1 Mục lục Lời nói đầu 3 1 Một số kiến thức sơ lược về lý thuyết đồ thị 5 1 1 Định nghĩa đồ thị 5 1 1 1 Định nghĩa 1 5 1 1 2 Định nghĩa 2 6 1 1 3 Định nghĩa 3 7 1 1 4 Định nghĩa 4 7 1 2 Chu trình 7 1 3[.]
1 Mục lục Lời nói đầu Một số kiến thức sơ lược lý thuyết đồ thị 1.1 Định nghĩa đồ thị 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Định nghĩa 1.1.3 Định nghĩa 1.1.4 Định nghĩa 7 1.2 Chu trình 1.3 Một số dạng đồ thị 1.3.1 Đồ thị phẳng 1.3.2 Đồ thị đối ngẫu 8 1.3.3 Đồ thị liên thông 10 1.3.4 Đơn đồ thị 11 1.3.5 Đồ thị đầy đủ 11 1.3.6 Đồ thị phân đôi đầy đủ 11 1.4 Cây 12 Một số cách chứng minh công thức đặc trưng Euler 14 2.1 Chứng minh dựa lý thuyết đồ thị 14 2.2 Chứng minh sử dụng phương pháp điện tích 19 2.2.1 Điện tích 20 2.2.2 Điện tích đối ngẫu 20 2.3 Chứng minh dựa phương pháp sử dụng góc 21 2.3.1 Tổng góc 21 2.3.2 Góc hình cầu 22 2.4 Chứng minh Euler 27 2.5 Một số chứng minh khác 30 2.5.1 Phương pháp loại bỏ tam giác 30 2.5.2 Chu trình Euler 32 Một số ứng dụng toán liên quan 35 3.1 Khối đa diện Platon 35 3.2 Trái bóng đá tốn phủ mặt cầu 38 3.3 Đặc trưng Euler số ứng dụng lý thuyết đồ thị 39 3.4 Định lí Pick 44 3.5 Định lí Sylvester-Gallai 47 3.6 Định lí đường thẳng đơn sắc 49 Kết luận 56 Lời nói đầu Xét khối đa diện sau Cạnh E Mặt F V −E+F Tên Đỉnh V Tứ diện Hình lập phương 12 Bát diện 12 Thập nhị diện 20 30 12 Nhị thập diện 12 30 20 Hình Ta nhận thấy V − E + F = với tất năm khối đa diện Số không đổi gọi đặc trưng Euler Đặc trưng Euler, hay công thức V − E + F = 17 phương trình làm thay đổi giới (xem [1]) Do tính chất quan trọng cơng thức này, đặc trưng Euler có đến vài chục cách chứng minh (xem [5]) có nhiều ứng dụng (xem thí dụ, [6]) Đặc trưng Euler (cịn gọi bất biến Euler, cơng thức Euler, đặc trưng Euler-Poincaré ) bất biến tôpô, số khơng đổi đặc trưng cho hình dạng cấu trúc không gian tôpô không phụ thuộc vào cách bị biến dạng Đặc trưng Euler thường ký hiệu X Đặc trưng Euler X (S) đa giác phẳng S chia thành tam giác số đỉnh trừ số cạnh cộng với số mặt tam giác đa giác đó: X (S) = V − E + F Bất kỳ đa diện lồi có đặc trưng X = V − E + F = 2, V , E F tương ứng số đỉnh (góc), số cạnh số mặt khối đa diện Leonhard Euler, tên ông đặt cho khái niệm này, có cơng trình nghiên cứu đặc trưng Ta mở rộng đặc trưng Euler (tức công thức X = 2) cho hình cầu áp dụng cho khối đa diện cầu Luận văn chia làm ba chương Chương Một số kiến thức sơ lược lý thuyết đồ thị Chương Một số cách chứng minh công thức đặc trưng Euler Chương Một số ứng dụng tốn liên quan Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc đến PGS TS Tạ Duy Phượng, người thầy định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới Thầy cô giáo thuộc khoa Tốn - Tin, Phịng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên giúp đỡ suốt q trình học tập trường Tơi xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến trường trung học phổ thông Lê Chân quan tâm tạo điều kiện giúp đỡ tơi q trình học tập công tác Cuối xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp cổ vũ, động viên tạo điều kiện để hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2018 Tác giả Trần Thị Ánh Dương Chương Một số kiến thức sơ lược lý thuyết đồ thị Chương trình bày sơ lược khái niệm lý thuyết đồ thị để bổ trợ cho số cách chứng minh công thức đặc trưng Euler dựa lý thuyết đồ thị chương sau Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [2,3,9] 1.1 1.1.1 Định nghĩa đồ thị Định nghĩa Đồ thị (graph) G = (V, E) gồm đỉnh V cạnh E, V 6= ∅ cạnh nối với hai đỉnh (không thiết phân biệt) Nếu cạnh e tương ứng với hai đỉnh u, v ta nói u v hai đỉnh kề Ký hiệu e = (u, v) hay e = (v, u) Cạnh (u, u) tương ứng với hai đỉnh trùng gọi vòng hay khuyên(loop) u Hai cạnh phân biệt tương ứng với cặp đỉnh gọi hai cạnh song song hay cạnh bội Cặp đỉnh không thứ tự gọi cạnh vô hướng (cạnh) Cặp đỉnh thứ tự gọi cạnh có hướng (cung) Hình 1.1 1.1.2 Định nghĩa Đồ thị G gọi đồ thị vô hướng tất cạnh G cạnh vơ hướng Hình 1.2 Bậc đỉnh đồ thị vô hướng số cạnh liên thuộc với nó, riêng khun đỉnh tính hai lần cho bậc Kí hiệu là: deg(v) - Đỉnh bậc gọi đỉnh cô lập - Đỉnh có bậc gọi đỉnh treo Ví dụ Cho đồ thị sau: Hình 1.3 Ta có: deg(a) = 4, deg(b) = 5, deg(c) = 4, deg(d) = 0, deg(e) = 1, deg(f ) = 4, deg(g) = 1.1.3 Định nghĩa Đồ thị G gọi đồ thị có hướng tất cạnh G cạnh có hướng Hình 1.4 1.1.4 Định nghĩa Đồ thị G1 gọi đồ thị đồ thị G tập đỉnh tập cạnh G1 tương ứng tập tập đỉnh tập cạnh G 1.2 Chu trình Đường (path) có độ dài n từ v0 đến với n số nguyên dương, đồ thị vô hướng dãy cạnh liên tiếp v0 v1 , v1 v2 , , vn−1 Đỉnh v0 gọi đỉnh đầu, đỉnh gọi đỉnh cuối Đường có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối gọi chu trình Đường (Chu trình) khơng qua cạnh lần thứ hai gọi đường đơn (Chu trình đơn) Chu trình đơn chứa tất cạnh đồ thị gọi chu trình Euler Đồ thị vơ hướng gọi đồ thị Euler có chu trình Euler Ví dụ Trong Hình 1.5, đồ thị G1 có chu trình Euler: a, e, c, d, e, b, a Cả hai đồ thị G2 G3 chu trình Euler Hình 1.5 1.3 1.3.1 Một số dạng đồ thị Đồ thị phẳng Đồ thị G đồ thị phẳng vẽ mặt phẳng cho cạnh khơng cắt ngồi đỉnh Hình 1.6 1.3.2 Đồ thị đối ngẫu Đồ thị đối ngẫu đồ thị phẳng G đồ thị G có đỉnh tương ứng cho miền mặt phẳng đồ thị G có cạnh tương ứng với cạnh G kết nối hai miền kề G Hình 1.7: Đồ thị đối ngẫu Xác định đồ thị đối ngẫu từ đồ thị phẳng Bước 1: Xác định miền đồ thị phẳng Ta có đồ thị phẳng G, xác định miền sau: • Miền 1: Miền bị giới hạn tam giác CDE • Miền 2: Miền bị giới hạn tam giác BCE • Miền 3: Miền bị giới hạn tam giác ABE • Miền ngồi: Miền khơng bị giới hạn hình ngũ giác ABCDE Hình 1.8: Nối miền tam giác CDE với miền mà cạnh DE , CD CE tiếp xúc Bước 2: Xác định miền tiếp xúc với miền vừa xác định bước Xét tam giác CDE (miền 1) ta thấy: • Cạnh DE, CD tiếp xúc với miền ngồi • Cạnh CE tiếp xúc với tam giác BCE (miền 2) Ta thực vẽ đường cong nối từ tam giác CDE sang miền tam giác BCE 10 Tương tự ta xét với tam giác BCE tam giác ABE Hình 1.9: Nối miền tam giác BCE với miền mà cạnh BC , BE CE tiếp xúc Bước 3: Gọi H đồ thị vừa tìm được, ta có H đồ thị đối ngẫu G Hình 1.10: Nối miền tam giác ABE với miền mà cạnh AB , AE BE tiếp xúc 1.3.3 Đồ thị liên thông Một đồ thị liên thông tồn đường cặp đỉnh phân biệt đồ thị Ví dụ Trong Hình 1.11 đồ thị G liên thông đồ thị H không liên thông ... chục cách chứng minh (xem [5]) có nhiều ứng dụng (xem thí dụ, [6]) Đặc trưng Euler (còn gọi bất biến Euler, công thức Euler, đặc trưng Euler- Poincaré ) bất biến tôpô, số không đổi đặc trưng cho... G 13 Hình 1.15: Cây khung 14 Chương Một số cách chứng minh công thức đặc trưng Euler Chương trình bày số cách chứng minh công thức đặc trưng Euler 2.1 Chứng minh dựa lý thuyết đồ thị Biểu diễn... có đặc trưng X = V − E + F = 2, V , E F tương ứng số đỉnh (góc), số cạnh số mặt khối đa diện Leonhard Euler, tên ông đặt cho khái niệm này, có cơng trình nghiên cứu đặc trưng Ta mở rộng đặc trưng