm vào mặt bị cắt làm hai Do số cạnh số mặt khối đa diện lớn so với ban đầu z at nh z m co l gm @ Hình 2.19 an Lu Ví dụ Hình 2.19, khối đa diện ban đầu có 12 mặt 23 cạnh Sau n va loại bỏ đỉnh O ta khối đa diện có 12 − + = 11 mặt 23 − + = 21 cạnh ac th Tổng quát, khối đa diện ban đầu có s mặt khơng hình tam giác có si 29 chung đỉnh O sau loại bỏ đỉnh O, số mặt số cạnh nhiều s đơn vị so với ban đầu Vì số mặt F − + s Và số cạnh E − + s Trường hợp Giả sử hai mặt tam giác nằm cạnh đồng lu phẳng (ví dụ mặt tơ đen Hình 2.20) Chúng khơng tạo hai mặt phân biệt khối đa diện mới, mà tạo mặt hình tứ giác an n va Vì có mặt so với ban đầu Và khơng có cạnh giao hai mặt nên có cạnh so với ban đầu p ie gh tn to d oa nl w an lu Hình 2.20 nf va oi lm ul Ví dụ Hình 2.20, khối đa diện có 11 mặt 20 cạnh Sau loại bỏ đỉnh O, khối đa diện lại 11 − − = mặt 20 − − = 16 cạnh cịn lại có số mặt z at nh Vậy thực t lần có t mặt t cạnh Vậy khối đa diện z F − + s − t E − + s − t m co l gm @ Và số cạnh Các công thức đại diện cho số mặt số cạnh khối đa diện sau an Lu đỉnh loại bỏ Nếu ta lấy số cạnh trừ số mặt ta n va (E − + s − t) − (F − + s − t) = ac th si 30 Có thể nói, hiệu cạnh mặt giảm đơn vị sau loại bỏ đỉnh Do loại bỏ n đỉnh hiệu cạnh mặt E − F − n Ta kết luận chứng minh Euler Ban đầu ta có khối đa diện lồi với V đỉnh, E cạnh F mặt Giả sử ta loại bỏ đỉnh một, sau n lần cịn lại đỉnh Khi V − n = hay n = V − Khối đa diện cịn lại có đỉnh gọi khối chóp tam giác, có hiệu lu cạnh mặt − = mà theo lập luận E − F − n Do ta có cơng thức an n va (2.7) n = V − (2.8) Và p ie gh tn to E − F − n = oa nl w Thay (2.8) vào (2.7) chuyển vế ta V − E + F = d Một số chứng minh khác nf va Phương pháp loại bỏ tam giác oi lm ul 2.5.1 an lu 2.5 Cauchy đưa ý tưởng thêm vào bớt số đỉnh hình z at nh đa diện cho giá trị biểu thức V − E + F không đổi Cuối ta tam giác đơn có V − E + F = (xem [8]) z m co l gm @ an Lu n va ac th Hình 2.21: Chiếu hình đa diện lên mặt đáy si 31 Cho hình đa diện lồi có V đỉnh, E cạnh F mặt Đầu tiên ta biến đổi hình đa diện thành đồ thị phẳng (Hình 2.21) Ta loại bỏ mặt hình đa diện, di chuyển vào mặt tất đỉnh khác mà không làm thay đổi số lượng chúng, ta có hình phẳng đa giác chứa đường viền Xét đồ thị phẳng lồi tạo từ cạnh đa diện Chia đồ thị thành hình tam giác cách thêm đường chéo vào tất miền khơng lu phải hình tam giác (đồ thị thứ Hình 2.22) Mỗi lần đường chéo thêm vào số cạnh số miền tăng thêm đơn vị an n va Số đỉnh giữ nguyên Như vậy, biểu thức V − E + F không đổi so với đồ thị ban đầu p ie gh tn to d oa nl w va an lu Hình 2.22: Thứ tự tam giác loại bỏ từ đồ thị tam giác oi lm ul nf Sau đồ thị tam giác hóa, ta phân rã cách loại bỏ hình tam giác từ bên ngồi, lại tam giác z at nh Một hình tam giác bên ngồi đồ thị có hai cạnh bên ngồi Trong trường hợp một, tam giác loại bỏ cách bỏ z gm @ cạnh miền (đồ thị thứ hai Hình 2.22) Trong trường hợp hai, tam giác loại bỏ cách bỏ hai cạnh, đỉnh miền m co l (đồ thị thứ ba Hình 2.22) Trong hai trường hợp biểu thức V − E + F khơng đổi cạnh miền Khi V − E + F = − + = an Lu Cuối cùng, ta đồ thị tạo tam giác đơn, có đỉnh, n va Vậy V − E + F = đồ thị ban đầu ac th si 32 2.5.2 Chu trình Euler Khơng có tên mà chu trình Euler đặc trưng Euler cịn có mối quan hệ chặt chẽ Phương pháp chứng minh sau dựa mối quan hệ số lần lặp chu trình số miền đồ thị phẳng Euler (xem [5]) Trước hết ta phải sử dụng kết Định lí sau: Định lí Một đồ thị phẳng G có chu trình Euler bậc đỉnh G số chẵn lu an Để chứng minh Định lí trước hết ta chứng minh Bổ đề: n va Chứng minh Bổ đề ie gh tn to Bổ đề Nếu bậc đỉnh đồ thị G không nhỏ G chứa chu trình p Nếu G có cạnh bội khẳng định Bổ đề hiển nhiên Vì giả oa nl w sử G đơn đồ thị Gọi v đỉnh G Ta xây dựng theo qui nạp đường d v → v1 → v2 → an lu ul nf va v1 đỉnh kề với v, với i ≥ chọn vi+1 6= vv−1 (có thể chọn vi+1 deg (vi ) ≥ 2) Do tập đỉnh G hữu hạn, nên sau oi lm số hữu hạn bước ta phải quay lại đỉnh xuất trước Gọi đỉnh vk Khi đó, đoạn đường xây dựng nằm Chứng minh Định lí z at nh hai đỉnh vk chu trình cần tìm z @ Điều kiện cần Giả sử G đồ thị Euler tức tồn chu trình Euler gm m co l H G Khi lần chu trình H qua đỉnh G tăng thêm đơn vị cho bậc đỉnh Mặt khác cạnh an Lu đồ thị xuất H lần, suy đỉnh đồ thị có bậc chẵn va Điều kiện đủ Quy nạp theo số đỉnh số cạnh G Do G liên n thông deg(v) số chẵn nên bậc đỉnh không nhỏ Theo ac th si 33 Bổ đề, G phải chứa chu trình C Nếu C qua tất cạnh G chu trình Euler Giả sử C khơng qua tất cạnh G Khi loại bỏ khỏi G tất cạnh thuộc C ta thu đồ thị H có bậc chẵn Theo giả thiết qui nạp, thành phần liên thông H tìm chu trình Euler Do G liên thông nên thành phần H có đỉnh chung với chu trình C Vì vậy, ta xây dựng chu trình Euler G sau: đỉnh chu trình C, theo cạnh C chừng chưa lu an gặp phải đỉnh không cô lập H Nếu gặp phải đỉnh ta theo chu trình Euler thành phần liên thơng H chứa đỉnh Sau n va gh tn to lại tiếp tục theo cạnh C gặp phải đỉnh không cô lập H lại theo chu trình Euler thành phần liên thông tương ứng p ie H v.v (xem Hình 2.23) Quá trình kết thúc ta trở đỉnh xuất phát, tức thu chu trình qua cạnh đồ thị d oa nl w lần oi lm ul nf va an lu z at nh Hình 2.23 z l gm @ Định lí chứng minh m co Sau ta sử dụng chu trình Euler để chứng minh công thức đặc trưng Euler an Lu va Cho đồ thị Euler có V đỉnh, E cạnh F miền Gọi R số lần chu trình qua đỉnh Ví dụ, số lần lặp đồ thị có chu trình n đơn (tức có đỉnh xuất phát bị lặp) Nếu ta vẽ cạnh đồ thị ac th theo thứ tự chu trình Euler đồ thị bắt đầu với miền với si 34 đỉnh lặp lại cho ta thêm miền Khi F = R + (2.9) Mặt khác, đồ thị có E + đỉnh qua chu trình từ lúc bắt đầu lúc kết thúc (trong V đỉnh khơng bị lặp) Do R = E − V + (2.10) Thay (2.10) vào (2.9) ta công thức đặc trưng Euler V − E + F = đồ thị Euler lu an Bây giờ, ta xét đồ thị phẳng G tùy ý, vẽ hai đường thẳng song song va n chép cạnh, tách miền có hai biên Khi đồ thị G trở thành đồ thị Euler Sự thay đổi không ảnh hưởng đến công thức gh tn to V − E + F cho đồ thị ban đầu, thêm đại lượng p ie cho tất số cạnh số mặt Do đặc trưng Euler đồ thị G ban đầu d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 35 Chương Một số ứng dụng lu an toán liên quan n va p ie gh tn to Chương trình bày số ứng dụng điển hình cơng thức đặc trưng Euler w Khối đa diện Platon oa nl 3.1 d Trong toán học, khối đa diện Platon đa diện lồi Chỉ có lu nf va an đa diện Platon tứ diện (tetrahedron), hình lập phương (hexahedron), bát diện (octahedron), thập nhị diện (dodecahe- oi lm ul dron) nhị thập diện (icosahedron) z at nh z gm @ Hình 3.1: Khối đa diện Platon m co l an Lu Các đa diện Platon biết đến từ sớm thời kì cổ đại Những đa diện Platon tạo từ cách 4000 năm n va chúng chạm khắc khối đá Xuất từ sớm thời điểm cách 2500 năm quy luật tốn học xung ac th quanh vấn đề khối đa diện Platon lần đề cập si 36 tới nghiên cứu sâu rộng Và nhà triết học, nhà thiên văn học nhà hình học tiếng Hy Lạp - Platon (khoảng 427 − 347 TCN) có khối đa diện chúng gọi khối Platon Các khối Platon gồm đa diện tetrahedron, hexahedron, octahedron, dodecahedron icosahedron (Hình 3.1) Dưới trình bày ứng dụng đặc trưng Euler chứng minh tồn đa diện Platon Định nghĩa lu an - Khối đa diện (H) gọi khối đa diện lồi đoạn thẳng nối hai n va điểm (H) ln thuộc (H) a Mỗi mặt đa giác p cạnh b Mỗi đỉnh đỉnh chung q mặt p ie gh tn to - Một khối đa diện lồi khối đa diện lồi có tính chất sau: w Khối đa diện gọi khối đa diện loại (p, q) oa nl Chứng minh tồn đa diện Platon d Ta có đặc trưng Euler lu (3.1) va an V − E + F = oi lm ul nf Đầu tiên ta có mối liên hệ: pF = 2E = qV Thật vậy, ta có p số cạnh mặt đa diện, F số mặt khối đa z at nh diện, suy pF tổng số cạnh tất mặt khối đa diện Mà cạnh đa diện kề với hai mặt khối đa diện Suy pF = 2E z Mặt khác, q số mặt gặp đỉnh, V tổng số đỉnh khối đa diện Suy qV tổng số đỉnh tất mặt khối đa diện gm @ pF = 2E = qV an Lu đỉnh đa diện Suy qV = 2E Vậy ta có m co l Lại có, q số cạnh gặp đỉnh Mà cạnh liên kết với hai (3.2) n va ac th si 37 Thế (3.2) vào (3.1) ta được: 2E 2E −E+ = q p ⇒ 1 1 + − = q p E ⇒ 1 1 + = + q p E (3.3) Bởi đa diện có cạnh, khối đa diện có mặt gặp lu đỉnh nên ta có p ≥ 3, q ≥ Mặt khác p, q lớn dẫn đến p ≥ 4, q ≥ Do an n va p ie gh tn to 1 1 + ≤ + p q 4 1 ⇒ + ≤ E w ≤ E (3.4) d oa nl ⇒ = lu Từ (3.4) suy điều vơ lý Do p, q khơng thể đồng thời lớn va an Suy p = q ≥ p ≥ 3, q = oi lm ul nf Khơng tính tổng quát, giả sử p = Thế vào (3.3) ta z at nh 1 1 + = + q E 1 1 ⇒ = + > q E ⇒ ≤ q < z gm @ Do q số nguyên nên q 3, 4, Từ suy E = 6, 12, m co l 30 Một cách tương tự cho trường hợp q = Ta có p = 3, 4, an Lu Vậy ta nhận năm cặp số (3,3), (3,4), (3,5), (4,3), (5,3) Từ năm n va cặp số giá trị (p, q) cho ta năm đa giác cần chứng minh ac th si 38 3.2 Trái bóng đá tốn phủ mặt cầu Trái bóng thường phủ miếng da đen trắng, khơng biết có người tị mị mà cầm lên đếm xem có miếng da đen, miếng da trắng Cụ thể, mảnh ngũ giác đen gắn với mảnh lục giác trắng khác Mỗi mảnh lục giác gắn với mảnh lục giác mảnh ngũ giác khác Và thực tế, ta chứng minh có cách phủ kín bề mặt bóng theo kiểu vậy, phủ 12 miếng da đen hình ngũ giác 20 miếng da trắng hình lục giác lu an n va p ie gh tn to oa nl w Hình 3.2 d Để đơn giản, ta coi bóng khối đa diện Một đa diện lồi giống với trái bóng biến thành trái bóng ta thực va an lu oi lm ul nf phép chiếu đa diện lồi lên mặt cầu có tâm tâm đa diện xét Một cách tưởng tượng, ta làm cong mặt đa diện từ đa giác phẳng thành đa giác cầu z at nh Đa diện lồi giới hạn mặt đa giác phẳng, đa giác giới hạn đoạn thẳng, đoạn thẳng giới hạn z đầu mút, chúng đỉnh đa diện lồi @ m co l gm Gọi n số mặt ngũ giác Vì hình ngũ giác kề với hình lục giác khác nên có 5n mặt lục giác Con số thực tế phải chia cho 3, an Lu mặt lục giác lại lúc kề với mặt ngũ giác Khi số hình lục giác 5n n va Mỗi đỉnh tính lần (ứng với mặt), cạnh tính lần (ứng với mặt) nên ta có ac th si 39 Số đỉnh: 5n + 5n V = = 5n; Số cạnh: 5n + 5n 15n E= = ; 2 Số mặt: F =n+ lu 5n 8n = 3 an va Thay vào V − E + F = ta được: n p ie gh tn to n = ⇒ n = 12 w Như cần phủ kín bề mặt bóng 12 mảnh ngũ giác d oa nl 20 mảnh lục giác Đặc trưng Euler số ứng dụng lý thuyết ul nf va đồ thị an lu 3.3 oi lm Đặc trưng Euler dùng để lập số bất đẳng thức đồ thị phẳng phát triển định lí lý thuyết đồ thị z at nh Hệ 3.3.1 (xem [2]) Nếu G đơn đồ thị phẳng liên thơng có E cạnh, V đỉnh, với V ≥ Khi E ≤ 3V − z @ l gm Chứng minh hệ 3.3.1 dựa khái niệm bậc miền Đó số cạnh biên miền Khi cạnh xuất hai lần biên (tức m co vẽ hai lần vẽ biên) góp đơn vị vào bậc miền thị an Lu Bổ đề Tổng số bậc miền hai lần số cạnh đồ va n Chứng minh Bổ đề Trong đồ thị, cạnh cạnh chung hai ac th si 40 Hình 3.3 miền Do đó, tổng số bậc miền hai lần số cạnh đồ thị lu Chứng minh Hệ 3.3.1 Một đơn đồ thị phẳng liên thông vẽ mặt phẳng chia mặt phẳng thành r miền Bậc miền an n va miền vô hạn có ba đỉnh đồ thị ie gh tn to (vì ta xét đồ thị đơn nên khơng có cạnh bội để tạo miền bậc khơng có khun để tạo miền bậc 1) Đặc biệt, bậc p Theo Bổ đề ta có w 2E = X deg(R) oa nl R d Vì miền có bậc lớn nên X deg(R) ≥ 3r va an lu ul nf Suy R oi lm 2E ≥ r Theo đặc trưng Euler ta có r = E − V + Do z at nh z E−V +2≤ @ 2E m co l gm ⇒ E ≤ 3V − an Lu Ví dụ Chứng minh đồ thị đầy đủ gồm đỉnh K5 không đồ thị phẳng n va Chứng minh Đồ thị K5 có năm đỉnh mười cạnh Vì bất đẳng thức E ≤ 3V − không thỏa mãn đồ thị này, E = 10, 3V − = ac th si 41 Hình 3.4: Đồ thị K5 lu an Vậy đồ thị K5 không phẳng va n Hệ 3.3.2 (xem [2]) Nếu đơn đồ thị phẳng liên thơng có E cạnh, gh tn to V đỉnh, với V ≥ khơng có chu trình độ dài E ≤ 2V − ie Chứng minh Một đơn đồ thị phẳng liên thông vẽ mặt p phẳng chia mặt phẳng thành r miền nl w Theo Bổ đề ta có d oa 2E = X deg(R) R lu an Vì đồ thị khơng có khun cạnh bội khơng có chu trình đơn độ oi lm ul nf va dài bậc miền vô hạn 4, nên miền có bậc Do X deg(R) ≥ 4r R z at nh Suy z E ≥ r Theo cơng thức Euler ta có r = E − V + Do m co l gm @ E ⇒ E ≤ 2V − E−V +2≤ an Lu n va Ví dụ Chứng minh đồ thị K3,3 không phẳng ac th Chứng minh Do đồ thị K3,3 khơng có chu trình độ dài (vì đồ thị si 42 Hình 3.5: Đồ thị K3,3 lu đầy đủ hai phía) nên ta áp dụng Hệ Đồ thị K3,3 có sáu đỉnh chín cạnh Vì E = 2V − = 8, không thỏa mãn Hệ an n va Vậy đồ thị K3,3 khơng phẳng Chứng minh Giả sử G có E cạnh F miền p ie gh tn to Định lí 3.3.3 (xem [6]) Nếu G đơn đồ thị phẳng có V ≥ đỉnh G có nhiều 3V − cạnh d oa nl w Ta đếm số miền số cạnh bao quanh miền, fk số miền có k cạnh Ta có an lu F = f1 + f2 + f3 + f4 + nf va Vì G đơn đồ thị nên miền có cạnh Do F = f3 + f4 + f5 + oi lm ul (3.5) Mà cạnh cạnh chung miền nên z at nh 2E = 3f3 + 4f4 + 5f5 + z gm @ Từ (3.5) (3.6) ta được: (3.6) 2E − 3F = f4 + 2f5 + 3f6 + ≥ m co l (3.7) Sử dụng đặc trưng Euler V − E + F = (3.7) ta có: an Lu 3V − = (2 + E − F ) − = 3E − 3F ≥ E n va Vậy G có nhiều 3V − cạnh ac th Định lí 3.3.4 Mọi đơn đồ thị phẳng có đỉnh có bậc nhỏ si